Apibrėžimas. Papildymas natūraliuosius skaičius yra algebrinė operacija, turinti šias savybes: "1) (a Î N)a + 1 = a", 2) "(a, b Î N)a + b" =(a +b)". Skaičius a + b vadinama suma skaičiais a ir b, o patys skaičiai a ir b yra nariai, kaip žinoma, bet kurių dviejų natūraliųjų skaičių suma taip pat yra natūralusis skaičius, o bet kurių natūraliųjų skaičių a ir b suma a +. b yra unikalus. Kitaip tariant, natūraliųjų skaičių suma egzistuoja ir yra unikali. ar tai unikalu? aksiominė konstrukcija natūraliųjų skaičių teorijos įrodo sekantį teiginį: Natūraliųjų skaičių sudėtis egzistuoja ir yra unikali. Ši teorema susideda iš dviejų teiginių (dviejų teoremų): egzistuoja natūraliųjų skaičių sudėtis; natūraliųjų skaičių pridėjimas yra unikalus. Sudėjimo dėsniai naudojami skaičiavimams supaprastinti. Natūraliųjų skaičių atveju galioja du sudėjimo dėsniai: komutacinis ir asociatyvinis. Taisyklė: pakeitus terminų vietas, suma nekeičiama (komutacinis sudėjimo dėsnis). Pavyzdžiui: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.V bendras vaizdas: a + b = b + a. Taisyklė. Norėdami prie dviejų dėmenų sumos pridėti trečiąjį narį, prie pirmojo dėmens galite pridėti antrojo ir trečiojo terminų sumą (sudėties dėsnis). Pavyzdžiui: (37 + 42) + 13 = 37 + (42 + 13). Bendra forma: (a + b) + c = a + (b + c). Dažnai pavyzdžiuose vienu metu naudojami abu sudėjimo dėsniai. Pavyzdžiui: 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.
Aksiominis apibrėžimas natūraliųjų skaičių daugyba. Teorema apie jos egzistavimą ir unikalumą su įrodymu. Daugybos lentelė.
Natūraliųjų skaičių daugyba yra algebrinė operacija, apibrėžta natūraliųjų skaičių N daugiskaita, kiekvienai porai (a, b) priskiriant skaičių a * b, tenkinanti savybes (aksiomas): 1. (∀a є N)a∙1 = a ; 2. (∀ a,b є N) a∙b" = a∙b + a. Skaičius a∙b vadinamas skaičių a ir b sandauga, o patys skaičiai a ir b yra koeficientai. 1 teorema. Daugyba natūraliųjų skaičių egzistuoja, ir jis yra unikalus. Naudojant daugybos operacijos apibrėžimą, sudarysime vienaženklių skaičių daugybos lentelę: a) 1×1=1=4; 1); +1=4 ir pan. (remiantis 2 savybe. (∀a,b,c є N)(a+b)∙ c = a∙c + b∙c ir b pasirenkami savavališkai, o c skiriasi gamtos vertybes. Pažymėkime M aibę visų tų ir tik tų natūraliųjų skaičių c, kuriems yra teisinga lygybė (a + b)c = a∙c + b∙c. Parodykime, kad c=1 lygybė (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1 Iš tiesų yra teisinga, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Tegul pasiskirstymo dėsnis tenkinamas savavališkai pasirinktam skaičiui c, t.y. lygybė (a+b)∙c = a∙c + b∙c yra teisinga. Remdamiesi prielaida, įrodysime lygybės pagrįstumą: (a + b)∙c" = a∙c" + b∙c" skaičiui c". Pasvarstykime kairėje pusėje lygybę ir parodykite, kad ji lygi dešiniajai: (a + b)∙c" = (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c)+ (a+b) = (a∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c' Ši lygybė (a + b)∙c = a∙c + b∙c galioja bet kuriam natūraliajam skaičiui. c, a kadangi skaičiai a ir b pasirinkti savavališkai, ši lygybė galioja bet kuriam a ir b Kairysis daugybos dėsnis įrodomas panašiai: (∀а,b,с є N)а ∙(b. +с)= а∙b+а ∙с. (∀ a,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с) 4. (∀a,b є N) a∙b = b∙a.- komunikacinis Daugybos veiksmas tenkina du dėsnius: ab = bа (komutacinis daugybos dėsnis), а(bс) = (аb)с (asociacinis daugybos dėsnis) Taip pat yra dėsnis. sujungimas ir daugyba: а(b + c) = ab + ac (paskirstymo dėsnis) Daugybos lentelė yra lentelė, kurioje eilutės ir stulpeliai yra pažymėti koeficientais, o lentelės langeliuose yra jų sandauga mokyti daugybos.
