Probabilité l'événement est appelé le rapport numérique résultats élémentaires, favorable cet événement, au nombre de toutes les issues également possibles de l'expérience dans laquelle cet événement peut apparaître. La probabilité de l'événement A est notée P(A) (ici P est la première lettre mot français probabilité - probabilité). D'après la définition
(1.2.1)
où est le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A ; - le nombre de tous les résultats élémentaires également possibles de l'expérience, formant groupe completévénements.
Cette définition de la probabilité est dite classique. Il est apparu le étape initiale développement de la théorie des probabilités.

La probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :
1. Probabilité événement fiableégal à un. Désignons un événement fiable par la lettre . Pour un certain événement, donc
(1.2.2)
2. La probabilité d’un événement impossible est nulle. Désignons par la lettre un événement impossible. Pour un événement impossible, donc
(1.2.3)
3. Probabilité événement aléatoire s'exprime nombre positif, moins d'un. Puisque pour un événement aléatoire les inégalités , ou , sont satisfaites, alors
(1.2.4)
4. La probabilité de tout événement satisfait les inégalités
(1.2.5)
Cela découle des relations (1.2.2) - (1.2.4).

Exemple 1. Une urne contient 10 boules de taille et de poids égaux, dont 4 rouges et 6 bleues. Une boule est tirée de l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?

Solution. On note l'événement « la boule tirée s'est avérée bleue » par la lettre A. Ce test a 10 issues élémentaires également possibles, dont 6 en faveur de l'événement A. Conformément à la formule (1.2.1), on obtient

Exemple 2. Tous les nombres naturels de 1 à 30 sont écrits sur des cartes identiques et placés dans une urne. Après avoir soigneusement mélangé les cartes, une carte est retirée de l'urne. Quelle est la probabilité que le nombre sur la carte prise soit un multiple de 5 ?

Solution. Notons A l'événement « le nombre sur la carte prise est un multiple de 5 ». Dans ce test, il y a 30 résultats élémentaires également possibles, parmi lesquels l'événement A est favorisé par 6 résultats (les nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ainsi,

Exemple 3. Deux dés sont lancés et le total des points est calculé. faces supérieures. Trouvez la probabilité de l’événement B telle que les faces supérieures des dés aient un total de 9 points.

Solution. Dans ce test, il n'y a que 6 2 = 36 résultats élémentaires également possibles. L'événement B est favorisé par 4 résultats : (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), donc

Exemple 4. Sélectionné au hasard nombre naturel, n’excédant pas 10. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?

Solution. Notons par la lettre C l'événement « le nombre choisi est premier ». DANS dans ce cas n = 10, m = 4 ( nombres premiers 2, 3, 5, 7). Par conséquent, la probabilité requise

Exemple 5. Deux pièces symétriques sont lancées. Quelle est la probabilité qu’il y ait des chiffres sur la face supérieure des deux pièces ?

Solution. Désignons par la lettre D l'événement « il y a un numéro sur la face supérieure de chaque pièce ». Dans ce test, il y a 4 résultats élémentaires également possibles : (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notation (G, C) signifie que la première pièce porte un blason, la seconde un numéro). L'événement D est favorisé par un résultat élémentaire (C, C). Puisque m = 1, n = 4, alors

Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres choisi au hasard ait les mêmes chiffres ?

Solution. Numéros à deux chiffres sont des nombres de 10 à 99 ; Il existe 90 nombres de ce type au total. 9 nombres ont des chiffres identiques (ce sont les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Puisque dans ce cas m = 9, n = 90, alors
,
où A est l’événement « numéro à chiffres identiques ».

Exemple 7. Des lettres du mot différentiel Une lettre est choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette lettre soit : a) une voyelle, b) une consonne, c) une lettre h?

Solution. Le mot différentiel comporte 12 lettres, dont 5 voyelles et 7 consonnes. Courrier h il n'y a pas dans ce mot. Notons les événements : A - "lettre voyelle", B - "lettre consonne", C - "lettre h". Le nombre d'issues élémentaires favorables : - pour l'événement A, - pour l'événement B, - pour l'événement C. Puisque n = 12, alors
, Et .

Exemple 8. Deux dés sont lancés et le nombre de points au dessus de chaque dé est noté. Trouvez la probabilité que les deux dés soient lancés même numéro points.

Solution. Notons cet événement par la lettre A. L'événement A est favorisé par 6 issues élémentaires : (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Le nombre total de résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements, dans ce cas n=6 2 =36. Cela signifie que la probabilité requise

Exemple 9. Le livre compte 300 pages. Quelle est la probabilité qu’une page ouverte aléatoirement ait un numéro de série divisible par 5 ?

Solution. Des conditions du problème, il s'ensuit que tous les résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements seront n = 300. Parmi ceux-ci, m = 60 favorisent l'apparition de l'événement spécifié. En effet, un nombre multiple de 5 a la forme 5k, où k est un nombre naturel, et , d'où . Ainsi,
, où A - l'événement « page » a un numéro de séquence qui est un multiple de 5".

Exemple 10. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir un total de 7 ou 8 ?

Solution. Notons les événements : A - « 7 points sont lancés », B – « 8 points sont lancés ». L'événement A est favorisé par 6 résultats élémentaires : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), et l'événement B est favorisé par 5 résultats : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2). Tous les résultats élémentaires également possibles sont n = 6 2 = 36. Par conséquent, Et .

Ainsi, P(A)>P(B), c'est-à-dire qu'obtenir un total de 7 points est un événement plus probable que d'obtenir un total de 8 points.

Tâches

1. Un nombre naturel n’excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 ?
2. Dans l'urne un rouge et b boules bleues, identiques en taille et en poids. Quelle est la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans cette urne soit bleue ?
3. Un nombre n'excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un diviseur de 30 ?
4. Dans l'urne UN bleu et b boules rouges, identiques en taille et en poids. Une boule est retirée de cette urne et mise de côté. Cette balle s'est avérée être rouge. Après cela, une autre boule est tirée de l'urne. Trouvez la probabilité que la deuxième boule soit également rouge.
5. Un nombre national ne dépassant pas 50 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
6. Trois dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 9 ou 10 points ?
7. Trois dés sont lancés et la somme des points obtenus est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 11 (événement A) ou de 12 points (événement B) ?

Réponses

1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilité d'obtenir 9 points au total ; p 2 = 27/216 - probabilité d'obtenir 10 points au total ; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Questions

1. Quelle est la probabilité d’un événement appelé ?
2. Quelle est la probabilité d’un événement fiable ?
3. Quelle est la probabilité qu’un événement impossible se produise ?
4. Quelles sont les limites de la probabilité d’un événement aléatoire ?
5. Quelles sont les limites de la probabilité de tout événement ?
6. Quelle définition de la probabilité est dite classique ?

