સહસંબંધ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ જ્યારે સ્પેક્ટ્રલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કર્યા વિના સિગ્નલના ટેમ્પોરલ પ્રોપર્ટીઝનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી હોય ત્યારે થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સિગ્નલના ફેરફારના દર અથવા અવધિનો અંદાજ કાઢવા માટે, એક સિગ્નલનું બીજા સિગ્નલ સાથે ટેમ્પોરલ કનેક્શન (સમ્બન્ધ).

પરસ્પર સહસંબંધ કાર્ય સમયસર બે સિગ્નલોનો ટેમ્પોરલ સંબંધ નક્કી કરે છે. જો સંકેતો એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોય, તો તેમનું સહસંબંધ કાર્ય શૂન્ય જેટલું હોય છે. સહસંબંધ કાર્ય જેટલું વિશાળ છે, બે સંકેતો વચ્ચે જોડાણની ડિગ્રી વધારે છે.

ક્રોસ સહસંબંધ કાર્ય સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન મેળવવાનું ઉદાહરણ ફિગ 1 માં બતાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ક્ષણે સહસંબંધ કાર્યનું મૂલ્ય xફંક્શનના આંતરછેદના ક્ષેત્ર અને શિફ્ટ કરેલી નકલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન આવશ્યકપણે સપ્રમાણ નથી અને તેની મહત્તમ બિંદુ પર ન હોઈ શકે x=0.

સ્વયંસંબંધસમય-મર્યાદિત સિગ્નલનું કાર્ય (ACF) એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે

જ્યાં x- મૂળ સિગ્નલનો સમય પાળી.

ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે ફંક્શનના આંતરછેદનું ક્ષેત્રફળ અને તેની નકલ, સમય દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે. x(ફિગ.2)

પાળીનો સમય બદલવો xજ્યાં સુધી સિગ્નલ અને તેની નકલ એકબીજાને છેદવાનું બંધ ન કરે (આ કિસ્સામાં), અમે ACF મેળવીએ છીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે શિફ્ટની નિશાની બદલાય છે અને તેનું મૂલ્ય સમાન હોય છે, ત્યારે સ્વતઃસંબંધ કાર્ય સમાન હોય છે, એટલે કે. , જે તેના સમાન પાત્રની વાત કરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે x=0સ્વતઃસંબંધ કાર્ય મહત્તમ છે, અને

અને બદલામાં કુલ ઊર્જાસિગ્નલ સમાન છે

આમ, ઑટોકોરિલેશન ફંક્શનની મહત્તમ કુલ સિગ્નલ ઊર્જા નક્કી કરે છે. જેમ જેમ પાળી વધે છે x ACF ઘટીને શૂન્ય થાય છે.

ઉદાહરણો

ચોરસ પલ્સ ( ચોખા 3).

માટે x>0 અમારી પાસે છે

અને માટે અભિન્ન x<0

મહત્તમ ACF સિગ્નલ ઊર્જા સમાન છે:

2) ત્રિકોણાકાર આવેગ. એસીએફનું બાંધકામ દર્શાવેલ છે ચોખા 4.

ઉત્પાદન એક બિનરેખીય કાર્ય છે t. કુલ સિગ્નલ ઊર્જા (મહત્તમ ACF) બરાબર છે ACF ની અવધિ સિગ્નલની અવધિ કરતાં બમણી છે.

3. સિગ્નલ એ સમાન કઠોળનું પેકેટ છે જે એકબીજાની તુલનામાં સમાન અંતરે સ્થિત છે. ACF પાસે કઠોળના પેકેટનું સ્વરૂપ પણ હશે જે એકબીજાથી સમાન અંતરે સ્થિત હશે, અને પેકેટમાં કઠોળના કંપનવિસ્તાર કેન્દ્રથી કિનારીઓ સુધી ઘટશે (જુઓ. ચોખા 5)

14. રેડિયો સિગ્નલોનો સામાન્ય સિદ્ધાંત. નેરોબેન્ડ અને વાઈડબેન્ડ સિગ્નલનો ખ્યાલ. રેડિયો સિગ્નલની આવર્તન અને તબક્કાનો ખ્યાલ, તેમનો સંબંધ. સિગ્નલ બેઝનો ખ્યાલ.

સામાન્ય વ્યાખ્યાઓ

રેડિયો સિગ્નલોમાં ઉચ્ચ-આવર્તન લગભગ હાર્મોનિક (અર્ધ-હાર્મોનિક) ઓસિલેશનનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં કંપનવિસ્તાર અથવા તાત્કાલિક આવર્તન અથવા તબક્કા ધીમે ધીમેઅમુક કાયદા અનુસાર બદલો. ઉચ્ચ-આવર્તન હાર્મોનિક ઓસિલેશનના એક અથવા વધુ પરિમાણોને બદલવાની પ્રક્રિયાને મોડ્યુલેશન કહેવામાં આવે છે. રેડિયો કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં, મોડ્યુલેશન કાયદો ટ્રાન્સમિટેડ ઓછી-આવર્તન સંદેશના ફેરફારના કાયદાને અનુરૂપ હોવો જોઈએ.

મૂળ ઉચ્ચ-આવર્તન હાર્મોનિક ઓસિલેશનની આવર્તનને વાહક આવર્તન કહેવામાં આવે છે. ઉપકરણ કે જે આ ઓસિલેશન બનાવે છે તેને કેરિયર ફ્રીક્વન્સી જનરેટર અથવા માસ્ટર ઓસીલેટર કહેવામાં આવે છે. તે કંપનવિસ્તાર અને આવર્તન સ્થિરતા પર ઉચ્ચ માંગને આધિન છે.

વાહક સ્પંદનનું સ્વરૂપ છે

કંપનવિસ્તાર ક્યાં છે, આવર્તન છે,  0 એ પ્રારંભિક તબક્કો છે.

કંપનવિસ્તાર (AM), આવર્તન (FM) અને તબક્કા (PM) મોડ્યુલેશન છે. કંપનવિસ્તાર મોડ્યુલેશન સાથે, ફ્રિક્વન્સી મોડ્યુલેશન સાથે આવર્તન બદલાય છે, તબક્કામાં ફેરફાર થાય છે; મોડ્યુલેશનના મિશ્ર પ્રકારો પણ છે. મોડ્યુલેશન અને મેનીપ્યુલેશનના પલ્સ પ્રકારોને એક અલગ વર્ગમાં અલગ કરી શકાય છે, જેમાં ઉચ્ચ-આવર્તન ઓસિલેશનના પરિમાણમાં એક અલગ ફેરફાર થાય છે.

સિગ્નલ બેઝ કન્સેપ્ટ્સ

સંચાર પ્રણાલીઓમાં, સિગ્નલ બેઝની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે, જે કોટેલનીકોવના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. એટલે કે, તેના આધારે, મર્યાદિત સ્પેક્ટ્રમ સાથેના કોઈપણ સિગ્નલને સમય અંતરાલમાં લેવામાં આવેલા કેટલાક નમૂનાઓમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, જ્યાં એફ - સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમની ઉપલી મર્યાદા આવર્તન (ફિગ. 1).

ચોખા. 1. કોટેલનિકોવના ટાવરની સમજૂતી

આ કિસ્સામાં, જો સંકેત ફક્ત અમુક સમયગાળા માટે જ અસ્તિત્વમાં હોય તો -ટી પછી નમૂનાઓની સંખ્યા સમાન હશે

આ મૂલ્ય તે જગ્યાનું પરિમાણ નક્કી કરે છે જેમાં સંકેત કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (સમય અંતરાલો પર તાત્કાલિક મૂલ્યોના નમૂનાઓ). આ સંદર્ભમાં, સંચાર સિદ્ધાંતમાં આ જથ્થાને સિગ્નલ બેઝ કહેવામાં આવે છે:

. (2.2)

અન્ય કિસ્સાઓમાં, તેઓ કહે છે કે મૂલ્ય સિગ્નલનો આધાર નક્કી કરે છે, એટલે કે. સંકલન અક્ષોની સંખ્યા જેમાં સિગ્નલ મૂકવામાં આવે છે.

નેરોબેન્ડનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ અને

બ્રોડબેન્ડ સિગ્નલો

અલગ સિગ્નલોનો ઉપયોગ કરીને હાલની કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સમાં, સાદા સિગ્નલોનું મૂળ મૂલ્ય સમાન છે (ફિગ. 2). સમાન સંકેતને જટિલ સંકેત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેનો આધાર - (ફિગ 2 જુઓ).

ચોખા. 2. સરળ અને જટિલ સંકેતો

સિગ્નલ બેઝ સિગ્નલ અવધિ પર સ્પેક્ટ્રમની પહોળાઈની અવલંબન સૂચવે છે. સરળ સંકેતોનો ઉપયોગ કરવાના કિસ્સામાં, તેના સ્પેક્ટ્રમની પહોળાઈ નાની છે:

તેથી, આવા સંકેતોને સાંકડી બેન્ડ કહેવામાં આવે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે મોડ્યુલેશન પછી નેરોબેન્ડ સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ પ્રાથમિક સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમથી ઘણું અલગ નથી.

જટિલ સંકેતો માટે

આ કિસ્સામાં, જટિલ સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ, મોડ્યુલેશન પહેલાં અને પછી બંને, પ્રાથમિક સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમ કરતાં ઘણું મોટું છે, તેથી તેને સામાન્ય રીતે બ્રોડબેન્ડ કહેવામાં આવે છે.

