સંક્ષિપ્તમાં: જો સબસ્પેસમાં સરવાળાના કોઈપણ વેક્ટરનું વિઘટન અનન્ય હોય તો સબસ્પેસનો સરવાળો સીધો સરવાળો કહેવાય છે.

સબસ્પેસીસનો સીધો સરવાળો એ સબસ્પેસીસ પર કોઈ નવી કામગીરી નથી. આ ફક્ત અગાઉ રજૂ કરેલ સબસ્પેસીસના સરવાળાની કેટલીક મિલકત છે.

જો સબસ્પેસીસનો સરવાળો સીધો હોય, તો આ સબસ્પેસીસના આંતરછેદમાં એક – શૂન્ય – વેક્ટર હોય છે.

સબસ્પેસના સીધા સરવાળા માટે માપદંડ

મર્યાદિત-પરિમાણીય સબસ્પેસ માટે રેખીય જગ્યા નીચેના નિવેદનો સમકક્ષ છે:

1) સબસ્પેસનો સરવાળો સીધો છે

2) સબસ્પેસ પાયાનો સમૂહ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે

3) સબસ્પેસના પાયાનો સમૂહ સબસ્પેસીસના સરવાળાનો આધાર બનાવે છે https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) સરવાળામાંથી એક વેક્ટર છે જેના માટે સબસ્પેસમાં વિસ્તરણ અનન્ય છે.

6) મનસ્વી સિસ્ટમબિનશૂન્ય વેક્ટર્સ, દરેક રેખીય સબસ્પેસમાંથી એક લેવામાં આવે છે, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર

7) રેખીય સબસ્પેસનું આંતરછેદ માત્ર એક શૂન્ય વેક્ટર છે: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> વધારાનું કહેવાય છે L માટે સબસ્પેસ, જો દેખીતી રીતે, L માટે વધારાની સબસ્પેસ છે.

અલંકારિક રીતે કહીએ તો, વધારાની સબસ્પેસ, જેમ કે તે હતી, જગ્યા પૂર્ણ કરવા માટે સબસ્પેસને "પૂરક" બનાવે છે.

વધારાના સબસ્પેસના અસ્તિત્વ પર પ્રમેય

રેખીય અવકાશના કોઈપણ સબસ્પેસ માટે https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> અવકાશ V નો અમુક વેક્ટર છે. સમૂહ H , ફોર્મના તમામ વેક્ટરનો સમાવેશ કરે છે, જ્યાં https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

માર્ગદર્શિકા સબસ્પેસ

રેખીય મેનીફોલ્ડની વ્યાખ્યામાં સબસ્પેસ Lને રેખીય મેનીફોલ્ડ H ની ડાયરેક્ટિંગ સબસ્પેસ કહેવામાં આવે છે.

પરિબળ જગ્યા

V એ ક્ષેત્ર P પર એક રેખીય અવકાશ છે, L તેની સબસ્પેસ છે. સબસ્પેસ L (V/L તરીકે સૂચવવામાં આવે છે) પર રેખીય અવકાશ V ની અવકાશ એ સમકક્ષ વર્ગો H નો સમાવેશ થાય છે. આ વર્ગો સબસ્પેસ L: માંથી મેળવેલા તમામ રેખીય મેનીફોલ્ડ્સને અનુરૂપ છે.

નિયમ વ્યાખ્યાયિત કરે છે બાહ્ય કાયદો V/L પર રચના (તત્વ H માંથી V/L માંથી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો (અથવા મુખ્ય ક્ષેત્ર Pનું તત્વ) α, નિયમ - ઘરેલું કાયદોરચના (બે તત્વોનો ઉમેરો - H1 અને H2 - V/L માંથી).

2.4. સજાતીય SLAE ના ઉકેલોની સબસ્પેસ

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સબસ્પેસ

આ નિર્ણયોનો સમૂહ છે સજાતીય સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણો, જ્યાં A એ સિસ્ટમના રેખીય સમીકરણોના ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ છે.

