વ્યુત્પન્નના ચિહ્ન અને કાર્યની એકવિધતાની પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ દર્શાવે છે.

કૃપા કરીને નીચેના વિશે અત્યંત સાવચેત રહો. જુઓ, તમને શું આપવામાં આવ્યું છે તેનું શેડ્યૂલ! કાર્ય અથવા તેના વ્યુત્પન્ન

જો વ્યુત્પન્નનો આલેખ આપવામાં આવે તો, તો પછી આપણને ફંક્શન ચિહ્નો અને શૂન્યમાં જ રસ હશે. સૈદ્ધાંતિક રીતે અમને કોઈ પણ “પહાડો” કે “ખોલા”માં રસ નથી!

કાર્ય 1.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરો કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.

ઉકેલ:

આકૃતિમાં, ઘટતા કાર્યના ક્ષેત્રો રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે:

ફંક્શનના આ ઘટતા પ્રદેશોમાં 4 પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે.

કાર્ય 2.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક રેખાની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે.

ઉકેલ:

એકવાર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક સીધી રેખા (અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે) સાથે સમાંતર (અથવા એકરુપ) થઈ જાય ઢાળ , શૂન્યની બરાબર, તો સ્પર્શક કોણીય ગુણાંક ધરાવે છે.

બદલામાં આનો અર્થ એ થાય છે કે સ્પર્શક અક્ષની સમાંતર છે, કારણ કે ઢોળાવ એ અક્ષ તરફના સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક છે.

તેથી, અમને ગ્રાફ પર આત્યંતિક બિંદુઓ (મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ) મળે છે - તે આ બિંદુઓ પર છે કે ગ્રાફની સ્પર્શક ક્રિયાઓ અક્ષની સમાંતર હશે.

આવા 4 મુદ્દા છે.

કાર્ય 3.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક રેખાની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે.

ઉકેલ:

ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એ ઢાળવાળી રેખા સાથે સમાંતર (અથવા એકરુપ) હોવાથી, સ્પર્શકને પણ ઢોળાવ હોય છે.

બદલામાં આનો અર્થ એ થાય કે ટચ પોઈન્ટ પર.

તેથી, આપણે જોઈએ છીએ કે ગ્રાફ પર કેટલા બિંદુઓ ની બરાબર છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવા ચાર મુદ્દા છે.

કાર્ય 4.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન 0 છે.

ઉકેલ:

વ્યુત્પન્ન એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પર શૂન્ય બરાબર છે. અમારી પાસે તેમાંથી 4 છે:

કાર્ય 5.

આકૃતિ ફંક્શનનો ગ્રાફ અને x-અક્ષ પર અગિયાર બિંદુઓ દર્શાવે છે:. આમાંથી કેટલા બિંદુઓ પર ફંકશનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે?

ઉકેલ:

ઘટતા કાર્યના અંતરાલો પર, તેનું વ્યુત્પન્ન લે છે નકારાત્મક મૂલ્યો. અને કાર્ય પોઈન્ટ પર ઘટે છે. આવા 4 મુદ્દા છે.

કાર્ય 6.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ– આ મહત્તમ પોઈન્ટ (-3, -1, 1) અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ (-2, 0, 3) છે.

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટનો સરવાળો: -3-1+1-2+0+3=-2.

કાર્ય 7.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. કાર્યના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો સૂચવો.

ઉકેલ:

આકૃતિ અંતરાલોને પ્રકાશિત કરે છે જ્યાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન બિન-નકારાત્મક છે.

નાના વધતા અંતરાલ પર કોઈ પૂર્ણાંક બિંદુઓ નથી; વધતા અંતરાલ પર ચાર પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે: , , અને .

તેમનો સરવાળો:

કાર્ય 8.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. કાર્યના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.

ઉકેલ:

આકૃતિમાં, તમામ અંતરાલો કે જેના પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે તે રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલોમાં કાર્ય પોતે વધે છે.

તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ 6 છે.

કાર્ય 9.

આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. સેગમેન્ટ પર કયા બિંદુએ કરે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્ય.

ઉકેલ:

ચાલો જોઈએ કે ગ્રાફ સેગમેન્ટ પર કેવી રીતે વર્તે છે, જેમાં અમને રસ છે માત્ર વ્યુત્પન્નની નિશાની .

ડેરિવેટિવ ઓનનું ચિહ્ન માઈનસ છે, કારણ કે આ સેગમેન્ટ પરનો ગ્રાફ અક્ષની નીચે છે.

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા

"સાલ્ટીકોવસ્કાયા ગૌણ વ્યાપક શાળા

રતિશેવ્સ્કી જિલ્લો સારાટોવ પ્રદેશ»

ગણિતમાં માસ્ટર ક્લાસ

11મા ધોરણમાં

આ વિષય પર

"કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ઉપયોગના કાર્યોમાં"

ગણિત શિક્ષક દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે

બેલોગ્લાઝોવા એલ.એસ.

2012-2013 શૈક્ષણીક વર્ષ

માસ્ટર ક્લાસનો હેતુ : એકલ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે "વ્યુત્પન્ન કાર્ય" વિષય પર સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન લાગુ કરવામાં વિદ્યાર્થીઓની કુશળતા વિકસાવો રાજ્ય પરીક્ષા.

કાર્યો

શૈક્ષણિક: વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને સારાંશ અને વ્યવસ્થિત બનાવો

"કાર્યનું વ્યુત્પન્ન", આ વિષય પર યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સમસ્યાઓના પ્રોટોટાઇપને ધ્યાનમાં લો, વિદ્યાર્થીઓને સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાઓ હલ કરીને તેમના જ્ઞાનની ચકાસણી કરવાની તક પૂરી પાડે છે.

શૈક્ષણિક:મેમરી, ધ્યાન, આત્મસન્માન અને સ્વ-નિયંત્રણ કુશળતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો; મૂળભૂત ચાવીરૂપ ક્ષમતાઓની રચના (સરખામણી, સરખામણી, વસ્તુઓનું વર્ગીકરણ, વ્યાખ્યા પર્યાપ્ત માર્ગોઉકેલો શૈક્ષણિક કાર્યઆપેલ અલ્ગોરિધમ્સના આધારે, અનિશ્ચિતતાની પરિસ્થિતિઓમાં સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરવાની ક્ષમતા, વ્યક્તિની પ્રવૃત્તિઓનું નિયંત્રણ અને મૂલ્યાંકન, મુશ્કેલીઓના કારણો શોધવા અને દૂર કરવાની ક્ષમતા).

શૈક્ષણિક:ફાળો

વિદ્યાર્થીઓમાં શિક્ષણ પ્રત્યે જવાબદાર વલણ વિકસાવવું;

ગણિતમાં ટકાઉ રસનો વિકાસ;

સકારાત્મક રચના આંતરિક પ્રેરણાગણિતનો અભ્યાસ કરવો.

ટેક્નોલોજીઓ: વ્યક્તિગત રીતે વિભિન્ન શિક્ષણ, ICT.

શિક્ષણ પદ્ધતિઓ: મૌખિક, દ્રશ્ય, વ્યવહારુ, સમસ્યારૂપ.

કામના સ્વરૂપો:વ્યક્તિગત, આગળનો, જોડીમાં.

પાઠ માટે સાધનો અને સામગ્રી:દરેક વિદ્યાર્થી માટે પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન, પીસી, સિમ્યુલેટર (પરિશિષ્ટ નં. 1),પાઠ માટે રજૂઆત (પરિશિષ્ટ નં. 2),વ્યક્તિગત રીતે - વિભેદક કાર્ડ્સમાટે સ્વતંત્ર કાર્યજોડીમાં (પરિશિષ્ટ નં. 3),ઇન્ટરનેટ સાઇટ્સની સૂચિ, વ્યક્તિગત રીતે અલગ ગૃહ કાર્ય (પરિશિષ્ટ નંબર 4).

