Definisi 1. Permukaan silinder adalah permukaan yang dibentuk oleh garis-garis lurus yang sejajar satu sama lain, disebut permukaannya pembentukan .
Jika ada bidang yang memotong semua generator permukaan silinder, memotongnya di sepanjang garis R, maka baris ini dipanggil memandu permukaan silinder ini.
Dalil . Jika sistem koordinat Cartesian dan persamaan pada bidang diperkenalkan di ruang angkasa xOy adalah persamaan suatu garis R, maka persamaan dalam ruang ini adalah persamaan permukaan silinder L dengan garis panduan R, dan generator sejajar dengan sumbu Ons(Gbr. 3.19, a).
Bukti. Dot 
terletak pada permukaan silinder L jika dan hanya jika proyeksinya 
poin M ke pesawat xOy sejajar dengan sumbu Ons terletak di telepon R, yaitu. jika dan hanya jika persamaan tersebut berlaku 
.
Kesimpulan serupa berlaku untuk persamaan bentuk 
(Gbr. 3.19, b) dan 
(Gbr. 3.19, c).
Definisi 2 . Permukaan silinder yang pemandunya berupa garis-garis orde kedua disebut permukaan silinder orde kedua .
Ada tiga jenis silinder orde kedua: berbentuk bulat panjang (Gbr. 3.20)
, (5.42)
hiperbolis (Gbr. 3.21)
, (5.43)
parabola (Gbr. 3.22)
. (5.44)
Beras. 3.20 Gambar. 3.21 Gambar. 3.22
Untuk silinder yang diberikan oleh persamaan (5.42), (5.43) dan (5.44), garis panduannya masing-masing adalah elips
,
hiperbola
,
parabola
,
dan generator sejajar dengan sumbu Ons.
Komentar. Seperti telah kita lihat, permukaan kerucut dan silinder orde kedua mempunyai generator bujursangkar, dan masing-masing permukaan tersebut dapat dibentuk oleh pergerakan garis lurus dalam ruang.
Ternyata di antara semua permukaan orde kedua, selain silinder dan kerucut, hiperboloid lembaran tunggal dan paraboloid hiperbolik juga mempunyai generator bujursangkar, dan, seperti halnya silinder dan kerucut, keduanya permukaan dapat dibentuk oleh pergerakan garis lurus dalam ruang (lihat literatur khusus).
§4. Mengurangi persamaan umum permukaan orde kedua ke bentuk kanonik
Dalam persamaan umum permukaan orde kedua
a) bentuk kuadrat
Di mana 
;
b) bentuk linier
Di mana 
;
V) anggota bebas
.
Untuk membawa persamaan (5.45) ke bentuk kanonik, pertama-tama perlu dilakukan transformasi koordinat seperti itu 
, dan, akibatnya, dasar ortonormal terkait 
, yang mengubah bentuk kuadrat (5.46) menjadi bentuk kanonik(lihat buku 2, bab 8, §3, klausa 3.1).
Matriks bentuk kuadrat ini adalah
,
di mana, yaitu matriks A– simetris. Mari kita nyatakan dengan 
nilai eigen, dan melalui 
dasar ortonormal yang terdiri dari vektor eigen matriks A. Membiarkan
–
matriks transisi dari basis 
ke pangkalan 
, A 
– sistem koordinat baru yang terkait dengan basis ini.
Kemudian, saat mentransformasikan koordinat
(5.48)
bentuk kuadrat (5.46) mengambil bentuk kanonik
Di mana 
.
Sekarang, dengan menerapkan transformasi koordinat (5.48) ke bentuk linier (5.47), kita memperoleh
Di mana 
,
– koefisien bentuk baru (5,47).
Jadi, persamaan (5.45) mengambil bentuk
+.
Persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transfer paralel sistem koordinat sesuai rumus
atau 
(5.49)
Setelah melakukan transformasi sistem koordinat dengan cara transfer paralel(5.49), persamaan umum permukaan orde kedua (5.45) terhadap sistem koordinat Cartesian 
akan mengekspresikan salah satu dari tujuh belas permukaan berikut:
1) elipsoid 
2) ellipsoid imajiner 
3) hiperboloid satu lembar 
4) hiperboloid dua lembar 
5) kerucut 
6) kerucut imajiner 
7) paraboloid elips
8) paraboloid hiperbolik
9) silinder elips
10) silinder elips imajiner
11) dua bidang imajiner yang berpotongan
12) silinder hiperbolik
13) dua bidang berpotongan
14) silinder parabola
15) dua bidang sejajar
16) dua bidang imajiner sejajar
17) dua bidang yang berhimpitan
Contoh. Tentukan jenis dan lokasi permukaan yang ditentukan relatif terhadap sistem koordinat persegi panjang Cartesian 
dan dasar ortonormal terkait 
persamaan
Mari kita berikan bentuk kuadrat
(5.51)
ke bentuk kanonik. Matriks bentuk ini mempunyai bentuk
.