પ્રથમ, ચાલો રેડિયો સિગ્નલના કુલ તબક્કાના ખ્યાલને યાદ કરીએ

સિગ્નલો કે જેમાં મોડ્યુલેટીંગ સિગ્નલ અનુસાર એકંદર તબક્કામાં ફેરફાર થાય છે તેને એન્ગલ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલો કહેવામાં આવે છે.

પ્રથમ, ચાલો તબક્કા મોડ્યુલેશન PM સિગ્નલો જોઈએ. PM સાથેના સંકેતો માટે, મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલ અનુસાર એકંદર તબક્કામાં ફેરફાર થાય છે:

અને રેડિયો સિગ્નલ પોતે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં ફ્રિક્વન્સી મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ અથવા ફ્રીક્વન્સી ડેવિએશન કહેવાય છે, અને મેગ્નિટ્યુડમાં મોડ્યુલેટીંગ સિગ્નલ એકતા કરતાં વધી જતું નથી પછી રેડિયો સિગ્નલના કુલ તબક્કાની ગણતરી તાત્કાલિક આવર્તનના અભિન્ન તરીકે કરી શકાય છે:

જ્યાં કુલ તબક્કા (8) નું મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંક છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બેન્ડપાસ સિગ્નલ માટે અભિવ્યક્તિમાં વાહક આવર્તનને બદલે તાત્કાલિક આવર્તન માટે અભિવ્યક્તિને બદલવું સંપૂર્ણપણે ખોટું છે:

કારણ કે અભિવ્યક્તિ (9) સાચી છે!

16. ઇન્ટ્રાપલ્સ મોડ્યુલેશન સાથે સંકેતો. રેખીય આવર્તન મોડ્યુલેશન સાથે સંકેતો. તબક્કા-કોડ-મેનીપ્યુલેટેડ સિગ્નલો. ગાણિતિક મોડેલો, સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતાઓ, એપ્લિકેશન સુવિધાઓ.

ફેઝ-કોડ-મેન્યુલેટેડ પલ્સ (PCM)

FCM રેડિયો પલ્સ ચોક્કસ કાયદા અનુસાર પલ્સની અંદર તબક્કામાં અચાનક ફેરફાર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે (ફિગ. 1.66):

ત્રણ-તત્વ સિગ્નલ કોડ

તબક્કો ફેરફાર કાયદો

ત્રણ-તત્વ સંકેત

અથવા સાત-તત્વ સંકેત (ફિગ. 1.67)

આમ, આપણે તારણો દોરી શકીએ:

ચીપ સાથે સિગ્નલોની ASF સતત છે.

· ASF પરબિડીયું સિગ્નલ પરબિડીયુંના આકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

· મહત્તમ ASF મૂલ્ય સિગ્નલ ઊર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે બદલામાં સિગ્નલના કંપનવિસ્તાર અને અવધિના સીધા પ્રમાણસર હોય છે.

· સ્પેક્ટ્રમની પહોળાઈ આવર્તન વિચલન ક્યાં છે તેના બરાબર છે અને તે સિગ્નલની અવધિ પર આધારિત નથી.

· સિગ્નલ બેઝ (વાઇડબેન્ડ રેશિયો) હોઈ શકે છે n>>1 તેથી, ચીપ સિગ્નલોને બ્રોડબેન્ડ કહેવામાં આવે છે.

સમયગાળા સાથે એફસીએમ રેડિયો કઠોળ એ પ્રારંભિક રેડિયો કઠોળનો સમૂહ છે જે અંતરાલો વિના એકબીજાને અનુસરે છે, તેમાંના દરેકનો સમયગાળો સમાન અને સમાન હોય છે અને પ્રારંભિક કઠોળના કંપનવિસ્તાર અને આવર્તન સમાન હોય છે અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ અલગ-અલગ હોઈ શકે છે. (અથવા કોઈ અન્ય મૂલ્ય). પ્રારંભિક તબક્કાઓના ફેરબદલનો કાયદો (કોડ) સિગ્નલના હેતુ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. રડારમાં વપરાતા FCM રેડિયો પલ્સ માટે, અનુરૂપ કોડ વિકસાવવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે:

1, +1, -1 - ત્રણ-તત્વ કોડ્સ

-ચાર-તત્વ કોડના બે પ્રકારો

1 +1 +1, -1, -1, +1, -2 - સાત-તત્વ કોડ

કોડેડ કઠોળની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા એ પ્રાથમિક રેડિયો કઠોળની વર્ણપટની ઘનતાના સરવાળાના રૂપમાં, ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની એડિટિવિટી પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

ત્રણ-તત્વ અને સાત-તત્વ કઠોળ માટે ASF ગ્રાફ આકૃતિ 1.68 માં દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ઉપરના આંકડાઓ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, પીસીએમ રેડિયો સિગ્નલોના સ્પેક્ટ્રમની પહોળાઈ એલિમેન્ટરી રેડિયો પલ્સની અવધિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

બ્રોડબેન્ડ ગુણાંક

જ્યાં એન- પ્રાથમિક રેડિયો કઠોળની સંખ્યા.

FCM સિગ્નલોનો ઉપયોગ બ્રોડબેન્ડ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ, રડાર અને ઑબ્જેક્ટ ઓળખ ઉપકરણોમાં થાય છે.

6. સામાન્યકૃત કાર્યનો ખ્યાલ. કાર્યોની ઓર્થોનોર્મલ સિસ્ટમનો ખ્યાલ.

મેટ્રિક પરિમાણોનું સામાન્યકરણ . અવકાશ L 2 માં કાર્યોનો ધોરણ અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

તે તારણ કાઢવું ​​સરળ છે કે આ સૂત્રમાં અંતરાલ જેટલું મોટું હશે, તેટલું વધારે (અન્ય બધી વસ્તુઓ સમાન છે) ધોરણનું મૂલ્ય હશે. સિગ્નલોનું વિશ્લેષણ અને સરખામણી કરતી વખતે (બંને એનાલોગ અને બહુપરિમાણીય સ્વતંત્ર), આ ખ્યાલ હંમેશા અનુકૂળ હોતી નથી, અને તેના બદલે અંતરાલની લંબાઈને અનુરૂપ સામાન્ય ધોરણની વિભાવનાનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે. સામાન્યીકરણને પ્રતીકાત્મક રીતે દર્શાવવા માટે, અમે સાઇનનો ઉપયોગ કરીશું :

||s(t)|| = , ||s n || =.

સમાન સામાન્યીકરણ સાથે સિગ્નલ મેટ્રિક (સિગ્નલો વચ્ચેનું અંતર)

d (s(t), v(t)) = , d (s n , v n) =

આ અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ સિગ્નલોના રુટ-મીન-સ્ક્વેર ડાયવર્જન્સ અથવા કોઈપણ ઑપરેશન કરવા માટેની રુટ-મીન-ચોરસ ભૂલની ગણતરી કરવા માટે થાય છે જ્યારે સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત અથવા જાણીતી પ્રાથમિકતા સાથે તેના પરિણામની સરખામણી કરવામાં આવે છે.

સિગ્નલોનું સામાન્યકૃત સ્કેલર ઉત્પાદન:

b s(t), v(t)  =s(t)v(t) dt = ||s(t)|| ||v(t)|| cos .

b s n , v n   =(1/N)s n v n = ||s n || ||s n || cos .

સિગ્નલો વચ્ચેના કોણ (સહસંબંધ ગુણાંક) ની કોસાઇન - વિધેયો જ્યારે સ્કેલર પ્રોડક્ટના સામાન્યકૃત અને બિન-સામાન્યકૃત મૂલ્યો અને સિગ્નલ નોર્મ (અંશ અને છેદમાં સામાન્યીકરણ મૂલ્યો) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે ત્યારે તેના મૂલ્યોમાં ફેરફાર થતો નથી. અભિવ્યક્તિ (2.1.8) ઘટી છે). વિધેયોની પરસ્પર લંબતા વેક્ટરની પરસ્પર લંબરૂપતાની જેમ જ સ્કેલર ઉત્પાદનની શૂન્ય મૂલ્ય ધરાવતી સ્થિતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સામયિક કાર્યોના ધોરણ, મેટ્રિક અને સ્કેલર ઉત્પાદનને સામાન્ય રીતે મુખ્ય સમયગાળા T ની લંબાઈ સુધી સામાન્ય કરવામાં આવે છે.

ઓર્થોગોનલ સંકેતો. બે સિગ્નલોને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે શૂન્ય ડોટ પ્રોડક્ટ હોય

b u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

તદનુસાર, તેમની કાર્યાત્મક જગ્યામાં આવા બે સંકેતો પરસ્પર લંબ છે (સિગ્નલો વચ્ચેનો ખૂણો  = 90 o છે), એકબીજાથી સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર છે (અસંબંધિત, r = cos , અને હોય છે. શૂન્ય ઊર્જાક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ (E uv = 0).

આકૃતિ 2.3.1 પરસ્પર ઓર્થોગોનલ સિગ્નલોના ઉદાહરણો દર્શાવે છે. બે ડાબા સિગ્નલોનું શૂન્ય સ્કેલર ઉત્પાદન તેમના આકાર દ્વારા સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે (સિગ્નલોના ઉત્પાદનના હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યોનો સરવાળો શૂન્ય સમાન છે), અને બે જમણા - સંબંધિત સ્થિતિ(બિન-શૂન્ય સિગ્નલ મૂલ્યોમાં સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ હોતા નથી).

