પ્રમેય વિયેટાના પ્રમેયથી વિપરીત. પૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો

ફ્રાન્કોઈસ વિયેટનો જન્મ 1540 માં ફ્રાન્સમાં ફોન્ટેને-લે-કોમ્ટેમાં થયો હતો. તાલીમ દ્વારા વકીલ. તેઓ વકીલાતમાં વ્યાપકપણે સંકળાયેલા હતા અને 1571 થી 1584 સુધી તેઓ કિંગ્સ જ્યોર્જ III અને જ્યોર્જ IV ના સલાહકાર હતા. પણ બધું તમારું છે મફત સમય, તેમણે તેમનો તમામ નવરાશનો સમય ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્ર માટે સમર્પિત કર્યો. તેમણે 1584માં ગણિતના ક્ષેત્રમાં ખાસ કરીને સઘન કામ કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. શાહી દરબાર. વિયેટે પ્રાચીન અને સમકાલીન ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો.

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે અનિવાર્યપણે એક નવું બીજગણિત બનાવ્યું. તેણે તેમાં આલ્ફાબેટીક સિમ્બોલિઝમ દાખલ કર્યું. તેમના મુખ્ય વિચારો કૃતિ "વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. તેમણે લખ્યું: "બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે તેમના બીજગણિત અને અલ્મુકાબાલા હેઠળ અજોડ ખજાના છુપાયેલા છે, પરંતુ તેઓ જાણતા ન હતા કે તેમને કેવી રીતે શોધવું: તેઓ જે સમસ્યાઓને સૌથી મુશ્કેલ માનતા હતા તે અમારી કલાની મદદથી સંપૂર્ણપણે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે."

ખરેખર, આપણે બધા જાણીએ છીએ કે તેને ઉકેલવું કેટલું સરળ છે દા.ત. ચતુર્ભુજ સમીકરણો. તેમને ઉકેલવા માટે તૈયાર ફોર્મ્યુલા છે. એફ. વિયેટા પહેલાં, દરેક ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ તેના પોતાના નિયમો અનુસાર ખૂબ લાંબી મૌખિક દલીલો અને વર્ણનોના રૂપમાં હાથ ધરવામાં આવતો હતો, તેના બદલે બોજારૂપ ક્રિયાઓ. સમીકરણ પોતે પણ આધુનિક સ્વરૂપતે લખી શક્યા નથી. આ પણ એક જગ્યાએ લાંબા અને જટિલ જરૂરી છે મૌખિક વર્ણન. સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકોમાં નિપુણતા મેળવવામાં વર્ષો લાગ્યાં. સામાન્ય નિયમો, આધુનિક જેવા જ, અને તેથી પણ વધુ સમીકરણો ઉકેલવા માટે કોઈ સૂત્રો નહોતા. સતત મતભેદપત્રો દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યા ન હતા. અમે માત્ર ચોક્કસ સાથે અભિવ્યક્તિઓ ધ્યાનમાં લીધી સંખ્યાત્મક ગુણાંક.

વિયેટે બીજગણિતમાં અક્ષર પ્રતીકો રજૂ કર્યા. વિએટાની નવીનતા પછી, સૂત્રોના રૂપમાં નિયમો લખવાનું શક્ય બન્યું. સાચું, વિયેટ હજુ પણ શબ્દોમાં ઘાતાંક દર્શાવે છે, અને આનાથી કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કેટલીક મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ. વિએટાના સમયે, સંખ્યાઓનો પુરવઠો હજુ પણ મર્યાદિત હતો. ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે તેમના કાર્યોમાં પ્રથમથી ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતને ખૂબ જ વિગતવાર દર્શાવ્યો છે.

વિયેટાની મહાન યોગ્યતા એ મનસ્વીના ઘટેલા સ્વરૂપના સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની શોધ હતી. કુદરતી ડિગ્રી. ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે અમે વિએટાના પ્રખ્યાત પ્રમેયથી સારી રીતે વાકેફ છીએ: “ઘટાડેલા સ્વરૂપના ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો બીજા ગુણાંક જેટલો છે. વિરોધી ચિહ્ન, અને આ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત શબ્દ સમાન છે." આ પ્રમેય તમને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની શુદ્ધતા મૌખિક રીતે તપાસવા દે છે, અને સરળ કિસ્સાઓમાં, સમીકરણોના મૂળ શોધો.

એ પણ નોંધ કરો કે વિયેટે યુરોપમાં π નંબરનું પ્રથમ વિશ્લેષણાત્મક (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને) રજૂઆત કરી હતી.

1603 માં 63 વર્ષની વયે વિયેતનું અવસાન થયું.

વિયેટાનું પ્રમેય.

મૂળનો સરવાળો ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q એ વિરોધી ચિહ્ન સાથેના તેના બીજા ગુણાંક p ની બરાબર છે, અને ઉત્પાદન મુક્ત શબ્દ q ની બરાબર છે.

પુરાવો.

x1 અને x2 ને ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q ના જુદા જુદા મૂળ હોવા દો. વિયેટાનું પ્રમેય જણાવે છે કે નીચેના સંબંધો ધરાવે છે: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો દરેક મૂળને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ. આપણને બે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

ચાલો આ સમાનતાઓને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ. આપણને x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 મળે છે

ચાલો ચોરસના તફાવતને વિસ્તૃત કરીએ અને તે જ સમયે બીજા પદને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

કારણ કે શરત દ્વારા મૂળ x1 અને x2 અલગ છે, પછી x1 – x2 ≠ 0 અને આપણે સમાનતાને x1 – x2 વડે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ. આપણે પ્રમેયની પ્રથમ સમાનતા મેળવીએ છીએ: x1 + x2 = –p

બીજાને સાબિત કરવા માટે, ચાલો ઉપર લખેલ સમાનતાઓમાંથી એકમાં બદલીએ (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ) ગુણાંક p ને બદલે, એક સમાન સંખ્યા – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

ટ્રાન્સફોર્મિંગ ડાબી બાજુ, આપણને મળે છે: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

અનિયંત્રિત ચતુર્ભુજ સમીકરણના કિસ્સામાં ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

પ્રમેય, પ્રમેયની વાતચીતવિએટા.

જો સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = સંતુષ્ટ હોય, તો સંખ્યાઓ x1 અને x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 ના મૂળ છે.

પુરાવો.

સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = તે અનુસરે છે કે x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

પરંતુ x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) અને તેથી x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

તે અનુસરે છે કે x1 અને x2 એ x2 + x + = 0 સમીકરણના મૂળ છે અને તેથી સમીકરણો ax2 + bx + c = 0 છે.

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ.

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટે 8મા ધોરણમાં થાય છે. તમે આ પ્રમેયના ઉપયોગના અવકાશને વિસ્તૃત કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રેડ 9-11 માં સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમના મૂળના અભ્યાસને લગતી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે. આ સમય ઘટાડે છે અને સિસ્ટમને હલ કરવાનું સરળ બનાવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

જો આપણે ધારીએ કે અમુક ચતુર્ભુજ સમીકરણના x અને y મૂળ, જેના મૂળનો સરવાળો 5 બરાબર છે, અને તેમનું ઉત્પાદન 6 બરાબર છે, તો આપણને બે પ્રણાલીઓનો સમૂહ મળે છે.

જવાબ: (2;3), (3;2).