લેક્ચર નંબર 5. વિભાગ 3. યુક્લિડિયન (એકાત્મક) રેખીય અવકાશની સબસ્પેસ

3.1. સબસ્પેસ માટે ઓર્થોગોનલ પૂરક

વેક્ટર ઓર્થોગોનલ થી સબસ્પેસ

ચાલો એલ - રેખીય સબસ્પેસયુક્લિડિયન (એકાત્મક) જગ્યા. વેક્ટર x એ સબસ્પેસ L માટે ઓર્થોગોનલ હોવાનું કહેવાય છે જો તે આ સબસ્પેસમાંથી દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય. હોદ્દો:.

સબસ્પેસ માટે ઓર્થોગોનલ પૂરક

ચાલો L એ યુક્લિડિયન અવકાશનું રેખીય સબસ્પેસ છે. સંપૂર્ણતા દરેક વ્યક્તિવેક્ટર્સ https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

સબસ્પેસ તરીકે ઓર્થોગોનલ પૂરક પર પ્રમેય

સબસ્પેસનું ઓર્થોગોનલ કોમ્પ્લિમેન્ટ એ જ જગ્યાનું રેખીય સબસ્પેસ છે.

3.2. ઓર્થોગ્રાફિક પ્રોજેક્શન, ઓર્થોગ્રાફિક ઘટક

સબસ્પેસ પર વેક્ટરનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ

L એ યુક્લિડિયન (એકાત્મક) અવકાશનું રેખીય સબસ્પેસ હોવા દો https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> સ્વરૂપમાં રકમ: , જ્યાં https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. વેક્ટર gવેક્ટરનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ કહેવાય છે fસબસ્પેસ L, વેક્ટર માટે hઓર્થોગોનલ ઘટક કહેવાય છે.

ઓર્થોગોનલ વેક્ટર ઘટક

વેક્ટર f નો ઓર્થોગોનલ ઘટક યુક્લિડિયન (એકાત્મક) અવકાશના સબસ્પેસ L સાથે સંબંધિત https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, જ્યાં .gif" width="43" height="27 src="> ને વેક્ટર કહેવામાં આવે છે hવિસ્તરણમાં, જ્યાં https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

સબસ્પેસ માટે ત્રાંસુ

વેક્ટર fવિઘટનમાં https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

સબસ્પેસ અને તેના ઓર્થોગોનલ પૂરકના સરવાળા પર પ્રમેય

જો અવકાશનું રેખીય સબસ્પેસ હોય, તો આ રેખીય સબસ્પેસ અને તેના ઓર્થોગોનલ પૂરકનો સીધો સરવાળો સમગ્ર જગ્યા બનાવે છે: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> એ અવકાશનું રેખીય સબસ્પેસ છે, પછી કોઈપણ વેક્ટર માટે ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે, અને વધુમાં, એક અનન્ય, પ્રતિનિધિત્વ fસરવાળો તરીકે: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. વેક્ટરથી સબસ્પેસ સુધીનું અંતર

વેક્ટરથી સબસ્પેસ સુધીનું અંતર

વેક્ટરથી સબસ્પેસ સુધીનું અંતર એ આ વેક્ટરમાંથી સબસ્પેસ (એટલે ​​કે, આ સબસ્પેસની સાપેક્ષમાં વેક્ટરના ઓર્થોગોનલ ઘટકની લંબાઈ) પર નાખવામાં આવેલી લંબની લંબાઈ છે.

વ્યાખ્યાન નંબર 6. વિભાગ 4. દ્વિભાષી અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો.

4.1. રેખીય સ્વરૂપ

4.2. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ

4.1. રેખીય સ્વરૂપ

રેખીય કાર્ય (રેખીય સ્વરૂપ)

મેદાન પર એક રેખીય જગ્યા રહેવા દો. કાર્ય f, અવકાશમાંથી સંખ્યા પર વેક્ટરનું મેપિંગ (ક્ષેત્ર તત્વ https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21"> કહેવાય છે. રેખીય , જો:

1) બધા વેક્ટર માટે https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> કોઈપણ નંબર માટે a(ક્ષેત્ર તત્વ) અને કોઈપણ વેક્ટર

કોઈપણ રેકોર્ડ કરો રેખીય આકારઅમુક (મનસ્વી) ધોરણે ઇ તે જેવો દેખાય છે:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - સંખ્યાઓ (તત્વો) ક્ષેત્રો P) આધાર પર આધાર રાખીને ઇ અને, અલબત્ત, ફોર્મમાંથી f.

