ઘણા ઉકેલવા માટે વ્યવહારુ સમસ્યાઓસંચિત અસરના પરિણામને કારણે પરિસ્થિતિઓના સંકુલને જાણવું જરૂરી છે મોટી માત્રામાંરેન્ડમ પરિબળો તકથી લગભગ સ્વતંત્ર છે. આ સ્થિતિઓનું વર્ણન અનેક પ્રમેયમાં કરવામાં આવ્યું છે જેને કહેવાય છે સામાન્ય નામકાયદો મોટી સંખ્યામાં, જ્યાં kth ટ્રાયલનું પરિણામ સફળતા કે નિષ્ફળતા છે તેના આધારે રેન્ડમ ચલ k એ 1 અથવા 0 ની બરાબર છે. આમ, Sn એ n પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક p અને q સંભાવનાઓ સાથે 1 અને 0 મૂલ્યો લે છે.

મોટી સંખ્યાના કાયદાનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ બર્નૌલીનું પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે જો તમામ અજમાયશમાં ઘટનાની સંભાવના સમાન હોય, તો જેમ જેમ અજમાયશની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ તેમ ઘટનાની આવર્તન ઘટનાની સંભાવના તરફ વળે છે અને રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે.

પોઈસનનું પ્રમેયજણાવે છે કે શ્રેણીમાં ઘટનાની આવર્તન સ્વતંત્ર પરીક્ષણોતેની સંભાવનાઓના અંકગણિત સરેરાશ તરફ વલણ ધરાવે છે અને રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના મર્યાદા પ્રમેય, મોઇવર-લાપ્લેસ પ્રમેય ઘટનાની ઘટનાની આવૃત્તિની સ્થિરતાની પ્રકૃતિ સમજાવે છે. આ પ્રકૃતિ એ હકીકતમાં રહેલી છે કે અજમાયશની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાનું મર્યાદિત વિતરણ (જો ઘટનાની સંભાવના તમામ ટ્રાયલ્સમાં સમાન હોય તો) સામાન્ય વિતરણ છે.

સેન્ટ્રલ મર્યાદા પ્રમેય સામાન્ય વિતરણ કાયદાના વ્યાપક વિતરણને સમજાવે છે. પ્રમેય જણાવે છે કે જ્યારે પણ ઉમેરાના પરિણામે રેન્ડમ ચલ રચાય છે મોટી સંખ્યામાંમર્યાદિત ભિન્નતા સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ, આ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો લગભગ સામાન્ય કાયદો છે.

લ્યાપુનોવનું પ્રમેયસામાન્ય વિતરણ કાયદાના વ્યાપક વિતરણને સમજાવે છે અને તેની રચનાની પદ્ધતિ સમજાવે છે. પ્રમેય આપણને એ કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે જ્યારે પણ મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉમેરાને પરિણામે રેન્ડમ ચલ રચાય છે, જેનાં ભિન્નતા સરવાળાના વિખેરવાની તુલનામાં નાના હોય છે, ત્યારે આ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો વળે છે. લગભગ સામાન્ય કાયદો છે. અને ત્યારથી રેન્ડમ ચલોહંમેશા પેદા થાય છે અનંત સંખ્યાકારણો અને મોટાભાગે તેમાંથી કોઈ પણ રેન્ડમ વેરીએબલના વિક્ષેપ સાથે સરખાવી શકાય તેવું વિક્ષેપ ધરાવતું નથી, તો પછી વ્યવહારમાં જોવા મળતા મોટાભાગના રેન્ડમ ચલો સામાન્ય વિતરણ કાયદાને આધીન હોય છે.

મોટી સંખ્યાના કાયદાના ગુણાત્મક અને જથ્થાત્મક નિવેદનો પર આધારિત છે ચેબીશેવ અસમાનતા. તે સંભવિતતાની ઉપલી મર્યાદા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યનું તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી વિચલન ચોક્કસ કરતાં વધારે છે. આપેલ નંબર. તે નોંધપાત્ર છે કે ચેબીશેવની અસમાનતા રેન્ડમ ચલ માટે ઘટનાની સંભાવનાનો અંદાજ આપે છે જેનું વિતરણ અજ્ઞાત છે, ફક્ત તેના ગાણિતિક અપેક્ષાઅને વિખેરવું.

ચેબીશેવની અસમાનતા. જો રેન્ડમ ચલ x માં ભિન્નતા હોય, તો કોઈપણ x > 0 માટે અસમાનતા સાચી છે, જ્યાં એમ x અને ડી x - રેન્ડમ ચલ x ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા.

બર્નૌલીનું પ્રમેય. ચાલો x n એ n બર્નૌલી ટ્રાયલ્સમાં સફળતાની સંખ્યા અને p વ્યક્તિગત અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના છે. પછી કોઈપણ s > 0 માટે તે સાચું છે.

લ્યાપુનોવનું પ્રમેય. ચાલો s 1, s 2, …, s n, …- અમર્યાદિત ક્રમગાણિતિક અપેક્ષાઓ m 1, m 2, …, m n, … અને ભિન્નતા s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. ચાલો સૂચિત કરીએ.