માસ્ટર ક્લાસ માટે સમજૂતી.આ માસ્ટર ક્લાસ 11મા ધોરણમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરવાના ઉદ્દેશ્ય સાથે લેવામાં આવે છે. પરીક્ષાની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે "ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન" વિષય પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી લાગુ કરવાનો હેતુ.

માસ્ટર ક્લાસની અવધિ- 30 મિનિટ

માસ્ટર ક્લાસ સ્ટ્રક્ચર

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ -1 મિનિટ.

II .વિષયનો સંદેશ, મુખ્ય વર્ગના લક્ષ્યો, શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરણા - 1 મિનિટ.

III. આગળનું કામ. તાલીમ "ટાસ્ક B8 યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા". સિમ્યુલેટર સાથે કામ કરવાનું વિશ્લેષણ - 6 મિનિટ.

IV. વ્યક્તિગત રીતે - ભિન્ન કાર્યજોડીમાં. સ્વતંત્ર ઉકેલસમસ્યાઓ B14. પીઅર સમીક્ષા - 7 મિનિટ.

વી. વ્યક્તિગત હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના પેરામીટર C5 સાથે સમસ્યા

3 મિનિટ

VI.ઓન-લાઇન પરીક્ષણ. પરીક્ષણ પરિણામોનું વિશ્લેષણ - 9 મિનિટ.

VII. વ્યક્તિગત રીતે - અલગ-અલગ હોમવર્ક -1 મિનિટ.

VIII પાઠ ગ્રેડ - 1 મિનિટ.

IX. પાઠનો સારાંશ. પ્રતિબિંબ -1 મિનિટ.

માસ્ટર ક્લાસની પ્રગતિ

આઈ .સમયનું આયોજન.

II વિષયનો સંદેશ, મુખ્ય વર્ગના લક્ષ્યો, શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરણા.

(સ્લાઇડ્સ 1-2, પરિશિષ્ટ નંબર 2)

અમારા પાઠનો વિષય "યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન ટાસ્કમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન" છે. દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે "નાનું નાનું છે પણ મોંઘું છે." ગણિતમાં આમાંથી એક "સ્પૂલ વાલ્વ" વ્યુત્પન્ન છે. વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ ઘણા ઉકેલવા માટે થાય છે વ્યવહારુ સમસ્યાઓગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર અને અન્ય શાખાઓ. તે તમને સમસ્યાઓને સરળ, સુંદર અને રસપ્રદ રીતે હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાના ભાગ B (B8, B14) ના કાર્યોમાં "વ્યુત્પન્ન" વિષય રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. કેટલીક C5 સમસ્યાઓ પણ ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. પરંતુ આ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સારી જરૂર છે ગણિતની તાલીમઅને આઉટ ઓફ ધ બોક્સ વિચાર.

શું તમે પરીક્ષણોની રચના અને સામગ્રીનું નિયમન કરતા દસ્તાવેજો સાથે કામ કર્યું છે? માપન સામગ્રીગણિતમાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા 2013. તે નિષ્કર્ષ"વ્યુત્પન્ન" વિષય પર સફળતાપૂર્વક USE સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારે કયા જ્ઞાન અને કુશળતાની જરૂર છે.

(સ્લાઇડ્સ 3-4, પરિશિષ્ટ નંબર 2)

અમે અભ્યાસ કર્યો"કોડિફાયર યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે નિયંત્રણ માપન સામગ્રીની તૈયારી માટે ગણિતમાં સામગ્રી તત્વો,”

"સ્તરની જરૂરિયાતોનું કોડિફાયર સ્નાતક તાલીમ», "સ્પષ્ટીકરણ નિયંત્રણ માપન સામગ્રી","ડેમો સંસ્કરણયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2013" અનેશોધી લીધું "વ્યુત્પન્ન" વિષય પરની સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ વિશે કયા જ્ઞાન અને કુશળતાની જરૂર છે.

જરૂરી

• જાણો

પી ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી માટેના નિયમો;

મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ;

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અને ભૌતિક અર્થ;
કાર્યના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ;
તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો અભ્યાસ.

માટે સક્ષમ બનો

કાર્યો સાથે ક્રિયાઓ કરો (ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને કાર્યના વર્તન અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો, તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો).

વાપરવુ

માં જ્ઞાન અને કુશળતા પ્રાપ્ત કરી વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓઅને રોજિંદુ જીવન.

તમારી પાસે “ડેરિવેટિવ” વિષય પર સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન છે. આજે આપણે કરીશુંઉપયોગની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ડેરિવેટિવ ફંક્શન વિશેના જ્ઞાનને લાગુ કરવાનું શીખો. ( સ્લાઇડ 4, પરિશિષ્ટ નંબર 2)

તે કારણ વગર નથી એરિસ્ટોટલે કહ્યું "મન માત્ર જ્ઞાનમાં જ નથી, પણ જ્ઞાનને વ્યવહારમાં લાગુ કરવાની ક્ષમતામાં પણ છે"( સ્લાઇડ 5, પરિશિષ્ટ નંબર 2)

પાઠના અંતે આપણે આપણા પાઠના ધ્યેય પર પાછા ફરીશું અને શોધીશું કે શું આપણે તે પ્રાપ્ત કર્યું છે?

III . આગળનું કામ. તાલીમ "ટાસ્ક B8 યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા" (પરિશિષ્ટ નંબર 1) . સિમ્યુલેટર સાથે કામનું વિશ્લેષણ.

પ્રસ્તાવિત ચારમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો.

તમારા મતે, કાર્ય B8 પૂર્ણ કરવામાં મુશ્કેલી શું છે?

તમે શુ વિચારો છો, તમને શુ લાગે છે લાક્ષણિક ભૂલોઆ સમસ્યા હલ કરતી વખતે સ્નાતકોને પરીક્ષા આપવાની મંજૂરી આપો?

કાર્ય B8 માં પ્રશ્નોના જવાબ આપતી વખતે, તમે ડેરિવેટિવ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનની વર્તણૂક અને ગુણધર્મો અને ફંક્શન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ડેરિવેટિવ ફંક્શનની વર્તણૂક અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. અને આ માટે તમારે સારાની જરૂર છે સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનનીચેના વિષયો પર: “ભૌમિતિક અને યાંત્રિક અર્થમાંવ્યુત્પન્ન ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્પર્શક. કાર્યોના અભ્યાસ માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ."

વિશ્લેષણ કરો કે કયા કાર્યોને લીધે તમને મુશ્કેલીઓ આવી?

જે સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓશું તમારે જાણવાની જરૂર છે?

IV. વ્યક્તિગત રીતે - જોડીમાં ભિન્ન કાર્ય. સ્વતંત્ર સમસ્યાનું નિરાકરણ Q14. પીઅર સમીક્ષા. (પરિશિષ્ટ નં. 3)

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ, ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમા, મહત્તમ અને સૌથી નીચા મૂલ્યોવ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ પરના કાર્યો.

ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલો.

વિદ્યાર્થીઓને સમસ્યા આપવામાં આવી છે:

"વિચારો, શું ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કર્યા વિના, બીજી રીતે B14 માં કેટલીક સમસ્યાઓ ઉકેલવી શક્ય છે?"

1 જોડી(લુક્યાનોવા ડી., ગેવ્ર્યુશિના ડી.)