એક અલગ આધાર પસંદ કરતી વખતે નોંધ કરો ઇ a 1", a 2", …, a n"

લીનિયર મેટ્રિક્સ

રેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ A fઆધાર માં સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી પંક્તિ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે - આ આધારના વેક્ટર પર રેખીય સ્વરૂપની ક્રિયાના પરિણામો:

A = ( a 1, a 2, …, a n) =.

ચાલો X = વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ હોઈએ xઆધાર માં ઇ, A – રેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ fએ જ આધાર પર. પછી મૂલ્ય f(x) મેટ્રિક્સ A અને કૉલમ X ના ગુણાંક સમાન છે:

f(x) = A·X.

એક આધારથી બીજા આધાર પર ખસેડતી વખતે રેખીય સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના ફેરફાર પર પ્રમેય

જ્યારે આધારથી આધાર પર જઈએ ત્યારે https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) રેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ નીચે પ્રમાણે બદલાય છે:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - ફીલ્ડની ઉપર રેખીય જગ્યા. (સંખ્યાત્મક) કાર્ય aબે વેક્ટર દલીલો https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">જો તે દરેક દલીલમાં રેખીય હોય તો તેને દ્વિરેખીય સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે:

2)

4)

- અવકાશના કોઈપણ વેક્ટર L, - મનસ્વી સંખ્યા(ક્ષેત્ર તત્વ P).

કોઈપણ દ્વિરેખીય ફોર્મ રેકોર્ડ કરવું https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

ક્યાં ( x 1, x 2, …, x n) અને ( y 1, y 2, …, y n) - આધારમાં કોઓર્ડિનેટ્સ ઇ વેક્ટર x અને y અનુક્રમે, a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn – n2 સંખ્યાઓનો સમૂહ (ક્ષેત્ર P ના તત્વો).

નોંધ કરો કે સંખ્યાઓ a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn આધાર પર આધાર રાખે છે ઇ અને, અલબત્ત, ફોર્મમાંથી જ a. જ્યારે અલગ આધાર પસંદ કરો ઇ "સંખ્યાઓનો અનુરૂપ સમૂહ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અલગ હશે: a 11", a 12", …, a nn"

બાયલિનિયર મેટ્રિક્સ

તેને આપવા દો દ્વિરેખીય સ્વરૂપઅને કેટલાક (મનસ્વી) આધાર ઇ .

ચાલો આ આધાર પર દ્વિરેખીય સ્વરૂપની ક્રિયા લખીએ:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">આધારે ઇ નીચેના મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">આધારિત વેક્ટરની જોડી (ઓર્ડર કરેલ) માટે ઇ i, ઇ j). આમ:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> એ આપેલ (નિશ્ચિત) અવકાશ આધારમાં અનન્ય દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે.

જ્યારે એક આધારથી બીજામાં પસાર થાય છે ત્યારે દ્વિરેખીય સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના ફેરફાર પર પ્રમેય

જ્યારે આધાર પરથી ખસેડવાની આધાર માટે (સંક્રમણ મેટ્રિક્સ https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

દ્વિભાષી સ્વરૂપનો ક્રમ

દ્વિરેખીય સ્વરૂપનો ક્રમ એ મનસ્વી ધોરણે તેના મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે.

(નહીં) ડીજનરેટ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ

દ્વિરેખીય સ્વરૂપને ડિજનરેટ જો કહેવાય છે , અને બિન-ડિજનરેટ જો https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> માટે સપ્રમાણ કહેવાય . જો https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src="> માટે હોય તો દ્વિરેખીય સ્વરૂપને skew-symmetric (અથવા skew-symmetric) કહેવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી:

ત્રાંસી-સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ (કોઈપણ આધારમાં) ત્રાંસુ-સપ્રમાણ છે: , બધા માટે i, j. ખાસ કરીને, દરેક માટે iસમાનતા DIV_ADBLOCK81">

4.3. ચતુર્ભુજ આકાર

મનસ્વી રેખીય અવકાશમાં દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો

4.3. ચતુર્ભુજ આકાર

ચતુર્ભુજ આકાર

એક સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27"> આપવા દો. ચાલો આ દ્વિરેખીય સ્વરૂપની ક્રિયાને ફક્ત આના પર જ ધ્યાનમાં લઈએ એકરૂપ વેક્ટરની જોડી, એટલે કે. a(x, x). અમે એક કાર્ય મેળવીએ છીએ જે દરેક વેક્ટરને સોંપે છે xરેખીય જગ્યા નંબર (મુખ્ય ક્ષેત્ર P ના તત્વ) f(x) = a(x, x). કાર્ય f(x) = આપેલ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપને અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવાય છે https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> કહેવાય છે અનુરૂપ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ.