વિદ્યાર્થીઓ ઝડપથી ઉકેલવાની આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવે છે અને તેનો આનંદ સાથે ઉપયોગ કરે છે. આગળ, તમે સિસ્ટમને જટિલ બનાવી શકો છો અને અભ્યાસ કરતી વખતે આ તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકો છો વિવિધ વિષયો 10-11મા ધોરણમાં.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

x > 0 y > 0 શરત હેઠળ આપણને મળે છે

ચાલો અને કેટલાક ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ બનીએ, તો આ સિસ્ટમબે સિસ્ટમોના સંયોજનને સમકક્ષ છે

વસ્તીની બીજી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી; પ્રથમનો ઉકેલ એ જોડી x=9,y=4 છે.

જવાબ: (9;4).

નીચે સમીકરણોની પ્રણાલીઓ છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

જવાબ: (65;3), (5;63).

જવાબ: (23;11), (7;27).

જવાબ: (4;729), (81;4096).

જવાબ: (2;2).

5. x + y = 12 જવાબ: (8;4), (4;8).

જવાબ: (9;4), (4;9).

સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમો શિક્ષક પોતે સંકલિત કરી શકે છે અથવા વિદ્યાર્થીઓ આમાં સામેલ થઈ શકે છે, જે વિષયમાં રસના વિકાસમાં ફાળો આપે છે.

મૌખિક ઉકેલ કાર્યો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલ્યા વિના, તેમના મૂળ શોધો.

1. x2 - 6x + 8 = 0 જવાબ: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 જવાબ: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 જવાબ: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 જવાબ: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 જવાબ: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 જવાબ: -2.5;-1.

ચાલો આપણે એવી સમસ્યાઓનો વિચાર કરીએ જેમાં વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.

9x²+18x-8=0 સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના, x1³+x2³ શોધો, જ્યાં x1,x2 તેના મૂળ છે.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધુ, D>0, જેનો અર્થ છે x1, x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ, તે નીચે મુજબ છે: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) એક્સપ્રેશન x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

ચાલો આપણે જાણીએ છીએ તે મૂલ્યોને પરિણામી સૂત્રમાં બદલીએ અને જવાબ મેળવીએ:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 સમીકરણમાં k ની કેટલી કિંમત છે.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), અમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવી અને x2 ને બદલે 2x1 લીધું.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

ચાલો પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરીએ:

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ અને k શોધીએ:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

જવાબ: k1=-1 અને k2=2 સાથે.

x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²+13x-17=0નું મૂળ છે. એક સમીકરણ બનાવો જેના મૂળ 2-x1 અને 2-x2 નંબરો હશે.

સમીકરણ x²+13x-17=0 ધ્યાનમાં લો.

1) ભેદભાવ D>0, જેનો અર્થ છે x1; x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) આ સિસ્ટમમાં 2-x2 અને 2-x2 નંબરો બદલો.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

તેથી, વિયેટાના પ્રમેયને લાગુ કરતાં, ઇચ્છિત સમીકરણ x²-17x+13=0 છે.

જવાબ: x²-17x+13=0.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 આપેલ છે, જો x2>x1,x1>0,x2 હોય તો b અને cના ચિહ્નો શું છે?

x2 x1 થી, તે b>0,c ને અનુસરે છે

જવાબ: b>0,с

6) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0,x2>0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.

વિએટાના પ્રમેય દ્વારા: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0, અને x2>x1 થી, તે b 0 ને અનુસરે છે.

માટે કાર્યો સ્વતંત્ર નિર્ણય.

1) સમીકરણ 2x²-3x-11=0 હલ કર્યા વિના, + શોધો, જ્યાં x1;x2 તેના મૂળ છે.

2) અભિવ્યક્તિ + ની કિંમત શોધો, જ્યાં x1;x2 ત્રિકોણીય x²-18x+11=0 ના મૂળ છે.

3) x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²-7x-46=0 ના મૂળ છે.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે

2x1 +x2 અને 2x2 +x1.

જવાબ: 9x2-21x-481=0

4) k નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય સમીકરણના મૂળમાંથી એક છે

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 સેકન્ડ કરતાં ત્રણ ગણો ઓછો?

જવાબ: k=2.

5) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.

વિયેટાનું પ્રમેય

સર્જનાત્મક કાર્યવિદ્યાર્થી 8 મી ગ્રેડ

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "નોવોકીવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

લુકાનિના કિરીલ

વડા: ક્રિઝાનોવસ્કાયા વી.આઈ.

I પરિચય. ઐતિહાસિક માહિતી.

II મુખ્ય ભાગ

1. 
   F. Vieta ના જીવનચરિત્રમાંથી પૃષ્ઠો
2. 
   વૈજ્ઞાનિક પ્રવૃત્તિઓ:

બી) વાતચીત પ્રમેય

1. 
   સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો
2. 
   વ્યવહારુ કામ
3. 
   કેટલાક ખાસ કેસોસમીકરણો ઉકેલવા

III નિષ્કર્ષ. શ્લોકમાં વિએટાનું પ્રમેય

IV સંદર્ભોનો ઉપયોગ
કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ સૌપ્રથમ પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક ફ્રાન્કોઈસ વિયેટે દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો.

François Viète વ્યવસાયે વકીલ હતા અને રાજાના સલાહકાર તરીકે ઘણા વર્ષો સુધી કામ કરતા હતા. અને તેમ છતાં ગણિત માત્ર તેમનો શોખ હતો, સખત મહેનતને કારણે, તેણે તેમાં ઉત્તમ પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા.

1951માં તેમણે રજૂઆત કરી હતી પત્ર હોદ્દોસમીકરણોમાં અજ્ઞાતના ગુણાંક, તેમજ તેના ગુણધર્મો માટે.

વિયેટાએ ઘણી શોધો કરી હતી; તેમણે પોતે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની સ્થાપનાને સૌથી વધુ મૂલ્યવાન ગણાવ્યું હતું, જેને વિએટાનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

ફોર્મની શરૂઆત

ફોર્મનો અંત

વિયેટાના જીવનકાળ દરમિયાન આ પ્રતિભાશાળી અને ફલપ્રદ વૈજ્ઞાનિકના કાર્યોનો માત્ર એક ભાગ પ્રકાશિત થયો હતો. તેમનો મુખ્ય નિબંધ: " વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય"()), જેને તેમણે એક વ્યાપક ગ્રંથની શરૂઆત તરીકે ગણી હતી, પરંતુ ચાલુ રાખવાનો સમય નહોતો. એવા કેટલાક સંકેતો છે કે વૈજ્ઞાનિકનું મૃત્યુ હિંસક મૃત્યુ થયું હતું.

ભારે અને બોજારૂપ પ્રેઝન્ટેશન દ્વારા વિયેટાના કાર્યોની સીધી એપ્લિકેશન ખૂબ જ મુશ્કેલ બનાવવામાં આવી હતી. આ કારણે, તેઓ હજુ સુધી સંપૂર્ણ પ્રકાશિત થયા નથી. વધુ કે ઓછા સંપૂર્ણ બેઠકવિર્થની કૃતિઓ 1646 માં ડચ ગણિતશાસ્ત્રી વાન સ્કૂટેન દ્વારા લીડેનમાં "મેથેમેટિકલ વર્ક્સ ઓફ વિએટા" શીર્ષક હેઠળ પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. જી.જી. ઝીટેને નોંધ્યું હતું કે વિયેટાની કૃતિઓનું વાંચન કંઈક અંશે શુદ્ધ સ્વરૂપ દ્વારા મુશ્કેલ બને છે, જેમાં તેની મહાન વિદ્વતા સર્વત્ર ચમકે છે, અને મોટી સંખ્યામાંતેના દ્વારા શોધાયેલ અને તે જરાય રુટ ન લે ગ્રીક શબ્દો. તેથી, તેમનો પ્રભાવ, ત્યારપછીના તમામ ગણિતના સંબંધમાં ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે, પ્રમાણમાં ધીમે ધીમે ફેલાયો છે.