Mis à jour dans pot ouvert Problèmes d'examen d'État unifié en mathématiques (mathege.ru), dont la solution repose sur une seule formule, qui est définition classique probabilités.

La façon la plus simple de comprendre la formule consiste à utiliser des exemples.
Exemple 1. Il y a 9 boules rouges et 3 boules bleues dans le panier. Les boules ne diffèrent que par la couleur. On en sort un au hasard (sans regarder). Quelle est la probabilité que la boule ainsi choisie soit bleue ?

Commentaire. Dans les problèmes de théorie des probabilités, quelque chose se produit (dans ce cas, notre action de retirer la balle) qui peut avoir un résultat différent – ​​un résultat. Il convient de noter que le résultat peut être envisagé de différentes manières. "Nous avons sorti une sorte de balle" est aussi un résultat. "Nous avons sorti la balle bleue" - le résultat. "Nous avons retiré exactement cette balle parmi toutes les balles possibles" - cette vision la moins généralisée du résultat est appelée un résultat élémentaire. Ce sont les résultats élémentaires qui sont pris en compte dans la formule de calcul de la probabilité.

Solution. Calculons maintenant la probabilité de choisir la boule bleue.
Événement A : « la balle sélectionnée s'est avérée bleue »
Nombre total de tous les résultats possibles : 9+3=12 (le nombre de toutes les boules que nous pourrions tirer)
Nombre de résultats favorables à l'événement A : 3 (le nombre de ces résultats dans lesquels l'événement A s'est produit - c'est-à-dire le nombre de boules bleues)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Réponse : 0,25

Pour le même problème, calculons la probabilité de choisir une boule rouge.
Le nombre total d'issues possibles restera le même, 12. Nombre d'issues favorables : 9. Probabilité recherchée : 9/12=3/4=0,75

La probabilité de tout événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Parfois dans discours de tous les jours(mais pas dans la théorie des probabilités !) la probabilité des événements est estimée en pourcentage. La transition entre les scores en mathématiques et en conversation s'effectue en multipliant (ou en divisant) par 100 %.
Donc,
De plus, la probabilité est nulle pour des événements qui ne peuvent pas se produire – c'est incroyable. Par exemple, dans notre exemple, ce serait la probabilité de tirer une balle verte du panier. (Le nombre de résultats favorables est 0, P(A)=0/12=0, s'il est calculé à l'aide de la formule)
La probabilité 1 comporte des événements dont la réalisation est absolument certaine, sans options. Par exemple, la probabilité que « la balle sélectionnée soit rouge ou bleue » relève de notre tâche. (Nombre de résultats favorables : 12, P(A)=12/12=1)

Nous avons examiné exemple classique, illustrant la définition de la probabilité. Tous tâches similaires Les examens d'État unifiés en théorie des probabilités sont résolus à l'aide de cette formule.
À la place des boules rouges et bleues, il peut y avoir des pommes et des poires, des garçons et des filles, des billets appris et non appris, des billets contenant ou non une question sur un sujet (prototypes), des sacs ou des pompes de jardin défectueux et de haute qualité (prototypes). ,) - le principe reste le même.

Ils diffèrent légèrement dans la formulation du problème théorique probabilité de l'examen d'État unifié, où vous devez calculer la probabilité qu'un événement se produise un jour spécifique. ( , ) Comme dans les problèmes précédents, vous devez déterminer quel est le résultat élémentaire, puis appliquer la même formule.

Exemple 2. La conférence dure trois jours. Le premier et le deuxième jour, il y a 15 intervenants chacun, le troisième jour - 20. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. tombe le troisième jour si l'ordre des rapports est déterminé par tirage au sort ?

Quel est le résultat élémentaire ici ? – Assigner le rapport d’un professeur parmi tous les possibles numéros de série pour une représentation. 15+15+20=50 personnes participent au tirage au sort. Ainsi, le rapport du professeur M. pourra recevoir l'un des 50 numéros. Cela signifie qu'il n'y a que 50 résultats élémentaires.
Quelles sont les issues favorables ? - Celles dans lesquelles il s'avère que le professeur interviendra le troisième jour. Autrement dit, les 20 derniers chiffres.
D'après la formule, probabilité P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Réponse : 0,4

Le tirage au sort représente ici l'établissement d'une correspondance aléatoire entre des personnes et des lieux ordonnés. Dans l'exemple 2, l'établissement de la correspondance a été envisagé du point de vue lequel des lieux pouvait être pris personne spécifique. Vous pouvez aborder la même situation de l'autre côté : laquelle des personnes avec quelle probabilité pourrait se rendre à un endroit précis (prototypes , , , ) :

Exemple 3. Le tirage au sort comprend 5 Allemands, 8 Français et 3 Estoniens. Quelle est la probabilité que le premier (/second/septième/dernier – peu importe) soit un Français.

Nombre de résultats élémentaires – nombre total personnes possibles, qui pourrait, par tirage au sort, arriver à cet endroit. 5+8+3=16 personnes.
Résultats favorables - Français. 8 personnes.
Probabilité requise : 8/16=1/2=0,5
Réponse : 0,5

Le prototype est légèrement différent. Il y a encore des problèmes avec les pièces () et dés(), un peu plus créatif. La solution à ces problèmes se trouve sur les pages des prototypes.

Voici quelques exemples de lancer une pièce ou un dé.

Exemple 4. Quand on lance une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d’arriver sur face ?
Il y a 2 résultats : pile ou face. (on pense que la pièce n’atteint jamais sur sa tranche) Un résultat favorable est pile, 1.
Probabilité 1/2=0,5
Réponse : 0,5.

Exemple 5. Et si on jetait une pièce deux fois ? Quelle est la probabilité que cela tombe face les deux fois ?
L'essentiel est de déterminer quels résultats élémentaires nous prendrons en compte lorsque nous lancerons deux pièces. Après avoir lancé deux pièces, l’un des résultats suivants peut se produire :
1) PP – les deux fois, c’est tombé sur face
2) PO – première fois face, deuxième fois face
3) OP – pile la première fois, face la deuxième fois
4) OO – des têtes sont levées les deux fois
Il n'y a pas d'autres options. Cela signifie qu’il y a 4 résultats élémentaires. Seul le premier, 1, est favorable.
Probabilité : 1/4=0,25
Réponse : 0,25

Quelle est la probabilité que deux tirages à pile ou face aboutissent à pile ?
Le nombre de résultats élémentaires est le même, 4. Les résultats favorables sont le deuxième et le troisième, 2.
Probabilité d'obtenir une queue : 2/4=0,5

Dans de tels problèmes, une autre formule peut être utile.
Si lors d'un tirage au sort options possibles nous avons 2 résultats, alors pour deux lancers les résultats seront 2 2 = 2 2 = 4 (comme dans l'exemple 5), pour trois lancers 2 2 2 = 2 3 = 8, pour quatre : 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... pour N lancers, les résultats possibles seront 2·2·...·2=2 N .