1) B14. ફંક્શન y = 10x-ln (x+9)+6 નો ન્યૂનતમ બિંદુ શોધો

2)B14.ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધોy =

- બીજી સમસ્યાને બે રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

2 જોડી(સાનિન્સકાયા ટી., સાઝાનોવ એ.)

1) B14.ફંક્શન y=(x-10) ની સૌથી નાની કિંમત શોધો સેગમેન્ટ પર

2)B14. ફંક્શન y= - નો મહત્તમ બિંદુ શોધો

(વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડ પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના મુખ્ય તબક્કાઓ લખીને તેમના ઉકેલનો બચાવ કરે છે. 1 જોડીના વિદ્યાર્થીઓ (લુક્યાનોવા ડી., ગેવ્ર્યુશિના ડી.)સમસ્યા નં. 2) ઉકેલવા માટે બે માર્ગો પ્રદાન કરો.

સમસ્યાનું સમાધાન. નિષ્કર્ષ વિદ્યાર્થીઓએ લેવો જોઈએ:

"ફંક્શનના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યો શોધવા માટેની કેટલીક B14 યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમસ્યાઓ ફંક્શનના ગુણધર્મો પર આધાર રાખીને ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલી શકાય છે."

કાર્યમાં તમે કઈ ભૂલ કરી તેનું વિશ્લેષણ કરો?

તમારે કયા સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નોની સમીક્ષા કરવાની જરૂર છે?

વી. વ્યક્તિગત હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે. પરિમાણ C5 (USE) સાથે સમસ્યા સ્લાઇડ્સ 7-8, પરિશિષ્ટ નંબર 2)

લુક્યાનોવા કે.ને વ્યક્તિગત હોમવર્ક સોંપવામાં આવ્યું હતું: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે પાઠ્યપુસ્તકોમાંથી, પરિમાણ (C5) સાથે સમસ્યા પસંદ કરો અને ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરો.

(વિધાર્થી કાર્યાત્મક પર આધારિત સમસ્યાનો ઉકેલ આપે છે ગ્રાફિક પદ્ધતિ, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની C5 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની એક પદ્ધતિ તરીકે અને આપે છે સંક્ષિપ્ત સમજૂતીઆ પદ્ધતિ).

C5 યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ વિશે કયું જ્ઞાન જરૂરી છે?

V I. B8, B14 કાર્યો માટે ઓન-લાઇન પરીક્ષણ. પરીક્ષણ પરિણામોનું વિશ્લેષણ.

વર્ગમાં પરીક્ષણ માટેની વેબસાઇટ:

કોણે ભૂલો નથી કરી?

કોને પરીક્ષણ કરવામાં મુશ્કેલી પડી? શા માટે?

કયા કાર્યોમાં ભૂલો થઈ?

તારણ કાઢો કે તમારે કયા સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે?

VI આઈ. વ્યક્તિગત રીતે અલગ-અલગ હોમવર્ક

(સ્લાઇડ 9, એપ્લિકેશન નંબર 2), (પરિશિષ્ટ નંબર 4).

મેં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે ઇન્ટરનેટ સાઇટ્સની યાદી તૈયાર કરી છે. તમે આ સાઇટ્સ વિશે પણ મુલાકાત લઈ શકો છોn – રેખાપરીક્ષણ આગલા પાઠ માટે તમારે આ કરવાની જરૂર છે: 1) પુનરાવર્તન કરો સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી"ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન" વિષય પર;

2) વેબસાઇટ પર " બેંક ખોલોગણિત સોંપણીઓ" ( ) B8 અને B14 કાર્યોના પ્રોટોટાઇપ શોધો અને ઓછામાં ઓછી 10 સમસ્યાઓ હલ કરો;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલે છે. બાકીના વિદ્યાર્થીઓએ 1-8 સમસ્યાઓ હલ કરવી જોઈએ (વિકલ્પ 1).

VI II. પાઠ ગ્રેડ.

પાઠ માટે તમે તમારી જાતને કયો ગ્રેડ આપશો?

શું તમને લાગે છે કે તમે વર્ગમાં વધુ સારું કરી શક્યા હોત?

IX. પાઠ સારાંશ. પ્રતિબિંબ

ચાલો આપણા કામનો સારાંશ આપીએ. પાઠનો હેતુ શું હતો? શું તમને લાગે છે કે તે પ્રાપ્ત થયું છે?

બોર્ડને જુઓ અને એક વાક્યમાં, વાક્યની શરૂઆત પસંદ કરીને, તમને સૌથી વધુ અનુકૂળ આવે તે વાક્ય ચાલુ રાખો.

મને લાગ્યું…

હું શીખ્યોં…

મેં મેનેજ કર્યું…

હું કરવાનો હતો...

હું પ્રયત્ન કરીશ …

મને નવાઈ લાગી …

હું ઇચ્છતો હતો…

શું તમે કહી શકો છો કે પાઠ દરમિયાન તમારું જ્ઞાન સમૃદ્ધ થયું હતું?

તેથી, તમે ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન વિશેના સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કર્યું છે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન ટાસ્ક્સ (B8, B14) ના પ્રોટોટાઇપને ઉકેલતી વખતે તેમના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કર્યો, અને Lukyanova K. પરિમાણ સાથે કાર્ય C5 પૂર્ણ કર્યું, જે વધેલી જટિલતાનું કાર્ય છે.

તમારી સાથે કામ કરવાનો આનંદ હતો, અને હું આશા રાખું છું કે તમે માત્ર ગણિતના પાઠોમાં મેળવેલ જ્ઞાનને સફળતાપૂર્વક લાગુ કરી શકશો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, પણ તેના આગળના અભ્યાસમાં.

હું ઇટાલિયન ફિલસૂફના શબ્દો સાથે પાઠ સમાપ્ત કરવા માંગુ છું થોમસ એક્વિનાસ"જ્ઞાન એટલી કિંમતી વસ્તુ છે કે તેને કોઈપણ સ્ત્રોતમાંથી પ્રાપ્ત કરવામાં કોઈ શરમ નથી." (સ્લાઇડ 10, પરિશિષ્ટ નંબર 2).

હું તમને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીમાં સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

પ્રથમ સ્તર

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)

ચાલો એક ડુંગરાળ વિસ્તારમાંથી પસાર થતા સીધા રસ્તાની કલ્પના કરીએ. એટલે કે, તે ઉપર અને નીચે જાય છે, પરંતુ જમણે કે ડાબે વળતું નથી. જો અક્ષ રસ્તાની સાથે આડા અને ઊભી રીતે નિર્દેશિત હોય, તો રોડ લાઇન કેટલાક સતત કાર્યના ગ્રાફ સાથે ખૂબ સમાન હશે:

અક્ષ એ શૂન્ય ઊંચાઈનું ચોક્કસ સ્તર છે;

જેમ જેમ આપણે આવા રસ્તા પર આગળ વધીએ છીએ તેમ તેમ આપણે ઉપર કે નીચે પણ જઈએ છીએ. અમે એમ પણ કહી શકીએ છીએ: જ્યારે દલીલ બદલાય છે (એબ્સિસા અક્ષ સાથેની હિલચાલ), ફંક્શનનું મૂલ્ય બદલાય છે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેની હિલચાલ). ચાલો હવે વિચારીએ કે આપણા રસ્તાની "ઊભાપણું" કેવી રીતે નક્કી કરવી? આ કયા પ્રકારનું મૂલ્ય હોઈ શકે? તે ખૂબ જ સરળ છે: ચોક્કસ અંતર આગળ વધતી વખતે ઊંચાઈ કેટલી બદલાશે. ખરેખર, રસ્તાના જુદા જુદા વિભાગો પર, એક કિલોમીટર આગળ (એક્સ-અક્ષ સાથે) આગળ વધીએ છીએ, અમે વધીશું અથવા નીચે પડીશું વિવિધ માત્રામાંસમુદ્ર સપાટીથી સંબંધિત મીટર (ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે).

