સંચાર પ્રણાલીઓમાં હસ્તક્ષેપ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

ફંક્શનને રેન્ડમ કહેવામાં આવે છે જો, પ્રયોગના પરિણામે, તે એક અથવા બીજું સ્વરૂપ લે છે, અને તે કયું છે તે અગાઉથી જાણીતું નથી. રેન્ડમ પ્રક્રિયા એ સમયનું રેન્ડમ કાર્ય છે. ચોક્કસ દૃશ્ય, જે પ્રયોગના પરિણામે રેન્ડમ પ્રક્રિયાને ધારે છે, તેને રેન્ડમ પ્રક્રિયાની અનુભૂતિ કહેવામાં આવે છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 1.19 રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અનેક (ત્રણ) અમલીકરણોનો સમૂહ બતાવે છે , , . આવા સંગ્રહને અનુભૂતિનું જોડાણ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ પ્રયોગમાં સમયની ક્ષણના નિશ્ચિત મૂલ્ય સાથે આપણે ચોક્કસ મૂલ્ય મેળવીએ છીએ, બીજામાં - , ત્રીજામાં -.

રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વિ પ્રકૃતિની છે. એક તરફ, દરેક વિશિષ્ટ પ્રયોગમાં તે તેના અમલીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે - સમયનું બિન-રેન્ડમ કાર્ય. બીજી બાજુ, રેન્ડમ પ્રક્રિયા સમૂહ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલો.

ખરેખર, ચાલો સમયના એક નિશ્ચિત બિંદુએ રેન્ડમ પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈએ, પછી દરેક પ્રયોગમાં તે એક મૂલ્ય લે છે, અને તે અગાઉથી જાણી શકાતું નથી. આમ, સમયના નિશ્ચિત બિંદુએ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી રેન્ડમ પ્રક્રિયા એ રેન્ડમ ચલ છે. જો સમયની બે ક્ષણો અને રેકોર્ડ કરવામાં આવે, તો દરેક પ્રયોગમાં આપણે અને નાં બે મૂલ્યો મેળવીશું. આ કિસ્સામાં, આ મૂલ્યોની સંયુક્ત વિચારણા બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ તરફ દોરી જાય છે. સમયસર N બિંદુઓ પર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, અમે N રેન્ડમ ચલોના સમૂહ અથવા સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ .

રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને સહસંબંધ કાર્ય સમયના નિશ્ચિત બિંદુએ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી રેન્ડમ પ્રક્રિયા રેન્ડમ ચલ છે, તેથી આપણે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિખેર વિશે વાત કરી શકીએ છીએ:

, .

જેમ રેન્ડમ ચલ માટે, વિક્ષેપ એ સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં રેન્ડમ પ્રક્રિયાના મૂલ્યોના ફેલાવાને લાક્ષણિકતા આપે છે. વધુ, ખૂબ મોટા હકારાત્મક અને શક્યતા વધારે છે નકારાત્મક મૂલ્યોપ્રક્રિયા વધુ અનુકૂળ લાક્ષણિકતા એ સરેરાશ છે પ્રમાણભૂત વિચલન(RMS), જે રેન્ડમ પ્રક્રિયાની જેમ જ પરિમાણ ધરાવે છે.

જો રેન્ડમ પ્રક્રિયા વર્ણવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઑબ્જેક્ટના અંતરમાં ફેરફાર, તો ગાણિતિક અપેક્ષા એ મીટરમાં સરેરાશ શ્રેણી છે; વિક્ષેપ ચોરસ મીટરમાં માપવામાં આવે છે, અને Sco મીટરમાં માપવામાં આવે છે અને સરેરાશની તુલનામાં સંભવિત શ્રેણી મૂલ્યોના પ્રસારને લાક્ષણિકતા આપે છે.

સરેરાશ અને ભિન્નતા એ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ છે જે અમને સમયના નિશ્ચિત બિંદુએ રેન્ડમ પ્રક્રિયાની વર્તણૂકનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, જો પ્રક્રિયામાં ફેરફારના "દર"નો અંદાજ કાઢવો જરૂરી હોય, તો સમયના એક તબક્કે અવલોકનો પૂરતા નથી. આ હેતુ માટે, બે રેન્ડમ ચલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એકસાથે ગણવામાં આવે છે. જેમ રેન્ડમ ચલો માટે, અને વચ્ચેના જોડાણ અથવા અવલંબનની લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે, આ લાક્ષણિકતા સમયની બે ક્ષણો પર આધાર રાખે છે અને તેને સહસંબંધ કાર્ય કહેવામાં આવે છે: .

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ. નિયંત્રણ પ્રણાલીઓમાં ઘણી પ્રક્રિયાઓ સમય જતાં એકસરખી રીતે થાય છે. તેમની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ બદલાતી નથી. આવી પ્રક્રિયાઓને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. ચોક્કસ વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી કોઈ પણ હોય સંભવિત લાક્ષણિકતાઓસમયની ઉત્પત્તિમાં પરિવર્તન પર આધાર રાખશો નહીં. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન સતત છે: , .

સહસંબંધ કાર્યસ્થિર પ્રક્રિયા મૂળ ટી પર આધારિત નથી, એટલે કે. ફક્ત સમયના તફાવત પર આધાર રાખે છે:

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સહસંબંધ કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

1) ; 2) ; 3) .

