પ્રમેય વિયેટાના પ્રમેયથી વિપરીત. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો

આજે તે કવિતામાં ગાવાને લાયક છે
મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.
શું સારું છે, મને કહો, આની જેમ સુસંગતતા:
તમે મૂળનો ગુણાકાર કર્યો - અને અપૂર્ણાંક તૈયાર છે
અંશમાં સાથે, છેદમાં એ.
અને અપૂર્ણાંકના મૂળનો સરવાળો પણ સમાન છે
માઈનસ આ અપૂર્ણાંક સાથે પણ
શું સમસ્યા છે
અંશમાં વી, છેદમાં એ.
(શાળા લોકકથામાંથી)

એપિગ્રાફમાં અદ્ભુત પ્રમેય François Vieta સંપૂર્ણપણે સચોટ રીતે આપવામાં આવ્યું નથી. વાસ્તવમાં, આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખી શકીએ જેનું કોઈ મૂળ નથી અને તેનો સરવાળો અને ઉત્પાદન લખી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 2 + 2x + 12 = 0 માં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. પરંતુ, ઔપચારિક અભિગમ અપનાવીને, અમે તેમનું ઉત્પાદન (x 1 · x 2 = 12) અને સરવાળો (x 1 + x 2 = -2) લખી શકીએ છીએ. અમારા છંદો ચેતવણી સાથેના પ્રમેયને અનુરૂપ હશે: "જો સમીકરણના મૂળ છે," એટલે કે. ડી ≥ 0.

પ્રથમ વ્યવહારુ એપ્લિકેશનઆ પ્રમેય એક ચતુર્ભુજ સમીકરણનું નિર્માણ છે જેણે મૂળ આપ્યા છે. બીજું, તે તમને ઘણા ચતુર્ભુજ સમીકરણોને મૌખિક રીતે ઉકેલવા દે છે. શાળાના પાઠ્યપુસ્તકો મુખ્યત્વે આ કૌશલ્યો વિકસાવવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.

અહીં આપણે વધુ વિચારણા કરીશું જટિલ કાર્યો, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1.

5x 2 – 12x + c = 0 સમીકરણનું એક મૂળ બીજા કરતાં ત્રણ ગણું મોટું છે. એસ શોધો.

ઉકેલ.

બીજા મૂળને x 2 થવા દો.

પછી પ્રથમ મૂળ x1 = 3x 2.

વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, મૂળનો સરવાળો 12/5 = 2.4 છે.

ચાલો સમીકરણ 3x 2 + x 2 = 2.4 બનાવીએ.

તેથી x 2 = 0.6. તેથી x 1 = 1.8.

જવાબ: c = (x 1 x 2) a = 0.6 1.8 5 = 5.4.

ઉદાહરણ 2.

તે જાણીતું છે કે x 1 અને x 2 એ x 2 – 8x + p = 0 સમીકરણના મૂળ છે, જેમાં 3x 1 + 4x 2 = 29 છે. p શોધો.

ઉકેલ.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ, x 1 + x 2 = 8, અને શરત દ્વારા 3x 1 + 4x 2 = 29.

આ બે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, આપણને x 1 = 3, x 2 = 5 મૂલ્ય મળે છે.

અને તેથી p = 15.

જવાબ: p = 15.

ઉદાહરણ 3.

3x 2 + 8 x – 1 = 0 સમીકરણના મૂળની ગણતરી કર્યા વિના, x 1 4 + x 2 4 શોધો

ઉકેલ.

નોંધ કરો કે વિએટાના પ્રમેય દ્વારા x 1 + x 2 = -8/3 અને x 1 x 2 = -1/3 અને અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરો

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

જવાબ: 4898/9.

ઉદાહરણ 4.

પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સૌથી મોટા અને વચ્ચેનો તફાવત છે સૌથી નાના મૂળસમીકરણો
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

ઉકેલ.

આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેના 2 અલગ-અલગ મૂળ હશે જો D > 0. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 અથવા (a – 3) 2 > 0. તેથી, આપણી પાસે બધા a માટે 2 મૂળ છે, a = 3 સિવાય.

