ચાલો વિચાર કરીએ ઝેરનું વિતરણ, ચાલો તેની ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને મોડની ગણતરી કરીએ. MS EXCEL ફંક્શન POISSON.DIST() નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિતરણ કાર્ય અને સંભાવના ઘનતાના આલેખ બનાવીશું. ચાલો વિતરણ પરિમાણનો અંદાજ કાઢીએ, તેના ગાણિતિક અપેક્ષાઅને પ્રમાણભૂત વિચલન.

ચાલો પહેલા તેને સૂકવી દો ઔપચારિક વ્યાખ્યાવિતરણો, પછી અમે પરિસ્થિતિઓના ઉદાહરણો આપીએ છીએ જ્યારે ઝેરનું વિતરણ(અંગ્રેજી) પોઈસનવિતરણ) રેન્ડમ ચલનું વર્ણન કરવા માટે એક પર્યાપ્ત મોડેલ છે.

જો રેન્ડમ ઘટનાઓ આપેલ સમયગાળામાં (અથવા પદાર્થના ચોક્કસ જથ્થામાં) સરેરાશ આવર્તન સાથે થાય છે λ( લેમ્બડા), પછી ઇવેન્ટ્સની સંખ્યા x, સમય આ સમયગાળા દરમિયાન આવી હશે ઝેરનું વિતરણ.

પોઈસન વિતરણની અરજી

ઉદાહરણો જ્યારે ઝેરનું વિતરણએક પર્યાપ્ત મોડેલ છે:

• પર પ્રાપ્ત કોલની સંખ્યા ટેલિફોન એક્સચેન્જચોક્કસ સમયગાળા માટે;
• ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન કિરણોત્સર્ગી સડોમાંથી પસાર થતા કણોની સંખ્યા;
• નિશ્ચિત લંબાઈના ફેબ્રિકના ટુકડામાં ખામીઓની સંખ્યા.

ઝેરનું વિતરણજો નીચેની શરતો પૂરી થાય તો તે પર્યાપ્ત મોડેલ છે:

• ઘટનાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે થાય છે, એટલે કે. અનુગામી ઘટનાની સંભાવના પાછલા એક પર આધારિત નથી;
• સરેરાશ ઘટના દર સ્થિર છે. પરિણામે, ઘટનાની સંભાવના અવલોકન અંતરાલની લંબાઈના પ્રમાણસર છે;
• એક જ સમયે બે ઘટનાઓ બની શકતી નથી;
• ઘટનાઓની સંખ્યાએ 0 મૂલ્ય લેવું જોઈએ; 1; 2…

નોંધ: એક સારી ચાવી એ છે કે અવલોકનક્ષમ રેન્ડમ ચલધરાવે છે ઝેરનું વિતરણ,હકીકત એ છે કે તે લગભગ સમાન છે (નીચે જુઓ).

નીચે પરિસ્થિતિઓના ઉદાહરણો છે જ્યાં ઝેરનું વિતરણ કરી શકતા નથીલાગુ કરવું:

• એક કલાકની અંદર યુનિવર્સિટી છોડનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (કારણ કે વિદ્યાર્થીઓનો સરેરાશ પ્રવાહ સ્થિર નથી: વર્ગો દરમિયાન ઓછા વિદ્યાર્થીઓ હોય છે, અને વર્ગો વચ્ચેના વિરામ દરમિયાન વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યામાં તીવ્ર વધારો થાય છે);
• કેલિફોર્નિયામાં દર વર્ષે 5 તીવ્રતાના ધરતીકંપોની સંખ્યા (કારણ કે એક ધરતીકંપ સમાન કંપનવિસ્તારના આફ્ટરશોક્સનું કારણ બની શકે છે - ઘટનાઓ સ્વતંત્ર નથી);
• દર્દીઓ જે સઘન સંભાળ એકમમાં વિતાવે છે તે દિવસોની સંખ્યા (કારણ કે દર્દીઓ સઘન સંભાળ એકમમાં વિતાવેલા દિવસોની સંખ્યા હંમેશા 0 કરતા વધારે હોય છે).

નોંધ: ઝેરનું વિતરણવધુ સચોટ અંદાજ છે અલગ વિતરણોઅને .

નોંધ: સંબંધ વિશે ઝેરનું વિતરણઅને દ્વિપદી વિતરણલેખમાં વાંચી શકાય છે. સંબંધ વિશે ઝેરનું વિતરણઅને ઘાતાંકીય વિતરણવિશે લેખમાં વાંચી શકાય છે.

MS EXCEL માં પોઈસન વિતરણ

MS EXCEL માં, આવૃત્તિ 2010 થી શરૂ કરીને, માટે વિતરણો પોઈસનત્યાં એક કાર્ય છે POISSON.DIST() , અંગ્રેજી નામ- POISSON.DIST(), જે તમને આપેલ સમયગાળા દરમિયાન શું થશે તેની સંભાવનાની માત્ર ગણતરી કરવા દે છે. એક્સઘટનાઓ (કાર્ય સંભાવના ઘનતા p(x), ઉપરનું સૂત્ર જુઓ), પણ (સંભવિતતા કે આપેલ સમયગાળા દરમિયાન ઓછામાં ઓછા xઘટનાઓ).

MS EXCEL 2010 પહેલાં, EXCEL પાસે POISSON() ફંક્શન હતું, જે તમને ગણતરી કરવાની પણ પરવાનગી આપે છે વિતરણ કાર્યઅને સંભાવના ઘનતા p(x). POISSON() સુસંગતતા માટે MS EXCEL 2010 માં બાકી છે.

ઉદાહરણ ફાઇલમાં આલેખ છે સંભાવના ઘનતા વિતરણઅને સંચિત વિતરણ કાર્ય.

ઝેરનું વિતરણબેવલ્ડ આકાર ધરાવે છે ( લાંબી પૂંછડીસંભાવના કાર્યની જમણી બાજુએ), પરંતુ જેમ જેમ પરિમાણ વધે છે, λ વધુ ને વધુ સપ્રમાણ બને છે.