ઘણીવાર સંચાર પ્રણાલીમાં પ્રક્રિયાઓના સહસંબંધ કાર્યો ફિગમાં દર્શાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે. 1.20.

ચોખા. 1.20. પ્રક્રિયાઓના સહસંબંધ કાર્યો

સમય અંતરાલ જેના પર સહસંબંધ કાર્ય કરે છે, એટલે કે. રેન્ડમ પ્રક્રિયાના મૂલ્યો વચ્ચેના જોડાણની તીવ્રતા એમ વખતથી ઘટે છે, જેને રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અંતરાલ અથવા સહસંબંધ સમય કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે અથવા . આપણે કહી શકીએ કે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના મૂલ્યો જે સમયાંતરે સહસંબંધ અંતરાલ દ્વારા અલગ પડે છે તે એકબીજા સાથે નબળા રીતે સંબંધિત છે.

આમ, સહસંબંધ કાર્યનું જ્ઞાન વ્યક્તિને રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ફેરફારના દરને નક્કી કરવા દે છે.

બીજી મહત્વની લાક્ષણિકતા એ રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું ઊર્જા વર્ણપટ છે. તે સહસંબંધ કાર્યના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

.

દેખીતી રીતે, વિપરીત પરિવર્તન પણ સાચું છે:

.

એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ ફ્રીક્વન્સી અક્ષ પર રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જેમ કે દખલગીરીનું પાવર વિતરણ દર્શાવે છે.

ACS નું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, ACS ના ઇનપુટ પર પ્રક્રિયાની જાણીતી લાક્ષણિકતાઓ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના આઉટપુટ પર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ચાલો ધારીએ કે રેખીય સિસ્ટમ સ્પંદિત એક દ્વારા આપવામાં આવે છે પગલું પ્રતિભાવ. પછી સમયની ક્ષણે આઉટપુટ સિગ્નલ ડુહેમેલ ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

,

સિસ્ટમ ઇનપુટ પર પ્રક્રિયા ક્યાં છે. સહસંબંધ કાર્ય શોધવા માટે, અમે લખીએ છીએ અને ગુણાકાર પછી આપણે ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ છીએ

9. સહસંબંધ કાર્ય અને તેના મુખ્ય ગુણધર્મો.

માટે સંપૂર્ણ વર્ણનરેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ, સહસંબંધ એફ-આઇનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, પ્રમાણભૂત વિચલન સમાન

એવું માનવામાં આવે છે કે વિતરણ કાયદો સામાન્ય છે. આલેખ તેમની સમાન સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ હોવા છતાં, પ્રક્રિયાઓ વચ્ચે તીવ્ર તફાવત દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વિમાનને ટ્રેક કરવું. જો તે t સમયે પોઝિશન 1 પર હોય, તો પછીની ક્ષણ t 2 પર તેની સંભવિત સ્થિતિ 2 મર્યાદિત છે, એટલે કે, ઘટનાઓ (x 1,t 1 ) અને (x 2,t 2 ) સ્વતંત્ર રહેશે નહીં. વધુ જડતા પદાર્થ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, વધારે આ પરસ્પર નિર્ભરતા, અથવા સહસંબંધ. Corr ફંક્શન ગાણિતિક રીતે બે ફંક્શનનો સહસંબંધ અથવા ફંક્શનનો પોતાની સાથેનો સંબંધ (ઓટો કરેક્શન ફંક્શન) વ્યક્ત કરે છે. કાર્ય નીચે પ્રમાણે વર્ણવેલ છે:

જ્યાં t 1 અને t 2 એ સમયની કોઈપણ ક્ષણો છે, એટલે કે, t 1 અને t 2 T

સહસંબંધ - આંકડાકીય સંબંધબે અથવા વધુ રેન્ડમ ચલ.

સહસંબંધ કાર્ય– બે દલીલોનું આવા બિન-રેન્ડમ ફંક્શન R x (t 1 ,t 2 ) છે, જે દલીલોના નિશ્ચિત મૂલ્યોની કોઈપણ જોડી માટે t 1 અને t 2 સમાન છે સહસંબંધ ક્ષણ, રેન્ડમ ચલો x (t 1) અને x (t 2) ના આ વિભાગોને અનુરૂપ.

સહસંબંધ કાર્ય એ સમયનું કાર્ય છે જે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ સાથેની સિસ્ટમોમાં સહસંબંધને સ્પષ્ટ કરે છે.

જ્યારે ક્ષણો t 1 અને t 2 એકરૂપ થાય છે, ત્યારે સહસંબંધ કાર્ય વિક્ષેપ સમાન હોય છે. સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્યની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

સહસંબંધ કાર્યોના ગુણધર્મો

1. સહસંબંધ કાર્ય R x (t 1 ,t 2 ) તેની દલીલોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે:

સહસંબંધ કાર્ય X(t) ની વ્યાખ્યા અનુસાર.

2. જ્યારે રેન્ડમ ફંક્શનમાં ઉમેરવામાં આવે છેમનસ્વી બિન-રેન્ડમ શબ્દનો X (t).

(t), સહસંબંધ કાર્ય Z (t) X (t) (t),

પછી R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 )

3. જ્યારે રેન્ડમ ફંક્શન X (t) ને મનસ્વી બિન-રેન્ડમ પરિબળ ψ(t) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સહસંબંધ કાર્ય R x (t 1,t 2) નો ગુણાકાર ψ(t 1)ψ(t 2) થાય છે.