ચોખા. 2.3.1. ઓર્થોગોનલ સંકેતો.

પસાર થતાં, અમે નોંધીએ છીએ કે ઓર્થોગોનલ સિગ્નલોના સરવાળાની ઊર્જા અને શક્તિમાં ઉમેરણની મિલકત છે, કારણ કે સ્કેલર પ્રોડક્ટનું શૂન્ય મૂલ્ય છે અને તે મુજબ, ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા.

જગ્યાનો ઓર્થોનોર્મલ આધાર. સિગ્નલોનો સમૂહ - વેક્ટર (v k, k = 1, 2, ..., N) એક N-પરિમાણીય કાર્ટેશિયન જગ્યામાં એકમ ધોરણ અને પરસ્પર ઓર્થોગોનાલિટીની શરતોની પરિપૂર્ણતા સાથે:

b v m , v n  = (2.3.1)

ઓર્થોનોર્મલ આધાર તરીકે લઈ શકાય છે જગ્યા આપી છે. અભિવ્યક્તિ (2.3.1) સામાન્ય રીતે નીચેના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે:

b v m , v n  =  mn , (2.3.1")

જ્યાં  mn એ ક્રોનેકર મોમેન્ટમ છે, જે અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુ સમાન છે (2.3.1).

ઓર્થોનોર્મલ આધારનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ મનસ્વી સિગ્નલને વેઇટેડ બેઝિસ વેક્ટર્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

s = c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c N v N ,

જ્યાં વેક્ટર s ના અનુરૂપ સંકલન દિશા પર પ્રક્ષેપણ દ્વારા વજન મૂલ્ય c નક્કી કરવામાં આવે છે:

c k =  s, v k  .

જ્યારે આ જોગવાઈઓને કાર્યાત્મક જગ્યા L 2 સુધી વિસ્તરે છે, ત્યારે જગ્યાના સંકલન આધાર તરીકે, આપણે કાર્યોના સમૂહનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ (u 0 (t), u 1 (t), u 2 (t), ...), મર્યાદામાં - અનંત, જે હોવું જોઈએ ઓર્થોગોનલ કાર્યોની સિસ્ટમ(u k (t), k=0, 1, 2, …), એટલે કે. આ સેગમેન્ટ પરના તમામ કાર્યો પરસ્પર ઓર્થોગોનલ હોવા જોઈએ:

b u m (t), u n (t) =u m (t) u n (t) dt = 0, m = 1, 2, ... ; n = 1, 2, ... ; m  n.

અંતરાલ પર ઓર્થોગોનલ કાર્યોની સિસ્ટમ હશે ઓર્થોનોર્મલ(ઓર્થોર્મલ ફંક્શન્સ), જો m=n માટે સિસ્ટમના તમામ ફંક્શન્સમાં યુનિટ નોર્મ હોય, એટલે કે. શરતો પૂરી થાય છે:

b u m (t), u m (t) = ||u m (t) || 2 =(u m(t)) 2 dt = 1, ||u m(t)|| = 1, m = 1, 2, ....

આ શરતો નીચેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

u m (t) u n * (t) dt =  m,n .

ઓર્થોગોનલ ફંક્શન્સની સિસ્ટમ હંમેશા નોર્મલાઇઝેશન દ્વારા ઓર્થોનોર્મલ સિસ્ટમમાં ફેરવી શકાય છે, એટલે કે. તમામ કાર્યોને તેમના ધોરણ દ્વારા વિભાજિત કરવું.

સહસંબંધ વિશ્લેષણની સમસ્યા રડારથી ઊભી થઈ, જ્યારે સમયસર બદલાયેલા સમાન સિગ્નલોની સરખામણી કરવી જરૂરી હતી.

સિગ્નલ અને તેની ટાઈમ-શિફ્ટ્ડ કોપી વચ્ચેના તફાવતની માત્રા નક્કી કરવા
સમાન સિગ્નલનું ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (ACF) રજૂ કરવાનો રિવાજ છે સ્કેલર ઉત્પાદનસિગ્નલ અને તેની શિફ્ટ કરેલી નકલ.

(4.1)

ACF ગુણધર્મો

1) ક્યારે
સ્વતઃસંબંધ કાર્ય સિગ્નલ ઊર્જા સમાન બને છે:

(4.2)

2) ACF - સમ કાર્ય

(4.3)

3) ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનની મહત્વની મિલકત નીચે મુજબ છે: સમયની કોઈ પણ કિંમત માટે ACF મોડ્યુલ સિગ્નલ એનર્જી કરતા વધારે નથી:

4) સામાન્ય રીતે, ACF ને કેન્દ્રીય મહત્તમ સાથે સપ્રમાણ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જે હંમેશા હકારાત્મક હોય છે. વધુમાં, સિગ્નલના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનમાં એકવિધ રીતે ઘટતું અથવા ઓસીલેટીંગ પાત્ર હોઈ શકે છે.

ACF અને સિગ્નલના ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચે ગાઢ સંબંધ છે.

ફોર્મ્યુલા (4.1) અનુસાર, ACF એ સ્કેલર પ્રોડક્ટ છે
. અહીં પ્રતીક સિગ્નલની ટાઈમ-શિફ્ટ કોપી સૂચવે છે
.

પ્લાન્ચરેલના પ્રમેય તરફ વળતાં, આપણે સમાનતા લખી શકીએ છીએ:

(4.4) આમ, અમે પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ

(4.5)

મોડ્યુલ ચોરસ સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાસિગ્નલના ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેથી ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ અને સ્વતઃસંબંધ કાર્ય ફ્યુરીયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી દ્વારા સંબંધિત છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે વિપરીત સંબંધ પણ છે

(4.6)

આ પરિણામો મૂળભૂત રીતે બે કારણોસર મહત્વપૂર્ણ છે: પ્રથમ, સ્પેક્ટ્રમ પર તેમની ઊર્જાના વિતરણના આધારે સિગ્નલોના સહસંબંધ ગુણધર્મોનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. બીજું, સૂત્રો (4.5), (4.6) પ્રાયોગિક રીતે ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ નક્કી કરવાની રીત દર્શાવે છે. પહેલા એસીએફ મેળવવું વધુ અનુકૂળ છે, અને પછી, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, સિગ્નલનું ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ શોધો. વાસ્તવિક સમયમાં હાઇ-સ્પીડ કમ્પ્યુટર્સનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ તકનીક વ્યાપક બની છે.

એક અનુકૂળ સંખ્યાત્મક પરિમાણ ઘણીવાર રજૂ કરવામાં આવે છે - સહસંબંધ અંતરાલ, જે એસીએફના મુખ્ય લોબની પહોળાઈનો અંદાજ છે.

9.. ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય અને તેના ગુણધર્મો. ક્રોસ-રિલેશન ફંક્શન અને મ્યુચ્યુઅલ એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચેનો સંબંધ.

બે સંકેતોનું ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય

બે વાસ્તવિક સિગ્નલોનું ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન (ICF) એ ફોર્મનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે:

(4.8)

જ્યારે સંકેતો સમયસર બદલાય છે ત્યારે TCF ઓર્થોગોનલ સ્થિતિની "સ્થિરતા" ના માપદંડ તરીકે કામ કરે છે.

જેમ જેમ આ સિગ્નલો વિવિધ ઉપકરણોમાંથી પસાર થાય છે, તે શક્ય છે કે સિગ્નલ થોડા સમય માટે સિગ્નલની તુલનામાં ખસેડવામાં આવશે. .

VKF ના ગુણધર્મો.

1) એક સિગ્નલના ACF થી વિપરીત, CCF, જે બે સ્વતંત્ર સિગ્નલોની સિસ્ટમના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે, તે દલીલનું એક સમાન કાર્ય નથી. :

(4.9)

2) જો વિચારણા હેઠળના સિગ્નલોમાં મર્યાદિત ઊર્જા હોય, તો તેમની CCF મર્યાદિત છે.

3) મુ
VCF મૂલ્યો મહત્તમ સુધી પહોંચવાની જરૂર નથી.

CCF નું ઉદાહરણ લંબચોરસ અને ત્રિકોણાકાર વિડિયો પલ્સનું ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય છે.

Plancherel ના પ્રમેય પર આધારિત

અમે મેળવીએ છીએ

(4.11)

આમ, ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન અને મ્યુચ્યુઅલ એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.

સ્વતઃસંબંધ કાર્ય. કોરીલોગ્રામ.

જો સમય શ્રેણીમાં વલણ અને ચક્રીય ફેરફારો હોય, તો શ્રેણીના અનુગામી સ્તરના મૂલ્યો અગાઉના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે. સમય શ્રેણીના ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેની અવલંબનને શ્રેણી સ્તરોના સ્વતઃસંબંધ કહેવાય છે.

મૂળ સમય શ્રેણીના સ્તરો અને આ શ્રેણીના સ્તરો સમયના કેટલાક પગલાઓ દ્વારા બદલાતા વચ્ચેના સહસંબંધ સૂચકાંકનો ઉપયોગ કરીને તે માત્રાત્મક રીતે માપી શકાય છે.

સમય શ્રેણી આપવા દો: y, y, …yઅને તે થવા દો રેખીય સહસંબંધવચ્ચે y tઅને y t -1.

