સમદ્વિબાજુ તીવ્ર ત્રિકોણ. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

બધા ત્રિકોણમાં, બે વિશિષ્ટ પ્રકારો છે: કાટકોણ ત્રિકોણ અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. આ પ્રકારના ત્રિકોણ શા માટે એટલા વિશિષ્ટ છે? સારું, પ્રથમ, આવા ત્રિકોણ ઘણી વાર મુખ્ય પાત્રો તરીકે બહાર આવે છે એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા સમસ્યાઓપ્રથમ ભાગ. અને બીજું, જમણા અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ વિશેની સમસ્યાઓ અન્ય ભૂમિતિ સમસ્યાઓ કરતાં ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ છે. તમારે ફક્ત થોડા નિયમો અને ગુણધર્મો જાણવાની જરૂર છે. સમકક્ષ ત્રિકોણ વિશેની તમામ સૌથી રસપ્રદ બાબતોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે, પરંતુ હવે ચાલો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ જોઈએ. અને સૌ પ્રથમ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ શું છે? અથવા, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે તેમ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની વ્યાખ્યા શું છે?

તે કેવું દેખાય છે તે જુઓ:

કાટકોણ ત્રિકોણની જેમ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોય છે ખાસ નામોપક્ષો માટે. બે સમાન બાજુઓકહેવાય છે બાજુઓ, અને તૃતીય પક્ષ - આધાર.

અને ફરીથી ચિત્ર પર ધ્યાન આપો:

તે, અલબત્ત, આના જેવું હોઈ શકે છે:

તેથી સાવચેત રહો: બાજુની બાજુ - બે સમાન બાજુઓમાંથી એકસમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, અને આધાર તૃતીય પક્ષ છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ શા માટે આટલું સારું છે? આ સમજવા માટે, ચાલો પાયાની ઊંચાઈ દોરીએ. શું તમને યાદ છે કે ઊંચાઈ શું છે?

શું થયું? એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાંથી આપણને બે લંબચોરસ મળે છે.

આ પહેલેથી જ સારું છે, પરંતુ આ કોઈપણ, સૌથી "ત્રાંસી" ત્રિકોણમાં પણ થશે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે ચિત્ર કેવી રીતે અલગ છે? ફરી જુઓ:

ઠીક છે, પ્રથમ, અલબત્ત, આ વિચિત્ર ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે ફક્ત જોવાનું પૂરતું નથી - તેઓએ ચોક્કસપણે સાબિત કરવું જોઈએ. અને પછી અચાનક આ ત્રિકોણ થોડા અલગ છે, પરંતુ અમે તેમને સમાન ગણીશું.

પરંતુ ચિંતા કરશો નહીં: આ કિસ્સામાંસાબિત કરવું લગભગ જોવા જેટલું સરળ છે.

શું આપણે શરૂઆત કરીશું? નજીકથી જુઓ, અમારી પાસે છે:

અને તેનો અર્થ છે! શા માટે? હા, આપણે ખાલી શોધીશું અને, અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી (તે જ સમયે યાદ રાખવું)

શું તમને ખાતરી છે? સારું, હવે અમારી પાસે છે

અને ત્રણ બાજુઓ પર - ત્રિકોણની સમાનતાની સૌથી સરળ (ત્રીજી) નિશાની.

ઠીક છે, આપણો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બે સરખા લંબચોરસમાં વહેંચાયેલો છે.

જુઓ કે તે કેટલું રસપ્રદ છે? તે બહાર આવ્યું છે કે:

ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે આ વિશે કેવી રીતે વાત કરે છે? ચાલો ક્રમમાં જઈએ:

(અહીં યાદ રાખો કે મધ્ય એ શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા છે જે બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે અને દ્વિભાજક એ કોણ છે.)

ઠીક છે, અહીં આપણે ચર્ચા કરી છે કે જો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ આપવામાં આવે તો કઈ સારી વસ્તુઓ જોઈ શકાય છે. અમે અનુમાન કર્યું છે કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં આધાર પરના ખૂણાઓ સમાન હોય છે, અને ઊંચાઈ, દ્વિભાજક અને પાયા તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક એકરૂપ થાય છે.

