ઘણી સમસ્યાઓ આપણને ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર અથવા સમગ્ર વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ફંક્શન મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા તરફ દોરી જાય છે. આવા કાર્યોમાં અભિવ્યક્તિઓના વિવિધ મૂલ્યાંકન અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાનો સમાવેશ થાય છે.

આ લેખમાં, અમે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું અને સરળથી વધુ જટિલ સુધીના ઉદાહરણોના ઉકેલનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું. સ્પષ્ટતા માટે તમામ સામગ્રી ગ્રાફિક ચિત્રો સાથે પ્રદાન કરવામાં આવશે. તો આ લેખ ફંક્શનની શ્રેણી કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો વિગતવાર જવાબ છે.

વ્યાખ્યા.

અંતરાલ X પર ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોનો સમૂહફંક્શનના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જે તે બધા પર પુનરાવર્તન કરતી વખતે લે છે.

વ્યાખ્યા.

કાર્ય શ્રેણી y = f(x)એ ફંક્શનના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જે વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી તમામ x પર પુનરાવર્તન કરતી વખતે લે છે.

કાર્યની શ્રેણી E(f) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

ફંક્શનની શ્રેણી અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ એક જ વસ્તુ નથી. અમે આ વિભાવનાઓને સમકક્ષ ગણીશું જો ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોના સમૂહને શોધતી વખતે અંતરાલ X ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે એકરુપ હોય.

ઉપરાંત, સમાનતા y=f(x) ની જમણી બાજુએ અભિવ્યક્તિ માટે ચલ x સાથે ફંક્શનની શ્રેણીને ગૂંચવશો નહીં. પ્રદેશ સ્વીકાર્ય મૂલ્યો f(x) અભિવ્યક્તિ માટે ચલ x - આ કાર્ય y=f(x) ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન છે.

આકૃતિ ઘણા ઉદાહરણો બતાવે છે.

ફંક્શન ગ્રાફ જાડી વાદળી રેખાઓ સાથે બતાવવામાં આવે છે, પાતળી લાલ રેખાઓ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે, લાલ બિંદુઓ અને ઓય ધરી પરની રેખાઓ અનુરૂપ કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી દર્શાવે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી ફંક્શનના ગ્રાફને y-અક્ષ પર રજૂ કરીને મેળવવામાં આવે છે. તે એક સિંગલ નંબર (પ્રથમ કેસ), સંખ્યાઓનો સમૂહ (બીજો કેસ), એક સેગમેન્ટ (ત્રીજો કેસ), એક અંતરાલ (ચોથો કેસ), ઓપન રે (પાંચમો કેસ), એક સંઘ (છઠ્ઠો કેસ) વગેરે હોઈ શકે છે. .

તો તમારે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે શું કરવાની જરૂર છે?

ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ સરળ કેસ: અમે તમને બતાવીશું કે મૂલ્યોનો સમૂહ કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવો સતત કાર્ય y = f(x) સેગમેન્ટ પર.

તે જાણીતું છે કે અંતરાલ પર સતત કાર્ય તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. આમ, સેગમેન્ટ પરના મૂળ ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ સેગમેન્ટ હશે . પરિણામે, અમારું કાર્ય સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાનું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આર્ક્સીન ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધીએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શન y = arcsinx ની શ્રેણી સ્પષ્ટ કરો.

ઉકેલ.

આર્કસાઇનની વ્યાખ્યાનો વિસ્તાર સેગમેન્ટ છે [-1; 1]. ચાલો સૌથી મહાન અને શોધીએ સૌથી નાનું મૂલ્યઆ સેગમેન્ટ પરના કાર્યો.

વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (-1; 1) થી તમામ x માટે હકારાત્મક છે, એટલે કે, આર્કસાઇન કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે. પરિણામે, તે x = -1 પર સૌથી નાનું મૂલ્ય અને x = 1 પર સૌથી મોટું લે છે.

અમે આર્ક્સીન ફંક્શનની શ્રેણી મેળવી છે .

ઉદાહરણ.

કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો સેગમેન્ટ પર.

ઉકેલ.

ચાલો આપેલ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત શોધીએ.

ચાલો આપણે સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા અંતિમ બિંદુઓ નક્કી કરીએ:

અમે મૂળ ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી સેગમેન્ટના છેડે અને બિંદુઓ પર કરીએ છીએ :

તેથી, અંતરાલ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ અંતરાલ છે .

હવે આપણે બતાવીશું કે અંતરાલો (a; b) , માં સતત ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોનો સમૂહ કેવી રીતે શોધવો.

પ્રથમ, અમે આપેલ અંતરાલ પર કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ, કાર્યનો અંતિમ ભાગ, વધારાના અંતરાલો અને કાર્યના ઘટાડાને નિર્ધારિત કરીએ છીએ. આગળ, અમે અંતરાલના અંતે અને (અથવા) અનંતતા પરની મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ છીએ (એટલે ​​​​કે, અમે અંતરાલની સીમાઓ પર અથવા અનંતતા પર કાર્યના વર્તનનો અભ્યાસ કરીએ છીએ). આ માહિતી આવા અંતરાલો પર કાર્ય મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા માટે પૂરતી છે.

ઉદાહરણ.

અંતરાલ (-2; 2) પર કાર્ય મૂલ્યોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરો.

ઉકેલ.

ચાલો અંતરાલ (-2; 2) પર આવતા ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ શોધીએ:

ડોટ x = 0 એ મહત્તમ બિંદુ છે, કારણ કે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો જ્યારે તેમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વત્તાથી માઈનસમાં સાઇન કરે છે, અને ફંક્શનનો ગ્રાફ વધતાથી ઘટતો જાય છે.

કાર્યની અનુરૂપ મહત્તમ છે.

ચાલો ફંક્શનની વર્તણૂક શોધીએ કારણ કે x જમણી બાજુએ -2 તરફ વળે છે અને x ડાબી બાજુ 2 તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે, આપણે એકતરફી મર્યાદા શોધીએ છીએ:

આપણને શું મળ્યું: જ્યારે દલીલ -2 થી શૂન્યમાં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન વેલ્યુ માઈનસ અનંતથી માઈનસ એક ચતુર્થાંશ સુધી વધે છે (x = 0 પર ફંક્શનની મહત્તમ), જ્યારે દલીલ શૂન્યથી 2 માં બદલાય છે, કાર્ય મૂલ્યો માઈનસ અનંત સુધી ઘટે છે. આમ, અંતરાલ (-2; 2) પર કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે.

ઉદાહરણ.

અંતરાલ પર સ્પર્શક કાર્ય y = tgx ના મૂલ્યોના સમૂહનો ઉલ્લેખ કરો.

ઉકેલ.

અંતરાલ પરના સ્પર્શક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ધન છે , જે કાર્યમાં વધારો સૂચવે છે. ચાલો અંતરાલની સીમાઓ પર કાર્યના વર્તનનો અભ્યાસ કરીએ:

આમ, જ્યારે દલીલ થી માં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો માઈનસ અનંતથી વત્તા અનંત સુધી વધે છે, એટલે કે, આ અંતરાલ પરના સ્પર્શક મૂલ્યોનો સમૂહ એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

ઉદાહરણ.

