Departemen Pendidikan, Olahraga dan Pariwisata Komite Eksekutif Distrik Borisov

Instansi pemerintah pendidikan

« Sekolah menengah atas No.16 Borisov"

segitiga Pascal

siswa kelas 7 "A"

Aboyan Elizaveta Aleksandrovna,

alamat rumah: Borisov,

Jalan Smolevichiskaya, 8, 76-51-80

Pengawas:

Ishchuk Olga Eduardovna, guru matematika

Borisov, 2016

Daftar isi

Perkenalan

Dalam hal ini tahun akademik kami mulai belajar barang baru"geometri".

Salah satu bab dari mata kuliah geometri disebut “Segitiga”. Saya sangat tertarik topik ini. Saya selalu ingin mempelajari banyak hal baru tentang segitiga, asal usulnya dan maknanya dalam hidup kita. Bagaimanapun, dunia segitiga sangatlah misterius dan menarik.

Segitiga merupakan figur geometris pertama yang ditemukan pada ornamen kuno. Saat belajar sastra, saya mengetahui bahwa di Mesir itu melambangkan tiga serangkai kemauan spiritual, cinta, intuisi dan kecerdasan yang lebih tinggi seseorang, yaitu kepribadian atau jiwanya.

Suku Aztec menggunakan gambar segitiga yang puncaknya di bagian atas dihubungkan dengan segitiga terbalik sebagai simbol siklus waktu. Segitiga yang dipadukan dengan salib membentuk tanda alkimia Sulfur.

Segitiga sama sisi, melambangkan, menurut tradisi Ibrani, kesempurnaan, di kalangan umat Kristiani artinya Tritunggal - Bapa, Putra dan Roh Kudus.

Ada banyak jenis segitiga, tapi yang paling menarik minat saya adalah segitiga Pascal.

Masalah penelitian:

Masalah penelitian saya adalah saya mencoba mengidentifikasi dan menunjukkan seberapa luas penggunaan segitiga dalam kehidupan praktis.

Signifikansi praktis dari penelitian ini:

Ini pekerjaan penelitian dapat digunakan sebagai materi tambahan untuk pelajaran geometri, untuk kegiatan ekstrakurikuler dalam matematika.

Tujuan penelitian:

Biasakan diri Anda dengan segitiga Pascal dan penerapannya sebagai salah satu jenis segitiga;

Hipotesa:

Jika bilangan segitiga Pascal ada properti khusus, maka dapat dianggap unik untuk solusinya berbagai tugas

Tugas:

Menentukan penerapan sifat-sifat bilangan segitiga Pascal;

Pelajari literatur dengan topik “Segitiga Pascal”;

Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan yang menyusun segitiga Pascal;

Merumuskan kesimpulan dan hasil penelitian;

Objek kajian: segitiga sebagai bangun datar

Subjek penelitian: sifat-sifat segitiga Pascal

Metode penelitian:

Pekerjaan analitis dan statistik dengan referensi, ilmiah, pendidikan dan literatur khusus;

Mencari informasi tentang sumber daya Internet.

Bidang pekerjaan:

Pemilihan masalah, sumber literatur, penyusunan rencana;

Bekerja dengan literatur dan sumber lain;

Pemrosesan data yang diterima;

Analisis hasil, rumusan kesimpulan;

Pelatihan multimedia.

Tahapan utama penelitian: persiapan; aktif;

Kemajuan penelitian: reflektif; analitis; presentasional.

Bagian teoretis bekerja

Pengantar Segitiga Pascal

Perkenalan pertama saya dengan segitiga Pascal terjadi saat mempelajari topik “Menaikkan binomial ke pangkat” dalam pelajaran aljabar.Saya sudah mengetahui rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih, pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisihnya. Saya perhatikan bahwa Anda bisa mendapatkan rumus untuk menaikkan binomial ke yang keempat, kelima, dan seterusnya. derajat dimungkinkan, dengan adanya pola tertentu dalam koefisien dan derajat setiap suku.

Koefisien semua garis dapat disusun dalam bentuk segitiga:

Maka saya mengenal segitiga Pascal dan memutuskan untuk terus mempelajari segitiga aritmatika.

Blaise Pascal - matematikawan Perancis

B Les Pascal (19 Juni 1623, Clermont-Ferrand, - 19 Agustus 1662, Paris) - Matematikawan Perancis, fisikawan, penulis dan filsuf.

Pascal adalah seorang matematikawan kelas satu. Dia membantu menciptakan dua arah baru yang besar penelitian matematika. Pada usia enam belas tahun, ia menulis sebuah risalah yang luar biasa tentang geometri proyektif dan pada tahun 1654 berkorespondensi dengan Pierre de Fermat mengenai teori probabilitas, yang kemudian memiliki pengaruh mendasar terhadap perkembangan ekonomi modern.

Segitiga Pascal sebagai salah satu jenis segitiga

Saat mempelajari jenis-jenis segitiga, saya menemukan bahwa segitiga Pascal adalah segitiga aritmatika yang dibentuk oleh koefisien binomial. Dinamakan setelah Blaise Pascal. Padahal, segitiga Pascal sudah dikenal jauh sebelum tahun 1653, tanggal diterbitkannya Risalah tentang segitiga aritmatika". Jadi, segitiga ini direproduksi halaman judul buku teks aritmatika ditulis dalam awal XVI Peter Apian, astronom di Universitas Ingoltstadt. Segitiga juga digambarkan dalam ilustrasi di buku karya ahli matematika Tiongkok terbitan tahun 1303. Omar Khayyam, yang bukan hanya seorang filsuf dan penyair, tetapi juga seorang ahli matematika, sudah mengetahui keberadaan segitiga sekitar tahun 1100, kemudian meminjamnya dari sumber-sumber Cina atau India sebelumnya.