Mari kita tentukan nilai eigen matriks ini dari persamaan karakteristik
Dari sini 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Sekarang kita temukan vektor eigen matriks A: 1) biarkan 
, lalu dari persamaan 
atau dalam bentuk koordinat
temukan di mana 
– nomor berapa pun, dan karenanya 
, A 
. Dari seluruh himpunan vektor-vektor collinear 
pilih vektor 
, yang modulusnya 
, yaitu. menormalkan vektor 
.
2) untuk 
kita punya
.
Dari sini 
, Di mana 
– nomor berapa pun. Kemudian 
, A 
. Normalisasi vektor 
, carilah vektor satuan 
:
,
Di mana 
.
3)
, lalu untuk komponennya 
vektor 
kami memiliki sistem
Dari mana, dimana 
– nomor berapa pun, dan karenanya 
, A 
. Normalisasi vektor 
, carilah vektor satuan 
untuk arah yang diberikan oleh vektor 
:
Di mana 
.
Sekarang mari kita beralih dari basis ortonormal 
ke dasar ortonormal 
, terdiri dari vektor eigen matriks A dan hubungkan dengan basis terakhir sistem koordinat persegi panjang Cartesian yang baru 
. Matriks transisi untuk transformasi tersebut memiliki bentuk
,
dan koordinatnya diubah sesuai rumus
(5.52)
Menerapkan transformasi koordinat ini ke bentuk kuadrat (5.51), kami mereduksinya menjadi bentuk kanonik
, Di mana 
.
Sekarang mari kita tentukan bentuk rumus liniernya
, Di mana 
,
jika koordinatnya diubah menurut rumus (5.52). Kita punya
Jadi, jika sistem koordinat 
transformasi menggunakan rumus (5.52), kemudian relatif terhadap sistem koordinat baru 
permukaan orde kedua yang dipertimbangkan diberikan oleh persamaan
Persamaan (5.53) direduksi ke bentuk kanonik menggunakan transfer paralel sistem koordinat sesuai dengan rumus
setelah itu, persamaan permukaan relatif terhadap sistem koordinat 
mengambil formulir
atau 
Persamaan ini menyatakan silinder elips yang elips pengarahnya terletak pada bidang koordinat 
, dan garis pembangkit sejajar dengan sumbu 
Komentar. Skema pengurangan persamaan umum dari permukaan orde kedua ke bentuk kanonik, yang disajikan di bagian ini, juga dapat diterapkan untuk mereduksi persamaan umum kurva orde kedua ke bentuk kanonik.
Siswa paling sering menemukan permukaan urutan ke-2 pada tahun pertama. Pada awalnya, masalah pada topik ini mungkin tampak sederhana, tetapi seiring Anda mempelajarinya matematika yang lebih tinggi dan memperdalam sisi ilmiahnya, Anda akhirnya bisa kehilangan arah terhadap apa yang sedang terjadi. Untuk mencegah hal ini terjadi, Anda tidak hanya perlu menghafal, tetapi memahami bagaimana permukaan tertentu diperoleh, bagaimana perubahan koefisien mempengaruhi permukaan tersebut dan lokasinya relatif terhadap sistem koordinat asli, dan bagaimana menemukannya. sistem baru(yang pusatnya berimpit dengan titik asal koordinat, dan sejajar dengan salah satu koordinat sumbu koordinat). Mari kita mulai dari awal.
Definisi
Permukaan orde ke-2 disebut GMT, yang koordinatnya memenuhi persamaan umum berbentuk berikut:
Jelas bahwa setiap titik milik permukaan harus memiliki tiga koordinat pada dasar yang ditentukan. Meskipun dalam beberapa kasus tempat titik dapat merosot, misalnya, menjadi bidang. Ini hanya berarti bahwa salah satu koordinatnya konstan dan sama dengan nol di seluruh rentang nilai yang diizinkan.
Bentuk tertulis lengkap dari persamaan di atas terlihat seperti ini:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - beberapa konstanta, x, y, z - variabel yang sesuai koordinat affine poin apa pun. Dalam hal ini, setidaknya salah satu faktor konstan tidak boleh ada sama dengan nol, artinya, tidak ada titik mana pun yang sesuai dengan persamaan tersebut.
Dalam sebagian besar contoh, banyak faktor numerik yang masih sama dengan nol, dan persamaannya disederhanakan secara signifikan. Dalam praktiknya, menentukan apakah suatu titik termasuk dalam suatu permukaan tidaklah sulit (cukup dengan memasukkan koordinatnya ke dalam persamaan dan memeriksa apakah identitasnya berlaku). Poin kuncinya dalam pekerjaan tersebut adalah membawa yang terakhir ke bentuk kanonik.
Persamaan yang ditulis di atas mendefinisikan setiap (semua tercantum di bawah) permukaan orde ke-2. Mari kita lihat contoh di bawah ini.
Jenis permukaan orde 2
Persamaan permukaan orde 2 hanya berbeda pada nilai koefisien A nm. Dari pandangan umum pada nilai konstanta tertentu dapat diperoleh berbagai permukaan yang diklasifikasikan sebagai berikut:
- Silinder.
- Tipe elips.