નિશ્ચિતતા માટે, આપણે ધારીશું કે x 1 > x 2 અને x 1 + x 2 = (a + 1)/2 અને x 1 x 2 = (a – 1)/2 મળશે. સમસ્યાની શરતોના આધારે x 1 – x 2 = (a – 1)/2. ત્રણેય શરતો એકસાથે પૂરી થવી જોઈએ. ચાલો પ્રથમ અને છેલ્લા સમીકરણોને સિસ્ટમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ. બીજગણિતીય ઉમેરા દ્વારા તેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

આપણને x 1 = a/2, x 2 = 1/2 મળે છે. ચાલો શું તપાસીએ એબીજી સમાનતા સંતુષ્ટ થશે: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. ચાલો આપણે પ્રાપ્ત કરેલ મૂલ્યોને બદલીએ અને આપણી પાસે હશે: a/4 = (a – 1)/2. પછી a = 2. તે સ્પષ્ટ છે કે જો a = 2, તો બધી શરતો પૂરી થાય છે.

જવાબ: જ્યારે a = 2.

ઉદાહરણ 5.

શું બરાબર છે સૌથી નાનું મૂલ્ય a, જેના પર સમીકરણના મૂળનો સરવાળો
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 તેના મૂળના ચોરસના સરવાળા સમાન છે.

ઉકેલ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો સમીકરણને ઘટાડીએ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. તેના મૂળ હશે જો D/4 ≥ 0. તેથી: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. અથવા (a – 1) 2 ≥ 0. અને આ છે કોઈપણ માટે માન્ય શરત a.

ચાલો વિએટાના પ્રમેયને લાગુ કરીએ: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. અથવા અવેજી પછી x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. તે સમાનતા બનાવવાનું બાકી છે જે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ છે: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . આપણને મળે છે: 2a = 4a 2 – 4a + 2. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં 2 મૂળ છે: a 1 = 1 અને a 2 = 1/2. તેમાંથી સૌથી નાનું -1/2 છે.

જવાબ: 1/2.

ઉદાહરણ 6.

સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 ના ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ શોધો જો તેના મૂળના સમઘનનો સરવાળો આ મૂળના વર્ગોના ગુણાંક જેટલો હોય.

ઉકેલ.

અમે ધારીશું કે આ સમીકરણ મૂળ ધરાવે છે અને તેથી, વિએટાનું પ્રમેય તેના પર લાગુ કરી શકાય છે.

પછી સમસ્યાની સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. અથવા: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

બીજા પરિબળને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

આપણને (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 મળે છે. તે ગુણાંક દ્વારા મૂળના સરવાળો અને ઉત્પાદનોને બદલવાનું બાકી છે.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . આ અભિવ્યક્તિ સરળતાથી ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરી શકાય છે b(3ac – b 2)/a = c 2.સંબંધ મળી ગયો છે.

ટિપ્પણી.તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે પરિણામી સંબંધ બીજાના સંતુષ્ટ થયા પછી જ ધ્યાનમાં લેવાનો અર્થપૂર્ણ છે: D ≥ 0.

ઉદાહરણ 7.

ચલ a ની કિંમત શોધો જેના માટે સમીકરણ x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 ના મૂળના વર્ગોનો સરવાળો સૌથી મોટી કિંમત છે.

ઉકેલ.

જો આ સમીકરણમાં x 1 અને x 2 મૂળ હોય, તો તેનો સરવાળો x 1 + x 2 = -2a છે, અને ગુણાંક x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 છે.

અમે ગણતરી કરીએ છીએ x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

હવે સ્વાભાવિક છે કે આ અભિવ્યક્તિ લે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્ય a = 3 પર.

મૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ખરેખર a = 3 પર મૂળ ધરાવે છે કે કેમ તે તપાસવાનું બાકી છે. અમે અવેજી દ્વારા તપાસીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: x 2 + 6x + 7 = 0 અને તેના માટે D = 36 – 28 > 0.

તેથી, જવાબ છે: a = 3 માટે.

ઉદાહરણ 8.

2x 2 – 7x – 3 = 0 સમીકરણમાં x 1 અને x 2 મૂળ છે. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકનો ત્રિવિધ સરવાળો શોધો, જેના મૂળ નંબરો X 1 = 1/x 1 અને X 2 = 1/x 2 છે. (*)

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, x 1 + x 2 = 7/2 અને x 1 x 2 = -3/2. ચાલો બીજા સમીકરણને તેના મૂળમાંથી x 2 + px + q = 0 સ્વરૂપમાં કંપોઝ કરીએ. આ કરવા માટે, આપણે વિયેટાના પ્રમેયની વાતચીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણને મળે છે: p = -(X 1 + X 2) અને q = X 1 · X 2.