અપેક્ષા અને વિક્ષેપ એ રેન્ડમ પ્રક્રિયાની મહત્વની લાક્ષણિકતાઓ છે, પરંતુ તે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વ્યક્તિગત અમલીકરણની પ્રકૃતિમાં પૂરતી સમજ આપતા નથી. આ ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 9.3, જે બે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના અમલીકરણને દર્શાવે છે, તેમની રચનામાં સંપૂર્ણપણે અલગ છે, જો કે તેમની પાસે છે

ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાના સમાન મૂલ્યો. ફિગમાં ડેશ કરેલી રેખાઓ. આકૃતિ 9.3 રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટેના મૂલ્યો બતાવે છે.

ફિગમાં દર્શાવેલ પ્રક્રિયા. 9.3, a, એક વિભાગમાંથી બીજા વિભાગમાં પ્રમાણમાં સરળ રીતે આગળ વધે છે, અને ફિગમાં પ્રક્રિયા. 9.3, b માં વિભાગથી વિભાગમાં મજબૂત પરિવર્તનક્ષમતા છે તેથી, પ્રથમ કિસ્સામાં વિભાગો વચ્ચેનું આંકડાકીય જોડાણ બીજા કરતા વધારે છે, પરંતુ આ ગાણિતિક અપેક્ષા દ્વારા અથવા વિખેરાઈ દ્વારા સ્થાપિત કરી શકાતું નથી.

અમુક અંશે લાક્ષણિકતા આંતરિક માળખુંરેન્ડમ પ્રક્રિયા, એટલે કે માં રેન્ડમ પ્રક્રિયાના મૂલ્યો વચ્ચેના સંબંધને ધ્યાનમાં લો વિવિધ ક્ષણોસમય અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ પ્રક્રિયાની પરિવર્તનશીલતાની ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લેવા માટે, રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સહસંબંધ (ઓટોકોરિલેશન) કાર્યની વિભાવના રજૂ કરવી જરૂરી છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્યતેને બે દલીલોનું બિન-રેન્ડમ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે જે, દલીલોના મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ મૂલ્યોની દરેક જોડી માટે (સમયની ત્વરિત), રેન્ડમના અનુરૂપ વિભાગોના બે રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન હોય છે. પ્રક્રિયા:

દ્વિ-પરિમાણીય સંભાવના ઘનતા ક્યાં છે; - કેન્દ્રિત રેન્ડમ પ્રક્રિયા; - રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય).

સમય સાથે તેમની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ કેવી રીતે બદલાય છે તેના આધારે વિવિધ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓને સ્થિર અને બિન-સ્થિરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. માં સ્થિરતાને વિભાજીત કરો સંકુચિત અર્થમાંઅને માં સ્થિરતા વ્યાપક અર્થમાં.

સંકુચિત અર્થમાં સ્થિરરેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવાય છે જો તેના n-પરિમાણીય વિતરણ વિધેયો અને કોઈપણ સમય માટે સંભાવના ઘનતા તમામ બિંદુઓના શિફ્ટ પર આધારિત ન હોય

સમય ધરી સાથે સમાન કદએટલે કે

આનો અર્થ એ છે કે બે પ્રક્રિયાઓ કોઈપણ માટે સમાન આંકડાકીય ગુણધર્મો ધરાવે છે એટલે કે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ સમય જતાં સ્થિર રહે છે.

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા એ સ્થિર પ્રક્રિયાનું એક પ્રકારનું એનાલોગ છે નિર્ણાયક સિસ્ટમો. કોઈપણ સંક્રમણ પ્રક્રિયા સ્થિર નથી.

વ્યાપક અર્થમાં સ્થિરએક રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે જેની ગાણિતિક અપેક્ષા સતત છે:

અને સહસંબંધ કાર્ય માત્ર એક ચલ પર આધાર રાખે છે - દલીલોમાં તફાવત, અને સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે

પ્રક્રિયાઓ જે સંકુચિત અર્થમાં સ્થિર હોય છે તે વ્યાપક અર્થમાં જરૂરી સ્થિર હોય છે; જો કે, કન્વર્ઝ સ્ટેટમેન્ટ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ખોટું છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાની વિભાવના, વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર, જ્યારે રેન્ડમ પ્રક્રિયાની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ તરીકે માત્ર ગાણિતિક અપેક્ષા અને સહસંબંધ કાર્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે રજૂ કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતનો ભાગ જે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ગુણધર્મોને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા વર્ણવે છે તેને સહસંબંધ સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે.

સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે સામાન્ય કાયદોવિતરણ, ગાણિતિક અપેક્ષા અને સહસંબંધ કાર્ય સંપૂર્ણપણે તેની n-પરિમાણીય સંભાવના ઘનતા નક્કી કરે છે.

તેથી, સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટે વ્યાપક અને સાંકડી અર્થમાં સ્થિરતાના ખ્યાલો એકરૂપ થાય છે.