પછી = Ф(b) - Ф(a) કોઈપણ માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b, જ્યાં Ф(x) એ સામાન્ય વિતરણ કાર્ય છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ આપવા દો. ચાલો ટ્રાયલ n ની સંખ્યા પર Sn સફળતાઓની સંખ્યાની અવલંબનને ધ્યાનમાં લઈએ. દરેક અજમાયશ પર, Sn 1 અથવા 0 દ્વારા વધે છે. આ નિવેદન આ રીતે લખી શકાય છે:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો. ચાલો (k) સમાન વિતરણો સાથે પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ હોઈએ. જો ગાણિતિક અપેક્ષા = M(k) અસ્તિત્વમાં છે, તો n માટે કોઈપણ > 0 માટે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવરેજ S n / n ગાણિતિક અપેક્ષાથી એક મનસ્વી રીતે આપેલ મૂલ્ય કરતાં ઓછા દ્વારા અલગ પડે તેવી સંભાવના એક તરફ વળે છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.ચાલો (k) સમાન વિતરણો સાથે પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ હોઈએ. ચાલો ધારીએ કે તેઓ અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો Sn = 1 +…+ n , પછી કોઈપણ નિશ્ચિત માટે

F () -- F () (1.3)

અહીં F (x) -- સામાન્ય કાર્યહું વિતરણ કરું છું. આ પ્રમેય લિનબર્ગ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યો હતો અને સાબિત થયો હતો. લ્યાપુનોવ અને અન્ય લેખકોએ તે વધુ પ્રતિબંધિત પરિસ્થિતિઓ હેઠળ અગાઉ સાબિત કર્યું હતું. તે કલ્પના કરવી જરૂરી છે કે ઉપર ઘડવામાં આવેલ પ્રમેય માત્ર એક ખૂબ જ વિશેષ કેસ છે સામાન્ય પ્રમેય, જે બદલામાં અન્ય ઘણા મર્યાદા પ્રમેય સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. નોંધ કરો કે (1.3) (1.2) કરતાં વધુ મજબૂત છે, કારણ કે (1.3) સંભાવના માટે અંદાજ આપે છે કે તફાવત કરતાં વધારે છે. બીજી બાજુ, રેન્ડમ ચલ k પાસે મર્યાદિત ભિન્નતા ન હોય તો પણ મોટી સંખ્યાનો નિયમ (1.2) સાચો છે, તેથી તે વધુને લાગુ પડે છે. સામાન્ય કેસકેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય કરતાં (1.3). ચાલો છેલ્લા બે પ્રમેયને ઉદાહરણો સાથે સમજાવીએ.

ઉદાહરણો. a) સપ્રમાણ મૃત્યુના સ્વતંત્ર થ્રોનો ક્રમ ધ્યાનમાં લો. k ને kth ફેંક દરમિયાન મેળવેલ પોઈન્ટની સંખ્યા ગણીએ. પછી

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 અને S n /n

n થ્રોના પરિણામે પોઈન્ટની સરેરાશ સંખ્યા છે.

મોટી સંખ્યાનો કાયદો જણાવે છે કે મોટા n માટે આ સરેરાશ 3.5 ની નજીક હશે તે બુદ્ધિગમ્ય છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સંભાવના જણાવે છે કે |Sn -- 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) સેમ્પલિંગ. ચાલો માની લઈએ કે માં વસ્તી,

N પરિવારોનો સમાવેશ થાય છે, Nk પરિવારોમાં દરેકમાં બરાબર k બાળકો હોય છે

(k = 0, 1 ...; Nk = N). જો કુટુંબને રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે, તો તેમાં બાળકોની સંખ્યા એ રેન્ડમ ચલ છે જે p = N/N ની સંભાવના સાથે મૂલ્ય લે છે. બેક-ટુ-બેક પસંદગીમાં, વ્યક્તિ કદ n ના નમૂનાને n સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો અથવા "અવલોકનો" 1, ..., n ના સંગ્રહ તરીકે જોઈ શકે છે કે બધાનું વિતરણ સમાન છે; S n / n એ નમૂનાનો સરેરાશ છે. મોટી સંખ્યાનો કાયદો જણાવે છે કે પૂરતી મોટી સંખ્યા માટે રેન્ડમ નમૂનાતેનો સરેરાશ કદાચ નજીક હશે, એટલે કે, વસ્તી સરેરાશ. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય વ્યક્તિને આ માધ્યમો વચ્ચેની વિસંગતતાની સંભવિત તીવ્રતાનો અંદાજ કાઢવા અને વિશ્વસનીય અંદાજ માટે જરૂરી નમૂનાનું કદ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. વ્યવહારમાં, અને અને સામાન્ય રીતે અજ્ઞાત છે; જો કે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે માટે પ્રારંભિક અંદાજ મેળવવો સરળ છે અને તેને હંમેશા વિશ્વસનીય સીમાઓમાં બંધ કરી શકાય છે. જો આપણે 0.99 અથવા તેથી વધુની સંભાવના ઇચ્છતા હોઈએ કે નમૂનાનો અર્થ S n / n એ અજાણી વસ્તીથી 1/10 કરતા ઓછો અર્થ છે, તો નમૂનાનું કદ એવું લેવું જોઈએ કે

Ф(x) - Ф(-- x) = 0.99 સમીકરણનું x મૂળ x = 2.57 ... બરાબર છે, અને તેથી n એ 2.57 અથવા n > 660 જેવું હોવું જોઈએ. સાવચેત પ્રારંભિક અંદાજ જરૂરી નમૂના કદ શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

c) ઝેરનું વિતરણ.

