Pagrindiniai statybos mokslo būdai yra aksiominiai ir eksperimentiniai. Aksiominio metodo sampratos formavimas ir raida, žodžio apibrėžimas

12.9. Aksiominis metodas Senovės graikams matematikos objektai iš tikrųjų egzistavo „idėjų pasaulyje“. Kai kurios šių objektų savybės protu atrodė visiškai nepaneigiamos ir buvo paskelbtos aksiomomis, kitos – neakivaizdžios – turėtų

(gr. aksioma – reikšminga, priimta pozicija) – teorijos konstravimo būdas, kai atrenkami kai kurie teisingi teiginiai...

(gr. aksioma – reikšminga, priimta pozicija) – teorijos konstravimo metodas, kai pradinėmis pozicijomis (aksiomomis) parenkami kai kurie teisingi teiginiai, iš kurių vėliau logiškai išvedami ir įrodomi likę tikri šios teorijos teiginiai (teoremos). Mokslinė A.M. pagrindė Aristotelis, pirmasis padalinęs visą aibę teisingi teiginiaiį pagrindinius („principus“) ir į tuos, kuriems reikia įrodymų („įrodoma“). Kurdamas A.M. praėjo tris etapus. Pirmajame etape A.M. buvo prasminga, aksiomos buvo priimtos remiantis jų akivaizdumu. Tokios dedukcinės teorijos konstrukcijos pavyzdys yra Euklido „Elementai“. Antrajame etape D. Hilbertas įvedė formalų A. M. taikymo kriterijų. - aksiomų sistemos nuoseklumo, nepriklausomumo ir išsamumo reikalavimas. Trečiajame etape A.M. tampa formalizuotas. Atitinkamai pasikeitė „aksiomos“ sąvoka. Jei pirmajame vystymosi etape A.M. buvo suprasta ne tik kaip pradžios taškasįrodymas, bet ir kaip tikra pozicija, kuriai nereikia įrodymų dėl savo akivaizdumo, tuomet šiuo metu aksioma yra pagrindžiama kaip būtinas teorijos elementas, kai pastarosios patvirtinimas kartu laikomas ir jos aksiominių pagrindų patvirtinimu. kaip statybos pradžios taškas. Be pagrindinių ir įvadinių teiginių A.M. lygis taip pat pradėjo ryškėti specialios taisyklės išvestis. Taigi, kartu su aksiomomis ir teoremomis kaip visuma teisingi teiginiaiŠi teorija formuluoja išvadų taisyklių aksiomas ir teoremas – metaaksiomas ir metateoremas. 1931 m. K. Gödelis įrodė teoremą apie esminį bet kurios formalios sistemos neužbaigtumą, nes joje yra neapsprendžiamų teiginių, kurie yra ir neįrodomi, ir nepaneigiami. Atsižvelgiant į jam taikomus apribojimus, AM yra laikomas vienu iš pagrindinių metodų kuriant išplėtotą formalizuotą (o ne tik esminę) teoriją, kartu su hipotetiniu-dedukciniu metodu (kuris kartais interpretuojamas kaip „pusiau aksiominis“). ir matematinės hipotezės metodas. Hipotetinis dedukcinis metodas, priešingai nei A. M., apima hipotezių hierarchijos kūrimą, kai silpnesnės hipotezės išvedamos iš stipresnių vienos dedukcinės sistemos rėmuose, kur hipotezės stiprumas didėja didėjant atstumui nuo empirinio pagrindo. mokslo. Tai leidžia susilpninti A.M apribojimų galią: įveikti aksiomatinės sistemos uždarumą dėl galimybės įvesti papildomas hipotezes, kurios nėra griežtai saistomos pradinių teorijos nuostatų; įveskite abstrakčius objektus skirtingų lygių tikrovės organizavimas, t.y. panaikinti aksiomatikos „visuose pasauliuose“ galiojimo apribojimą; panaikinti aksiomų lygybės reikalavimą. Kita vertus, A. M., priešingai nei matematinės hipotezės metodas, kuriame pagrindinis dėmesys skiriamas pačioms statybos taisyklėms matematines hipotezes, susijęs su netirtais reiškiniais, leidžia apeliuoti į tam tikrus esminius dalykines sritis.