Saya juga belajar dari buku “Novel Matematika” (M., Mir, 1974) karya Martin Gardner bahwa “Segitiga Pascal sangat sederhana sehingga bahkan anak berusia sepuluh tahun pun dapat menuliskannya harta karun dan terhubung bersama berbagai aspek matematikawan yang sekilas tidak memiliki kesamaan satu sama lain. Sifat-sifat yang tidak biasa tersebut menjadikan segitiga Pascal salah satu diagram paling elegan di seluruh matematika."

Saya melihat skema membangun segitiga yang diusulkan oleh Hugo Steinhaus dalam karya klasiknya “ Kaleidoskop matematika": misalkan Anda memasuki kota seperti yang ditunjukkan pada diagram dengan panah biru, dan Anda hanya dapat bergerak maju, atau lebih tepatnya, terus-menerus memilih, maju ke kiri, atau maju ke kanan. Node yang hanya dapat dicapai dengan satu cara ditandai dengan emoticon hijau, titik yang dapat dicapai dengan dua cara ditunjukkan dengan emoticon merah, dan tiga, masing-masing, dengan emoticon merah muda. Ini adalah salah satu opsi untuk membuat segitiga.

(Gambar 1)

Mempelajari sastra khusus, saya belajar bahwa kata-kata menjelaskan struktur segitiga Pascal dengan lebih sederhana: setiap bilangan sama dengan jumlah dua bilangan diatasnya .

Semuanya dasar, tapi banyak keajaiban yang tersembunyi di dalamnya. Jika Anda menguraikan segitiga Pascal, Anda mendapatkan segitiga sama kaki. Pada segitiga ini ada yang di atas dan di samping. Setiap angka sama dengan jumlah dua angka di atasnya. Segitiga dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Ini simetris terhadap sumbu vertikal, melewati puncaknya. Sepanjang diagonal (sejauh mana sebuah segitiga bisa memiliki diagonal, tapi jangan berdalih, terminologi seperti itu ditemukan dalam publikasi), sejajar dengan sisinya segitiga (ditandai dengan garis hijau pada gambar) bilangan segitiga dan generalisasinya untuk kasus ruang semua dimensi dibuat. Bilangan segitiga dalam bentuk yang paling umum dan familiar menunjukkan berapa banyak lingkaran bersentuhan yang dapat disusun dalam bentuk segitiga – caranya contoh klasik susunan awal bola dalam bilyar. Anda dapat melampirkan dua lagi ke satu koin - dengan total tiga - ke dua Anda dapat melampirkan tiga lagi - dengan total enam.

Kami mendapatkan angka segitiga pada gambar: 3; 6; 10; 15.

Terus menambah baris sambil mempertahankan bentuk segitiga, kita mendapatkan baris 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., seperti yang ditunjukkan pada gambar kedua. garis hijau. Serial yang luar biasa ini, yang masing-masing anggotanya sama dengan jumlahnya deret bilangan asli (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), juga memuat banyak kenalan yang dikenal oleh pecinta matematika: 6 dan 28 adalah bilangan sempurna, 36 - nomor persegi, 8 dan 21 adalah bilangan Fibonacci.

Garis hijau berikutnya akan menunjukkan kepada kita bilangan tetrahedral - kita dapat menempatkan satu bola pada tiga - totalnya empat, kita dapat menempatkan enam di bawah tiga - totalnya sepuluh, dan seterusnya.

Untuk mencari jumlah bilangan pada sembarang diagonal dari awal sampai tempat yang kita minati, lihat saja bilangan yang terletak di bawah dan di kiri suku terakhir (di kiri untuk diagonal kanan, di kanan untuk kiri). diagonal, dan secara umum - lebih dekat ke tengah segitiga). Misalkan kita ingin menghitung jumlah bilangan pada deret natural dari 1 sampai 9. “Turun” secara diagonal ke bilangan 9, kita akan melihat bilangan 45 di kiri bawahnya jumlah yang dibutuhkan. Berapa jumlah delapan bilangan segitiga pertama? Kami menemukan angka kedelapan pada diagonal kedua dan bergerak ke bawah dan ke kiri. Jawaban: 120.

(Gambar 2)

Segitiga Pascal dapat diterapkan dalam teori probabilitas dan memiliki sifat yang luar biasa.

Sifat-sifat segitiga Pascal dan penerapannya dalam menyelesaikan masalah

Pascal mengeksplorasi secara rinci sifat-sifat dan penerapan "segitiga" miliknya. Saya hanya akan memberikan contoh 3 sifat "segitiga", yang ditemukan oleh Pascal sendiri; dalam hal ini, saya akan melanjutkan dari lokasi "segitiga" pada bidang yang ditunjukkan oleh Pascal, dan berbicara tentang baris horizontal dan vertikal.

Sifat 1: Setiap bilangan A pada tabel sama dengan jumlah bilangan baris mendatar sebelumnya, mulai dari bilangan paling kiri sampai dengan bilangan tepat di atas bilangan A (yang sel-selnya berisi suku-suku yang berjumlah A adalah diarsir).(Gambar 4)

(Gambar 4)(Gambar 5)(Gambar 6)

Sifat 2: Setiap bilangan A pada tabel sama dengan jumlah bilangan sebelumnya baris vertikal, dimulai dari yang paling atas sampai dengan angka A tepat di sebelah kiri.(Gambar 5)

Properti 3:Setiap bilangan dalam tabel, dikurangi satu, sama dengan jumlah semua bilangan yang mengisi persegi panjang yang dibatasi oleh baris-baris vertikal dan horizontal yang perpotongannya terdapat bilangan A (baris-baris ini sendiri tidak termasuk dalam persegi panjang di pertanyaan).(Gambar 6)

Segitiga Pascal dan teori probabilitas.