- Tipe hiperbolik.
- Tipe kerucut.
- Tipe parabola.
- Pesawat terbang.
Masing-masing tipe yang terdaftar memiliki bentuk alami dan imajiner: dalam bentuk imajiner, tempat kedudukan titik nyata atau merosot menjadi lebih banyak sosok yang sederhana, atau tidak ada sama sekali.
Silinder
Ini adalah tipe yang paling sederhana, karena kurva yang relatif kompleks hanya terletak di dasar, bertindak sebagai panduan. Generatornya adalah garis lurus, bidang tegak lurus, di mana letak dasarnya.
Grafik menunjukkan silinder melingkar - kasus khusus silinder elips. Di bidang XY, proyeksinya akan berbentuk elips (dalam kasus kami, lingkaran) - panduan, dan di XZ - persegi panjang - karena generator sejajar dengan sumbu Z. Untuk mendapatkannya dari persamaan umum, itu adalah perlu memberikan nilai berikut pada koefisien:
Daripada simbol biasa x, y, z, x dengan nomor seri- tidak masalah.
Faktanya, 1/a 2 dan konstanta lain yang ditunjukkan di sini adalah koefisien yang sama yang ditunjukkan dalam persamaan umum, tetapi biasanya ditulis persis dalam bentuk ini - ini adalah representasi kanonik. Berikut ini, entri ini akan digunakan secara eksklusif.
Ini mendefinisikan silinder hiperbolik. Skemanya sama - hiperbola akan menjadi panduannya.
Silinder parabola didefinisikan sedikit berbeda: bentuk kanoniknya mencakup koefisien p, yang disebut parameter. Faktanya, koefisiennya sama dengan q=2p, tetapi biasanya dibagi menjadi dua faktor yang disajikan.
Ada jenis silinder lain: imajiner. Tidak ada gunanya milik silinder seperti itu. Hal ini digambarkan dengan persamaan silinder elips, tetapi yang ada adalah -1.
Tipe elips
Elipsoid dapat diregangkan sepanjang salah satu sumbu (yang bergantung pada nilai konstanta a, b, c yang ditunjukkan di atas; jelas, sumbu yang lebih besar akan berhubungan dengan koefisien yang lebih besar).
Ada juga ellipsoid imajiner - asalkan jumlah koordinat dikalikan dengan koefisien sama dengan -1:
Hiperboloid
Ketika tanda minus muncul pada salah satu konstanta, persamaan ellipsoid berubah menjadi persamaan hiperboloid satu lembar. Perlu anda pahami bahwa minus ini tidak harus terletak di depan koordinat x3! Ini hanya menentukan sumbu mana yang akan menjadi sumbu rotasi hiperboloid (atau sejajar dengannya, karena ketika suku tambahan muncul di persegi (misalnya, (x-2) 2), pusat gambar bergeser, sebagai akibatnya permukaan bergerak sejajar sumbu koordinat). Ini berlaku untuk semua permukaan orde 2.
Selain itu, Anda perlu memahami bahwa persamaan disajikan dalam bentuk kanonik dan dapat diubah dengan memvariasikan konstanta (sambil mempertahankan tandanya!); pada saat yang sama, penampakannya (hiperboloid, kerucut, dan sebagainya) akan tetap sama.
Persamaan seperti itu diberikan oleh hiperboloid dua lembar.
Permukaan berbentuk kerucut
Dalam persamaan kerucut, tidak ada kesatuan - sama dengan nol.
Kerucut hanya terbatas permukaan kerucut. Gambar di bawah menunjukkan bahwa sebenarnya akan ada dua kerucut pada grafik.
Catatan penting: dalam semua persamaan kanonik, konstanta diasumsikan positif secara default. Jika tidak, tanda tersebut dapat mempengaruhi grafik akhir.
Bidang koordinat menjadi bidang simetri kerucut, pusat simetri terletak di titik asal.
Dalam persamaan kerucut imajiner hanya ada nilai tambah; ia memiliki satu titik nyata.
Paraboloid
Permukaan orde ke-2 di ruang angkasa dapat menempati berbagai bentuk bahkan dengan persamaan serupa. Misalnya, paraboloid tersedia dalam dua jenis.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Paraboloid elips, jika sumbu Z tegak lurus terhadap gambar, akan diproyeksikan menjadi elips.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Paraboloid hiperbolik: pada bagian yang bidangnya sejajar ZY akan diperoleh parabola, dan pada bagian yang bidangnya sejajar XY akan diperoleh hiperbola.
Pesawat berpotongan
Ada kasus ketika permukaan orde 2 mengalami degenerasi pada bidang tersebut. Pesawat-pesawat ini dapat diatur dengan berbagai cara.
Pertama mari kita lihat bidang yang berpotongan:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Dengan modifikasi persamaan kanonik ini, kita cukup mendapatkan dua bidang yang berpotongan (imajiner!); semua titik nyata berada pada sumbu koordinat yang tidak ada dalam persamaan (dalam persamaan kanonik - sumbu Z).