(*) ના આધારે આ સૂત્રોમાં અવેજી બનાવ્યા પછી: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 અને q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

જરૂરી સમીકરણ ફોર્મ લેશે: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. હવે આપણે સરળતાથી તેના ગુણાંકના ત્રણ ગણા સરવાળાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. જવાબ પ્રાપ્ત થયો.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેની ખાતરી નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

"સરેરાશ માધ્યમિક શાળાનંબર 64" બ્રાયન્સ્ક

શહેરની વૈજ્ઞાનિક અને પ્રાયોગિક પરિષદ

"વિજ્ઞાનમાં પ્રથમ પગલાં"

વૈજ્ઞાનિક સંશોધન કાર્ય

"ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિયેટનું પ્રમેય"

ગણિત

આના દ્વારા પૂર્ણ: 11b ગ્રેડનો વિદ્યાર્થી

શાનોવ ઇલ્યા અલેકસેવિચ

વૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક:

ગણિત શિક્ષક,

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના ઉમેદવાર વિજ્ઞાન

બાયકોવ સેર્ગેઈ વેલેન્ટિનોવિચ

બ્રાયન્સ્ક 2012

પરિચય……………………………………………………………………………… 3

લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશો ……………………………………………………… 4

સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ ………………………………………… 4

ચતુર્ભુજ સમીકરણ …………………………………………………. 5

ઘન સમીકરણ ………………………………………………………. 6

ચોથી ડિગ્રીનું સમીકરણ ……………………………………… 7

વ્યવહારુ ભાગ………………………………………………. 9

સંદર્ભો ……………………………………………………… 12

પરિશિષ્ટ ……………………………………………………………… 13

પરિચય

બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે ક્ષેત્ર બીજગણિતીય રીતે બંધ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જટિલ ગુણાંક સાથે nth ડિગ્રીના સમીકરણો (માં સામાન્ય કેસ) ક્ષેત્ર પર બરાબર n છે જટિલ મૂળ. ત્રીજી ડિગ્રીના સમીકરણો Cordano ના સૂત્ર દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. ફેરારી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો. વધુમાં, બીજગણિત સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે કે જો પછી સમીકરણનું મૂળ છે આ સમીકરણનું મૂળ પણ છે. માટે ઘન સમીકરણનીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

ત્રણેય મૂળ વાસ્તવિક છે;

બે મૂળ જટિલ છે, એક વાસ્તવિક છે.

તે અનુસરે છે કે કોઈપણ ઘન સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક મૂળ હોય છે.

ચોથા ડિગ્રી સમીકરણ માટે:

ચારેય મૂળ અલગ છે.

બે મૂળ વાસ્તવિક છે, બે જટિલ છે.

ચારેય મૂળ જટિલ છે.

આ કાર્ય વિએટાના પ્રમેયના સંપૂર્ણ અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે: તેની રચના, સાબિતી, તેમજ આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

કરવામાં આવેલ કાર્યનો હેતુ 11મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરવાનો છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, તેમજ યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે કે જેઓ સરળ અને પ્રત્યે ઉદાસીન નથી અસરકારક પદ્ધતિઓમાં ઉકેલો વિવિધ વિસ્તારોગણિત

આ કાર્ય માટેનું પરિશિષ્ટ સમસ્યાઓનો સંગ્રહ પ્રદાન કરે છે સ્વતંત્ર નિર્ણયઅને નવી સામગ્રીનું એકીકરણ જે હું સંશોધન કરી રહ્યો હતો.

આ મુદ્દાને અવગણી શકાય નહીં, કારણ કે તે ગણિત માટે મહત્વપૂર્ણ છે, સામાન્ય રીતે વિજ્ઞાન માટે અને વિદ્યાર્થીઓ અને આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં રસ ધરાવતા લોકો માટે.

કાર્યના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો:

થર્ડ-ડિગ્રી સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ મેળવો.

ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ સાબિત કરો.

ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ મેળવો.

ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ સાબિત કરો.

વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ પ્રશ્નોના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લો.

• ખાતરી કરો કે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ વ્યવહારુ છે.

ઊંડું કરો ગાણિતિક જ્ઞાનસમીકરણ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં.

ગણિતમાં રસ કેળવો.

સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

વિયેટ્ટેના થિયોરેમના મૂળના ગુણધર્મો પર...