અને હવે બીજો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને કેવી રીતે ઓળખવું? એટલે કે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે તેમ, શું છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ચિહ્નો?

અને તે તારણ આપે છે કે તમારે ફક્ત તમામ નિવેદનોને બીજી રીતે "વળાંક" કરવાની જરૂર છે. આ, અલબત્ત, હંમેશા થતું નથી, પરંતુ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હજી પણ એક મહાન વસ્તુ છે! "ટર્નઓવર" પછી શું થાય છે?

સારું, જુઓ:
જો ઊંચાઈ અને મધ્ય એકરૂપ થાય, તો પછી:

જો ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક એકરૂપ થાય, તો પછી:


જો દ્વિભાજક અને મધ્યક એકરૂપ થાય છે, તો પછી:

સારું, ભૂલશો નહીં અને ઉપયોગ કરશો નહીં:

• જો સમદ્વિબાજુ આપવામાં આવે છે ત્રિકોણાકાર ત્રિકોણ, ઊંચાઈ દોરવા માટે નિઃસંકોચ, બે કાટખૂણે ત્રિકોણ મેળવો અને સમસ્યા હલ કરો જમણો ત્રિકોણ.
• જો આપવામાં આવે તો બે ખૂણા સમાન છે, પછી એક ત્રિકોણ બરાબરસમદ્વિબાજુ અને તમે ઊંચાઈ દોરી શકો છો અને….(ધ હાઉસ ધેટ જેક બિલ્ટ…).
• જો તે તારણ આપે છે કે ઊંચાઈ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલી છે, તો પછી ત્રિકોણ આગામી તમામ બોનસ સાથે સમદ્વિબાજુ છે.
• જો તે તારણ આપે છે કે ઊંચાઈ માળ વચ્ચેના ખૂણાને વિભાજિત કરે છે - તે સમદ્વિબાજુ પણ છે!
• જો દ્વિભાજક એક બાજુને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે અથવા મધ્ય એક ખૂણાને વિભાજિત કરે છે, તો આ પણ થાય છે માત્રસમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં

ચાલો જોઈએ કે તે કાર્યોમાં કેવું દેખાય છે.

સમસ્યા 1(સૌથી સરળ)

ત્રિકોણમાં, બાજુઓ અને સમાન છે, a. શોધો.

અમે નક્કી કરીએ છીએ:

પ્રથમ ચિત્ર.

અહીં આધાર શું છે? ચોક્કસપણે, .

ચાલો યાદ કરીએ શું જો, પછી અને.

અપડેટ કરેલ રેખાંકન:

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે? ?

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ:

અહીં અમે જાઓ જવાબ: .

અઘરું તો નથી ને? મારે ઉંચાઈ પણ સમાયોજિત કરવાની જરૂર નહોતી.

સમસ્યા 2(પણ બહુ મુશ્કેલ નથી, પરંતુ આપણે વિષયનું પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે)

ત્રિકોણમાં, . શોધો.

અમે નક્કી કરીએ છીએ:

ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે! અમે ઊંચાઈ દોરીએ છીએ (આ તે યુક્તિ છે જેની સાથે હવે બધું નક્કી કરવામાં આવશે).

હવે ચાલો "જીવનમાંથી બહાર નીકળીએ", ચાલો તેને જોઈએ.

તેથી, અમારી પાસે છે:

ચાલો યાદ કરીએ કોષ્ટક મૂલ્યોકોસાઇન્સ (સારી રીતે, અથવા ચીટ શીટ જુઓ...)

જે બાકી છે તે શોધવાનું છે: .

જવાબ: .

નોંધ કરો કે અમે અહીં ખૂબકાટકોણ ત્રિકોણ અને "ટેબ્યુલર" સાઇન્સ અને કોસાઇન્સ વિશે જરૂરી જ્ઞાન. ઘણી વાર આવું થાય છે: વિષયો , “ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ"અને સમસ્યાઓમાં તેઓ જૂથોમાં સાથે જાય છે, પરંતુ અન્ય વિષયો સાથે ખૂબ મૈત્રીપૂર્ણ નથી.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. સરેરાશ સ્તર.