V.L. Abušenko

Aksiomatinis metodas

Vienas iš dedukcinio mokslo teorijų konstravimo metodų, kuriame: 1) parenkama tam tikra aibė, kuri priimama be...

Vienas iš dedukcinio mokslinių teorijų konstravimo metodų, kuriame: 1) be įrodymų priimama tam tikra tam tikros teorijos teiginių (aksiomų) visuma; 2) jose esančios sąvokos nėra aiškiai apibrėžtos šios teorijos rėmuose; 3) fiksuotos tam tikros teorijos apibrėžimo ir išvadų taisyklės, leidžiančios į teoriją įvesti naujus terminus (sąvokas) ir logiškai išvesti vienus teiginius iš kitų; 4) visi kiti šios teorijos (teoremos) teiginiai yra išvesti iš (1) remiantis (3). Pirmosios idėjos apie A. m. Graikija (eleatika, Platonas. Aristotelis, Euklidas). Vėliau buvo bandoma pateikti aksiomatinį įvairių filosofijos ir mokslo skyrių (Spinozos, Niutono ir kt.) pristatymą. Šie tyrimai pasižymėjo prasminga tam tikros (ir tik vienos) teorijos aksiomatine konstrukcija, o pagrindinis dėmesys buvo skiriamas. į intuityviai akivaizdžių aksiomų apibrėžimą ir atranką. Pradedant nuo antrosios pusės. XX amžiaus 30-ieji – kaip formalizuota) sistema, nustatanti ryšius tarp jos elementų (ženklų) ir aprašanti bet kokius ją tenkinančius objektų rinkinius. Tuo pačiu metu pagrindinis imta kreipti dėmesį į sistemos nuoseklumo, išsamumo, aksiomų sistemos nepriklausomumo ir kt. nustatymą. ženklų sistemos gali būti nagrinėjamos arba neatsižvelgiant į jose pateikiamą turinį, arba atsižvelgiant į tai, išskiriamos sintaksinės ir semantinės aksiomatinės sistemos (tik pastarosios reprezentuoja pačias mokslo žinias Dėl šio skirtumo reikėjo suformuluoti pagrindines). joms keliami reikalavimai dviem lygiais – sintaksiniu ir semantiniu (sintaksinis ir semantinis nuoseklumas, užbaigtumas, aksiomų nepriklausomumas ir kt.). Formalizuotų aksiomatinių sistemų analizė leido nustatyti esminius jų apribojimus, tarp kurių pagrindinis yra visiško aksiomatizavimo neįmanoma. pakankamai išvystytų sistemų, kurias įrodė Gödelio mokslinės teorijos (pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aritmetika), o tai reiškia, kad neįmanoma visiškai formalizuoti mokslo žinių Aksiomatizacija yra tik vienas iš mokslo žinių konstravimo būdų, bet jo panaudojimas kaip priemonė mokslinis atradimas labai ribotas. Aksiomatizacija dažniausiai atliekama po to, kai teorija jau yra pakankamai sukonstruota savo turiniu ir tarnauja tikslesniam jos vaizdavimui, ypač griežtam visų pasekmių išvedimui iš priimtų prielaidų didelis dėmesys yra skirtas ne tik matematinių disciplinų, bet ir tam tikrų fizikos, biologijos, psichologijos, ekonomikos, kalbotyros ir kt. skyrių aksiomatizavimui, įskaitant mokslo žinių struktūros ir dinamikos teorijas. Studijuojant gamtos mokslą (apskritai, bet kokias ne matematines) žinias, matematinė teorija pasirodo hipotetinio dedukcinio metodo forma (taip pat žr. Formalizavimas)

Aksiomatinis metodas

Teorijos konstravimo metodas, kuriame ji remiasi tam tikromis pradinėmis nuostatomis – aksiomomis arba postulatais...

Teorijos konstravimo metodas, kuriame ji remiasi tam tikromis pradinėmis nuostatomis – aksiomomis arba postulatais, iš kurių grynai logiškai turi būti išvedami visi kiti šios teorijos teiginiai.