ચાલો પ્રગતિ દર્શાવીએ ("ડેલ્ટા x" વાંચો).

ગ્રીક અક્ષર (ડેલ્ટા) નો ઉપયોગ ગણિતમાં સામાન્ય રીતે ઉપસર્ગ તરીકે થાય છે જેનો અર્થ "પરિવર્તન" થાય છે. તે છે - આ જથ્થામાં ફેરફાર છે, - એક ફેરફાર; પછી તે શું છે? તે સાચું છે, તીવ્રતામાં ફેરફાર.

મહત્વપૂર્ણ: અભિવ્યક્તિ એ એક સંપૂર્ણ, એક ચલ છે. "ડેલ્ટા" ને "x" અથવા અન્ય કોઈપણ અક્ષરથી ક્યારેય અલગ કરશો નહીં! તે છે, ઉદાહરણ તરીકે, .

તેથી, અમે આગળ વધી ગયા, આડા, દ્વારા. જો આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે રોડની લાઇનની તુલના કરીએ, તો આપણે ઉદય કેવી રીતે દર્શાવીશું? ચોક્કસપણે, . એટલે કે, જેમ જેમ આપણે આગળ વધીએ છીએ, તેમ તેમ આપણે ઊંચા થઈએ છીએ.

મૂલ્યની ગણતરી કરવી સરળ છે: જો શરૂઆતમાં આપણે ઊંચાઈએ હતા, અને ખસેડ્યા પછી આપણે આપણી જાતને ઊંચાઈએ શોધીએ છીએ, તો પછી. જો અંતિમ બિંદુપ્રારંભિક કરતાં નીચું બહાર આવ્યું, તે નકારાત્મક હશે - આનો અર્થ એ છે કે આપણે ચડતા નથી, પરંતુ ઉતરતા છીએ.

ચાલો "ઊભાપણું" પર પાછા આવીએ: આ એક મૂલ્ય છે જે બતાવે છે કે અંતરના એક એકમને આગળ વધતી વખતે ઊંચાઈ કેટલી (બેહદ) વધે છે:

ચાલો આપણે માની લઈએ કે રસ્તાના અમુક વિભાગ પર, જ્યારે એક કિલોમીટર આગળ વધે છે, ત્યારે રસ્તો એક કિલોમીટરથી ઉપર આવે છે. પછી આ સ્થાન પર ઢાળ સમાન છે. અને જો રસ્તો, મીટરથી આગળ વધતી વખતે, કિમીથી ઘટી જાય? પછી ઢાળ સમાન છે.

હવે ચાલો એક ટેકરીની ટોચ જોઈએ. જો તમે સમિટના અડધા કિલોમીટર પહેલા વિભાગની શરૂઆત અને તેના પછી અડધા કિલોમીટરનો અંત લો, તો તમે જોઈ શકો છો કે ઊંચાઈ લગભગ સમાન છે.

એટલે કે, અમારા તર્ક મુજબ, તે તારણ આપે છે કે અહીં ઢાળ લગભગ શૂન્ય બરાબર છે, જે સ્પષ્ટપણે સાચું નથી. માત્ર કિલોમીટરના અંતરે ઘણું બદલાઈ શકે છે. ઢાળના વધુ પર્યાપ્ત અને સચોટ મૂલ્યાંકન માટે નાના વિસ્તારોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે એક મીટર ખસેડો ત્યારે ઊંચાઈમાં ફેરફારને માપો છો, તો પરિણામ વધુ સચોટ હશે. પરંતુ આ ચોકસાઈ પણ આપણા માટે પૂરતી ન હોઈ શકે - છેવટે, જો રસ્તાની મધ્યમાં કોઈ ધ્રુવ હોય, તો અમે તેને સરળતાથી પસાર કરી શકીએ છીએ. તો પછી આપણે કયું અંતર પસંદ કરવું જોઈએ? સેન્ટીમીટર? મિલીમીટર? ઓછું સારું છે!

IN વાસ્તવિક જીવનમાંનજીકના મિલીમીટર સુધીનું અંતર માપવાનું પર્યાપ્ત કરતાં વધુ છે. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ હંમેશા સંપૂર્ણતા માટે પ્રયત્ન કરે છે. તેથી, ખ્યાલની શોધ કરવામાં આવી હતી અનંત, એટલે કે, નિરપેક્ષ મૂલ્ય એ કોઈપણ સંખ્યા કરતા ઓછું છે જેને આપણે નામ આપી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમે કહો છો: એક ટ્રિલિયનમો! કેટલું ઓછું? અને તમે આ સંખ્યાને વડે વિભાજીત કરશો - અને તે તેનાથી પણ ઓછી હશે. અને તેથી વધુ. જો આપણે લખવા માંગતા હોઈએ કે એક જથ્થો અનંત છે, તો આપણે આ રીતે લખીએ છીએ: (આપણે વાંચીએ છીએ “x શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે”). તે સમજવું ખૂબ જ જરૂરી છે કે આ સંખ્યા શૂન્ય નથી!પરંતુ તેની ખૂબ નજીક. આનો અર્થ એ છે કે તમે તેના દ્વારા ભાગાકાર કરી શકો છો.

ઇન્ફિનિટેસિમલની વિરુદ્ધનો ખ્યાલ અનંત વિશાળ છે (). જ્યારે તમે અસમાનતાઓ પર કામ કરી રહ્યા હતા ત્યારે તમે કદાચ પહેલાથી જ તેનો સામનો કર્યો હશે: આ સંખ્યા તમે વિચારી શકો તે કોઈપણ સંખ્યા કરતા વધુ મોડ્યુલો છે. જો તમે સૌથી મોટા સાથે આવ્યા હતા શક્ય સંખ્યાઓ, ફક્ત તેને બે વડે ગુણાકાર કરો અને તમને વધુ મળશે. અને અનંત હજુ પણ વધુમાંશું થશે. વાસ્તવમાં, અનંત મોટા અને અનંત નાના એ એકબીજાના વિપરીત છે, એટલે કે, પર, અને ઊલટું: at.

હવે ચાલો આપણા રસ્તા પર પાછા આવીએ. આદર્શ રીતે ગણતરી કરેલ ઢોળાવ એ પાથના અનંત સેગમેન્ટ માટે ગણવામાં આવેલ ઢાળ છે, એટલે કે:

હું નોંધું છું કે અનંત વિસ્થાપન સાથે, ઊંચાઈમાં ફેરફાર પણ અનંત હશે. પરંતુ હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અનંતનો અર્થ નથી શૂન્ય બરાબર. જો તમે અનંત સંખ્યાઓને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરો છો, તો તમે તદ્દન મેળવી શકો છો નિયમિત સંખ્યા, દાખ્લા તરીકે, . એટલે કે, એક નાનું મૂલ્ય બીજા કરતા બરાબર ગણું મોટું હોઈ શકે છે.

આ બધું શેના માટે છે? રસ્તો, ઢાળ... અમે કાર રેલીમાં નથી જઈ રહ્યા, પરંતુ અમે ગણિત શીખવીએ છીએ. અને ગણિતમાં બધું બરાબર સરખું છે, ફક્ત અલગ રીતે કહેવાય છે.

વ્યુત્પન્ન ખ્યાલ

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ દલીલના અનંત વધારા માટે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાનો ગુણોત્તર છે.