Natūralių skaičių sudėjimas yra dvejetainė operacija, kuri atitinka šias dvi aksiomas:
C1: a + 1 = a /
C2: a + b / = (a + b) /
Pavyzdys. Remdamiesi apibrėžimu, randame sumą 2 + 2:
2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.
1 teorema(apie papildymo egzistavimą ir unikalumą). Kiekviena natūraliųjų skaičių pora a ir b atitinka vienareikšmiškai apibrėžtą sumą a + b, atitinkančią sudėjimo apibrėžimą (aksiomos C1 ir C2).
Įrodymas. Unikalumas. Tarkime, kad kartu su operacija +, atitinkančia sąlygas C1 ir C2, yra ir kita operacija , tenkinanti C1 / ir C2 / sąlygas:
C1 / : a 1 = a /
C2 / : a b / = (a b) /
Tada bet kokiems natūraliems skaičiams galioja ši lygybė: a + b = a b.
Įrodymą atliksime matematinės indukcijos metodu kintamajam b. Jei b = 1, remiantis C1 ir C1 / gauname:
a + 1 = a / = a 1
Taigi, jei b = 1 šis turtas sąžininga.
Indukcijos hipotezė: a + k = a k
Įrodykime šį teiginį b = k / :
Remiantis C2 a + k / = (a +k) /
Iš indukcijos prielaidos, pagrįstos aksioma A 2 iš natūraliųjų skaičių apibrėžimo a + k = a k => (a + k) / = (a k) /, iš kurios pagal sąlygas C2 ir C2 / turime :
a + k / = (a +k) / = (a k) / = a k / ,
ko ir reikėjo.
Egzistencija. Įvestas indukcinis apibrėžimas leidžia rasti bet kurio antrojo nario (elemento b) sumą. Išsiaiškinkime, ar galima rasti bet kurio pirmojo nario (elemento a) sumą. Norėdami tai padaryti, mes patys pristatome operaciją, kuri atitinka sąlygas (*) ir (**)
(**) a / + b = (a + b) / .
Įrodykime, kad mūsų atlikta operacija yra sudėjimas, tai yra, ji tenkina sąlygas C1 ir C2. Įrodinėjimą atliksime indukcija ant a.
Pradėkime nuo įrodymo C1. Indukcinė bazė: kai a = 1
1 + 1 = 1 / (pagal sąlygą (*)).
Indukcijos hipotezė: k + 1 = k /
Indukcijos žingsnis: Jei a = k / reikia įrodyti, kad k / + 1 = (k /) / .
Remiantis sąlyga (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (pagal indukcijos hipotezę). Taigi sąlyga C1 tenkinama visoms natūralioms a.
C2: a = 1 pagal sąlygą (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .
Indukcijos hipotezė (i.p.): k + b / = (k + b) / .
Jei a = k /, reikia įrodyti, kad k / + b / = (k / + b) / .
Čia virš kiekvienos lygybės nurodomas pagrindimas – turtas, kurio pagrindu ši lygybė tenkinama. Taigi sąlyga C2 taip pat tenkinama visoms natūralioms a. Teorema visiškai įrodyta.
2 teorema. Bet kokiems natūraliems skaičiams a, b, c, asociatyvinis sudėjimo dėsnis(a.z.s.): (a + b) + c = a + (b +c)
Įrodymas(indukcija ant c): Jei c = 1, turime:
Indukcijos hipotezė: (a+b)+k = a+(b+k).
Pagal indukcijos principą dabar turime tai įrodyti
(a+b)+k / = a+(b+k /). Įrodykime tai.
Taigi, k / teiginys yra teisingas, todėl pagal indukcijos teoremą asociatyvinis dėsnis galioja bet kokiems natūraliems skaičiams.
3 teorema. Bet kuriems natūraliems skaičiams yra tenkinamas komutacinis sudėjimo dėsnis (LLA) a + b = b + a
Prieš teoremos įrodymą pateikime lemą.
1 lema. a + 1 = 1 + a (L1)
Įrodykime tai indukcija ant a. Indukcinė bazė: 1 + 1 = 1 + 1 (teisinga)
Indukcijos hipotezė: k + 1 = 1 + k.
Indukcijos žingsnis: Įrodykime, kad k / + 1 = 1 + k / .
Lema įrodyta.
Dabar įrodome pačią teoremą indukcija ant b. Jei b = 1, teorema yra teisinga pagal 1 lemą.
Indukcijos hipotezė: a + k = k + a.
Indukcinis žingsnis:
4 teorema. Dviejų skaičių suma nėra lygi nė vienam iš terminų:
Įrodymas pagal b indukciją: Kai b = 1, teoremos teiginys yra teisingas pagal aksiomą 1 iš natūraliųjų skaičių apibrėžimo (a / 1).
Indukcijos hipotezė: a + k k.