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટ (1540-1603) - ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી. વ્યવસાયે વકીલ. 1591 માં તેણે રજૂઆત કરી પત્ર હોદ્દોમાત્ર અજાણ્યા જથ્થાઓ માટે જ નહીં, પણ સમીકરણોના ગુણાંક માટે પણ; આનો આભાર, સમીકરણોના ગુણધર્મો અને તેમના મૂળને વ્યક્ત કરવાનું પ્રથમ વખત શક્ય બન્યું સામાન્ય સૂત્રો. તેઓ 2જી, 3જી અને 4ઠ્ઠી ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સમાન પદ્ધતિ સ્થાપિત કરવા માટે જવાબદાર હતા. શોધોમાં, વિયેટે પોતે ખાસ કરીને સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની સ્થાપનાને ખૂબ મૂલ્યવાન ગણાવ્યું હતું. સાથેના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટે સંખ્યાત્મક ગુણાંકવિયેથે ન્યૂટનની પછીની પદ્ધતિ જેવી જ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. ત્રિકોણમિતિમાં, ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે આપ્યું સંપૂર્ણ ઉકેલત્રણ ડેટામાંથી સમતલ અથવા ગોળાકાર ત્રિકોણના તમામ ઘટકો નક્કી કરવામાં સમસ્યા, cos ના મહત્વપૂર્ણ વિસ્તરણ મળ્યાં nxઅને પાપ nx cos ની સત્તામાં એક્સઅને પાપ એક્સ.તેમણે પ્રથમ વખત અનંત કાર્યો ગણ્યા. વિયેતના કાર્યો લખાયા હતા મુશ્કેલ ભાષાઅને તેથી તેમના લાયક કરતાં તેમના સમયમાં ઓછું વિતરણ પ્રાપ્ત થયું .

ચતુર્ભુજ સમીકરણ

પ્રથમ, ચાલો બીજા-ડિગ્રી સમીકરણો માટે વિએટાના સૂત્રો યાદ કરીએ, જે આપણે પ્રોગ્રામમાં શીખ્યા. શાળા અભ્યાસક્રમતાલીમ

ટી
વિયેટાનું પ્રમેયચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે (8મું ધોરણ)

ઇ
જો અને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ હોય તો

એટલે કે ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો બીજા ગુણાંક જેટલો છે. વિરોધી ચિહ્ન, અને મૂળનું ઉત્પાદન બરાબર છે મફત સભ્ય.

પણ, પ્રમેય યાદ રાખો, વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું:

જો નંબરો - પીઅને qએવા છે કે

પછી અને સમીકરણના મૂળ છે

વિયેટાનું પ્રમેય એમાં નોંધપાત્ર છે, મૂળ જાણ્યા વિના ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, અમે સરળતાથી તેમના સરવાળા અને ઉત્પાદનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, સૌથી સરળ સપ્રમાણ અભિવ્યક્તિઓ.

વિએટાનું પ્રમેય તમને ચોરસ ત્રિનોમીના સંપૂર્ણ મૂળનું અનુમાન લગાવવા દે છે.

ઘન સમીકરણ

હવે ચાલો વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણની રચના અને ઉકેલ તરફ સીધા જ આગળ વધીએ.

ફોર્મ્યુલેશન

TO
સર્વવ્યાપક સમીકરણ એ ફોર્મનું ત્રીજા ક્રમનું સમીકરણ છે

જ્યાં a ≠ 0.

જો a = 1, પછી સમીકરણને ઘટાડેલ ઘન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે:

તેથી, આપણે સમીકરણ માટે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે

નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

n
મૂળ વધે છે આપેલ સમીકરણ, પછી

પુરાવો

ચાલો બહુપદીની કલ્પના કરીએ

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

તેથી, અમે તે મેળવીએ છીએ

બે બહુપદી સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન હોય.

આનો અર્થ એ છે કે

Q.E.D.

હવે પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો, ત્રીજા અંશના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું.

એફ
રચના

ઇ
જો સંખ્યાઓ એવી હોય

ચોથી ડિગ્રી સમીકરણ

હવે ચાલો ચોથા-ડિગ્રી સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચોથા-ડિગ્રી સમીકરણને સેટ કરવા અને ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.

ફોર્મ્યુલેશન

યુ
ચોથા ડિગ્રીનું સમીકરણ - ફોર્મનું સમીકરણ

જી
દ a ≠ 0.

ઇ
જો a = 1, પછી સમીકરણને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે

અને
તેથી, ચાલો તે સમીકરણ માટે સાબિત કરીએ

સાથે
નીચેનું પ્રમેય સાચું છે: આપેલ સમીકરણના મૂળ દો, પછી

પુરાવો

ચાલો બહુપદીની કલ્પના કરીએ

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

તેથી, અમે તે મેળવીએ છીએ

તે આપણે જાણીએ છીએ બે બહુપદી સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન હોય.

આનો અર્થ એ છે કે

Q.E.D.

પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો, ચોથા-અંતરના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું.