Blaise Pascal dan lainnya orang Prancis yang hebat, Pierre Fermat, menjadi pendiri teori probabilitas ketika Pascal dan Fermat memberikannya secara independen penjelasan yang benar yang disebut paradoks pembagian tarif. Dua pemain memainkan permainan yang "tidak berbahaya" (yaitu, keduanya memiliki peluang menang yang sama), sepakat bahwa pemain pertama yang memenangkan enam permainan akan menerima seluruh hadiah. Anggaplah permainan berhenti sebelum salah satu dari mereka memenangkan hadiah (misalnya, pemain pertama memenangkan lima pertandingan, dan pemain kedua memenangkan tiga pertandingan). Bagaimana cara membagi hadiah secara adil? Jadi, menurut satu keputusan, hadiah seharusnya dibagi dengan perbandingan 5:3, yaitu. sebanding dengan permainan yang dimenangkan, menurut yang lain - dalam rasio 2: 1 (di sini alasannya tampaknya dilakukan sebagai berikut: karena pemain pertama memenangkan dua pertandingan lagi, yang merupakan sepertiga dari enam pertandingan yang diperlukan untuk menang, dia harus menerima sepertiga dari hadiah, dan sisanya harus dibagi dua).

Sementara itu, Anda perlu membaginya dengan perbandingan 7:1. Baik Pascal dan Fermat memperlakukan paradoks pembagian taruhan sebagai masalah probabilitas, menetapkan bahwa pembagian yang adil sebanding dengan peluang pemain pertama untuk memenangkan hadiah. Misalkan pemain pertama hanya memiliki satu permainan tersisa untuk dimenangkan, dan pemain kedua perlu memenangkan tiga permainan lagi untuk menang, dan para pemain melanjutkan permainan dan memainkan ketiga permainan tersebut, meskipun beberapa di antaranya ternyata tidak diperlukan untuk menentukan pemenang. . Untuk kelanjutan seperti itu, semuanya 2 3 = 8 kemungkinan hasil mempunyai kemungkinan yang sama. Karena pemain kedua hanya mendapat hadiah dalam satu hasil (jika dia memenangkan ketiga pertandingan), dan pemain pertama menang dalam kasus lain, rasionya adalah 7:1.

Dalam ilmu pengetahuan dan praktek, seringkali terdapat permasalahan yang untuk penyelesaiannya perlu diciptakan berbagai kombinasi nomor terbatas elemen dan hitung jumlah kombinasinya. Permasalahan seperti ini disebut dengan permasalahan kombinatorial..

Mari kita pertimbangkan rumus dasar kombinatorik:

Ini adalah subset apa pun yang dipesanMdari elemen himpunanN.

.

Dalam segitiga Pascalangka yang menunjukkan berapa banyak cara yang dapat Anda pilihkelemen dari himpunan yang berisiN berbagai elemen, berdiri di persimpangank-diagonal danN-baris ke-th. Untuk menghitung kombinasinya , NSaya pergi ke diagonal ketujuh dari atas dan menghitung tiga angka secara horizontal. Saya mendapatkan nomor 35.

Anda juga dapat menggunakan segitiga Pascal untuk menghitung penempatan.

.Jika kita perlu menghitung, lalu mengetahui hal itu , dan 3!=6, kita mendapatkan nilai penempatan ini 210.

Saya sampai pada kesimpulan bahwa sifat-sifat segitiga Pascal yang dipertimbangkan mengkonfirmasi kata-kata Martin Gardner bahwa segitiga Pascal adalah salah satu skema paling elegan dalam semua matematika.

Relevansi penelitian ini disebabkan oleh komplikasi tahunan tugas CT, yang membutuhkan pengetahuan mendalam tidak hanya dalam aljabar, tetapi juga geometri.

Bagian praktis bekerja

Di miliknya kerja praktek Saya telah memilih sejumlah masalah pada topik “Segitiga Pascal”

Masalah 1. Toko Filateli menjual 8 set prangko berbeda yang didedikasikan untuk tema olahraga. Dalam berapa cara kamu dapat memilih 3 set dari ketiga set tersebut?

Larutan:

Dalam segitiga Pascal, suatu bilangan yang menunjukkan berapa banyak cara untuk memilih k elemen dari himpunan yang berisi n elemen berbeda, terletak pada perpotongan diagonal ke-k dan baris ke-n.

Saya akan menemukan diagonal kedelapan dari atas dan menghitung tiga angka secara horizontal. Saya mendapatkan nomor 56.(Gambar 8)

Tugas 2. Dari enam dokter di klinik, dua orang perlu dikirim ke kursus pelatihan lanjutan. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan:

Saya akan menemukan diagonal keenam dari atas dan menghitung dua angka secara horizontal. Saya mendapatkan nomor 15.

(P(Gambar 9)

Tugas 3. Paket berisi 7 buku catatan bergaris dan 5 buku catatan persegi dengan ukuran yang sama. Ambil 3 buku catatan secara acak dari kemasannya. Berapa peluang ketiga buku catatan tersebut berbentuk persegi?

Larutan. Pertama mari kita temukan jumlah total hasil yang mungkin, yaitu berapa cara kita dapat memilih 3 buku catatan dari 12 buku catatan?

Tugas 4. Terdapat 10 garis lurus pada suatu bidang, dan diantaranya tidak ada garis yang sejajar dan tepat dua garis lurus yang melalui setiap titik potongnya. Berapa banyak titik potong yang dimiliki keduanya?

Penyelesaian: Jawabannya ada pada perpotongan -45 titik!

Tugas 5.Ada 10 bola di dalam kantong, bernomor 1 sampai 10. Diambil 2 bola secara acak. Berapa peluang terambilnya bola bernomor 7 dan 3?

Anda dapat mengeluarkan 2 dari 10 bola yang tersedia dengan 45 cara. Peluang kejadian kita adalah 2 dari 45.(Gambar 11)

Selama penelitian praktis, saya sadar kesimpulan berikut: saat memecahkan masalah kombinatorial dan masalah dalam teori probabilitas, Anda tidak hanya dapat menggunakan rumus kombinatorik, tetapi juga menggunakan sifat-sifat segitiga Pascal

Kesimpulan

Pengerjaan topik yang dipilih dilaksanakan sepenuhnya sesuai dengan rencana penelitian, yaitu: objek dan subjek penelitian, tujuan dan sasaran yang ditetapkan, dan hasil yang diharapkan telah ditentukan. Metode penelitian yang digunakan ditunjukkan dan masalahnya didefinisikan.