Iš indukcijos hipotezės ir 1.2 pastraipos 1 teoremos išplaukia, kad (a + k) / k / . Naudodami C2 gauname:
a + k / = (a + k) / k / .
5 teorema. a = b => a + c = b + c.
Įrodymas(c indukcija):
a = b => (pagal A 2) a / = b / => (pagal C1) a + 1 = b +1.
Indukcijos hipotezė: a = b => a + k = b+k.
Įrodykime, kad a = b reiškia a + k / = b + k / .
Taigi, k / teiginys yra teisingas, todėl pagal indukcijos teoremą teorema galioja bet kokiems natūraliems skaičiams.
1 išvada. a + c b + c = > a b (įrodymas atliekamas prieštaravimu ir paliekamas skaitytojui).
6 teorema. a + c = b + c => a = b.
Įrodymas(c indukcija):
a + 1 = b + 1 => a / = b / => a = b (pagal C1 ir A 3).
Indukcijos hipotezė: a + k = b + k => a = b.
Įrodykime, kad a + k / = b + k / reiškia a = b.
Vadinasi, teiginys teisingas ir k /, kas įrodo mūsų teoremą.
2 išvada. a b = > a + c b + c (įrodymas prieštaravimu).
Lygties a + x = b (a, b yra natūralūs skaičiai, x yra kintamasis) sprendinys yra toks natūralusis skaičius c, pakeičiant jį vietoj x į lygtį, teisinga skaitinė lygybė a + c = b gautas
7 teorema. Jei lygtis a + x = b turi sprendinį, tai šis sprendimas yra unikalus.
Įrodymas: Tarkime, kad yra du sprendiniai su 1 ir su 2. Tada a + c 1 = b ir a + c 2 = b, iš kur a + c 1 = a + c 2, o pagal 6 teoremą ir komutacinį dėsnį tai reiškia, kad c 1 = c 2 (tai yra, sprendimas yra unikalus ).
Savarankiško sprendimo užduotys
Nr. 1.2. Pridėti remiantis natūraliųjų skaičių 5 + 3 sudėjimo apibrėžimu. Atlikite tą pačią operaciją toliau pateiktuose natūraliųjų skaičių modeliuose
a) (3, 4, 5...); n / = n +1
b) (n –2, n Z); n / = n +1
c) nelyginiai natūralieji skaičiai, n / = n +2
d) sveikieji skaičiai 
Nr.1.3. Įrodykite bet kurio natūraliojo skaičiaus n lygybes:
a) 1 + 2 + …+ n = 
;
b) 1 2 + 2 2 + … + n 2 = 
;
c) 1 3 + 2 3 + … + n 3 = 
;
d) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;
e) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 = 
;
e) 12 + 23 + … + (n – 1)n = 
;
ir) 
;
h) 
.
Stulpelių pridėjimas arba, kaip jie taip pat sako, stulpelių pridėjimas, yra metodas, plačiai naudojamas sudėti kelių skaitmenų natūraliuosius skaičius. Šio metodo esmė ta, kad pridedant du ar daugiau daugiaženkliai skaičiai sumažėja iki kelių paprastos operacijos vienženklių skaičių pridėjimas.
Straipsnyje išsamiai aprašoma, kaip pridėti du ir daugiau daugiaženklius natūraliuosius skaičius. Pateikiama skaičių įvedimo į stulpelį taisyklė ir sprendimų pavyzdžiai su visų tipiškiausių situacijų, kurios iškyla pridedant skaičius į stulpelį, analize.
Dviejų skaičių pridėjimas stulpelyje: ką reikia žinoti?
Prieš pereidami tiesiai prie stulpelių pridėjimo operacijos, pažvelkime į kai kuriuos svarbius punktus. Už greitas vystymasis pageidautina medžiaga:
- Žinokite ir gerai supraskite papildymo lentelę. Taigi, atliekant tarpinius skaičiavimus, nereikia gaišti laiko ir nuolat remtis papildymo lentele.
- Prisiminkite natūraliųjų skaičių sudėjimo savybes. Ypač savybės, susijusios su nulių pridėjimu. Trumpai juos prisiminkime. Jei vienas iš dviejų narių yra lygus nuliui, tada suma yra lygi kitam nariui. Dviejų nulių suma lygi nuliui.
- Žinokite natūraliųjų skaičių palyginimo taisykles.
- Žinokite, kas yra natūraliojo skaičiaus skaitmuo. Prisiminkite, kad skaitmuo yra skaitmens vieta ir reikšmė skaičiaus žymėjime. Skaičius nusako skaitmens reikšmę skaičiuje – vienetai, dešimtys, šimtai, tūkstančiai ir kt.