ફોર્મ્યુલેશન

જો સંખ્યાઓ એવી છે કે

પછી આ સંખ્યાઓ સમીકરણના મૂળ છે

વ્યવહારુ ભાગ

હવે ચાલો ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના ઉકેલો જોઈએ.

કાર્ય નંબર 1

જવાબ: 4, -4.

કાર્ય નંબર 2

જવાબ: 16, 24.

આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, અમે અનુક્રમે કાર્ડાનોના સૂત્રો અને ફેરારીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આ સમીકરણોના મૂળના સરવાળા અને ઉત્પાદનને જાણીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 3

ત્રીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ બનાવો જો તે જાણીતું હોય કે મૂળનો સરવાળો 6 છે, મૂળનો જોડી કરેલ ઉત્પાદન 3 છે, અને ઉત્પાદન -4 છે.

ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ, આપણને મળે છે

કાર્ય નંબર 4

ત્રીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે મૂળનો સરવાળો બરાબર છે 8 , મૂળની જોડી ઉત્પાદન સમાન છે 4 , ત્રણ ગણું ઉત્પાદન બરાબર છે 12 , અને ઉત્પાદન 20 .

ઉકેલ: વિયેટાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ, આપણને મળે છે

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેમના મૂળનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સમીકરણો બનાવીએ છીએ. આ સૌથી વધુ છે તર્કસંગત માર્ગઆ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

સમસ્યા #5

જ્યાં a, b, c હેરોનના સૂત્રો છે.

ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ, આપણને મળે છે

ઝેડ
નોંધ કરો કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ છે ઘન અભિવ્યક્તિ. ચાલો આપણે અનુરૂપ ઘન સમીકરણ માટે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણી પાસે તે છે

ઝેડ

એ જાણીને કે અમને મળે છે:

આ સમસ્યાના ઉકેલ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વિયેટાનું પ્રમેય માંથી સમસ્યાઓ પર લાગુ થાય છે વિવિધ વિસ્તારોગણિત

નિષ્કર્ષ

આ પેપરમાં, વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિની તપાસ કરવામાં આવી હતી. કાર્યમાં મેળવેલા સૂત્રો વાપરવા માટે સરળ છે. અભ્યાસ દરમિયાન, તે સ્પષ્ટ થયું કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં આ પદ્ધતિ અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે Cordano ફોર્મ્યુલા અને ફેરારી પદ્ધતિ કરતાં વધુ અસરકારક છે.

વિયેટાનો પ્રમેય વ્યવહારમાં લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો. સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી હતી જેણે નવી સામગ્રીને વધુ સારી રીતે એકીકૃત કરવામાં મદદ કરી.

આ અભ્યાસ મારા માટે ખૂબ જ રસપ્રદ અને શૈક્ષણિક હતો. ગણિતમાં મારું જ્ઞાન વધુ ઊંડું કરીને, મેં ઘણી બધી રસપ્રદ વસ્તુઓ શોધી કાઢી અને આ સંશોધનનો આનંદ માણ્યો.

પરંતુ સમીકરણો ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં મારું સંશોધન પૂરું થયું નથી. ભવિષ્યમાં, હું વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને nth ડિગ્રી સમીકરણના ઉકેલનો અભ્યાસ કરવાની યોજના ઘડી રહ્યો છું.

હું મારા પ્રત્યે ઊંડો આભાર વ્યક્ત કરવા માંગુ છું વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝર, ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર અને આવી શક્યતા અસામાન્ય સંશોધનઅને કામ પર સતત ધ્યાન આપો.

સંદર્ભો

વિનોગ્રાડોવ આઇ.એમ. ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. એમ., 1977.

વી.બી. લિડસ્કી, એલ.વી. ઓવ્સ્યાનીકોવ, એ.એન. તુલાઈકોવ, એમ.આઈ. શાબુનીન. માટે કાર્યો પ્રાથમિક ગણિત, ફિઝમેટલીટ, 1980.

ફ્રાન્કોઈસ વિયેટનો જન્મ 1540 માં ફ્રાન્સમાં ફોન્ટેને-લે-કોમ્ટેમાં થયો હતો. તાલીમ દ્વારા વકીલ. તેઓ વકીલાતમાં વ્યાપકપણે સંકળાયેલા હતા અને 1571 થી 1584 સુધી તેઓ કિંગ્સ જ્યોર્જ III અને જ્યોર્જ IV ના સલાહકાર હતા. પણ બધું તમારું છે મફત સમય, તેમણે તેમનો તમામ નવરાશનો સમય ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્ર માટે સમર્પિત કર્યો. તેમણે 1584માં ગણિતના ક્ષેત્રમાં ખાસ કરીને સઘન કામ કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. શાહી દરબાર. વિયેટે પ્રાચીન અને સમકાલીન ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો.