Dalam karya ini hal itu diberikan karakteristik umum seperti segitiga sosok geometris, Segitiga Pascal dan sifat-sifatnya diperiksa secara rinci.

Saya sampai pada kesimpulan bahwa salah satu skema numerik yang paling terkenal dan elegan dalam seluruh matematika adalah segitiga Pascal. Segitiga Pascal adalah konsep yang jauh lebih luas dari yang saya bayangkan. Dia tidak hanya punya properti yang luar biasa, tetapi juga digunakan dalam arsitektur Abad Pertengahan untuk membangun skema proporsionalitas dan membangun sudut siku-siku oleh surveyor dan arsitek. Dengan menggunakan segitiga Pascal, Anda dapat menyelesaikan masalah dari teori probabilitas dan kombinatorik.DENGAN masalah kombinatorial Saya bertemu dalam pelajaran matematika di kelas 6 dan ketika memecahkan masalah olimpiade

Arti praktis dari karya ini adalah sebagai berikut: setelah mempelajari banyak literatur tentang masalah ini, memperoleh tambahan ilmu di bidang matematika, memperkuat minat saya terhadap ilmu tersebut.

Saya mengetahui bahwa segitiga Pascal digunakan:

Sadar aljabar

Saat memecahkan masalah kombinatorial

Untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam bidang fisika

Dengan munculnya komputer Membangun segitiga Pascal telah menjadi masalah favorit bagi para pemula ketika mempelajari dasar-dasar pemrograman.

Pekerjaan pada topik ini ternyata menarik dan bermanfaat.

Daftar sumber dan literatur yang digunakan

1. Abachiev S.K., Fraktalitas pelangi segitiga Pascal / S.K.

2. Galkin E.V. Tugas non-standar dalam matematika. Tugas logis. Buku untuk siswa kelas 5-11 Moskow, “Pencerahan”, 1996. – 194 hal.

3.Martin Gardner. Bab 17. Pesona segitiga Pascal / Novel Matematika yang tiada habisnya. - Minsk: Mir, 1974.- 456 hal.

4. Segitiga Pascal. V.A.Uspensky. - edisi ke-2. – Moskow: Nauka, 1979. – 48 hal.

5. Fuchs D., Fuchs M., Aritmatika koefisien binomial / Quantum. - 1970. - No. 6. - Hal.17-25.

6. Ensiklopedia untuk anak-anak. T 11. Matematika / Bab. ed. M. Aksenova; metode. dan jawab. ed. V.Volodin. – M.: Avanta+, 2004. – 688 detik.

7.

8. http:// davaiknam. ru/ teks/ volshebnij- treugolenik.

Koefisien binomial adalah koefisien perluasan (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Arti koefisien binomial didefinisikan untuk semua bilangan bulat... ... Wikipedia

Wiktionary memiliki entri untuk "segitiga" Segitiga di dalam arti luas obyek bentuk segitiga, atau tiga objek, koneksi berpasangan... Wikipedia

Tabel bilangan yang merupakan koefisien binomial. Di meja ini di samping segitiga sama kaki adalah satu, dan masing-masing bilangan yang tersisa sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya, kiri dan kanan: Pada baris bernomor n+1... ... Ensiklopedia Matematika

Fraktal segitiga Sierpinski, salah satu analog dua dimensi dari himpunan Cantor, diusulkan oleh ahli matematika Polandia Sierpinski ... Wikipedia

Konstruksi segitiga Reuleaux Segitiga Reuleaux [* 1] diwakili oleh ... Wikipedia

Segitiga tabel nomor untuk menyusun koefisien binomial (lihat binomial Newton). P. t. diusulkan oleh B. Pascal (Lihat Pascal). Lihat Segitiga aritmatika...

Segitiga Pascal, tabel bilangan segitiga untuk membangun koefisien binomial (lihat binomial Newton). Di sisi A. t. ada satuan, di dalam jumlah dua angka teratas. Pada baris ke (n + 1) dari koefisien binomial A.T. Ensiklopedia Besar Soviet

Sama seperti segitiga Pascal... Ensiklopedia Matematika

Dalam matematika, koefisien binomial adalah koefisien perluasan binomial Newton dalam pangkat x. Koefisien untuk dilambangkan atau dan dibaca “koefisien binomial dari n ke k” (atau “ze dari n ke k”): Dalam ... Wikipedia

Koefisien pemuaian (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat n dan k. Rumus eksplisit... Wikipedia

Buku

• segitiga Pascal. Buku 102, V.A.Uspensky. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan pemecahan masalah seperti itu...
• segitiga Pascal. Buku No. 102, Uspensky V.A.. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan pemecahan masalah seperti itu...

Koefisien binomial adalah koefisien perluasan (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat... ... Wikipedia

Segitiga (arti)- Wiktionary memiliki artikel “segitiga” Segitiga dalam arti luas adalah suatu benda yang berbentuk segitiga, atau tiga benda yang dihubungkan berpasangan... Wikipedia

SEGITIGA PASCAL- tabel angka yang merupakan koefisien binomial. Pada tabel ini, terdapat bilangan-bilangan yang terletak pada sisi-sisi segitiga sama kaki, dan masing-masing bilangan yang tersisa sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya di kiri dan kanan: Pada garis bernomor n+1... .. . Ensiklopedia Matematika

Segitiga Sierpinski- Fraktal segitiga Sierpinski, salah satu analog dua dimensi dari himpunan Cantor, diusulkan oleh ahli matematika Polandia Sierpinski ... Wikipedia

Segitiga Reuleaux- Konstruksi segitiga Reuleaux Segitiga Reuleaux [* 1] diwakili oleh ... Wikipedia

segitiga Pascal- tabel numerik segitiga untuk menyusun koefisien binomial (lihat binomial Newton). P. t. diusulkan oleh B. Pascal (Lihat Pascal). Lihat Segitiga aritmatika...