ધારો કે રેન્ડમ ચલ k પાસે પોઈસન વિતરણ (p(k;)) છે. પછી Sn પાસે n ની બરાબર સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે પોઈસન વિતરણ છે.

n ને બદલે લખીને, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે n માટે

સમીકરણ 0 થી તમામ k પર કરવામાં આવે છે. Ph-la (1.5) જ્યારે મનસ્વી રીતે હોય ત્યારે પણ ધરાવે છે.

અભ્યાસક્રમ

વિષય પર: "મોટી સંખ્યાના કાયદા"

સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલો

ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, પરિસ્થિતિઓના સમૂહને જાણવું જરૂરી છે જેના કારણે મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ પરિબળોના સંયુક્ત પ્રભાવનું પરિણામ લગભગ તકથી સ્વતંત્ર છે. આ સ્થિતિઓનું વર્ણન અનેક પ્રમેયમાં કરવામાં આવ્યું છે, જેને સામૂહિક રીતે મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો કહેવામાં આવે છે, જ્યાં kth ટ્રાયલનું પરિણામ સફળતા કે નિષ્ફળતા છે તેના આધારે રેન્ડમ ચલ k 1 અથવા 0 ની બરાબર છે. આમ, Sn એ n પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક p અને q સંભાવનાઓ સાથે 1 અને 0 મૂલ્યો લે છે.

મોટી સંખ્યાના કાયદાનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ બર્નૌલીનું પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે જો તમામ અજમાયશમાં ઘટનાની સંભાવના સમાન હોય, તો જેમ જેમ અજમાયશની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ તેમ ઘટનાની આવર્તન ઘટનાની સંભાવના તરફ વળે છે અને રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે.

પોઈસનનું પ્રમેય જણાવે છે કે સ્વતંત્ર અજમાયશની શ્રેણીમાં ઘટનાની આવર્તન તેની સંભાવનાઓના અંકગણિત સરેરાશ તરફ વળે છે અને રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના મર્યાદા પ્રમેય, મોઇવર-લાપ્લેસ પ્રમેય ઘટનાની ઘટનાની આવૃત્તિની સ્થિરતાની પ્રકૃતિ સમજાવે છે. આ પ્રકૃતિ એ હકીકતમાં રહેલી છે કે અજમાયશની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાનું મર્યાદિત વિતરણ (જો ઘટનાની સંભાવના તમામ ટ્રાયલ્સમાં સમાન હોય તો) સામાન્ય વિતરણ છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સામાન્ય વિતરણ કાયદાના વ્યાપક વિતરણને સમજાવે છે. પ્રમેય જણાવે છે કે જ્યારે પણ મર્યાદિત ભિન્નતાઓ સાથે મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉમેરાને પરિણામે રેન્ડમ ચલ રચાય છે, ત્યારે આ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો લગભગ સામાન્ય કાયદો બની જાય છે.

લ્યાપુનોવનું પ્રમેય સામાન્ય વિતરણ કાયદાના વ્યાપક વિતરણને સમજાવે છે અને તેની રચનાની પદ્ધતિ સમજાવે છે. પ્રમેય આપણને એ કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે જ્યારે પણ મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉમેરાને પરિણામે રેન્ડમ ચલ રચાય છે, જેનાં ભિન્નતા સરવાળોના વિક્ષેપની તુલનામાં નાના હોય છે, ત્યારે આ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો વળે છે. લગભગ સામાન્ય કાયદો છે. અને કારણ કે રેન્ડમ ચલ હંમેશા અસંખ્ય કારણો દ્વારા જનરેટ થાય છે અને મોટાભાગે તેમાંથી કોઈ પણ રેન્ડમ વેરીએબલના વિક્ષેપ સાથે સરખાવી શકાય તેવું વિક્ષેપ ધરાવતું નથી, વ્યવહારમાં મોટા ભાગના રેન્ડમ ચલો સામાન્ય વિતરણ કાયદાને આધીન છે.

મોટી સંખ્યાના કાયદાના ગુણાત્મક અને જથ્થાત્મક નિવેદનો પર આધારિત છે ચેબીશેવ અસમાનતા. તે સંભવિતતા પર ઉપલા બાઉન્ડ નક્કી કરે છે કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી રેન્ડમ ચલના મૂલ્યનું વિચલન ચોક્કસ ઉલ્લેખિત સંખ્યા કરતા વધારે છે. તે નોંધપાત્ર છે કે ચેબીશેવની અસમાનતા રેન્ડમ ચલ માટે ઘટનાની સંભાવનાનો અંદાજ આપે છે જેનું વિતરણ અજ્ઞાત છે, ફક્ત તેની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતા જાણીતી છે.