ગાણિતિક સિદ્ધિઓ
તેમણે ગણિત પર ખૂબ જ પેપર લખ્યા મુશ્કેલ ભાષા, તેથી તેઓને વિતરણ મળ્યું નથી. લીડેનમાં ગણિતના પ્રોફેસર એફ. શૂટેન દ્વારા તેમના મૃત્યુ પછી વિએથની કૃતિઓ એકત્રિત કરવામાં આવી હતી. વિયેટાના કાર્યોમાં, બીજગણિત બને છે સામાન્ય વિજ્ઞાનસાંકેતિક સંકેત પર આધારિત બીજગણિતીય સમીકરણો વિશે. વિયેટ એ સૌપ્રથમ હતું કે જેણે માત્ર અજ્ઞાત જ નહીં, પણ આપેલ જથ્થાઓ, એટલે કે, અનુરૂપ સમીકરણોના ગુણાંક સાથે અક્ષરો સૂચવ્યા. આનો આભાર, સમીકરણોના ગુણધર્મો અને તેમના મૂળને વ્યક્ત કરવાનું પ્રથમ વખત શક્ય બન્યું સામાન્ય સૂત્રો, અને પોતાને બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓઑબ્જેક્ટ્સમાં ફેરવાય છે જેના પર ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. વિયેટે 2જી, 3જી અને 4ઠ્ઠી ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સમાન પદ્ધતિ વિકસાવી અને નવી પદ્ધતિઉકેલો ઘન સમીકરણ, આપ્યો ત્રિકોણમિતિ ઉકેલઇરિડ્યુસિબલ કેસમાં 3જી ડિગ્રીના સમીકરણો, વિવિધ પ્રસ્તાવિત તર્કસંગત પરિવર્તનોમૂળ, સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક (વિએટા સૂત્રો) વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથેના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટે, વિયેથે આઇ. ન્યૂટને પાછળથી વિકસાવેલી પદ્ધતિ જેવી જ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. ત્રિકોણમિતિમાં વિએટાની સિદ્ધિઓ - સંપૂર્ણ ઉકેલઆપેલ ત્રણ તત્વોમાંથી સમતલ અથવા ગોળાકાર ત્રિકોણના તમામ ઘટકોને નિર્ધારિત કરવાની સમસ્યાઓ, cos x અને sinx ની શક્તિઓમાં sinпх અને cosпх નું મહત્વપૂર્ણ વિસ્તરણ. બહુવિધ ચાપના સાઈન અને કોસાઈન્સના સૂત્રના જ્ઞાને વિયેટને ગણિતશાસ્ત્રી એ. રૂમેન દ્વારા પ્રસ્તાવિત 45મા ડિગ્રીના સમીકરણને હલ કરવામાં સક્ષમ બનાવ્યું; વિયેટે બતાવ્યું કે આ સમીકરણનો ઉકેલ ઘટાડીને કોણને 45 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવામાં આવે છે અને ત્યાં 23 છે. હકારાત્મક મૂળઆ સમીકરણ. વિયેથે એપોલોનિયસની સમસ્યાને શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી.

વૈજ્ઞાનિક પ્રવૃત્તિઓ

બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે તેમના બીજગણિત હેઠળ... અનુપમ ખજાના છુપાયેલા છે, પરંતુ તેઓ જાણતા ન હતા કે તેમને કેવી રીતે શોધવું; તેઓ જે કાર્યોને સૌથી મુશ્કેલ માનતા હતા તે અમારી કલાની મદદથી ડઝનેક દ્વારા સંપૂર્ણપણે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે, જે તેથી સૌથી વધુ રજૂ કરે છે સાચો રસ્તોગાણિતિક સંશોધન માટે.

વિયેટ સમગ્ર પ્રસ્તુતિને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: સામાન્ય કાયદાઅને તેમના નક્કર સંખ્યાત્મક અમલીકરણો. એટલે કે, તે પહેલા સમસ્યાઓ હલ કરે છે સામાન્ય દૃશ્ય, અને માત્ર પછી દોરી જાય છે સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો. સામાન્ય ભાગમાં, તે પત્રો દ્વારા સૂચિત કરે છે માત્ર અજાણ્યાઓ કે જે પહેલાથી આવી ચૂક્યા છે, પણ અન્ય તમામ પરિમાણો, જેના માટે તેમણે શબ્દ પ્રયોજ્યો " મતભેદ"(શાબ્દિક રીતે: પ્રોત્સાહન). વિયેથે આ માટે માત્ર મોટા અક્ષરોનો ઉપયોગ કર્યો - અજ્ઞાત લોકો માટે સ્વરો, ગુણાંક માટે વ્યંજન.

વિયેટ મુક્તપણે વિવિધ બીજગણિત પરિવર્તનો લાગુ કરે છે - ઉદાહરણ તરીકે, ચલો બદલવું અથવા સમીકરણના બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરતી વખતે અભિવ્યક્તિની નિશાની બદલવી. તે પછી ધ્યાનમાં લેતા, આ નોંધવું યોગ્ય છે શંકાસ્પદ વલણથી નકારાત્મક સંખ્યાઓ. વિયેતના ઘાતાંક હજુ પણ મૌખિક રીતે લખવામાં આવે છે.

વિયેતની અન્ય સિદ્ધિઓ:

• 
  પ્રખ્યાત " વિએટાના સૂત્રો» મતભેદ માટે બહુપદીતે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે મૂળ;
• 
  નવું ત્રિકોણમિતિ પદ્ધતિઅફરના ઉકેલો ઘન સમીકરણ, એંગલ ટ્રાઇસેક્શન માટે પણ લાગુ પડે છે;
• 
  અનંત ઉત્પાદનનું પ્રથમ ઉદાહરણ:

• 
  પ્રથમ ચાર ડિગ્રીના સમીકરણોના સિદ્ધાંતની સંપૂર્ણ વિશ્લેષણાત્મક રજૂઆત;
• 
  એપ્લિકેશન વિચાર અતીન્દ્રિય કાર્યોનિર્ણય માટે બીજગણિતીય સમીકરણો;
• 
  મૂળ પદ્ધતિઆંકડાકીય ગુણાંક સાથે બીજગણિતીય સમીકરણોનો અંદાજિત ઉકેલ.

વિએટા સૂત્રો

ફોર્મ્યુલેશન

(દરેક રુટ તેના ગુણાકારને અનુરૂપ વખતની સંખ્યા લેવામાં આવે છે), પછી ગુણાંક ફોર્મમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે સપ્રમાણ બહુપદીમૂળમાંથી, એટલે કે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો (−1) k a kમાંથી તમામ સંભવિત ઉત્પાદનોના સરવાળાની બરાબર છે kમૂળ

જો બહુપદીનો અગ્રણી ગુણાંક હોય, તો વિએટા સૂત્ર લાગુ કરવા માટે સૌપ્રથમ બધા ગુણાંકને વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. a 0 (આ બહુપદીના મૂળના મૂલ્યને અસર કરતું નથી). આ કિસ્સામાં, વિએટાનું સૂત્ર બધા ગુણાંકના સૌથી મોટા ગુણોત્તર માટે અભિવ્યક્તિ આપે છે. વિએટાના છેલ્લા સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે જો બહુપદીના મૂળ પૂર્ણાંક હોય, તો તે તેના મુક્ત પદના વિભાજક છે, જે પૂર્ણાંક પણ છે.