ચાલો શ્રેણી વચ્ચે સહસંબંધ ગુણાંક નક્કી કરીએ y tઅને y t -1.

આ માટે આપણે ઉપયોગ કરીશું નીચેનું સૂત્ર:

ફ્લેટ x j = y t -1 , y j = y t -1 ,અમે મેળવીએ છીએ

(5.1)

બીજા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આમ, 2જી ક્રમના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક સ્તરો વચ્ચેના જોડાણની નિકટતાને દર્શાવે છે. ખાતેઅને ખાતેઅને સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

(5.2)

સ્વતઃસંબંધ શ્રેણીના સ્તરના ક્રમને લેગ કહેવામાં આવે છે.

ફોર્મ્યુલા (5.1) લેગ માટે એક સમાન, માટે (5.3) – બે.

પ્રથમ, બીજા, વગેરે સ્તરોના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકનો ક્રમ. ઓર્ડરને સમય શ્રેણી (ACF)નું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

લેગ વેલ્યુ પર તેના મૂલ્યોની અવલંબનનો ગ્રાફ કોરીલોગ્રામ કહેવાય છે.

ACF અને કોરીલોગ્રામ તે લેગને નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે જેના પર સ્વતઃસંબંધ સૌથી વધુ છે, અને પરિણામે, તે લેગ કે જેના પર શ્રેણીના વર્તમાન અને અગાઉના સ્તરો વચ્ચેનું જોડાણ સૌથી નજીક છે, એટલે કે. તેમની સહાયથી તમે શ્રેણીની રચનાને જાહેર કરી શકો છો.

સમય શ્રેણીમાં વલણ ઘટક અને ચક્રીય ઘટકની હાજરી અથવા ગેરહાજરી ઓળખવા માટે સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક અને ACF નો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

જો 1 લી ઓર્ડર ઓટોકોરિલેશન ગુણાંક સૌથી વધુ હોવાનું બહાર આવે છે, તો પછી અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણીમાં માત્ર એક વલણ છે;

જો kth ઑર્ડર ઑટોકોરિલેશન ગુણાંક સૌથી વધુ હોય, તો શ્રેણી સમાવે છે ચક્રીય વધઘટસમય માં k ક્ષણોની આવર્તન સાથે;

જો કોઈ પણ ગુણાંક નોંધપાત્ર નથી, તો આ શ્રેણીની રચના અંગે બેમાંથી એક ધારણા કરી શકાય છે: કાં તો શ્રેણીમાં વલણો અને ચક્રીય ફેરફારો નથી અને તે ફિગ. 5.1c માં બતાવેલ શ્રેણીના બંધારણ જેવું જ માળખું ધરાવે છે. , અથવા શ્રેણીમાં મજબૂત બિનરેખીય વલણ છે જેને ઓળખવા માટે વધારાના વિશ્લેષણની જરૂર છે.

49. સામાન્યકૃત રીગ્રેશન મોડલ. સામાન્યકૃત પદ્ધતિ ઓછામાં ઓછા ચોરસ. એટકેનનું પ્રમેય

મોડેલ બનાવતી વખતે, ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખીય

Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59.1)

રેન્ડમ ચલ  અવલોકન ન કરી શકાય તેવા ચલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વિવિધ મોડેલ સ્પષ્ટીકરણો માટે, સૈદ્ધાંતિક અને વાસ્તવિક મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતો બદલાઈ શકે છે. કાર્ય માટે રીગ્રેસન વિશ્લેષણતેમાં માત્ર મોડેલનું જ બાંધકામ જ નહીં, પણ સંશોધન પણ સામેલ છે રેન્ડમ વિચલનો હું એટલે કે શેષ મૂલ્યો. રીગ્રેશન સમીકરણ બનાવ્યા પછી, અમે તપાસીએ છીએ કે અંદાજ  i પાસે ચોક્કસ ગુણધર્મો છે કે કેમ. OLS દ્વારા મેળવેલ અંદાજોના આ ગુણધર્મો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. વ્યવહારુ મહત્વરીગ્રેશન અને સહસંબંધ પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને.

સિસ્ટમના આધારે રીગ્રેસન ગુણાંક b i મળ્યા સામાન્ય સમીકરણોઅને જોડાણની શક્તિની લાક્ષણિકતાઓના પસંદગીના અંદાજોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી વખતે, નિષ્પક્ષ રહેવાની મિલકત હોવી આવશ્યક છે. નિષ્પક્ષ અંદાજનો અર્થ થાય છે ગાણિતિક અપેક્ષાબાકી શૂન્ય છે.

આનો અર્થ એ છે કે મળેલ રીગ્રેશન પેરામીટર b i ને સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે ગણી શકાય શક્ય મૂલ્યોનિષ્પક્ષ શેષ અંદાજો સાથે રીગ્રેસન ગુણાંક.

વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, માત્ર અંદાજોની નિષ્પક્ષતા જ નહીં, પણ અંદાજોની કાર્યક્ષમતા પણ મહત્વપૂર્ણ છે. અંદાજોને અસરકારક ગણવામાં આવે છે જો તેમાં ઓછામાં ઓછો તફાવત હોય.

ક્રમમાં આત્મવિશ્વાસના અંતરાલરીગ્રેસન પરિમાણો વાસ્તવિક છે, તે જરૂરી છે કે અંદાજો સુસંગત હોય. અંદાજોની સુસંગતતા નમૂનાના કદમાં વધારો સાથે તેમની ચોકસાઈમાં વધારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

અવશેષોનો અભ્યાસ  હું નીચેની પાંચ OLS પૂર્વજરૂરીયાતોની હાજરીનું પરીક્ષણ સામેલ કરું છું:

અવશેષોની રેન્ડમ પ્રકૃતિ;

અવશેષોનું શૂન્ય સરેરાશ મૂલ્ય, x i થી સ્વતંત્ર;

homoscedasticity—દરેક વિચલનનું વિક્ષેપ  i x ના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન છે;

અવશેષોના સ્વતઃસંબંધની ગેરહાજરી. અવશેષોના મૂલ્યો  i એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે;

અવશેષો સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે.

જો રેન્ડમ અવશેષોનું વિતરણ  i અમુક OLS ધારણાઓને અનુરૂપ ન હોય, તો મોડલને સમાયોજિત કરવું જોઈએ.

સૌ પ્રથમ, અવશેષોની રેન્ડમ પ્રકૃતિ  i તપાસવામાં આવે છે.

જો ગ્રાફ પર અવશેષોના વિતરણની આડી પટ્ટી મેળવવામાં આવે, તો અવશેષો રજૂ કરે છે રેન્ડમ ચલોઅને MNK નિર્દોષ છે, સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો y x સારી રીતે y ના વાસ્તવિક મૂલ્યોનું અનુમાન કરે છે.

નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે: જો  i. પછી y x પર આધાર રાખે છે:

બાકીના  i. રેન્ડમ નથી

બાકીના  i. સતત વિક્ષેપ નથી

બાકીના  i. વ્યવસ્થિત છે

આ કિસ્સાઓમાં, તમારે કાં તો અન્ય ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવો અથવા દાખલ કરવું આવશ્યક છે વધારાની માહિતીઅને જ્યાં સુધી અવશેષો  i રેન્ડમ ચલ ન થાય ત્યાં સુધી રીગ્રેસન સમીકરણ ફરીથી બનાવો.

બીજા આધારનો અર્થ છે શૂન્યની સમાનતા સરેરાશ કદસંતુલન:

. (59.2)

OLS ના ત્રીજા પરિમાણ માટે જરૂરી છે કે અવશેષોનો તફાવત હોમોસેડેસ્ટિક હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પરિબળ x j ના દરેક મૂલ્ય માટે અવશેષો  i માં સમાન તફાવત છે. જો OLS નો ઉપયોગ કરવા માટેની આ શરત પૂરી ન થાય, તો પછી હેટરોસ્કેડસ્ટીસીટી થાય છે.

50. સુલભ સામાન્યકૃત લઘુત્તમ ચોરસ

ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ.કેટલાક વધુ સામાન્ય પ્રકારોરીગ્રેશન મોડલ્સની ચર્ચા મુખ્ય પ્રકારો વિભાગમાં કરવામાં આવી છે બિનરેખીય મોડેલો. એકવાર મોડેલ પસંદ થઈ ગયા પછી, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આ મોડેલોનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરી શકાય? જો તમે પદ્ધતિઓથી પરિચિત છો રેખીય રીગ્રેસન(મલ્ટીપલ રીગ્રેસન વિભાગમાં વર્ણવેલ) અથવા ANOVA (વિભાગમાં વર્ણવેલ વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ), તો પછી તમે જાણો છો કે આ બધી પદ્ધતિઓ ઓછામાં ઓછા ચોરસ અંદાજનો ઉપયોગ કરે છે. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય વિચાર મોડેલ દ્વારા અનુમાનિત મૂલ્યોમાંથી આશ્રિત ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોના સરવાળાને ઘટાડવાનો છે. (લેજેન્ડ્રે, 1805ના કાર્યમાં સૌથી ઓછા ચોરસ શબ્દનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ કરવામાં આવ્યો હતો.)
વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિ.ત્રીજી સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ, ઓછામાં ઓછા ચોરસની પદ્ધતિ અને અંદાજ માટે વિચલન મોડ્યુલોના સરવાળાના ઉપયોગ ઉપરાંત (ઉપર જુઓ), સૌથી ઓછા વજનવાળા ચોરસની પદ્ધતિ છે. નિયમિત પદ્ધતિલઘુત્તમ ચોરસ ધારે છે કે અવશેષોનો ફેલાવો સ્વતંત્ર ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવું માનવામાં આવે છે કે તમામ માપ માટે ભૂલ તફાવત સમાન છે. ઘણીવાર, આ ધારણા વાસ્તવિક નથી. ખાસ કરીને, તેમાંથી વિચલનો વ્યાપાર, અર્થશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનના કાર્યક્રમોમાં જોવા મળે છે (નોંધો કે વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પેરામીટર અંદાજો મલ્ટીપલ રીગ્રેશન મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરીને પણ મેળવી શકાય છે).