ચેબીશેવની અસમાનતા. જો રેન્ડમ ચલ x માં ભિન્નતા હોય, તો કોઈપણ x > 0 માટે અસમાનતા સાચી છે, જ્યાં એમ x અને ડી x - રેન્ડમ ચલ x ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા.

બર્નૌલીનું પ્રમેય. ચાલો x n એ n બર્નૌલી ટ્રાયલ્સમાં સફળતાની સંખ્યા અને p વ્યક્તિગત અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના છે. પછી કોઈપણ s > 0 માટે, .

લ્યાપુનોવનું પ્રમેય. ચાલો s 1 , s 2 , …, s n , … ગાણિતિક અપેક્ષાઓ m 1 , m 2 , …, m n , … અને ભિન્નતાઓ s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અમર્યાદિત ક્રમ બનીએ. ચાલો સૂચિત કરીએ , , .

પછી કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b માટે = Ф(b) - Ф(a), જ્યાં Ф(x) એ સામાન્ય વિતરણ કાર્ય છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ આપવા દો. ચાલો ટ્રાયલ n ની સંખ્યા પર Sn સફળતાઓની સંખ્યાની અવલંબનને ધ્યાનમાં લઈએ. દરેક અજમાયશ પર, Sn 1 અથવા 0 દ્વારા વધે છે. આ નિવેદન આ રીતે લખી શકાય છે:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

મોટી સંખ્યાનો કાયદો. ચાલો (k) સમાન વિતરણો સાથે પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ હોઈએ. જો ગાણિતિક અપેક્ષા = M(k) અસ્તિત્વમાં છે, તો n માટે કોઈપણ > 0 માટે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવરેજ S n / n ગાણિતિક અપેક્ષાથી એક મનસ્વી રીતે આપેલ મૂલ્ય કરતાં ઓછા દ્વારા અલગ પડે તેવી સંભાવના એક તરફ વળે છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય. ચાલો (k) સમાન વિતરણો સાથે પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ હોઈએ. ચાલો ધારીએ કે તેઓ અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો Sn = 1 +…+ n , પછી કોઈપણ નિશ્ચિત માટે

F () - F () (1.3)

અહીં Ф(х) એ સામાન્ય વિતરણ કાર્ય છે. આ પ્રમેય લિનબર્ગ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યો હતો અને સાબિત થયો હતો. લ્યાપુનોવ અને અન્ય લેખકોએ તે વધુ પ્રતિબંધિત પરિસ્થિતિઓ હેઠળ અગાઉ સાબિત કર્યું હતું. તે કલ્પના કરવી જરૂરી છે કે ઉપર ઘડવામાં આવેલ પ્રમેય વધુ સામાન્ય પ્રમેયનો માત્ર એક ખૂબ જ વિશિષ્ટ કેસ છે, જે બદલામાં અન્ય ઘણા મર્યાદા પ્રમેય સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. નોંધ કરો કે (1.3) (1.2) કરતાં વધુ મજબૂત છે, કારણ કે (1.3) એ સંભાવના માટે અંદાજ આપે છે કે તફાવત કરતાં વધારે છે. બીજી બાજુ, રેન્ડમ ચલ k પાસે મર્યાદિત ભિન્નતા ન હોય તો પણ મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો (1.2) સાચો છે, તેથી તે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય (1.3) કરતાં વધુ સામાન્ય કેસને લાગુ પડે છે. ચાલો છેલ્લા બે પ્રમેયને ઉદાહરણો સાથે સમજાવીએ.

ઉદાહરણો. a) સપ્રમાણ મૃત્યુના સ્વતંત્ર થ્રોનો ક્રમ ધ્યાનમાં લો. k ને kth ફેંક દરમિયાન મેળવેલ પોઈન્ટની સંખ્યા ગણીએ. પછી

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 અને S n /n

n થ્રોના પરિણામે પોઈન્ટની સરેરાશ સંખ્યા છે.

મોટી સંખ્યાનો કાયદો જણાવે છે કે મોટા n માટે આ સરેરાશ 3.5 ની નજીક હશે તે બુદ્ધિગમ્ય છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સંભાવના દર્શાવે છે કે |Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) સેમ્પલિંગ. ચાલો ધારીએ કે વસ્તીમાં,