વધતી જતીગણિતમાં તેઓ પરિવર્તન કહે છે. આર્ગ્યુમેન્ટ () અક્ષ સાથે આગળ વધતાં બદલાય છે તે હદ કહેવાય છે દલીલમાં વધારોઅને અંતર દ્વારા ધરી સાથે આગળ વધતી વખતે કાર્ય (ઊંચાઈ) કેટલું બદલાયું છે તે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે કાર્ય વધારોઅને નિયુક્ત થયેલ છે.

તેથી, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ક્યારેનો ગુણોત્તર છે. અમે વ્યુત્પન્નને ફંક્શન જેવા જ અક્ષર સાથે દર્શાવીએ છીએ, ફક્ત ઉપર જમણી બાજુએ પ્રાઇમ સાથે: અથવા ફક્ત. તો, ચાલો આ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન સૂત્ર લખીએ:

રસ્તાની સામ્યતાની જેમ, અહીં જ્યારે કાર્ય વધે છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, અને જ્યારે તે ઘટે છે, ત્યારે તે નકારાત્મક છે.

શું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય સમાન હોઈ શકે? ચોક્કસ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સપાટ આડા રસ્તા પર ડ્રાઇવિંગ કરી રહ્યા છીએ, તો ઢાળવાળીપણું શૂન્ય છે. અને તે સાચું છે, ઊંચાઈ બિલકુલ બદલાતી નથી. વ્યુત્પન્ન સાથે સમાન: વ્યુત્પન્ન સતત કાર્ય(અચલ) શૂન્યની બરાબર છે:

કારણ કે આવા કાર્યનો વધારો કોઈપણ માટે શૂન્ય સમાન છે.

ચાલો ટેકરીઓનું ઉદાહરણ યાદ કરીએ. તે બહાર આવ્યું છે કે સેગમેન્ટના અંતને સાથે ગોઠવવાનું શક્ય હતું વિવિધ બાજુઓઉપરથી, જેથી છેડા પરની ઊંચાઈ સમાન હોય, એટલે કે, સેગમેન્ટ અક્ષની સમાંતર હોય:

પરંતુ મોટા સેગમેન્ટ્સ અચોક્કસ માપનની નિશાની છે. અમે અમારા સેગમેન્ટને પોતાની સમાંતર ઉપર વધારીશું, પછી તેની લંબાઈ ઘટશે.

આખરે, જ્યારે આપણે ટોચની અનંત નજીક હોઈએ છીએ, ત્યારે સેગમેન્ટની લંબાઈ અનંત બની જશે. પરંતુ તે જ સમયે, તે અક્ષની સમાંતર રહી, એટલે કે, તેના છેડા પરની ઊંચાઈનો તફાવત શૂન્ય જેવો છે (તે વલણ ધરાવતું નથી, પરંતુ સમાન છે). તેથી વ્યુત્પન્ન

આને આ રીતે સમજી શકાય છે: જ્યારે આપણે ખૂબ જ ટોચ પર ઊભા રહીએ છીએ, ત્યારે ડાબી કે જમણી તરફની એક નાની પાળી આપણી ઊંચાઈને નજીવી રીતે બદલી નાખે છે.

ત્યાં એક સંપૂર્ણ બીજગણિત સમજૂતી પણ છે: શિરોબિંદુની ડાબી બાજુએ કાર્ય વધે છે, અને જમણી બાજુએ તે ઘટે છે. જેમ આપણે અગાઉ જાણ્યું તેમ, જ્યારે કોઈ કાર્ય વધે છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હોય છે, અને જ્યારે તે ઘટે છે, ત્યારે તે નકારાત્મક હોય છે. પરંતુ તે કૂદકા વિના, સરળતાથી બદલાય છે (કારણ કે રસ્તો તેના ઢાળને ક્યાંય પણ તીવ્રપણે બદલતો નથી). તેથી, નકારાત્મક અને વચ્ચે હકારાત્મક મૂલ્યોત્યાં ચોક્કસપણે હોવું જોઈએ. તે તે હશે જ્યાં કાર્ય ન તો વધે છે કે ન ઘટે છે - શિરોબિંદુ પર.

આ જ ચાટ માટે સાચું છે (જે વિસ્તાર ડાબી બાજુનું કાર્ય ઘટે છે અને જમણી બાજુ વધે છે):

ઇન્ક્રીમેન્ટ વિશે થોડું વધારે.

તેથી અમે દલીલને પરિમાણમાં બદલીએ છીએ. આપણે કયા મૂલ્યથી બદલીએ છીએ? હવે તે (દલીલ) શું બની ગયું છે? અમે કોઈપણ બિંદુ પસંદ કરી શકીએ છીએ, અને હવે અમે તેમાંથી નૃત્ય કરીશું.

સંકલન સાથેના બિંદુને ધ્યાનમાં લો. તેમાં ફંક્શનની કિંમત સમાન છે. પછી આપણે સમાન વધારો કરીએ છીએ: આપણે સંકલન વધારીએ છીએ. હવે દલીલ શું છે? અત્યંત સરળ: . હવે ફંક્શનની કિંમત શું છે? જ્યાં દલીલ જાય છે, ત્યાં કાર્ય પણ કરે છે: . કાર્ય વૃદ્ધિ વિશે શું? કંઈ નવું નથી: આ હજી પણ તે રકમ છે જેના દ્વારા કાર્ય બદલાયું છે:

ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધવાની પ્રેક્ટિસ કરો:

1. જ્યારે દલીલનો વધારો બરાબર હોય ત્યારે ફંક્શનનો વધારો શોધો.
2. તે જ બિંદુ પર કાર્ય માટે જાય છે.

ઉકેલો:

IN વિવિધ બિંદુઓસમાન દલીલ વધારા સાથે, ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ અલગ હશે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નતા અલગ છે (અમે આની શરૂઆતમાં જ ચર્ચા કરી હતી - રસ્તાની ઢાળ વિવિધ બિંદુઓ પર અલગ છે). તેથી, જ્યારે આપણે વ્યુત્પન્ન લખીએ છીએ, ત્યારે આપણે કયા બિંદુએ સૂચવવું જોઈએ:

પાવર કાર્ય.

પાવર ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જ્યાં દલીલ અમુક અંશે હોય છે (તાર્કિક, બરાબર?).

વધુમાં - કોઈપણ હદ સુધી: .

સૌથી સરળ કેસ- આ ત્યારે છે જ્યારે ઘાતાંક:

ચાલો એક બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ. ચાલો ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:

તેથી દલીલ થી માં બદલાય છે. કાર્યનો વધારો શું છે?

ઇન્ક્રીમેન્ટ આ છે. પરંતુ કોઈપણ બિંદુએ કાર્ય તેની દલીલ સમાન છે. એ કારણે:

વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

નું વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

b) હવે ધ્યાનમાં લો ચતુર્ભુજ કાર્ય (): .

હવે એ યાદ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે વધારાના મૂલ્યની અવગણના કરી શકાય છે, કારણ કે તે અમર્યાદિત છે, અને તેથી અન્ય શબ્દની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નજીવી છે:

તેથી, અમે અન્ય નિયમ સાથે આવ્યા:

c) અમે લોજિકલ શ્રેણી ચાલુ રાખીએ છીએ: .

આ અભિવ્યક્તિને જુદી જુદી રીતે સરળ બનાવી શકાય છે: સરવાળોના ક્યુબના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ કૌંસ ખોલો અથવા સમઘન સૂત્રના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને સમગ્ર અભિવ્યક્તિને ફેક્ટરાઇઝ કરો. સૂચવેલ કોઈપણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેને જાતે કરવાનો પ્રયાસ કરો.