સ્થિર પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંત સૌથી વધુ સંપૂર્ણ રીતે વિકસિત થયો છે અને ઘણા વ્યવહારુ કેસો માટે પ્રમાણમાં સરળ ગણતરીઓ માટે પરવાનગી આપે છે. તેથી, કેટલીકવાર તે એવા કિસ્સાઓ માટે પણ સ્થિરતાની ધારણા કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે કે જ્યાં રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જો કે બિન-સ્થિર, સિસ્ટમના સંચાલનના ગણવામાં આવતા સમયગાળા દરમિયાન, સિગ્નલોની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થવાનો સમય નથી. નીચેનામાં, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી, રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ કે જે વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર છે તેને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે જે વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર હોય છે, ત્યારે આપણે આપણી જાતને માત્ર શૂન્યની સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય) સાથેની પ્રક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લેવા માટે મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, બિન-શૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સરવાળો તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. શૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા સાથેની પ્રક્રિયા અને આ પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન સતત બિન-રેન્ડમ (નિયમિત) મૂલ્ય (§ 9.6 નીચે જુઓ).

જ્યારે સહસંબંધ કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં, સરેરાશ મૂલ્યોની બે વિભાવનાઓનો ઉપયોગ થાય છે. સરેરાશ મૂલ્યનો પ્રથમ ખ્યાલ એ સમૂહ (અથવા ગાણિતિક અપેક્ષા) નું સરેરાશ મૂલ્ય છે, જે સમયના સમાન બિંદુએ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અનુભૂતિના સમૂહના નિરીક્ષણના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે. સમૂહ પર સરેરાશ મૂલ્ય સામાન્ય રીતે રેન્ડમ ફંક્શનનું વર્ણન કરતી અભિવ્યક્તિની ઉપર લહેરાતી રેખા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

IN સામાન્ય કેસસેટ એવરેજ એ સમયનું કાર્ય છે

સરેરાશ મૂલ્યની અન્ય વિભાવના એ સમય સાથે સરેરાશ મૂલ્ય છે, જે સમયના સમયગાળા દરમિયાન રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અલગ અમલીકરણના નિરીક્ષણના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પૂરતો લાંબો સમય T. સમય જતાં સરેરાશ મૂલ્ય રેન્ડમ ફંક્શનના અનુરૂપ અભિવ્યક્તિની ઉપર એક સીધી રેખા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમૂહની વ્યક્તિગત અનુભૂતિ માટે સમય સરેરાશ સામાન્ય રીતે અલગ હોય છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સમાન રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે, સેટ સરેરાશ અને સમય સરેરાશ મૂલ્યો અલગ હોય છે. જો કે, ત્યાં સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો એક વર્ગ છે, જેને એર્ગોડિક કહેવાય છે, જેના માટે સેટ પરની સરેરાશ સમય જતાં સરેરાશ જેટલી હોય છે, એટલે કે.

એર્ગોડિક સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં અનિશ્ચિત રૂપે ઘટે છે

જો કે, તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે દરેક સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા એર્ગોડિક નથી, ઉદાહરણ તરીકે, એક રેન્ડમ પ્રક્રિયા કે જેનો દરેક અમલ સમયસર સતત હોય છે (ફિગ. 9.4) સ્થિર છે, પરંતુ એર્ગોડિક નથી. આ કિસ્સામાં, એક અમલીકરણ અને બહુવિધ અમલીકરણની પ્રક્રિયામાંથી નિર્ધારિત સરેરાશ મૂલ્યો એકરૂપ થતા નથી. સામાન્ય કિસ્સામાં સમાન રેન્ડમ પ્રક્રિયા કેટલાકના સંદર્ભમાં એર્ગોડિક હોઈ શકે છે આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓઅને અન્ય લોકોના સંદર્ભમાં બિન-એર્ગોડિક. નીચેનામાં, અમે ધારીશું કે તમામ આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓના સંદર્ભમાં એર્ગોડિસિટી શરતો સંતુષ્ટ છે.

એર્ગોડિસિટી પ્રોપર્ટી ખૂબ મોટી છે વ્યવહારુ મહત્વ. નક્કી કરવા માટે આંકડાકીય ગુણધર્મોઅમુક ઑબ્જેક્ટ્સ, જો મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલા સમયે તેમનું એક સાથે અવલોકન કરવું મુશ્કેલ હોય (ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્યાં એક પ્રોટોટાઇપ હોય), તો તેને એક ઑબ્જેક્ટના લાંબા ગાળાના અવલોકન દ્વારા બદલી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એર્ગોડિક રેન્ડમનું અલગ અમલીકરણ

અનંત સમયગાળાની પ્રક્રિયા તેના અનંત અમલીકરણો સાથે સંપૂર્ણ રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. હકીકતમાં, આ હકીકત નીચે વર્ણવેલ પદ્ધતિને અનુસરે છે પ્રાયોગિક નિર્ધારણએક અમલીકરણ અનુસાર સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય.

(9.25) પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સહસંબંધ કાર્ય એ સમૂહની સરેરાશ કિંમત છે. એર્ગોડિક રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટે, સહસંબંધ કાર્યને ઉત્પાદનની સમય સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, એટલે કે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અમલીકરણ ક્યાં છે; x એ સમય જતાં સરેરાશ મૂલ્ય છે, જે (9.28) દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે.

જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય તો

એર્ગોડિસિટી પ્રોપર્ટીના આધારે, કોઈ વિખેરી શકે છે [જુઓ. (9.19)] કેન્દ્રિત રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વર્ગની સમય સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત, એટલે કે.