નોંધ: સરેરાશઅને વિખેરવું(ચોરસ) પરિમાણ સમાન છે ઝેરનું વિતરણ- λ (જુઓ ઉદાહરણ શીટ ફાઇલ ઉદાહરણ).

કાર્ય

લાક્ષણિક એપ્લિકેશન પોઈસન વિતરણગુણવત્તા નિયંત્રણમાં ખામીની સંખ્યાનું એક મોડેલ છે જે સાધન અથવા ઉપકરણમાં દેખાઈ શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચિપ λ (લેમ્બડા) માં ખામીઓની સરેરાશ સંખ્યા 4 જેટલી હોય છે, અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી ચિપમાં 2 અથવા ઓછી ખામીઓ હોવાની સંભાવના છે: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

ફંક્શનમાં ત્રીજું પેરામીટર સેટ છે = TRUE, તેથી ફંક્શન પરત આવશે અભિન્ન કાર્યવિતરણ, એટલે કે, સંખ્યા કે સંભાવના રેન્ડમ ઘટનાઓ 0 થી 4 સહિતની રેન્જમાં હશે.

આ કિસ્સામાં ગણતરીઓ સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે:

અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ માઇક્રોકિરકીટમાં બરાબર 2 ખામીઓ હશે તેવી સંભાવના છે: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

ફંક્શનમાં ત્રીજું પેરામીટર સેટ કરેલ છે = FALSE, તેથી ફંક્શન સંભાવનાની ઘનતા પરત કરશે.

અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ માઇક્રોસિર્કિટમાં 2 કરતાં વધુ ખામીઓ હશે તેવી સંભાવના સમાન છે: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535

નોંધ: જો xપૂર્ણાંક નથી, પછી સૂત્રની ગણતરી કરતી વખતે. સૂત્રો =POISSON.DIST( 2 ; 4; LIE)અને =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; LIE)સમાન પરિણામ આપશે.

રેન્ડમ નંબર જનરેશન અને λ અંદાજ

λ ના મૂલ્યો માટે >15 , ઝેરનું વિતરણસારી રીતે અંદાજિત સામાન્ય વિતરણ નીચેના પરિમાણો સાથે: μ =λ , σ 2 =λ .

આ વિતરણો વચ્ચેના સંબંધ વિશે વધુ વિગતો લેખમાં મળી શકે છે. નજીકના ઉદાહરણો પણ છે, અને તે ક્યારે શક્ય છે તેની શરતો અને કઈ ચોકસાઈ સાથે સમજાવવામાં આવે છે.

સલાહ: તમે લેખમાં અન્ય MS EXCEL વિતરણો વિશે વાંચી શકો છો.

સંક્ષિપ્ત સિદ્ધાંત

સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના સમાન છે. આ પરીક્ષણોમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવા માટે, બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો તે મોટું છે, તો પછી ઉપયોગ કરો અથવા. જો કે, જો આ સૂત્ર નાનું હોય તો તે યોગ્ય નથી. આ કિસ્સાઓમાં (મહાન, નાના) તેઓ એસિમ્પ્ટોટિકનો આશરો લે છે પોઈસનનું સૂત્ર.

ચાલો આપણે આપણી જાતને સંભવિતતા શોધવાનું કાર્ય સેટ કરીએ કે જે ખૂબ માટે મોટી સંખ્યામાંપરીક્ષણો, જેમાંના દરેકમાં ઘટનાની સંભાવના ખૂબ ઓછી છે, ઘટના બરાબર એક જ વાર થશે. ચાલો એક મહત્વપૂર્ણ ધારણા કરીએ: ઉત્પાદન સતત મૂલ્ય જાળવી રાખે છે, એટલે કે. આનો અર્થ એ છે કે ટ્રાયલની વિવિધ શ્રેણીમાં ઘટનાની સરેરાશ સંખ્યા, એટલે કે. ખાતે વિવિધ અર્થો, યથાવત રહે છે.

સમસ્યા ઉકેલનું ઉદાહરણ

સમસ્યા 1

આધારને 10,000 ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ મળ્યા. મુસાફરી દરમિયાન દીવો તૂટી જવાની સંભાવના 0.0003 છે. સંભવિતતા શોધો કે પ્રાપ્ત થયેલ દીવાઓમાંથી, પાંચ દીવા તૂટી જશે.

ઉકેલ

પોઈસન ફોર્મ્યુલાની લાગુ પડવાની શરત:

જો વ્યક્તિગત અજમાયશમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના શૂન્યની નજીક હોય, તો પછી અજમાયશની સંખ્યાના મોટા મૂલ્યો માટે પણ, આના દ્વારા ગણવામાં આવતી સંભાવના સ્થાનિક પ્રમેય Laplace અપૂરતી સચોટ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આવા કિસ્સાઓમાં, પોઈસન દ્વારા મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

ઘટના - 5 દીવા તૂટી જવા દો

ચાલો પોઈસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

અમારા કિસ્સામાં:

જવાબ આપો

સમસ્યા 2

એન્ટરપ્રાઇઝ પાસે 1000 સાધનો છે ચોક્કસ પ્રકાર. એક કલાકની અંદર સાધનોનો ટુકડો નિષ્ફળ જવાની સંભાવના 0.001 છે. કલાક દીઠ સાધનોની નિષ્ફળતાની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

ઉકેલ

રેન્ડમ ચલ - સાધનોની નિષ્ફળતાની સંખ્યા, મૂલ્યો લઈ શકે છે

ચાલો પોઈસનના કાયદાનો ઉપયોગ કરીએ:

ચાલો આ સંભાવનાઓ શોધીએ:

પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિચલન આ વિતરણના પરિમાણ સમાન છે:

સરેરાશઉકેલ ખર્ચ પરીક્ષણ કાર્ય 700 - 1200 રુબેલ્સ (પરંતુ સમગ્ર ઓર્ડર માટે 300 રુબેલ્સથી ઓછા નહીં). નિર્ણયની તાકીદ (એક દિવસથી ઘણા કલાકો સુધી) દ્વારા ભાવ ખૂબ પ્રભાવિત થાય છે. પરીક્ષા/પરીક્ષણ માટે ઑનલાઇન સહાયની કિંમત 1000 રુબેલ્સ છે. ટિકિટ ઉકેલવા માટે.