N પરિવારોનો સમાવેશ થાય છે, Nk પરિવારોમાં દરેકમાં બરાબર k બાળકો હોય છે

(k = 0, 1 ...; Nk = N). જો કુટુંબને રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યું હોય, તો તેમાં બાળકોની સંખ્યા એ રેન્ડમ ચલ છે જે p = N /N ની સંભાવના સાથે મૂલ્ય લે છે. બેક-ટુ-બેક પસંદગીમાં, વ્યક્તિ કદ n ના નમૂનાને n સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો અથવા "અવલોકનો" 1, ..., n ના સંગ્રહ તરીકે જોઈ શકે છે કે બધાનું વિતરણ સમાન છે; S n / n એ નમૂનાનો સરેરાશ છે. મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો જણાવે છે કે પર્યાપ્ત મોટા રેન્ડમ નમૂના માટે, સરેરાશ, એટલે કે, વસ્તી સરેરાશની નજીક હોવાની સંભાવના છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય વ્યક્તિને આ માધ્યમો વચ્ચેની વિસંગતતાની સંભવિત તીવ્રતાનો અંદાજ કાઢવા અને વિશ્વસનીય અંદાજ માટે જરૂરી નમૂનાનું કદ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. વ્યવહારમાં, અને અને સામાન્ય રીતે અજ્ઞાત છે; જો કે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે માટે પ્રારંભિક અંદાજ મેળવવો સરળ છે અને તેને હંમેશા વિશ્વસનીય સીમાઓમાં બંધ કરી શકાય છે. જો આપણે 0.99 અથવા તેથી વધુની સંભાવના ઇચ્છતા હોઈએ કે નમૂનાનો અર્થ S n / n એ અજાણી વસ્તીથી 1/10 કરતા ઓછો અર્થ છે, તો નમૂનાનું કદ એવું લેવું જોઈએ કે

સમીકરણ F(x) - F(- x) = 0.99 નું x મૂળ x = 2.57... છે, અને તેથી n એ 2.57 અથવા n > 660 જેવું હોવું જોઈએ. સાવચેત પ્રારંભિક અંદાજ જરૂરી નમૂના કદ શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

c) ઝેરનું વિતરણ.

ધારો કે રેન્ડમ ચલ k પાસે પોઈસન વિતરણ (p(k; )) છે. પછી Sn પાસે n ની બરાબર સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે પોઈસન વિતરણ છે.

n ને બદલે લખીને, અમે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે n માટે

સમીકરણ 0 થી સુધીના તમામ k પર કરવામાં આવે છે. Ph-la (1.5) જ્યારે મનસ્વી રીતે હોય ત્યારે પણ ધરાવે છે.

ઉપર અમે આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળા માટે PDF શોધવાના પ્રશ્નનો વિચાર કર્યો. આ વિભાગમાં આપણે આંકડાકીય રીતે રકમને ફરીથી જોઈશું સ્વતંત્ર માત્રા, પરંતુ અમારો અભિગમ અલગ હશે અને સરવાળામાં રેન્ડમ ચલોના આંશિક પીડીએફ પર આધાર રાખતો નથી. ખાસ કરીને, ધારો કે સરવાળો શબ્દો આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે, જેમાંના દરેકમાં બાઉન્ડેડ અર્થ અને બાઉન્ડેડ વેરિએન્સ છે.

ચાલો સામાન્યકૃત સરવાળો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, જેને નમૂના સરેરાશ કહેવાય છે

પ્રથમ, અમે પૂંછડીની સંભાવના પર ઉપલા બાઉન્ડ્સ નક્કી કરીશું, અને પછી અમે એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય સાબિત કરીશું જે પીડીએફને મર્યાદામાં નક્કી કરે છે જ્યારે તે અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

(2.1.187) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ વેરીએબલનો વારંવાર સામનો કરવામાં આવે છે જ્યારે સંખ્યાબંધ અવલોકનો પર રેન્ડમ ચલની સરેરાશનો અંદાજ લગાવવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિતરણમાંથી સ્વતંત્ર નમૂના અનુભૂતિ તરીકે ગણી શકાય, અને તે સરેરાશનો અંદાજ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા છે

.

તફાવત છે

જો આપણે તેને સરેરાશના અંદાજ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે જોઈએ છીએ કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષા બરાબર છે, અને તેનું વિક્ષેપ વધતા નમૂનાના કદ સાથે ઘટે છે. જો તે મર્યાદા વિના વધે છે, તો તફાવત શૂન્ય તરફ વળે છે. પરિમાણ અંદાજ (માં આ કિસ્સામાં), જે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તરફ વલણ ધરાવતી શરતોને સંતોષે છે સાચો અર્થપરિમાણ, અને તફાવત સખત રીતે શૂન્ય છે, તેને સુસંગત અંદાજ કહેવામાં આવે છે.

વિભાગમાં આપેલ બાઉન્ડનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલની પૂંછડી સંભાવના ઉપરથી અંદાજી શકાય છે. 2.1.5. ચેબીશેવના સ્વરૂપના સંબંધમાં અસમાનતા

,

. (2.1.188)

મર્યાદામાં જ્યારે , થી (2.1.188) તે અનુસરે છે

. (2.1.189)

પરિણામે, સરેરાશનો અંદાજ સાચા મૂલ્યથી ભિન્ન હોવાની સંભાવના , જો તે મર્યાદા વિના વધે તો શૂન્ય થઈ જાય છે. આ નિવેદન મોટી સંખ્યાના કાયદાનું એક સ્વરૂપ છે. ઉપલા બાઉન્ડ પ્રમાણમાં ધીમેથી શૂન્યમાં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે. વિપરિત પ્રમાણસર. અભિવ્યક્તિ (2.1.188) કહેવાય છે મોટી સંખ્યામાં નબળા કાયદો.

