સંકેતોના સ્વતઃસંબંધ કાર્યોનો ખ્યાલ . સિગ્નલ s(t) નું ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (CF - કોરિલેશન ફંક્શન), એનર્જીમાં સીમિત, સિગ્નલ આકારની એક માત્રાત્મક અભિન્ન લાક્ષણિકતા છે, જે સિગ્નલમાં નમૂનાઓના પરસ્પર ટેમ્પોરલ સંબંધની પ્રકૃતિ અને પરિમાણોને ઓળખે છે, જે હંમેશા થાય છે. સામયિક સંકેતો માટે, તેમજ અંતરાલ અને વાંચન મૂલ્યોની અવલંબનની ડિગ્રી માટે વર્તમાન ક્ષણોવર્તમાન ક્ષણના પ્રાગઈતિહાસનો સમય. ACF એ સિગ્નલ s(t) ની બે નકલોના ઉત્પાદનના અવિભાજ્ય દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, જે સમય દ્વારા એકબીજાની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે :

B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| cos ().

(6.1.1)

આ અભિવ્યક્તિમાંથી નીચે મુજબ, ACF એ સિગ્નલનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે અને શિફ્ટ મૂલ્ય  ના ચલ મૂલ્ય પર કાર્યાત્મક અવલંબનમાં તેની નકલ છે. તદનુસાર, ACF પાસે ઉર્જાનું ભૌતિક પરિમાણ છે, અને  = 0 પર ACF નું મૂલ્ય સિગ્નલ ઉર્જા જેટલું સીધું છે અને શક્ય તેટલું મહત્તમ છે (સિગ્નલની પોતાની સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ખૂણાનો કોસાઇન 1 ની બરાબર છે. ): B s (0) =

s(t) 2 dt = E s .

ACF એ સમ કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે, જે ચલ t = t- ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને ચકાસવું સરળ છે (6.1.1): B s () =

s(t-) s(t) dt = B s (-). મહત્તમ ACF,ઊર્જા સમાન

=0 પરનો સિગ્નલ હંમેશા હકારાત્મક હોય છે, અને સમયની પાળીના કોઈપણ મૂલ્ય પર ACF મોડ્યુલ સિગ્નલ ઊર્જા કરતાં વધી જતું નથી. બાદમાં સ્કેલર પ્રોડક્ટના ગુણધર્મોમાંથી સીધું અનુસરે છે (જેમ કે કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા છે):

ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),

cos () = 1 at  = 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = ઇ એસ ,< 1 при   0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .

કારણ ()
લંબચોરસ પલ્સના કંપનવિસ્તાર, જ્યારે સિગ્નલ ઊર્જા પણ સમાન હશે, જે એસીએફના કેન્દ્રીય મેક્સિમાના સમાન મૂલ્યો દ્વારા પુષ્ટિ થયેલ છે. મર્યાદિત પલ્સ સમયગાળો માટે, ACF સમયગાળો પણ મર્યાદિત હોય છે, અને તે પલ્સ અવધિના બમણા સમાન હોય છે (જ્યારે મર્યાદિત પલ્સની નકલ તેના સમયગાળાના અંતરાલ દ્વારા ડાબી અને જમણી બંને તરફ ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે પલ્સનું ઉત્પાદન સાથે તેની નકલ શૂન્યની બરાબર થઈ જાય છે). રેડિયો પલ્સના એસીએફના ઓસિલેશનની આવર્તન રેડિયો પલ્સ ભરવાના ઓસિલેશનની આવર્તન જેટલી હોય છે (એસીએફના લેટરલ મિનિમા અને મેક્સિમા દરેક વખતે રેડિયો પલ્સની નકલની અડધી અવધિ દ્વારા ક્રમિક શિફ્ટ સાથે થાય છે. તેના ભરણના ઓસિલેશન્સ).

સમાનતા જોતાં, ACF ની ગ્રાફિકલ રજૂઆત સામાન્ય રીતે માત્ર  ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે જ કરવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, સંકેતો સામાન્ય રીતે 0-T થી હકારાત્મક દલીલ મૂલ્યોના અંતરાલમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. + સાઇન ઇન એક્સપ્રેશન (6.1.1) નો અર્થ છે કે જેમ જેમ  ની કિંમતો વધે છે, સિગ્નલ s(t+) ની એક નકલ ટી અક્ષ સાથે ડાબી તરફ જાય છે અને 0 થી આગળ જાય છે. ડિજિટલ સિગ્નલો માટે, આ પ્રદેશમાં ડેટાના અનુરૂપ વિસ્તરણની જરૂર છે નકારાત્મક મૂલ્યોદલીલ અને ગણતરી દરમિયાન કાર્ય અંતરાલ  સામાન્ય રીતે મોટો હોય છે અંતરાલ કરતાં ઓછુંસિગ્નલનો ઉલ્લેખ કરીને, પછી દલીલ અક્ષ સાથે સિગ્નલની નકલને ડાબી બાજુએ ખસેડવી વધુ વ્યવહારુ છે, એટલે કે. અભિવ્યક્તિ (6.1.1) માં s(t+) ને બદલે s(t-) ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને.

B s () = s(t) s(t-) તા. (6.1.1")

સીમિત સંકેતો માટે, જેમ જેમ શિફ્ટ નું મૂલ્ય વધે છે તેમ, તેની નકલ સાથે સિગ્નલનું કામચલાઉ ઓવરલેપ ઘટે છે, અને તે મુજબ, ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ખૂણાના કોસાઇન અને સમગ્ર સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે:

= 0.

કેન્દ્રીય સિગ્નલ મૂલ્ય s(t) પરથી ગણવામાં આવેલ ACF છે ઓટોકોવરિઅન્સસંકેત કાર્ય:

C s () = તા., (6.1.2)

જ્યાં  s એ સરેરાશ સિગ્નલ મૂલ્ય છે. સહપ્રવર્તન કાર્યો એકદમ સરળ સંબંધ દ્વારા સહસંબંધ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે:

C s () = B s () -  s 2 .

સમય-મર્યાદિત સિગ્નલોનું ACF. વ્યવહારમાં, ચોક્કસ અંતરાલ પર આપવામાં આવેલા સંકેતોનો સામાન્ય રીતે અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. જુદા જુદા સમયના અંતરાલો પર નિર્દિષ્ટ સિગ્નલોના ACF ની સરખામણી કરવા માટે, ACF નો સામાન્યીકરણ સાથે અંતરાલની લંબાઈમાં ફેરફાર વ્યવહારુ ઉપયોગ શોધે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અંતરાલ પર સિગ્નલનો ઉલ્લેખ કરો:

ACF એ સમ કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે, જે ચલ t = t- ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને ચકાસવું સરળ છે (6.1.1):
s(t) s(t+) તા. (6.1.3)

ACF ની ગણતરી અનંત ઉર્જા સાથે નબળા ભીના સિગ્નલો માટે પણ કરી શકાય છે, કારણ કે જ્યારે સિગ્નલ સેટિંગ અંતરાલ અનંત તરફ વળે છે ત્યારે સિગ્નલના સ્કેલર ઉત્પાદન અને તેની નકલનું સરેરાશ મૂલ્ય:

B s () 
. (6.1.4)

આ અભિવ્યક્તિઓ અનુસાર ACF પાસે શક્તિનું ભૌતિક પરિમાણ છે, અને તે કૉપિની શિફ્ટ પર કાર્યાત્મક રીતે આધાર રાખીને, સિગ્નલ અને તેની નકલની સરેરાશ પરસ્પર શક્તિની બરાબર છે.