તમે કાર્યની શરતો અગાઉ મોકલીને અને તમને જરૂરી ઉકેલ માટે સમયમર્યાદા વિશે જાણ કરીને, તમે સીધા ચેટમાં વિનંતી છોડી શકો છો. પ્રતિભાવ સમય થોડી મિનિટો છે.

સૌથી વધુ સામાન્ય કેસવિવિધ પ્રકારના સંભાવના વિતરણદ્વિપદી વિતરણ છે. ચાલો વ્યવહારમાં જોવા મળતાં સૌથી સામાન્ય ચોક્કસ પ્રકારનાં વિતરણો નક્કી કરવા માટે તેની વૈવિધ્યતાનો ઉપયોગ કરીએ.

દ્વિપદી વિતરણ

ચાલો કોઈ ઘટના A. ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવના બરાબર છે પી, ઘટના A ના ન થવાની સંભાવના 1 છે પી, ક્યારેક તે તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે q. દો nપરીક્ષણોની સંખ્યા, mઆમાં ઘટના A ની ઘટનાની આવર્તન nપરીક્ષણો

તે જાણીતું છે કુલ સંભાવનાદરેક વ્યક્તિ શક્ય સંયોજનોપરિણામો એક સમાન છે, એટલે કે:

1 = પી n + n · પી n 1 (1 પી) + સી n n 2 · પી n 2 (1 પી) 2 + + સી n m · પી m· (1 પી) n – m+ + (1 પી) n .

અપેક્ષા એમદ્વિપદી વિતરણ સમાન છે:

એમ = n · પી ,

જ્યાં nપરીક્ષણોની સંખ્યા, પીઘટના A થવાની સંભાવના.

પ્રમાણભૂત વિચલન σ :

σ = sqrt( n · પી· (1 પી)) .

ઉદાહરણ 1. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે જે ઘટનાની સંભાવના છે પી= 0.5, માં n= 10 ટ્રાયલ થશે m= 1 વખત. અમારી પાસે છે: સી 10 1 = 10, અને આગળ: પી 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, આ ઘટના બનવાની સંભાવના ઘણી ઓછી છે. આ સમજાવવામાં આવ્યું છે, પ્રથમ, એ હકીકત દ્વારા કે તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ નથી કે ઘટના બનશે કે નહીં, કારણ કે સંભાવના 0.5 છે અને અહીં તકો "50 થી 50" છે; અને બીજું, તે ગણતરી કરવી જરૂરી છે કે ઘટના દસમાંથી બરાબર એક જ વાર (વધુ નહીં અને ઓછી નહીં) થશે.

ઉદાહરણ 2. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે જે ઘટનાની સંભાવના છે પી= 0.5, માં n= 10 ટ્રાયલ થશે m= 2 વખત. અમારી પાસે છે: સી 10 2 = 45, અને આગળ: પી 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. આ ઘટના બનવાની શક્યતા વધી ગઈ છે!

ઉદાહરણ 3. ચાલો ઘટના બનવાની સંભાવનાને વધારીએ. ચાલો તેને વધુ સંભવ બનાવીએ. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે જે ઘટનાની સંભાવના છે પી= 0.8, માં n= 10 ટ્રાયલ થશે m= 1 વખત. અમારી પાસે છે: સી 10 1 = 10, અને આગળ: પી 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. સંભાવના પ્રથમ ઉદાહરણ કરતાં ઓછી થઈ ગઈ છે! જવાબ, પ્રથમ નજરમાં, વિચિત્ર લાગે છે, પરંતુ ઘટનાની એકદમ ઊંચી સંભાવના હોવાથી, તે માત્ર એક જ વાર થવાની શક્યતા નથી. તે એક કરતા વધુ વખત થવાની સંભાવના છે. ખરેખર, ગણતરી પી 0 , પી 1 , પી 2 , પી 3, , પી 10 (સંભવિત છે કે એક ઘટના n= 10 ટ્રાયલ 0, 1, 2, 3, , 10 વખત થશે), આપણે જોઈશું:

સી 10 0 = 1 , સી 10 1 = 10 , સી 10 2 = 45 , સી 10 3 = 120 , સી 10 4 = 210 , સી 10 5 = 252 ,
સી 10 6 = 210 , સી 10 7 = 120 , સી 10 8 = 45 , સી 10 9 = 10 , સી 10 10 = 1 ;

પી 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000…;
પી 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000…;
પી 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000…;
પી 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008…;
પી 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055…;
પી 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264…;
પી 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881…;
પી 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013…;
પી 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020…(સૌથી વધુ સંભાવના!);
પી 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684…;
પી 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074…

અલબત્ત પી 0 + પી 1 + પી 2 + પી 3 + પી 4 + પી 5 + પી 6 + પી 7 + પી 8 + પી 9 + પી 10 = 1 .

સામાન્ય વિતરણ

જો આપણે જથ્થાઓનું નિરૂપણ કરીએ પી 0 , પી 1 , પી 2 , પી 3, , પી 10, જેની ગણતરી અમે ઉદાહરણ 3 માં કરી છે, ગ્રાફ પર, તે તારણ આપે છે કે તેમના વિતરણમાં સામાન્ય વિતરણ કાયદાની નજીકનું સ્વરૂપ છે (જુઓ. ફિગ. 27.1) (જુઓ વ્યાખ્યાન 25. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનું મોડેલિંગ).