કાર્યની શ્રેણી શોધો કુદરતી લઘુગણક y = lnx.

ઉકેલ.

કુદરતી લઘુગણક કાર્ય માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે હકારાત્મક મૂલ્યોદલીલ . આ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે , આ તેના પરના કાર્યમાં વધારો સૂચવે છે. ચાલો ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદા શોધીએ કારણ કે દલીલ જમણી બાજુએ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને x તરીકેની મર્યાદા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે:

આપણે જોઈએ છીએ કે જેમ x શૂન્યથી વત્તા અનંતમાં બદલાય છે, ફંક્શનના મૂલ્યો માઇનસ અનંતથી વત્તા અનંતમાં વધે છે. તેથી, કુદરતી લઘુગણક કાર્યની શ્રેણી એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે.

ઉદાહરણ.

ઉકેલ.

આ કાર્ય દરેક માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે વાસ્તવિક મૂલ્યો x ચાલો આત્યંતિક બિંદુઓ, તેમજ કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો નક્કી કરીએ.

પરિણામે, ફંક્શન , પર ઘટે છે, વધે છે, x = 0 એ મહત્તમ બિંદુ છે, કાર્યની અનુરૂપ મહત્તમ.

ચાલો અનંત પર ફંક્શનની વર્તણૂક જોઈએ:

આમ, અનંત સમયે ફંક્શનના મૂલ્યો એસિમ્પટોટિક રીતે શૂન્યની નજીક આવે છે.

અમે જોયું કે જ્યારે દલીલ માઈનસ અનંતથી શૂન્ય (મહત્તમ બિંદુ) માં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન વેલ્યુ શૂન્યથી નવ (ફંક્શનના મહત્તમ સુધી) સુધી વધે છે અને જ્યારે x શૂન્યથી વત્તા અનંતમાં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો નવ થી શૂન્ય સુધી ઘટાડો.

યોજનાકીય રેખાંકન જુઓ.

હવે તે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે કે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી છે.

અંતરાલો પર ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા માટે સમાન સંશોધનની જરૂર છે. અમે હવે આ કેસો પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં. અમે તેમને નીચેના ઉદાહરણોમાં ફરી મળીશું.

ફંક્શન y = f(x) ની વ્યાખ્યાના ડોમેનને કેટલાક અંતરાલોનું જોડાણ થવા દો. આવા ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધતી વખતે, દરેક અંતરાલ પરના મૂલ્યોના સેટ નક્કી કરવામાં આવે છે અને તેમનું જોડાણ લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

કાર્યની શ્રેણી શોધો.

ઉકેલ.

આપણા કાર્યનો છેદ શૂન્યમાં ન જવો જોઈએ, એટલે કે, .

પ્રથમ, ચાલો ઓપન રે પર ફંક્શન વેલ્યુનો સેટ શોધીએ.

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન આ અંતરાલ પર નકારાત્મક છે, એટલે કે, તેના પર કાર્ય ઘટે છે.

અમે શોધી કાઢ્યું છે કે દલીલ માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, ફંક્શન મૂલ્યો અસિમ્પ્ટોટિકલી એકતાનો સંપર્ક કરે છે. જ્યારે x માઇનસ અનંતથી બેમાં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શનના મૂલ્યો એકથી ઓછા અનંતમાં ઘટે છે, એટલે કે, વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર, ફંક્શન મૂલ્યોના સમૂહને લે છે. અમે એકતાનો સમાવેશ કરતા નથી, કારણ કે ફંક્શનના મૂલ્યો તેના સુધી પહોંચતા નથી, પરંતુ માત્ર અસ્પષ્ટપણે માઇનસ અનંત પર તેનું વલણ ધરાવે છે.

અમે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ ઓપન બીમ.

આ અંતરાલ પર કાર્ય પણ ઘટે છે.

આ અંતરાલ પર કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ સમૂહ છે.

આમ, ફંક્શનના મૂલ્યોની ઇચ્છિત શ્રેણી એ સમૂહોનું જોડાણ છે અને .

ગ્રાફિક ચિત્ર.

સામયિક કાર્યો પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ. મૂલ્યોની શ્રેણી સામયિક કાર્યોઆ કાર્યના સમયગાળાને અનુરૂપ અંતરાલ પરના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે.

ઉદાહરણ.

સાઈન ફંક્શન y = sinx ની શ્રેણી શોધો.

ઉકેલ.

આ ફંક્શન બે pi ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે. ચાલો એક સેગમેન્ટ લઈએ અને તેના પરના મૂલ્યોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

સેગમેન્ટમાં બે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ અને .

અમે આ બિંદુઓ પર અને સેગમેન્ટની સીમાઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ, સૌથી નાનું પસંદ કરીએ છીએ અને ઉચ્ચતમ મૂલ્ય:

આથી, .

ઉદાહરણ.

કાર્યની શ્રેણી શોધો .

ઉકેલ.

આપણે જાણીએ છીએ કે આર્ક કોસાઇન શ્રેણી એ શૂન્યથી પાઇ સુધીનો સેગમેન્ટ છે, એટલે કે, અથવા અન્ય પોસ્ટમાં. કાર્ય એબ્સીસા અક્ષ સાથે સ્થળાંતર કરીને અને ખેંચીને આર્કોસક્સમાંથી મેળવી શકાય છે. આવા પરિવર્તન મૂલ્યોની શ્રેણીને અસર કરતા નથી, તેથી, . કાર્ય પાસેથી મેળવેલ છે ઓય અક્ષ સાથે ત્રણ વખત ખેંચાય છે, એટલે કે, . અને રૂપાંતરનો છેલ્લો તબક્કો એ ઓર્ડિનેટ સાથે ચાર એકમો નીચે શિફ્ટ છે. આ આપણને બેવડી અસમાનતા તરફ દોરી જાય છે

આમ, મૂલ્યોની આવશ્યક શ્રેણી છે .

ચાલો આપણે બીજા ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ, પરંતુ સ્પષ્ટતા વિના (તેઓ જરૂરી નથી, કારણ કે તે સંપૂર્ણપણે સમાન છે).

ઉદાહરણ.

કાર્ય શ્રેણી વ્યાખ્યાયિત કરો .

ઉકેલ.

ચાલો ફોર્મમાં મૂળ ફંક્શન લખીએ . મૂલ્યોની શ્રેણી પાવર કાર્યઅંતરાલ છે. એટલે કે, . પછી

આથી, .