Apibūdinkime skaičių pridėjimo stulpelyje algoritmą naudojant konkretus pavyzdys. Sudėkime skaičius 724980032 ir 30095. Pirmiausia turėtumėte užsirašyti šiuos skaičius pagal sudėjimo rašymo stulpelyje taisykles.
Skaičiai rašomi vienas po kito, kiekvieno skaitmens skaitmenys yra atitinkamai vienas po kito. Kairėje dedame pliuso ženklą, o po skaičiais nubrėžiame horizontalią liniją.
Dabar mintyse padalijame įrašą į stulpelius pagal skaitmenis.
Belieka sulankstyti vienženkliai skaičiai kiekviename stulpelyje.
Pradedame nuo dešiniojo stulpelio (vienetų skaitmens). Sumuojame skaičius ir po eilute užrašome vienetų vertę. Jei sudėjus dešimčių reikšmė skiriasi nuo nulio, atsiminkite šį skaičių.
Sudėkite skaičius antrame stulpelyje. Prie rezultato pridedame dešimčių skaičių, kurį prisiminėme ankstesniame žingsnyje.
Visą procesą kartojame su kiekvienu stulpeliu iki tolimos kairės.
Šis pristatymas yra supaprastinta natūraliųjų skaičių pridėjimo stulpelyje algoritmo schema. Dabar, kai suprantame metodo esmę, pažvelkime į kiekvieną žingsnį išsamiai.
Pirmiausia sumuojame vienetus, tai yra skaičius dešiniajame stulpelyje. Jei gauname skaičių mažesnį nei 10, įrašykite jį į tą patį stulpelį ir pereikite prie kito. Jei pridėjimo rezultatas yra didesnis arba lygus 10, tada po pirmojo stulpelio eilute užrašome vietos vienetų reikšmę ir prisimename dešimčių vietos reikšmę. Pavyzdžiui, skaičius pasirodė 17. Tada užrašome skaičių 7 – vienetų reikšmę, o dešimčių reikšmę – 1 – prisimename. Paprastai jie sako: „Rašome septynis, turėdami vieną galvoje“.
Mūsų pavyzdyje, pridėdami skaičius pirmame stulpelyje, gauname skaičių 7.
7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.
Toliau pridedame skaičius kitame stulpelyje, tai yra, dešimčių vietoje. Atliekame tuos pačius veiksmus, tik prie sumos reikia pridėti skaičių, kurį turėjome omenyje. Jei suma yra mažesnė nei 10, tiesiog parašykite skaičių po antruoju stulpeliu. Jei rezultatas didesnis arba lygus 10, šio skaičiaus vienetų reikšmę užrašome antrame stulpelyje, o skaičių prisimename iš dešimties vietos.
Mūsų atveju mes sudedame skaičius 3 ir 9, todėl gauname 3 + 9 = 12. Ankstesniame žingsnyje nieko neprisiminėme, todėl prie šio rezultato nieko pridėti nereikia.
12 > 10, todėl antrame stulpelyje užrašome skaičių 2 nuo vienetų vietos, o skaičių 1 iš dešimties vietos laikome galvoje. Patogumui šį skaičių galite įrašyti virš kito stulpelio kita spalva.
Trečiame stulpelyje skaitmenų suma lygi nuliui (0 + 0 = 0). Prie šios sumos pridedame skaičių, kurį anksčiau turėjome omenyje, ir gauname 0 + 1 = 1. užsirašyk:
Pereidami prie kito stulpelio, taip pat pridedame 0 + 0 = 0 ir rezultatą įrašome kaip 0, nes ankstesniame žingsnyje nieko neprisiminėme.
Kitas žingsnis duoda 8 + 3 = 11. Stulpelyje rašome skaičių 1 iš vienetų skaitmens. Turėkite omenyje skaičių 1 iš dešimties vietos ir pereiname prie kito stulpelio.
Šiame stulpelyje yra tik vienas skaičius 9. Jei atmintyje neturėtume skaičiaus 1, skaičių 9 tiesiog perrašytume po horizontalia linija. Tačiau, atsižvelgiant į tai, kad ankstesniame žingsnyje prisiminėme skaičių 1, turime pridėti 9 + 1 ir užrašyti rezultatą.
Todėl po horizontalia linija rašome 0 ir dar kartą turėkite omenyje vieną.
Pereidami į kitą stulpelį, pridėkite 4 ir 1, parašykite rezultatą po eilute.
Kitame stulpelyje yra tik skaičius 2. Taigi ankstesniame žingsnyje mes nieko neprisiminėme, tiesiog perrašėme šį skaičių po eilute.
Tą patį darome su paskutiniu stulpeliu, kuriame yra skaičius 7.