ધ્રુવીય દ્વિરેખીય સ્વરૂપ પ્રમેય

કોઈપણ માટે ધ્રુવીય દ્વિરેખીય સ્વરૂપ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપઅસ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત.

ચતુર્ભુજ મેટ્રિક્સ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ તેના ધ્રુવીય દ્વિભાષી સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ એ મનસ્વી ધોરણે તેના મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે.

(નથી) અધોગતિ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

જો https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src="> હોય તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ડિજનરેટ કહેવામાં આવે છે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો

1) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ છે

2) કોઈપણ ચોરસ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ એ આપેલ ધોરણે એકમાત્ર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે

3) જ્યારે આધાર પરથી ખસેડવાની આધાર માટે (સંક્રમણ મેટ્રિક્સ https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) મનસ્વી નિશ્ચિત આધાર બનવા દો. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ દો f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src=">, અને એક મનસ્વી વેક્ટર xસમાન ધોરણે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે ( x 1, x 2, …, x n). પછી વેક્ટર પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ક્રિયાનું પરિણામ xતરીકે લખી શકાય છે

f(x) = ,

અથવા વધુ કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપમાં:

f(x) =

જ્યાં એક્સ = - વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ કૉલમ xઆધાર માં ઇ

4.4. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ એ તેનું સંકેત છે જેમાં માત્ર ચલોના ચોરસ હોય છે:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (જેમાંથી કેટલાક શૂન્ય હોઈ શકે છે) ને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના પ્રમાણભૂત ગુણાંક કહેવામાં આવે છે.

દેખીતી રીતે, માં બિન-શૂન્ય ગુણાંકની સંખ્યા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપચતુર્ભુજ સ્વરૂપ તેના ક્રમ સાથે એકરુપ છે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો પ્રમાણભૂત આધાર

f(x) = a(x, x),

જો આ આધારમાં આ ફોર્મનું રેકોર્ડિંગ પ્રમાણભૂત છે, એટલે કે, માત્ર ચલોના ચોરસ સમાવિષ્ટ છે:

મેટ્રિક્સ ભાષા" આના જેવું લાગે છે:

આધારને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો પ્રમાણભૂત આધાર કહેવામાં આવે છે f(x) = a(x, x),

જો આ આધારમાં આ ફોર્મનો મેટ્રિક્સ Ae વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. જ્યારે આ ચલનો વર્ગ કરવામાં આવે ત્યારે ગુણાંક (≠ 0) બહાર કાઢો:

DIV_ADBLOCK83">

ટિપ્પણી.

જો તમે લેખિત રકમનો વર્ગ કરો છો અને કૌંસની બહાર ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરો છો, તો પરિણામ ચલ ધરાવતા તમામ શબ્દો હશે. x 1, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના સંકેતમાં શામેલ છે. તે જ સમયે, શરતો દેખાશે (અને ઘણી બધી) કે જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મૂળ રેકોર્ડિંગમાં શામેલ નથી. પરંતુ તમામ "નવા" શબ્દોમાં ચલ નથી x 1.

આમ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ લખવાનું નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

કૌંસ." ચલોમાં ફેરફાર કર્યા પછી, જેમાં આપણે "પ્રથમ કૌંસ" દ્વારા દર્શાવીએ છીએ x 1", બીજો - દ્વારા x 2", વગેરે., અમે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું નીચેનું સૂચન મેળવીએ છીએ, તે શબ્દો જેમાં માત્ર ચલોના ચોરસ હોય છે:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

આ બદલીના પરિણામે, શબ્દ aijxixj, ચલોનું ઉત્પાદન ધરાવતું xiઅને xj, પહેલાથી જ ચલોના વર્ગો ધરાવતા બે શબ્દોમાં રૂપાંતરિત થાય છે xi"અને xj":

DIV_ADBLOCK84">

ઓર્થોનોર્મલ કેનોનિકલ આધારના અસ્તિત્વ પર પ્રમેય (મુખ્ય અક્ષોમાં ઘટાડો).