Pesawat paralel
Jika hanya ada satu koordinat, permukaan orde 2 merosot menjadi berpasangan bidang paralel. Jangan lupa, variabel lain dapat menggantikan posisi pemain; maka akan diperoleh bidang yang sejajar dengan sumbu lainnya.
Dalam hal ini mereka menjadi khayalan.
Pesawat yang kebetulan
Dengan ini persamaan sederhana sepasang bidang merosot menjadi satu - keduanya bertepatan.
Jangan lupa bahwa dalam kasus basis tiga dimensi, persamaan di atas tidak menentukan garis lurus y=0! Dua variabel lainnya tidak ada, tetapi itu berarti nilainya konstan dan sama dengan nol.
Konstruksi
Salah satu tugas tersulit bagi seorang siswa adalah konstruksi permukaan orde 2. Bahkan lebih sulit lagi untuk berpindah dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya, dengan mempertimbangkan sudut kemiringan kurva relatif terhadap sumbu dan perpindahan pusatnya. Mari kita ulas bagaimana menentukannya secara konsisten pandangan masa depan menggambar secara analitis.
Untuk membuat permukaan orde ke-2, Anda perlu:
- membawa persamaan ke bentuk kanonik;
- menentukan jenis permukaan yang diteliti;
- membangun berdasarkan nilai koefisien.
Di bawah ini adalah semua jenis yang dipertimbangkan:
Untuk memperkuat hal ini, kami akan menjelaskan secara rinci salah satu contoh tugas jenis ini.
Contoh
Misalkan kita mempunyai persamaan:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Mari kita bawa ke bentuk kanonik. Mari kita pilih kuadrat lengkap, yaitu kita akan menyusun suku-suku yang ada sedemikian rupa sehingga merupakan penguraian kuadrat dari jumlah atau selisihnya. Contoh: jika (a+1) 2 =a 2 +2a+1, maka a 2 +2a+1=(a+1) 2. Kami akan melakukan operasi kedua. Tanda kurung di dalam hal ini tidak perlu diungkapkan, karena ini hanya akan mempersulit perhitungan, tetapi akan merugikan pengganda umum 6 (dalam tanda kurung dengan persegi sempurna permainan) yang Anda perlukan:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Variabel zet muncul dalam kasus ini hanya sekali - Anda dapat membiarkannya untuk saat ini.
Mari kita analisis persamaan pada tahap ini: semua yang tidak diketahui memiliki tanda tambah di depannya; Membagi dengan enam menyisakan satu. Akibatnya, kita memiliki persamaan yang mendefinisikan ellipsoid.
Perhatikan bahwa 144 difaktorkan menjadi 150-6, lalu -6 dipindahkan ke kanan. Mengapa hal itu harus dilakukan dengan cara ini? Jelas yang paling banyak pembagi besar V dalam contoh ini-6, oleh karena itu, agar suatu satuan tetap berada di sebelah kanan setelah dibagi, perlu “menyisihkan” tepat 6 dari 144 (fakta bahwa satuan tersebut harus berada di sebelah kanan ditunjukkan dengan adanya a suku bebas - konstanta yang tidak dikalikan dengan yang tidak diketahui).
Mari kita bagi semuanya dengan enam dan dapatkan persamaan kanonik ellipsoid:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Dalam klasifikasi permukaan orde 2 yang digunakan sebelumnya, kasus khusus dipertimbangkan ketika pusat gambar berada di titik asal koordinat. Dalam contoh ini diimbangi.
Kami berasumsi bahwa setiap tanda kurung yang tidak diketahui adalah variabel baru. Yaitu: a=x-1, b=y+5, c=z. Pada koordinat baru, pusat elipsoid berimpit dengan titik (0,0,0), maka a=b=c=0, maka: x=1, y=-5, z=0. Pada koordinat awal, pusat gambar terletak di titik (1,-5,0).
Ellipsoid akan diperoleh dari dua elips: yang pertama pada bidang XY dan yang kedua pada bidang XZ (atau YZ - tidak masalah). Koefisien pembagian variabel dikuadratkan dalam persamaan kanonik. Oleh karena itu, pada contoh di atas, akan lebih tepat jika membagi dengan akar dua, satu, dan akar tiga.
Sumbu minor elips pertama yang sejajar dengan sumbu Y sama dengan dua. Sumbu mayor sejajar dengan sumbu X - dua akar dari dua. Sumbu minor elips kedua, sejajar dengan sumbu Y, tetap sama - sama dengan dua. A poros utama, sejajar dengan sumbu Z, sama dengan dua akar tiga.
Dengan menggunakan data yang diperoleh dari persamaan asli dengan mengubahnya ke bentuk kanonik, kita dapat menggambar sebuah ellipsoid.
Kesimpulannya
Topik yang dibahas dalam artikel ini cukup luas, namun nyatanya, seperti yang Anda lihat sekarang, topik ini tidak terlalu rumit. Faktanya, perkembangannya berakhir pada saat Anda menghafal nama dan persamaan permukaan (dan, tentu saja, seperti apa bentuknya). Dalam contoh di atas, kami memeriksa setiap langkah secara mendetail, namun membawa persamaan ke bentuk kanonik memerlukan pengetahuan minimal matematika tingkat tinggi dan tidak akan menimbulkan kesulitan bagi siswa.