ચિત્રને પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર સતત ન હોય તેવા ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા વિશે વાત કરવી જોઈએ. આ કિસ્સામાં, અમે વ્યાખ્યાના ડોમેનને વિરામ બિંદુઓ દ્વારા અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, અને તે દરેક પર મૂલ્યોના સેટ શોધીએ છીએ. મૂલ્યોના પરિણામી સમૂહોને સંયોજિત કરીને, આપણે મૂળ કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી મેળવીએ છીએ. અમે તમને યાદ રાખવાની ભલામણ કરીએ છીએ

કાર્યનો ખ્યાલ અને તેની સાથે જોડાયેલ દરેક વસ્તુ પરંપરાગત રીતે જટિલ છે અને સંપૂર્ણ રીતે સમજી શકાતી નથી. ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે એક ખાસ અવરોધ એ વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર અને કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી (ફેરફારો) છે.
ઘણીવાર વિદ્યાર્થીઓ ફંક્શનના ડોમેન અને તેના મૂલ્યોના ડોમેન વચ્ચેનો તફાવત જોતા નથી.
અને જો વિદ્યાર્થીઓ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન શોધવાના કાર્યોમાં નિપુણતા મેળવે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવાના કાર્યો તેમને નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે.
આ લેખનો હેતુ: કાર્ય મૂલ્યો શોધવા માટેની પદ્ધતિઓથી પોતાને પરિચિત કરવા.
આ વિષયને ધ્યાનમાં લેવાના પરિણામે, સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, કાર્ય મૂલ્યોના સેટ શોધવાની સમસ્યાઓ હલ કરવાની પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, ઉપદેશાત્મક સામગ્રીમાટે સ્વતંત્ર કાર્યવિદ્યાર્થીઓ
આ લેખનો ઉપયોગ શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને ગ્રેજ્યુએશન માટે તૈયાર કરવા માટે કરી શકે છે પ્રવેશ પરીક્ષાઓ, જ્યારે વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે “ફંક્શનની મૂલ્ય શ્રેણી” પર અભ્યાસેતર પ્રવૃત્તિઓ વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમોગણિતમાં.

I. ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરવી.

ફંક્શન y = f(x) ના E(y) મૂલ્યોનું ડોમેન (સેટ) એ આવી સંખ્યાઓ y 0 નો સમૂહ છે, જેમાંના દરેક માટે સંખ્યા x 0 છે જેમ કે: f(x 0) = y 0.

ચાલો મુખ્યના મૂલ્યોની શ્રેણીને યાદ કરીએ પ્રાથમિક કાર્યો.

ચાલો ટેબલ જોઈએ.

E(y) = (0; π)

એ પણ નોંધ કરો કે સમાન ડિગ્રીના કોઈપણ બહુપદીના મૂલ્યની શ્રેણી અંતરાલ છે, જ્યાં n એ આ બહુપદીનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે.

II. ફંક્શનની શ્રેણી શોધતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યોના ગુણધર્મો

ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહને સફળતાપૂર્વક શોધવા માટે, તમારે મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ગુણધર્મો, ખાસ કરીને તેમની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સ, મૂલ્યોની શ્રેણી અને એકવિધતાની પ્રકૃતિનું સારું જ્ઞાન હોવું આવશ્યક છે. ચાલો આપણે સતત, મોનોટોન ડિફરન્સિએબલ ફંક્શનના ગુણધર્મો રજૂ કરીએ જે ફંક્શન વેલ્યુનો સેટ શોધતી વખતે મોટાભાગે ઉપયોગમાં લેવાય છે. પ્રોપર્ટીઝ 2 અને 3, એક નિયમ તરીકે, તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત રહેવા માટે પ્રાથમિક કાર્યની મિલકત સાથે એકસાથે ઉપયોગમાં લેવાય છે. તે જ સમયે, સૌથી સરળ અનેફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવાનું કાર્ય ગુણધર્મ 1 ના આધારે પ્રાપ્ત થાય છે, જો સરળ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કાર્યની એકવિધતા નક્કી કરવી શક્ય છે. સમસ્યાનો ઉકેલ વધુ સરળ છે જો કાર્ય, વધુમાં, સમાન અથવા વિષમ, સામયિક, વગેરે. આમ, ફંક્શનના મૂલ્યોના સેટ શોધવાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ, આવશ્યકતા મુજબ, ફંક્શનના નીચેના ગુણધર્મોને તપાસવા અને તેનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ:

• સાતત્ય
• એકવિધ
• ભિન્નતા;
• સમ, વિષમ, સામયિકતા, વગેરે.

ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા માટેના સરળ કાર્યો મોટે ભાગે લક્ષી હોય છે:

a) સૌથી સરળ અંદાજો અને પ્રતિબંધોનો ઉપયોગ કરવા માટે: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1, વગેરે);

b) સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવા માટે: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

c) પરિવર્તન માટે ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓ: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) ફંક્શનની એકવિધતાનો ઉપયોગ કરીને x 1/3 + 2 x-1 R દ્વારા વધે છે.

III. ચાલો વિધેયોની શ્રેણી શોધવાની રીતો પર વિચાર કરીએ.

a) ક્રમિક રીતે જટિલ કાર્ય દલીલોના મૂલ્યો શોધવા;
b) અંદાજ પદ્ધતિ;
c) કાર્યની સાતત્ય અને એકવિધતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ;
ડી) વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ;
e) કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને;
f) ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ;
g) પરિમાણ ઇનપુટ પદ્ધતિ;
h) વ્યસ્ત કાર્ય પદ્ધતિ.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિઓનો સાર જાહેર કરીએ.

ઉદાહરણ 1: શ્રેણી શોધો E(y)ફંક્શન્સ y = લોગ 0.5 (4 – 2 3 x – 9 x).

ચાલો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ ઉદાહરણને હલ કરીએ ક્રમિક શોધજટિલ કાર્ય દલીલોના મૂલ્યો. હાઇલાઇટ કર્યા સંપૂર્ણ ચોરસલોગરીધમ હેઠળ, આપણે ફંક્શનને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ

y = લોગ 0.5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = લોગ 0.5 (5 – (3 x + 1) 2)

અને અમે ક્રમિક રીતે તેની જટિલ દલીલોના મૂલ્યોના સેટ શોધીશું:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

ચાલો સૂચિત કરીએ t= 5 – (3 x +1) 2, જ્યાં -∞≤ t≤4. આમ, કિરણ પર ફંક્શન y = log 0.5 t ના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવામાં સમસ્યા ઓછી થાય છે. (-∞;4) . ફંક્શન y = log 0.5 t માત્ર માટે જ વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી, કિરણ (-∞;4) પરના તેના મૂલ્યોનો સમૂહ અંતરાલ (0;4) પરના કાર્ય મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે, જે આંતરછેદ છે. વ્યાખ્યાના ડોમેન (0;+∞) સાથે કિરણ (-∞;4) નું લઘુગણક કાર્ય. અંતરાલ પર (0;4) આ કાર્ય સતત અને ઘટતું જાય છે. મુ t> 0 તે +∞ તરફ વલણ ધરાવે છે, અને ક્યારે t = 4 મૂલ્ય -2 લે છે, તેથી E(y) =(-2, +∞).