આ બે સમાન બાજુઓકહેવાય છે બાજુઓ, એ ત્રીજી બાજુ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર છે.

ચિત્ર જુઓ: અને - બાજુઓ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર છે.

આવું શા માટે થાય છે તે સમજવા માટે ચાલો એક ચિત્રનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો એક બિંદુથી ઊંચાઈ દોરીએ.

આનો અર્થ એ છે કે તમામ અનુરૂપ તત્વો સમાન છે.

બધા! એક જ વારમાં (ઊંચાઈ) તેઓએ તમામ નિવેદનો એકસાથે સાબિત કર્યા.

અને યાદ રાખો: સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ વિશેની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા સુધીની ઊંચાઈ ઓછી કરવી અને તેને બે સમાન કાટકોણમાં વિભાજીત કરવી ઘણી વખત ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ચિહ્નો

વિરોધાભાસી નિવેદનો પણ સાચા છે:

લગભગ આ તમામ વિધાનો ફરીથી "એક જ તરાપમાં" સાબિત થઈ શકે છે.

1. તેથી, ચાલો સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું અને.

ચાલો ઊંચાઈ તપાસીએ. પછી

2. a) હવે કેટલાક ત્રિકોણમાં દો ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક એકરૂપ.

2. b) અને જો ઊંચાઈ અને મધ્ય એકરૂપ થાય? બધું લગભગ સમાન છે, વધુ જટિલ નથી!

- બે બાજુઓ પર

2. c) પરંતુ જો ત્યાં કોઈ ઊંચાઈ નથી, જે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા સુધી નીચું હોય છે, પછી ત્યાં શરૂઆતમાં કોઈ કાટકોણ નથી. ખરાબ રીતે!

પરંતુ ત્યાં એક રસ્તો છે - તેને સિદ્ધાંતના આગલા સ્તરમાં વાંચો, કારણ કે અહીં સાબિતી વધુ જટિલ છે, પરંતુ હમણાં માટે ફક્ત યાદ રાખો કે જો મધ્યક અને દ્વિભાજક એકરૂપ થાય, તો ત્રિકોણ પણ સમદ્વિબાજુ બનશે, અને ઊંચાઈ હજુ પણ આ દ્વિભાજક અને મધ્ય સાથે સુસંગત રહેશે.

ચાલો સારાંશ આપીએ:

1. જો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોય, તો આધાર પરના ખૂણાઓ સમાન હોય છે, અને ઊંચાઈ, દ્વિભાજક અને પાયા તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક એકરૂપ થાય છે.
2. જો અમુક ત્રિકોણમાં બે સરખા ખૂણા હોય, અથવા ત્રણમાંથી અમુક રેખાઓ (દ્વિભાજક, મધ્ય, ઊંચાઈ) એકરૂપ હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. સંક્ષિપ્ત વર્ણન અને મૂળભૂત સૂત્રો

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેની બે સરખી બાજુઓ હોય છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ચિહ્નો:

1. જો કોઈ ચોક્કસ ત્રિકોણમાં બે ખૂણા સમાન હોય, તો તે સમદ્વિબાજુ છે.
2. જો કેટલાક ત્રિકોણમાં તેઓ એકરૂપ થાય છે:
   અ) ઊંચાઈ અને દ્વિભાજકઅથવા
   b) ઊંચાઈ અને મધ્યઅથવા
   વી) મધ્ય અને દ્વિભાજક,
   એક બાજુ દોરવામાં આવે છે, પછી આવા ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણએક ત્રિકોણ છે જેમાં બે બાજુઓ લંબાઈમાં સમાન હોય છે. સમાન બાજુઓને બાજુની કહેવામાં આવે છે, અને છેલ્લી બાજુઓને આધાર કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, નિયમિત ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ પણ હોય છે, પરંતુ વાતચીત સાચી નથી.