સામયિક સંકેતોનું ACF. સામયિક સિગ્નલોની ઉર્જા અનંત છે, તેથી સામયિક સિગ્નલોના ACF ની ગણતરી એક પીરિયડ T પર કરવામાં આવે છે, જે સિગ્નલના સ્કેલર ઉત્પાદનની સરેરાશ અને સમયગાળાની અંદર તેની શિફ્ટ કરેલી નકલ:

B s () = (1/T) s(t) s(t-) તા. (6.1.5)

ગાણિતિક રીતે વધુ સખત અભિવ્યક્તિ:

B s () 
.

=0 પર, સમયગાળા માટે સામાન્યકૃત ACF નું મૂલ્ય સમયગાળાની અંદરના સિગ્નલોની સરેરાશ શક્તિ જેટલું છે. આ કિસ્સામાં, સામયિક સંકેતોનું ACF એ સમાન સમયગાળા T સાથે સામયિક કાર્ય છે. તેથી, T=2/ 0 પર સિગ્નલ s(t) = A cos( 0 t+ 0) માટે અમારી પાસે છે:

ACF એ સમ કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે, જે ચલ t = t- ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને ચકાસવું સરળ છે (6.1.1):
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2/2) cos( 0 ).

હાર્મોનિક સિગ્નલ, જે કોઈપણ સામયિક સંકેતો માટે લાક્ષણિક છે અને ACF ના ગુણધર્મોમાંનું એક છે. સ્વયંસંબંધિત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ મનસ્વી સંકેતોમાં સામયિક ગુણધર્મો માટે તપાસ કરી શકો છો. સામયિક સિગ્નલના સ્વતઃસંબંધ કાર્યનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 6.1.2. ઓટોકોવેરિઅન્સ ફંક્શન્સ (ACF)

કેન્દ્રીય સિગ્નલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને સમાન રીતે ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ વિધેયોની નોંધપાત્ર વિશેષતા એ સિગ્નલોના વિક્ષેપ  s 2 સાથેનો તેમનો સરળ સંબંધ છે (ધોરણનો વર્ગ - સરેરાશ મૂલ્યમાંથી સિગ્નલ મૂલ્યોનું પ્રમાણભૂત વિચલન). જેમ જાણીતું છે, વિક્ષેપ મૂલ્ય સરેરાશ સિગ્નલ પાવરની બરાબર છે, જે નીચે મુજબ છે:

|C s ()| ≤  s 2 , C s (0) =  s 2  ||s(t)|| 2.

(6.1.7)

ભિન્નતા મૂલ્યને સામાન્ય બનાવાયેલ FAC મૂલ્યો સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકનું કાર્ય છે:

 s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2  cos ). (6.1.8)સંકેતોમાં. સિગ્નલ s1(k) માં અવાજે પીરિયડ બદલ્યા વિના સામયિક ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો કર્યો. આ વળાંક C s / s 1 ના ગ્રાફ દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, એટલે કે. સિગ્નલ ડિસ્પરઝન s1(k) ના મૂલ્ય સાથે નોર્મલાઇઝેશન (સરખામણી માટે) સાથે સિગ્નલ s(k) નું FAC, જ્યાં કોઈ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકે છે કે અવાજના ધબકારા, તેમના વાંચનની સંપૂર્ણ આંકડાકીય સ્વતંત્રતા સાથે, તેના મૂલ્યમાં વધારો કરે છે. C s1 (0) C s ( 0) ના મૂલ્યની તુલનામાં અને ઓટોકોવેરિઅન્સ ગુણાંકના કાર્યને કંઈક અંશે "અસ્પષ્ટ" કરે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ઘોંઘાટના સંકેતોનું મૂલ્ય  s ()   0 પર 1 છે અને  ≠ 0 પર શૂન્યની આસપાસ વધઘટ થાય છે, જ્યારે વધઘટના કંપનવિસ્તાર આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને સિગ્નલ નમૂનાઓની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે ( નમૂનાઓની સંખ્યામાં વધારો થતાં તેઓ શૂન્ય તરફ વળે છે).

અલગ સિગ્નલોનું ACF. ડેટા સેમ્પલિંગ અંતરાલ t = const સાથે, ACF ગણતરી અંતરાલો  = t પર કરવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે સેમ્પલ શિફ્ટ nની સંખ્યા n ના એક અલગ કાર્ય તરીકે લખવામાં આવે છે:

B s (nt) = t s k s k-n .

(6.1.9)

અલગ સિગ્નલો સામાન્ય રીતે ચોક્કસ લંબાઈના આંકડાકીય એરેના સ્વરૂપમાં k = 0.1,...K પર t=1 સાથે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે અને ઊર્જા એકમોમાં અલગ ACF ની ગણતરી એકતરફી સંસ્કરણમાં કરવામાં આવે છે. , એરેની લંબાઈને ધ્યાનમાં લેતા. જો સમગ્ર સિગ્નલ એરેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે અને ACF નમૂનાઓની સંખ્યા એરે નમૂનાઓની સંખ્યા જેટલી હોય, તો ગણતરી સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે:
B s (n) =

s k s k-n .

(6.1.10)

અલગ સિગ્નલો સામાન્ય રીતે ચોક્કસ લંબાઈના આંકડાકીય એરેના સ્વરૂપમાં k = 0.1,...K પર t=1 સાથે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે અને ઊર્જા એકમોમાં અલગ ACF ની ગણતરી એકતરફી સંસ્કરણમાં કરવામાં આવે છે. , એરેની લંબાઈને ધ્યાનમાં લેતા. જો સમગ્ર સિગ્નલ એરેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે અને ACF નમૂનાઓની સંખ્યા એરે નમૂનાઓની સંખ્યા જેટલી હોય, તો ગણતરી સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે: આ ફંક્શનમાં ગુણાકાર K/(K-n) એ શિફ્ટ n વધે તેમ ગુણાકાર અને સરવાળો મૂલ્યોની સંખ્યામાં ધીમે ધીમે ઘટાડો કરવા માટેનું સુધારણા પરિબળ છે. અકેન્દ્રિત સિગ્નલો માટે આ સુધારા વિના, સરેરાશ મૂલ્યોના સરવાળોનું વલણ ACF મૂલ્યોમાં દેખાય છે. સિગ્નલ પાવરના એકમોમાં માપતી વખતે, ગુણક K/(K-n) ને ગુણક 1/(K-n) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.< 0, (6.1.11)