ઉદાહરણ 2: ફંક્શનની શ્રેણી શોધો

y = cos7x + 5cosx

ચાલો અંદાજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ ઉદાહરણને હલ કરીએ, જેનો સાર એ છે કે નીચે અને ઉપરથી સતત કાર્યનો અંદાજ કાઢવો અને સાબિત કરવું કે કાર્ય અનુમાનની નીચલા અને ઉપરની સીમાઓ સુધી પહોંચે છે. આ કિસ્સામાં, અંદાજની નીચલી સીમાથી ઉપલા એક સુધીના અંતરાલ સાથે ફંક્શન મૂલ્યોના સમૂહનો સંયોગ કાર્યની સાતત્ય અને તેના માટે અન્ય મૂલ્યોની ગેરહાજરી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

અસમાનતાઓ -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 થી આપણે અંદાજ -6≤y?6 મેળવીએ છીએ. x = p અને x = 0 પર, કાર્ય -6 અને 6 મૂલ્યો લે છે, એટલે કે. અંદાજની નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ સુધી પહોંચે છે. સતત ફંક્શન cos7x અને cosx ના રેખીય સંયોજન તરીકે, ફંક્શન y સમગ્રમાં સતત છે સંખ્યા અક્ષ, તેથી, સતત કાર્યના ગુણધર્મ દ્વારા, તે -6 થી 6 સમાવિષ્ટ તમામ મૂલ્યો લે છે, અને માત્ર તે જ, કારણ કે અસમાનતા -6≤y?6 ને કારણે, અન્ય મૂલ્યો તેના માટે અશક્ય છે. આથી, E(y)= [-6;6].

ઉદાહરણ 3: શ્રેણી શોધો E(f)કાર્યો f(x)= cos2x + 2cosx.

કોસાઇન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ડબલ કોણકાર્યને રૂપાંતરિત કરો f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 અને સૂચિત કરો t=cosx. પછી f(x)= 2t 2 + 2t – 1. ત્યારથી E(cosx) =

[-1;1], પછી ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી f(x)ફંક્શન g ના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે (ટી)= 2t 2 + 2t – 1 સેગમેન્ટ [-1;1] પર, જે આપણે શોધીશું ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ. અંતરાલ [-1;1] પર y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0.5) 2 – 1.5 ફંક્શન પ્લોટ કર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ E(f) = [-1,5; 3].

નોંધ: પરિમાણ સાથેની ઘણી સમસ્યાઓ ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જે મુખ્યત્વે સમીકરણો અને અસમાનતાઓના ઉકેલોની સોલ્વેબિલિટી અને સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ f(x)= a જો અને માત્ર જો ઉકેલી શકાય તેવું છે

એક E(f)તેવી જ રીતે, Eq. f(x)= a નું ઓછામાં ઓછું એક રુટ અમુક અંતરાલ X પર સ્થિત છે, અથવા આ અંતરાલ પર એક પણ રુટ નથી જો અને માત્ર જો કોઈ ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે સંબંધિત હોય અથવા ન હોય f(x)અંતરાલ X પર. કાર્ય મૂલ્યો અને અસમાનતાઓના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને પણ અભ્યાસ કર્યો f(x)≠એ, f(x)> a, વગેરે ખાસ કરીને, f(x)≠અને x ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યો માટે, જો એક E(f)

ઉદાહરણ 4. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) અંતરાલ [-4;-1] પર એક જ મૂળ ધરાવે છે.

ચાલો સમીકરણને ફોર્મમાં લખીએ (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. છેલ્લું સમીકરણ અંતરાલ [-4;-1] પર ઓછામાં ઓછું એક રુટ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો એ ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે સંબંધિત હોય f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) સેગમેન્ટ [-4;-1] પર. ચાલો ફંક્શનની સાતત્ય અને એકવિધતાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આ સમૂહને શોધીએ.

અંતરાલ [-4;-1] પર કાર્ય y = xІ + 4 સતત, ઘટતું અને ધન છે, તેથી કાર્ય g(x) = 1/(x 2 + 4) સતત છે અને આ સેગમેન્ટ પર વધે છે, ત્યારથી જ્યારે વિભાજિત થાય છે હકારાત્મક કાર્યકાર્યની એકવિધતાની પ્રકૃતિ વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. કાર્ય h(x) =(x + 5) 1/2 તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત અને વધી રહ્યું છે D(h) =[-5;+∞) અને, ખાસ કરીને, સેગમેન્ટ [-4;-1] પર, જ્યાં તે ઉપરાંત, હકારાત્મક છે. પછી કાર્ય f(x)=g(x) h(x), બે સતત, વધતા અને સકારાત્મક કાર્યોના ઉત્પાદન તરીકે, સેગમેન્ટ [-4;-1] પર પણ સતત અને વધતા રહે છે, તેથી [-4;-1] પર તેના મૂલ્યોનો સમૂહ સેગમેન્ટ છે [-4;-1] f(-4); f(-1)] = પરિણામે, સમીકરણમાં અંતરાલ [-4;-1] પર ઉકેલ છે, અને એકમાત્ર (સતતની મિલકત દ્વારા એકવિધ કાર્ય), 0.05 ≤ a ≤ 0.4 પર

ટિપ્પણી. સમીકરણની ઉકેલક્ષમતા f(x) = aચોક્કસ અંતરાલ પર X એ પરિમાણના મૂલ્યો સાથે સંબંધિત છે એકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ f(x) X પર. પરિણામે, ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ f(x)અંતરાલ પર X પરિમાણ મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે એ, જેના માટે સમીકરણ f(x) = aઅંતરાલ X પર ઓછામાં ઓછું એક રુટ છે. ખાસ કરીને, મૂલ્યોની શ્રેણી E(f)કાર્યો f(x)પરિમાણ મૂલ્યોના સમૂહ સાથે મેળ ખાય છે એ, જેના માટે સમીકરણ f(x) = aઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 5: શ્રેણી શોધો E(f)કાર્યો

ચાલો ઉદાહરણને ઉકેલીએ જે મુજબ પરિમાણ રજૂ કરીએ E(f)પરિમાણ મૂલ્યોના સમૂહ સાથે મેળ ખાય છે એ, જેના માટે સમીકરણ

ઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે.

જ્યારે a = 2, સમીકરણ રેખીય છે - 4x - 5 = 0 અજ્ઞાત x માટે બિન-શૂન્ય ગુણાંક સાથે, તેથી તેની પાસે ઉકેલ છે. a≠2 માટે, સમીકરણ ચતુર્ભુજ છે, તેથી તે ઉકેલી શકાય તેવું છે જો અને માત્ર જો તેનો ભેદભાવ હોય

કારણ કે બિંદુ a = 2 સેગમેન્ટનો છે

પછી પરિમાણ મૂલ્યોનો ઇચ્છિત સમૂહ એ,તેથી, મૂલ્યોની શ્રેણી E(f)સમગ્ર સેગમેન્ટ હશે.

કેવી રીતે સીધો વિકાસફંક્શન મૂલ્યોનો સમૂહ શોધતી વખતે પરિમાણ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ, તમે inverse ફંક્શનની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો, જે શોધવા માટે તમારે x માટે સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે. f(x)=y, y ને એક પરિમાણ ગણીને. જો આ સમીકરણ છે એકમાત્ર ઉકેલ x =g(y), પછી મૂલ્યોની શ્રેણી E(f)મૂળ કાર્ય f(x)વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે એકરુપ છે ડી(જી)વ્યસ્ત કાર્ય g(y). જો સમીકરણ f(x)=yઘણા ઉકેલો છે x =g 1 (y), x =g 2 (y)વગેરે, પછી E(f)ફંક્શનના ડોમેન્સના યુનિયનની બરાબર છે g 1 (y), g 2 (y)વગેરે

ઉદાહરણ 6: શ્રેણી શોધો E(y)ફંક્શન્સ y = 5 2/(1-3x).