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે અનિવાર્યપણે એક નવું બીજગણિત બનાવ્યું. તેણે તેમાં આલ્ફાબેટીક સિમ્બોલિઝમ દાખલ કર્યું. તેમના મુખ્ય વિચારો કૃતિ "વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. તેમણે લખ્યું: "બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે તેમના બીજગણિત અને અલ્મુકાબાલા હેઠળ અજોડ ખજાના છુપાયેલા છે, પરંતુ તેઓ જાણતા ન હતા કે તેમને કેવી રીતે શોધવું: તેઓ જે સમસ્યાઓને સૌથી મુશ્કેલ માનતા હતા તે અમારી કલાની મદદથી સંપૂર્ણપણે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે."

ખરેખર, આપણે બધા જાણીએ છીએ કે તેને ઉકેલવું કેટલું સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો. તેમને ઉકેલવા માટે તૈયાર ફોર્મ્યુલા છે. એફ. વિયેટા પહેલાં, દરેક ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ તેના પોતાના નિયમો અનુસાર ખૂબ લાંબી મૌખિક દલીલો અને વર્ણનોના રૂપમાં હાથ ધરવામાં આવતો હતો, તેના બદલે બોજારૂપ ક્રિયાઓ. સમીકરણ પોતે પણ આધુનિક સ્વરૂપતે લખી શક્યા નથી. આ પણ એક જગ્યાએ લાંબા અને જટિલ જરૂરી છે મૌખિક વર્ણન. સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકોમાં નિપુણતા મેળવવામાં વર્ષો લાગ્યાં. સામાન્ય નિયમો, આધુનિક જેવા જ, અને તેથી પણ વધુ સમીકરણો ઉકેલવા માટે કોઈ સૂત્રો નહોતા. સતત મતભેદપત્રો દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યા ન હતા. માત્ર ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.

વિયેટે બીજગણિતમાં અક્ષર પ્રતીકો રજૂ કર્યા. વિએટાની નવીનતા પછી, સૂત્રોના રૂપમાં નિયમો લખવાનું શક્ય બન્યું. સાચું, વિયેટ હજુ પણ શબ્દોમાં ઘાતાંક દર્શાવે છે, અને આનાથી કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કેટલીક મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ. વિએટાના સમયે, સંખ્યાઓનો પુરવઠો હજુ પણ મર્યાદિત હતો. ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે તેમના કાર્યોમાં પ્રથમથી ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતને ખૂબ જ વિગતવાર દર્શાવ્યો છે.

વિયેટાની મહાન યોગ્યતા એ મનસ્વીના ઘટેલા સ્વરૂપના સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની શોધ હતી. કુદરતી ડિગ્રી. ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે આપણે વિયેટાના પ્રખ્યાત પ્રમેયથી સારી રીતે વાકેફ છીએ: “ઘટાડેલા સ્વરૂપના ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને આ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન છે. મુક્ત મુદતની સમાન." આ પ્રમેય તમને મૌખિક રીતે ઉકેલની શુદ્ધતા તપાસવાની મંજૂરી આપે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણો, અને સરળ કિસ્સાઓમાં સમીકરણોના મૂળ શોધો.

એ પણ નોંધ કરો કે વિયેટે યુરોપમાં π નંબરનું પ્રથમ વિશ્લેષણાત્મક (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને) રજૂઆત કરી હતી.

1603 માં 63 વર્ષની વયે વિયેતનું અવસાન થયું.

વિયેટાનું પ્રમેય.

ચોરસ ત્રિકોણીય x2 + px + q ના મૂળનો સરવાળો તેના વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથેના બીજા ગુણાંક p જેટલો છે, અને ગુણાંક મુક્ત પદ q ની બરાબર છે.

પુરાવો.

x1 અને x2 ને ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q ના જુદા જુદા મૂળ હોવા દો. વિયેટાનું પ્રમેય જણાવે છે કે નીચેના સંબંધો ધરાવે છે: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો દરેક મૂળને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ. આપણને બે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

ચાલો આ સમાનતાઓને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ. આપણને x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 મળે છે

ચાલો ચોરસના તફાવતને વિસ્તૃત કરીએ અને તે જ સમયે બીજા પદને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

કારણ કે શરત દ્વારા મૂળ x1 અને x2 અલગ છે, પછી x1 – x2 ≠ 0 અને આપણે સમાનતાને x1 – x2 વડે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ. આપણે પ્રમેયની પ્રથમ સમાનતા મેળવીએ છીએ: x1 + x2 = –p

બીજાને સાબિત કરવા માટે, ચાલો ઉપર લખેલ સમાનતાઓમાંથી એકમાં બદલીએ (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ) ગુણાંક p ને બદલે, એક સમાન સંખ્યા – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

ટ્રાન્સફોર્મિંગ ડાબી બાજુ, આપણને મળે છે: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

અનિયંત્રિત ચતુર્ભુજ સમીકરણના કિસ્સામાં ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

પ્રમેય, પ્રમેયની વાતચીતવિએટા.