Segitiga aritmatika- Segitiga Pascal, tabel numerik segitiga untuk menyusun koefisien binomial (lihat binomial Newton). Di sisi A. t. ada satuan, di dalam jumlah dua angka teratas. Pada baris ke (n + 1) dari koefisien binomial A.T. Ensiklopedia Besar Soviet

SEGITIGA ARITMATIK- sama dengan segitiga Pascal... Ensiklopedia Matematika

Koefisien binomial- Dalam matematika, koefisien binomial adalah koefisien pemuaian binomial Newton pangkat x. Koefisien untuk dilambangkan atau dan dibaca “koefisien binomial dari n ke k” (atau “ze dari n ke k”): Dalam ... Wikipedia

Koefisien binomial- koefisien ekspansi (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat n dan k. Rumus eksplisit... Wikipedia

Buku

• segitiga Pascal. Buku 102, V.A.Uspensky. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan penyelesaian masalah seperti itu... Beli seharga 211 UAH (khusus Ukraina)
• segitiga Pascal. Buku No. 102, Uspensky V.A.. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan pemecahan masalah seperti itu...

Semua orang belajar tentang segitiga Pascal di masa mudanya. Namun ternyata, tidak semua keajaiban yang terkandung dalam segitiga tersebut diketahui. Faktanya, kami masih menemukan hal-hal baru!

Membuat segitiga cukup mudah: Anda harus meletakkan angka di tepi luarnya, dan setiap angka di dalamnya sama dengan jumlah dua angka di atasnya. Jadi, bilangan ketiga pada baris keenam sama dengan , karena merupakan jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dan .

Perhatian! Kami sebenarnya akan mengatakan berapa angka kedua di baris kelima. Untuk alasan yang akan segera menjadi jelas, kita mulai memberi nomor pada baris dan kolom segitiga dari awal. Misalnya bilangan kedua pada baris keempat adalah .

Mengetahui aturan penjumlahan, Anda dapat melanjutkan tanpa henti: Anda dapat menulis baris sebanyak yang dimungkinkan oleh kesabaran Anda.

10 baris pertama segitiga Pascal

Pascal memperkenalkan segitiganya pada tahun 1653 dalam Traité du Triangle arithmétique sebagai bagian dari masalah dalam studi probabilitas dan komputasi. Pertanyaannya kira-kira seperti: “Jika saya ingin memilih dua orang dari empat data yang diberikan, berapa banyak kemungkinan pasangan yang ada?” atau “Berapa probabilitas mendapatkan full house ()? catatan dalam poker, tiga kartu dengan satu nilai dan dua kartu lainnya) ketika lima kartu dibagikan dari tumpukan kartu yang dikocok dengan baik?'' Pascal dan Fermat kebanyakan membahas probabilitas dalam surat-surat yang mereka tukarkan pada saat itu. Anda dapat melihat segitiga asli Pascal.

Bagaimana hubungan segitiga dengan probabilitas? Nah, jika ingin memilih objek dari data, maka nomornya pilihan yang memungkinkan pilihannya sama dengan angka ke-th pada baris ke-th segitiga. Ingatlah bahwa nomor baris dan angka pada garis segitiga dimulai dari nol! Dengan menggunakan aturan ini, kita melihat bahwa ada dua cara untuk memilih dua orang dari empat data yang diberikan. Jadi - angka ketiga pada garis kesembilan segitiga, lalu ada cara untuk memilih tiga orang dari sembilan data. Setelah Anda mempelajari cara menghitungnya, Anda akan mengambil langkah kecil untuk menghitung semua kemungkinan yang mungkin.

Sepintas, nampaknya agak tidak jelas mengapa segitiga memberikan jawaban yang benar untuk pertanyaan ini. Mungkin juga terasa aneh bahwa kita harus selalu memulai dari awal agar berhasil. Untuk memastikan bahwa semua ini sepenuhnya benar, kami akan memberikan dua komentar.

Pertama, jika Anda mempunyai sekelompok objek, berapa banyak cara Anda dapat memilih nol objek dari objek tersebut? Hanya ada satu cara untuk memilih objek nol, dan itu adalah dengan menyatakan bahwa Anda tidak mengambil satu pun objek tersebut. Selain itu, Anda hanya memiliki satu cara untuk memilih semua objek. Dan ini sama persis dengan yang ada di kedua ujung setiap baris.

Blaise Pascal

Kedua, jika kita ingin memilih item dari data, kita melihat ada dua skenario yang saling eksklusif: item favorit kita adalah salah satu item yang dipilih, atau bukan. Jika kita memilihnya, maka kita juga harus memilih item dari item yang tersisa untuk memilih item dengan tepat. Jika kita tidak memilih item tertentu, maka kita harus memilih semua item dari data item yang tersisa setelah menghilangkan item favorit kita. Karena ini adalah kemungkinan yang saling eksklusif untuk diperoleh jumlah total pilihan, kita harus menjumlahkan jumlah pilihan dalam setiap skenario.

Singkatnya, untuk mendapatkan banyaknya cara memilih objek dari data, kita harus menjumlahkan banyaknya cara memilih objek dari , dan banyaknya cara memilih objek dari . Namun justru inilah aturan penjumlahan segitiga Pascal!

Kita telah mengetahui bahwa suatu segitiga sepenuhnya ditentukan oleh susunan satuan pada sisi-sisinya dan aturan penjumlahan. Karena sifat-sifat ini juga berlaku untuk jawaban atas pertanyaan tentang jumlah pilihan objek, segitiga juga harus memberikan jawaban yang benar di sini.