Analisis jadwal masa depan berdasarkan kesetaraan yang ada sudah lebih dari itu tugas yang sulit. Namun agar berhasil menyelesaikannya, cukup memahami bagaimana kurva orde kedua yang bersesuaian dibuat - elips, parabola, dan lainnya.
Kasus degenerasi merupakan bagian yang lebih sederhana. Karena tidak adanya beberapa variabel, tidak hanya perhitungannya yang disederhanakan, seperti disebutkan sebelumnya, tetapi juga konstruksinya sendiri.
Segera setelah Anda dapat dengan yakin menyebutkan semua jenis permukaan, memvariasikan konstanta, mengubah grafik menjadi satu bentuk atau lainnya, topiknya akan dikuasai.
Semoga sukses dalam studimu!
Dengan perbedaan bahwa alih-alih grafik "datar", kita akan mempertimbangkan permukaan spasial yang paling umum, dan juga mempelajari cara membuatnya secara tangan secara kompeten. Saya menghabiskan waktu cukup lama memilih perangkat lunak untuk membuat gambar tiga dimensi dan menemukan beberapa aplikasi bagus, namun meskipun mudah digunakan, program ini tidak menyelesaikan masalah penting. pertanyaan praktis. Faktanya adalah bahwa dalam sejarah masa depan yang dapat diperkirakan, siswa masih akan dipersenjatai dengan penggaris dan pensil, dan bahkan dengan gambar “mesin” berkualitas tinggi, banyak yang tidak akan dapat mentransfernya dengan benar ke dalam gambar. kertas kotak-kotak. Oleh karena itu, dalam manual perhatian khusus dikhususkan untuk teknik konstruksi manual, dan sebagian besar ilustrasi halaman adalah produk buatan tangan.
Apa bedanya dengan ini bahan referensi dari analog?
Memiliki yang layak pengalaman praktis, Saya tahu betul permukaan mana yang paling sering saya hadapi masalah nyata matematika yang lebih tinggi, dan saya harap artikel ini akan membantu Anda secepat mungkin isi kembali barang bawaan Anda dengan pengetahuan yang relevan dan keterampilan terapan, yang seharusnya cukup dalam 90-95% kasus.
Apa yang perlu Anda ketahui saat ini?
Yang paling mendasar:
Pertama, Anda harus bisa membangun dengan benar sistem koordinat kartesius spasial (lihat awal artikel Grafik dan sifat fungsi ) .
Apa yang Anda peroleh setelah membaca artikel ini?
Botol Setelah menguasai materi pelajaran, Anda akan belajar dengan cepat menentukan jenis permukaan berdasarkan fungsi dan/atau persamaannya, membayangkan letaknya dalam ruang, dan tentunya membuat gambar. Tidak apa-apa jika Anda tidak memikirkan semuanya setelah membaca pertama - Anda selalu dapat kembali ke paragraf mana pun nanti sesuai kebutuhan.
Informasi berada dalam kekuasaan setiap orang - untuk menguasainya Anda tidak memerlukan pengetahuan super, bakat seni khusus, atau visi spasial.
Mari kita mulai!
Dalam prakteknya, permukaan spasial biasanya diberikan fungsi dua variabel atau persamaan bentuk (konstanta di ruas kanan paling sering sama dengan nol atau satu). Sebutan pertama lebih khas untuk analisis matematis, yang kedua – untuk geometri analitik . Persamaannya pada dasarnya diberikan secara implisit fungsi dari 2 variabel, yang dalam kasus tertentu dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk . Saya mengingatkan Anda contoh paling sederhana C:
– persamaan bidang baik .
– fungsi bidang di secara eksplisit .
Mari kita mulai dengan itu:
Persamaan umum bidang
Pilihan khas penataan pesawat di sistem persegi panjang koordinat dibahas secara rinci di awal artikel Persamaan bidang . Namun, mari kita sekali lagi memikirkan persamaan yang ada sangat penting untuk latihan.
Pertama-tama, Anda harus mengenali secara otomatis persamaan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat. Fragmen bidang biasanya digambarkan sebagai persegi panjang, yang dalam dua kasus terakhir terlihat seperti jajaran genjang. Secara default, Anda dapat memilih dimensi apa pun (tentu saja dalam batas wajar), tetapi sebaiknya titik di mana sumbu koordinat "menembus" bidang adalah pusat simetri: 
Sebenarnya, sumbu koordinat harus digambarkan dengan garis putus-putus di beberapa tempat, namun untuk menghindari kebingungan kita akan mengabaikan nuansa ini.
– (gambar kiri) pertidaksamaan menentukan setengah ruang yang terjauh dari kita, tidak termasuk bidang itu sendiri;
– (gambar tengah) pertidaksamaan menentukan separuh ruang kanan, termasuk bidang;
– (gambar kanan) pertidaksamaan ganda mendefinisikan “lapisan” yang terletak di antara bidang-bidang tersebut, termasuk kedua bidang tersebut.