પુરાવો

જ્યાં જમણી બાજુબહુપદી છે કારણભૂત.

જમણી બાજુના તત્વોનો ગુણાકાર કર્યા પછી, માટે ગુણાંક સમાન ડિગ્રી xબંને ભાગોમાં સમાન હોવું જોઈએ, જેમાંથી વિએટાના સૂત્રો અનુસરે છે.

ઉદાહરણો

ચતુર્ભુજ સમીકરણ

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો x 2 + px + q= 0 ગુણાંક સમાન છે પી, વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મફત શબ્દ સમાન છે q:

IN સામાન્ય કેસ(અનડ્યુડ્ડ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે કુહાડી 2 + bx + c = 0):

8મા ધોરણમાં બીજગણિત પર પ્રાયોગિક કાર્ય.

વિષય: "વિયેટાનું પ્રમેય"

લક્ષ્ય:ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંક વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરો.

અભ્યાસનો હેતુ:ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને તેના મૂળ.

કાર્ય કરવા માટે જરૂરી જ્ઞાન, ક્ષમતાઓ અને કુશળતા:

(એટલે ​​કે વિદ્યાર્થીઓને ઓફર કરતા પહેલા શું યાદ રાખવાની અને પુનરાવર્તિત કરવાની જરૂર છે આ કામ):

• 
  સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ખ્યાલ;
• 
  સામાન્ય સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી લખવાની ક્ષમતા;
• 
  ચતુર્ભુજ સમીકરણ (સંપૂર્ણ અને ઘટાડેલ બંને) ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ;
• 
  ચતુર્ભુજ સમીકરણ (સંપૂર્ણ અને ઘટાડો) ના મૂળ માટે સામાન્ય સૂત્ર લખવાની ક્ષમતા.

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

1.1. સમીકરણો ઉકેલો:

એ) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. કોષ્ટક ભરો:

1.3. દરેક સમીકરણના મૂળના સરવાળા અને ગુણાંકને તેના ગુણાંક સાથે સરખાવો.

1.4. પૂર્વધારણા:ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંક વચ્ચે તમે કયું જોડાણ જોયું? પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને તેને લખો.

1.5. પૂર્વધારણા પરીક્ષણ:ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખો (x 2 + px + q = 0).

1.6. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સામાન્ય સૂત્ર લખો.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો શોધો.

1.8. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન શોધો.

1.9. એક નિષ્કર્ષ દોરો

વધારાનો પ્રશ્ન.

સમીકરણ હલ કરીને તમારા તારણો તપાસો: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. પૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

2.1. સમીકરણો ઉકેલો:

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. કોષ્ટક ભરો:

2.4. પૂર્વધારણા:તમે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંક વચ્ચે કયું જોડાણ જોયું? પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને તેને લખો.

2.5. પૂર્વધારણા પરીક્ષણ:સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખો

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સામાન્ય સૂત્ર લખો.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો શોધો.

2.8. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન શોધો.

2.9. એક નિષ્કર્ષ દોરો: મેળવેલ પરિણામ જણાવો. તેને તમારી નોટબુકમાં લખી લો.

(પરિણામી વિધાનને વિએટાનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે)

વધારાનો પ્રશ્ન.

સમીકરણ હલ કરીને તમારા તારણો તપાસો: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

વધારાનું કાર્ય.

નીચેના ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળનો સરવાળો અને ઉત્પાદન શોધો:

એ) x 2 – 5x + 6 = 0;

બી) 3x 2 – 4x – 2 = 0;

બી) x 2 – 6x + 24 = 0;

ડી) 6x 2 – 5x = 0.

2. વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચકાસો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ યોગ્ય રીતે મળ્યા છે કે કેમ.

વિયેટાના પ્રમેયની વિરુદ્ધ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધો:

એ) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; ડી) x 2 – 6 = 0.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના ખાસ કિસ્સાઓ

ax 2 +bx + c = 0

1. જો a+b+c =0, તો x 1 = 1, x 2 =

2. જો a-b+c =0, (અથવા a+c=b), તો x 1 = -1, x 2 = -

ઉદાહરણ તરીકે: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

મૌખિક રીતે ઉકેલો:

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

ચાલો પહેલા "માઈનસ" લખીએ,
તેની બાજુમાં પીઅડધા ભાગમાં,
"વત્તા-માઈનસ" આમૂલ ચિહ્ન,
બાળપણથી અમને પરિચિત.

ઠીક છે, મૂળમાં, મિત્ર,
તે બધું કંઈપણ નીચે આવે છે:
પીઅડધા અને ચોરસમાં
માઈનસ ધ સુંદર q.

• 
  થી " બેબી મોનિટર"(બીજો વિકલ્પ):

અને મૂળ હેઠળ તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે
અડધા પીચોરસ
માઈનસ q- અને અહીં ઉકેલો છે,
એટલે કે, સમીકરણના મૂળ.

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.

જે વધુ સારું છે, આ સતત કહો:

તમે મૂળનો ગુણાકાર કરો અને અપૂર્ણાંક તૈયાર છે:

અંશ c છે, છેદ a છે,

અને મૂળનો સરવાળો પણ અપૂર્ણાંક છે

જો તે માઈનસ સાથેનો અપૂર્ણાંક હોય, તો શું સમસ્યા છે

અંશમાં છે, છેદ એ છે.
વપરાયેલ સાહિત્ય:

1. 
   યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ.

1. 
   ગણિત. સંદર્ભ સામગ્રી. વી.એ.ગુસેવ, એ.જી.મોર્ડકોવિચ. એમ. "એનલાઈટનમેન્ટ" 1986
2. 
   શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ. G.I. ગ્લેઝર

1. 
   બીજગણિત 8 મી ગ્રેડ. S.A. Telyakovsky દ્વારા સંપાદિત

મ્યુનિસિપલ સરકાર શૈક્ષણિક સંસ્થા

"ઓચકુરોવસ્કાયા ગૌણ માધ્યમિક શાળા»

નિકોલેવસ્કી મ્યુનિસિપલ જિલ્લો વોલ્ગોગ્રાડ પ્રદેશ

વિયેટાનું પ્રમેય

દ્વારા પૂર્ણ: ઓનોપ્રિએન્કો ક્રિસ્ટીના,

8મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

MKOU "ઓચકુરોવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

નિકોલેવસ્કી જિલ્લો

વડા: E.A. Bulba

સાથે. ઓચકુરોવકા

2015

સામગ્રીઓનું કોષ્ટક

પરિચય ………………………………………………………………………………………………………………………

મુખ્ય ભાગ

1.ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ……………………………………………………….4

2. વિયેટાના પ્રમેયનો પુરાવો………………………………………………………..6

3. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલાયેલા સમીકરણોના બ્લોકનું સંકલન ……………….8

4. સિમ્યુલેટરનું બાંધકામ………………………………………………………10

નિષ્કર્ષ

પ્રોજેક્ટનું વ્યવહારુ મહત્વ………………………………... 12

તારણો……………………………………………………………………………….13

માહિતીના સ્ત્રોતોની યાદી ……………………………………………………… 14

અરજી……………………………………………………………………..15

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.
શું સારું છે, મને કહો, આની જેમ સુસંગતતા:
એકવાર તમે મૂળનો ગુણાકાર કરો, અપૂર્ણાંક તૈયાર છે!
અંશ c છે, છેદ a છે.
અને અપૂર્ણાંકના મૂળનો સરવાળો પણ સમાન છે.
માઇનસ અંશ સાથે પણ, શું સમસ્યા છે!
અંશમાં b , છેદમાં a.