જો સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = સંતુષ્ટ હોય, તો સંખ્યાઓ x1 અને x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 ના મૂળ છે.

પુરાવો.

સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = તે અનુસરે છે કે x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

પરંતુ x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) અને તેથી x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

તે અનુસરે છે કે x1 અને x2 એ x2 + x + = 0 સમીકરણના મૂળ છે અને તેથી સમીકરણો ax2 + bx + c = 0 છે.

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ.

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટે 8મા ધોરણમાં થાય છે. તમે આ પ્રમેયના ઉપયોગના અવકાશને વિસ્તૃત કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રેડ 9-11 માં સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમના મૂળના અભ્યાસને લગતી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે. આ સમય ઘટાડે છે અને સિસ્ટમને હલ કરવાનું સરળ બનાવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

જો આપણે ધારીએ કે અમુક ચતુર્ભુજ સમીકરણના x અને y મૂળ, જેના મૂળનો સરવાળો 5 બરાબર છે, અને તેમનું ઉત્પાદન 6 બરાબર છે, તો આપણને બે પ્રણાલીઓનો સમૂહ મળે છે.

જવાબ: (2;3), (3;2).

વિદ્યાર્થીઓ ઝડપથી ઉકેલવાની આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવે છે અને તેનો આનંદ સાથે ઉપયોગ કરે છે. આગળ, તમે સિસ્ટમને જટિલ બનાવી શકો છો અને અભ્યાસ કરતી વખતે આ તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકો છો વિવિધ વિષયો 10-11મા ધોરણમાં.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

x > 0 y > 0 શરત હેઠળ આપણને મળે છે

ચાલો અને કેટલાક ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ બનીએ, તો આ સિસ્ટમબે સિસ્ટમોના સંયોજનને સમકક્ષ છે

વસ્તીની બીજી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી; પ્રથમનો ઉકેલ એ જોડી x=9,y=4 છે.

જવાબ: (9;4).

નીચે સમીકરણોની પ્રણાલીઓ છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

જવાબ: (65;3), (5;63).

જવાબ: (23;11), (7;27).

જવાબ: (4;729), (81;4096).

જવાબ: (2;2).

5. x + y = 12 જવાબ: (8;4), (4;8).

જવાબ: (9;4), (4;9).

સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમો શિક્ષક પોતે સંકલિત કરી શકે છે અથવા વિદ્યાર્થીઓ આમાં સામેલ થઈ શકે છે, જે વિષયમાં રસના વિકાસમાં ફાળો આપે છે.

મૌખિક ઉકેલ કાર્યો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલ્યા વિના, તેમના મૂળ શોધો.

1. x2 - 6x + 8 = 0 જવાબ: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 જવાબ: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 જવાબ: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 જવાબ: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 જવાબ: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 જવાબ: -2.5;-1.

ચાલો આપણે એવી સમસ્યાઓનો વિચાર કરીએ જેમાં વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.

9x²+18x-8=0 સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના, x1³+x2³ શોધો, જ્યાં x1,x2 તેના મૂળ છે.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધુ, D>0, જેનો અર્થ છે x1, x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ, તે નીચે મુજબ છે: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) એક્સપ્રેશન x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

ચાલો આપણે જાણીએ છીએ તે મૂલ્યોને પરિણામી સૂત્રમાં બદલીએ અને જવાબ મેળવીએ:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 સમીકરણમાં k ની કેટલી કિંમત છે.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), અમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવી અને x2 ને બદલે 2x1 લીધું.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

ચાલો પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરીએ:

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ અને k શોધીએ:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

જવાબ: k1=-1 અને k2=2 સાથે.

x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²+13x-17=0નું મૂળ છે. એક સમીકરણ બનાવો જેના મૂળ 2-x1 અને 2-x2 નંબરો હશે.

સમીકરણ x²+13x-17=0 ધ્યાનમાં લો.