Untuk pemanasan diri:
Contoh 1
Gambarlah sebuah benda yang dibatasi oleh bidang-bidang
Ciptakan sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan suatu tubuh.
Seorang kenalan lama akan muncul dari balik pensil Anda. berbentuk kubus . Jangan lupa bahwa tepi dan permukaan yang tidak terlihat harus digambar dengan garis putus-putus. Selesai menggambar di akhir pelajaran.
Silakan, JANGAN MENGABAIKAN tujuan pembelajaran, meskipun tampak terlalu sederhana. Jika tidak, mungkin Anda melewatkan satu, melewatkan dua, dan kemudian menghabiskan waktu berjam-jam mencoba gambar tiga dimensi di beberapa tempat. contoh nyata. Di samping itu, pekerjaan mekanis akan membantu Anda mempelajari materi dengan lebih efektif dan mengembangkan kecerdasan Anda! Bukan suatu kebetulan taman kanak-kanak Dan sekolah dasar anak-anak dibebani dengan menggambar, membuat model, peralatan konstruksi, dan tugas-tugas lainnya keterampilan motorik halus jari. Maaf atas penyimpangannya, tapi jangan biarkan kedua buku catatanku terbuang percuma psikologi perkembangan =)
Kami secara kondisional akan menyebut kelompok bidang berikutnya sebagai "proporsionalitas langsung" - ini adalah bidang yang melalui sumbu koordinat:
2) persamaan bentuk menentukan bidang yang melalui sumbu;
3) persamaan bentuk menentukan bidang yang melalui sumbu.
Meski tanda formalnya sudah jelas (variabel mana yang hilang dari persamaan – bidang melewati sumbu itu), memahami esensi peristiwa yang terjadi selalu berguna:
Contoh 2
Bangun pesawat
Apa cara terbaik untuk membangun? saya sarankan algoritma selanjutnya:
Pertama, mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk , yang darinya terlihat jelas bahwa “y” dapat diambil setiap makna. Mari kita perbaiki nilainya, yaitu kita akan mempertimbangkan bidang koordinat. Persamaan ditetapkan garis luar angkasa , terletak pada bidang koordinat tertentu. Mari kita gambarkan garis ini pada gambar. Garis lurus melewati titik asal koordinat, sehingga untuk membangunnya cukup mencari satu titik. Membiarkan . Sisihkan satu titik dan buat garis lurus.
Sekarang kita kembali ke persamaan bidang. Karena "Y" menerima setiap nilainya, maka garis lurus yang dibangun pada bidang tersebut terus menerus “direplikasi” ke kiri dan ke kanan. Ini adalah bagaimana bidang kita terbentuk, melewati porosnya. Untuk melengkapi gambar, di kiri dan kanan garis lurus kita beri dua garis paralel dan “menutup” jajaran genjang simbolis dengan segmen horizontal melintang: 
Karena kondisi tersebut tidak memberikan batasan tambahan, sebuah fragmen bidang dapat digambarkan dalam ukuran yang sedikit lebih kecil atau sedikit lebih besar.
Mari kita ulangi sekali lagi pengertian spasial ketimpangan linier dengan contoh. Bagaimana cara menentukan setengah ruang yang ditentukannya? Mari kita ambil beberapa poin bukan milik bidang, misalnya, suatu titik dari setengah ruang yang paling dekat dengan kita dan substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan:
Diterima ketimpangan yang sebenarnya, artinya pertidaksamaan menentukan setengah ruang yang lebih rendah (relatif terhadap bidang), sedangkan bidang itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian.
Contoh 3
Membangun pesawat
A) ;
B) .
Ini adalah tugas untuk membangun diri, jika ada kesulitan, gunakan alasan serupa. Instruksi dan gambar singkat di akhir pelajaran.
Dalam praktiknya, bidang yang sejajar dengan sumbu sangat umum ditemukan. Kasus khusus, ketika sebuah bidang melewati suatu sumbu, baru saja dibahas pada poin “menjadi”, dan sekarang kita akan menganalisis lebih lanjut tugas umum:
Contoh 4
Bangun pesawat
Larutan: variabel “z” tidak secara eksplisit dimasukkan ke dalam persamaan, artinya bidang tersebut sejajar dengan sumbu penerapan. Mari gunakan teknik yang sama seperti pada contoh sebelumnya.
Mari kita tulis ulang persamaan bidang dalam bentuk 
dari situ jelas bahwa "zet" dapat diambil setiap makna. Mari kita perbaiki dan gambar garis lurus “datar” biasa pada bidang “asli”. Untuk membangunnya, akan lebih mudah untuk mengambil titik referensi.
Karena "Z" menerima Semua nilainya, maka garis lurus yang dibangun terus menerus “berkembang biak” ke atas dan ke bawah, sehingga membentuk bidang yang diinginkan 
. Kami dengan hati-hati membuat jajaran genjang dengan ukuran yang wajar: 
Siap.