ઉદાહરણ તરીકે, તમે બિલ્ડિંગ બાંધવાના અંદાજિત ખર્ચ અને વાસ્તવમાં ખર્ચવામાં આવેલી રકમ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવા માંગો છો. આ અપેક્ષિત ખર્ચ ઓવરરન્સનો અંદાજ મેળવવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, તે ધારવું વાજબી છે સંપૂર્ણ મૂલ્યખર્ચ ઓવરરન્સ (ડોલરમાં વ્યક્ત) પ્રોજેક્ટના ખર્ચના પ્રમાણસર છે. તેથી, રેખીય પસંદ કરવા માટે રીગ્રેશન મોડલવેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. નુકશાન કાર્ય, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું કંઈક હોઈ શકે છે (જુઓ નેટર, વાસરમેન, અને કુટનર, 1985, પૃષ્ઠ 168):

નુકસાન = (અવલોકન-અનુમાનિત) 2 * (1/x 2)

આ સમીકરણમાં, નુકશાન કાર્યના પ્રથમ ભાગનો અર્થ થાય છે પ્રમાણભૂત કાર્યન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિ માટે નુકસાન (અવલોકન કરેલ બાદબાકી અનુમાનિત વર્ગ; એટલે કે, અવશેષોનો વર્ગ), અને બીજો દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં આ નુકસાનના "વજન" જેટલો છે - એક સ્વતંત્ર ચલના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત (x ) દરેક અવલોકન માટે. વાસ્તવિક અંદાજની પરિસ્થિતિમાં, પ્રોગ્રામ ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ તમામ અવલોકનો (ઉદાહરણ તરીકે, ડિઝાઇન પ્રોજેક્ટ્સ) પર નુકશાન કાર્યના મૂલ્યોનો સરવાળો કરશે અને સરવાળાને ઓછો કરતા પરિમાણો પસંદ કરશે. ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણ પર પાછા ફરવું, કરતાં વધુ પ્રોજેક્ટ(x), તેના મૂલ્યની આગાહી કરવામાં સમાન ભૂલ જેટલી ઓછી છે તે આપણા માટે અર્થ છે. આ પદ્ધતિ રીગ્રેશન પરિમાણોના વધુ મજબૂત અંદાજો ઉત્પન્ન કરે છે (વધુ વિગત માટે, નેટર, વાસરમેન અને કુટનર જુઓ. 1985).

51. ચાઉ ટેસ્ટ

આપેલ સમય શ્રેણી વલણ મોડેલનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ઔપચારિક આંકડાકીય કસોટી માળખાકીય ફેરફારોગ્રેગરી ચાઉ* દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું હતું. આ કસોટીની અરજીમાં વલણના સમીકરણોના પરિમાણોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો કોષ્ટકમાં આપેલ નોટેશન સિસ્ટમનો પરિચય કરીએ.

કોષ્ટક 3 - દંતકથાચાઉ ટેસ્ટ અલ્ગોરિધમ માટે

ધારો કે પૂર્વધારણા H0 અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી સમય શ્રેણીના વલણની માળખાકીય સ્થિરતા પર ભાર મૂકે છે. ભાગ પ્રમાણે રેખીય મોડેલ (C cl ost) અનુસાર ચોરસનો શેષ સરવાળો C 1 ost અને C 2 ost ના સરવાળા તરીકે શોધી શકાય છે

C cl ost = C 1 ost + C 2 ost (62.1)

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની અનુરૂપ સંખ્યા હશે:

(n 1 - k 1) + (n 2 – k 2) = n – k 1 - k 2 (62.2)

પછી ઘટાડો શેષ તફાવતજ્યારે સિંગલ ટ્રેન્ડ સમીકરણને પીસવાઇઝ રેખીય મોડેલમાં સંક્રમિત કરો, ત્યારે નીચે પ્રમાણે નક્કી કરો:

DC ost = C 3 ost - C ost (62.3)

સંબંધ (23) ને ધ્યાનમાં લેતા ડીસીને અનુરૂપ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા હશે:

n – k 3 - (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62.4)

પછી, જી. ચાઉની પદ્ધતિ અનુસાર, જી. ચાઉ જોવા મળે છે વાસ્તવિક મૂલ્યવિવિધતાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દીઠ નીચેના ભિન્નતાઓ માટે એફ-ટેસ્ટ:

(62.5)

મળેલ F હકીકત મૂલ્યની સરખામણી કોષ્ટક એક સાથે કરવામાં આવે છે (મહત્વના સ્તર માટે ફિશર વિતરણ કોષ્ટક α ‚ અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (k 1 + k 2 – k 3) અને (n - k 1 - k 2)

જો F હકીકત > F કોષ્ટક હોય, તો વલણની માળખાકીય સ્થિરતા વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા સૂચકની ગતિશીલતા પર માળખાકીય ફેરફારોના પ્રભાવને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સમય શ્રેણીના વલણનું મોડેલિંગ પીસવાઇઝ રેખીય મોડેલનો ઉપયોગ કરીને થવું જોઈએ. જો

F હકીકત< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

ચાઉ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવાની સુવિધાઓ.

1. જો કોષ્ટક 3 (1), (2), (3) માંથી તમામ સમીકરણોમાં પરિમાણોની સંખ્યા સમાન અને k સમાન હોય, તો સૂત્ર (56) સરળ છે:

(62.6)

2. ચાઉ ટેસ્ટ વ્યક્તિને અભ્યાસ કરવામાં આવતી સમય શ્રેણીમાં માળખાકીય સ્થિરતાની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. જો F એ હકીકત છે< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F કોષ્ટક પછી માળખાકીય સ્થિરતાની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે આંકડાકીય મહત્વસમીકરણો (1) અને (2) ના પરિમાણોના અંદાજમાં તફાવત.

H. ચાઉ ટેસ્ટની અરજી ધારે છે કે માટે પૂર્વજરૂરીયાતો સામાન્ય વિતરણસમીકરણો (1) અને (2) માં અવશેષો અને તેમના વિતરણની સ્વતંત્રતા.

જો y શ્રેણીમાં વલણની માળખાકીય સ્થિરતા વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે, તો વધુ વિશ્લેષણમાં આના કારણોના પ્રશ્નની તપાસનો સમાવેશ થઈ શકે છે. માળખાકીય તફાવતોઅને વધુ ડી 1 વલણ ફેરફારોની પ્રકૃતિનો અભ્યાસ કરે છે. IN સ્વીકૃત નોટેશન્સઆ કારણો સમીકરણો (1) અને (2) ના પરિમાણોના અંદાજમાં તફાવત નક્કી કરે છે.

આ સમીકરણોના પરિમાણોના આંકડાકીય અંદાજોમાં નીચેના ફેરફારોના સંયોજનો શક્ય છે:

સંખ્યાત્મક રેટિંગમાં ફેરફાર મફત સભ્યવલણ સમીકરણો a 2 a ની સરખામણીમાં 1 પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે તફાવતો b 1અને b 2આંકડાકીય રીતે નજીવા. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ (1) (2) સમાંતર છે. શ્રેણીના સ્તરમાં અચાનક ફેરફાર છે t, સમયની ક્ષણે tઅને સમયગાળા માટે સતત સરેરાશ સંપૂર્ણ વૃદ્ધિ;

પરિમાણનો સંખ્યાત્મક અંદાજ બદલવો b 2ની સરખામણીમાં b 1જો કે 1 અને 2 વચ્ચેનો તફાવત આંકડાકીય રીતે નજીવો છે. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ (1) અને (2) એક બિંદુ પર સંકલન અક્ષને છેદે છે. સમયની ક્ષણથી શરૂ કરીને, સમય શ્રેણીમાં સરેરાશ સંપૂર્ણ વધારામાં ફેરફાર દ્વારા વલણમાં ફેરફાર થાય છે t‚ સમયની ક્ષણે શ્રેણીના સતત પ્રારંભિક સ્તર સાથે t=0

પરિમાણો a 1 અને a 2 ના આંકડાકીય અંદાજમાં ફેરફાર, તેમજ b 1અને b 2. આ ફેરફાર દ્વારા ગ્રાફ પર પ્રતિબિંબિત થાય છે પ્રવેશ સ્તરઅને સંપૂર્ણ વૃદ્ધિના સમયગાળા માટે સરેરાશ

લંબચોરસ વિડિઓ કઠોળના પેકેટના ACF નો અભ્યાસ કરતી વખતે, વાચકે ચોક્કસપણે નોંધ્યું કે અનુરૂપ ગ્રાફમાં ચોક્કસ લોબ આકાર હતો. વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, આવા સંકેતને શોધવા અથવા તેના પરિમાણોને માપવાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ACF ના ઉપયોગને ધ્યાનમાં રાખીને, તે સંપૂર્ણપણે બિનમહત્વપૂર્ણ છે કે વ્યક્તિગત લોબ્સ ત્રિકોણાકાર આકાર. કેન્દ્રિય મહત્તમની સરખામણીમાં માત્ર તેમનું સંબંધિત સ્તર શું મહત્વનું છે.