Stulpelių nebėra, o atmintyje taip pat nieko nėra, todėl galime sakyti, kad stulpelių pridėjimo operacija baigta. Skaičius, parašytas žemiau eilutės, yra dviejų viršutinių skaičių pridėjimo rezultatas.
Norėdami suprasti visus galimus niuansus, pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.
1 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių sudėjimas stulpelyje
Sudėkime du natūraliuosius skaičius: 21 ir 36.
Pirmiausia parašykime šiuos skaičius pagal sudėjimo rašymo stulpelyje taisyklę:
Pradėdami nuo dešiniojo stulpelio, pridedame skaičius.
Nuo 7< 10 , записываем 7 под чертой.
Sudėkite skaičius antrame stulpelyje.
Nuo 5< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат
Atmintyje nebėra skaičių ir kitame stulpelyje papildymas baigtas. 21 + 36 = 57
2 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių sudėjimas stulpelyje
Kas yra 47 + 38?
7 + 8 = 15, todėl pirmame stulpelyje po eilute parašykime 5, o 1 turėkite omenyje.
Dabar pridedame reikšmes iš dešimties vietos: 4 + 3 = 7. Nepamirškite apie vieną ir pridėkite jį prie rezultato:
7 + 1 = 8. Gautą skaičių įrašome po linija.
Tai yra papildymo rezultatas.
3 pavyzdys. Natūralių skaičių pridėjimas stulpelyje
Dabar paimkime du triženkliai skaičiai ir atlikti jų papildymą.
3 + 9 = 12 ; 12 > 10
Po linija parašykite 2, 1 turėkite omenyje.
8 + 5 = 13 ; 13 > 10
Pridedame 13 ir įsimintą vienetą, gauname:
13 + 1 = 14 ; 14 > 10
Po eilute rašome 4, turėkite omenyje 1.
Nepamirškite, kad ankstesniame žingsnyje prisiminėme 1.
Po linija rašome 0, turėkite omenyje 1.
Paskutiniame stulpelyje perkeliame vienetą, kurį prisiminėme anksčiau, po eilute ir gauname galutinį papildymo rezultatą.
783 + 259 = 1042
4 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių sudėjimas stulpelyje
Raskime skaičių 56927 ir 90 sumą.
Kaip visada, pirmiausia užrašome sąlygą:
7 + 0 = 7 ; 7 < 10
2 + 9 = 11 ; 11 > 10
Užrašome 1 žemiau eilutės, 1 atsimename ir pereiname prie kito stulpelio.
Po eilutės įrašome 0, nepamirškite 1 ir pereiname prie kito stulpelio.
Stulpelyje yra vienas skaičius 6. Pridedame jį su įsimintu vienetu.
6 + 1 = 7 ; 7 < 10
Po eilute rašome 7 ir pereiname prie kito stulpelio.
Stulpelyje yra vienas skaičius 5. Perkeliame jį po eilute ir užbaigiame papildymo operaciją.
56927 + 90 = 57017
Pateiksime tokį pavyzdį be tarpiniai rezultatai ir paaiškinimai, kaip praktiškai parašyti stulpelių papildymą.
Išsiaiškinkime, kaip jį naudoti norint pridėti dešimtis su dešimtimis, šimtus su šimtais ir pan.
Sudėkime 8 dešimtis ir 9 dešimtis. Iš sudėjimo lentelės matome, kad 8+9=10+7. Todėl sudėjus 8 dešimtis ir 9 dešimtis, gauname 10 dešimčių ir 7 dešimčių sumą, tai yra, 100 ir 70. Taigi, 80+90=100+70. Suma 100+70 reiškia sumą bitų terminai skaičiai 170. Visus šiuos argumentus patogu užrašyti nuoseklios lygybių grandinės forma: 80+90=100+70=170. Tokie žymėjimai reiškia, kad visų posakių, atskirtų lygybės ženklais, reikšmės yra lygios.
Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą. Sudėkime 4000+7000. Sudėjimo lentelė suteikia mums lygybę 4+7=10+1. Taigi pridėti 4 tūkstančius ir 7 tūkstančius yra tas pats, kas pridėti 10 tūkstančių ir 1 tūkst. Todėl 4000+7000=10000+1000. Paskutinė suma yra išplėtimas į natūraliojo skaičiaus 11 000 skaitmenis. Turime 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .
Savavališkų natūraliųjų skaičių sudėjimas.
Prieš pereinant prie savavališkų natūraliųjų skaičių pridėjimo, rekomenduojame nuodugniai išstudijuoti straipsnio skaitmenų sumos medžiagą, kad galėtumėte nedvejodami išskaidyti bet kurį natūralųjį skaičių į skaitmenis, taip pat nedvejodami naudodami žinomą išskaidymą, iš karto galite užrašyti išskaidytą natūralųjį skaičių. Tai tiesiogiai lems, kaip lengva jums bus pridėti savavališkus natūraliuosius skaičius.