જો આપણે ચેર્નોફ બાઉન્ડને રેન્ડમ ચલ પર લાગુ કરીએ, જેમાં ઘાતાંકીય અવલંબન છે, તો આપણે સિંગલ-ટેઈલ સંભાવના માટે ચુસ્ત ઉપલા બાઉન્ડ મેળવીએ છીએ. સંપ્રદાયમાં દર્શાવેલ પ્રક્રિયાને અનુસરીને. 2.1.5, અમે શોધીએ છીએ કે માટે પૂંછડીની સંભાવના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ક્યાં અને . પરંતુ, આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત છે. આથી,

એક જથ્થો ક્યાં છે. પરિમાણ , જે સૌથી સચોટ ઉપલા બાઉન્ડ આપે છે, તે તફાવત કરીને (2.1.191) અને વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવીને મેળવવામાં આવે છે. આ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે

(2.1.192)

ચાલો ઉકેલ (2.1.192) દ્વારા સૂચવીએ. પછી ઉપલા પૂંછડી સંભાવના માટે બંધાયેલ છે

, . (2.1.193)

એ જ રીતે, આપણે શોધીશું કે નીચલી પૂંછડીની સંભાવના બંધાયેલ છે

, . (2.1.194)

ઉદાહરણ 2.1.7. ચાલો, આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની શ્રેણી નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

અમે સંભવિતતા પર ચુસ્ત ઉપલા બાઉન્ડને વ્યાખ્યાયિત કરવા માંગીએ છીએ કે જેનો સરવાળો શૂન્ય કરતા વધારે છે. ત્યારથી, રકમ હશે નકારાત્મક મૂલ્યગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ) માટે, તેથી, અમે ઉપલા પૂંછડીની સંભાવના શોધીશું. માટે (2.1.193) અમારી પાસે છે

, (2.1.195)

સમીકરણનો ઉકેલ ક્યાં છે

આથી,

. (2.1.197)

પરિણામે, (2.1.195) માં સીમા માટે આપણે મેળવીએ છીએ

તે આપણે જોઈએ છીએ ઉપલી મર્યાદાઅપેક્ષા મુજબ, સાથે ઝડપથી ઘટે છે. તેનાથી વિપરિત, ચેબીશેવ બાઉન્ડ મુજબ, પૂંછડીની સંભાવના ની સાથે વિપરીત રીતે ઘટે છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય. આ વિભાગમાં, અમે મર્યાદામાં રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના IDF સંબંધિત અત્યંત ઉપયોગી પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યારે રકમની શરતોની સંખ્યા મર્યાદા વિના વધે છે. આ પ્રમેયની ઘણી આવૃત્તિઓ છે. ચાલો એ કેસ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ કે જ્યારે રેન્ડમ સરમેબલ ચલ , , આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તેમાંના દરેકમાં મર્યાદિત સરેરાશ અને મર્યાદિત ભિન્નતા હોય છે.

સગવડ માટે, અમે સામાન્યકૃત રેન્ડમ ચલ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ

આમ, તેમાં શૂન્ય સરેરાશ અને એકમ ભિન્નતા છે.

હવે દો

સરવાળોના દરેક સમન્ડમાં શૂન્ય સરેરાશ અને એકમ ભિન્નતા હોવાથી, મૂલ્ય સામાન્ય (પરિબળ દ્વારા) શૂન્ય સરેરાશ અને એકમ વિચલન ધરાવે છે. અમે FMI ને જ્યારે મર્યાદા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવા માંગીએ છીએ.

લાક્ષણિક કાર્ય સમાન છે

, (2.1.200).

,

અથવા, સમાનરૂપે,

. (2.1.206)

પરંતુ તે માત્ર તે છે લાક્ષણિક કાર્યશૂન્ય સરેરાશ અને એકમ ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ. આમ અમારી પાસે છે મહત્વપૂર્ણ પરિણામ; આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની PDF મર્યાદિત સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન સુધી પહોંચે છે. આ પરિણામ તરીકે ઓળખાય છે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.

જો કે અમે ધાર્યું છે કે સરવાળામાં રેન્ડમ ચલ સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, આ ધારણાને હળવી કરી શકાય છે જો કે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના ગુણધર્મો પર હજુ પણ અમુક વધારાના નિયંત્રણો લાદવામાં આવ્યા છે. પ્રમેયની એક ભિન્નતા છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે રેન્ડમ ચલોના સમાન વિતરણની ધારણા રકમના રેન્ડમ ચલોની ત્રીજી સંપૂર્ણ ક્ષણ પર લાદવામાં આવેલી શરતની તરફેણમાં છોડી દેવામાં આવે છે. આ અને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના અન્ય સંસ્કરણોની ચર્ચા માટે, વાચકને ક્રેમર (1946) નો સંદર્ભ આપવામાં આવે છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય એ પ્રમેયનું એક જૂથ છે જે શરતોને સ્થાપિત કરવા માટે સમર્પિત છે સામાન્ય કાયદોવિતરણો, અને જેનું ઉલ્લંઘન સામાન્ય કરતાં અલગ વિતરણ તરફ દોરી જાય છે. વિવિધ આકારોકેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સરવાળો બનાવતી રેન્ડમ શરતોના વિતરણ પર લાદવામાં આવેલી શરતોમાં એકબીજાથી અલગ પડે છે. ચાલો સૌથી વધુ એક સાબિત કરીએ સરળ આકારોઆ પ્રમેય, એટલે કે, સ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત શબ્દો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.

સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના ક્રમને ધ્યાનમાં લો કે જેમાં ગાણિતિક અપેક્ષા હોય. ચાલો એ પણ માની લઈએ કે ભિન્નતા અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ. આ ક્રમ માટે મોટી સંખ્યાના નિયમને નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં કન્વર્જન્સને સંભાવનામાં કન્વર્જન્સના અર્થમાં (મોટી સંખ્યાનો નબળો કાયદો) અને સંભાવના સાથે કન્વર્જન્સના અર્થમાં બંને રીતે સમજી શકાય છે, એક સમાન(મોટી સંખ્યામાં મજબૂત કાયદો).

પ્રમેય (સ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય). ચાલો સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ હોઈએ. પછી () કન્વર્જન્સની સાપેક્ષ સમાન છે

ધોરણનું કાર્ય ક્યાં છે સામાન્ય વિતરણ(પરિમાણો સાથે):

જો આવા કન્વર્જન્સ માટેની સ્થિતિ સંતોષાય છે, તો ક્રમને એસિમ્પટોટિકલી સામાન્ય કહેવામાં આવે છે.

લ્યાપુનોવ અને લિન્ડેબર્ગના પ્રમેય

ચાલો તે કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે રેન્ડમ ચલોમાં વિવિધ વિતરણો હોય છે - તે વિવિધ વિતરણો સાથે સ્વતંત્ર હોય છે.

પ્રમેય (લિન્ડેબર્ગ). મર્યાદિત ભિન્નતાઓ સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ બનવા દો. જો લિન્ડેબર્ગની સ્થિતિ આ ક્રમ માટે સંતુષ્ટ છે:

જ્યાં, પછી કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય તેના માટે ધરાવે છે.

લિન્ડેબર્ગની સ્થિતિને સીધી રીતે તપાસવી મુશ્કેલ હોવાથી, અમે કેટલીક અન્ય સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે જેના હેઠળ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય ધરાવે છે, એટલે કે લાયપુનોવ પ્રમેયની સ્થિતિ.

પ્રમેય (લ્યાપુનોવ). જો લ્યાપુનોવ સ્થિતિ રેન્ડમ ચલોના ક્રમ માટે સંતુષ્ટ છે:

પછી ક્રમ એસિમ્પટોટિકલી સામાન્ય છે, એટલે કે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય ધરાવે છે.

લ્યાપુનોવ શરતની પરિપૂર્ણતા એ લિન્ડેબર્ગ શરતની પરિપૂર્ણતા સૂચવે છે, અને તેમાંથી કેન્દ્રિય મર્યાદા પ્રમેયને અનુસરે છે.

તે પહેલેથી જ જાણીતું છે કે વિતરણ કાયદા અનુસાર કોઈ શોધી શકે છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓરેન્ડમ ચલ. તે અનુસરે છે કે જો ઘણા રેન્ડમ ચલોમાં સમાન વિતરણો હોય, તો તેમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ સમાન હોય છે.

ચાલો વિચાર કરીએ nપરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો એક્સ 1 , એક્સ 2 , ...., X p,જે સમાન વિતરણ ધરાવે છે, અને તેથી સમાન લાક્ષણિકતાઓ (ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ, વગેરે). આ જથ્થાઓના અંકગણિત સરેરાશની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ એ સૌથી વધુ રસ છે, જે આપણે આ વિભાગમાં કરીશું.

ચાલો દ્વારા વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ દર્શાવીએ :

= (એક્સ 1 +X 2 +…+X n)/n.

નીચેની ત્રણ જોગવાઈઓ અંકગણિત સરેરાશની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે એક્સઅને દરેક વ્યક્તિગત જથ્થાની અનુરૂપ લાક્ષણિકતાઓ.

1. સમાનરૂપે વિતરિત પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશની ગાણિતિક અપેક્ષા દરેક મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે:

એમ()=a

પુરાવો. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ( સતત પરિબળગાણિતિક અપેક્ષાના સંકેત તરીકે બહાર લઈ શકાય છે; રકમની ગાણિતિક અપેક્ષા શરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે), અમારી પાસે છે

એમ( )= એમ

શરત અનુસાર દરેક જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે તે ધ્યાનમાં લેવું એ,અમે મેળવીએ છીએ

એમ()=na/n=a.