દ્વિપદી કાયદો સામાન્ય બની જાય છે જો ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવનાઓ અને બિન-ઘટના લગભગ સમાન હોય, એટલે કે, આપણે શરતી રીતે લખી શકીએ: પી≈ (1 પી) . ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો લઈએ n= 10 અને પી= 0.5 (એટલે ​​કે પી= 1 પી = 0.5 ).

અમે અર્થપૂર્ણ રીતે આવી સમસ્યા પર આવીશું જો, ઉદાહરણ તરીકે, અમે સૈદ્ધાંતિક રીતે ગણતરી કરવા માંગીએ છીએ કે તે જ દિવસે પ્રસૂતિ હોસ્પિટલમાં જન્મેલા 10 બાળકોમાંથી કેટલા છોકરાઓ અને કેટલી છોકરીઓ હશે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, અમે છોકરાઓ અને છોકરીઓની ગણતરી કરીશું નહીં, પરંતુ સંભાવના કે માત્ર છોકરાઓ જ જન્મશે, તે 1 છોકરો અને 9 છોકરીઓ જન્મશે, કે 2 છોકરાઓ અને 8 છોકરીઓ જન્મશે, વગેરે. ચાલો સરળતા માટે માની લઈએ કે છોકરો અને છોકરી હોવાની સંભાવના સમાન અને સમાન છે 0.5 (પરંતુ હકીકતમાં, સાચું કહું તો, આ કેસ નથી, "મોડલિંગ આર્ટિફિશિયલ ઈન્ટેલિજન્સ સિસ્ટમ્સ" કોર્સ જુઓ).

તે સ્પષ્ટ છે કે વિતરણ સમપ્રમાણરીતે હશે, કારણ કે 3 છોકરાઓ અને 7 છોકરીઓ હોવાની સંભાવના 7 છોકરાઓ અને 3 છોકરીઓ હોવાની સંભાવના સમાન છે. જન્મની સૌથી મોટી સંભાવના 5 છોકરાઓ અને 5 છોકરીઓ હશે. આ સંભાવના 0.25 છે, માર્ગ દ્વારા, તે એટલી મોટી નથી સંપૂર્ણ મૂલ્ય. વધુમાં, 10 અથવા 9 છોકરાઓ એકસાથે જન્મશે તેવી સંભાવના 10 બાળકોમાંથી 5 ± 1 છોકરાનો જન્મ થવાની સંભાવના કરતાં ઘણી ઓછી છે. દ્વિપદી વિતરણ અમને આ ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે. તેથી.

સી 10 0 = 1 , સી 10 1 = 10 , સી 10 2 = 45 , સી 10 3 = 120 , સી 10 4 = 210 , સી 10 5 = 252 ,
સી 10 6 = 210 , સી 10 7 = 120 , સી 10 8 = 45 , સી 10 9 = 10 , સી 10 10 = 1 ;

પી 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977…;
પી 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
પી 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
પી 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
પી 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
પી 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094…;
પી 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
પી 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
પી 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
પી 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
પી 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977…

અલબત્ત પી 0 + પી 1 + પી 2 + પી 3 + પી 4 + પી 5 + પી 6 + પી 7 + પી 8 + પી 9 + પી 10 = 1 .

ચાલો ગ્રાફ પર જથ્થાઓ દર્શાવીએ પી 0 , પી 1 , પી 2 , પી 3, , પી 10 (જુઓ ફિગ. 27.2).

તેથી, શરતો હેઠળ m ≈ n/2 અને પી≈ 1 પીઅથવા પીદ્વિપદી વિતરણને બદલે ≈ 0.5, તમે સામાન્યનો ઉપયોગ કરી શકો છો. મોટા મૂલ્યો માટે nઆલેખ જમણી તરફ શિફ્ટ થાય છે અને વધુ ને વધુ સપાટ થતો જાય છે, કારણ કે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતા વધવાની સાથે વધે છે n : એમ = n · પી , ડી = n · પી· (1 પી) .

માર્ગ દ્વારા, દ્વિપદી કાયદોસામાન્ય અને વધતા જતા હોય છે n, જે કેન્દ્રીય અનુસાર તદ્દન સ્વાભાવિક છે મર્યાદા પ્રમેય(લેક્ચર 34 જુઓ. આંકડાકીય પરિણામો રેકોર્ડિંગ અને પ્રોસેસિંગ).

હવે ધ્યાનમાં લો કે જ્યારે કેસમાં દ્વિપદી કાયદો કેવી રીતે બદલાય છે પી ≠ q, એટલે કે પી> 0. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય વિતરણની પૂર્વધારણા લાગુ કરી શકાતી નથી, અને દ્વિપદી વિતરણ પોઈસન વિતરણ બની જાય છે.

ઝેરનું વિતરણ

પોઈસન વિતરણ છે ખાસ કેસદ્વિપદી વિતરણ (સાથે n>> 0 અને અંતે પી>0 (દુર્લભ ઘટનાઓ)).

એક સૂત્ર ગણિતમાંથી જાણીતું છે જે તમને દ્વિપદી વિતરણના કોઈપણ સભ્યના મૂલ્યની અંદાજે ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે:

જ્યાં a = n · પી પોઈસન પરિમાણ (ગાણિતિક અપેક્ષા), અને તફાવત ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે. ચાલો આ સંક્રમણને સમજાવતી ગાણિતિક ગણતરીઓ રજૂ કરીએ. દ્વિપદી વિતરણ કાયદો

પી m = સી n m · પી m· (1 પી) n – m

જો તમે મૂકો તો લખી શકાય છે પી = a/n , ફોર્મમાં

કારણ કે પીખૂબ નાનું છે, તો પછી માત્ર સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ m, ની સરખામણીમાં નાનું n. કામ

એકતાની ખૂબ નજીક. આ જ કદ પર લાગુ પડે છે

તીવ્રતા

ની ખૂબ નજીક ઇ – a. અહીંથી આપણને સૂત્ર મળે છે:

ઉદાહરણ. બોક્સ સમાવે છે n= 100 ભાગો, ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા અને ખામીયુક્ત બંને. ખામીયુક્ત ઉત્પાદન પ્રાપ્ત થવાની સંભાવના છે પી= 0.01. ચાલો કહીએ કે અમે ઉત્પાદન લઈએ છીએ, તે ખામીયુક્ત છે કે નહીં તે નક્કી કરીએ છીએ અને તેને પાછું મૂકીએ છીએ. આમ કરવાથી, તે બહાર આવ્યું છે કે અમે જે 100 ઉત્પાદનોમાંથી પસાર થયા હતા, તેમાંથી બે ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આની સંભાવના શું છે?