અભિવ્યક્તિઓ (9.30) અને (9.32) એક સાથે સરખાવવાથી ખૂબ જ સ્થાપિત થઈ શકે છે મહત્વપૂર્ણ જોડાણવિક્ષેપ અને સહસંબંધ કાર્ય વચ્ચે - સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વિક્ષેપ સહસંબંધ કાર્યના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલું છે:

(9.33) થી તે સ્પષ્ટ છે કે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વિક્ષેપ સ્થિર છે, અને તેથી પ્રમાણભૂત વિચલન સતત છે:

બે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેના જોડાણના આંકડાકીય ગુણધર્મોને પરસ્પર સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જે, મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ દલીલ મૂલ્યોની દરેક જોડી માટે, સમાન છે

એર્ગોડિક રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટે, (9.35) ને બદલે આપણે લખી શકીએ છીએ

અનુક્રમે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની કોઈપણ અનુભૂતિ ક્યાં છે.

ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન સમયના જુદા જુદા બિંદુઓ પર બે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના પરસ્પર આંકડાકીય સંબંધની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે, સમયના સમયગાળા દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે. મૂલ્ય સમયના સમાન બિંદુએ આ સંબંધને દર્શાવે છે.

(9.36) થી તે અનુસરે છે

જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ આંકડાકીય રીતે એકબીજા સાથે સંબંધિત નથી અને હોય છે શૂન્ય બરાબરસરેરાશ મૂલ્યો, તો પછી બધા માટે તેમનું ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય શૂન્ય સમાન છે. જોકે રિવર્સ આઉટપુટકે જો ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન શૂન્ય બરાબર છે, તો પ્રક્રિયાઓ સ્વતંત્ર છે, તે ફક્ત કેટલાક કિસ્સાઓમાં(ખાસ કરીને, સામાન્ય વિતરણ કાયદા સાથેની પ્રક્રિયાઓ માટે), સામાન્ય તાકાત વ્યસ્ત કાયદોપાસે નથી.

નોંધ કરો કે સહસંબંધ કાર્યોની ગણતરી બિન-રેન્ડમ (નિયમિત) સમય કાર્યો માટે પણ કરી શકાય છે. જો કે, જ્યારે તેઓ નિયમિત કાર્યના સહસંબંધ કાર્ય વિશે વાત કરે છે, ત્યારે આને ઔપચારિક કાર્યના પરિણામ તરીકે સમજવામાં આવે છે.

નિયમિત કાર્યને લાગુ પાડવું એક અભિન્ન દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ ઓપરેશન:

ચાલો સહસંબંધ કાર્યોના કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મો રજૂ કરીએ

1. સહસંબંધ કાર્યનું પ્રારંભિક મૂલ્ય [જુઓ (9.33)] રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વિભિન્નતા સમાન છે:

2. સહસંબંધ કાર્યનું મૂલ્ય કોઈપણ માટે તેનાથી વધી શકતું નથી પ્રારંભિક મૂલ્ય, એટલે કે

આ સાબિત કરવા માટે, સ્પષ્ટ અસમાનતા ધ્યાનમાં લો કે જેમાંથી તે અનુસરે છે

અમે છેલ્લી અસમાનતાની બંને બાજુઓમાંથી સમય જતાં સરેરાશ મૂલ્યો શોધીએ છીએ:

આમ, આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ

3. સહસંબંધ કાર્ય એ એક સમાન કાર્ય છે, એટલે કે.

આ સહસંબંધ કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. ખરેખર,

તેથી, ગ્રાફ પર, સહસંબંધ કાર્ય હંમેશા ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે.

4. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સરવાળાનું સહસંબંધ કાર્ય અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન્સ ક્યાં છે

ખરેખર,

5. સહસંબંધ કાર્ય સતત મૂલ્યઆ સ્થિર મૂલ્યના વર્ગની બરાબર (ફિગ. 9.5, a), જે સહસંબંધ કાર્યની વ્યાખ્યાથી અનુસરે છે:

6. સામયિક કાર્યનું સહસંબંધ કાર્ય, ઉદાહરણ તરીકે, કોસાઇન તરંગ (ફિગ. 9-5, 5), એટલે કે.

ફેઝ શિફ્ટની સમાન આવર્તન અને સ્વતંત્ર

આ સાબિત કરવા માટે, સહસંબંધ કાર્યો શોધતી વખતે નોંધ કરો સામયિક કાર્યોતમે નીચેની સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

કાર્યનો સમયગાળો ક્યાં છે

છેલ્લી સમાનતા -T થી T સુધીની મર્યાદાઓ સાથે ઇન્ટિગ્રલને T પર , જ્યાં સુધી અને ઇન્ટિગ્રેંડ્સની સામયિકતાનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્તિગત પૂર્ણાંકોના સરવાળા સાથે બદલ્યા પછી પ્રાપ્ત થાય છે.

પછી, ઉપરોક્ત બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે ટી.

7. ટાઈમ ફંક્શનનું સહસંબંધ ફંક્શન ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તર્યું છે:

ચોખા. 9.5 (સ્કેન જુઓ)

ઉપરના આધારે, નીચેનું સ્વરૂપ છે:

8. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના લાક્ષણિક સહસંબંધ કાર્યનું સ્વરૂપ ફિગમાં બતાવેલ છે. 9.6. તે નીચેના વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે:

વૃદ્ધિ સાથે, તેમની વચ્ચેનું જોડાણ નબળું પડે છે અને સહસંબંધ કાર્ય નાનું બને છે. ફિગ માં. 9.5, b, c દર્શાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે સહસંબંધ કાર્યો અને રેન્ડમ પ્રક્રિયાના બે અનુરૂપ અનુભૂતિઓ. તે જોવાનું સરળ છે કે સહસંબંધ કાર્ય વધુ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાને અનુરૂપ છે સરસ માળખું, ઝડપથી ઘટે છે અન્ય શબ્દોમાં, વધુ ઉચ્ચ આવર્તનરેન્ડમ પ્રક્રિયામાં હાજર હોય છે, અનુરૂપ સહસંબંધ કાર્ય જેટલી ઝડપથી ઘટે છે.