Ainsi, vous pouvez trouver la probabilité d’obtenir 5 faces sur 5 lancers de pièces.
Nombre total d'objectifs élémentaires : 2 5 =32.
Résultats favorables : 1. (RRRRRR – c'est face aux 5 fois)
Probabilité : 1/32=0,03125

Il en va de même pour les dés. Avec un lancer, il y a 6 résultats possibles Donc, pour deux lancers : 6 6 = 36, pour trois 6 6 6 = 216, etc.

Exemple 6. Nous jetons les dés. Quelle est la probabilité qu’un nombre pair soit obtenu ?

Résultats totaux : 6, selon le nombre de côtés.
Favorable : 3 résultats. (2, 4, 6)
Probabilité : 3/6=0,5

Exemple 7. On lance deux dés. Quelle est la probabilité que le total soit de 10 ? (arrondir au centième près)

Pour un dé, il y a 6 résultats possibles. Cela signifie que pour deux, selon la règle ci-dessus, 6·6=36.
Quels résultats seront favorables pour que le total obtienne 10 ?
10 doit être décomposé en la somme de deux nombres de 1 à 6. Cela peut se faire de deux manières : 10=6+4 et 10=5+5. Cela signifie que les options suivantes sont possibles pour les cubes :
(6 sur le premier et 4 sur le deuxième)
(4 sur le premier et 6 sur le deuxième)
(5 sur le premier et 5 sur le deuxième)
Au total, 3 options. Probabilité requise : 3/36=1/12=0,08
Réponse : 0,08

D’autres types de problèmes B6 seront abordés dans un prochain article Comment résoudre.

Réponses à travail d'essai selon la théorie des probabilités aidera les étudiants de première année qui étudient les disciplines mathématiques. Les missions couvrent beaucoup matériel théorique, et la justification de leur décision sera utile à chaque étudiant.

Problème 1. Un cube dont tous les bords sont peints est découpé en 1000 cubes de même taille. Déterminer la probabilité qu'un cube tiré au hasard ait :

• a) un bord peint ;
• b) deux faces ombrées.

Calculs : Si le cube est découpé en cubes même taille alors toutes les faces seront divisées en 100 carrés. (Approximativement comme sur la photo)
De plus, selon la condition, le cube doit avoir un bord ombré - cela signifie que les cubes doivent appartenir à surface extérieure mais ne vous allongez pas sur les bords du cube (2 surfaces ombrées) ni sur les coins - ils ont trois surfaces ombrées.
La quantité requise est donc égale au produit de 6 faces par le nombre de cubes dans un carré de taille 8*8.
6*8*8=384 – cubes avec 1 surface peinte.
La probabilité est égale au nombre d'événements favorables sur leur nombre total P=384/1000=0,384.
b) Deux faces ombrées ont des cubes le long des bords sans les sommets du cube eux-mêmes. Il y aura 8 cubes de ce type sur un bord. Il y a un total de 12 arêtes dans le cube, donc les deux faces ombrées ont
8*12=96 cubes.
Et la probabilité de les retirer parmi les 1000 est égale
P=96/1000=0,096.
Cette tâche est résolue et nous passons à la suivante.

Tâche 2. Les lettres A, A, A, N, N, C sont écrites sur des cartes identiques. Quelle est la probabilité qu’en plaçant les cartes au hasard dans une rangée, on obtienne le mot ANANAS ?
Calculs : Il faut toujours raisonner à partir de ce que l’on sait. Étant donné 3 lettres A, 2-H et 1 - C, il y en a 6 au total. Commençons par choisir les lettres pour le mot « ananas ». La première lettre est A, que l'on peut choisir de 3 manières sur 6, car il y a 3 lettres A parmi les 6 connues. Par conséquent, la probabilité de tirer A en premier est
P1 =3/6=1/2.
La deuxième lettre est H, mais il ne faut pas oublier qu'après avoir retiré A, il reste 5 lettres parmi lesquelles choisir. Par conséquent, la probabilité de tirer le numéro 2 H est égale à
P2 =2/5.
Suivant Une probabilité de tirer parmi les 4 qui restent
P3 =2/4.
Ensuite, H peut être extrait de la probabilité
P4 =1/3.
Plus on se rapproche de la fin plus probable, et on peut déjà extraire A avec
P5 =1/2.
Après cela, il ne reste qu'une seule carte C, donc la probabilité de la retirer est de 100 pour cent ou
P6 =1.
La probabilité de former le mot ANANAS est égale au produit des probabilités
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
C’est sur cela que reposent des problèmes similaires en théorie des probabilités.

Tâche 3. Le marchandiseur sélectionne des échantillons au hasard parmi un lot de produits. La probabilité qu'un produit pris au hasard soit de la plus haute qualité est de 0,8. Trouvez la probabilité que parmi 3 produits sélectionnés, il y ait deux produits de la plus haute qualité ?
Calculs : Cet exemple sur l'application de la formule de Bernoulli.
p = 0,8 ; q=1-0,8=0,2.
Nous calculons la probabilité en utilisant la formule

Si vous ne l’expliquez pas dans le langage des formules, alors vous devez faire des combinaisons de trois événements, dont deux sont favorables et un ne l’est pas. Cela peut s'écrire comme la somme des produits

Les deux options sont équivalentes, seule la première peut être appliquée à toutes les tâches, et la seconde à celles similaires à celle considérée.

Problème 4. Sur cinq tireurs, deux ont touché la cible avec une probabilité de 0,6 et trois avec une probabilité de 0,4. Qu'est-ce qui est le plus probable : un tireur choisi au hasard atteint la cible ou non ?
Calculs : Par formule pleine probabilité Nous déterminons la probabilité que le tireur touche.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabilité inférieure à P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
La probabilité de ne pas toucher est

ou
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Problème 5. Sur 20 étudiants venus à l'examen, 10 étaient parfaitement préparés (ils connaissaient toutes les questions), 7 étaient bien préparés (ils connaissaient 35 questions chacun) et 3 étaient mal préparés (10 questions). Le programme contient 40 questions. Un étudiant appelé au hasard a répondu à trois questions sur le ticket. Quelle est la probabilité qu'il soit prêt à

• a) excellent ;
• b) mauvais.

Calculs : L'essence du problème est que l'étudiant a répondu à trois questions sur le ticket, c'est-à-dire à tout ce qui a été demandé, mais nous allons maintenant calculer quelle est la probabilité de les obtenir.
Trouvons la probabilité que l'élève ait répondu correctement à trois questions. Ce sera le rapport du nombre d'élèves par rapport à l'ensemble du groupe multiplié par la probabilité de tirer des tickets qu'ils connaissent parmi tous les possibles.