યુક્લિડિયન અવકાશમાં કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર હોય છે જેમાં તેનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ હોય છે.

જેકોબી સૂત્રો

જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સમાં હોય f(x) પ્રથમ ક્રમે https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , પછી એક આધાર છે ઇ, જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

વધુમાં, પ્રમાણભૂત ગુણાંક λ iચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કોણીય સગીર Δ સાથે સંકળાયેલું છે iનીચેના સંબંધો: ,

જેને કહેવામાં આવે છે જેકોબી સૂત્રો.

દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો

વાસ્તવિક (વાસ્તવિક) રેખીય જગ્યામાં.

4.5. ચતુર્ભુજ જડતા સૂચકાંકો

ચતુર્ભુજ જડતા સૂચકાંકો

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ દો f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. હકારાત્મક ગુણાંકની સંખ્યા સંખ્યા જેટલીઆ ક્રમમાં ચિહ્નોના ફેરફારો.

4.6. નિશ્ચિત અને વૈકલ્પિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો

નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને સકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે જો તે બધા બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સ પર માત્ર હકારાત્મક (નકારાત્મક) મૂલ્યો લે છે: ( f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. આવા સ્વરૂપોને સાઇન-ડેફિનેટ કહેવામાં આવે છે.

વૈકલ્પિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કે જેના માટે વેક્ટર છે https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> જેમ કે f(x) = > 0 અને f(y) = < 0 называется знакопеременной.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ચિહ્ન માટે માપદંડ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સકારાત્મક (નકારાત્મક રીતે) નિશ્ચિત છે જો અને માત્ર જો તેની જડતાનો હકારાત્મક (અનુક્રમે, નકારાત્મક) અનુક્રમણિકા અવકાશના પરિમાણ સાથે એકરુપ હોય.

એટલે કે, n-પરિમાણીય અવકાશમાં સકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના કોઈપણ પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સકારાત્મક ચોક્કસ છે જો અને માત્ર જો તેના બધા કોણીય સગીર હકારાત્મક હોય.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક ચોક્કસ છે જો અને માત્ર જો તેના ચિહ્નો ખૂણે સગીરોવૈકલ્પિક, અને શોર્ટકોડ્સ">

Pr a b = |b|cos(a,b) અથવા

જ્યાં a b એ વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે, |a| - વેક્ટરનું મોડ્યુલસ a.

સૂચનાઓ. વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે Пp a b in ઑનલાઇન મોડવેક્ટર a અને b ના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવવા જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર પ્લેન (બે કોઓર્ડિનેટ્સ) અને અવકાશમાં (ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ) પર સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. પરિણામી સોલ્યુશન વર્ડ ફાઇલમાં સાચવવામાં આવે છે. જો વેક્ટર્સ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, તો તમારે આ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

વેક્ટર અંદાજોનું વર્ગીકરણ

વ્યાખ્યા વેક્ટર પ્રોજેક્શન દ્વારા અંદાજોના પ્રકાર

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અનુસાર અંદાજોના પ્રકાર

વેક્ટર પ્રોજેક્શન પ્રોપર્ટીઝ

1. વેક્ટરનું ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ એ વેક્ટર છે (એક દિશા ધરાવે છે).
2. વેક્ટરનું બીજગણિત પ્રક્ષેપણ એ સંખ્યા છે.