અમારું તાત્કાલિક કાર્ય સ્વતઃસંબંધ કાર્યની વ્યાખ્યાને એવી રીતે બદલવાનું છે કે આપણે તેમાંથી બહાર કાઢી શકીએ. ઉપયોગી માહિતી, નાની વિગતોમાંથી અમૂર્ત. આનો આધાર એક અલગ સિગ્નલના ગાણિતિક મોડેલનો વિચાર છે (જુઓ પ્રકરણ 1).

અલગ રચના સાથે જટિલ સંકેતોનું વર્ણન.

સમાન લંબચોરસ વિડીયો કઠોળનો પેક જટિલ સંકેતોના વર્ગનો સૌથી સરળ પ્રતિનિધિ છે જે અનુસાર બાંધવામાં આવે છે. નીચેના સિદ્ધાંત. સમગ્ર સિગ્નલ આજીવન અંતરાલને પૂર્ણાંક M > 1 સમાન અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેને પોઝિશન કહેવામાં આવે છે. દરેક સ્થાન પર, સિગ્નલ બેમાંથી એક સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે, જે +1 અને -1 નંબરોને અનુરૂપ છે.

ચોખા. 3.6 મલ્ટી-પોઝિશન કોમ્પ્લેક્સ સિગ્નલ જનરેટ કરવાની કેટલીક રીતો સમજાવે છે. ચોક્કસ થવા માટે, અહીં M = 3.

તે જોઈ શકાય છે કે અલગ સિગ્નલનો ભૌતિક દેખાવ અલગ હોઈ શકે છે.

ચોખા. 3.6. ત્રણ-સ્થિતિ જટિલ સંકેત: a - કંપનવિસ્તાર કોડિંગ; b - તબક્કા એન્કોડિંગ

જો પ્રતીક અનુરૂપ હોય તો હકારાત્મક મૂલ્યઅનુરૂપ સ્થાન પર પ્રસારિત વિડિઓ પલ્સ ની ઊંચાઈ; પ્રતીક -1 નકારાત્મક મૂલ્યને અનુલક્ષે છે - . તેઓ કહે છે કે આ કિસ્સામાં જટિલ સિગ્નલનું કંપનવિસ્તાર કોડિંગ લાગુ કરવામાં આવે છે. કિસ્સામાં b, તબક્કો એન્કોડિંગ થાય છે. +1 પ્રતીકને પ્રસારિત કરવા માટે, અનુરૂપ સ્થાન પર શૂન્ય પ્રારંભિક તબક્કા સાથે હાર્મોનિક સિગ્નલ સેગમેન્ટ જનરેટ થાય છે. -1 પ્રતીક પ્રદર્શિત કરવા માટે, સમાન સમયગાળા અને આવર્તનનો સાઈન વેવ સેગમેન્ટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેના તબક્કાને વધારાના 180° દ્વારા ખસેડવામાં આવે છે.

આ દૌહ સિગયલ્સના આલેખમાં તફાવત હોવા છતાં, સારમાં, તેમના ગાણિતિક મોડેલોના દૃષ્ટિકોણથી તેમની વચ્ચે સંપૂર્ણ ઓળખ સ્થાપિત કરી શકાય છે. ખરેખર, આવા કોઈપણ સિગ્નલનું મોડેલ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે જેમાં દરેક પ્રતીક બે સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એક +1 લે છે. સગવડ માટે, અમે ભવિષ્યમાં "ખાલી" સ્થિતિમાં જ્યાં સિગ્નલ વ્યાખ્યાયિત ન હોય ત્યાં શૂન્ય સાથે આવા ક્રમને પૂરક કરવા માટે સંમત થઈશું. આ કિસ્સામાં, ઉદાહરણ તરીકે, એક અલગ સિગ્નલ (1 1, -1, 1) લખવાના વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં ફોર્મ હશે

સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રક્રિયા કામગીરી અલગ સંકેતોમૂળ સ્થિતિની તુલનામાં ચોક્કસ સંખ્યાના સ્થાનો દ્વારા આવા સંકેતને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. તેના આકારમાં ફેરફાર. ઉદાહરણ તરીકે, નીચે કેટલાક મૂળ સિગ્નલ (પ્રથમ લીટી) અને તેની નકલો (અનુગામી લીટીઓ) છે, જે વિલંબ તરફ 1, 2 અને 3 પોઝિશન દ્વારા ખસેડવામાં આવી છે:

અલગ સ્વતઃસંબંધ કાર્ય.

ચાલો સૂત્ર (3.15) ને સામાન્ય બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ જેથી કરીને આપણે મલ્ટી-પોઝિશન સિગ્નલોના સંબંધમાં ACF ના અલગ એનાલોગની ગણતરી કરી શકીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં સંકલન કામગીરીને સમીકરણ દ્વારા બદલવામાં આવવી જોઈએ, અને ચલને બદલે, પૂર્ણાંક (ધન કે નકારાત્મક) નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ જે દર્શાવે છે કે મૂળ સિગ્નલની તુલનામાં નકલ કેટલી પોઝિશન ખસેડવામાં આવી છે.

સિગ્નલના ગાણિતિક મોડેલમાં "ખાલી" સ્થિતિમાં શૂન્ય શામેલ હોવાથી, અમે ફોર્મમાં અલગ ACF લખીએ છીએ.

આ પૂર્ણાંક દલીલ કાર્ય કુદરતી રીતે પહેલાથી જ ઘણા ધરાવે છે જાણીતા ગુણધર્મોસામાન્ય સ્વતઃસંબંધ કાર્ય. આમ, તે જોવાનું સરળ છે કે અલગ ACF સમાન છે:

બુલેટ શિફ્ટ સાથે, આ ACF અલગ સિગ્નલની ઊર્જા નક્કી કરે છે:

કેટલાક ઉદાહરણો.

આને સમજાવવા માટે, ચાલો ત્રણ-સ્થિતિ સિગ્નલના અલગ ACF ની ગણતરી કરીએ સમાન મૂલ્યોદરેક પોઝિશન પર: ચાલો આ સિગ્નલને 1, 2 અને 3 પોઝિશન દ્વારા શિફ્ટ કરેલી નકલો સાથે લખીએ:

તે પહેલાથી જ જોઈ શકાય છે શૂન્ય બરાબરખાતે સરવાળોની ગણતરી કરીએ તો આપણને મળે છે

ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનના સાઇડ લોબ્સ વધતી સંખ્યા સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે અને, ત્રણ એનાલોગ વિડિયો કઠોળના ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનના કિસ્સામાં સમાન છે.

ચાલો એક અલગ સિગ્નલને ધ્યાનમાં લઈએ જે બીજા સ્થાને ગણતરીના ચિહ્ન સાથે અગાઉના એક કરતા અલગ છે:

એ જ રીતે આગળ વધતા, અમે આ સિગ્નલ માટે અલગ સ્વતઃસંબંધિત કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

તે શોધી શકાય છે કે પ્રથમ બાજુનો લોબ તેની નિશાની બદલે છે જ્યારે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં યથાવત રહે છે.

છેલ્લે, ફોર્મના ગાણિતિક મોડલ સાથે ત્રણ-સ્થિતિના અલગ સિગ્નલને ધ્યાનમાં લો

તેનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય છે:

અહીં અભ્યાસ કરાયેલા ત્રણ અલગ સિગ્નલોમાંથી, તે ત્રીજું છે જે સહસંબંધ ગુણધર્મોના દૃષ્ટિકોણથી સૌથી સંપૂર્ણ છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં સ્વતઃસંબંધ કાર્યના બાજુના લોબનું સૌથી નીચું સ્તર સમજાયું છે.

બાર્કર સંકેતો.

ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનની શ્રેષ્ઠ રચના સાથેના અલગ સિગ્નલો એ ક્ષેત્રના નિષ્ણાતો દ્વારા સઘન સંશોધનનો હેતુ હતો. સૈદ્ધાંતિક રેડિયો એન્જિનિયરિંગઅને લાગુ ગણિત. સંપૂર્ણ સાથે સિગ્નલના સમગ્ર વર્ગો સહસંબંધ ગુણધર્મો. તેમાંથી, કહેવાતા બાર્કર સિગ્નલો (કોડ્સ) ખૂબ પ્રખ્યાત બન્યા. આ સિગ્નલોની એક અનન્ય મિલકત છે: સ્થિતિ નંબર M ને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેમના સ્વતઃસંબંધિત કાર્યોના મૂલ્યો, સૂત્ર (3.29) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે, એકતા કરતાં વધી જતા નથી. તે જ સમયે, આ સંકેતોની ઊર્જા, એટલે કે, મૂલ્ય સંખ્યાત્મક રીતે M ની બરાબર છે.