Kemampuan untuk membuat perhitungan seperti itu sangat berharga dalam banyak kasus. Oleh karena itu, tidak mengherankan jika Pascal bukanlah yang pertama. Angka-angka ini diteliti oleh ahli matematika India, Cina, dan Iran di waktu yang berbeda, dimulai lebih dari seribu tahun yang lalu. Dan tentu saja semua orang akan mengenali segitiga Yang Hui, 1303:

Lucunya, tanpa bisa membedakan angka pun, Anda bisa menemukan kesalahan ketik pada segitiga berusia lebih dari 700 tahun ini! Petunjuk: Aturan penjumlahan membuat segitiga Pascal menjadi simetris terhadap garis vertikal yang melalui titik sudutnya. Jika diperhatikan lebih dekat, pada segitiga Yang Hui simetri ini patah di satu tempat.

Ada banyak hal indah dalam segitiga. Dimana keajaibannya? Beberapa di antaranya mudah dikenali. Jika Anda menjumlahkan angka-angka pada baris ke-tiga sebuah segitiga, Anda akan selalu mendapatkan pangkat (misalnya, ). Ini cukup membosankan bagi kami.

Yang lebih menarik adalah kenyataan bahwa jika Anda menjumlahkan angka-angka pada diagonal segitiga, Anda mendapatkan deret angka Fibonacci. Dan deret Fibonacci sendiri mengandung banyak kejutan.

Baru-baru ini, sesuatu yang mengejutkan dan baru ditemukan pada segitiga Pascal. Seperti yang telah kita lihat, saat Anda menjumlahkan angka-angka dalam deretan segitiga, sesuatu yang menarik terjadi. Fakta tentang penjumlahan ini sama tuanya dengan segitiga itu sendiri. Namun, hingga tahun 2012, sebelum Harlan Brothers, tidak ada yang mencoba mencari tahu apa yang akan terjadi jika Anda mengalikan angka di setiap baris.

Mari kita nyatakan dengan hasil kali bilangan-bilangan pada baris ke-th segitiga. Jadi, , dan seterusnya. Angka-angka yang dihasilkan tampaknya tidak memiliki sifat ajaib yang nyata. Saudara-saudara mempunyai ide untuk melihat apa yang akan terjadi jika Anda membagi produk-produk ini dihitung untuk baris yang berdekatan. Lebih tepatnya, ia menemukan angka-angka yang diperoleh dengan rumus berikut:

Artinya, untuk setiap baris ia menghitung pecahan yang pembilangnya sama dengan produknya semua bilangan pada garis di bawahnya dan pada garis di atasnya, dan penyebutnya adalah hasil kali kuadrat semua bilangan pada baris tersebut.

Dan inilah hal yang menakjubkan: semakin besar, rasio ini semakin mendekati angka ! Ingat, ini angka desimal Dengan jumlah yang tak terbatas angkanya kira-kira sama dengan . Hal ini tampak dalam kapitalisasi bunga, pola pertumbuhan populasi, dan situasi lainnya pertumbuhan eksponensial. Sungguh menakjubkan bahwa angka ini bisa begitu cantik dengan cara yang sederhana ditemukan pada segitiga Pascal. Karena Anda tahu apa yang harus dicari, mudah untuk melihat bahwa rasio tersebut semakin mendekati seiring pertumbuhan Anda. Seperti yang Anda lihat, perhitungannya hanya memerlukan sedikit aljabar.

Animasi bagus karya Richard Greene ini dengan jelas menunjukkan hasil Harlan Brothers:

Ada keajaiban lain dalam segitiga yang harus diketahui semua orang. Mari kita mewarnai setiap angka dalam segitiga dengan salah satu dari dua warna, tergantung apakah angka tersebut genap atau ganjil. Misalnya kita bisa melukis angka genap putih, dan yang ganjil - biru. Jika kita melakukan ini untuk 500 baris pertama segitiga, kita mendapatkan pola ini:

Ini adalah fraktal terkenal yang dikenal sebagai segitiga Sierpinski! Hal ini mengarah ke berbagai jenis pertanyaan. Suatu bilangan genap atau ganjil jika dibagi memberikan sisa atau berturut-turut. Apa yang terjadi jika kita membaginya? Sisanya bisa sama dengan atau . Apa yang terjadi jika Anda menggunakan delapan warna dan mewarnai setiap angka menurut sisanya jika dibagi delapan? Untuk 500 baris pertama segitiga kita mendapatkan gambar yang indah:

Komentar: 6

1. 1Murad:

   Kesalahan besar - absurditas yang dilakukan oleh nenek moyang kita dan kita sendiri