Eq થી.

અમે શોધીશું વ્યસ્ત કાર્ય x = લોગ 3 (લોગ 5 y – 2)/(લોગ 5 y)) અને તેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(x):

x માટે સમીકરણ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે, તેથી

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).

જો ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં ઘણા અંતરાલો હોય અથવા ફંક્શન અલગ-અલગ અંતરાલો પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોય વિવિધ સૂત્રો, પછી ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે, તમારે દરેક અંતરાલ પર ફંક્શન વેલ્યુના સેટ શોધવાની અને તેમનું યુનિયન લેવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 7: રેન્જ શોધો f(x)અને f(f(x)), ક્યાં

f(x)કિરણ (-∞;1] પર, જ્યાં તે 4 x + 9 4 -x + 3 અભિવ્યક્તિ સાથે એકરુપ છે. ચાલો સૂચિત કરીએ t = 4 x. પછી f(x) = t + 9/t + 3, જ્યાં 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)કિરણ પર (-∞;1] ફંક્શનના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે g(t) = t + 9/t + 3, અંતરાલ પર (0;4], જે આપણે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ g’(t) = 1 – 9/t 2. અંતરાલ પર (0;4] વ્યુત્પન્ન g'(t)વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને ત્યાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે t = 3. 0 પર<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)ઘટે છે, અને અંતરાલમાં (3;4) તે વધે છે, સમગ્ર અંતરાલ (0;4) દરમિયાન સતત રહે છે, તેથી g (3)= 9 – અંતરાલ પર આ કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય (0;4], જ્યારે તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી, તેથી જ્યારે t→0જમણી બાજુનું કાર્ય g(t)→+∞.પછી, સતત કાર્યની મિલકત દ્વારા, કાર્યના મૂલ્યોનો સમૂહ g(t)અંતરાલ પર (0;4], અને તેથી મૂલ્યોનો સમૂહ f(x)(-∞;-1] પર, એક કિરણ હશે.

હવે, અંતરાલોનું સંયોજન - કાર્ય મૂલ્યોના સેટ f(f(x)), સૂચવો t = f(x). પછી f(f(x)) = f(t), જ્યાં ઉલ્લેખિત માટે tકાર્ય f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 અને તે ફરીથી 5 થી 9 સુધીના તમામ મૂલ્યો લે છે, એટલે કે. શ્રેણી E(fІ) = E(f(f(x))) =.

એ જ રીતે, સૂચિત z = f(f(x)), તમે મૂલ્યોની શ્રેણી શોધી શકો છો E(f 3)કાર્યો f(f(f(x))) = f(z), જ્યાં 5 ≤ z ≤ 9, વગેરે. ખાતરી કરો E(f 3) = .

ફંક્શન મૂલ્યોનો સમૂહ શોધવાની સૌથી સાર્વત્રિક પદ્ધતિ એ આપેલ અંતરાલ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવાનો છે.

ઉદાહરણ 8. કયા પરિમાણની કિંમતો પર આરઅસમાનતા 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 xબધા માટે ધરાવે છે -1 ≤ x< 2.

નિયુક્ત કર્યા t = 2x, અમે ફોર્મમાં અસમાનતા લખીએ છીએ р ≠ t 3 – 2t 2 + t. કારણ કે t = 2x- સતત વધતા કાર્ય ચાલુ આર,પછી -1 ≤ x માટે< 2 переменная

2 -1 ≤ ટી<2 2 ↔

0.5 ≤ ટી< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда આરકાર્ય મૂલ્યોથી અલગ f(t) = t 3 – 2t 2 + t 0.5 ≤ t પર< 4.

ચાલો પહેલા ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ શોધીએ f(t)સેગમેન્ટ પર જ્યાં તે દરેક જગ્યાએ ડેરિવેટિવ ધરાવે છે f’(t) =3t 2 – 4t + 1. આથી, f(t)વિભેદક છે, અને તેથી અંતરાલ પર સતત. Eq થી. f’(t) = 0કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો t = 1/3, t = 1,જેમાંથી પ્રથમ સેગમેન્ટનો નથી, અને બીજો તેનો છે. કારણ કે f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,પછી, વિભેદક કાર્યની મિલકત અનુસાર, 0 એ સૌથી નાનું છે, અને 36 એ કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે f(t)સેગમેન્ટ પર. પછી f(t),સતત કાર્ય તરીકે, તે અંતરાલ પર 0 થી 36 સુધીના તમામ મૂલ્યો લે છે, અને મૂલ્ય 36 ત્યારે જ લે છે જ્યારે t=4, તેથી, 0.5 ≤ t માટે< 4, она принимает все значения из промежутка . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

ચાલો એક સમસ્યા લઈએ જેમાં આપણે આર્ક્સીન મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 1

શરત:મૂલ્યોની શ્રેણી શોધો y = a r c sin x .

ઉકેલ

સામાન્ય કિસ્સામાં, આર્ક્સીનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેગમેન્ટ પર સ્થિત છે [ - 1 ; 1]. આપણે તેના પર નિર્દિષ્ટ કાર્યની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત નક્કી કરવાની જરૂર છે.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

આપણે જાણીએ છીએ કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અંતરાલ [ - 1 ; 1 ], એટલે કે, વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં, આર્કસાઇન કાર્ય વધશે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે x - 1 ની બરાબર હોય ત્યારે તે સૌથી નાનું મૂલ્ય લેશે, અને જ્યારે x 1 ની બરાબર હોય ત્યારે સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

આમ, આર્ક્સીન ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી E (a r c sin x) = - π 2 ની બરાબર હશે; π 2.

જવાબ: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

ઉદાહરણ 2

શરત:આપેલ અંતરાલ પર y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 મૂલ્યોની શ્રેણીની ગણતરી કરો [ 1 ; 4].

ઉકેલ

આપેલ અંતરાલમાં ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતની ગણતરી કરવાની છે.

આત્યંતિક બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે, નીચેની ગણતરીઓ કરવી આવશ્યક છે:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1 ; = 15 + 33 8 ≈ 2 .

હવે આપણે સેગમેન્ટના છેડે આપેલ ફંક્શનની કિંમતો શોધીએ અને પોઈન્ટ x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ સેગમેન્ટ 117 - 165 33 512 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે; 32.

જવાબ: 117 - 165 33 512 ; 32 .

ચાલો અંતરાલો (a ; b), અને a ; માં સતત કાર્ય y = f (x) ના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા તરફ આગળ વધીએ. + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞

ચાલો સૌથી મોટા અને નાના બિંદુઓ, તેમજ આપેલ અંતરાલ પર વધતા અને ઘટવાના અંતરાલો નક્કી કરીને પ્રારંભ કરીએ. આ પછી, અમારે અંતરાલના અંતે એકતરફી મર્યાદાઓ અને/અથવા અનંતતાની મર્યાદાઓની ગણતરી કરવાની જરૂર પડશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે આપેલ શરતો હેઠળ કાર્યનું વર્તન નક્કી કરવાની જરૂર છે. અમારી પાસે આ માટે જરૂરી તમામ ડેટા છે.