Apibūdinkime veiksmų seką:
- terminus pakeičiame jų išplėtimais skaitmenimis;
- pertvarkykite terminus taip, kad vienetai būtų prie vienetų, dešimtukai – prie dešimties, šimtai – prie šimtų ir pan.;
- pridedame vienetus su vienetais, dešimtis su dešimtimis, šimtus su šimtais ir tt;
- visi ankstesni veiksmai veda mus prie sumos, kuri yra išplėtimas į natūraliojo skaičiaus skaitmenis;
- galiausiai užrašome reikiamą skaičių jo išplėtimu.
Pažvelkime į dviejų natūraliųjų skaičių pridėjimą naudodami pavyzdžius.
Pavyzdys.
Atlikite papildymą 36+2.
Sprendimas.
Skaičiaus 36 išskaidymas į skaitmenis yra 30+6, o skaičius 2 – 2. Tada 36+2=30+6+2.
Šiame pavyzdyje mums nereikia pertvarkyti terminų, nes jie jau yra tokia tvarka, kokia mums reikia.
Dabar pridedame vienetus: 6+2=8. Todėl 30+6+2=30+8.
Priėjome sumos 30+8, kuri yra lygi 38.
Taigi sprendimą galima užrašyti taip: 36+2=30+6+2=30+8=38.
Atsakymas:
36+2=38 .
Pavyzdys.
Sudėkite skaičius 57 ir 17.
Sprendimas.
Nes 57=50+7 ir 17=10+7, tada 57+17=50+7+10+7.
Pertvarkius terminus, suma bus tokia: 50+10+7+7.
Dabar pridedame vienetus (jei neprisimenate mintinai, žiūrėkite sudėjimo lentelę): 7+7=10+4.
Taigi 50+10+7+7=50+10+10+4.
Mes pereiname prie dešimčių pridėjimo, tai yra, ieškome trijų terminų 50, 10 ir 10 sumos. Pirmiausia pridėkime 50 ir 10, po to prie rezultato pridedame likusį skaičių 10. Pradėkime: 50+10=60, nes 5+1=6, tada 50+10+10=60+10=70, nes 6+1=7.
Turime 50+10+10+4=70+4. Paskutinė suma yra skaičiaus 74 skaitmenų skaidymas.
Taigi, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .
Atsakymas:
57+17=74 .
Pavyzdys.
Apskaičiuokite skaičių 3,007 ir 200 sumą.
Sprendimas.
Skaičiaus 3007 išskaidymas į skaitmenis yra 3000+7, o skaičius 200 – 200. Tada 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Gavome skaičiaus 3207 skaitmenų išplėtimą. Taigi 3007+200=3207.
Atsakymas:
3 007+200=3 207 .
Pavyzdys.
Sudėkite skaičius 28 301 ir 73 745.
Sprendimas.
Išskaidykime šiuos skaičius į skaitmenis: 28 301=20 000+8 000+300+1 ir 73 745=70 000+3 000+700+40+5.
Tada
28 301+73 745=
20 000+8 000+300+1+70 000+
3 000+700+40+5=
20 000+70 000+8 000+
3 000+300+700+40+1+5
.
(Perkeliant lygybes į kitą eilutę, vėl rašomas „=“ ženklas).
Sudėkite vienetus: 1+5=6. Po to turime 20 000 + 70 000 + 8 000 + 3 000 + 300 + 700 + 40 + 1 + 5 = 20 000 + 70 000 + 8 000 + 3 000 + 300 + 700 + 40 + 6.
Dešimčių pridėti nereikia.
Sudedame šimtus: 300+700=1000, nes 3+7=10. Šiame etape turime 20 000 + 70 000 + 8 000 + 3 000 + 300 + 700 + 40 + 6 = 20 000 + 70 000 + 8 000 + 3 000 + 1 000 + 40 + 6.
Sudedame tūkstančius. Kadangi 8 + 3 = 10 + 1, tada 8 000 + 3 000 + 1 000 = 10 000 + 1 000 + 1 000 = 10 000 + 2 000. Šiame etape mes gauname
20 000+70 000+8 000+
3 000+1 000+40+6=
20 000+70 000+10 000+2 000+40+6
.
Sudėkite dešimtis tūkstančių: 20 000 + 70 000 + 10 000 = 90 000 + 10 000 = 100 000. Tada 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .
Suma 100 000+2000+40+6 yra lygi skaičiui 102 046.
Atsakymas:
28 301+73 745=102 046 .
Apibendrindami šį punktą, pažymime, kad daugiaženklius natūraliuosius skaičius patogu įtraukti į stulpelį, todėl rekomenduojame išstudijuoti straipsnio medžiagą pridedant natūraliuosius skaičius stulpelyje.