2. n સમાન રીતે વિતરિત પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશનું વિક્ષેપ દરેક મૂલ્યોના વિક્ષેપ D કરતા n ગણું ઓછું છે:

ડી()=D/n.(* )

પુરાવો. વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને (સતત પરિબળને વિક્ષેપ ચિન્હમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે; સ્વતંત્ર જથ્થાના સરવાળાનું વિક્ષેપ એ શરતોના વિક્ષેપના સરવાળા જેટલું છે), અમારી પાસે છે

ડી( )=D

શરત અનુસાર દરેક જથ્થાનું વિક્ષેપ સમાન છે તે ધ્યાનમાં લેવું ડી,અમે મેળવીએ છીએ

ડી( )= nD/n 2 =D/n.

3. સરેરાશ પ્રમાણભૂત વિચલન n સમાન રીતે વિતરિત પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ સરેરાશ ચતુર્ભુજ વિચલન કરતાં અનેક ગણો ઓછો છે s દરેક જથ્થો:

પુરાવો. કારણ કે ડી()= D/n,પછી પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે

s ( )= .

સામાન્ય નિષ્કર્ષસૂત્રોમાંથી (*) અને (**): યાદ રાખીને કે વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન રેન્ડમ ચલના વિક્ષેપના માપદંડ તરીકે સેવા આપે છે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની પૂરતી મોટી સંખ્યાના અંકગણિત સરેરાશ પ્રત્યેક કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછા વિક્ષેપ ધરાવે છે. વ્યક્તિગત મૂલ્ય.

ચાલો આપણે એક ઉદાહરણ સાથે અભ્યાસ માટે આ નિષ્કર્ષનું મહત્વ સમજાવીએ.

ઉદાહરણ.સામાન્ય રીતે કેટલાક માપવા માટે ભૌતિક જથ્થોઅનેક માપન કરો, અને પછી મેળવેલી સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો, જે માપેલા મૂલ્યના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે. ધારી રહ્યા છીએ કે માપ સમાન શરતો હેઠળ કરવામાં આવે છે, સાબિત કરો:

a) અંકગણિત સરેરાશ વ્યક્તિગત માપ કરતાં વધુ વિશ્વસનીય પરિણામ આપે છે;

બી) માપની સંખ્યામાં વધારો સાથે, આ પરિણામની વિશ્વસનીયતા વધે છે.

ઉકેલ. એ) તે જાણીતું છે કે વ્યક્તિગત માપન માપેલા જથ્થાના વિવિધ મૂલ્યો આપે છે. દરેક માપનનું પરિણામ ઘણા અવ્યવસ્થિત કારણો (તાપમાનના ફેરફારો, સાધનની વધઘટ વગેરે) પર આધાર રાખે છે, જે અગાઉથી સંપૂર્ણપણે ધ્યાનમાં લઈ શકાતા નથી.

તેથી, અમને સંભવિત પરિણામોને ધ્યાનમાં લેવાનો અધિકાર છે nરેન્ડમ ચલ તરીકે વ્યક્તિગત માપ એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., એક્સ પી(ઇન્ડેક્સ માપન નંબર સૂચવે છે). આ માત્રામાં છે સમાન વિતરણસંભાવનાઓ (માપ એ જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અને સમાન સાધનો સાથે કરવામાં આવે છે), અને તેથી સમાન સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ; વધુમાં, તેઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર છે (દરેક વ્યક્તિગત માપનનું પરિણામ અન્ય માપન પર આધારિત નથી).

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આવા જથ્થાના અંકગણિત સરેરાશ દરેક વ્યક્તિગત જથ્થા કરતાં ઓછા વિક્ષેપ ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંકગણિત સરેરાશ અલગ માપનના પરિણામ કરતાં માપેલા મૂલ્યના સાચા મૂલ્યની નજીક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આનો અર્થ એ છે કે અનેક માપનો અંકગણિત સરેરાશ એક માપ કરતાં વધુ વિશ્વસનીય પરિણામ આપે છે.

b) આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે જેમ જેમ વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલોની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, અંકગણિત સરેરાશનું વિક્ષેપ ઘટે છે. આનો અર્થ એ છે કે જેમ જેમ માપની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, કેટલાંક માપનો અંકગણિત સરેરાશ માપેલા મૂલ્યના સાચા મૂલ્યથી ઓછો અને ઓછો અલગ પડે છે. આમ, માપની સંખ્યામાં વધારો કરીને, વધુ વિશ્વસનીય પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો વ્યક્તિગત માપનું પ્રમાણભૂત વિચલન s = 6 m છે, અને કુલ n= 36 માપ, તો આ માપના અંકગણિત સરેરાશનું પ્રમાણભૂત વિચલન ખરેખર માત્ર 1 મીટર છે.

s ( )=

આપણે જોઈએ છીએ કે ઘણા માપનો અંકગણિત સરેરાશ, જેમ કે કોઈ અપેક્ષા રાખે છે, અલગ માપના પરિણામ કરતાં માપેલા મૂલ્યના સાચા મૂલ્યની નજીક હોવાનું બહાર આવ્યું છે.