Déterminons maintenant la probabilité qu’un élève appartienne à un groupe « excellent » préparé. Cela équivaut à la proportion du premier terme de la probabilité préliminaire par rapport à la probabilité elle-même.

La probabilité qu’un élève appartienne à un groupe mal préparé est assez faible et égale à 0,00216.

Cette tâche est terminée. Comprenez-le bien et rappelez-vous comment le calculer, car il est courant dans les quiz et les tests.

Problème 6. Une pièce est lancée 5 fois. Trouver la probabilité que les armoiries apparaissent moins de 3 fois ?
Calculs : La probabilité de dessiner des armoiries ou des queues est équivalente et égale à 0,5. Moins de 3 fois signifie que les armoiries peuvent apparaître 0, 1 ou 2 fois. « Ou » s'exprime toujours en probabilité dans les opérations par addition.
On trouve les probabilités en utilisant la formule de Bernoulli

Puisque p=q=0,5, alors la probabilité est

La probabilité est de 0,5.

Problème 7. Lors de l'emboutissage de bornes métalliques, on obtient en moyenne 90 % de bornes standards. Trouvez la probabilité que parmi 900 terminaux, au moins 790 et au plus 820 terminaux soient standards.

Calculs : Les calculs doivent être effectués

Remarques importantes !
1. Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Comment faire cela dans votre navigateur est écrit ici :
2. Avant de commencer à lire l'article, faites attention à notre navigateur pour connaître les ressources les plus utiles pour

Qu'est-ce que la probabilité ?

La première fois que j’ai rencontré ce terme, je n’aurais pas compris de quoi il s’agissait. Je vais donc essayer de l'expliquer clairement.

La probabilité est la chance que l'événement souhaité se produise.

Par exemple, vous avez décidé d’aller chez un ami, vous vous souvenez de l’entrée et même de l’étage où il habite. Mais j'ai oublié le numéro et l'emplacement de l'appartement. Et maintenant, vous êtes sur l'escalier et devant vous, vous avez le choix entre des portes.

Quelle est la chance (probabilité) que si vous sonnez à la première porte, votre ami ouvre la porte à votre place ? Il n'y a que des appartements, et un ami n'habite que derrière l'un d'eux. A chances égales, nous pouvons choisir n’importe quelle porte.

Mais quelle est cette chance ?

La porte, la bonne porte. Probabilité de deviner en sonnant à la première sonnette : . Autrement dit, une fois sur trois, vous devinerez avec précision.

Nous voulons savoir, après avoir appelé une fois, à quelle fréquence devinerons-nous la porte ? Examinons toutes les options :

1. Tu as appelé 1er porte
2. Tu as appelé 2ème porte
3. Tu as appelé 3ème porte

Examinons maintenant toutes les options où un ami pourrait se trouver :

UN. Pour 1er porte
b. Pour 2ème porte
V. Pour 3ème porte

Comparons toutes les options sous forme de tableau. Une coche indique les options lorsque votre choix coïncide avec l'emplacement d'un ami, une croix - lorsqu'il ne coïncide pas.

Comment vois-tu tout Peut être choix l'emplacement de votre ami et votre choix de la porte à sonner.

UN issue favorable à tous . Autrement dit, vous devinerez une fois en sonnant une fois à la porte, c'est-à-dire .

Il s’agit de la probabilité – le rapport entre une issue favorable (lorsque votre choix coïncide avec l’emplacement de votre ami) et le nombre d’événements possibles.

La définition est la formule. La probabilité est généralement notée p, donc :

Il n'est pas très pratique d'écrire une telle formule, nous prendrons donc pour - le nombre d'issues favorables, et pour - le nombre total d'issues.

La probabilité peut s'écrire en pourcentage ; pour ce faire, vous devez multiplier le résultat obtenu par :

Le mot « résultats » a probablement attiré votre attention. Puisque les mathématiciens appellent diverses actions (dans notre cas, une telle action est une sonnette) des expériences, le résultat de telles expériences est généralement appelé le résultat.

Eh bien, il y a des résultats favorables et défavorables.

Revenons à notre exemple. Disons que nous avons sonné à l'une des portes, mais qu'un étranger nous l'a ouverte. Nous n'avons pas bien deviné. Quelle est la probabilité que si nous sonnons à l’une des portes restantes, notre ami nous l’ouvre ?

Si vous pensiez cela, alors c'est une erreur. Voyons cela.

Il nous reste deux portes. Nous avons donc des étapes possibles :

1) Appeler 1er porte
2) Appeler 2ème porte

L’ami, malgré tout cela, est définitivement derrière l’un d’eux (après tout, il n’était pas derrière celui que nous avons appelé) :

a) Ami pour 1er porte
b) Ami pour 2ème porte

Dessinons à nouveau le tableau :

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options favorables. Autrement dit, la probabilité est égale.

Pourquoi pas?

La situation que nous avons considérée est exemple d'événements dépendants. Le premier événement est la première sonnette, le deuxième événement est la deuxième sonnette.

Et ils sont appelés dépendants car ils influencent les actions suivantes. Après tout, si après la première sonnerie, un ami répondait à la sonnette, quelle serait la probabilité qu'il se trouve derrière l'un des deux autres ? Droite, .

Mais s’il y a des événements dépendants, alors il doit aussi y en avoir. indépendant? C'est vrai, cela arrive.

Un exemple classique est de lancer une pièce de monnaie.

1. Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face, par exemple ? C'est vrai - car il y a toutes les options (que ce soit face ou face, nous négligerons la probabilité que la pièce atterrisse sur sa tranche), mais cela ne convient qu'à nous.
2. Mais c'est tombé sur face. D'accord, relançons-le. Quelle est la probabilité d’obtenir face maintenant ? Rien n'a changé, tout est pareil. Combien d'options ? Deux. De combien sommes-nous satisfaits ? Un.

Et laissez-le apparaître face au moins mille fois de suite. La probabilité d’obtenir face d’un coup sera la même. Il existe toujours des options, et des plus avantageuses.

Il est facile de distinguer les événements dépendants des événements indépendants :

1. Si l’expérience est réalisée une fois (ils lancent une pièce de monnaie une fois, sonnent une fois à la porte, etc.), alors les événements sont toujours indépendants.
2. Si une expérience est réalisée plusieurs fois (une pièce est lancée une fois, la sonnette retentit plusieurs fois), alors le premier événement est toujours indépendant. Et puis, si le nombre d’événements favorables ou le nombre de résultats change, alors les événements sont dépendants, et sinon, ils sont indépendants.

Entraînons-nous un peu à déterminer la probabilité.

Exemple 1.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face deux fois de suite ?