Persamaan bidang dalam segmen
Variasi terapan yang paling penting. Jika Semua kemungkinan persamaan umum bidang
bukan nol, maka dapat direpresentasikan dalam bentuk 
yang disebut persamaan bidang dalam segmen. Jelas sekali bahwa bidang tersebut memotong sumbu koordinat di titik-titik , dan keuntungan besar dari persamaan tersebut adalah kemudahan dalam membuat gambar:
Contoh 5
Bangun pesawat
Larutan: Pertama, mari kita buat persamaan bidang dalam segmen-segmen. Mari kita buang suku bebasnya ke kanan dan bagi kedua ruasnya dengan 12: 
Tidak, tidak ada kesalahan ketik di sini dan semua hal terjadi di luar angkasa! Kami memeriksa permukaan yang diusulkan menggunakan metode yang sama yang baru-baru ini digunakan untuk pesawat terbang. Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk 
, dari situlah kata "zet" diambil setiap makna. Mari kita perbaiki dan buat elips di bidang. Karena "zet" menerima Semua nilainya, maka elips yang dibangun terus menerus “direplikasi” ke atas dan ke bawah. Sangat mudah untuk memahami permukaan itu tak terbatas:
Permukaan ini disebut silinder elips
. Elips (pada ketinggian berapa pun) disebut memandu silinder, dan garis sejajar yang melalui setiap titik elips disebut pembentukan silinder (yaitu secara harfiah kata-kata membentuknya). Sumbunya adalah sumbu simetri permukaan (tetapi bukan bagiannya!).
Koordinat titik mana pun yang termasuk dalam suatu permukaan tertentu harus memenuhi persamaan tersebut 
.
Spasial ketidaksetaraan menentukan “bagian dalam” dari “pipa” yang tak terhingga, termasuk permukaan silinder itu sendiri, dan, karenanya, ketimpangan yang berlawanan mendefinisikan himpunan titik di luar silinder.
DI DALAM masalah praktis kasus khusus yang paling populer adalah kapan memandu silinder adalah lingkaran :
Contoh 8
Bangun permukaan diberikan oleh persamaan
Tidak mungkin menggambarkan “pipa” yang tak ada habisnya, sehingga seni biasanya hanya sebatas “pemangkasan”.
Pertama, akan lebih mudah untuk membuat lingkaran berjari-jari di bidang, dan kemudian beberapa lingkaran lagi di atas dan di bawah. Lingkaran yang dihasilkan ( panduan silinder) sambungkan dengan hati-hati dengan empat garis lurus sejajar ( pembentukan silinder): 
Jangan lupa gunakan garis putus-putus untuk garis yang tidak terlihat oleh kita.
Koordinat titik mana pun yang termasuk dalam silinder tertentu memenuhi persamaan tersebut 
. Koordinat titik mana pun yang terletak tepat di dalam “pipa” memenuhi pertidaksamaan 
, dan ketimpangan 
mendefinisikan sekumpulan titik dari bagian eksternal. Untuk pemahaman yang lebih baik, saya sarankan mempertimbangkan beberapa poin tertentu ruang dan lihat sendiri.
Contoh 9
Bangunlah sebuah permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang tersebut
Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk 
dari situlah "x" diambil setiap makna. Mari kita perbaiki dan gambarkan di pesawat lingkaran
– dengan pusat di titik asal, radius satuan. Karena "x" terus menerima Semua nilai, maka lingkaran yang dibangun menghasilkan silinder melingkar dengan sumbu simetri. Gambarlah lingkaran lain ( memandu silinder) dan hubungkan dengan hati-hati dengan garis lurus ( pembentukan silinder). Di beberapa tempat ada yang tumpang tindih, tapi mau bagaimana lagi, ada kemiringan seperti itu: 
Kali ini saya membatasi diri pada sepotong silinder di celahnya, dan ini bukan kebetulan. Dalam praktiknya, seringkali hanya perlu menggambarkan sebagian kecil permukaan saja.
Di sini, omong-omong, ada 6 generatrices - dua garis lurus tambahan “menutupi” permukaan dari sudut kiri atas dan kanan bawah.
Sekarang mari kita lihat proyeksi silinder ke bidang. Banyak pembaca yang memahami apa itu proyeksi, namun tetap saja, mari kita lakukan latihan fisik lima menit lagi. Silakan berdiri dan menundukkan kepala di atas gambar sehingga titik sumbunya tegak lurus dengan dahi Anda. Bentuk silinder dari sudut ini adalah proyeksinya pada bidang. Namun seolah-olah itu adalah sebuah garis tak berujung, tertutup di antara garis-garis lurus, termasuk garis-garis itu sendiri. Proyeksi ini- itu tepatnya domain definisi fungsi (“talang” atas silinder), (“talang” bawah).
Ngomong-ngomong, mari kita perjelas situasinya dengan proyeksi ke bidang koordinat lain. Biarkan sinar matahari menyinari silinder dari ujung dan sepanjang porosnya. Bayangan (proyeksi) silinder ke suatu bidang adalah suatu garis tak terhingga yang serupa - bagian bidang yang dibatasi oleh garis lurus (- apa saja), termasuk garis lurus itu sendiri.