ઉદાહરણ 3

શરત:અંતરાલ (- 2 ; 2) પર ફંક્શન y = 1 x 2 - 4 ની શ્રેણીની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

આપેલ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરો

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2; 2)

અમને 0 જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય મળ્યું, કારણ કે તે આ બિંદુએ છે કે ફંક્શનની નિશાની બદલાય છે અને ગ્રાફ ઘટવા લાગે છે. ચિત્ર જુઓ:

એટલે કે, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 એ ફંક્શનની મહત્તમ કિંમત હશે.

હવે ચાલો x માટે ફંક્શનની વર્તણૂક નક્કી કરીએ જે - 2 સે જમણી બાજુઅને ડાબી બાજુએ k + 2. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એકતરફી મર્યાદા શોધીએ છીએ:

લિમ x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = લિમ x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ લિમ x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = લિમ x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

તે તારણ આપે છે કે જ્યારે દલીલ - 2 થી 0 માં બદલાશે ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો માઈનસ અનંતથી વધીને - 1 4 થશે. અને જ્યારે દલીલ 0 થી 2 માં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન વેલ્યુ માઈનસ અનંત તરફ ઘટે છે. તેથી, આપણને જરૂરી અંતરાલ પર આપેલ કાર્યના મૂલ્યોનો સમૂહ હશે (- ∞ ; - 1 4 ] .

જવાબ: (- ∞ ; - 1 4 ] .

ઉદાહરણ 4

શરત: આપેલ અંતરાલ પર મૂલ્યોનો સમૂહ y = t g x સૂચવો - π 2; π 2.

ઉકેલ

આપણે જાણીએ છીએ કે સામાન્ય કિસ્સામાં સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન છે - π 2; π 2 હકારાત્મક હશે, એટલે કે, કાર્ય વધશે. હવે ચાલો નક્કી કરીએ કે આપેલ સીમાઓમાં ફંક્શન કેવી રીતે વર્તે છે:

લિમ x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ લિમ x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

જ્યારે દલીલ - π 2 થી π 2 માં બદલાય છે ત્યારે અમે ફંક્શનના મૂલ્યોમાં માઈનસ અનંતથી વત્તા અનંત સુધી વધારો મેળવ્યો છે, અને અમે કહી શકીએ કે આ ફંક્શનના ઉકેલોનો સમૂહ તમામ વાસ્તવિકનો સમૂહ હશે. સંખ્યાઓ

જવાબ: - ∞ ; + ∞ .

ઉદાહરણ 5

શરત:કુદરતી લઘુગણક કાર્ય y = ln x ની શ્રેણી નક્કી કરો.

ઉકેલ

તે આપણે જાણીએ છીએ આ કાર્યદલીલ D (y) = 0 ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે; + ∞ આપેલ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન ધન હશે: y " = ln x " = 1 x . આનો અર્થ એ છે કે તેના પર કાર્ય વધે છે. આગળ આપણે કેસ માટે એકતરફી મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે જ્યારે દલીલ 0 (જમણી બાજુએ) તરફ વળે છે અને જ્યારે x અનંત તરફ જાય છે:

લિમ x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ લિમ x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

અમને જાણવા મળ્યું છે કે x ના મૂલ્યો શૂન્યથી વત્તા અનંતમાં બદલાતા હોવાથી ફંક્શનના મૂલ્યો માઇનસ અનંતથી વત્તા અનંત સુધી વધશે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ એ કુદરતી લઘુગણક કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી છે.

જવાબ:તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ એ કુદરતી લઘુગણક કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી છે.

ઉદાહરણ 6

શરત:કાર્ય y = 9 x 2 + 1 ની શ્રેણી નક્કી કરો.

ઉકેલ

આ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો કે x એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ચાલો ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોની તેમજ તેના વધારો અને ઘટાડાના અંતરાલોની ગણતરી કરીએ:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

પરિણામે, અમે નક્કી કર્યું છે કે આ કાર્ય ઘટશે જો x ≥ 0; વધારો જો x ≤ 0 ; તે 0 ની બરાબર ચલ સાથે મહત્તમ બિંદુ y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 ધરાવે છે.

ચાલો જોઈએ કે ફંક્શન અનંત પર કેવી રીતે વર્તે છે:

લિમ x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 લિમ x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

રેકોર્ડ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે આ કિસ્સામાં ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી 0 ની નજીક આવશે.

સારાંશ માટે: જ્યારે દલીલ માઈનસ અનંતથી શૂન્યમાં બદલાય છે, ત્યારે કાર્ય મૂલ્યો 0 થી 9 સુધી વધે છે. જ્યારે દલીલ મૂલ્યો 0 થી વત્તા અનંતમાં બદલાય છે, ત્યારે અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો 9 થી 0 સુધી ઘટશે. અમે આકૃતિમાં બતાવ્યું છે:

તે દર્શાવે છે કે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી અંતરાલ E (y) = (0 ; 9 ] હશે.

જવાબ: E (y) = (0 ; 9 ]

જો આપણે અંતરાલો [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , તો પછી આપણે બરાબર એ જ અભ્યાસ હાથ ધરવાની જરૂર પડશે. અમે આ કેસોનું અત્યારે વિશ્લેષણ કરીશું નહીં: અમે તેમને પછીથી મળીશું સમસ્યાઓ

પરંતુ જો ચોક્કસ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન કેટલાંક અંતરાલોનું જોડાણ હોય તો શું? પછી આપણે આ દરેક અંતરાલો પરના મૂલ્યોના સેટની ગણતરી કરવાની અને તેમને જોડવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 7

શરત:મૂલ્યોની શ્રેણી y = x x - 2 હશે તે નક્કી કરો.

ઉકેલ

કારણ કે ફંક્શનનો છેદ 0 તરફ વળવો જોઈએ નહીં, પછી D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞

ચાલો પ્રથમ સેગમેન્ટ પર ફંક્શન વેલ્યુના સેટને વ્યાખ્યાયિત કરીને શરૂ કરીએ - ∞; 2, જે એક ખુલ્લું બીમ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે તેના પરનું કાર્ય ઘટશે, એટલે કે, આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હશે.

લિમ x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ લિમ x → - ∞ x x - 2 = લિમ x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

પછી, એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં દલીલ માઈનસ અનંત તરફ બદલાય છે, ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી 1 નો સંપર્ક કરશે. જો x ના મૂલ્યો માઇનસ અનંતથી 2 માં બદલાય છે, તો મૂલ્યો 1 થી ઓછા અનંત સુધી ઘટશે, એટલે કે. આ સેગમેન્ટ પરનું કાર્ય અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લેશે - ∞; 1. અમે અમારા તર્કમાંથી એકતાને બાકાત રાખીએ છીએ, કારણ કે ફંક્શનના મૂલ્યો તેના સુધી પહોંચતા નથી, પરંતુ ફક્ત અસ્પષ્ટપણે તેનો સંપર્ક કરીએ છીએ.