તેથી, મને નીચે મુજબ મળ્યું:

અને ફરીથી ચાલો તે યાદ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે અમે સમાવિષ્ટ તમામ શરતોની અવગણના કરી શકીએ છીએ:

અમને મળે છે:.

ડી) મોટી સત્તાઓ માટે સમાન નિયમો મેળવી શકાય છે:

e) તે ​​તારણ આપે છે કે આ નિયમ પાવર ફંક્શન માટે મનસ્વી ઘાતાંક સાથે સામાન્ય કરી શકાય છે, પૂર્ણાંક પણ નહીં:

નિયમને આ શબ્દોમાં ઘડી શકાય છે: "ડિગ્રીને ગુણાંક તરીકે આગળ લાવવામાં આવે છે, અને પછી તેને ઘટાડવામાં આવે છે."

અમે આ નિયમ પછીથી સાબિત કરીશું (લગભગ ખૂબ જ અંતમાં). હવે થોડા ઉદાહરણો જોઈએ. કાર્યોનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

1. (બે રીતે: સૂત્ર દ્વારા અને વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને - કાર્યના વધારાની ગણતરી કરીને);

1. . માનો કે ના માનો, આ એક પાવર ફંક્શન છે. જો તમને પ્રશ્નો હોય, જેમ કે "આ કેવી રીતે છે? ડિગ્રી ક્યાં છે?", "" વિષય યાદ રાખો!
   હા, હા, રુટ પણ એક ડિગ્રી છે, માત્ર અપૂર્ણાંક: .
   તો આપણું વર્ગમૂળ- આ માત્ર એક સૂચક સાથેની ડિગ્રી છે:
   .
   અમે તાજેતરમાં શીખેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

   જો આ બિંદુએ તે ફરીથી અસ્પષ્ટ થઈ જાય, તો "" વિષયનું પુનરાવર્તન કરો!!! (સાથે ડિગ્રી વિશે નકારાત્મક સૂચક)

2. . હવે ઘાતાંક:

   અને હવે વ્યાખ્યા દ્વારા (શું તમે હજી ભૂલી ગયા છો?):
   ;
   .
   હવે, હંમેશની જેમ, અમે સમાવિષ્ટ શબ્દની અવગણના કરીએ છીએ:
   .

3. . અગાઉના કેસોનું સંયોજન: .

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

અહીં આપણે ઉચ્ચ ગણિતમાંથી એક હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું:

અભિવ્યક્તિ સાથે.

તમે સંસ્થાના પ્રથમ વર્ષમાં સાબિતી શીખી શકશો (અને ત્યાં જવા માટે, તમારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સારી રીતે પાસ કરવાની જરૂર છે). હવે હું તેને ગ્રાફિકલી બતાવીશ:

આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યારે ફંક્શન અસ્તિત્વમાં નથી - ગ્રાફ પરનો બિંદુ કાપી નાખવામાં આવે છે. પરંતુ મૂલ્યની નજીક, કાર્ય આ "ધ્યેય" ની નજીક છે.

વધુમાં, તમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આ નિયમ ચકાસી શકો છો. હા, હા, શરમાશો નહીં, કેલ્ક્યુલેટર લો, અમે હજી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં નથી.

તેથી, ચાલો પ્રયાસ કરીએ: ;

તમારા કેલ્ક્યુલેટરને રેડિયન મોડ પર સ્વિચ કરવાનું ભૂલશો નહીં!

વગેરે આપણે જોઈએ છીએ કે ઓછું, ધ નજીકનું મૂલ્યસાથે સંબંધ

એ) કાર્યને ધ્યાનમાં લો. હંમેશની જેમ, ચાલો તેનો વધારો શોધીએ:

ચાલો સાઈન્સના તફાવતને ઉત્પાદનમાં ફેરવીએ. આ કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (વિષય "" યાદ રાખો): .

હવે વ્યુત્પન્ન:

ચાલો બદલીએ: . પછી અનંત માટે તે પણ અનંત છે: . માટે અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લે છે:

અને હવે આપણે તે અભિવ્યક્તિ સાથે યાદ કરીએ છીએ. અને એ પણ, જો સરવાળા (એટલે ​​​​કે, પર) માં અમર્યાદિત જથ્થાને અવગણવામાં આવે તો શું?

તેથી અમે મેળવીએ છીએ આગામી નિયમ:સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન જેટલું છે:

આ મૂળભૂત ("ટેબ્યુલર") ડેરિવેટિવ્ઝ છે. અહીં તેઓ એક સૂચિમાં છે:

પાછળથી અમે તેમાં થોડા વધુ ઉમેરીશું, પરંતુ આ સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ મોટાભાગે થાય છે.

પ્રેક્ટિસ:

1. એક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;
2. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલો:

1. પ્રથમ, ચાલો માં વ્યુત્પન્ન શોધીએ સામાન્ય દૃશ્ય, અને પછી તેનું મૂલ્ય બદલો:
   ;
   .
2. અહીં આપણી પાસે કંઈક એવું જ છે પાવર કાર્ય. ચાલો તેણીને લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ
   સામાન્ય દેખાવ:
   .
   સરસ, હવે તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. આ શું છે????

ઠીક છે, તમે સાચા છો, અમને હજુ સુધી ખબર નથી કે આવા ડેરિવેટિવ્ઝ કેવી રીતે શોધવી. અહીં આપણી પાસે ઘણા પ્રકારનાં કાર્યોનું સંયોજન છે. તેમની સાથે કામ કરવા માટે, તમારે થોડા વધુ નિયમો શીખવાની જરૂર છે:

ઘાતાંક અને કુદરતી લઘુગણક.

ગણિતમાં એક ફંક્શન છે જેનું વ્યુત્પન્ન કોઈપણ મૂલ્ય માટે તે જ સમયે ફંક્શનના મૂલ્ય જેટલું છે. તેને "ઘાતાંક" કહેવામાં આવે છે, અને તે ઘાતાંકીય કાર્ય છે

આ કાર્યનો આધાર સ્થિર છે - તે અનંત છે દશાંશ, એટલે કે, અતાર્કિક સંખ્યા (જેમ કે). તેને "યુલર નંબર" કહેવામાં આવે છે, તેથી જ તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

તેથી, નિયમ:

યાદ રાખવું ખૂબ જ સરળ છે.

સારું, ચાલો દૂર ન જઈએ, ચાલો તેને તરત જ જોઈએ વ્યસ્ત કાર્ય. કયું કાર્ય નું વ્યસ્ત છે ઘાતાંકીય કાર્ય? લઘુગણક:

અમારા કિસ્સામાં, આધાર એ સંખ્યા છે:

આવા લઘુગણક (એટલે ​​​​કે, આધાર સાથેનો લઘુગણક) "કુદરતી" કહેવાય છે, અને અમે તેના માટે વિશેષ સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અમે તેના બદલે લખીએ છીએ.

તે શું સમાન છે? અલબત્ત, .

કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન પણ ખૂબ જ સરળ છે:

ઉદાહરણો:

1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
2. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શું છે?

જવાબો: પ્રદર્શક અને કુદરતી લઘુગણક- ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં કાર્યો અનન્ય રીતે સરળ છે. અન્ય કોઈપણ આધાર સાથે ઘાતાંકીય અને લઘુગણક ફંક્શનમાં અલગ વ્યુત્પન્ન હશે, જેનું વિશ્લેષણ અમે પછીથી કરીશું. ચાલો નિયમોમાંથી પસાર થઈએતફાવત

ભિન્નતાના નિયમો

શેના નિયમો? ફરી એક નવો શબ્દ, ફરી?!...