ફોર્મ્યુલા (6.1.10) નો ઉપયોગ ખૂબ જ ભાગ્યે જ થાય છે, મુખ્યત્વે ઓછા નમૂનાઓ સાથે નિર્ણાયક સંકેતો માટે. અવ્યવસ્થિત અને ઘોંઘાટીયા સંકેતો માટે, છેદ (K-n) માં ઘટાડો અને શિફ્ટમાં વધારો થતાં ગુણાકારના નમૂનાઓની સંખ્યા ACF ગણતરીમાં આંકડાકીય વધઘટમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે. આ શરતો હેઠળ વધુ વિશ્વસનીયતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલ પાવરના એકમોમાં ACF ની ગણતરી કરીને પૂરી પાડવામાં આવે છે: s k s k-n , s k-n = 0 અને k-nતે સ્થિર પરિબળ 1/K ના સામાન્યીકરણ સાથે અને શૂન્ય મૂલ્યો દ્વારા સિગ્નલ એક્સ્ટેંશન સાથે (માં ડાબી બાજુ k+n શિફ્ટનો ઉપયોગ કરતી વખતે). આ અંદાજ પક્ષપાતી છે અને ફોર્મ્યુલા (6.1.10) મુજબ કરતાં થોડો ઓછો વિક્ષેપ ધરાવે છે. સૂત્રો (6.1.10) અને (6.1.11) અનુસાર સામાન્યીકરણ વચ્ચેનો તફાવત ફિગમાં સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે. 6.1.4.

ફોર્મ્યુલા (6.1.11) ને ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય, એટલે કે. ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજ તરીકે:

B s (n) = M(s k s k - n ) 
. (6.1.12)

વ્યવહારમાં, અલગ ACF સતત ACF જેવા જ ગુણધર્મો ધરાવે છે. તે સમ પણ છે, અને તેનું મૂલ્ય n = 0 નોર્મલાઇઝેશન પર આધાર રાખીને, સ્વતંત્ર સિગ્નલની ઊર્જા અથવા શક્તિ જેટલું છે.

ઘોંઘાટીયા સિગ્નલોનું ACF . ઘોંઘાટીયા સંકેતને સરવાળો v(k) = s(k)+q(k) તરીકે લખવામાં આવે છે. IN સામાન્ય કેસ, અવાજનો સરેરાશ શૂન્ય હોવો જરૂરી નથી, અને પાવર-સામાન્ય સ્વતઃસંબંધ કાર્ય ડિજિટલ સિગ્નલ, N – નમૂનાઓ ધરાવતું, નીચેના સ્વરૂપમાં લખાયેલું છે:

B v (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =

= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =

B s (n) + M(s k q k-n ) + M(q k s k-n ) + M(q k q k-n )

B v (n) = B s (n) +
+
+
. (6.1.13)

ગાણિતિક અપેક્ષાના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લેતા ઉપયોગી સિગ્નલ s(k) અને અવાજ q(k)ની આંકડાકીય સ્વતંત્રતા સાથે

M(s k q k-n) = M(s k) M(q k-n) =

નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

B v (n) = B s (n) + 2 + . (6.1.13")

સૂત્રો (6.1.13) પરથી તે અનુસરે છે કે ઘોંઘાટીયા સિગ્નલના ACFમાં 2 ની કિંમતના સુપરઇમ્પોઝ્ડ ડેમ્પિંગ ઘટક સાથે ઉપયોગી સિગ્નલના સિગ્નલ ઘટકના ACFનો સમાવેશ થાય છે. +અવાજ કાર્ય. મુ મોટા મૂલ્યો K જ્યારે → 0, B v (n)  B s (n) ધરાવે છે. આનાથી માત્ર ACF ના સામયિક સિગ્નલોને ઓળખવાનું શક્ય બને છે, જે લગભગ સંપૂર્ણપણે અવાજમાં છુપાયેલા હોય છે (અવાજની શક્તિ સિગ્નલ પાવર કરતાં ઘણી વધારે હોય છે), પરંતુ તે સમયગાળામાં તેમનો સમયગાળો અને આકાર પણ ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે નક્કી કરે છે, અને સિંગલ-ફ્રીક્વન્સી હાર્મોનિક સિગ્નલો માટે, અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને તેમનું કંપનવિસ્તાર (6.1.6).

કોષ્ટક 6.1.

સહસંબંધ વિશ્લેષણની સમસ્યા રડારથી ઊભી થઈ, જ્યારે સમયસર બદલાયેલા સમાન સિગ્નલોની સરખામણી કરવી જરૂરી હતી.

સિગ્નલ અને તેની ટાઈમ-શિફ્ટ્ડ કોપી વચ્ચેના તફાવતની માત્રા નક્કી કરવા
સમાન સિગ્નલનું ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (ACF) રજૂ કરવાનો રિવાજ છે સ્કેલર ઉત્પાદનસિગ્નલ અને તેની શિફ્ટ કરેલી નકલ.

(4.1)

ACF ગુણધર્મો

1) ક્યારે
સ્વતઃસંબંધ કાર્ય સિગ્નલ ઊર્જા સમાન બને છે:

(4.2)

2) ACF - સમ કાર્ય

(4.3)

3) ઑટોકોરિલેશન ફંક્શનની મહત્વની મિલકત નીચે મુજબ છે: સમયની કોઈ પણ કિંમત માટે ACF મોડ્યુલ સિગ્નલ ઉર્જા કરતાં વધી જતું નથી:

4) સામાન્ય રીતે, ACF ને કેન્દ્રીય મહત્તમ સાથે સપ્રમાણ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જે હંમેશા હકારાત્મક હોય છે. વધુમાં, સિગ્નલના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનમાં એકવિધ રીતે ઘટતું અથવા ઓસીલેટીંગ પાત્ર હોઈ શકે છે.

ACF અને સિગ્નલના ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચે ગાઢ સંબંધ છે.

ફોર્મ્યુલા (4.1) અનુસાર, ACF એ સ્કેલર પ્રોડક્ટ છે
. અહીં પ્રતીક સિગ્નલની ટાઈમ-શિફ્ટ કોપી સૂચવે છે
.