બાર્કર સિગ્નલ માત્ર ત્યારે જ લાગુ કરી શકાય છે જ્યારે સ્થાનોની સંખ્યા M = 2, 3, 4, 5, 7, 11 અને 13 હોય. આ કેસ નજીવો છે. પરના બાર્કર સિગ્નલનો અમારા દ્વારા અગાઉના ફકરાના અંતે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. બાર્કર સિગ્નલોના ગાણિતિક મોડલ અને અનુરૂપ સ્વતઃસંબંધ કાર્યો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 3.2.

કોષ્ટક 3.2 બાર્કર સિગ્નલ મોડલ્સ

ફિગમાં ચિત્ર માટે. આકૃતિ 3.7 એન્કોડિંગ પદ્ધતિઓ તેમજ બંને માટે સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા 13-પોઝિશન બાર્કર સિગ્નલ દર્શાવે છે. ગ્રાફિકલ રજૂઆતતેના ACF.

ચોખા. 3.7. M = 13 પર બાર્કર સિગ્નલ: a - કંપનવિસ્તાર કોડિંગ; b - તબક્કા કોડિંગ; c - સ્વતઃસંબંધ કાર્ય

ચાલો નિષ્કર્ષમાં નોંધ લઈએ કે આ પ્રકરણમાં હાથ ધરવામાં આવેલા અલગ સિગ્નલોના કેટલાક ગુણધર્મો અને તેમના સ્વતઃસંબંધ કાર્યોનો અભ્યાસ પ્રારંભિક, પ્રારંભિક પ્રકૃતિનો છે. પ્રકરણમાં આ શ્રેણીના મુદ્દાઓનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવશે. 15.

સંકેતોના સ્વતઃસંબંધ કાર્યોનો ખ્યાલ . સિગ્નલ s(t) નું ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (CF - કોરિલેશન ફંક્શન), એનર્જીમાં સીમિત, સિગ્નલ આકારની એક માત્રાત્મક અભિન્ન લાક્ષણિકતા છે, જે સિગ્નલમાં નમૂનાઓના પરસ્પર ટેમ્પોરલ સંબંધની પ્રકૃતિ અને પરિમાણોને ઓળખે છે, જે હંમેશા થાય છે. સામયિક સંકેતો માટે, તેમજ અંતરાલ અને વાંચન મૂલ્યોની અવલંબનની ડિગ્રી માટે વર્તમાન ક્ષણોવર્તમાન ક્ષણના પ્રાગઈતિહાસનો સમય. ACF એ સિગ્નલ s(t) ની બે નકલોના ઉત્પાદનના અવિભાજ્ય દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, જે સમય દ્વારા એકબીજાની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે :

B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| cos ().

(6.1.1)

આ અભિવ્યક્તિમાંથી નીચે મુજબ, ACF એ સિગ્નલનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે અને શિફ્ટ મૂલ્ય  ના ચલ મૂલ્ય પર કાર્યાત્મક અવલંબનમાં તેની નકલ છે. તદનુસાર, ACF પાસે ઉર્જાનું ભૌતિક પરિમાણ છે, અને  = 0 પર ACF નું મૂલ્ય સિગ્નલ ઉર્જા જેટલું સીધું છે અને શક્ય તેટલું મહત્તમ છે (સિગ્નલની પોતાની સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ખૂણાનો કોસાઇન 1 ની બરાબર છે. ): B s (0) =

s(t) 2 dt = E s .

ACF એ સમ કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે, જે ચલ t = t- ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને ચકાસવું સરળ છે (6.1.1): B s () =

s(t-) s(t) dt = B s (-). મહત્તમ ACF,ઊર્જા સમાન

=0 પરનો સિગ્નલ હંમેશા હકારાત્મક હોય છે, અને સમયની પાળીના કોઈપણ મૂલ્ય પર ACF મોડ્યુલ સિગ્નલ ઊર્જા કરતાં વધી જતું નથી. બાદમાં સ્કેલર પ્રોડક્ટના ગુણધર્મોમાંથી સીધું અનુસરે છે (જેમ કે કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા છે):

ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),

cos () = 1 at  = 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = ઇ એસ ,< 1 при   0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .

કારણ ()
ફિગમાં ઉદાહરણ તરીકે. 6.1.1 બે સિગ્નલો બતાવે છે - એક લંબચોરસ પલ્સ અને સમાન સમયગાળાની T રેડિયો પલ્સ, અને આ સિગ્નલોને અનુરૂપ તેમના ACF ના આકાર. રેડિયો પલ્સ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર બરાબર સેટ કરેલ છે

સમાનતા જોતાં, ACF ની ગ્રાફિકલ રજૂઆત સામાન્ય રીતે માત્ર  ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે જ કરવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, સંકેતો સામાન્ય રીતે 0-T થી હકારાત્મક દલીલ મૂલ્યોના અંતરાલમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. + સાઇન ઇન એક્સપ્રેશન (6.1.1) નો અર્થ છે કે જેમ જેમ  ની કિંમતો વધે છે, સિગ્નલ s(t+) ની એક નકલ ટી અક્ષ સાથે ડાબી તરફ જાય છે અને 0 થી આગળ જાય છે. ડિજિટલ સિગ્નલો માટે, આ પ્રદેશમાં ડેટાના અનુરૂપ વિસ્તરણની જરૂર છે નકારાત્મક મૂલ્યોદલીલ અને ગણતરી દરમિયાન કાર્ય અંતરાલ  સામાન્ય રીતે મોટો હોય છે અંતરાલ કરતાં ઓછુંસિગ્નલનો ઉલ્લેખ કરીને, પછી દલીલ અક્ષ સાથે સિગ્નલની નકલને ડાબી બાજુએ ખસેડવી વધુ વ્યવહારુ છે, એટલે કે. અભિવ્યક્તિ (6.1.1) માં s(t+) ને બદલે s(t-) ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને.

B s () = s(t) s(t-) તા. (6.1.1")

સીમિત સંકેતો માટે, જેમ જેમ શિફ્ટ નું મૂલ્ય વધે છે તેમ, તેની નકલ સાથે સિગ્નલનું કામચલાઉ ઓવરલેપ ઘટે છે, અને તે મુજબ, ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ખૂણાના કોસાઇન અને સમગ્ર સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે:

= 0.

કેન્દ્રીય સિગ્નલ મૂલ્ય s(t) પરથી ગણવામાં આવેલ ACF છે ઓટોકોવરિઅન્સસંકેત કાર્ય:

C s () = તા., (6.1.2)

જ્યાં  s એ સરેરાશ સિગ્નલ મૂલ્ય છે. સહપ્રવર્તન કાર્યો એકદમ સરળ સંબંધ દ્વારા સહસંબંધ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે:

C s () = B s () -  s 2 .

સમય-મર્યાદિત સિગ્નલોનું ACF. વ્યવહારમાં, ચોક્કસ અંતરાલ પર આપવામાં આવેલા સંકેતોનો સામાન્ય રીતે અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. જુદા જુદા સમયના અંતરાલો પર નિર્દિષ્ટ સિગ્નલોના ACF ની સરખામણી કરવા માટે, ACF નો સામાન્યીકરણ સાથે અંતરાલની લંબાઈમાં ફેરફાર વ્યવહારુ ઉપયોગ શોધે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અંતરાલ પર સિગ્નલનો ઉલ્લેખ કરો:

ACF એ સમ કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે, જે ચલ t = t- ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને ચકાસવું સરળ છે (6.1.1):
s(t) s(t+) તા. (6.1.3)

ACF ની ગણતરી નબળા ભીના સિગ્નલો માટે પણ કરી શકાય છે અનંત ઊર્જા, જ્યારે સિગ્નલ સેટિંગ અંતરાલ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે સિગ્નલના સ્કેલર ઉત્પાદનના સરેરાશ મૂલ્ય અને તેની નકલ તરીકે:

B s () 
. (6.1.4)

આ અભિવ્યક્તિઓ અનુસાર ACF પાસે શક્તિનું ભૌતિક પરિમાણ છે, અને તે કૉપિની શિફ્ટ પર કાર્યાત્મક રીતે આધાર રાખીને, સિગ્નલ અને તેની નકલની સરેરાશ પરસ્પર શક્તિની બરાબર છે.

સામયિક સંકેતોનું ACF. સામયિક સિગ્નલોની ઉર્જા અનંત છે, તેથી સામયિક સિગ્નલોના ACF ની ગણતરી એક પીરિયડ T પર કરવામાં આવે છે, જે સિગ્નલના સ્કેલર ઉત્પાદનની સરેરાશ અને સમયગાળાની અંદર તેની શિફ્ટ કરેલી નકલ:

B s () = (1/T) s(t) s(t-) તા. (6.1.5)

ગાણિતિક રીતે વધુ સખત અભિવ્યક્તિ:

B s () 
.

=0 પર, સમયગાળા માટે સામાન્યકૃત ACF નું મૂલ્ય સમયગાળાની અંદરના સિગ્નલોની સરેરાશ શક્તિ જેટલું છે. આ કિસ્સામાં, સામયિક સંકેતોનું ACF એ સમાન સમયગાળા T સાથે સામયિક કાર્ય છે. તેથી, T=2/ 0 પર સિગ્નલ s(t) = A cos( 0 t+ 0) માટે અમારી પાસે છે:

ACF એ સમ કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે, જે ચલ t = t- ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને ચકાસવું સરળ છે (6.1.1):
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2/2) cos( 0 ).