ભિન્નતાવ્યુત્પન્ન શોધવાની પ્રક્રિયા છે.

બસ એટલું જ. તમે આ પ્રક્રિયાને એક શબ્દમાં બીજું શું કહી શકો? વ્યુત્પન્ન નથી... ગણિતશાસ્ત્રીઓનો તફાવત એ ફંક્શનની સમાન વૃદ્ધિ છે. આ શબ્દ લેટિન ડિફરન્સિયા - તફાવત પરથી આવ્યો છે. અહીં.

આ બધા નિયમો મેળવતી વખતે, અમે બે કાર્યોનો ઉપયોગ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, અને. અમને તેમની વૃદ્ધિ માટે સૂત્રોની પણ જરૂર પડશે:

કુલ 5 નિયમો છે.

અચળ વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે.

જો - કેટલાક સતત સંખ્યા(સતત), પછી.

દેખીતી રીતે, આ નિયમ તફાવત માટે પણ કામ કરે છે: .

ચાલો તે સાબિત કરીએ. તે રહેવા દો, અથવા સરળ.

ઉદાહરણો.

કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

1. એક બિંદુએ;
2. એક બિંદુએ;
3. એક બિંદુએ;
4. બિંદુ પર.

ઉકેલો:

1. (વ્યુત્પન્ન તમામ બિંદુઓ પર સમાન છે, આથી રેખીય કાર્યયાદ છે?);

ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

અહીં બધું સમાન છે: ચાલો દાખલ કરીએ નવી સુવિધાઅને તેની વૃદ્ધિ શોધો:

વ્યુત્પન્ન:

ઉદાહરણો:

1. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો અને;
2. એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલો:

ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

હવે તમારું જ્ઞાન કોઈપણ ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું તે શીખવા માટે પૂરતું છે, અને માત્ર ઘાતાંક જ નહીં (શું તમે ભૂલી ગયા છો કે તે શું છે?).

તેથી, અમુક સંખ્યા ક્યાં છે.

આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, તેથી ચાલો આપણા ફંક્શનને નવા આધાર પર ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરીએ:

આ માટે આપણે ઉપયોગ કરીશું સરળ નિયમ: . પછી:

સારું, તે કામ કર્યું. હવે વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રયાસ કરો, અને ભૂલશો નહીં કે આ કાર્ય જટિલ છે.

થયું?

અહીં, તમારી જાતને તપાસો:

સૂત્ર ઘાતાંકના વ્યુત્પન્ન સાથે ખૂબ સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું: જેમ તે હતું, તે જ રહે છે, માત્ર એક પરિબળ દેખાયો, જે માત્ર એક સંખ્યા છે, પરંતુ ચલ નથી.

ઉદાહરણો:
કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

જવાબો:

આ માત્ર એક સંખ્યા છે જેની ગણતરી કેલ્ક્યુલેટર વિના કરી શકાતી નથી, એટલે કે, તેને વધુ લખી શકાતી નથી. સરળ સ્વરૂપમાં. તેથી, અમે તેને જવાબમાં આ ફોર્મમાં છોડીએ છીએ.

લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

તે અહીં સમાન છે: તમે પહેલાથી જ કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન જાણો છો:

તેથી, એક અલગ આધાર સાથે મનસ્વી લઘુગણક શોધવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે:

આપણે આ લઘુગણકને આધાર સુધી ઘટાડવાની જરૂર છે. તમે લોગરીધમનો આધાર કેવી રીતે બદલશો? હું આશા રાખું છું કે તમને આ સૂત્ર યાદ હશે:

ફક્ત હવે આપણે તેના બદલે લખીશું:

છેદ ફક્ત એક સ્થિર છે (એક સ્થિર સંખ્યા, ચલ વિના). વ્યુત્પન્ન ખૂબ જ સરળ રીતે પ્રાપ્ત થાય છે:

ઘાતાંકીયના વ્યુત્પન્ન અને લઘુગણક કાર્યોયુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશનમાં લગભગ ક્યારેય દેખાતું નથી, પરંતુ તેમને જાણવાથી નુકસાન થશે નહીં.

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

શું થયું" જટિલ કાર્ય"? ના, આ લઘુગણક નથી, અને આર્કટેન્જેન્ટ નથી. આ વિધેયોને સમજવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે (જો કે જો તમને લઘુગણક અઘરું લાગતું હોય, તો "લોગરીધમ્સ" વિષય વાંચો અને તમે ઠીક થઈ જશો), પરંતુ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, "જટિલ" શબ્દનો અર્થ "મુશ્કેલ" નથી.

નાના કન્વેયર બેલ્ટની કલ્પના કરો: બે લોકો બેઠા છે અને કેટલીક વસ્તુઓ સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરી રહ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ એક ચોકલેટ બારને રેપરમાં લપેટી લે છે, અને બીજો તેને રિબન સાથે બાંધે છે. પરિણામ એ સંયુક્ત ઑબ્જેક્ટ છે: એક ચોકલેટ બાર લપેટી અને રિબન સાથે બંધાયેલ. ચોકલેટ બાર ખાવા માટે, તમારે વિપરીત પગલાં ભરવાની જરૂર છે વિપરીત ક્રમમાં.

ચાલો એક સમાન ગાણિતિક પાઈપલાઈન બનાવીએ: પ્રથમ આપણે સંખ્યાની કોસાઈન શોધીશું, અને પછી પરિણામી સંખ્યાનો વર્ગ કરીશું. તેથી, અમને એક નંબર (ચોકલેટ) આપવામાં આવે છે, મને તેનું કોસાઇન (રૅપર) મળે છે, અને પછી તમે મને જે મળ્યું તે ચોરસ કરો (તેને રિબન વડે બાંધો). શું થયું? કાર્ય. આ એક જટિલ ફંક્શનનું ઉદાહરણ છે: જ્યારે, તેનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે પ્રથમ ક્રિયા સીધી ચલ સાથે કરીએ છીએ, અને પછી બીજી ક્રિયા પ્રથમના પરિણામ સાથે કરીએ છીએ.

આપણે સમાન પગલાઓ સરળતાથી વિપરીત ક્રમમાં કરી શકીએ છીએ: પ્રથમ તમે તેને ચોરસ કરો, અને પછી હું પરિણામી સંખ્યાના કોસાઇનને શોધીશ: . અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે પરિણામ લગભગ હંમેશા અલગ હશે. મહત્વપૂર્ણ લક્ષણજટિલ કાર્યો: જ્યારે ક્રિયાઓનો ક્રમ બદલાય છે, ત્યારે કાર્ય બદલાય છે.

બીજા શબ્દો માં, જટિલ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેની દલીલ અન્ય કાર્ય છે: .

પ્રથમ ઉદાહરણ માટે, .

બીજું ઉદાહરણ: (એ જ વસ્તુ). .

અમે છેલ્લે જે ક્રિયા કરીએ છીએ તેને કહેવામાં આવશે "બાહ્ય" કાર્ય, અને ક્રિયા પ્રથમ કરવામાં - તે મુજબ "આંતરિક" કાર્ય(આ અનૌપચારિક નામો છે, હું તેનો ઉપયોગ ફક્ત સામગ્રીને સરળ ભાષામાં સમજાવવા માટે કરું છું).

તમારા માટે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો કે કયું કાર્ય બાહ્ય છે અને કયું આંતરિક છે:

જવાબો:આંતરિક અને બાહ્ય કાર્યોને અલગ પાડવું એ ચલોને બદલવા જેવું જ છે: ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનમાં

1. આપણે પ્રથમ કઈ ક્રિયા કરીશું? પ્રથમ, ચાલો સાઈનની ગણતરી કરીએ, અને પછી જ તેને ક્યુબ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે તે આંતરિક કાર્ય છે, પરંતુ બાહ્ય છે.
   અને મૂળ કાર્ય તેમની રચના છે: .
2. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.
3. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.
4. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.
5. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.