કેટલીકવાર ત્યાં સહસંબંધ કાર્યો હોય છે જે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે

વિખેરવું ક્યાં છે; - એટેન્યુએશન પેરામીટર; - રેઝોનન્ટ આવર્તન.

આ પ્રકારના સહસંબંધ કાર્યોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, વાતાવરણીય અશાંતિ, રડાર સિગ્નલ વિલીન, લક્ષ્યનું કોણીય ફ્લિકર, વગેરે જેવી રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ હોય છે. અભિવ્યક્તિ (9.45) અને (9.46) નો ઉપયોગ પ્રક્રિયાના પરિણામે પ્રાપ્ત અંદાજિત સહસંબંધ કાર્યો માટે થાય છે. પ્રાયોગિક ડેટા.

9. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય, જેના પર આવર્તન સાથે સામયિક ઘટક સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે, તેમાં સમાન આવર્તનનો સામયિક ઘટક પણ હશે.

આ સંજોગોનો ઉપયોગ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં "છુપાયેલ સામયિકતા" શોધવાની એક રીત તરીકે થઈ શકે છે, જે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અમલીકરણના વ્યક્તિગત રેકોર્ડ્સ પર પ્રથમ નજરમાં શોધી શકાતી નથી.

અવ્યવસ્થિત ઘટક ઉપરાંત, સામયિક ઘટક પણ ધરાવતી પ્રક્રિયાના સહસંબંધ કાર્યનું અંદાજિત સ્વરૂપ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 9.7, જ્યાં રેન્ડમ ઘટકને અનુરૂપ સહસંબંધ કાર્ય સૂચવવામાં આવે છે. છુપાયેલા સામયિક ઘટકને ઓળખવા માટે (આ ​​સમસ્યા ઊભી થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, મોટા અવાજની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નાના ઉપયોગી સંકેતને ઓળખતી વખતે), તે માટે સહસંબંધ કાર્ય નક્કી કરવું શ્રેષ્ઠ છે મોટા મૂલ્યોજ્યારે રેન્ડમ સિગ્નલ પહેલેથી જ પ્રમાણમાં નબળા સહસંબંધિત હોય છે અને રેન્ડમ ઘટક સહસંબંધ કાર્યના સ્વરૂપ પર ઓછી અસર કરે છે.

સ્થિર પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય

સહસંબંધ કાર્યરેન્ડમ પ્રક્રિયાને પ્રક્રિયાના બે કેન્દ્રિત વિભાગોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ક્ષણોમાં લેવામાં આવે છે. t 1 અને t 2. આ કિસ્સામાં, ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી દ્વિ-પરિમાણીય સંભાવના ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. . સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે, દ્વિ-પરિમાણીય સંભાવના ઘનતા અને તે મુજબ, સહસંબંધ કાર્ય તેના પર નિર્ભર નથી t 1 અને t 2 અલગથી, પરંતુ માત્ર તેમના તફાવતથી = t 2 - t 1. આને અનુરૂપ, સ્થિર પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(3.1)

સ્થિર પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા ક્યાં છે; એક્સ 1 , એક્સ 2 - શક્ય મૂલ્યોરેન્ડમ પ્રક્રિયા, અનુક્રમે, સમયે t 1 , t 2 ; = t 2 – t 1 - વિભાગો વચ્ચે સમય અંતરાલ; - સ્થિર પ્રક્રિયાની દ્વિ-પરિમાણીય સંભાવના ઘનતા. માટે બીજી અભિવ્યક્તિ જાહેરાત દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે ચોરસ કૌંસપ્રથમ અભિવ્યક્તિ અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા.

IN વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી સાહિત્યરેન્ડમ પ્રક્રિયાની આવી લાક્ષણિકતા તરીકે પણ વપરાય છે સહપ્રવર્તન કાર્ય K (t), જે પ્રક્રિયાના બે મૂલ્યોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે સમજવામાં આવે છે, તે ક્ષણોમાં અનુક્રમે લેવામાં આવે છે t 1 અને t 2:

(3.2)

તેથી ગુણોત્તર વાજબી છે

(3.3)

જો , પછી ખ્યાલો અને મેળ જો તે વધુમાં એર્ગોડિક ગુણધર્મ ધરાવે છે, તો પછી સહસંબંધ કાર્ય એક લાંબા અમલીકરણથી નક્કી કરી શકાય છે:

(3.4)

જ્યાં ટી- એક અનુભૂતિનું અવલોકન અંતરાલ x(t) પ્રક્રિયા; - સમાન અમલીકરણ x(t), થોડા સમય માટે વિલંબિત.