   Penelitian saya mengungkapkan kesalahan besar berikut - absurditas yang dilakukan oleh nenek moyang kita dan kita:
   1. Mereka percaya bahwa manusia itu fana, namun ternyata ia abadi dan ideal. Di Alam Semesta, benda-benda ciptaan, dari mana asalnya, tidak pernah kembali ke sana. Maka tidak ada kematian - semua benda yang diciptakan di Alam Semesta hidup. Semuanya sejauh ini lahir dari manusia dikembalikan dalam bentuk abadi dan ideal, setiap 30 bit kode - angka menemukan pasangan idealnya, dan jumlah kode - jumlah pasangan adalah 30 sembilan.
   2. Kita hanya naik ke 4 tahap perkembangan mental, dan ada 7 diantaranya: Nilai selanjutnya yang tidak dapat dibagi 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - permulaan, berat dan volume sel hidup - jiwa yang hidup dan nilai selanjutnya yang tidak dapat diperluas 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. Ini adalah ukuran masing-masing tata surya dan akan ada 3 sextillion dari mereka.
   3. Semua benda yang diciptakan di Alam Semesta terdiri dari sel yang sama - kubus, berat dan volume 1butto = 10-21. Wanita ideal Seorang berusia 25 tahun terdiri dari 360 sextillion sel, dan pria idaman Seorang berusia 25 tahun adalah 366 sextillion = 366x10st.21 sel, dengan setiap sel adalah orang itu sendiri. Artinya bagiannya sama dengan keseluruhan: Satu “I” untuk semua “366x10st.21I” dan “366x10st.21 I” untuk satu “I” - ini untuk laki-laki.
   4. Bagian sama dengan keseluruhan dan tidak ada bilangan pecahan, tapi mereka berpikir sebaliknya. Maka tidak ada yang irasional dan angka transendental. Juga tidak ada logaritma, fungsi trigonometri, limit, diferensial dan integral, kalkulus variasional, teori probabilitas dan statistik. Alam semesta dan pengetahuan itu terbatas, tetapi mereka berpikir sebaliknya. Tidak perlu menggunakan ekspresi radikal.
   5. Kita mempertimbangkan persamaan Zn = Xn +Yn teorema besar Persamaan Fermat atau Diophantine merupakan penyelesaian dari persamaan (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Maka Zn = – (Xn +Yn) merupakan penyelesaian persamaan (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Mereka mengacaukan solusi dengan persamaannya, tetapi tidak mengetahui persamaan itu sendiri. Ini tidak masuk akal, memalukan bagi para ahli matematika!
   Solusi masalah optimasi mengarah ke sistem linier, kekuasaan dan persamaan diferensial. Ternyata kita bingung penyelesaiannya dengan persamaan sistem, dan tidak mengetahui persamaan itu sendiri: Zn = Xn + Yn merupakan solusi dari persamaan (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Penyelesaiannya Zn = Xn +Yn adalah +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) dan -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n- 1 )). Setiap 103n = 10n x 102n adalah alas sebuah kubus dan sekaligus Rubik berorde 10n.
   Kita anggap persamaan c2= a2+ b2: kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kaki-kakinya adalah teorema Pythagoras, namun ternyata persamaan tersebut merupakan solusi dari persamaan (c2- a2) a2 = (c2- b2 ) b2. Maka c2= – (a2+ b2) merupakan penyelesaian persamaan (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Artinya dari 2 sama segitiga siku-siku, kaki-kaki yang sama panjang dapat membentuk persegi - alas kubus. Dari 12 segitiga siku-siku yang sama kaki, kaki-kaki yang sama panjang dapat membentuk kubus. Tergantung pada panjang kakinya, Anda dapat membentuk berbagai kubus dan sekaligus rubik.
   6. Kami belum memahami pengertian penjumlahan dan perkalian 1 (satuan). Jika ada 9 laki-laki dan 9 perempuan, maka 9 + 9 = 18 orang. 10 laki-laki dan 9 perempuan, maka 10+9 = 19 orang, 10 laki-laki dan 10 perempuan, kemudian 10+10 = 20 orang, 11 laki-laki dan 10 perempuan, kemudian 11+10 = 21 orang. Produk 1 (unit):
   111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Operasi ini dilakukan pada bilangan bulat negatif dan positif 1-bit.
   Jika kita letakkan 2 buah kubus pada ujung-ujung ruas yang panjangnya 20 satuan. Misalkan yang satu diberi muatan minus, yang kedua diberi muatan plus, maka keduanya sekaligus bertemu di tengah ruas tersebut, masing-masing melewati 10 satuan lintasan, jika dalam perjalanannya tidak ada halangan: 01234567899876543210. Kemudian kita beri muatan yang sama, maka mereka akan menempati posisi awal, dan angkanya berubah: 98765432100123456789.
   Jika kita letakkan 2 buah kubus pada ujung-ujung ruas yang panjangnya 200 satuan. Mari kita beri muatan minus yang satu, yang kedua plus, lalu mereka secara bersamaan bertemu di tengah segmen, masing-masing melewati 100 satuan jalan, jika tidak ada hambatan di sepanjang jalan: 00...9999...00. Kemudian kita beri muatan dengan nama yang sama, mereka akan mengambil posisi awal, dan angkanya berubah: 99...0000...99.
   Jika kita letakkan 2 buah kubus pada ujung-ujung ruas yang panjangnya 2000 satuan. Mari kita beri muatan minus yang satu, yang kedua plus, lalu mereka secara bersamaan bertemu di tengah segmen, masing-masing melewati 1000 satuan jalan, jika tidak ada hambatan di jalan: 000...999999...000. Kemudian kita beri muatan dengan nama yang sama, mereka akan mengambil posisi awal, dan angkanya berubah: 999...000000...999.
   Melanjutkan proses ini, kita mencapai 2 sextillion unit, kemudian setiap kubus, setelah dilewati, 1 sextillion jalur bertemu di tengah. Hukum tarik-menarik Newton dilengkapi dengan tolakan. Setiap 1 jalur (unit) harus diberi nomor, dimulai dengan 21 angka nol dan diakhiri dengan 21 angka sembilan.
   Kode - angka yang ditetapkan untuk setiap pasangan - benda yang diciptakan di Alam Semesta, adalah hasil kali bilangan bulat yang terdiri dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Misalnya , setiap pasangan manusia diberi kode 30 digit berupa angka, jumlahnya 30 sembilan. Menetapkan kode - nomor setiap orang dimulai dengan 30 angka nol dan diakhiri dengan 30 angka sembilan.
   Pemanfaatan bilangan bulat untuk kebutuhan Kemanusiaan cukup sampai derajat ke 3 :
   -(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
   -(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
   7. Dipercaya bahwa 1Kb = 1024b, dan 1Kb =1000b, 1Kg =1000g, 1m =1000mm. Waktu mempunyai basis 60. 1 jam = 60 menit, 1 menit. = 60 detik, 1 detik = 60 mili detik, 1 mili detik = 60 mikro detik, 1 mikro detik = 60 nano detik, 1 nano detik = 60 pic detik, 1 pic detik = 60 femto detik, 1 fem detik = 60 otto detik , 1 otto detik = 60 detik terakhir.
   8. Dunia mempunyai sistem koordinat kubik (alas persegi), bukan persegi panjang (bukan Cartesian). Hal ini karena X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a adalah alasnya. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
   Sistem koordinat persegi panjang (Kartesius) diperoleh dari sifat bilangan bulat: Jumlah 2 bilangan X dan Y tidak berubah dari penjumlahan dan pengurangan bilangan b, tetapi hasil kali berubah.
   X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
   X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
   X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
   X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
   9. Model Bumi bukanlah bola dunia, melainkan kubus sekaligus Rubik berorde 24 - permukaannya berbentuk bujur sangkar besar, terbagi menjadi 576 bujur sangkar kecil, ukuran yang sama. Panjang sisi persegi kecil 1000 km = 10 st. 6 m. m. permukaan bumi seharusnya tertutup uap, tapi kita hidup dalam absurditas.
   10. Pusat bumi (permulaan, pusar) dan permulaan waktu berada di utara Turkmenistan (Kunya-Urgench, tempat suci 360), dan mereka percaya bahwa waktu dimulai di Greenwich.
   11. Ada banyak kalender di dunia, tapi seharusnya ada kalender universal Saparova M;
   12. Tahun Baru untuk menyambut matahari terbit dan bulan baru di malam hari.
   13. Memakai jam tangan yang menunjukkan 24 jam. Sehari -24 jam dimulai dan diakhiri dengan matahari terbit;
   14. Ada banyak huruf dan bahasa di dunia, tapi harus ada satu bahasa digital.
   15 Ada banyak ilmu pengetahuan di dunia, tetapi seharusnya hanya ada satu ilmu pengetahuan - Aritgraf.
   16. Seseorang lahir setelah 9 bulan = ¾ tahun, dan kita merayakan ulang tahunnya dua tahun sekali. Umur seseorang ditentukan dengan rumus: (4n)/3, dimana n adalah bilangan dibagi 3 - setelah 3 tahun ditambah 1 tahun = 9 bulan.
   17.B Tabel periodik unsur kimia D. I. Mendeleev masing-masing unsur kimia organisme hidup, semua uang adalah kertas, logam dan juga organisme hidup, apa yang kita makan, minum, hirup dan jalani juga merupakan organisme hidup. Kita akan yakin akan hal ini dengan memperoleh nilai 1butto=10st.-21.
   Anda dapat menambahkan absurditas dan cara memperbaikinya, kita akan mendapat manfaat darinya, kita akan segera menjadi abadi dan ideal.
   Hanya ada satu jalan keluar - transisi lengkap ke sistem bilangan ke-10. Jika kita memperbaiki semua absurditas, maka kepala - komputer kita akan bekerja 1000 kali 1000 operasi per detik, dan semua masalah kita akan terpecahkan.
   Tentang segala sesuatu di teoremaferma.far.ru, dipublikasikan di blog dan komunitas di facebook.com dan dalam grup di yandex.ru.