Natūralių skaičių sudėjimas ant koordinačių spindulio.
Šios pastraipos tikslas – pateikti geometrinė interpretacija natūraliųjų skaičių sudėjimo operacijos. Padės mums pasiekti šį tikslą. Darysime prielaidą, kad koordinačių spindulys yra horizontaliai ir dešinėje.
Įjungta koordinačių spindulys dviejų natūraliųjų skaičių a ir b sudėjimas yra sekančių veiksmų seka. Pirmiausia randame tašką, kurio koordinatė a. Nuo šio taško vieną po kito išdėliojame b vienetų segmentus taip, kad atsirastų atstumas nuo pradžios. Tai nuves mus į koordinačių spindulio tašką, kurio koordinatė yra natūralusis skaičius, lygi sumai a+b. Kitaip tariant, iš taško, kurio koordinatė a, judame į dešinę iki atstumo b, ir tuo pačiu patenkame į tašką, kurio koordinatė lygi skaičių a ir b sumai.
Kad būtų aiškumo, pateiksime pavyzdį. Parodykime, ką reiškia natūraliųjų skaičių 2 ir 4 sudėjimas ant koordinačių spindulio (žr. paveikslėlį žemiau). Iš taško su koordinate 2 nubrėžiame 4 vienetines atkarpas. Po to pasiekiame tašką, kurio koordinatė yra skaičius 6. Taigi 2+4=6.
Natūraliųjų skaičių pridėjimo rezultato tikrinimas atimant.
Natūralių skaičių pridėjimo rezultato tikrinimas naudojant atimtį yra pagrįstas gana akivaizdžiu ryšiu tarp sudėties ir atimties. Šį ryšį nesunku atsekti remiantis toliau pateiktu pavyzdžiu.
Turėkime 7 obuolius ir 2 kriaušes. Sudėkime šiuos vaisius, tada suma 7+2=9, dėl natūraliųjų skaičių sudėjimo reikšmės, lemia bendras kiekis vaisių. Aišku, jei nuo kartu sudėtų vaisių atidėti 7 obuolius (iš viso yra 9), tai kitoje pusėje liks 2 kriaušės. Dėl natūraliųjų skaičių atėmimo reikšmės aprašytas veiksmas atitinka lygybę 9−7=2. Panašiai, jei į vieną pusę sudėsite 2 kriaušes iš sujungtų vaisių, tada 7 obuoliai liks kitoje pusėje. Šis veiksmas atitinka lygybę 9−2=7.
Nagrinėjamas pavyzdys veda prie taisyklės, kurios formuluotė yra tokia: Jei iš dviejų natūraliųjų skaičių sumos atimsite vieną iš narių, rezultatas bus kitas narys. Ši taisyklė rašoma naudojant raides taip: jeigu a+b=c natūraliųjų skaičių atimtis.
Patikrinkime papildymo rezultatą. Norėdami tai padaryti, iš gautos sumos 163 atimkite terminą 106 ir pažiūrėkite, ar gauname skaičių, lygų antrajam nariui 57. Turime 163−106=57. Taigi testas buvo sėkmingas ir galime teigti, kad papildymas atliktas teisingai.
Atsakymas:
106+57=163 .
Nuorodos.
- Matematika. Bet kokie vadovėliai bendrojo ugdymo įstaigų 1, 2, 3, 4 klasėms.
- Matematika. Bet kokie vadovėliai bendrojo ugdymo įstaigų 5 klasei.
Šioje pamokoje susipažinsite su natūraliųjų skaičių pridėjimu ir jį reglamentuojančiais dėsniais. Sužinokite, kad naudojant šiuos dėsnius daug patogiau sudėti skaičius. Ir taip pat išspręskite keletą pavyzdžių.
BAN + KA = BANKAS
Bet kartais jie tai daro atvirkščiai: KA + BAN = ŠERNAS
Lena ir Vanya pila vandenį į kibirą. Lena turi dviejų litrų indelį vandens, o Vania – trijų litrų indelį. Ar svarbu, kokia tvarka jie išpila vandenį? Nr. Bet kokiu atveju vandens bus tiek pat (5 litrai).
Abiejuose pavyzdžiuose buvo pridėtos dvi dalys. Bet pirmuoju atveju tvarka buvo svarbi, o jei pertvarkydavome terminus, rezultatas pasikeitė. Antruoju atveju tvarka nebuvo svarbi;
Apskaičiuokite:.
Apskaičiuokite:.
Tai yra 
.
Visi trys šie įrašai reiškia tą patį kiekį.
Prisimindami pavyzdžius su skiemenimis ir vandeniu, darome prielaidą, kad matematinis papildymas panašiai kaip antrame pavyzdyje su vandeniu, kur buvo galima sukeisti sąlygas.