પ્લાન્ચરેલના પ્રમેય તરફ વળતાં, આપણે સમાનતા લખી શકીએ છીએ:

(4.4) આમ, અમે પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ

(4.5)

મોડ્યુલ ચોરસ વર્ણપટની ઘનતાસિગ્નલના ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેથી ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ અને સ્વતઃસંબંધ કાર્ય ફ્યુરીયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી દ્વારા સંબંધિત છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે વિપરીત સંબંધ પણ છે

(4.6)

આ પરિણામો મૂળભૂત રીતે બે કારણોસર મહત્વપૂર્ણ છે: પ્રથમ, સ્પેક્ટ્રમ પર તેમની ઊર્જાના વિતરણના આધારે સિગ્નલોના સહસંબંધ ગુણધર્મોનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. બીજું, સૂત્રો (4.5), (4.6) પ્રાયોગિક રીતે ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ નક્કી કરવાની રીત દર્શાવે છે. પહેલા એસીએફ મેળવવું વધુ અનુકૂળ છે, અને પછી, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, સિગ્નલનું ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ શોધો. વાસ્તવિક સમયમાં હાઇ-સ્પીડ કમ્પ્યુટર્સનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ તકનીક વ્યાપક બની છે.

એક અનુકૂળ સંખ્યાત્મક પરિમાણ ઘણીવાર રજૂ કરવામાં આવે છે - સહસંબંધ અંતરાલ, જે એસીએફના મુખ્ય લોબની પહોળાઈનો અંદાજ છે.

9.. ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય અને તેના ગુણધર્મો. ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન અને મ્યુચ્યુઅલ એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચેનો સંબંધ.

બે સંકેતોનું ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય

બે વાસ્તવિક સિગ્નલોનું ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન (ICF) એ ફોર્મનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે:

(4.8)

જ્યારે સંકેતો સમયસર બદલાય છે ત્યારે TCF ઓર્થોગોનલ સ્થિતિની "સ્થિરતા" ના માપદંડ તરીકે કામ કરે છે.

જેમ જેમ આ સિગ્નલો વિવિધ ઉપકરણોમાંથી પસાર થાય છે, તે શક્ય છે કે સિગ્નલને અમુક સમય માટે સિગ્નલની તુલનામાં ખસેડવામાં આવશે. .

VKF ના ગુણધર્મો.

1) એક સિગ્નલના ACFથી વિપરીત, ACF, જે બે સ્વતંત્ર સિગ્નલોની સિસ્ટમના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે, તે દલીલનું એક સમાન કાર્ય નથી. :

(4.9)

2) જો વિચારણા હેઠળના સિગ્નલોમાં મર્યાદિત ઊર્જા હોય, તો તેમની CCF મર્યાદિત છે.

3) મુ
VCF મૂલ્યો મહત્તમ સુધી પહોંચવાની જરૂર નથી.

CCF નું ઉદાહરણ લંબચોરસ અને ત્રિકોણાકાર વિડિયો પલ્સનું ક્રોસ-સંબંધ કાર્ય છે.

Plancherel ના પ્રમેય પર આધારિત

અમે મેળવીએ છીએ

(4.11)

આમ, ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન અને મ્યુચ્યુઅલ એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.

સ્વતઃસંબંધ કાર્ય. કોરીલોગ્રામ.

જો સમય શ્રેણીમાં કોઈ વલણ અને ચક્રીય ફેરફારો હોય, તો શ્રેણીના અનુગામી સ્તરના મૂલ્યો અગાઉના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે. સમય શ્રેણીના ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેની અવલંબનને શ્રેણી સ્તરોનો સ્વતઃસંબંધ કહેવાય છે.

મૂળ સમય શ્રેણીના સ્તરો અને આ શ્રેણીના સ્તરો સમયના કેટલાક પગલાઓ દ્વારા બદલાતા વચ્ચેના સહસંબંધ સૂચકાંકનો ઉપયોગ કરીને તે માત્રાત્મક રીતે માપી શકાય છે.

સમય શ્રેણી આપવા દો: y, y, …yઅને તે થવા દો રેખીય સહસંબંધવચ્ચે y tઅને y t -1.

ચાલો શ્રેણી વચ્ચે સહસંબંધ ગુણાંક નક્કી કરીએ y tઅને y t -1.

આ માટે આપણે ઉપયોગ કરીશું નીચેનું સૂત્ર:

ફ્લેટ x j = y t -1 , y j = y t -1 ,અમે મેળવીએ છીએ

(5.1)

બીજા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આમ, 2જી ક્રમના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક સ્તરો વચ્ચેના જોડાણની નિકટતાને દર્શાવે છે. ખાતેઅને ખાતેઅને સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

(5.2)

સ્વતઃસંબંધ શ્રેણીના સ્તરના ક્રમને લેગ કહેવામાં આવે છે.

ફોર્મ્યુલા (5.1) લેગ માટે એક સમાન, માટે (5.3) – બે.

પ્રથમ, બીજા, વગેરે સ્તરોના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકનો ક્રમ. ઓર્ડરને સમય શ્રેણી (ACF)નું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

લેગ વેલ્યુ પર તેના મૂલ્યોની અવલંબનનો ગ્રાફ કોરીલોગ્રામ કહેવાય છે.

ACF અને કોરીલોગ્રામ તે લેગને નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે જેના પર સ્વતઃસંબંધ સૌથી વધુ છે, અને પરિણામે, તે લેગ કે જેના પર શ્રેણીના વર્તમાન અને અગાઉના સ્તરો વચ્ચેનું જોડાણ સૌથી નજીક છે, એટલે કે. તેમની સહાયથી તમે શ્રેણીની રચનાને જાહેર કરી શકો છો.

સમય શ્રેણીમાં વલણ ઘટક અને ચક્રીય ઘટકની હાજરી અથવા ગેરહાજરી ઓળખવા માટે સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક અને ACF નો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

જો 1 લી ઓર્ડર સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક સૌથી વધુ હોવાનું બહાર આવે છે, તો અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણીમાં માત્ર એક વલણ છે;

જો k-th ઑર્ડર ઑટોકોરિલેશન ગુણાંક સૌથી વધુ હોય, તો શ્રેણીમાં k-ટાઇમ ઇન્સ્ટન્ટની સામયિકતા સાથે ચક્રીય વધઘટ હોય છે;

જો કોઈ પણ ગુણાંક નોંધપાત્ર નથી, તો આ શ્રેણીની રચના અંગે બેમાંથી એક ધારણા કરી શકાય છે: કાં તો શ્રેણીમાં વલણો અને ચક્રીય ફેરફારો નથી અને તે ફિગ. 5.1c માં બતાવેલ શ્રેણીના બંધારણ જેવું જ માળખું ધરાવે છે. , અથવા શ્રેણીમાં મજબૂત બિનરેખીય વલણ છે જેને ઓળખવા માટે વધારાના વિશ્લેષણની જરૂર છે.