ગુણધર્મો

• સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ સામેના ખૂણાઓ એકબીજાના સમાન હોય છે. આ ખૂણાઓમાંથી દોરેલા દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈઓ પણ સમાન છે.
• દ્વિભાજક, મધ્ય, ઊંચાઈ અને લંબ દ્વિભાજક, આધાર તરફ દોરવામાં આવે છે, એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે. અંકિત અને પરિક્રમિત વર્તુળોના કેન્દ્રો આ રેખા પર આવેલા છે.
• સમાન બાજુઓની વિરુદ્ધ ખૂણા હંમેશા તીવ્ર હોય છે (તેમની સમાનતાથી અનુસરે છે).

દો a- સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ, b- ત્રીજી બાજુની લંબાઈ, α અને β - અનુરૂપ ખૂણા, આર- ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા, આર- અંકિતની ત્રિજ્યા.

બાજુઓ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

ખૂણાઓને નીચેની રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિની ગણતરી નીચેની કોઈપણ રીતે કરી શકાય છે:

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી નીચેનામાંથી એક રીતે કરી શકાય છે:

ચિહ્નો

• ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન છે.
• ઊંચાઈ મધ્યક સાથે એકરુપ છે.
• ઊંચાઈ દ્વિભાજક સાથે એકરુપ છે.
• દ્વિભાજક મધ્યક સાથે એકરુપ છે.
• બંનેની ઊંચાઈ સમાન છે.
• બે મધ્યક સમાન છે.
• બે દ્વિભાજકો સમાન છે (સ્ટીનર-લેમસ પ્રમેય).

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ" શું છે તે જુઓ: ISOSceles TRIANGLE, સમાન લંબાઈની બે બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ; આ બાજુઓના ખૂણાઓ પણ સમાન છે...

વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ અને (સરળ) ત્રિકોણ, ત્રિકોણ, માણસ. 1.ભૌમિતિક આકૃતિ , ત્રણ પરસ્પર છેદતી રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે જે ત્રણ બનાવે છેઆંતરિક ખૂણા (સાદડી.).. અસ્પષ્ટ ત્રિકોણતીવ્ર ત્રિકોણ . જમણો ત્રિકોણ......શબ્દકોશ

ઉષાકોવા ISOSceles, aya, oe: બે સમાન બાજુઓ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. | સંજ્ઞા સમદ્વિબાજુ, અને, સ્ત્રી ઓઝેગોવનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ. એસ.આઈ. ઓઝેગોવ, એન.યુ. શ્વેડોવા. 1949 1992 …

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશત્રિકોણ - ▲ ત્રણ ખૂણાઓ સાથેનો બહુકોણ, ત્રિકોણ, સૌથી સરળ બહુકોણ; 3 પોઈન્ટ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એક જ લીટી પર આવેલા નથી. ત્રિકોણાકાર તીવ્ર કોણ. તીવ્ર કોણીય જમણો ત્રિકોણ: પગ. કર્ણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. ▼……આઇડિયોગ્રાફિક શબ્દકોશ

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશરશિયન ભાષા - TRIANGLE1, a, m of what અથવા def સાથે. ભૌમિતિક આકૃતિના આકારની એક વસ્તુ ત્રણ આંતરછેદ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે જે ત્રણ આંતરિક ખૂણા બનાવે છે. તેણીએ તેના પતિના પત્રો, આગળના પીળા ત્રિકોણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી. ત્રિકોણ2, a, m... ...

રશિયન સંજ્ઞાઓનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

ત્રિકોણ (બહુકોણ)- ત્રિકોણ: 1 તીવ્ર, લંબચોરસ અને સ્થૂળ; 2 નિયમિત (સમભુજ) અને સમદ્વિબાજુ; 3 દ્વિભાજક; 4 મધ્યક અને ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર; 5 ઊંચાઈ; 6 ઓર્થોસેન્ટર; 7 મધ્ય રેખા. TRIANGLE, 3 બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ. ક્યારેક નીચે....... સચિત્ર જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ- એ; m લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. b) ઓટીટી. શું અથવા def સાથે. આ આકારની આકૃતિ અથવા વસ્તુ... ... અનેક અભિવ્યક્તિઓનો શબ્દકોશ

એ; m. 1. એક ભૌમિતિક આકૃતિ જે ત્રણ આંતરછેદ રેખાઓ બનાવે છે. લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ t. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. // શું અથવા def સાથે. આ આકારની આકૃતિ અથવા પદાર્થ. ટી. છત. ટી.…… જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો નીચેના પ્રમેય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર પરના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.