Solution:

Considérons toutes les options possibles :

1. Aigle-aigle
2. Pile-queue
3. Queues-Têtes
4. Queues-queues

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options. Parmi ceux-ci, nous ne sommes que satisfaits. C'est-à-dire la probabilité :

Si la condition vous demande simplement de trouver la probabilité, alors la réponse doit être donnée sous la forme d’une fraction décimale. S'il était précisé que la réponse doit être donnée sous forme de pourcentage, nous multiplierions par.

Répondre:

Exemple 2.

Dans une boîte de chocolats, tous les chocolats sont conditionnés dans le même emballage. Cependant, des bonbons - aux noix, au cognac, aux cerises, au caramel et au nougat.

Quelle est la probabilité de prendre un bonbon et d’obtenir un bonbon aux noix ? Donnez votre réponse en pourcentage.

Solution:

Combien y a-t-il de résultats possibles ? .

Autrement dit, si vous prenez un bonbon, ce sera l'un de ceux disponibles dans la boîte.

Combien d’issues favorables ?

Car la boîte ne contient que des chocolats aux noix.

Répondre:

Exemple 3.

Dans une boîte de ballons. dont blancs et noirs.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
2. Nous avons ajouté d'autres boules noires à la boîte. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule blanche ?

Solution:

a) Il n'y a que des balles dans la boîte. Parmi eux sont blancs.

La probabilité est :

b) Il y a maintenant plus de balles dans la boîte. Et il reste autant de Blancs.

Répondre:

Probabilité totale

Disons qu'il y a des boules rouges et vertes dans une boîte. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Boule verte ? Boule rouge ou verte ?

Probabilité de tirer une boule rouge

Boule verte :

Boule rouge ou verte :

Comme vous pouvez le constater, la somme de tous les événements possibles est égale à (). Comprendre ce point vous aidera à résoudre de nombreux problèmes.

Exemple 4.

Il y a des marqueurs dans la boîte : vert, rouge, bleu, jaune, noir.

Quelle est la probabilité de ne pas tirer de marqueur rouge ?

Solution:

Comptons le nombre des issues favorables.

PAS un marqueur rouge, cela signifie vert, bleu, jaune ou noir.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

Vous savez déjà ce que sont les événements indépendants.

Que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver la probabilité que deux événements indépendants (ou plus) se produisent consécutivement ?

Disons que nous voulons savoir quelle est la probabilité que si nous lançons une pièce de monnaie une fois, nous voyions face deux fois ?

Nous avons déjà considéré - .

Et si on jetait une pièce de monnaie une fois ? Quelle est la probabilité de voir un aigle deux fois de suite ?

Total des options possibles :

1. Aigle-aigle-aigle
2. Pile-pile-face
3. Pile-face-tête
4. Pile-pile-pile
5. Face-face-face
6. Pile-pile-pile
7. Queues-queues-têtes
8. Queues-queues-queues

Je ne sais pas pour vous, mais j'ai fait des erreurs à plusieurs reprises en dressant cette liste. Ouah! Et seule l'option (la première) nous convient.

Pour 5 lancers, vous pouvez faire vous-même une liste des résultats possibles. Mais les mathématiciens ne sont pas aussi travailleurs que vous.

Par conséquent, ils ont d'abord remarqué puis prouvé que la probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants diminue à chaque fois de la probabilité d'un événement.

Autrement dit,

Regardons l'exemple de la même pièce malheureuse.

Probabilité de se prendre la tête dans un défi ? . Maintenant, on lance la pièce une fois.

Quelle est la probabilité d’obtenir face à face ?

Cette règle ne fonctionne pas seulement si l’on nous demande de trouver la probabilité qu’un même événement se produise plusieurs fois de suite.

Si nous voulions retrouver la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES pour des lancers consécutifs, nous ferions de même.

La probabilité d'obtenir pile est de face - .

Probabilité d’obtenir la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES-QUEUES :

Vous pouvez le vérifier vous-même en créant un tableau.

La règle pour ajouter les probabilités d'événements incompatibles.

Alors arrête ! Nouvelle définition.

Voyons cela. Prenons notre pièce usée et lançons-la une fois.
Options possibles :

1. Aigle-aigle-aigle
2. Pile-pile-face
3. Pile-face-tête
4. Pile-pile-pile
5. Face-face-face
6. Pile-pile-pile
7. Queues-queues-têtes
8. Queues-queues-queues

Ainsi, les événements incompatibles sont une certaine séquence d'événements donnée. - ce sont des événements incompatibles.

Si nous voulons déterminer quelle est la probabilité de deux (ou plusieurs) événements incompatibles, alors nous ajoutons les probabilités de ces événements.

Vous devez comprendre que pile ou face sont deux événements indépendants.

Si nous voulons déterminer la probabilité qu’une séquence (ou toute autre) se produise, alors nous utilisons la règle de multiplication des probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer et face au deuxième et au troisième lancer ?

Mais si nous voulons savoir quelle est la probabilité d’obtenir une séquence parmi plusieurs, par exemple lorsque face apparaît exactement une fois, c’est-à-dire options et, ensuite, nous devons additionner les probabilités de ces séquences.

Toutes les options nous conviennent.

On peut obtenir la même chose en additionnant les probabilités d’occurrence de chaque séquence :

Ainsi, nous ajoutons des probabilités lorsque nous voulons déterminer la probabilité de certaines séquences d’événements incohérentes.

Il existe une excellente règle pour vous aider à éviter de confondre quand multiplier et quand additionner :

Revenons à l'exemple où nous avons lancé une pièce de monnaie une fois et avons voulu connaître la probabilité de voir face une fois.
Que devrait-il se passer ?

Devrait tomber :
(pile ET pile ET pile) OU (pile ET pile ET pile) OU (face ET pile ET pile).
Voici comment cela se passe :

Regardons quelques exemples.

Exemple 5.

Il y a des crayons dans la boîte. rouge, vert, orange et jaune et noir. Quelle est la probabilité de dessiner des crayons rouges ou verts ?

Solution:

Exemple 6.

Si un dé est lancé deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir un total de 8 ?

Solution.

Comment pouvons-nous obtenir des points ?

(et) ou (et) ou (et) ou (et) ou (et).

La probabilité d’obtenir un (n’importe quel) visage est de .

On calcule la probabilité :

Entraînement.

Je pense que vous comprenez maintenant quand vous devez calculer des probabilités, quand les additionner et quand les multiplier. N'est-ce pas ? Pratiquons un peu.

Tâches :

Prenons un jeu de cartes contenant des cartes comprenant des piques, des cœurs, 13 trèfles et 13 carreaux. De à l'As de chaque couleur.

1. Quelle est la probabilité de tirer des trèfles d'affilée (on remet la première carte retirée dans le paquet et on la mélange) ?
2. Quelle est la probabilité de tirer une carte noire (pique ou trèfle) ?
3. Quelle est la probabilité de tirer une image (valet, dame, roi ou as) ?
4. Quelle est la probabilité de tirer deux images d'affilée (on retire la première carte tirée du jeu) ?
5. Quelle est la probabilité, en prenant deux cartes, d'obtenir une combinaison (valet, dame ou roi) et un as. L'ordre dans lequel les cartes sont tirées n'a pas d'importance.