49. સામાન્યકૃત રીગ્રેશન મોડલ. સામાન્યકૃત પદ્ધતિ ઓછામાં ઓછા ચોરસ. એટકેનનું પ્રમેય

મોડેલ બનાવતી વખતે, ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખીય

Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59.1)

રેન્ડમ ચલ અવલોકનક્ષમ જથ્થાને રજૂ કરે છે. વિવિધ મોડેલ વિશિષ્ટતાઓ માટે, સૈદ્ધાંતિક અને વાસ્તવિક મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતો બદલાઈ શકે છે. કાર્ય કરવા માટે રીગ્રેસન વિશ્લેષણતેમાં માત્ર મોડેલનું જ બાંધકામ જ નહીં, પણ સંશોધન પણ સામેલ છે રેન્ડમ વિચલનો હું એટલે કે શેષ મૂલ્યો. રીગ્રેશન સમીકરણ બનાવ્યા પછી, અમે તપાસીએ છીએ કે અંદાજ  i પાસે ચોક્કસ ગુણધર્મો છે કે કેમ. OLS દ્વારા મેળવેલ અંદાજોના આ ગુણધર્મો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. વ્યવહારુ મહત્વરીગ્રેશન અને સહસંબંધ પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને.

સિસ્ટમના આધારે રીગ્રેસન ગુણાંક b મને મળ્યા સામાન્ય સમીકરણોઅને જોડાણની શક્તિની લાક્ષણિકતાઓના પસંદગીના અંદાજોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી વખતે, નિષ્પક્ષ રહેવાની મિલકત હોવી આવશ્યક છે. નિષ્પક્ષ અંદાજનો અર્થ થાય છે ગાણિતિક અપેક્ષાબાકી શૂન્ય છે.

આનો અર્થ એ છે કે મળેલ રીગ્રેશન પેરામીટર b i ને સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે ગણી શકાય શક્ય મૂલ્યોનિષ્પક્ષ શેષ અંદાજો સાથે રીગ્રેસન ગુણાંક.

વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, માત્ર અંદાજોની નિષ્પક્ષતા જ નહીં, પણ અંદાજોની કાર્યક્ષમતા પણ મહત્વપૂર્ણ છે. અંદાજોને અસરકારક ગણવામાં આવે છે જો તેમાં ઓછામાં ઓછો તફાવત હોય.

ક્રમમાં આત્મવિશ્વાસના અંતરાલરીગ્રેસન પરિમાણો વાસ્તવિક છે, તે જરૂરી છે કે અંદાજો સુસંગત હોય. અંદાજોની સુસંગતતા નમૂનાના કદમાં વધારો સાથે તેમની ચોકસાઈમાં વધારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

અવશેષોનો અભ્યાસ  હું નીચેની પાંચ OLS પૂર્વજરૂરીયાતોની હાજરીનું પરીક્ષણ સામેલ કરું છું:

અવશેષોની રેન્ડમ પ્રકૃતિ;

અવશેષોનું શૂન્ય સરેરાશ મૂલ્ય, x i થી સ્વતંત્ર;

homoscedasticity—દરેક વિચલનનું વિક્ષેપ  i x ના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન છે;

અવશેષોના સ્વતઃસંબંધની ગેરહાજરી. અવશેષોના મૂલ્યો  i એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે;

અવશેષો સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે.

જો રેન્ડમ અવશેષોનું વિતરણ  i અમુક OLS ધારણાઓને અનુરૂપ ન હોય, તો મોડલને સમાયોજિત કરવું જોઈએ.

સૌ પ્રથમ, અવશેષોની રેન્ડમ પ્રકૃતિ  i તપાસવામાં આવે છે.

જો ગ્રાફ પર અવશેષોના વિતરણની આડી પટ્ટી મેળવવામાં આવે, તો અવશેષો રેન્ડમ ચલ છે અને y x ના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો y ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની બરાબર અનુમાનિત છે.

નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે: જો  i. પછી y x પર આધાર રાખે છે:

બાકીના  i. રેન્ડમ નથી

બાકીના  i. સતત વિક્ષેપ નથી

બાકીના  i. વ્યવસ્થિત છે

આ કિસ્સાઓમાં, તમારે કાં તો અન્ય ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવો અથવા દાખલ કરવું આવશ્યક છે વધારાની માહિતીઅને જ્યાં સુધી અવશેષો  i રેન્ડમ ચલ ન થાય ત્યાં સુધી રીગ્રેસન સમીકરણ ફરીથી બનાવો.

બીજા આધારનો અર્થ છે શૂન્યની સમાનતા સરેરાશ કદસંતુલન:

. (59.2)

OLS ના ત્રીજા પરિમાણ માટે જરૂરી છે કે અવશેષોનો તફાવત હોમોસેડેસ્ટિક હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પરિબળ x j ના દરેક મૂલ્ય માટે અવશેષો  i માં સમાન તફાવત છે. જો OLS નો ઉપયોગ કરવાની આ શરત પૂરી ન થાય, તો હેટરોસેડેસ્ટીસીટી થાય છે.

50. સુલભ સામાન્યકૃત લઘુત્તમ ચોરસ

ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ.કેટલાક વધુ સામાન્ય પ્રકારના રીગ્રેશન મોડલ્સની ચર્ચા મૂળભૂત પ્રકારો વિભાગમાં કરવામાં આવી છે બિનરેખીય મોડેલો. એકવાર મોડેલ પસંદ થઈ ગયા પછી, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આ મોડેલોનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરી શકાય? જો તમે પદ્ધતિઓથી પરિચિત છો રેખીય રીગ્રેસન(વિભાગમાં વર્ણવેલ છે બહુવિધ રીગ્રેશન) અથવા વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ (વિભાગમાં વર્ણવેલ છે વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ), તો પછી તમે જાણો છો કે આ બધી પદ્ધતિઓ ઓછામાં ઓછા ચોરસ અંદાજનો ઉપયોગ કરે છે. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય વિચાર મોડેલ દ્વારા અનુમાનિત મૂલ્યોમાંથી આશ્રિત ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોના સરવાળાને ઘટાડવાનો છે. (લેજેન્ડ્રે, 1805ની કૃતિમાં ઓછામાં ઓછા ચોરસ શબ્દનો સૌપ્રથમ ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.)
વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિ.ત્રીજી સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ, ઓછામાં ઓછા ચોરસની પદ્ધતિ અને અંદાજ માટે વિચલન મોડ્યુલોના સરવાળાના ઉપયોગ ઉપરાંત (ઉપર જુઓ), સૌથી ઓછા વજનવાળા ચોરસની પદ્ધતિ છે. નિયમિત પદ્ધતિઓછામાં ઓછા ચોરસ ધારે છે કે અવશેષોનો ફેલાવો સ્વતંત્ર ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવું માનવામાં આવે છે કે તમામ માપ માટે ભૂલ તફાવત સમાન છે. ઘણીવાર, આ ધારણા વાસ્તવિક નથી. ખાસ કરીને, તેમાંથી વિચલનો વ્યાપાર, અર્થશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનના કાર્યક્રમોમાં જોવા મળે છે (નોંધો કે વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પેરામીટર અંદાજો મલ્ટીપલ રીગ્રેશન મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરીને પણ મેળવી શકાય છે).