પરિચય

પ્રોજેક્ટ વિષયની સુસંગતતા: વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને મૌખિક રીતે ઉકેલવા માટે એક અનન્ય તકનીક છે. પાઠ્યપુસ્તકમાં બહુ ઓછા ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. મારા સહપાઠીઓ અને હું ભૂલો કરીએ છીએ.

ઑબ્જેક્ટ સંશોધન બીજગણિત પાઠમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના અભિન્ન ભાગ તરીકે વિએટાનું પ્રમેય છે.

સંશોધનનો વિષય - વિયેટાનું પ્રમેય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની કુશળતાને મજબૂત કરવા માટે સમીકરણોના બ્લોકનું સંકલન કરવું.

પૂર્વધારણા: મેં સૂચવ્યું કે તમે સિમ્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોને સચોટ રીતે ઉકેલવાનું શીખી શકો છો.

પ્રોજેક્ટ ધ્યેય : વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલાયેલા સમીકરણોનું સિમ્યુલેટર બનાવો.

કાર્યો:

• વિએટાના પ્રમેયની શોધનો ઇતિહાસ શીખો;

  ચોરસના ગુણાંકની અવલંબનનો અભ્યાસ કરો

સમીકરણ અને ઉત્પાદન અને તેના મૂળનો સરવાળો.

• વિએટાના પ્રમેયને સાબિત કરવાનું શીખો;

  વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય તેવા સમીકરણો સ્વતંત્ર રીતે બનાવો

  કાગળ પર સમીકરણોનો એક બ્લોક દોરો અને ઇલેક્ટ્રોનિક સ્વરૂપમાં સિમ્યુલેટર બનાવો

  વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે તમારા સહપાઠીઓને સિમ્યુલેટર ઑફર કરો

પદ્ધતિઓ :

પરિણામોની સરખામણી સ્વતંત્ર કાર્યપ્રોજેક્ટ પહેલાં અને તાલીમ પછી, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા

અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ ઇલેક્ટ્રોનિક સ્ત્રોતોઅને સાહિત્ય

સમીકરણોના બ્લોક અને સિમ્યુલેટરનું સંકલન કરવા પર સ્વતંત્ર કાર્ય

1.ઐતિહાસિક માહિતી

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટનો જન્મ 1540 માં ફ્રાન્સના દક્ષિણમાં નાના શહેર ફેન્ટેની-લે-કોમ્ટેમાં થયો હતો.

વિયેતના પિતા ફરિયાદી હતા. પુત્રએ તેના પિતાનો વ્યવસાય પસંદ કર્યો અને વકીલ બન્યો, પોઈટાઉની યુનિવર્સિટીમાંથી સ્નાતક થયો. 1560 માં, વીસ વર્ષના વકીલે તેની કારકિર્દીની શરૂઆત કરી વતન, પરંતુ ત્રણ વર્ષ પછી તે ઉમદા હ્યુગ્યુનોટ પરિવાર ડી પાર્થેનાયમાં સેવા આપવા ગયો. તે ઘરના માલિકનો સેક્રેટરી અને તેની બાર વર્ષની પુત્રી કેથરિનનો શિક્ષક બન્યો. તે શિક્ષણ હતું જેણે યુવાન વકીલને ગણિતમાં રસ જગાડ્યો.

જ્યારે વિદ્યાર્થી મોટો થયો અને લગ્ન કર્યા, ત્યારે વિયેટ તેના પરિવાર સાથે ભાગ ન લીધો અને તેની સાથે પેરિસ ગયો, જ્યાં તેના માટે યુરોપના અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓની સિદ્ધિઓ વિશે શીખવું સરળ હતું. તેમણે સોર્બોન, રામસ ખાતેના અગ્રણી પ્રોફેસર સાથે વાતચીત કરી અને ઇટાલીના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી રાફેલ બોમ્બેલી સાથે મૈત્રીપૂર્ણ પત્રવ્યવહાર ચાલુ રાખ્યો.

1571 માં વિયેટ પર સ્વિચ કર્યું જાહેર સેવા, સંસદના સલાહકાર અને પછી ફ્રાન્સના રાજા હેનરી III ના સલાહકાર બન્યા.

1580 માં હેનરી IIIવિયેટને રેકેટિયરના મહત્વના સરકારી પદ પર નિયુક્ત કર્યા, જેણે તેને દેશમાં ઓર્ડરના અમલીકરણને નિયંત્રિત કરવાનો અને મોટા સામંતશાહીના આદેશોને સ્થગિત કરવાનો અધિકાર આપ્યો.

1584 માં, ગુઇઝના આગ્રહથી, વિયેટાને ઓફિસમાંથી દૂર કરવામાં આવ્યો અને પેરિસમાંથી હાંકી કાઢવામાં આવ્યો. શાંતિ અને આરામ મળ્યા પછી, વૈજ્ઞાનિકે તેમના ધ્યેય તરીકે વ્યાપક ગણિતની રચના કરવાનું નક્કી કર્યું જે તેમને કોઈપણ સમસ્યાઓ હલ કરવા દે.

વિયેટે તેમના સંશોધનના કાર્યક્રમની રૂપરેખા આપી અને એક સામાન્ય ખ્યાલ દ્વારા સંયુક્ત ગ્રંથો સૂચિબદ્ધ કર્યા અને તેમાં લખ્યા ગાણિતિક ભાષાનવા અક્ષર બીજગણિત, 1591 માં પ્રકાશિત વિખ્યાત "વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય" માં. વિયેટે તેના અભિગમ પ્રજાતિના લોજિસ્ટિક્સનો આધાર ગણાવ્યો; તેણે સંખ્યાઓ, જથ્થાઓ અને સંબંધો વચ્ચે સ્પષ્ટપણે તફાવત કર્યો, તેમને "પ્રજાતિ" ની ચોક્કસ સિસ્ટમમાં એકત્રિત કર્યા. આ સિસ્ટમમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ચલો, તેમના મૂળ, ચોરસ, સમઘન, ચોરસ-ચોરસ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રકારો માટે, વિયેટે વિશેષ પ્રતીકવાદ આપ્યો, તેમને નિયુક્ત કર્યા. મોટા અક્ષરોમાં લેટિન મૂળાક્ષરો. અજાણ્યા જથ્થાઓ માટે, સ્વરોનો ઉપયોગ થતો હતો, ચલ માટે - વ્યંજન.

Viète એ દર્શાવ્યું હતું કે પ્રતીકો સાથે કામ કરીને, વ્યક્તિ પરિણામ મેળવી શકે છે જે કોઈપણ અનુરૂપ જથ્થાને લાગુ પડે છે, એટલે કે, સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમસ્યાનું નિરાકરણ. આનાથી બીજગણિતના વિકાસમાં આમૂલ પરિવર્તનની શરૂઆત થઈ: શાબ્દિક કેલ્ક્યુલસ શક્ય બન્યું.

બહુપદીના ગુણાંક અને તેના મૂળ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરતું પ્રખ્યાત પ્રમેય 1591 માં પ્રકાશિત થયું હતું. હવે તે વિએટા નામ ધરાવે છે, અને લેખકે પોતે તેને આ રીતે ઘડ્યું છે: "જો B + D ગુણ્યા A, બાદબાકી A વર્ગ BD બરાબર છે, તો A બરાબર B અને બરાબર D."

તેમના ગ્રંથ "જ્યોમેટ્રીમાં ઉમેરણો" માં તેમણે ચોક્કસ બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો ભૌમિતિક બીજગણિત, ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને. ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રીનું કોઈપણ સમીકરણ, વિયેટે દલીલ કરી, ઉકેલી શકાય છે ભૌમિતિક પદ્ધતિખૂણાનું ત્રિવિભાજન અથવા બે સરેરાશ પ્રમાણસર બાંધીને.

સદીઓથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ત્રિકોણ ઉકેલવાના પ્રશ્નમાં રસ ધરાવે છે, કારણ કે તે ખગોળશાસ્ત્ર, સ્થાપત્ય અને ભૂસ્તરશાસ્ત્રની જરૂરિયાતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. વિયેત સ્પષ્ટપણે ઘડનાર પ્રથમ હતું મૌખિક સ્વરૂપકોસાઇન્સનું પ્રમેય, જોકે સમકક્ષનો ઉપયોગ પ્રથમ સદી બીસીથી છૂટાછવાયા રીતે કરવામાં આવે છે. આપેલ બે બાજુઓ અને તેમની સામેના ખૂણાઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણને ઉકેલવાનો કેસ, જે અગાઉ તેની મુશ્કેલી માટે જાણીતો હતો, તેને વિએટા તરફથી સંપૂર્ણ વિશ્લેષણ પ્રાપ્ત થયું હતું. બીજગણિતનું ઊંડું જ્ઞાન વિયેતાને આપ્યું મહાન લાભો. તદુપરાંત, બીજગણિતમાં તેમની રુચિ શરૂઆતમાં ત્રિકોણમિતિ અને ખગોળશાસ્ત્રના ઉપયોગને કારણે હતી. બીજગણિતની દરેક નવી એપ્લિકેશને ત્રિકોણમિતિમાં નવા સંશોધનને પ્રોત્સાહન આપ્યું એટલું જ નહીં, પણ ત્રિકોણમિતિના પ્રાપ્ત પરિણામો પણ સ્ત્રોત હતા. મહત્વપૂર્ણ સફળતાઓબીજગણિત વિએટા, ખાસ કરીને, સાઇન્સ (અથવા તાર) અને બહુવિધ ચાપના કોસાઇન્સ માટેના અભિવ્યક્તિઓની વ્યુત્પત્તિ માટે જવાબદાર છે.

ફ્રાન્સના કેટલાક દરબારીઓના સંસ્મરણોમાં એવો સંકેત છે કે વિયેટના લગ્ન થયા હતા, તેમને એક પુત્રી હતી, જે એસ્ટેટની એકમાત્ર વારસદાર હતી, જેના પછી વિયેટને સિગ્ન્યુર ડે લા બિગૌટીયર કહેવામાં આવતું હતું. કોર્ટના સમાચારમાં, લેચ્યુઅલના માર્ક્વિસે લખ્યું: “... 14 ફેબ્રુઆરી, 1603 શ્રી વિયેટ, ધમાચકડી કરનાર, માણસ મહાન મનઅને તર્ક અને સૌથી વધુ એક વૈજ્ઞાનિકો ગણિતશાસ્ત્રીઓસદી પેરિસમાં મૃત્યુ પામી. તેની ઉંમર સાઠ વર્ષથી વધુ હતી."

2. વિયેટાના પ્રમેયનો પુરાવો

3. સમીકરણોના બ્લોક અને ઇલેક્ટ્રોનિક સિમ્યુલેટરનું સંકલન

એક્સ 2 + 17x - 38 = 0,

એક્સ 2 - 16x + 4 = 0,

3x 2 + 8x - 15 = 0,

7x 2 + 23x + 5 = 0,

એક્સ 2 + 2x - 3 = 0,

એક્સ 2 + 12x + 32 = 0,

એક્સ 2 - 7x + 10 = 0,

એક્સ 2 - 2x - 3= 0,

એક્સ 2 + 12x + 32 = 0,

2x 2 - 11x + 15 = 0,

3x 2 + 3x - 18 = 0,

2x 2 - 7x + 3 = 0,

એક્સ 2 + 17x - 18 = 0,

એક્સ 2 - 17x - 18 = 0,

એક્સ 2 - 11x + 18 = 0,

એક્સ 2 + 7x - 38 = 0,

એક્સ 2 - 9x + 18 = 0,

એક્સ 2 - 13x + 36 = 0,

એક્સ 2 - 15x + 36 = 0,

એક્સ 2 - 5x - 36 = 0.

એક્સ 2 + x – 2 = 0

એક્સ 2 + 2x – 3 =0

એક્સ 2 - 3x + 2 =0

એક્સ 2 - x – 2 = 0

એક્સ 2 - 2x – 3 =0

એક્સ 2 - 3x – 4 = 0

x 2 +17 x -18=0

x 2 + 23 x – 24=0

x 2 - 39x-40 =0

x 2 - 37x – 38=0

x 2 – 3x – 10 = 0

x 2 – 5x + 3 = 0

x 2 + 8 x – 11 = 0

x 2 + 6x + 5 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 + 5 x + 6 = 0

x 2 + 3 x – 10 = 0

x 2 – 8 x– 9 = 0

એક્સ 2 + x – 56 = 0

એક્સ 2 – 19x + 88 = 0

એક્સ 2 – 4x – 4 = 0

x 2 -15x+14=0

x 2 +8x+7=0

x 2 +9x+20=0

x 2 +18x -11 = 0

x 2 +27x – 24 = 0

5x 2 +10x – 3 = 0

3x 2 - 16x +9 = 0

x 2 +18x -11 = 0

x 2 +27x – 24 = 0

4x-21=0

4x-21=0

x 2 -15x+56=0

x 2 -4x-60=0

x 2 +5x+6=0

2x-3=0

x 2 +18x+81=0

X-20=0

x 2 +4x+21=0

x 2 -10x-24=0

x 2 + x-56=0

x 2 -x-56=0

x 2 +3x+2=0

x 2 +5x-6=0

x 2 -18x+81=0

x 2 -9x+20=0

x 2 -5 એક્સ +6=0

x 2 -4x-21=0

એક્સ 2 - 7x+6=0

x 2 -15x+56=0

એક્સ 2 – 3x + 2 = 0

એક્સ 2 – 4x + 3 = 0

એક્સ 2 - 2x + 4 = 0

એક્સ 2 – 2x + 5 = 0

એક્સ 2 - 2x + 6 = 0

એક્સ 2 – 11x + 24 = 0

એક્સ 2 + 11x – 30 = 0

એક્સ 2 + x – 12 = 0

x 2 – 6x + 8 = 0

એક્સ 2 – 15x + 14 = 0

x 2 – 15x + 14 = 0

x 2 + 4 x -21 =0

એક્સ 2 + x – 42 =0

એક્સ 2 – x – 20 = 0

એક્સ 2 + 4 x -32=0

એક્સ 2 - 2x – 35 =0

એક્સ 2 + x - 20 =0

એક્સ 2 + 7 x + 10 =0

એક્સ 2 - x - 6=0

એક્સ 2 + 2 x+0 =0

એક્સ 2 + 6 x+0 =0

એક્સ 2 + 3x - 18=0

એક્સ 2 + 5 x -24=0

એક્સ 2 - 2 x - 24=0

એક્સ 2 – 15x + 14 = 0

એક્સ 2 + 8x + 7 =0

એક્સ 2 + 9x – 20=0

એક્સ 2 – 6x - 7 = 0

એક્સ 2





4. પ્રોજેક્ટનું પ્રાયોગિક મહત્વ

8મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં અને OGE ના અંતિમ પુનરાવર્તનમાં અરજી

તારણો:

મારા કાર્યનું પરિણામ એ ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો એક બ્લોક છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

હું કામથી દૂર થઈ ગયો, સૌથી સહેલો રસ્તો હતો ચતુર્ભુજ સમીકરણો બનાવવાનો જેમાં મફત સભ્યગુણાકાર કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. હવે હું વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળને માત્ર સચોટ રીતે શોધી શકતો નથી, પણ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલને તપાસતી વખતે પણ તેને લાગુ કરું છું.