દ્વિપદી વિતરણમાંથી આપણને મળે છે:

પોઈસન વિતરણમાંથી આપણને મળે છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂલ્યો નજીકના હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તેથી દુર્લભ ઘટનાઓના કિસ્સામાં તે પોઈસનના કાયદાને લાગુ કરવા માટે તદ્દન સ્વીકાર્ય છે, ખાસ કરીને કારણ કે તેને ઓછા કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયત્નોની જરૂર છે.

ચાલો ગ્રાફિકલી પોઈસનના કાયદાનું સ્વરૂપ બતાવીએ. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે પરિમાણો લઈએ પી = 0.05 , n= 10. પછી:

સી 10 0 = 1 , સી 10 1 = 10 , સી 10 2 = 45 , સી 10 3 = 120 , સી 10 4 = 210 , સી 10 5 = 252 ,
સી 10 6 = 210 , સી 10 7 = 120 , સી 10 8 = 45 , સી 10 9 = 10 , સી 10 10 = 1 ;

પી 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987…;
પી 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151…;
પી 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746…;
પી 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105…;
પી 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096…;
પી 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006…;
પી 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000…;
પી 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000…;
પી 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000…;
પી 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000…;
પી 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000…

અલબત્ત પી 0 + પી 1 + પી 2 + પી 3 + પી 4 + પી 5 + પી 6 + પી 7 + પી 8 + પી 9 + પી 10 = 1 .

મુ n> ∞ પોઈસન વિતરણ બને છે સામાન્ય કાયદો, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય અનુસાર (જુઓ.

ઝેરનું વિતરણ.

ચાલો સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લઈએ લાક્ષણિક પરિસ્થિતિ, જેમાં પોઈસન વિતરણ દેખાય છે. ઘટના દો એઅવકાશના નિશ્ચિત ક્ષેત્રમાં (અંતરાલ, વિસ્તાર, વોલ્યુમ) અથવા સતત તીવ્રતા સાથે સમયના સમયગાળામાં ચોક્કસ સંખ્યામાં વખત દેખાય છે. ચોક્કસ થવા માટે, સમય જતાં ઘટનાઓની ક્રમિક ઘટનાને ધ્યાનમાં લો, જેને ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે. ગ્રાફિકલી રીતે, ઘટનાઓના પ્રવાહને સમય ધરી પર સ્થિત ઘણા બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

આ સેવા ક્ષેત્રમાં કૉલ્સનો પ્રવાહ હોઈ શકે છે (ઘરગથ્થુ ઉપકરણોનું સમારકામ, એમ્બ્યુલન્સને કૉલ કરવો વગેરે), ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સનો પ્રવાહ, સિસ્ટમના કેટલાક ભાગોની નિષ્ફળતા, કિરણોત્સર્ગી સડો, ફેબ્રિક અથવા મેટલ શીટ્સના ટુકડાઓ અને તે દરેક પર ખામીઓની સંખ્યા, વગેરે. પોઈસન વિતરણ તે સમસ્યાઓમાં સૌથી વધુ ઉપયોગી છે જ્યાં માત્ર હકારાત્મક પરિણામોની સંખ્યા ("સફળતા") નક્કી કરવી જરૂરી છે.

નાના ટુકડાઓમાં વિભાજિત કિસમિસ બનની કલ્પના કરો સમાન કદ. કારણે રેન્ડમ વિતરણકિસમિસમાં એવી અપેક્ષા રાખી શકાતી નથી કે બધા ટુકડા તેમાં હશે સમાન નંબર. જ્યારે આ ટુકડાઓમાં સમાવિષ્ટ કિસમિસની સરેરાશ સંખ્યા જાણીતી હોય, ત્યારે પોઈસન વિતરણ એ સંભાવના આપે છે કે આપેલ કોઈપણ ટુકડામાં સમાયેલ છે એક્સ=k(k= 0,1,2,...,) કિસમિસની સંખ્યા.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પોઈસન વિતરણ નક્કી કરે છે કે ટુકડાઓની લાંબી શ્રેણીના કયા ભાગમાં 0, અથવા 1, અથવા 2, અથવા વગેરે સમાન હશે. હાઇલાઇટ્સની સંખ્યા.

ચાલો નીચેની ધારણાઓ કરીએ.

1. આપેલ સમય અંતરાલમાં અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં ઘટનાઓની સંભાવના માત્ર આ અંતરાલની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે, સમય અક્ષ પર તેની સ્થિતિ પર નહીં. આ સ્થિરતાની મિલકત છે.

2. પૂરતા પ્રમાણમાં ટૂંકા ગાળામાં એક કરતાં વધુ ઘટનાઓ બનવી વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે, એટલે કે. શરતી સંભાવનાસમાન અંતરાલમાં બીજી ઘટનાની ઘટના ® 0 પર શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. આ સામાન્યતાની મિલકત છે.

3. ઘટનાની સંભાવના આપેલ નંબરચોક્કસ સમયગાળાની ઘટનાઓ અન્ય સમયગાળામાં દેખાતી ઘટનાઓની સંખ્યા પર આધારિત નથી. આ અસરના અભાવની મિલકત છે.

ઘટનાઓનો પ્રવાહ જે ઉપરોક્ત દરખાસ્તોને સંતોષે છે તેને કહેવામાં આવે છે સૌથી સરળ.