ઓપન બીમ 2 માટે; + ∞ આપણે બરાબર એ જ ક્રિયાઓ કરીએ છીએ. તેના પરનું કાર્ય પણ ઘટી રહ્યું છે:

લિમ x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ લિમ x → + ∞ x x - 2 = લિમ x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

આપેલ સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યો સેટ 1 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે; + ∞ આનો અર્થ એ છે કે શરતમાં ઉલ્લેખિત કાર્ય માટે આપણને જરૂરી મૂલ્યોની શ્રેણી સેટનું યુનિયન હશે - ∞ ; 1 અને 1; + ∞

જવાબ: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞

આ ગ્રાફ પર જોઈ શકાય છે:

એક ખાસ કેસ સામયિક કાર્યો છે. તેમના મૂલ્યોની શ્રેણી અંતરાલ પરના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે જે આ કાર્યના સમયગાળાને અનુરૂપ છે.

ઉદાહરણ 8

શરત: sine y = sin x ના મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરો.

ઉકેલ

સાઈન એ સામયિક કાર્ય છે અને તેનો સમયગાળો 2 pi છે. અમે સેગમેન્ટ 0 લઈએ છીએ; 2 π અને તેના પરના મૂલ્યોનો સમૂહ શું હશે તે જુઓ.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 ની અંદર; 2 π ફંક્શનમાં એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ π 2 અને x = 3 π 2 હશે. ચાલો ગણતરી કરીએ કે તેમાં ફંક્શન વેલ્યુ શું સમાન હશે, તેમજ સેગમેન્ટની સીમાઓ પર, અને પછી સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત પસંદ કરો.

y (0) = પાપ 0 = 0 y π 2 = પાપ π 2 = 1 y 3 π 2 = પાપ 3 π 2 = - 1 y (2 π) = પાપ (2 π) = 0 ⇔ મિનિટ x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , મહત્તમ x ∈ 0 ; 2 π પાપ x = પાપ π 2 = 1

જવાબ: E (sin x) = - 1 ; 1.

જો તમારે પાવર, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ જેવા કાર્યોની શ્રેણી જાણવાની જરૂર હોય, તો અમે તમને મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો પરનો લેખ ફરીથી વાંચવાની સલાહ આપીશું. અમે અહીં જે સિદ્ધાંત રજૂ કરીએ છીએ તે અમને ત્યાં જણાવેલ મૂલ્યોને ચકાસવાની મંજૂરી આપે છે. તેમને શીખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે કારણ કે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તે ઘણીવાર જરૂરી હોય છે. જો તમે મૂળભૂત કાર્યોની શ્રેણીઓ જાણો છો, તો તમે ભૌમિતિક રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક કાર્યોમાંથી મેળવેલા કાર્યોની શ્રેણી સરળતાથી શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 9

શરત:મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરો y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

ઉકેલ

આપણે જાણીએ છીએ કે 0 થી pi સેગમેન્ટ એ આર્ક કોસાઇન શ્રેણી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, E (a r c cos x) = 0; π અથવા 0 ≤ a r c cos x ≤ π . આપણે આર્ક કોસાઈનમાંથી a r c cos x 3 + 5 π 7 ફંક્શનને O x અક્ષ સાથે ખસેડીને અને ખેંચીને મેળવી શકીએ છીએ, પરંતુ આવા રૂપાંતરણો આપણને કંઈ આપશે નહીં. આનો અર્થ છે 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

ફંક્શન 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 આર્ક કોસાઇન a r c cos x 3 + 5 π 7 માંથી ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ખેંચીને મેળવી શકાય છે, એટલે કે. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . અંતિમ રૂપાંતરણ એ O y અક્ષ સાથે 4 મૂલ્યો દ્વારા એક પાળી છે. પરિણામે, અમને બેવડી અસમાનતા મળે છે:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 આર્કોસ x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

અમને જાણવા મળ્યું કે આપણને જરૂરી મૂલ્યોની શ્રેણી E (y) = - 4 ની બરાબર હશે; 3 π - 4 .

જવાબ: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .

અમે સમજૂતી વિના બીજું ઉદાહરણ લખીશું, કારણ કે તે અગાઉના એક સાથે સંપૂર્ણપણે સમાન છે.

ઉદાહરણ 10

શરત:ફંક્શન y = 2 2 x - 1 + 3 ની શ્રેણી શું હશે તેની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

ચાલો શરતમાં ઉલ્લેખિત કાર્યને y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 તરીકે ફરીથી લખીએ. પાવર ફંક્શન y = x - 1 2 માટે મૂલ્યોની શ્રેણી અંતરાલ 0 પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે; + ∞, એટલે કે. x - 1 2 > 0 . આ કિસ્સામાં:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

તેથી E(y) = 3; + ∞

જવાબ: E(y) = 3; + ∞

હવે ચાલો જોઈએ કે સતત ન હોય તેવા ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી કેવી રીતે શોધવી. આ કરવા માટે, આપણે સમગ્ર વિસ્તારને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને તેમાંથી દરેકમાં મૂલ્યોના સેટ શોધવાની જરૂર છે, અને પછી આપણને જે મળે છે તે ભેગા કરવાની જરૂર છે. આને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અમે તમને મુખ્ય પ્રકારનાં ફંક્શન બ્રેકપોઇન્ટ્સની સમીક્ષા કરવાની સલાહ આપીએ છીએ.

ઉદાહરણ 11

શરત:કાર્ય y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 આપેલ છે< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. તેના મૂલ્યોની શ્રેણીની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

આ કાર્ય x ના તમામ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ચાલો - 3 અને 3 ની સમાન દલીલ મૂલ્યો માટે સાતત્ય માટે તેનું વિશ્લેષણ કરીએ:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = લિમ x → - 3 (1) = - 1 ⇒ લિમ x → - 3 - 0 f (x) ≠ લિમ x → - 3 + 0 f (x)

અમારી પાસે દલીલની કિંમત - 3 સાથે પ્રથમ પ્રકારનું એક અસ્થાયી વિરામ છે. જેમ જેમ આપણે તેની પાસે જઈએ છીએ, ફંક્શનના મૂલ્યો - 2 sin 3 2 - 4 તરફ વલણ ધરાવે છે, અને જેમ x જમણી બાજુએ - 3 તરફ વળે છે, મૂલ્યો - 1 તરફ વળશે.

લિમ x → 3 - 0 f (x) = લિમ x → 3 - 0 (- 1) = 1 લિમ x → 3 + 0 f (x) = લિમ x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

અમારી પાસે પોઈન્ટ 3 પર બીજા પ્રકારનું એક અફર કરી શકાય તેવું વિરામ છે. જ્યારે ફંક્શન તેની તરફ વળે છે, ત્યારે તેના મૂલ્યો - 1 સુધી પહોંચે છે, જ્યારે જમણી બાજુના સમાન બિંદુ તરફ વળે છે - માઇનસ અનંત સુધી.

આનો અર્થ એ છે કે આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને 3 અંતરાલો (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

તેમાંથી પ્રથમમાં, આપણને ફંક્શન y = 2 sin x 2 - 4 મળ્યું. ત્યારથી - 1 ≤ sin x ≤ 1, આપણને મળે છે:

1 ≤ પાપ x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

આનો અર્થ એ છે કે આપેલ અંતરાલ પર (- ∞ ; - 3 ] ફંક્શન મૂલ્યોનો સમૂહ [ - 6 ; 2 ] છે.