1) ભેદભાવ D>0, જેનો અર્થ છે x1; x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) આ સિસ્ટમમાં 2-x2 અને 2-x2 નંબરો બદલો.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

તેથી, વિયેટાના પ્રમેયને લાગુ કરતાં, ઇચ્છિત સમીકરણ x²-17x+13=0 છે.

જવાબ: x²-17x+13=0.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 આપેલ છે, જો x2>x1,x1>0,x2 હોય તો b અને cના ચિહ્નો શું છે?

x2 x1 થી, તે b>0,c ને અનુસરે છે

જવાબ: b>0,с

6) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0,x2>0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.

વિએટાના પ્રમેય દ્વારા: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0, અને x2>x1 થી, તે b 0 ને અનુસરે છે.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો.

1) સમીકરણ 2x²-3x-11=0 હલ કર્યા વિના, + શોધો, જ્યાં x1;x2 તેના મૂળ છે.

2) અભિવ્યક્તિ + ની કિંમત શોધો, જ્યાં x1;x2 ત્રિકોણીય x²-18x+11=0 ના મૂળ છે.

3) x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²-7x-46=0 ના મૂળ છે.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે

2x1 +x2 અને 2x2 +x1.

જવાબ: 9x2-21x-481=0

4) k નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય સમીકરણના મૂળમાંથી એક છે

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 સેકન્ડ કરતાં ત્રણ ગણો ઓછો?

જવાબ: k=2.

5) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.

"અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા" - હલ કરવાની કુશળતા. કોસ્ટ્રોમા. યારોસ્લાવલ. લેડીઝેન્સ્કાયા ઓલ્ગા એલેક્ઝાન્ડ્રોવના. સ્ટેકલોવ વ્લાદિમીર એન્ડ્રીવિચ. ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. સમાનતા. મૌખિક કાર્ય. કાઝાન. ચળવળનો પદાર્થ. ક્રિપ્ટોગ્રાફિક ટેબલ. નિઝની નોવગોરોડ. લ્યાપુનોવ એલેક્ઝાન્ડર મિખાયલોવિચ. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. ઝડપ. બસ. ચળવળ કાર્યો.

“ગણિત “ચતુર્ભુજ સમીકરણો”” - f) a ના કેટલા મૂલ્ય પર સમીકરણ એક મૂળ ધરાવે છે? ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. ચતુર્ભુજ સમીકરણ મૌખિક રીતે ઉકેલો. અક્ષર ગુણાંક સાથે સમીકરણ ઉકેલો. તમારા મનને બને તેટલો ખોરાક આપવાનો પ્રયાસ કરો. ધ્યેય: ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવાની તર્કસંગત રીત જોવાનું શીખો. એમ.વી. લોમોનોસોવ. કસરતો કરવી.

“François Viète and his theorem” - બે બહુપદીઓ સમાનરૂપે સમાન છે. ગાણિતિક શિક્ષણ. ગાણિતિક શોધો. વિયેટાના સૂત્રો. ફ્રાન્કોઇસ વિયેત. શિક્ષકો. માંથી શોધી કાઢો વિવિધ સ્ત્રોતોફ્રાન્કોઇસ વિયેટ કોણ છે? ભેદભાવ કરનાર. વિએટાના પ્રમેયને કોઈપણ ડિગ્રીના બહુપદીમાં સામાન્ય કરી શકાય છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો માટે Viethe દ્વારા મેળવેલા સૂત્રો.

"ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવું" - સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો. સમીકરણ ગુણાંકના ગુણધર્મો. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવી. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ શોધો. ભેદભાવ કરનારને શોધવો. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

"વર્ગમૂળ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા" - પરિશિષ્ટ. રેખાંકન. "થ્રો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવું. ગ્રાફિક સોલ્યુશનચતુર્ભુજ સમીકરણો. ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ. ફેક્ટરાઇઝેશન. પસંદગી પદ્ધતિ સંપૂર્ણ ચોરસ. સમીકરણ. ગુણાંક. ગુણાંકનો સરવાળો. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. મફત સભ્ય.

"અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા" - સમસ્યાનું નિરાકરણ. તથ્યોનો સંચય. આ સમીકરણોને 4 જૂથોમાં વહેંચો. પીઅર સમીક્ષા. પ્રાથમિક સમજણ અને અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનો ઉપયોગ. પાઠ વિષય. તે દિવસ અથવા કલાકને કમનસીબ ગણો જેમાં તમે કંઈપણ શીખ્યા નથી. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. પ્રશ્ન. શીખવાનું કાર્ય સેટ કરી રહ્યું છે.

વિષયમાં કુલ 34 પ્રસ્તુતિઓ છે