પ્રમેય 2. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર તરફ દોરવામાં આવેલ દ્વિભાજક એ મધ્ય અને ઊંચાઈ છે.

પ્રમેય 3. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક એ દ્વિભાજક અને ઊંચાઈ છે.

પ્રમેય 4. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર તરફ દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈ એ દ્વિભાજક અને મધ્યક છે.

ચાલો તેમાંથી એક સાબિત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે પ્રમેય 2.5.

પુરાવો. આધાર BC સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો અને સાબિત કરો કે ∠ B = ∠ C. ચાલો AD એ દ્વિભાજક છે ત્રિકોણ ABC(ફિગ. 1). ત્રિકોણ ABD અને ACD ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ સંકેત અનુસાર સમાન છે (શરત દ્વારા AB = AC, AD એ એક સામાન્ય બાજુ છે, ∠ 1 = ∠ 2, કારણ કે AD એ દ્વિભાજક છે). આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ∠ B = ∠ C. પ્રમેય સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીને, નીચેનું પ્રમેય સ્થાપિત થાય છે.

પ્રમેય 5. ત્રિકોણની સમાનતા માટેનો ત્રીજો માપદંડ. જો એક ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ અનુક્રમે બીજા ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ જેટલી હોય, તો આવા ત્રિકોણ એકરૂપ છે (ફિગ. 2).

ટિપ્પણી. ઉદાહરણો 1 અને 2 માં સ્થાપિત વાક્યો સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજકના ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે. આ દરખાસ્તોમાંથી તે અનુસરે છે ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

ઉદાહરણ 1.સાબિત કરો કે એક સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલા પ્લેનમાં એક બિંદુ આ સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

ઉકેલ. બિંદુ M ને સેગમેન્ટ AB (ફિગ. 3) ના છેડાથી સમાન દૂર રહેવા દો, એટલે કે AM = BM.

પછી Δ AMV સમદ્વિબાજુ છે. ચાલો AB ખંડના બિંદુ M અને મધ્યબિંદુ O દ્વારા p સીધી રેખા દોરીએ. બાંધકામ દ્વારા, સેગમેન્ટ MO એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ AMB નો મધ્યક છે, અને તેથી (પ્રમેય 3), અને ઊંચાઈ, એટલે કે, સીધી રેખા MO, સેગમેન્ટ AB નો લંબ દ્વિભાજક છે.

ઉદાહરણ 2.સાબિત કરો કે કાટખૂણે દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેના છેડાથી સમાન છે.

ઉકેલ. ચાલો p એ સેગમેન્ટ AB નો લંબ દ્વિભાજક છે અને બિંદુ O એ સેગમેન્ટ AB નો મધ્યબિંદુ છે (ફિગ 3 જુઓ).

ચાલો વિચાર કરીએ મનસ્વી બિંદુએમ, સીધી નદી પર પડેલો. ચાલો AM અને BM સેગમેન્ટ્સ દોરીએ. ત્રિકોણ AOM અને BOM સમાન છે, કારણ કે શિરોબિંદુ O પરના તેમના ખૂણા જમણા છે, લેગ OM સામાન્ય છે, અને લેગ OA સ્થિતિ દ્વારા લેગ OB સમાન છે. ત્રિકોણ AOM અને BOM ની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે AM = BM.

ઉદાહરણ 3.ત્રિકોણ ABC માં (જુઓ. આકૃતિ 4) AB = 10 સેમી, BC = 9 સેમી, AC = 7 સેમી; ત્રિકોણમાં DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

ABC અને DEF ત્રિકોણની સરખામણી કરો. તે મુજબ શોધો સમાન ખૂણા.