Norėdami suprasti, ką galite ir ko negalite padaryti pridėdami, turite išsiaiškinti, kas tai yra. Ką reiškia pridėti 5 ir 3? Tai reiškia, kad reikia pridėti 5 vienetus ir 3 vienetus. Galite įsivaizduoti juos kaip pagaliukus (žr. 1 pav.).
Ryžiai. 1. Papildymo vaizdavimas
Žodis „sulankstyti“ reiškia sudėti į vieną krūvą. Ir tada suskaičiuokite, kiek iš viso yra. Gauni aštuonis (žr. 2 pav.).
Vienetų ar pagaliukų skaičių didelėje krūvoje visada galima suskaičiuoti. Tai yra, bet kurios dvi lazdelių grupės gali būti sulankstytos į vieną didelę. Ir bus tam tikras skaičius pagaliukų.
Matematikos kalba tai galima pasakyti taip: galima pridėti bet kuriuos du natūraliuosius skaičius. Rezultatas bus naujas natūralusis skaičius.
Skaičiai vadinami terminais. Skaičius vadinamas skaičių suma ir . Pats įrašas dar vadinamas suma.
Sudėdami dvi vienetų grupes į vieną didelę, galite tai padaryti dviem būdais:
1) pridėti antrą prie pirmosios grupės,
2) pridėkite pirmąjį prie antrojo.
Nesvarbu, kokia tvarka tai darysite. Pirmiausia paimkite penkis vienetus ir pridėkite prie jų tris arba atvirkščiai. Tai yra, mes tiesiog sukeitėme kelis elementus didelėje krūvoje. Tačiau tai jų skaičiaus nepakeis. Rezultatas visada bus toks pat. Bendroje krūvoje visada bus tiek pat vienetų ir pagaliukų. IN šiuo atveju aštuoni.
Matematikos kalba tai galima pasakyti taip: perstačius terminus sumos nekeičiama.
Taigi 
, nes abi sumos lygios 8.
SU dideli skaičiai veikia ir šis įstatymas: . Šios dvi sumos yra lygios viena kitai. Jums nereikia skaičiuoti, kad tai suprastumėte. Žinome, kad terminų pertvarkymas sumos nekeičia.
Dabar turime tris skaičius (tris vienetų grupes) ir turime juos pridėti. Tai yra, sudėkite juos į vieną krūvą. Yra dvi parinktys:
1) prie pirmojo pridėkite pirmą antrą, tada trečią,
2) prie pirmo pridėkite antrą ir trečią jau iš anksto sulankstytus.
Nėra skirtumo. Visada gausime tą patį vienetų komplektą, pagaliukus. Nauji iš niekur neatsiras, o esami nebus prarasti.
Jei tai rašome skaičiais:
Jei pridėsite kokius nors tris skaičius, pirmiausia galite pridėti pirmuosius du skaičius arba galite pradėti nuo paskutinių dviejų. Veiksmų seka pridedant kelis terminus nėra svarbi.
Šie dėsniai gali labai palengvinti skaičiavimus.
Galime pridėti bet kokia tvarka. Pasirinkite patogią seką. Pažiūrėkime paskutiniai skaitmenys. Jei jie prideda iki 10, tada geriau pabandyti pradėti nuo jų, juos lengviau sudėti. Antrojo termino pabaigoje yra 6, o trečiojo – 4, jie sudaro 10, todėl pirmiausia sudėkime juos ir tada pridėkite pirmąjį.
Pirmiausia ir paskutinis numeris baigiasi penkiais, o tai reiškia, kad suma baigsis nuliu, tai patogu. Tačiau jų nėra iš eilės. Sukeiskime 39 ir 295.
Idėja paprasta: jei vienu metu reikia pridėti kelis skaičius, galime juos pertvarkyti taip, kaip norime, ir atlikti veiksmus bet kokia tvarka.
Pirmą skaičių patogu pridėti prie paskutinio, o antrą – su trečiuoju.
Turėkime keletą vazų, kurių kiekvienoje yra tam tikras skaičius obuolių. Reikia išsiaiškinti, kiek iš viso yra obuolių. Nereikia dėti visų obuolių į vieną krūvą ir skaičiuoti. Tiesiog užrašykime ant popieriaus, kiek obuolių yra kiekvienoje vazoje, ir sudėkime šiuos skaičius. Pavyzdžiui, 
.
Jei kuri nors vaza pasirodys tuščia, parašysime, kad joje yra nulis obuolių, o bendras skaičius atrodys taip: 
.
Tuščia vaza bendram obuolių skaičiui įtakos neturi. Tai reiškia, kad pridėjus nulį pradinis kiekis nekeičiamas: .