ચાલો એકદમ ટૂંકા ગાળાનો વિચાર કરીએ. પ્રોપર્ટી 2 ના આધારે, ઇવેન્ટ આ અંતરાલમાં એકવાર દેખાઈ શકે છે અથવા બિલકુલ દેખાશે નહીં. ચાલો દ્વારા બનતી ઘટનાની સંભાવના દર્શાવીએ આર, અને બિન-દેખાવ - દ્વારા q = 1-પી.સંભાવના આરસ્થિર છે (સંપત્તિ 3) અને માત્ર મૂલ્ય (સંપત્તિ 1) પર આધાર રાખે છે. અંતરાલમાં ઘટનાની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા 0× જેટલી હશે q+ 1× પી = પી. પછી એકમ સમય દીઠ ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યાને પ્રવાહની તીવ્રતા કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે aતે a = .

ચાલો વિચાર કરીએ અંતિમ સેગમેન્ટસમય tઅને તેને વિભાજીત કરો nભાગો =. આ દરેક અંતરાલોમાં ઘટનાઓની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે (મિલકત 2). ચાલો અમુક સમયગાળામાં સંભાવના નક્કી કરીએ tસતત પ્રવાહની તીવ્રતા પર એઘટના બરાબર દેખાશે X = kફરી દેખાશે નહીં n–k. કારણ કે એક ઘટના દરેકમાં કરી શકે છે nગાબડા 1 કરતા વધુ વખત દેખાતા નથી, પછી તેના દેખાવ માટે kઅવધિના સેગમેન્ટમાં એકવાર tતે કોઈપણમાં દેખાવા જોઈએ kકુલમાંથી અંતરાલો nઆવા કુલ સંયોજનો છે, અને દરેકની સંભાવના સમાન છે. પરિણામે, સંભાવનાઓના વધારાના પ્રમેય દ્વારા આપણે ઇચ્છિત સંભાવના માટે મેળવીએ છીએ જાણીતું સૂત્રબર્નૌલી

આ સમાનતા અંદાજિત એક તરીકે લખવામાં આવી છે, કારણ કે તેની વ્યુત્પત્તિ માટેનો પ્રારંભિક આધાર મિલકત 2 હતો, જે નાનામાં વધુ સચોટ રીતે પરિપૂર્ણ થાય છે. ચોક્કસ સમાનતા મેળવવા માટે, ચાલો આપણે ® 0 પરની મર્યાદાને પાર કરીએ અથવા, શું સમાન છે, n® અમે તેને બદલી પછી મેળવીશું

પી = a= અને q = 1 – .

ચાલો પરિચય આપીએ નવું પરિમાણ = ખાતે, એટલે કે સેગમેન્ટમાં ઘટનાની સરેરાશ સંખ્યા t. સરળ પરિવર્તનો અને પરિબળોમાં મર્યાદા પસાર કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ.

= 1, = ,

આખરે આપણને મળે છે

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... - આધાર કુદરતી લઘુગણક.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ એક્સ, જે માત્ર પૂર્ણાંકો સ્વીકારે છે, હકારાત્મક મૂલ્યો 0, 1, 2, ... જો પરિમાણ સાથે પોઈસન વિતરણ ધરાવે છે

માટે k = 0, 1, 2, ...

પોઈસન વિતરણની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીએસ.ડી. પોઈસન (1781-1840). તેનો ઉપયોગ પ્રમાણમાં દુર્લભ, પરસ્પર રેન્ડમ સંભાવનાઓની ગણતરીની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે સ્વતંત્ર ઘટનાઓસમય, લંબાઈ, વિસ્તાર અને વોલ્યુમના એકમ દીઠ.

કેસ માટે જ્યારે a) મોટી હોય અને b) k= , સ્ટર્લિંગ સૂત્ર માન્ય છે:

અનુગામી મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે, આવર્તક સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે

પી(k + 1) = પી(k).

ઉદાહરણ 1. આપેલ દિવસે 1000 લોકોમાંથી કેટલી સંભાવના છે: a) કોઈ નહીં, b) એક, c) બે, d) ત્રણ લોકોનો જન્મ થયો હોય?

ઉકેલ. કારણ કે પી= 1/365, પછી q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

પછી

અ) ,

b) ,

વી) ,

જી) .

તેથી, જો ત્યાં 1000 લોકોના નમૂનાઓ છે, તો ચોક્કસ દિવસે જન્મેલા લોકોની સરેરાશ સંખ્યા તે મુજબ 65 હશે; 178; 244; 223.

ઉદાહરણ 2. સંભાવના સાથે મૂલ્ય નક્કી કરો આરઘટના ઓછામાં ઓછી એક વાર દેખાઈ.

ઉકેલ. ઘટના એ= (ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાય છે) અને = (એકવાર પણ દેખાતા નથી). આથી .

અહીંથી અને .

ઉદાહરણ તરીકે, માટે આર= 0.5, માટે આર= 0,95 .

ઉદાહરણ 3. એક વણકર દ્વારા સંચાલિત લૂમ્સ પર, એક કલાકમાં 90 થ્રેડ તૂટી જાય છે. 4 મિનિટમાં ઓછામાં ઓછો એક થ્રેડ બ્રેક થશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. શરતે t = 4 મિનિટ અને પ્રતિ મિનિટ વિરામની સરેરાશ સંખ્યા, ક્યાંથી . જરૂરી સંભાવના છે.

ગુણધર્મો. પેરામીટર સાથે પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ધરાવતા રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા સમાન છે:

એમ(એક્સ) = ડી(એક્સ) = .

આ અભિવ્યક્તિઓ સીધી ગણતરીઓ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:

આ તે છે જ્યાં બદલી કરવામાં આવી હતી n = k- 1 અને હકીકત એ છે કે .

આઉટપુટમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સમાન પરિવર્તનો કરીને એમ(એક્સ), અમને મળે છે

પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ મોટા પ્રમાણમાં દ્વિપદી વિતરણનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે n

ઘણા વ્યવહારિક રીતે મહત્વપૂર્ણ કાર્યક્રમોમાં, પોઈસન વિતરણ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સંખ્યાઓ ઘણા અલગ માત્રામાંનીચેના ગુણધર્મો સાથે પોઈસન પ્રક્રિયાના અમલીકરણ છે:

• અમને રુચિ છે કે સંભવિત પરિણામોની આપેલ શ્રેણીમાં કોઈ ચોક્કસ ઘટના કેટલી વખત બને છે રેન્ડમ પ્રયોગ. સંભવિત પરિણામોનો વિસ્તાર સમય અંતરાલ, સેગમેન્ટ, સપાટી વગેરે હોઈ શકે છે.
• આપેલ ઘટનાની સંભાવના સંભવિત પરિણામોના તમામ ક્ષેત્રો માટે સમાન છે.
• સંભવિત પરિણામોના એક ક્ષેત્રમાં બનતી ઘટનાઓની સંખ્યા અન્ય વિસ્તારોમાં બનતી ઘટનાઓની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર છે.
• સંભવિત પરિણામોના સમાન ક્ષેત્રમાં આ ઘટનાએક કરતા વધુ વખત થાય છે, શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે શક્ય પરિણામોની શ્રેણી ઘટે છે.

પોઈસન પ્રક્રિયાના અર્થને વધુ સમજવા માટે, ધારો કે અમે કેન્દ્રમાં સ્થિત બેંક શાખાની મુલાકાત લેતા ગ્રાહકોની સંખ્યાની તપાસ કરીએ છીએ. બિઝનેસ ડિસ્ટ્રિક્ટ, લંચ દરમિયાન, એટલે કે. 12 થી 13 વાગ્યા સુધી. ધારો કે તમે એક મિનિટમાં આવનારા ગ્રાહકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માંગો છો. શું આ પરિસ્થિતિમાં ઉપર સૂચિબદ્ધ લક્ષણો છે? પ્રથમ, અમને રુચિ હોય તેવી ઘટના એ ક્લાયન્ટનું આગમન છે, અને સંભવિત પરિણામોની શ્રેણી એ એક-મિનિટનો અંતરાલ છે. એક મિનિટમાં કેટલા ગ્રાહકો બેંકમાં આવશે - એક નહીં, એક, બે કે તેથી વધુ? બીજું, એવું માની લેવું વાજબી છે કે એક મિનિટમાં ગ્રાહક આવવાની સંભાવના તમામ એક-મિનિટના અંતરાલ માટે સમાન છે. ત્રીજું, કોઈપણ એક-મિનિટના અંતરાલ દરમિયાન એક ગ્રાહકનું આગમન અન્ય કોઈ એક-મિનિટના અંતરાલ દરમિયાન કોઈપણ અન્ય ગ્રાહકના આગમનથી સ્વતંત્ર છે. અને અંતે, જો સમય અંતરાલ શૂન્ય થઈ જાય, ઉદાહરણ તરીકે, 0.1 સેકંડથી ઓછો થઈ જાય તો બેંકમાં એક કરતાં વધુ ક્લાયન્ટ આવશે તેવી સંભાવના શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી, એક મિનિટમાં લંચ દરમિયાન બેંકમાં આવતા ગ્રાહકોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે.

પોઈસન વિતરણમાં એક પરિમાણ હોય છે, જે λ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ( ગ્રીક અક્ષર"લેમ્બડા") એ સંભવિત પરિણામોના આપેલ ક્ષેત્રમાં સફળ પરીક્ષણોની સરેરાશ સંખ્યા છે. પોઈસન વિતરણનો તફાવત પણ λ છે, અને તેનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે. સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યા એક્સપોઈસન રેન્ડમ ચલ 0 થી અનંત સુધી બદલાય છે. પોઈસન વિતરણ સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

જ્યાં P(X)- સંભાવના એક્સસફળ પરીક્ષણો, λ - સફળતાની અપેક્ષિત સંખ્યા, ઇ- કુદરતી લઘુગણક આધાર 2.71828 બરાબર, એક્સ- સમયના એકમ દીઠ સફળતાઓની સંખ્યા.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ. જણાવી દઈએ કે લંચ બ્રેક દરમિયાન દર મિનિટે સરેરાશ ત્રણ ગ્રાહક બેંકમાં આવે છે. આપેલ ક્ષણે બે ગ્રાહકો બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે? બે કરતાં વધુ ગ્રાહકો બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો ફોર્મ્યુલા (1) પેરામીટર λ = 3 સાથે લાગુ કરીએ. પછી આપેલ મિનિટમાં બે ક્લાયન્ટ્સ બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના બરાબર છે

બે કરતાં વધુ ગ્રાહકો બેંકમાં આવશે તેવી સંભાવના P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) ની બરાબર છે. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર હોવો જોઈએ, તેથી સૂત્રની જમણી બાજુએ શ્રેણીની શરતો ઘટના X ≤ 2 માં ઉમેરાની સંભાવના દર્શાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ શ્રેણીનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે – P(X ≤ 2). આમ, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. હવે, સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:

આમ, એક મિનિટની અંદર બે કરતાં વધુ ક્લાયન્ટ્સ બેંકમાં ન આવે તેવી સંભાવના 0.423 (અથવા 42.3%) છે અને એક મિનિટમાં બે કરતાં વધુ ગ્રાહકો બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના 0.577 (અથવા 57.7%) છે.