ફોર્મ્યુલા (3.4) નો ઉપયોગ બાંધકામ માટેના આધાર તરીકે થઈ શકે છે બ્લોક ડાયાગ્રામએક ઉપકરણ જે સહસંબંધ કાર્યને માપે છે, કહેવાય છે કોરિલોમીટર. કોરીલોમીટર બનાવવા માટે, ગુણક, ચલ વિલંબ સમય સાથેનું વિલંબ ઉપકરણ, અને એક સંકલનકર્તા જરૂરી છે (ફિગ. 3.1). આ ઉપકરણ માપે છે અથવા તે શૂન્ય છે કે નહીં તેના આધારે.

સહસંબંધ કાર્ય સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જેમ કે સામાન્ય રીતે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સહસંબંધ કાર્ય, છે વાસ્તવિક કાર્યદલીલ તે જ સમયે બે બાજુઓથી લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. પ્રથમ,વધઘટની સરેરાશ ચોક્કસ શક્તિ નક્કી કરે છે. એ બીજું,અમને ડિગ્રી નક્કી કરવા દે છે રેખીય જોડાણરેન્ડમ પ્રક્રિયાના બે વિભાગો વચ્ચે સમય અંતરાલ દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે. પરિમાણ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ચોરસના પરિમાણ સાથે એકરુપ છે. ચાલો સહસંબંધ કાર્યના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

1. = 0 પરનો સહસંબંધ કાર્ય પ્રક્રિયા વિચલન સમાન છે

(3.5)

આ ગુણધર્મ સીધા ફોર્મ્યુલા (3.1) થી અનુસરે છે, જો આપણે તેમાં = 0 મૂકીએ.

2. સ્થિર પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય છે સમ કાર્યદલીલ

(3.6)

આ ગુણધર્મ સીધી સ્થિર પ્રક્રિયાની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે, જેના માટે તે ક્ષણોના મૂલ્યો નથી અને ટી 2, અને બીજા |t 2 -t 1 | થી એક વિભાગના સમયમાં અંતર.

3. કોઈપણ માટે સહસંબંધ કાર્ય tપર તેની કિંમત કરતાં વધી શકતી નથી = 0:

(3.7)

આ મિલકત ભૌતિક અર્થ છે કે સૌથી મોટી ડિગ્રીસમાન વિભાગ વચ્ચે રેખીય જોડાણ પૂરું પાડવામાં આવે છે, એટલે કે, =0 પર. સાચું, જો તે સામયિક પ્રક્રિયા છે, તો પ્રક્રિયાના સમયગાળાને અનુરૂપ કોઈ અન્ય હોઈ શકે છે, જેના માટે અને વચ્ચે સખત કાર્યાત્મક જોડાણ છે. . તેથી, સામાન્ય કિસ્સામાં, માત્ર અસમાનતા જ નહીં, પણ સમાનતા પણ સૂત્રમાં સંતુષ્ટ થઈ શકે છે (3.7).

4. સહસંબંધ કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

(3.8)

જ્યાં આર(t) સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય, જેનો અર્થ સહસંબંધ ગુણાંકનો અર્થ છે અને તેની અંદર સમાયેલ છે.

. (3.9)

તે અંતરાલ દ્વારા લેવામાં આવતી રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વિભાગો વચ્ચેના રેખીય જોડાણની માત્ર ડિગ્રીને દર્શાવે છે. બદલામાં, પ્રક્રિયાનું વિક્ષેપ એ રેન્ડમ પ્રક્રિયાની વધઘટની માત્ર સરેરાશ ચોક્કસ શક્તિને જ દર્શાવે છે.

સહસંબંધ કાર્ય

વાસ્તવિક રેન્ડમ પ્રક્રિયા - દલીલો ટી,. સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત

K. f માટે ક્રમમાં. વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, એવું માની લેવું જોઈએ કે તમામ માટે પ્રક્રિયા X(t) એક મર્યાદિત સેકન્ડ ધરાવે છે. સંપૂર્ણપણે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. મનસ્વી પ્રકૃતિના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ ફંક્શન, ખાસ કરીને K. f. રેન્ડમ ક્ષેત્ર જ્યારે ટી -મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાનો સબસેટ. જો બહુપરીમાણીય (), તો તેના K. f. કહેવાય છે મેટ્રિક્સ-મૂલ્યવાળું કાર્ય

પ્રક્રિયાઓનું ક્રોસ સહસંબંધ કાર્ય X i(ટી) , X જે(ટી).

કે. એફ. છે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતારેન્ડમ પ્રક્રિયા. જો X(t) - ગૌસીયન પ્રક્રિયા,પછી તેના કે.એફ. IN( t, sઅને મૂલ્ય (એટલે ​​​​કે, પ્રથમ અને બીજી ક્ષણો) વિશિષ્ટ રીતે મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો નક્કી કરે છે, અને તેથી સમગ્ર પ્રક્રિયા. સામાન્ય કિસ્સામાં, પ્રથમ બે ક્ષણો રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સંપૂર્ણ વર્ણન માટે દેખીતી રીતે અપૂરતી છે. ઉદાહરણ તરીકે, એ જ કે. એફ. ગૌસીયન ટ્રેજેકટ્રીઝ ધરાવે છે જેની ટ્રેજેકટ્રીઝ સતત અને કહેવાતી હોય છે. ટેલિગ્રાફ સિગ્નલ - પોઇન્ટ માર્કોવિયનસ્થિર પ્રક્રિયા , બે મૂલ્યો ±1 લેતા. જો કે, કે.એફ. વ્યાખ્યાયિત કરે છેમહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પ્રક્રિયા - કહેવાતા સેકન્ડ-ઓર્ડર પ્રોપર્ટીઝ (એટલે ​​​​કે, બીજી ક્ષણોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવી છે). આના કારણે, અને તેના કારણે પણ, સંબંધિત સરળતાસહસંબંધ પદ્ધતિઓ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંત અને તેના આંકડા બંનેમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. એપ્લિકેશન્સ (જુઓ).