Réponses :

Si vous étiez capable de résoudre tous les problèmes vous-même, alors vous êtes génial ! Vous allez maintenant résoudre les problèmes de théorie des probabilités lors de l'examen d'État unifié comme des fous !

THÉORIE DES PROBABILITÉS. NIVEAU MOYEN

Regardons un exemple. Disons que nous jetons un dé. De quel genre d'os s'agit-il, le savez-vous ? C'est ce qu'on appelle un cube avec des chiffres sur ses faces. Combien de visages, autant de chiffres : de à combien ? À.

Alors on lance les dés et on veut qu'il arrive ou. Et nous comprenons.

Dans la théorie des probabilités, ils disent ce qui s'est passé événement propice(à ne pas confondre avec prospère).

Si cela se produisait, l’événement serait également favorable. Au total, seuls deux événements favorables peuvent survenir.

Combien sont défavorables ? Puisqu'il existe un total d'événements possibles, cela signifie que les événements défavorables sont des événements (c'est-à-dire si ou tombe).

Définition:

La probabilité est le rapport entre le nombre d'événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.. Autrement dit, la probabilité montre quelle proportion de tous les événements possibles est favorable.

Ils désignent la probabilité par une lettre latine (apparemment du mot anglais probabilité - probabilité).

Il est d'usage de mesurer la probabilité en pourcentage (voir sujet,). Pour ce faire, la valeur de probabilité doit être multipliée par. Dans l’exemple des dés, probabilité.

Et en pourcentage : .

Exemples (décidez vous-même) :

1. Quelle est la probabilité d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ? Quelle est la probabilité que des têtes atterrissent ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair en lançant un dé ? Lequel est étrange ?
3. Dans une boîte de crayons simples, bleus et rouges. Nous dessinons un crayon au hasard. Quelle est la probabilité d’en obtenir un simple ?

Solutions :

1. Combien y a-t-il d’options ? Pile et queue – juste deux. Combien d’entre eux sont favorables ? Un seul est un aigle. Donc la probabilité

   C'est la même chose avec les queues : .

2. Options totales : (combien de côtés le cube a, autant d'options différentes). Les favorables : (ce sont tous des nombres pairs :).
   Probabilité. Bien sûr, c’est la même chose avec les nombres impairs.
3. Total: . Favorable : . Probabilité : .

Probabilité totale

Tous les crayons de la boîte sont verts. Quelle est la probabilité de dessiner un crayon rouge ? Il n'y a pas de hasard : probabilité (après tout, événements favorables -).

Un tel événement est dit impossible.

Quelle est la probabilité de dessiner un crayon vert ? Il y a exactement le même nombre d’événements favorables que le nombre total d’événements (tous les événements sont favorables). La probabilité est donc égale à ou.

Un tel événement est dit fiable.

Si une boîte contient des crayons verts et rouges, quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ? Encore. Notons ceci : la probabilité de retirer le vert est égale, et le rouge est égale.

En somme, ces probabilités sont exactement égales. C'est, la somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à ou.

Exemple:

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de ne pas tirer vert ?

Solution:

Nous nous souvenons que toutes les probabilités s’additionnent. Et la probabilité de devenir vert est égale. Cela signifie que la probabilité de ne pas tirer du vert est égale.

Rappelez-vous cette astuce : La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Événements indépendants et règle de multiplication

Vous lancez une pièce une fois et vous voulez qu'elle tombe face les deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise ?

Passons en revue toutes les options possibles et déterminons combien il y en a :

Pile-Tête, Pile-Tête, Pile-Pile, Pile-Tail. Quels autres ?

Options totales. Parmi ceux-ci, un seul nous convient : Aigle-Aigle. Au total, la probabilité est égale.

Bien. Maintenant, tirons à pile ou face une fois. Faites le calcul vous-même. Est-ce que ça a marché ? (répondre).

Vous avez peut-être remarqué qu'avec l'ajout de chaque lancer suivant, la probabilité diminue de moitié. La règle générale s'appelle règle de multiplication:

Les probabilités d'événements indépendants changent.

Que sont les événements indépendants ? Tout est logique : ce sont ceux qui ne dépendent pas les uns des autres. Par exemple, lorsque l'on lance une pièce plusieurs fois, à chaque fois un nouveau lancer est effectué dont le résultat ne dépend pas de tous les lancers précédents. On peut tout aussi bien lancer deux pièces différentes en même temps.

Plus d'exemples :

1. Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité de l’obtenir les deux fois ?
2. La pièce est lancée une fois. Quelle est la probabilité que cela tombe face la première fois, puis face deux fois ?
3. Le joueur lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme de leurs nombres soit égale ?

Réponses :

1. Les événements sont indépendants, ce qui signifie que la règle de multiplication fonctionne : .
2. La probabilité de tomber sur face est égale. La probabilité d’obtenir pile est la même. Multiplier:
3. 12 ne peut être obtenu que si deux -ki sont lancés : .

Les événements incompatibles et la règle d'addition

Les événements qui se complètent au point d’être pleinement probables sont appelés incompatibles. Comme leur nom l’indique, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, si nous lançons une pièce, elle peut tomber sur pile ou sur face.

Exemple.

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ?

Solution .

La probabilité de dessiner un crayon vert est égale. Rouge - .

Événements favorables en tout : vert + rouge. Cela signifie que la probabilité de tirer du vert ou du rouge est égale.

La même probabilité peut être représentée sous cette forme : .

Voici la règle d'addition : les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent.

Problèmes de type mixte

Exemple.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité que les résultats des lancers soient différents ?

Solution .

Cela signifie que si le premier résultat est face, le second doit être face, et vice versa. Il s’avère qu’il existe deux paires d’événements indépendants et que ces paires sont incompatibles entre elles. Comment ne pas se tromper sur où multiplier et où ajouter.

Il existe une règle simple pour de telles situations. Essayez de décrire ce qui va se passer en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU ». Par exemple, dans ce cas :

Il devrait apparaître (pile et face) ou (pile et face).

Là où il y a une conjonction « et », il y aura multiplication, et là où il y a « ou », il y aura addition :

Essayez-le vous-même :

1. Quelle est la probabilité que si une pièce est lancée deux fois, elle tombe du même côté à chaque fois ?
2. Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un total de points ?

Solutions :

Autre exemple :

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité que des têtes apparaissent au moins une fois ?

Solution:

THÉORIE DES PROBABILITÉS. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La probabilité est le rapport entre le nombre d’événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si la survenance de l’un ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise.