આવી ગણતરીઓ કંટાળાજનક લાગે છે, ખાસ કરીને જો પરિમાણ λ પૂરતું મોટું હોય. ટાળવા માટે જટિલ ગણતરીઓ, ઘણી પોઈસન સંભાવનાઓ વિશિષ્ટ કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે (ફિગ. 1). ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ મિનિટે બે ક્લાયન્ટ્સ બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના, જો સરેરાશ ત્રણ ક્લાયન્ટ પ્રતિ મિનિટ બેંકમાં આવે, તો તે લાઇનના આંતરછેદ પર છે. એક્સ= 2 અને કૉલમ λ = 3. આમ, તે 0.2240 અથવા 22.4% ની બરાબર છે.

ચોખા. 1. પોઈસન સંભાવના λ = 3 પર

આજકાલ, જો એક્સેલ તેના =POISSON.DIST() ફંક્શન સાથે હોય તો કોઈ પણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરે તેવી શક્યતા નથી (ફિગ. 2). આ કાર્યમાં ત્રણ પરિમાણો છે: સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યા એક્સ, સફળ અજમાયશની સરેરાશ અપેક્ષિત સંખ્યા λ, પરિમાણ અભિન્ન, બે મૂલ્યો લેતા: FALSE - આ કિસ્સામાં સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યાની સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે એક્સ(માત્ર X), સાચું – આ કિસ્સામાં 0 થી સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યાની સંભાવના એક્સ.

ચોખા. 2. માં ગણતરી એક્સેલ સંભાવનાઓપોઈસનનું વિતરણ λ = 3 પર

પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદી વિતરણનો અંદાજ

જો નંબર nમોટી અને સંખ્યા છે આર- નાનું, પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદી વિતરણ અંદાજિત કરી શકાય છે. કેવી રીતે મોટી સંખ્યા nઅને ઓછી સંખ્યા આર, અંદાજની ચોકસાઈ જેટલી વધારે છે. નીચેના પોઈસન મોડલનો ઉપયોગ દ્વિપદી વિતરણ અંદાજિત કરવા માટે થાય છે.

જ્યાં P(X)- સંભાવના એક્સસાથે સફળતા આપેલ પરિમાણો nઅને આર, n- નમૂનાનું કદ, આર- સફળતાની સાચી સંભાવના, ઇ- કુદરતી લઘુગણકનો આધાર, એક્સ- નમૂનામાં સફળતાઓની સંખ્યા (X = 0, 1, 2, …, n).

સૈદ્ધાંતિક રીતે, પોઈસન વિતરણ સાથેનું રેન્ડમ ચલ 0 થી ∞ સુધીના મૂલ્યો લે છે. જો કે, એવી પરિસ્થિતિઓમાં જ્યાં પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ દ્વિપદી વિતરણની અંદાજિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે, પોઈસન રેન્ડમ ચલ એ સફળતાની સંખ્યા છે nઅવલોકનો - સંખ્યા ઓળંગી શકાતી નથી n. સૂત્ર (2) થી તે વધતી સંખ્યા સાથે તેને અનુસરે છે nઅને સંખ્યામાં ઘટાડો આરશોધની સંભાવના મોટી સંખ્યામાંસફળતા દર ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે.

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, પોઈસન વિતરણની અપેક્ષા µ અને વિચલન σ 2 λ બરાબર છે. તેથી, પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદી વિતરણનો અંદાજ કાઢતી વખતે, ગાણિતિક અપેક્ષાને અંદાજિત કરવા માટે સૂત્ર (3) નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

(3) µ = E(X) = λ =એન.પી.

અંદાજિત પ્રમાણભૂત વિચલન માટે, સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ થાય છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ફોર્મ્યુલા (4) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ પ્રમાણભૂત વિચલન વલણ ધરાવે છે પ્રમાણભૂત વિચલનદ્વિપદી મોડેલમાં - જ્યારે સફળતાની સંભાવના પીશૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને, તે મુજબ, નિષ્ફળતાની સંભાવના 1 - પીએકતા તરફ વલણ ધરાવે છે.

ચાલો ધારીએ કે ચોક્કસ પ્લાન્ટમાં ઉત્પાદિત 8% ટાયર ખામીયુક્ત છે. આશરે દ્વિપદી વિતરણ માટે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ સમજાવવા માટે, ચાલો 20 ટાયરના નમૂનામાં એક ખામીયુક્ત ટાયર શોધવાની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ. ચાલો સૂત્ર (2) લાગુ કરીએ, આપણે મેળવીએ

જો આપણે તેના અંદાજને બદલે સાચા દ્વિપદી વિતરણની ગણતરી કરીએ, તો આપણને નીચેનું પરિણામ મળશે:

જો કે, આ ગણતરીઓ ખૂબ કંટાળાજનક છે. જો કે, જો તમે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવા માટે એક્સેલનો ઉપયોગ કરો છો, તો પોઈસન ડિસ્ટ્રીબ્યુશન અંદાજનો ઉપયોગ બિનજરૂરી બની જાય છે. ફિગ માં. આકૃતિ 3 બતાવે છે કે એક્સેલમાં ગણતરીઓની જટિલતા સમાન છે. જો કે, મારા મતે, આ વિભાગ એ સમજવા માટે ઉપયોગી છે કે કેટલીક શરતો હેઠળ દ્વિપદી વિતરણ અને પોઈસન વિતરણ સમાન પરિણામો આપે છે.

ચોખા. 3. એક્સેલમાં ગણતરીઓની જટિલતાની સરખામણી: (a) પોઈસન વિતરણ; (b) દ્વિપદી વિતરણ

તેથી, આ અને બે અગાઉની નોંધોમાં ત્રણ અલગ સંખ્યાત્મક વિતરણો: , અને પોઈસન. આ વિતરણો એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અમે પ્રશ્નોનું એક નાનું વૃક્ષ રજૂ કરીએ છીએ (ફિગ. 4).

ચોખા. 4. અલગ સંભાવના વિતરણનું વર્ગીકરણ

લેવિન એટ અલ મેનેજર્સ માટેના આંકડાઓ પુસ્તકમાંથી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. – એમ.: વિલિયમ્સ, 2004. – પી. 320-328