કોરીલોગ્રામ જો R(t) વધારામાં સતત છે t = 0 , (જે પ્રક્રિયા X(t) ના સરેરાશ ચોરસ સાતત્યને અનુરૂપ છે)

તે હકારાત્મક અંતિમ ક્યાં છે; અહીં હું આખી વાસ્તવિક લાઇનમાંથી ચાલે છે જોટી = ("સતત સમય" નો કેસ), અથવા જોટી = (... , - 1, 0, 1, . . .) ("સ્વચ્છ સમય" નો કેસ). માપ કહેવાય છે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વર્ણપટ માપ. આમ, સહસંબંધ અનેસ્પેક્ટ્રલ ગુણધર્મો સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા નજીકથી સંબંધિત હોવાનું બહાર આવ્યું છે; ઉદાહરણ તરીકે, સહસંબંધમાં ઘટાડાનો દર સરળતાની ડિગ્રીને અનુરૂપ છે વર્ણપટની ઘનતા

IN વગેરેઆંકડાકીય મિકેનિક્સ કે. એફ. કહેવાય છે પણ સંયુક્ત આર( x 1, ..., x t પોઈન્ટ પર વિચારણા હેઠળ સિસ્ટમના વિવિધ કણો શોધવા..., x 1, x t

;આ વિધેયોનો સમૂહ અનન્ય રીતે અનુરૂપ બિંદુ નક્કી કરે છે.લિટ. : ડબ જે., પ્રોબેબિલિસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1956; L o e in M., થિયરી ઓફ પ્રોબેબિલિટી, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1962; જી ઇખ્માન I.I., સ્કોરોખોડ એ.વી., રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતનો પરિચય, એમ., 1965.

એ.એસ. ખોલેવો.ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

.

આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ. 1977-1985. અન્ય શબ્દકોશોમાં "કોરિલેશન ફંક્શન" શું છે તે જુઓ:સહસંબંધ કાર્ય - એનડીપી.સ્વતઃસંબંધ કાર્ય ચલ ઘટકના ઉત્પાદનના સરેરાશ મૂલ્ય જેટલું કાર્યરેન્ડમ સિગ્નલ અને સમાન ચલ ઘટક, પરંતુ વિલંબિત

સહસંબંધ કાર્ય એ સમય અથવા અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે જે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ સાથે સિસ્ટમોમાં સહસંબંધને સ્પષ્ટ કરે છે. બે રેન્ડમ ફંક્શન્સ X(t) અને Y(t) ના સમય-આધારિત સહસંબંધને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: , જ્યાં કોણ કૌંસ ... ... વિકિપીડિયા

IN આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રકાર્ય કે જે સંભવિતતા સંબંધિત નક્કી કરે છે. કોઈપણ પ્રવાહી અથવા ગેસના અણુઓના સંકુલની ગોઠવણી; s=2 K.f પર. કહેવાય છે જોડી અથવા દ્વિસંગી. માધ્યમના પરમાણુઓની ગોઠવણીમાં સહસંબંધોનો દેખાવ એ હકીકતને કારણે છે કે નજીકમાં... ભૌતિક જ્ઞાનકોશ

રેન્ડમ પ્રોસેસ ફંક્શન B (s, t) = M[ X (s) MX (s)].*, s, [અહીં MX (t) એ પ્રક્રિયાની પ્રથમ ક્ષણ છે, * એટલે જટિલ જોડાણ; એવું માનવામાં આવે છે. કિસ્સામાં વેક્ટર પ્રક્રિયાકે. એફ. કોરલ કહેવાય છે... ભૌતિક જ્ઞાનકોશ- 1. રેન્ડમ સિગ્નલના ચલ ઘટક અને સમાન ચલ ઘટકના ઉત્પાદનના સરેરાશ મૂલ્ય જેટલું કાર્ય, પરંતુ દસ્તાવેજમાં વપરાયેલ આપેલ સમયથી વિલંબિત: GOST 16465 70 રેડિયો એન્જિનિયરિંગ માપન સંકેતો. ... દૂરસંચાર શબ્દકોશ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય જુઓ. ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય શબ્દકોશ: 2 વોલ્યુમોમાં. એમ.: નેદ્રા. K. N. Paffengoltz et al 1978 દ્વારા સંપાદિત ... ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય જ્ઞાનકોશ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય- 16. રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય બે ચલો t અને uનું કાર્ય, કેન્દ્રીય રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સહપ્રવાહ કાર્યની સમાન Rξ (t, u) = M([ξ(t) m1]×[ξ(u) m2]), t,uЄT સ્ત્રોત ... પ્રમાણભૂત અને તકનીકી દસ્તાવેજીકરણની શરતોની શબ્દકોશ-સંદર્ભ પુસ્તક

સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય- 25. સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય NDP. સહસંબંધ ગુણાંક કાર્ય, ગુણોત્તર સમાનરેન્ડમ સિગ્નલનું તેના વિચલન સાથે સહસંબંધ કાર્ય