અડધા અંતરાલ પર (- 3 ; 3 ] તે બહાર આવ્યું સતત કાર્ય y = - 1 . પરિણામે, તેના મૂલ્યોનો સંપૂર્ણ સમૂહ આ કિસ્સામાંઘટાડીને એક નંબર - 1 કરવામાં આવશે.

બીજા અંતરાલ પર 3 ; + ∞ આપણી પાસે y = 1 x - 3 ફંક્શન છે. તે ઘટી રહ્યું છે કારણ કે y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

લિમ x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ લિમ x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

આનો અર્થ એ છે કે x > 3 માટેના મૂળ ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ 0 છે; + ∞ હવે ચાલો પરિણામોને જોડીએ: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞

જવાબ: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞

ઉકેલ ગ્રાફમાં બતાવવામાં આવ્યો છે:

ઉદાહરણ 12

શરત: એક ફંક્શન y = x 2 - 3 e x છે. તેના મૂલ્યોનો સમૂહ નક્કી કરો.

ઉકેલ

તે રજૂ કરતા તમામ દલીલ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. ચાલો નક્કી કરીએ કે આ કાર્ય કયા અંતરાલોમાં વધશે અને કયામાં તે ઘટશે:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

આપણે જાણીએ છીએ કે જો x = - 1 અને x = 3 હોય તો વ્યુત્પન્ન 0 બનશે. ચાલો આ બે બિંદુઓને ધરી પર મૂકીએ અને પરિણામી અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના કયા ચિહ્નો હશે તે શોધી કાઢીએ.

કાર્ય (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) દ્વારા ઘટશે અને [ - 1 ; 3]. ન્યૂનતમ બિંદુ - 1, મહત્તમ - 3 હશે.

હવે ચાલો અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો શોધીએ:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

ચાલો અનંત પર ફંક્શનની વર્તણૂક જોઈએ:

લિમ x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ લિમ x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = લિમ x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = લિમ x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = લિમ x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 લિમ x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

બીજી મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ચાલો ગ્રાફ પર અમારા ઉકેલની પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ.

તે બતાવે છે કે જ્યારે દલીલ માઈનસ અનંતથી - 1 માં બદલાય છે ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો વત્તા અનંતથી ઘટીને - 2 e થશે. જો તે 3 થી વત્તા અનંતમાં બદલાય છે, તો મૂલ્યો 6 e - 3 થી 0 સુધી ઘટશે, પરંતુ 0 સુધી પહોંચી શકશે નહીં.

આમ, E(y) = [ - 2 e ; + ∞).

જવાબ: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

વ્યાખ્યાન 19. કાર્ય. ડોમેન અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ.

કાર્ય એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક ખ્યાલોમાંનું એક છે.

વ્યાખ્યા: જો ચોક્કસ સમૂહ xમાંથી દરેક સંખ્યા સંકળાયેલ હોય એકવચન y, પછી આપણે કહીએ કે આ સેટ પર ફંક્શન y(x) આપેલ છે. આ કિસ્સામાં, x ને સ્વતંત્ર ચલ અથવા દલીલ કહેવામાં આવે છે, અને y ને આશ્રિત ચલ અથવા ફંક્શનની કિંમત અથવા ફક્ત ફંક્શન કહેવામાં આવે છે.

ચલ y એ ચલ xનું કાર્ય પણ કહેવાય છે.

એક અક્ષર દ્વારા મેચ નિયુક્ત કર્યા પછી, ઉદાહરણ તરીકે f, તે લખવું અનુકૂળ છે: y=f (x), એટલે કે, મેચ f નો ઉપયોગ કરીને દલીલ xમાંથી મૂલ્ય y મેળવવામાં આવે છે. (વાંચો: y એ x ના f બરાબર છે.) પ્રતીક f (x) x ની સમાન દલીલના મૂલ્યને અનુરૂપ કાર્યની કિંમત દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 1 ફંક્શનને સૂત્ર y=2x 2 –6 દ્વારા આપવા દો. પછી આપણે લખી શકીએ કે f(x)=2x 2 –6. ચાલો x ની સમાન કિંમતો માટે ફંક્શનના મૂલ્યો શોધીએ, ઉદાહરણ તરીકે, 1; 2.5;–3; એટલે કે, આપણે f(1), f(2.5), f(–3) શોધીએ છીએ:

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

નોંધ કરો કે ફોર્મ y=f (x) ના સંકેતમાં f: g, વગેરેને બદલે અન્ય અક્ષરોનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા: ફંક્શનનું ડોમેન એ x ના તમામ મૂલ્યો છે જેના માટે ફંક્શન અસ્તિત્વમાં છે.

જો ફંક્શન ફોર્મ્યુલા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યું હોય અને તેનું ડેફિનેશન ઓફ ડોમેન ઉલ્લેખિત ન હોય, તો ફંક્શનની ડેફિનેશન ઓફ ડોમેન એ દલીલના તમામ મૂલ્યોને સમાવિષ્ટ માનવામાં આવે છે જેના માટે સૂત્ર અર્થપૂર્ણ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન, આપેલ સૂત્ર, એ દલીલના તમામ મૂલ્યો છે સિવાય કે જે ક્રિયાઓમાં પરિણમે છે તે અમે કરી શકતા નથી. ચાલુ આ ક્ષણેઆપણે આવી માત્ર બે ક્રિયાઓ જાણીએ છીએ. આપણે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી અને બહાર કાઢી શકતા નથી વર્ગમૂળનકારાત્મક સંખ્યામાંથી.

વ્યાખ્યા: બધા મૂલ્યો કે જે આશ્રિત ચલ લે છે તે કાર્યની શ્રેણી બનાવે છે.

વાસ્તવિક પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા કાર્યની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર તેની ઘટનાની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, હીટિંગ તાપમાન t પર લોખંડના સળિયાની લંબાઈ l ની અવલંબન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જ્યાં l 0 એ સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ છે અને તે ગુણાંક છે. રેખીય વિસ્તરણ. આ સૂત્ર t ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે. જો કે, ફંક્શન l=g(t) ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ કેટલાક દસ ડિગ્રીનું અંતરાલ છે, જેના માટે રેખીય વિસ્તરણનો કાયદો માન્ય છે.

ઉદાહરણ.

કાર્ય શ્રેણી સ્પષ્ટ કરો y = arcsinx.

ઉકેલ.

આર્કસાઇનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેગમેન્ટ છે [-1; 1] . ચાલો આ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત શોધીએ.

વ્યુત્પન્ન દરેક માટે હકારાત્મક છે xઅંતરાલ થી (-1; 1) , એટલે કે, આર્કસાઇન કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે. તેથી, જ્યારે તે સૌથી નાનું મૂલ્ય લે છે x = -1, અને પર સૌથી મહાન x = 1.

અમે આર્ક્સીન ફંક્શનની શ્રેણી મેળવી છે .

કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો સેગમેન્ટ પર .

ઉકેલ.

ચાલો આપેલ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત શોધીએ.

ચાલો સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ નક્કી કરીએ :