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

La probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants est égale au produit des probabilités de chaque événement

Événements incompatibles

Les événements incompatibles sont ceux qui ne peuvent pas se produire simultanément à la suite d'une expérience. Un certain nombre d'événements incompatibles forment un groupe complet d'événements.

Les probabilités d’événements incompatibles s’additionnent.

Après avoir décrit ce qui devrait se passer, en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU », au lieu de « ET » nous mettons un signe de multiplication, et au lieu de « OU » nous mettons un signe d'addition.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

GAGNEZ VOTRE MAIN EN RÉSOUDANT DES PROBLÈMES SUR CE SUJET.

Aucune théorie ne vous sera demandée lors de l'examen.

Vous aurez besoin résoudre des problèmes contre le temps.

Et si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou vous n’aurez tout simplement pas le temps.

C'est comme dans le sport : il faut répéter plusieurs fois pour gagner avec certitude.

Retrouvez la collection où vous voulez, nécessairement avec des solutions, une analyse détaillée et décidez, décidez, décidez !

Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.

Afin de mieux utiliser nos tâches, vous devez contribuer à prolonger la durée de vie du manuel YouClever que vous lisez actuellement.

Comment? Il existe deux options :

1. Débloquez toutes les tâches cachées dans cet article -
2. Débloquez l'accès à toutes les tâches cachées dans les 99 articles du manuel - Acheter un manuel - 499 RUR

Oui, nous avons 99 articles de ce type dans notre manuel et l'accès à toutes les tâches et à tous les textes cachés qu'elles contiennent peut être ouvert immédiatement.

L'accès à toutes les tâches cachées est assuré pendant TOUTE la vie du site.

Et en conclusion...

Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.

« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.

Trouvez les problèmes et résolvez-les !

Théorie des probabilités et statistiques mathématiques

1. Le sujet de la théorie des probabilités et son importance pour résoudre des problèmes économiques et techniques. La probabilité et sa définition

Pendant longtemps, l’humanité a étudié et utilisé uniquement des modèles dits déterministes pour ses activités. Cependant, puisque des événements aléatoires font irruption dans nos vies sans notre désir et nous entourent constamment, et de plus, puisque presque tous les phénomènes naturels sont de nature aléatoire, il est nécessaire d'apprendre à les étudier et de développer des méthodes d'étude à cet effet.

Selon la forme de manifestation des relations causales, les lois de la nature et de la société sont divisées en deux classes : déterministes (prédéterminées) et statistiques.

Par exemple, sur la base des lois de la mécanique céleste, basées sur les positions actuellement connues des planètes du système solaire, leur position à tout moment donné peut être prédite presque sans ambiguïté, y compris les éclipses solaires et lunaires peuvent être prédites avec une grande précision. Ceci est un exemple de lois déterministes.

Cependant, tous les phénomènes ne peuvent pas être prédits avec précision. Ainsi, les changements climatiques à long terme et les changements météorologiques à court terme ne sont pas des objets pour une prévision réussie, c'est-à-dire de nombreuses lois et modèles s’inscrivent beaucoup moins dans un cadre déterministe. Ces types de lois sont appelés lois statistiques. Selon ces lois, l'état futur du système n'est pas déterminé sans ambiguïté, mais seulement avec une certaine probabilité.

La théorie des probabilités, comme d’autres sciences mathématiques, a été relancée et développée à partir des besoins de la pratique. Elle étudie les schémas inhérents aux événements aléatoires de masse.

La théorie des probabilités étudie les propriétés d’événements aléatoires de masse qui peuvent se répéter plusieurs fois lorsqu’un certain ensemble de conditions est reproduit. La propriété principale de tout événement aléatoire, quelle que soit sa nature, est la mesure ou la probabilité de son apparition.

Les événements (phénomènes) que nous observons peuvent être divisés en trois types : fiables, impossibles et aléatoires.

Un événement dont la réalisation est certaine est appelé certain. Impossible est un événement dont nous savons qu’il ne se produira pas. Un événement aléatoire est un événement qui peut se produire ou ne pas se produire.

La théorie des probabilités ne se donne pas pour tâche de prédire si un événement particulier se produira ou non, puisqu'il est impossible de prendre en compte l'influence de toutes les causes sur un événement aléatoire. D'autre part, il s'avère qu'un nombre suffisamment important d'événements aléatoires homogènes, quelle que soit leur nature spécifique, sont soumis à certains modèles, à savoir les modèles probabilistes.

Ainsi, le sujet de la théorie des probabilités est l’étude des modèles probabilistes d’événements aléatoires de masse homogène.

Certains problèmes liés aux phénomènes aléatoires de masse ont été tentés d'être résolus à l'aide d'appareils mathématiques appropriés dès le début du XVIIe siècle. En étudiant le déroulement et les résultats de divers jeux de hasard, B. Pascal, P. Fermat et H. Huygens ont posé les bases de la théorie classique des probabilités au milieu du XVIIe siècle. Dans leurs travaux, ils ont implicitement utilisé les concepts de probabilité et d'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Seulement au début du XVIIIe siècle. J. Bernoulli formule la notion de probabilité.

La théorie des probabilités doit d'autres succès à Moivre, Laplace, Gauss, Poisson et d'autres.

Des mathématiciens russes et soviétiques comme P.L. ont apporté une énorme contribution au développement de la théorie des probabilités. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernstein, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov, etc.

Une place particulière dans le développement de la théorie des probabilités appartient à l'école ouzbek, dont les principaux représentants sont les académiciens V.I. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, professeur I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, Sh.A. Khachimov et autres.

Comme nous l'avons déjà noté, les besoins de la pratique, ayant contribué à l'émergence de la théorie des probabilités, ont nourri son développement en tant que science, conduisant à l'émergence d'un nombre croissant de ses branches et sections. La statistique mathématique repose sur la théorie des probabilités dont la tâche est de reconstruire à partir d'un échantillon, avec un certain degré de fiabilité, les caractéristiques inhérentes à la population générale. Des branches scientifiques telles que la théorie des processus aléatoires, la théorie des files d'attente, la théorie de l'information, la théorie de la fiabilité, la modélisation économétrique, etc. ont été séparées de la théorie des probabilités.

Les domaines d'application les plus importants de la théorie des probabilités comprennent les sciences économiques et techniques. Actuellement, il est difficile d'imaginer l'étude des phénomènes économiques et techniques sans modélisation basée sur la théorie des probabilités, sans modèles d'analyse de corrélation et de régression, d'adéquation et de modèles adaptatifs « sensibles ».

Les événements survenant dans les flux de circulation, le degré de fiabilité des composants automobiles, les accidents de voiture sur les routes, diverses situations dans le processus de conception des routes en raison de leur indéterminisme font partie de l'éventail des problèmes étudiés à l'aide des méthodes de la théorie des probabilités.