આપણે ચલ બદલીએ છીએ અને ફંક્શન મેળવીએ છીએ.

ઠીક છે, હવે આપણે આપણી ચોકલેટ બાર કાઢીશું અને વ્યુત્પન્ન શોધીશું. પ્રક્રિયા હંમેશા ઉલટી થાય છે: પ્રથમ આપણે બાહ્ય કાર્યના વ્યુત્પન્નને શોધીએ છીએ, પછી આપણે પરિણામને આંતરિક કાર્યના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. પર લાગુ મૂળ ઉદાહરણતે આના જેવું લાગે છે:

બીજું ઉદાહરણ:

તેથી, ચાલો આખરે સત્તાવાર નિયમ ઘડીએ:

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

તે સરળ લાગે છે, બરાબર?

ચાલો ઉદાહરણો સાથે તપાસ કરીએ:

ઉકેલો:

1) આંતરિક: ;

બાહ્ય: ;

2) આંતરિક: ;

(હમણાં જ તેને કાપવાનો પ્રયાસ કરશો નહીં! કોસાઈનની નીચેથી કંઈ બહાર આવતું નથી, યાદ છે?)

3) આંતરિક: ;

બાહ્ય: ;

તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે આ ત્રણ-સ્તરની જટિલ કાર્ય છે: છેવટે, આ પોતે જ એક જટિલ કાર્ય છે, અને અમે તેમાંથી મૂળ પણ કાઢીએ છીએ, એટલે કે, અમે ત્રીજી ક્રિયા કરીએ છીએ (ચોકલેટને રેપરમાં મૂકો. અને બ્રીફકેસમાં રિબન સાથે). પરંતુ ડરવાનું કોઈ કારણ નથી: અમે હજી પણ આ કાર્યને હંમેશની જેમ સમાન ક્રમમાં "અનપૅક" કરીશું: અંતથી.

એટલે કે, પહેલા આપણે રુટ, પછી કોસાઈન અને પછી કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને અલગ પાડીએ છીએ. અને પછી આપણે તે બધાને ગુણાકાર કરીએ છીએ.

આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રિયાઓની સંખ્યા કરવી અનુકૂળ છે. એટલે કે આપણે જે જાણીએ છીએ તેની કલ્પના કરીએ. આ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે આપણે કયા ક્રમમાં ક્રિયાઓ કરીશું? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

ક્રિયા જેટલી પાછળથી કરવામાં આવશે, તે વધુ "બાહ્ય" હશે અનુરૂપ કાર્ય. ક્રિયાઓનો ક્રમ પહેલા જેવો જ છે:

અહીં માળો સામાન્ય રીતે 4-સ્તરનો હોય છે. ચાલો ક્રિયાનો કોર્સ નક્કી કરીએ.

1. આમૂલ અભિવ્યક્તિ. .

2. રુટ. .

3. સાઈન. .

4. ચોરસ. .

5. તે બધું એકસાથે મૂકવું:

વ્યુત્પન્ન. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન- દલીલના અનંત વધારા માટે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાનો ગુણોત્તર:

મૂળભૂત ડેરિવેટિવ્ઝ:

ભિન્નતાના નિયમો:

વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી સ્થિરાંક લેવામાં આવે છે:

સરવાળો વ્યુત્પન્ન:

ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન:

ભાગનું વ્યુત્પન્ન:

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન:

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. અમે "આંતરિક" કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
2. અમે "બાહ્ય" કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
3. અમે પ્રથમ અને બીજા બિંદુઓના પરિણામોને ગુણાકાર કરીએ છીએ.

આકૃતિ ફંક્શન y = f(x) નો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથે બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધો. K 0 K = -0.5 K = 0.5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title="ચિત્રમાં y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે ) અને એબ્સીસા x 0 સાથે બિંદુ પર તેની સ્પર્શક. x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો. K 0 K = -0.5 K = 0.5"> title="આકૃતિ ફંક્શન y = f(x) નો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથે બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધો. K 0 K = -0.5 K = 0.5"> !}

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (-1;17) પર વ્યાખ્યાયિત છે. ફંક્શન f(x) ના ઘટાડાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો. f(x)

અંતરાલ પર 0, પછી ફંક્શન f(x)" title="આકૃતિ y = f(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે. પોઈન્ટ x 1, x 2, x 3, x 4 વચ્ચે શોધો , x 5, x 6 અને x 7 એ એવા બિંદુઓ છે કે જેના પર f(x) નું વ્યુત્પન્ન છે જવાબમાં, જો f (x) > 0 હોય, તો પછી કાર્ય f(x)" class="link_thumb"> 8 !}આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓમાંથી x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 અને x 7 એવા બિંદુઓ શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન ધન છે. જવાબમાં, મળેલા પોઈન્ટની સંખ્યા લખો. જો અંતરાલ પર f (x) > 0 હોય, તો આ અંતરાલ પર ફંક્શન f (x) વધે છે જવાબ: 2 ઈન્ટરવલ પર 0, પછી ફંક્શન f(x)"> 0 ઈન્ટરવલ પર, પછી ફંકશન f(x) આ ઈન્ટરવલ પર વધે છે જવાબ: 2"> 0 ઈન્ટરવલ પર, પછી ફંક્શન f(x)" title= "On આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓમાંથી x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 અને x 7 તે બિંદુઓમાંથી શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) ધન છે, જો અંતરાલ પર f(x) > 0 હોય તો જવાબ લખો."> title="આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓમાંથી x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 અને x 7 એવા બિંદુઓ શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન ધન છે. જવાબમાં, મળેલા પોઈન્ટની સંખ્યા લખો. જો અંતરાલ પર f (x) > 0 હોય, તો ફંક્શન f(x)"> !}

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (-9; 2) પર વ્યાખ્યાયિત છે. સેગમેન્ટ -8 પર કયા બિંદુએ; -4 શું ફંક્શન f(x) સૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે? સેગમેન્ટ -8 પર; -4 f(x)

કાર્ય y = f(x) અંતરાલ (-5; 6) પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓમાંથી x 1, x 2, ..., x 7 તે બિંદુઓ શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. જવાબમાં, મળેલા પોઈન્ટની સંખ્યા લખો. જવાબ: 3 પોઈન્ટ્સ x 1, x 4, x 6 અને x 7 એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ છે. બિંદુ x 4 પર કોઈ f (x) નથી

સાહિત્ય 4 બીજગણિત અને પ્રારંભિક વિશ્લેષણ વર્ગ. માટે ટ્યુટોરીયલ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ નું મૂળભૂત સ્તર/ Sh. A. Alimov અને અન્ય, - M.: Prosveshchenie, Semenov A. L. એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા: ગણિતમાં 3000 સમસ્યાઓ. – એમ.: પબ્લિશિંગ હાઉસ “પરીક્ષા”, ગેન્ડેન્સ્ટેઈન એલ.ઈ., એર્શોવા એ.પી., એર્શોવા એ.એસ. બીજગણિતની વિઝ્યુઅલ માર્ગદર્શિકા અને ગ્રેડ 7-11 માટેના ઉદાહરણો સાથે વિશ્લેષણની શરૂઆત. - એમ.: ઇલેક્ઝા, ઇલેક્ટ્રોનિક સંસાધનયુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામ ટાસ્ક બેંક ખોલો.