ઉકેલ. આ ત્રિકોણ ત્રીજા માપદંડ મુજબ સમાન છે. અનુરૂપ, સમાન ખૂણા: A અને E (બીસી અને FDની સમાન બાજુઓ પર આવેલા છે), B અને F (સમાન બાજુઓ AC અને DEની વિરુદ્ધમાં આવેલા છે), C અને D (એબી અને EFની વિરુદ્ધ સમાન બાજુઓ આવેલા છે).

ઉદાહરણ 4.આકૃતિ 5 માં, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

કોણ ડી શોધો.

ઉકેલ. ABC અને ADC ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. તેઓ ત્રીજા માપદંડ અનુસાર સમાન છે (AB = DC, BC = AD શરત અને બાજુ AC સામાન્ય છે). આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ∠ B = ∠ D, પરંતુ કોણ B 100° બરાબર છે, જેનો અર્થ થાય છે કે કોણ D બરાબર 100° છે.

ઉદાહરણ 5.બેઝ AC સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં બાહ્ય ખૂણોશિરોબિંદુ C પર 123° છે. કોણ ABC નું માપ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.

વિડિઓ ઉકેલ.

પ્રમેય 19. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા પરના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
પુરાવો. ચાલો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાની ઊંચાઈ ઓછી કરીએ. તેણી તેને બે સમાન (પગ અને કર્ણ સાથે) જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરશે, જેનો અર્થ છે અનુરૂપ ખૂણાસમાન છે, એટલે કે ∠ A=∠ C
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટેના માપદંડ પ્રમેય 1 અને તેના કોરોલરીઝ અને પ્રમેય 2 માંથી આવે છે.
પ્રમેય 20. જો દર્શાવેલ ચાર રેખાઓમાંથી બે (ઊંચાઈ, મધ્ય, દ્વિભાજક, સમપ્રમાણતાની અક્ષ) એકરૂપ થાય, તો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હશે (જેનો અર્થ એ છે કે ચારેય રેખાઓ એકરૂપ થશે).
પ્રમેય 21. જો ત્રિકોણના કોઈપણ બે ખૂણા સમાન હોય, તો તે સમદ્વિબાજુ છે.

પુરાવો:પ્રત્યક્ષ પ્રમેયના પુરાવા જેવું જ છે, પરંતુ ત્રિકોણની સમાનતા માટે બીજા માપદંડનો ઉપયોગ કરીને. ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર, પરિપત્ર અને વર્તુળના કેન્દ્રો અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુ બધા તેની સમપ્રમાણતાની ધરી પર આવેલા છે, એટલે કે. ટોચ પર
સમબાજુ ત્રિકોણ તેની બાજુઓની દરેક જોડી માટે સમદ્વિબાજુ છે. તેની બધી બાજુઓની સમાનતાને લીધે, આવા ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા સમાન છે. કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટકોણ જેટલો હોય છે તે ધ્યાનમાં લેતા, આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક ખૂણો સમભુજ ત્રિકોણ 60° બરાબર છે. તેનાથી વિપરીત, ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન છે તેની ખાતરી કરવા માટે, તે તપાસવું પૂરતું છે કે તેના ત્રણમાંથી બે ખૂણા 60°ના બરાબર છે.
પ્રમેય 22 . સમભુજ ત્રિકોણમાં, તમામ નોંધપાત્ર બિંદુઓ એકરૂપ થાય છે: ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર, અંકિત અને પરિક્રમિત વર્તુળોના કેન્દ્રો, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ (ત્રિકોણનું ઓર્થોસેન્ટર કહેવાય છે).
પ્રમેય 23 . જો દર્શાવેલ ચાર બિંદુઓમાંથી બે એકરૂપ થાય, તો ત્રિકોણ સમભુજ હશે અને પરિણામે, ચારેય નામના બિંદુઓ એકરૂપ થશે.
ખરેખર, આવા ત્રિકોણ બહાર આવશે, પાછલા એક અનુસાર, બાજુઓની કોઈપણ જોડીના સંદર્ભમાં સમદ્વિબાજુ, એટલે કે. સમભુજ સમભુજ ત્રિકોણને નિયમિત ત્રિકોણ પણ કહેવાય છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાજુની બાજુના ચોરસના ગુણાંકના અડધા અને બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના સાઈન જેટલું છે.