Namun proyeksi ke pesawat agak berbeda. Jika dilihat silinder dari ujung sumbunya, maka silinder tersebut akan diproyeksikan menjadi lingkaran yang berjari-jari satuan 
, yang dengannya kami memulai pembangunan.
Contoh 10
Bangunlah sebuah permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat
Ini adalah tugas untuk keputusan independen. Jika kondisinya kurang jelas, kuadratkan kedua sisinya dan analisis hasilnya; cari tahu bagian silinder mana yang ditentukan oleh fungsinya. Gunakan teknik konstruksi yang berulang kali digunakan di atas. Solusi Cepat, menggambar dan berkomentar di akhir pelajaran.
Permukaan elips dan permukaan silinder lainnya dapat diimbangi relatif terhadap sumbu koordinat, misalnya:
(berdasarkan motif familiar dari artikel tentang baris pesanan ke-2
)
– silinder berjari-jari satuan dengan simetri lipat yang melalui suatu titik sejajar sumbu. Namun, dalam praktiknya, silinder seperti itu jarang ditemui, dan sungguh luar biasa menemukan permukaan silinder yang “miring” terhadap sumbu koordinat.
Silinder parabola
Seperti namanya, memandu silinder seperti itu parabola .
Contoh 11
Bangunlah sebuah permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat.
Saya tidak bisa menolak contoh ini =)
Larutan: Mari kita ikuti jalan yang dilalui. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk yang berarti "zet" dapat mengambil nilai berapa pun. Mari kita perbaiki dan buat parabola biasa pada bidang tersebut, setelah sebelumnya menandai titik-titik tumpuan sepele. Karena "Z" menerima Semua nilainya, maka parabola yang dibangun terus menerus “direplikasi” ke atas dan ke bawah hingga tak terbatas. Kami meletakkan parabola yang sama, katakanlah, pada ketinggian (di bidang) dan dengan hati-hati menghubungkannya dengan garis lurus paralel ( membentuk silinder): 
Saya mengingatkan Anda teknik yang berguna: jika pada awalnya Anda ragu dengan kualitas gambarnya, lebih baik menggambar garis tipis-tipis terlebih dahulu dengan pensil. Kemudian kita mengevaluasi kualitas sketsa, mencari tahu area di mana permukaannya tersembunyi dari mata kita, dan baru kemudian memberikan tekanan pada stylus.
Proyeksi.
1) Proyeksi silinder pada bidang datar adalah parabola. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak mungkin untuk membicarakan hal ini domain definisi fungsi dua variabel – karena persamaan silinder tidak dapat direduksi menjadi tampilan fungsional.
2) Proyeksi silinder pada suatu bidang adalah setengah bidang, termasuk sumbunya
3) Dan terakhir, proyeksi silinder ke bidang adalah keseluruhan bidang.
Contoh 12
Membangun silinder parabola:
a) membatasi diri Anda pada bagian permukaan di dekat setengah ruang;
b) dalam interval
Jika ada kesulitan, kami tidak terburu-buru dan bernalar dengan analogi contoh-contoh sebelumnya, untungnya, teknologi telah berkembang secara menyeluruh. Tidaklah penting jika permukaannya menjadi sedikit kikuk - penting untuk menampilkan gambaran mendasar dengan benar. Saya sendiri tidak terlalu mempermasalahkan keindahan garisnya, jika saya mendapatkan gambar yang lumayan dengan nilai C, biasanya saya tidak mengulanginya. Omong-omong, solusi sampel menggunakan teknik lain untuk meningkatkan kualitas gambar ;-)
Silinder hiperbolik
Panduan silinder seperti itu hiperbola. Jenis permukaan ini, menurut pengamatan saya, jauh lebih jarang dibandingkan jenis sebelumnya, jadi saya akan membatasi diri pada satu gambar skema silinder hiperbolik: 
Prinsip penalaran di sini sama persis – biasa hiperbola sekolah
dari pesawat terus menerus “berkembang biak” naik turun hingga tak terhingga.
Silinder yang dipertimbangkan termasuk dalam apa yang disebut permukaan orde ke-2, dan sekarang kita akan terus berkenalan dengan perwakilan lain dari grup ini:
Elipsoid. Bola dan bola
Persamaan kanonik ellipsoid dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki bentuk 
, Di mana - angka positif (poros gandar ellipsoid), yang di kasus umum berbeda. Ellipsoid disebut permukaan, Jadi tubuh, dibatasi oleh permukaan tertentu. Tubuh, seperti dugaan banyak orang, ditentukan oleh ketidaksetaraan 
dan koordinat apa pun titik dalam(serta titik mana pun di permukaan) harus memenuhi pertidaksamaan ini. Desainnya simetris terhadap sumbu koordinat dan bidang koordinat: 
Asal usul istilah “ellipsoid” juga jelas: jika permukaannya “dipotong” bidang koordinat, maka bagian tersebut akan memiliki tiga bagian yang berbeda (dalam kasus umum)