Untuk menerima segitiga Pascal, kami menulis ulang Tabel 1 dari bagian “Rumus perkalian yang disingkat: derajat penjumlahan dan derajat selisih” dalam bentuk berikut (Tabel P.):

Tabel P. – Derajat alami binomial x + y

Sekarang, dengan menggunakan kolom ketiga Tabel P., kita akan membuat Tabel berikut - segitiga Pascal:

Sekarang, dengan hanya menuliskan koefisien muai pangkat binomial ke dalam jumlah monomial, kita memperoleh Tabel berikut - segitiga Pascal:

Tabel - Segitiga Pascal

Untuk berjaga-jaga, izinkan kami mengingatkan Anda bahwa Blaise Pascal adalah fisikawan terkenal dan seorang ahli matematika yang tinggal di Perancis lebih dari tiga abad yang lalu.

Dalam segitiga Pascal, setiap baris berhubungan dengan garis dengan nomor yang sama pada Tabel P. Namun, di setiap baris segitiga Pascal, tidak seperti Tabel P., hanya koefisien ekspansi menjadi jumlah monomial dengan derajat binomial yang sesuai x + y.

Setelah terlebih dahulu mengisi garis segitiga Pascal dengan angka 0 dan 1, perhatikan garis dengan angka 2 dan selanjutnya.

Properti utama segitiga Pascal, memungkinkan Anda mengisi barisnya secara berurutan, dimulai dengan baris nomor 2, adalah properti berikutnya :

Masing-masing baris , dimulai dari baris nomor 2, pertama, dimulai dan diakhiri dengan angka 1, dan kedua, di antara angka 1 ada angka, setiap di antaranya sama dengan jumlah dua bilangan diatasnya di baris sebelumnya.

Memang benar angka 2 pada baris nomor dua sama dengan jumlah angka 1 ditambah 1 pada baris pertama. Demikian pula, angka 3 dan 3 pada baris nomor tiga masing-masing sama dengan jumlah angka 1 ditambah 2 dan jumlah angka 2 ditambah 1 pada baris kedua.

Sama untuk jalur lainnya.

Jadi, sifat segitiga Pascal memungkinkan, setelah mengisi salah satu garis, dengan mudah mengisi garis berikutnya, yaitu. dapatkan koefisien muai yang diperlukan ke dalam jumlah monomial derajat berikutnya dari binomial x + y.

Contoh. Tulislah dekomposisi dari bentuk:

(X + kamu) 7 .

Solusi. Dengan menggunakan garis segitiga Pascal dengan angka 6 dan menerapkan sifat utama segitiga Pascal, kita mendapatkan garis dengan angka 7:

Di situs kami, Anda juga dapat berkenalan dengan guru-guru yang dikembangkan pusat pelatihan Materi pendidikan "Resolventa" untuk persiapan Ujian Negara Terpadu dan Ujian Negara Terpadu Matematika.

Bagi anak sekolah yang ingin mempersiapkan diri dengan baik dan lulus Ujian Negara Bersatu