સમભુજ ત્રિકોણ માટે આ સૂત્રને ધ્યાનમાં લો, તો આલ્ફા કોણ 60 ડિગ્રી જેટલો હશે. પછી સૂત્ર આમાં બદલાશે: પ્રમેય d1

પુરાવો:. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, બાજુઓ પર દોરેલા મધ્યક સમાન હોય છે.
ABC ને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ (AC = BC), AK અને BL તેના મધ્યક તરીકે રહેવા દો. પછી ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ ત્રિકોણ AKB અને ALB સમાન છે. તેમની પાસે સામાન્ય બાજુ AB છે, બાજુઓ AL અને BK સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના અર્ધભાગ સમાન છે, અને કોણ LAB અને KBA સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાના ખૂણા સમાન છે. ત્રિકોણ એકરૂપ હોવાથી, તેમની બાજુઓ AK અને LB સમાન છે. પરંતુ AK અને LB એ તેની બાજુની બાજુઓ પર દોરેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના મધ્યક છે. પ્રમેય d2

પુરાવો:. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, બાજુની બાજુઓ તરફ દોરેલા દ્વિભાજકો સમાન હોય છે.
ABC ને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ (AC = BC), AK અને BL તેના દ્વિભાજકો તરીકે રહેવા દો. ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ ત્રિકોણ AKB અને ALB સમાન છે. તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુ AB છે, કોણ LAB અને KBA સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાના ખૂણા સમાન છે, અને કોણ LBA અને KAB સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના અડધા પાયાના ખૂણા જેટલા છે. ત્રિકોણ એકરૂપ હોવાથી, તેમની બાજુઓ AK અને LB - ત્રિકોણ ABC ના દ્વિભાજકો - એકરૂપ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે. પ્રમેય d3

પુરાવો:. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, બાજુઓની નીચેની ઊંચાઈઓ સમાન હોય છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણએક ત્રિકોણ છે જેમાં બે બાજુઓ લંબાઈમાં સમાન હોય છે. સમાન બાજુઓને બાજુની કહેવામાં આવે છે, અને છેલ્લી બાજુઓને આધાર કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, નિયમિત ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ પણ હોય છે, પરંતુ વાતચીત સાચી નથી.

ગુણધર્મો

• સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ સામેના ખૂણાઓ એકબીજાના સમાન હોય છે. આ ખૂણાઓમાંથી દોરેલા દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈઓ પણ સમાન છે.
• ABC ને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ (AC = BC), AK અને BL તેની ઉંચાઈઓ ગણવા દો. પછી ખૂણા ABL અને KAB સમાન છે, કારણ કે ખૂણા ALB અને AKB કાટખૂણો છે, અને કોણ LAB અને ABK સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાના ખૂણાઓ સમાન છે. પરિણામે, ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ ત્રિકોણ ALB અને AKB સમાન છે: તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુ AB છે, કોણ KAB અને LBA ઉપરોક્ત મુજબ સમાન છે, અને ખૂણા LAB અને KBA એ એકના પાયાના ખૂણા જેવા સમાન છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. જો ત્રિકોણ એકરૂપ હોય, તો તેમની બાજુઓ AK અને BL પણ એકરૂપ છે. Q.E.D.
• સમાન બાજુઓની વિરુદ્ધ ખૂણા હંમેશા તીવ્ર હોય છે (તેમની સમાનતાથી અનુસરે છે).

દો a- સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ, b- ત્રીજી બાજુની લંબાઈ, α અને β - અનુરૂપ ખૂણા, આર- ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા, આર- અંકિતની ત્રિજ્યા.

બાજુઓ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

ખૂણાઓને નીચેની રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિની ગણતરી નીચેની કોઈપણ રીતે કરી શકાય છે:

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી નીચેનામાંથી એક રીતે કરી શકાય છે:

ચિહ્નો

• ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન છે.
• ઊંચાઈ મધ્યક સાથે એકરુપ છે.
• ઊંચાઈ દ્વિભાજક સાથે એકરુપ છે.
• દ્વિભાજક મધ્યક સાથે એકરુપ છે.
• બંનેની ઊંચાઈ સમાન છે.
• બે મધ્યક સમાન છે.
• બે દ્વિભાજકો સમાન છે (સ્ટીનર-લેમસ પ્રમેય).