ઉદાહરણ તરીકે, તમે બિલ્ડિંગ બાંધવાના અંદાજિત ખર્ચ અને વાસ્તવમાં ખર્ચવામાં આવેલી રકમ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવા માંગો છો. આ અપેક્ષિત ઓવરરન્સનો અંદાજ મેળવવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, તે ધારવું વાજબી છે સંપૂર્ણ મૂલ્યખર્ચ ઓવરરન્સ (ડોલરમાં વ્યક્ત) પ્રોજેક્ટના ખર્ચના પ્રમાણસર છે. તેથી, રેખીય પસંદ કરવા માટે રીગ્રેશન મોડલવેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. નુકશાન કાર્ય, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું કંઈક હોઈ શકે છે (જુઓ નેટર, વાસરમેન અને કુટનર, 1985, પૃષ્ઠ 168):

નુકસાન = (અવલોકન-અનુમાનિત) 2 * (1/x 2)

આ સમીકરણમાં, નુકશાન કાર્યના પ્રથમ ભાગનો અર્થ થાય છે પ્રમાણભૂત કાર્યન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિ માટે નુકસાન (અવલોકન કરેલ બાદબાકી અનુમાનિત વર્ગ; એટલે કે, અવશેષોનો વર્ગ), અને બીજો દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં આ નુકસાનના "વજન" જેટલો છે - એક સ્વતંત્ર ચલના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત (x ) દરેક અવલોકન માટે. વાસ્તવિક અંદાજની પરિસ્થિતિમાં, પ્રોગ્રામ ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ તમામ અવલોકનો (ઉદાહરણ તરીકે, ડિઝાઇન પ્રોજેક્ટ્સ) માટે નુકશાન કાર્યના મૂલ્યોનો સરવાળો કરશે અને સરવાળાને ઓછો કરતા પરિમાણો પસંદ કરશે. ધ્યાનમાં ઉદાહરણ પર પાછા ફરો, કરતાં વધુ પ્રોજેક્ટ(x), તેના મૂલ્યની આગાહી કરવામાં સમાન ભૂલ જેટલી ઓછી છે તે આપણા માટે અર્થ છે. આ પદ્ધતિ રીગ્રેસન પરિમાણો માટે વધુ મજબૂત અંદાજો ઉત્પન્ન કરે છે (વધુ વિગત માટે, નેટર, વાસરમેન અને કુટનર જુઓ. 1985).

51. ચાઉ ટેસ્ટ

ની હાજરીને જોતાં સમય શ્રેણીના વલણ મોડેલનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ઔપચારિક આંકડાકીય પરીક્ષણ માળખાકીય ફેરફારોગ્રેગરી ચાઉ* દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું હતું. આ કસોટીની અરજીમાં વલણના સમીકરણોના પરિમાણોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો કોષ્ટકમાં આપેલ નોટેશન સિસ્ટમનો પરિચય કરીએ.

કોષ્ટક 3 - દંતકથાચાઉ ટેસ્ટ અલ્ગોરિધમ માટે

ધારો કે પૂર્વધારણા H0 અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી સમય શ્રેણીના વલણની માળખાકીય સ્થિરતા પર ભાર મૂકે છે. ભાગ પ્રમાણે રેખીય મોડેલ (C cl ost) અનુસાર ચોરસનો શેષ સરવાળો C 1 ost અને C 2 ost ના સરવાળા તરીકે શોધી શકાય છે

C cl ost = C 1 ost + C 2 ost (62.1)

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની અનુરૂપ સંખ્યા હશે:

(n 1 - k 1) + (n 2 – k 2) = n – k 1 - k 2 (62.2)

પછી ઘટાડો શેષ તફાવતજ્યારે સિંગલ ટ્રેન્ડ સમીકરણને પીસવાઇઝ રેખીય મોડેલમાં સંક્રમિત કરો, ત્યારે નીચે પ્રમાણે નક્કી કરો:

DC ost = C 3 ost - C ost (62.3)

સંબંધ (23) ને ધ્યાનમાં લેતા ડીસીને અનુરૂપ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા હશે:

n – k 3 - (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62.4)

પછી, જી. ચાઉની પદ્ધતિ અનુસાર, જી. ચાઉ જોવા મળે છે વાસ્તવિક મૂલ્યવિવિધતાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દીઠ નીચેના ભિન્નતાઓ માટે એફ-ટેસ્ટ:

(62.5)

મળેલ F હકીકત મૂલ્યની સરખામણી કોષ્ટક એક સાથે કરવામાં આવે છે (મહત્વના સ્તર માટે ફિશર વિતરણ કોષ્ટક α ‚ અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (k 1 + k 2 – k 3) અને (n - k 1 - k 2)

જો F હકીકત > F કોષ્ટક હોય, તો વલણની માળખાકીય સ્થિરતા વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા સૂચકની ગતિશીલતા પર માળખાકીય ફેરફારોના પ્રભાવને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સમય શ્રેણીના વલણનું મોડેલિંગ પીસવાઇઝ રેખીય મોડેલનો ઉપયોગ કરીને થવું જોઈએ. જો

F હકીકત< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

ચાઉ ટેસ્ટની વિશેષતાઓ.

1. જો કોષ્ટક 3 (1), (2), (3) માંથી તમામ સમીકરણોમાં પરિમાણોની સંખ્યા સમાન અને k સમાન હોય, તો સૂત્ર (56) સરળ છે:

(62.6)

2. ચાઉ ટેસ્ટ વ્યક્તિને અભ્યાસ કરવામાં આવતી સમય શ્રેણીમાં માળખાકીય સ્થિરતાની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. જો F એ હકીકત છે< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F કોષ્ટક પછી માળખાકીય સ્થિરતાની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણો (1) અને (2) ના પરિમાણોના અંદાજમાં તફાવત આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે.

H. ચાઉ ટેસ્ટની અરજી ધારે છે કે માટે પૂર્વજરૂરીયાતો સામાન્ય વિતરણસમીકરણો (1) અને (2) માં અવશેષો અને તેમના વિતરણની સ્વતંત્રતા.

જો y શ્રેણીમાં વલણની માળખાકીય સ્થિરતા વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે, તો વધુ વિશ્લેષણમાં આના કારણોના પ્રશ્નની તપાસનો સમાવેશ થઈ શકે છે. માળખાકીય તફાવતોઅને વધુ ડી 1 વલણ ફેરફારોની પ્રકૃતિનો અભ્યાસ કરે છે. IN સ્વીકૃત નોટેશન્સઆ કારણો સમીકરણો (1) અને (2) ના પરિમાણોના અંદાજમાં તફાવત નક્કી કરે છે.