Les concepts de base de la théorie des probabilités sont l’expérience ou l’expérience et les événements. Nous appelons une expérience les actions réalisées dans certaines conditions et circonstances. Chaque mise en œuvre spécifique d’une expérience est appelée un test.

Tout résultat imaginable d'une expérience est appelé événement élémentaire et est désigné par . Les événements aléatoires sont constitués d'un certain nombre d'événements élémentaires et sont notés A, B, C, D,...

Un ensemble d'événements élémentaires tels que

1) à la suite d'une expérience, l'un des événements élémentaires se produit toujours ;

2) au cours d'un essai, un seul événement élémentaire se produira, appelé espace des événements élémentaires et noté par.

Ainsi, tout événement aléatoire est un sous-ensemble de l’espace des événements élémentaires. Par définition de l'espace des événements élémentaires, un événement fiable peut être désigné par. Un événement impossible est désigné par.

Exemple 1 : Un dé est lancé. L'espace des événements élémentaires correspondant à cette expérience a la forme suivante :

Exemple 2. Que l'urne contienne 2 boules rouges, 3 bleues et 1 blanche, pour un total de 6 boules. L'expérience consiste à tirer au hasard des boules dans une urne. L'espace des événements élémentaires correspondant à cette expérience a la forme suivante :

où les événements élémentaires ont les significations suivantes : - une boule blanche est apparue ; - une boule rouge est apparue ; - une boule bleue est apparue. Considérez les événements suivants :

A - l'apparition d'une boule blanche ;

B -- l'apparition d'une boule rouge ;

C - l'apparition d'une boule bleue ;

D -- l'apparition d'une boule colorée (non blanche).

Nous voyons ici que chacun de ces événements a l'un ou l'autre degré de possibilité : certains sont plus grands, d'autres moins. Évidemment, le degré de possibilité de l’événement B est supérieur à celui de l’événement A ; événements C - que les événements B ; événements D - que événements C. Afin de comparer quantitativement les événements entre eux selon le degré de leur possibilité, il est évidemment nécessaire d'associer à chaque événement un certain nombre, qui est d'autant plus grand que l'événement est possible.

Nous désignons ce nombre par et l'appelons la probabilité de l'événement A. Donnons maintenant la définition de la probabilité.

Que l'espace des événements élémentaires soit un ensemble fini et que ses éléments soient. Nous supposerons qu'il s'agit d'événements élémentaires également possibles, c'est-à-dire chaque événement élémentaire n'a pas plus de chance de se produire que les autres. Comme on le sait, chaque événement aléatoire A est constitué d'événements élémentaires en tant que sous-ensemble. Ces événements élémentaires sont dits favorables à A.

La probabilité de l'événement A est déterminée par la formule

où m est le nombre d'événements élémentaires favorables pour A, n est le nombre de tous les événements élémentaires inclus dans.

Si dans l'exemple 1 A désigne l'événement selon lequel un nombre pair de points sera lancé, alors

Dans l'exemple 2, les probabilités d'événements ont les valeurs suivantes :

Les propriétés suivantes découlent de la définition de la probabilité :

1. La probabilité d’un événement fiable est égale à un.

En effet, si un événement est fiable, alors tous les événements élémentaires le favorisent. Dans ce cas m=n et donc

2. La probabilité d’un événement impossible est nulle.

En effet, si un événement est impossible, alors aucun événement élémentaire ne le favorise. Dans ce cas m=0 et donc

3. La probabilité d’un événement aléatoire est un nombre positif compris entre zéro et un.

En effet, seule une partie du nombre total d’événements élémentaires favorise un événement aléatoire. Dans ce cas, et donc, et donc,

Ainsi, la probabilité de tout événement satisfait aux inégalités

La fréquence relative d'un événement est le rapport entre le nombre d'essais au cours desquels l'événement s'est produit et le nombre total d'essais réellement effectués.

Ainsi, la fréquence relative de l'événement A est déterminée par la formule

où m est le nombre d'occurrences de l'événement, n est le nombre total d'essais.

En comparant les définitions de probabilité et de fréquence relative, nous concluons : la définition de probabilité n’exige pas que les tests soient effectivement réalisés ; la détermination de la fréquence relative suppose que les tests ont été effectivement réalisés.

Exemple 3. Sur 80 pièces identiques sélectionnées au hasard, 3 pièces défectueuses ont été identifiées. La fréquence relative des pièces défectueuses est

Exemple 4. Au cours de l'année, 24 inspections ont été effectuées dans l'une des installations et 19 violations de la loi ont été enregistrées. La fréquence relative des violations de la loi est

Des observations à long terme ont montré que si des expériences sont réalisées dans des conditions identiques, dans chacune desquelles le nombre de tests est assez important, alors la fréquence relative change peu (moins il y en a, plus on effectue de tests), fluctuant autour d'une certaine constante nombre. Il s’est avéré que ce nombre constant représente la probabilité que l’événement se produise.

Ainsi, si la fréquence relative est établie expérimentalement, le nombre résultant peut être considéré comme une valeur de probabilité approximative. C'est la définition statistique de la probabilité.

En conclusion, regardons la définition géométrique de la probabilité.

Si l'espace des événements élémentaires est considéré comme une certaine aire sur un plan ou dans l'espace, et A comme son sous-ensemble, alors la probabilité de l'événement A sera considérée comme le rapport des aires ou volumes de A et, et sera trouvée selon les formules suivantes :

Questions de répétition et de contrôle :

1. En quelles classes les lois de la nature et de la société sont-elles divisées selon la forme de manifestation des relations causales ?

2. En quels types d’événements peut-on diviser ?

3. Quel est le sujet de la théorie des probabilités ?

4. Que savez-vous de l'histoire du développement de la théorie des probabilités ?

5. Quelle est l’importance de la théorie des probabilités pour les problèmes économiques et techniques ?

6. Qu'est-ce qu'une expérience, un test, un événement élémentaire et un événement, comment sont-ils désignés ?

7. Qu'appelle-t-on l'espace des événements élémentaires ?

8. Comment est déterminée la probabilité d’un événement ?

9. Quelles propriétés de probabilité connaissez-vous ?

10. Que savez-vous de la fréquence relative d’un événement ?

11. Quelle est l'essence de la définition statistique de la probabilité ?

12. Quelle est la définition géométrique de la probabilité ?

Biographie et œuvres d'A.N. Kolmogorov

La théorie élémentaire des probabilités est la partie de la théorie des probabilités dans laquelle on doit traiter les probabilités d'un nombre fini d'événements seulement. La théorie des probabilités en tant que discipline mathématique...

Espace vectoriel. Résoudre graphiquement des problèmes de programmation linéaire

Examinons maintenant plusieurs problèmes de programmation linéaire et résolvons-les graphiquement. Problème 1. max Z = 1+ - , . Solution. A noter que les demi-plans définis par le système d'inégalités de ce problème n'ont pas de points communs (Figure 2)