વેક્ટર પ્રક્ષેપણ પ્રમેય

Pr a b = |b|cos(a,b)

વેક્ટર અંદાજોના પ્રકાર

1. OX ધરી પર પ્રક્ષેપણ.
2. OY અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ.
3. વેક્ટર પર પ્રક્ષેપણ.

OX અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ	OY અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ	વેક્ટર માટે પ્રક્ષેપણ
જો વેક્ટર A'B' ની દિશા OX અક્ષની દિશા સાથે સુસંગત હોય, તો વેક્ટર A'B' ના પ્રક્ષેપણમાં સકારાત્મક ચિહ્ન છે.	જો વેક્ટર A'B' ની દિશા OY અક્ષની દિશા સાથે સુસંગત હોય, તો વેક્ટર A'B' ના પ્રક્ષેપણમાં સકારાત્મક સંકેત છે.	જો વેક્ટર A'B' ની દિશા વેક્ટર NM ની દિશા સાથે સુસંગત હોય, તો વેક્ટર A'B' ના પ્રક્ષેપણમાં સકારાત્મક ચિહ્ન છે.
જો વેક્ટરની દિશા OX અક્ષની દિશાની વિરુદ્ધ હોય, તો વેક્ટર A'B'નું પ્રક્ષેપણ નકારાત્મક સંકેત.	જો વેક્ટર A'B' ની દિશા OY અક્ષની દિશાની વિરુદ્ધ હોય, તો વેક્ટર A'B' ના પ્રક્ષેપણમાં નકારાત્મક ચિહ્ન છે.	જો વેક્ટર A'B' ની દિશા વેક્ટર NM ની દિશાની વિરુદ્ધ હોય, તો વેક્ટર A'B' ના પ્રક્ષેપણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.
જો વેક્ટર AB OX અક્ષની સમાંતર હોય, તો વેક્ટર A'B’ નું પ્રક્ષેપણ વેક્ટર AB ના સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું છે.	જો વેક્ટર AB OY અક્ષની સમાંતર હોય, તો વેક્ટર A'B’ નું પ્રક્ષેપણ વેક્ટર AB ના સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું છે.	જો વેક્ટર AB વેક્ટર NM ની સમાંતર હોય, તો વેક્ટર A'B’ નું પ્રક્ષેપણ વેક્ટર AB ના સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું છે.
જો વેક્ટર AB અક્ષ OX પર લંબ હોય, તો પ્રક્ષેપણ A'B’ શૂન્ય (નલ વેક્ટર) ની બરાબર છે.	જો વેક્ટર AB OY અક્ષ પર લંબ હોય, તો પ્રક્ષેપણ A'B’ શૂન્ય (નલ વેક્ટર) ની બરાબર છે.	જો વેક્ટર AB વેક્ટર NM ને લંબ હોય, તો પ્રક્ષેપણ A'B’ શૂન્ય (નલ વેક્ટર) ની બરાબર છે.

1. પ્રશ્ન: શું વેક્ટરના પ્રક્ષેપણમાં નકારાત્મક સંકેત હોઈ શકે છે? જવાબ: હા, વેક્ટર અંદાજો હોઈ શકે છે નકારાત્મક મૂલ્ય. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર પાસે છે વિરુદ્ધ દિશામાં(જુઓ કે OX અક્ષ અને AB વેક્ટર કેવી રીતે નિર્દેશિત થાય છે)
2. પ્રશ્ન: શું વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ વેક્ટરના સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે સુસંગત હોઈ શકે છે? જવાબ: હા, તે કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર સમાંતર છે (અથવા સમાન રેખા પર આવેલા છે).
3. પ્રશ્ન: શું વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ શૂન્ય (નલ વેક્ટર) ની બરાબર હોઈ શકે? જવાબ: હા, તે કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર અનુરૂપ ધરી (વેક્ટર) ને લંબરૂપ છે.

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર (ફિગ. 1) OX અક્ષ સાથે 60°નો ખૂણો બનાવે છે (તે વેક્ટર a દ્વારા નિર્દિષ્ટ થયેલ છે). જો OE સ્કેલ એકમ છે, તો |b|=4, તેથી .

ખરેખર, વેક્ટરની લંબાઈ ( ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ b) 2 ની બરાબર છે, અને દિશા OX અક્ષની દિશા સાથે એકરુપ છે.

ઉદાહરણ 2. વેક્ટર (ફિગ. 2) OX અક્ષ (વેક્ટર a સાથે) સાથે કોણ (a,b) = 120 o બનાવે છે. લંબાઈ |b| વેક્ટર b બરાબર 4 છે, તેથી pr a b=4·cos120 o = -2.

ખરેખર, વેક્ટરની લંબાઈ 2 છે, અને દિશા અક્ષની દિશાની વિરુદ્ધ છે.