આ સમીકરણોના પરિમાણોના આંકડાકીય અંદાજોમાં નીચેના ફેરફારોના સંયોજનો શક્ય છે:

સંખ્યાત્મક રેટિંગમાં ફેરફાર મફત સભ્યવલણ સમીકરણો a 2 a ની સરખામણીમાં 1 પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે તફાવતો b 1અને b 2આંકડાકીય રીતે નજીવા. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ (1) (2) સમાંતર છે. શ્રેણીના સ્તરમાં અચાનક ફેરફાર છે t, સમયની ક્ષણે tઅને સમયગાળા માટે સતત સરેરાશ સંપૂર્ણ વૃદ્ધિ;

પરિમાણનો સંખ્યાત્મક અંદાજ બદલવો b 2ની સરખામણીમાં b 1જો કે 1 અને 2 વચ્ચેનો તફાવત આંકડાકીય રીતે નજીવો છે. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ (1) અને (2) એક બિંદુ પર સંકલન અક્ષને છેદે છે. સમયની ક્ષણથી શરૂ કરીને, સમય શ્રેણીમાં સરેરાશ સંપૂર્ણ વધારામાં ફેરફાર દ્વારા વલણમાં ફેરફાર થાય છે t‚ સમયની ક્ષણે શ્રેણીના સતત પ્રારંભિક સ્તર સાથે t=0

પરિમાણો a 1 અને a 2 ના આંકડાકીય અંદાજમાં ફેરફાર, તેમજ b 1અને b 2. આ ફેરફાર દ્વારા ગ્રાફ પર પ્રતિબિંબિત થાય છે પ્રવેશ સ્તરઅને સંપૂર્ણ વૃદ્ધિના સમયગાળા માટે સરેરાશ

સામયિક અવલંબન છે સામાન્ય પ્રકારસમય શ્રેણી ઘટક. તે સરળતાથી જોઈ શકાય છે કે દરેક અવલોકન તેના પાડોશી સાથે ખૂબ સમાન છે; વધુમાં, એક પુનરાવર્તિત સામયિક ઘટક છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક અવલોકન પણ એક અવલોકન જેવું જ છે જે એક સમયગાળા પહેલા એક જ સમયે થયું હતું. એકંદરે, સામયિક અવલંબનતરીકે ઔપચારિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે સહસંબંધ અવલંબનદરેક વચ્ચે k ઓર્ડર કરો i-th તત્વશ્રેણી અને (i-k)મું તત્વ. તે સ્વતઃસંબંધનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે (એટલે ​​​​કે, શ્રેણીની શરતો વચ્ચેનો સહસંબંધ); k ને સામાન્ય રીતે લેગ કહેવામાં આવે છે (ક્યારેક સમાન શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે: શિફ્ટ, વિલંબ). જો માપનની ભૂલ ખૂબ મોટી ન હોય, તો પછી દરેક k સમયના એકમોમાં શ્રેણીના સભ્યોની વર્તણૂકની તપાસ કરીને સામયિકતા દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરી શકાય છે.

સમય શ્રેણીના સામયિક ઘટકો કોરીલોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. કોરીલોગ્રામ (ઓટોકોરીલોગ્રામ) સંખ્યાત્મક અને ગ્રાફિકલી ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (ACF) દર્શાવે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોક્કસ શ્રેણીમાંથી લેગ્સના ક્રમ માટે સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક. કોરીલોગ્રામ સામાન્ય રીતે દરેક લેગ પર બે પ્રમાણભૂત ભૂલોની શ્રેણી દર્શાવે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે સ્વતઃસંબંધની તીવ્રતા તેની વિશ્વસનીયતા કરતાં વધુ રસપ્રદ હોય છે કારણ કે તે મોટે ભાગે ખૂબ જ મજબૂત સ્વતઃસંબંધો છે જે રસ ધરાવે છે.

સહસંબંધોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે ક્રમિક લેગ્સના સ્વયંસંબંધો ઔપચારિક રીતે એકબીજા પર આધારિત છે. ચાલો વિચાર કરીએ આગામી ઉદાહરણ. જો શ્રેણીનો પ્રથમ સભ્ય બીજા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, અને બીજાથી ત્રીજા, તો પ્રથમ તત્વ પણ કોઈક રીતે ત્રીજા પર આધાર રાખે છે, વગેરે. આ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે સામયિક અવલંબન પ્રથમ-ક્રમના સ્વતઃસંબંધોને દૂર કર્યા પછી (એટલે ​​​​કે, લેગ 1 સાથે તફાવત લીધા પછી) નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ શકે છે.

કાર્યનો હેતુ:

1. મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક માહિતી આપો

2. ACF ની ગણતરીના ઉદાહરણો આપો

પ્રકરણ 1. સૈદ્ધાંતિક માહિતી

સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક અને તેનું મૂલ્યાંકન

માટે સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ રેન્ડમ પ્રક્રિયાતેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા પર્યાપ્ત નથી. 1927 માં પાછા, E.E. Slutskyએ આશ્રિત અવલોકનો માટે "સંબંધિત શ્રેણી" નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો: ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના ચોક્કસ મૂલ્યોરેન્ડમ ચલ પહેલાથી કયા મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરી ચૂક્યા છે અથવા પછીથી પ્રાપ્ત કરશે તેના પર આધાર રાખે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમય શ્રેણીના x(t), x(t+k) મૂલ્યોની જોડીનું સ્કેટરિંગ ક્ષેત્ર છે, જ્યાં k એ સતત અંતરાલ અથવા વિલંબ છે, જેમાંથી પ્રક્રિયાના અનુગામી અમલીકરણના પરસ્પર નિર્ભરતાને લાક્ષણિકતા આપે છે. અગાઉના. આ સંબંધની નિકટતાનું મૂલ્યાંકન ઓટોકોવેરિઅન્સ ગુણાંક દ્વારા કરવામાં આવે છે -

g (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] –

અને સ્વયંસંબંધ

r (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] / D ,

જ્યાં m અને D એ રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા છે. વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓના સ્વતઃસંબંધ અને સ્વતઃસંબંધની ગણતરી કરવા માટે, વિશેની માહિતી સંયુક્ત વિતરણશ્રેણી p(x(t 1),x(t 2)) ના સ્તરોની સંભાવનાઓ. જો કે, સ્થિર પ્રક્રિયાઓ માટે કે જે ચોક્કસ આંકડાકીય સમતુલામાં હોય છે, આ સંભાવનાનું વિતરણ તમામ સમય t 1, t 2 માટે સમાન હોય છે, જે સમાન અંતરાલ દ્વારા અલગ પડે છે. ભિન્નતા થી સ્થિર પ્રક્રિયાકોઈપણ સમયે (t અને t + k બંને) D = g(0) ની બરાબર છે, તો વિલંબ k સાથેનો સ્વતઃસંબંધ આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે

r(k) = g(k)/g(0),

જેમાંથી તે અનુસરે છે કે r (0) = 1. સમાન સ્થિરતા શરતો હેઠળ, સમય શ્રેણીના બે મૂલ્યો વચ્ચેનો સહસંબંધ ગુણાંક r (k) માત્ર સમય અંતરાલ k ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે અને તેના પર આધાર રાખતો નથી અવલોકન ક્ષણો પોતાને.