સિમ્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, મારા સહપાઠીઓને અને મેં વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનું શીખ્યા.

માહિતી સ્ત્રોતોની સૂચિ:

1. સંદર્ભો

   1. બીજગણિત 8 મા ધોરણ: માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ. જી.વી.ડોરોફીવ, એસ.બી

      ગ્રેડ 8 માટે બીજગણિત પર ડિડેક્ટિક સામગ્રી. V.I. Zhokhov, Yu.N. Mindyuk. એમ.: શિક્ષણ, 2000.

      ગણિત.8મો ધોરણ: ઉપદેશાત્મક સામગ્રીપાઠ્યપુસ્તક માટે "ગણિત 8. બીજગણિત" / એડ. જી.વી. ડોરોફીવા. – એમ.: બસ્ટર્ડ, 2012\

      રાજ્ય અંતિમ પ્રમાણપત્ર. 9મા ધોરણ. ગણિત. વિષયોનું પરીક્ષણ કાર્યો./L.D. લપ્પો, એમ.એ. પોપોવ/-એમ.: પરીક્ષા પબ્લિશિંગ હાઉસ, 2011

      આયોજિત પરિણામ

      1. માહિતીપ્રદ

      માહિતીનો સંગ્રહ, તેનું વિશ્લેષણ

      સાહિત્યનો અભ્યાસ

      પ્રોજેક્ટના સૈદ્ધાંતિક ભાગ માટે સામગ્રી

      2.સંસ્થાકીય

      વિશ્લેષણ, સામાન્યીકરણ

      સમીકરણોના બ્લોકનો વિકાસ

      કામ માટે સામગ્રી

      3. તકનીકી તબક્કો

      સમીકરણોની પસંદગી

      સિમ્યુલેટર બનાવવું

      સિમ્યુલેટર

      4. અંતિમ

      અનુભવનું સામાન્યીકરણ

      કરવામાં આવેલ કાર્ય, પ્રોજેક્ટની ડિઝાઇન વિશેના નિષ્કર્ષ

      પ્રોજેક્ટ. સંગ્રહ ડિઝાઇન. માસ્ટર ક્લાસ. સ્પર્ધામાં ભાગ લેવો.

મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

"માધ્યમિક શાળા નંબર 64", બ્રાયન્સ્ક

શહેરની વૈજ્ઞાનિક અને પ્રાયોગિક પરિષદ

"વિજ્ઞાનમાં પ્રથમ પગલાં"

વૈજ્ઞાનિક સંશોધન કાર્ય

"ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિયેટનું પ્રમેય"

ગણિત

આના દ્વારા પૂર્ણ: 11b ગ્રેડનો વિદ્યાર્થી

શાનોવ ઇલ્યા અલેકસેવિચ

વૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક:

ગણિત શિક્ષક,

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના ઉમેદવાર વિજ્ઞાન

બાયકોવ સેર્ગેઈ વેલેન્ટિનોવિચ

બ્રાયન્સ્ક 2012

પરિચય……………………………………………………………………………… 3

લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશો ……………………………………………………… 4

સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ ………………………………………… 4

ચતુર્ભુજ સમીકરણ …………………………………………………. 5

ઘન સમીકરણ ………………………………………………………. 6

ચોથી ડિગ્રીનું સમીકરણ ……………………………………… 7

વ્યવહારુ ભાગ………………………………………………. 9

સંદર્ભો ……………………………………………………… 12

પરિશિષ્ટ ……………………………………………………………… 13

પરિચય

બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે ક્ષેત્ર બીજગણિતીય રીતે બંધ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્ષેત્ર પર જટિલ ગુણાંક (સામાન્ય રીતે) સાથે ડિગ્રી n ના બરાબર n સમીકરણો છે. જટિલ મૂળ. ત્રીજી ડિગ્રીના સમીકરણો Cordano ના સૂત્ર દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. ફેરારી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો. વધુમાં, બીજગણિત સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે કે જો પછી સમીકરણનું મૂળ છે આ સમીકરણનું મૂળ પણ છે. ઘન સમીકરણ માટે, નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

ત્રણેય મૂળ વાસ્તવિક છે;

બે મૂળ જટિલ છે, એક વાસ્તવિક છે.

તે અનુસરે છે કે કોઈપણ ઘન સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક મૂળ હોય છે.

ચોથા ડિગ્રી સમીકરણ માટે:

ચારેય મૂળ અલગ છે.

બે મૂળ વાસ્તવિક છે, બે જટિલ છે.

ચારેય મૂળ જટિલ છે.

આ કાર્ય વિએટાના પ્રમેયના સંપૂર્ણ અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે: તેની રચના, સાબિતી, તેમજ આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

કરવામાં આવેલ કાર્યનો હેતુ 11મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરવાનો છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, તેમજ યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે કે જેઓ સરળ અને પ્રત્યે ઉદાસીન નથી અસરકારક પદ્ધતિઓમાં ઉકેલો વિવિધ વિસ્તારોગણિત

આ કાર્યના પરિશિષ્ટમાં, મેં અભ્યાસ કરેલ નવી સામગ્રીના સ્વતંત્ર ઉકેલ અને એકત્રીકરણ માટે સમસ્યાઓનો સંગ્રહ પ્રદાન કરવામાં આવ્યો છે.

આ મુદ્દાને અવગણી શકાય નહીં, કારણ કે તે ગણિત માટે મહત્વપૂર્ણ છે, સામાન્ય રીતે વિજ્ઞાન માટે અને વિદ્યાર્થીઓ અને આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં રસ ધરાવતા લોકો માટે.

કાર્યના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો:

થર્ડ-ડિગ્રી સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ મેળવો.

ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ સાબિત કરો.

ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ મેળવો.

ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ સાબિત કરો.

વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ પ્રશ્નોના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લો.

• ખાતરી કરો કે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ વ્યવહારુ છે.

ઊંડું કરો ગાણિતિક જ્ઞાનસમીકરણ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં.

ગણિતમાં રસ કેળવો.

સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

વિયેટ્ટેના થિયોરેમના મૂળના ગુણધર્મો પર...

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટ (1540-1603) - ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી. વ્યવસાયે વકીલ. 1591 માં, તેમણે માત્ર અજાણ્યા જથ્થાઓ માટે જ નહીં, પણ સમીકરણોના ગુણાંક માટે પણ અક્ષર હોદ્દો રજૂ કર્યા; આનો આભાર, સામાન્ય સૂત્રો દ્વારા સમીકરણોના ગુણધર્મો અને તેમના મૂળને વ્યક્ત કરવાનું પ્રથમ વખત શક્ય બન્યું. તેઓ 2જી, 3જી અને 4ઠ્ઠી ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સમાન પદ્ધતિ સ્થાપિત કરવા માટે જવાબદાર હતા. શોધોમાં, વિયેટે પોતે ખાસ કરીને સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની સ્થાપનાને ખૂબ મૂલ્યવાન ગણાવ્યું હતું. સાથેના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટે સંખ્યાત્મક ગુણાંકવિયેથે ન્યૂટનની પછીની પદ્ધતિ જેવી જ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. ત્રિકોણમિતિમાં, ફ્રાન્કોઈસ વિયેટે ત્રણ ડેટામાંથી સપાટ અથવા ગોળાકાર ત્રિકોણના તમામ ઘટકોને નિર્ધારિત કરવાની સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ આપ્યો, અને cos ના મહત્વપૂર્ણ વિસ્તરણ શોધી કાઢ્યા. nxઅને પાપ nx cos ની સત્તામાં એક્સઅને પાપ એક્સ.તેમણે પ્રથમ વખત અનંત કાર્યો ગણ્યા. વિયેટાની કૃતિઓ મુશ્કેલ ભાષામાં લખવામાં આવી હતી અને તેથી તેઓને તેમના સમય કરતાં ઓછું વિતરણ મળ્યું હતું .