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

• આધાર તરફ દોરવામાં આવેલ દ્વિભાજક, મધ્ય, ઊંચાઈ અને લંબ દ્વિભાજક એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે. અંકિત અને પરિક્રમિત વર્તુળોના કેન્દ્રો આ રેખા પર આવેલા છે.
• પર્મ પ્રદેશના ગ્રેમ્યાચિન્સકી મ્યુનિસિપલ જિલ્લો

2010.

ડિટેક્ટીવ (વ્યવસાય)- ISOSceles TRIANGLE, સમાન લંબાઈની બે બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ; આ બાજુઓના ખૂણાઓ પણ સમાન છે... ISOSceles TRIANGLE, સમાન લંબાઈની બે બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ; આ બાજુઓના ખૂણાઓ પણ સમાન છે...

ત્રિકોણ- અને (સરળ) ત્રિકોણ, ત્રિકોણ, માણસ. 1. એક ભૌમિતિક આકૃતિ જે ત્રણ પરસ્પર છેદતી રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે જે ત્રણ આંતરિક ખૂણાઓ (મેટ.) બનાવે છે. અસ્પષ્ટ ત્રિકોણ. તીવ્ર ત્રિકોણ. જમણો ત્રિકોણ...... ઉષાકોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

ISOSCELES- ISOSceles, aya, oh: બે સમાન બાજુઓ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. | સંજ્ઞા સમદ્વિબાજુ, અને, સ્ત્રી ઓઝેગોવનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ. એસ.આઈ. ઓઝેગોવ, એન.યુ. શ્વેડોવા. 1949 1992 … ISOSceles, aya, oe: બે સમાન બાજુઓ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. | સંજ્ઞા સમદ્વિબાજુ, અને, સ્ત્રી ઓઝેગોવનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ. એસ.આઈ. ઓઝેગોવ, એન.યુ. શ્વેડોવા. 1949 1992 …

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશત્રિકોણ રશિયન ભાષાનો આઇડિયોગ્રાફિક ડિક્શનરી

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશરશિયન ભાષા - TRIANGLE1, a, m of what અથવા def સાથે. ભૌમિતિક આકૃતિના આકારની એક વસ્તુ ત્રણ આંતરછેદ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે જે ત્રણ આંતરિક ખૂણા બનાવે છે. તેણીએ તેના પતિના પત્રો, આગળના પીળા ત્રિકોણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી. ત્રિકોણ2, a, m... ...

ત્રિકોણ- આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ ત્રિકોણ (અર્થો). ત્રિકોણ (યુક્લિડિયન અવકાશમાં) એ ત્રણ ભાગો દ્વારા રચાયેલી ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે ત્રણ બિંદુઓને જોડે છે જે એક જ સીધી રેખા પર નથી. ત્રણ બિંદુઓ,... ... વિકિપીડિયા

ત્રિકોણ (બહુકોણ)- ત્રિકોણ: 1 તીવ્ર, લંબચોરસ અને સ્થૂળ; 2 નિયમિત (સમભુજ) અને સમદ્વિબાજુ; 3 દ્વિભાજક; 4 મધ્યક અને ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર; 5 ઊંચાઈ; 6 ઓર્થોસેન્ટર; 7 મધ્યમ રેખા. TRIANGLE, 3 બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ. ક્યારેક નીચે....... સચિત્ર જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ- એ; m લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. b) ઓટીટી. શું અથવા def સાથે. આ આકારની આકૃતિ અથવા વસ્તુ... ... અનેક અભિવ્યક્તિઓનો શબ્દકોશ

ત્રિકોણ- એ; m. 1. એક ભૌમિતિક આકૃતિ જે ત્રણ આંતરછેદ રેખાઓ બનાવે છે. લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ t. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. // શું અથવા def સાથે. આ આકારની આકૃતિ અથવા પદાર્થ. ટી. છત. ટી.…… જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