આંકડાઓમાં ઘણા નમૂના અંદાજો છે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો n અવલોકનોની મર્યાદિત સમય શ્રેણી પર પ્રક્રિયાનો સ્વતઃસંબંધ r(k). સૌથી વધુ લોકપ્રિય અંદાજ એ લેગ k (એન્ડરસન, 1976; વૈનુ, 1977) સાથે બિન-ચક્રીય સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક છે:

વિવિધ સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રથમ છે - r 1, જે સ્તરો x(1), x(2),..., x(n -1) અને x(2) વચ્ચેના જોડાણની નિકટતાને માપે છે. , x(3), .., x(n).

સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકનું વિતરણ અજ્ઞાત છે, તેથી તેનો ઉપયોગ કેટલીકવાર તેમની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે. નોનપેરામેટ્રિક સિદ્ધાંતએન્ડરસન (1976), જેમણે આંકડાઓની દરખાસ્ત કરી હતી

t = r 1 (n -1) 0.5 ,

જે પર્યાપ્ત સાથે મોટા નમૂનાસામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા ધરાવે છે, એક સમાન(ટિંટનર, 1965).

સ્વતઃસંબંધ કાર્યો

સહસંબંધ ગુણાંકનો ક્રમ r k, જ્યાં k = 1, 2, ..., n, અવલોકનો વચ્ચેના અંતરાલ k ના કાર્ય તરીકે તેને સ્વતઃસંબંધ કાર્ય (ACF) કહેવામાં આવે છે.

સેમ્પલ ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનનો પ્રકાર શ્રેણીની રચના સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

· "સફેદ અવાજ" માટે સ્વતઃસંબંધ ફંક્શન r k, k >0 માટે, 0 ની સરેરાશ કિંમત સાથે સ્થિર સમય શ્રેણી પણ બનાવે છે.

· માટે સ્થિર પંક્તિવધતા k સાથે ACF ઝડપથી ઘટે છે. જો સ્પષ્ટ વલણ હોય, તો સ્વતઃસંબંધ કાર્ય બની જાય છે લાક્ષણિક દેખાવખૂબ જ ધીમે ધીમે પડતો વળાંક.

· ઉચ્ચારિત મોસમના કિસ્સામાં, ACF ગ્રાફમાં ઋતુકાળના ગુણાંકમાં રહેલા લેગ્સ માટે આઉટલાયર્સ પણ હોય છે, પરંતુ આ આઉટલાયર્સને વલણની હાજરી અથવા રેન્ડમ ઘટકના મોટા વિક્ષેપ દ્વારા ઢાંકી શકાય છે.

ચાલો ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનના ઉદાહરણો જોઈએ:

ફિગમાં. આકૃતિ 1 એસીએફનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે મધ્યમ વલણ અને અસ્પષ્ટ મોસમ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે;

· ચોખા. 2 અસાધારણ મોસમી નિર્ણાયક દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ શ્રેણીનું ACF બતાવે છે;

· શ્રેણીના ACF (ફિગ. 3) નો વ્યવહારીક રીતે અનડેમ્પ્ડ ગ્રાફ સ્પષ્ટ વલણની હાજરી સૂચવે છે.

સામાન્ય રીતે, અમે ધારી શકીએ છીએ કે વલણમાંથી વિચલનો ધરાવતી શ્રેણીમાં કોઈ સ્વતઃસંબંધ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં. આકૃતિ 4 શ્રેણીને લીસું કરવાથી મેળવેલા અવશેષો માટે ACF પ્લોટ બતાવે છે, જે "સફેદ અવાજ" પ્રક્રિયાની ખૂબ યાદ અપાવે છે. જો કે, ઘણી વખત એવા કિસ્સાઓ હોય છે જ્યારે અવશેષો (રેન્ડમ ઘટક h) સ્વયંસંબંધિત થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના કારણોસર:

નિર્ધારિત અથવા સ્ટોકેસ્ટિક મોડેલોગતિશીલતાને આવશ્યક પરિબળ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી

· મોડેલ કેટલાક બિનમહત્વપૂર્ણ પરિબળોને ધ્યાનમાં લેતું નથી, પરસ્પર પ્રભાવજે તેમના પરિવર્તનના તબક્કાઓ અને દિશાઓના સંયોગને કારણે નોંધપાત્ર હોવાનું બહાર આવ્યું છે;

· ખોટા પ્રકારનું મોડેલ પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું (પ્રતિસાહજિકતાના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન થયું હતું);

રેન્ડમ ઘટક ચોક્કસ માળખું ધરાવે છે.

ડર્બિન-વોટસન ટેસ્ટ

ડર્બિન-વોટસન ટેસ્ટ (ડરબિન, 1969) એ એક સામાન્ય આંકડા છે જે શ્રેણીના સ્મૂથિંગ પછી અથવા રીગ્રેશન મોડલમાં અવશેષોમાં પ્રથમ-ક્રમના સ્વતઃસંબંધની હાજરી માટે ચકાસવા માટે રચાયેલ છે.

ગુણાંકનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય છે

d = [(e(2)-e(1)) 2 + ... + (e(n)-e(n -1)) 2 ]/,

જ્યાં e(t) બાકી છે.

માપદંડના સંભવિત મૂલ્યો 0 થી 4 ની રેન્જમાં છે, અને તેના ટેબ્યુલર મૂલ્યો ટેબ્યુલેટેડ છે થ્રેશોલ્ડ મૂલ્યોમાટે વિવિધ સ્તરોમહત્વ (લીઝર, 1971).

d નું મૂલ્ય મૂલ્ય 2*(1 - r 1) ની નજીક છે, જ્યાં r - નમૂના પરિબળઅવશેષો માટે સ્વતઃસંબંધ. તદનુસાર, આંકડાનું આદર્શ મૂલ્ય 2 છે (ત્યાં કોઈ સ્વતઃસંબંધ નથી). નાના મૂલ્યોઅવશેષોના હકારાત્મક સ્વતઃસંબંધને અનુરૂપ, મોટા - નકારાત્મક સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણીને લીસું કર્યા પછી, અવશેષોની શ્રેણીમાં d = 1.912 નો માપદંડ હોય છે. શ્રેણીને સરળ બનાવ્યા પછી સમાન આંકડા - d = 1.638 - અવશેષોના કેટલાક સ્વતઃસંબંધ સૂચવે છે.

પ્રકરણ 2. એક્સેલ મેક્રો "ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન" નો ઉપયોગ કરીને વ્યવહારુ ગણતરીઓના ઉદાહરણો

તમામ ડેટા http://e3.prime-tass.ru/macro/ સાઇટ પરથી લેવામાં આવ્યો છે

ઉદાહરણ 1. રશિયન જીડીપી

અહીં રશિયન ફેડરેશનના જીડીપી પરનો ડેટા છે