ચતુર્ભુજ સમીકરણ

પ્રથમ, ચાલો બીજા-ડિગ્રી સમીકરણો માટે વિએટાના સૂત્રો યાદ કરીએ, જે આપણે પ્રોગ્રામમાં શીખ્યા. શાળા અભ્યાસક્રમતાલીમ

ટી
વિયેટાનું પ્રમેયચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે (8મું ધોરણ)

ઇ
જો અને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ હોય તો

એટલે કે, ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે.

પણ, પ્રમેય યાદ રાખો, વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું:

જો નંબરો - પીઅને qએવા છે કે

પછી અને સમીકરણના મૂળ છે

વિએટાનું પ્રમેય એમાં નોંધપાત્ર છે કે, ચોરસ ત્રિપદીના મૂળને જાણ્યા વિના, આપણે સરળતાથી તેમના સરવાળા અને ઉત્પાદનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, સૌથી સરળ સપ્રમાણ સમીકરણો.

વિએટાનું પ્રમેય તમને ચોરસ ત્રિનોમીના સંપૂર્ણ મૂળનું અનુમાન લગાવવા દે છે.

ઘન સમીકરણ

હવે ચાલો વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણની રચના અને ઉકેલ તરફ સીધા જ આગળ વધીએ.

ફોર્મ્યુલેશન

TO
સર્વવ્યાપક સમીકરણ એ ફોર્મનું ત્રીજા ક્રમનું સમીકરણ છે

જ્યાં a ≠ 0.

જો a = 1, પછી સમીકરણને ઘટાડેલ ઘન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે:

તેથી, આપણે સમીકરણ માટે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે

નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

n
મૂળ વધે છે આપેલ સમીકરણ, પછી

પુરાવો

ચાલો બહુપદીની કલ્પના કરીએ

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

તેથી, અમે તે મેળવીએ છીએ

બે બહુપદી સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન હોય.

આનો અર્થ એ છે કે

Q.E.D.

હવે પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો, ત્રીજા અંશના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું.

એફ
રચના

ઇ
જો સંખ્યાઓ એવી હોય

ચોથી ડિગ્રી સમીકરણ

હવે ચાલો ચોથા-ડિગ્રી સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચોથા-ડિગ્રી સમીકરણને સેટ કરવા અને ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.

ફોર્મ્યુલેશન

યુ
ચોથા ડિગ્રીનું સમીકરણ - ફોર્મનું સમીકરણ

જી
દ a ≠ 0.

ઇ
જો a = 1, પછી સમીકરણને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે

અને
તેથી, ચાલો તે સમીકરણ માટે સાબિત કરીએ

સાથે
નીચેનું પ્રમેય સાચું છે: આપેલ સમીકરણના મૂળ દો, પછી

પુરાવો

ચાલો બહુપદીની કલ્પના કરીએ

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

તેથી, અમે તે મેળવીએ છીએ

તે આપણે જાણીએ છીએ બે બહુપદી સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન હોય.

આનો અર્થ એ છે કે

Q.E.D.

પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો, ચોથા-અંતરના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું.

ફોર્મ્યુલેશન

જો સંખ્યાઓ એવી છે કે

પછી આ સંખ્યાઓ સમીકરણના મૂળ છે

વ્યવહારુ ભાગ

હવે ચાલો ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના ઉકેલો જોઈએ.

કાર્ય નંબર 1

જવાબ: 4, -4.

કાર્ય નંબર 2

જવાબ: 16, 24.

આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, અમે અનુક્રમે કાર્ડાનોના સૂત્રો અને ફેરારીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આ સમીકરણોના મૂળના સરવાળા અને ઉત્પાદનને જાણીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 3

ત્રીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ બનાવો જો તે જાણીતું હોય કે મૂળનો સરવાળો 6 છે, મૂળનો જોડી કરેલ ઉત્પાદન 3 છે, અને ઉત્પાદન -4 છે.

ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ, આપણને મળે છે

કાર્ય નંબર 4

ત્રીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે મૂળનો સરવાળો બરાબર છે 8 , મૂળની જોડી ઉત્પાદન સમાન છે 4 , ત્રણ ગણું ઉત્પાદન બરાબર છે 12 , અને ઉત્પાદન 20 .

ઉકેલ: વિયેટાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ, આપણને મળે છે

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેમના મૂળનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સમીકરણો બનાવીએ છીએ. આ સૌથી વધુ છે તર્કસંગત માર્ગઆ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

સમસ્યા #5

જ્યાં a, b, c હેરોનના સૂત્રો છે.

ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ, આપણને મળે છે

ઝેડ
નોંધ કરો કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ છે ઘન અભિવ્યક્તિ. ચાલો આપણે અનુરૂપ ઘન સમીકરણ માટે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણી પાસે તે છે

ઝેડ

એ જાણીને કે અમને મળે છે:

આ સમસ્યાના ઉકેલ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વિયેટાનું પ્રમેય માંથી સમસ્યાઓ પર લાગુ થાય છે વિવિધ વિસ્તારોગણિત

નિષ્કર્ષ

આ પેપરમાં, વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિની તપાસ કરવામાં આવી હતી. કાર્યમાં મેળવેલા સૂત્રો વાપરવા માટે સરળ છે. અભ્યાસ દરમિયાન, તે સ્પષ્ટ થયું કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં આ પદ્ધતિ અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે Cordano ફોર્મ્યુલા અને ફેરારી પદ્ધતિ કરતાં વધુ અસરકારક છે.

વિયેટાનો પ્રમેય વ્યવહારમાં લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો. સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી હતી જેણે નવી સામગ્રીને વધુ સારી રીતે એકીકૃત કરવામાં મદદ કરી.

આ અભ્યાસ મારા માટે ખૂબ જ રસપ્રદ અને શૈક્ષણિક હતો. ગણિતમાં મારું જ્ઞાન વધુ ઊંડું કરીને, મેં ઘણી બધી રસપ્રદ વસ્તુઓ શોધી કાઢી અને આ સંશોધનનો આનંદ માણ્યો.

પરંતુ સમીકરણો ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં મારું સંશોધન પૂરું થયું નથી. ભવિષ્યમાં, હું વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને nth ડિગ્રી સમીકરણના ઉકેલનો અભ્યાસ કરવાની યોજના ઘડી રહ્યો છું.

હું મારા પ્રત્યે ઊંડો આભાર વ્યક્ત કરવા માંગુ છું વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝર, ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર અને આવી શક્યતા અસામાન્ય સંશોધનઅને કામ પર સતત ધ્યાન આપો.

સંદર્ભો

વિનોગ્રાડોવ આઇ.એમ. ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. એમ., 1977.

વી.બી. લિડસ્કી, એલ.વી. ઓવ્સ્યાનીકોવ, એ.એન. તુલાઈકોવ, એમ.આઈ. શાબુનીન. માટે કાર્યો પ્રાથમિક ગણિત, ફિઝમેટલીટ, 1980.