હાર્મોનિક સિગ્નલ, જે કોઈપણ સામયિક સંકેતો માટે લાક્ષણિક છે અને ACF ના ગુણધર્મોમાંનું એક છે. સ્વયંસંબંધિત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ મનસ્વી સંકેતોમાં સામયિક ગુણધર્મો માટે તપાસ કરી શકો છો. સામયિક સિગ્નલના સ્વતઃસંબંધ કાર્યનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 6.1.2. ઓટોકોવેરિઅન્સ ફંક્શન્સ (ACF)

કેન્દ્રીય સિગ્નલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને સમાન રીતે ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ વિધેયોની નોંધપાત્ર વિશેષતા એ સિગ્નલોના વિક્ષેપ  s 2 સાથેનો તેમનો સરળ સંબંધ છે (ધોરણનો વર્ગ - સરેરાશ મૂલ્યમાંથી સિગ્નલ મૂલ્યોનું પ્રમાણભૂત વિચલન). જેમ જાણીતું છે, વિક્ષેપ મૂલ્ય સરેરાશ સિગ્નલ પાવરની બરાબર છે, જે નીચે મુજબ છે:

|C s ()| ≤  s 2 , C s (0) =  s 2  ||s(t)|| 2.

(6.1.7)

ભિન્નતા મૂલ્યને સામાન્ય બનાવાયેલ FAC મૂલ્યો સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકનું કાર્ય છે:

 s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2  cos ). (6.1.8)સંકેતોમાં. સિગ્નલ s1(k) માં અવાજે પીરિયડ બદલ્યા વિના સામયિક ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો કર્યો. આ વળાંક C s / s 1 ના ગ્રાફ દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, એટલે કે. સિગ્નલ ડિસ્પરઝન s1(k) ના મૂલ્ય સાથે નોર્મલાઇઝેશન (સરખામણી માટે) સાથે સિગ્નલ s(k) નું FAC, જ્યાં કોઈ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકે છે કે અવાજના ધબકારા, તેમના વાંચનની સંપૂર્ણ આંકડાકીય સ્વતંત્રતા સાથે, તેના મૂલ્યમાં વધારો કરે છે. C s1 (0) C s ( 0) ના મૂલ્યની તુલનામાં અને ઓટોકોવેરિઅન્સ ગુણાંકના કાર્યને કંઈક અંશે "અસ્પષ્ટ" કરે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ઘોંઘાટના સંકેતોનું મૂલ્ય  s ()   0 પર 1 છે અને  ≠ 0 પર શૂન્યની આસપાસ વધઘટ થાય છે, જ્યારે વધઘટના કંપનવિસ્તાર આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને સિગ્નલ નમૂનાઓની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે ( નમૂનાઓની સંખ્યામાં વધારો થતાં તેઓ શૂન્ય તરફ વળે છે).

અલગ સિગ્નલોનું ACF. ડેટા સેમ્પલિંગ અંતરાલ t = const સાથે, ACF ગણતરી અંતરાલો  = t પર કરવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે સેમ્પલ શિફ્ટ nની સંખ્યા n ના એક અલગ કાર્ય તરીકે લખવામાં આવે છે:

B s (nt) = t s k s k-n .

(6.1.9)

અલગ સિગ્નલો સામાન્ય રીતે k = 0.1,...K એ t=1 પર નમૂનાઓની સંખ્યા સાથે ચોક્કસ લંબાઈના સંખ્યાત્મક એરેના સ્વરૂપમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, અને ઊર્જા એકમોમાં અલગ ACF ની ગણતરી એક-માર્ગે કરવામાં આવે છે. સંસ્કરણ, એરેની લંબાઈને ધ્યાનમાં લેતા. જો સમગ્ર સિગ્નલ એરેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે અને ACF નમૂનાઓની સંખ્યા એરે નમૂનાઓની સંખ્યા જેટલી હોય, તો ગણતરી સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે:
B s (n) =

s k s k-n .

(6.1.10)

અલગ સિગ્નલો સામાન્ય રીતે k = 0.1,...K એ t=1 પર નમૂનાઓની સંખ્યા સાથે ચોક્કસ લંબાઈના સંખ્યાત્મક એરેના સ્વરૂપમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, અને ઊર્જા એકમોમાં અલગ ACF ની ગણતરી એક-માર્ગે કરવામાં આવે છે. સંસ્કરણ, એરેની લંબાઈને ધ્યાનમાં લેતા. જો સમગ્ર સિગ્નલ એરેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે અને ACF નમૂનાઓની સંખ્યા એરે નમૂનાઓની સંખ્યા જેટલી હોય, તો ગણતરી સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે: આ ફંક્શનમાં ગુણાકાર K/(K-n) એ શિફ્ટ n વધે તેમ ગુણાકાર અને સરવાળો મૂલ્યોની સંખ્યામાં ધીમે ધીમે ઘટાડો કરવા માટેનું સુધારણા પરિબળ છે. અકેન્દ્રિત સિગ્નલો માટે આ સુધારણા વિના, સરેરાશ મૂલ્યોના સરવાળોનું વલણ ACF મૂલ્યોમાં દેખાય છે. જ્યારે સિગ્નલ પાવરના એકમોમાં માપવામાં આવે છે, ત્યારે ગુણક K/(K-n) ને ગુણક 1/(K-n) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.< 0, (6.1.11)

ફોર્મ્યુલા (6.1.10) નો ઉપયોગ ખૂબ જ ભાગ્યે જ થાય છે, મુખ્યત્વે ઓછા નમૂનાઓ સાથે નિર્ણાયક સંકેતો માટે. અવ્યવસ્થિત અને ઘોંઘાટીયા સંકેતો માટે, છેદ (K-n) માં ઘટાડો અને શિફ્ટમાં વધારો થતાં ગુણાકારના નમૂનાઓની સંખ્યા ACF ગણતરીમાં આંકડાકીય વધઘટમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે. આ શરતો હેઠળ વધુ વિશ્વસનીયતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલ પાવરના એકમોમાં ACF ની ગણતરી કરીને પૂરી પાડવામાં આવે છે: s k s k-n , s k-n = 0 અને k-nતે સ્થિર પરિબળ 1/K ના સામાન્યીકરણ સાથે અને શૂન્ય મૂલ્યો દ્વારા સિગ્નલ એક્સ્ટેંશન સાથે (માં ડાબી બાજુ k+n શિફ્ટનો ઉપયોગ કરતી વખતે). આ અંદાજ પક્ષપાતી છે અને ફોર્મ્યુલા (6.1.10) મુજબ કરતાં થોડો ઓછો વિક્ષેપ ધરાવે છે. સૂત્રો (6.1.10) અને (6.1.11) અનુસાર સામાન્યીકરણ વચ્ચેનો તફાવત ફિગમાં સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે. 6.1.4.

ફોર્મ્યુલા (6.1.11) ને ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય, એટલે કે. ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજ તરીકે:

B s (n) = M(s k s k - n ) 
. (6.1.12)

વ્યવહારમાં, અલગ ACF સતત ACF જેવા જ ગુણધર્મો ધરાવે છે. તે સમ પણ છે, અને તેનું મૂલ્ય n = 0 નોર્મલાઇઝેશન પર આધાર રાખીને, સ્વતંત્ર સિગ્નલની ઊર્જા અથવા શક્તિ જેટલું છે.

ઘોંઘાટીયા સિગ્નલોનું ACF . ઘોંઘાટીયા સંકેતને સરવાળો v(k) = s(k)+q(k) તરીકે લખવામાં આવે છે. IN સામાન્ય કેસ, ઘોંઘાટનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી, અને ડિજિટલ સિગ્નલનું પાવર-સામાન્ય ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન, જેમાં N - નમૂનાઓ છે, નીચેના સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે:

B v (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =

= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =

B s (n) + M(s k q k-n ) + M(q k s k-n ) + M(q k q k-n )

B v (n) = B s (n) +
+
+
. (6.1.13)

ગાણિતિક અપેક્ષાના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લેતા ઉપયોગી સિગ્નલ s(k) અને અવાજ q(k)ની આંકડાકીય સ્વતંત્રતા સાથે

M(s k q k-n) = M(s k) M(q k-n) =

નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

B v (n) = B s (n) + 2 + . (6.1.13")

સૂત્રો (6.1.13) પરથી તે અનુસરે છે કે ઘોંઘાટીયા સિગ્નલના ACFમાં 2 ની કિંમતના સુપરઇમ્પોઝ્ડ ડેમ્પિંગ ઘટક સાથે ઉપયોગી સિગ્નલના સિગ્નલ ઘટકના ACFનો સમાવેશ થાય છે. +અવાજ કાર્ય. મુ મોટા મૂલ્યો K જ્યારે → 0, B v (n)  B s (n) ધરાવે છે. આનાથી માત્ર ACF ના સામયિક સિગ્નલોને ઓળખવાનું શક્ય બને છે, જે લગભગ સંપૂર્ણપણે અવાજમાં છુપાયેલા હોય છે (અવાજની શક્તિ સિગ્નલ પાવર કરતાં ઘણી વધારે હોય છે), પરંતુ તે સમયગાળામાં તેમનો સમયગાળો અને આકાર પણ ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે નક્કી કરે છે, અને સિંગલ-ફ્રીક્વન્સી હાર્મોનિક સિગ્નલો માટે, અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને તેમનું કંપનવિસ્તાર (6.1.6).

કોષ્ટક 6.1.