Aksiomatinis metodas

Mokslinės teorijos konstravimo metodas, kai kai kurios teorijos nuostatos pasirenkamos kaip pradinės, o visos likusios...

Mokslinės teorijos konstravimo metodas, kai kai kurios teorijos nuostatos pasirenkamos kaip pradinės, o visos kitos jos nuostatos iš jų išvedamos grynai loginiu būdu, per įrodymus. Aksiomų pagrindu įrodyti teiginiai vadinami teoremomis.

A. m – tai ypatingas objektų ir santykių tarp jų apibrėžimo būdas (žr.: Aksiominis apibrėžimas). A. m. naudojamas matematikoje, logikoje, taip pat tam tikrose fizikos, biologijos ir kt. pr. Kr e. Tačiau Euklidas savo „aksiomose ir postulatuose“ nesugebėjo aprašyti visų geometrinių objektų savybių, kurias iš tikrųjų naudojo; jo parodymus lydėjo daugybė brėžinių. „Paslėptos“ Euklido geometrijos prielaidos buvo atskleistos tik m šiuolaikiniai laikai D. Gilbertas (1862-1943), kuris aksiomatinę teoriją laikė formalia teorija, kuri nustato ryšius tarp jos elementų (ženklų) ir aprašo bet kokias ją tenkinančias objektų aibes. Šiais laikais aksiomatinės teorijos dažnai formuluojamos kaip formalizuotos sistemos, turinčios tikslų teoremų iš aksiomų išvedimo loginių priemonių aprašymą. Įrodymas tokioje teorijoje yra formulių seka, kurių kiekviena yra arba aksioma, arba gaunama iš ankstesnių sekos formulių pagal vieną iš priimtų išvadų taisyklių.

Aksiomatinei formaliai sistemai keliami nuoseklumo, išsamumo, aksiomų sistemos savarankiškumo ir kt.

A.M. yra tik vienas iš mokslo žinių konstravimo metodų. Jis naudojamas ribotai, nes tam reikia aukšto lygio aksiomatizuojamos esminės teorijos sukūrimas.

Kaip parodyta garsus matematikas ir logikas K. Gödelis, gana turtingos mokslinės teorijos (pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aritmetika) neleidžia visiškai aksiomatizuoti. Tai rodo A. M. apribojimus. ir visiško mokslo žinių formalizavimo negalėjimas (žr.: Gödelio teorema).

Aksiominio metodo esmė

Euklidas

P. Dirakas

Jei teoremos neįmanoma įrodyti, ji tampa aksioma.

Matematika remiasi sąvokomis. Sąvokos gali būti apibrėžtos arba neapibrėžtos. Pagal apibrėžimas suprasti tikslią konkrečios sąvokos formuluotę. Apibrėžti matematinę sąvoką reiškia nurodyti jai būdingus bruožus arba savybes, kurios išskiria šią sąvoką iš kitų. Įprastas būdas nustatyti matematinė sąvoka susideda nurodant: 1) artimą gentį, tai yra bendresnę sąvoką, kuriai priklauso apibrėžta sąvoka; 2) rūšių skirtumai, tai yra tie būdingi bruožai arba savybės, būdingos šiai konkrečiai koncepcijai.

1 pavyzdys. Apibrėžimas: „Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios“. Artimiausia gentis, tai yra bendresnė sąvoka, yra stačiakampio sąvoka, o konkretus skirtumas bus požymis, kad visos kvadrato kraštinės yra lygios. Savo ruožtu stačiakampiui bendresnė sąvoka yra lygiagretainio sąvoka, lygiagretainiui - keturkampio sąvoka, keturkampiui - daugiakampio sąvoka ir pan. Tačiau ši grandinė nėra begalinė.

Yra sąvokų, kurių negalima apibrėžti kitomis, bendresnėmis sąvokomis. Matematikoje jie vadinami pagrindinės neapibrėžtos sąvokos . Pagrindinių sąvokų pavyzdžiai yra taškas, tiesė, plokštuma, atstumas, aibė ir kt.

Ryšiai ir ryšiai tarp pagrindinių sąvokų formuluojami naudojant aksiomas.

Aksioma yra matematinis teiginys, priimtas duotoje teorijoje be įrodymų.

Prie aksiomų sistemos, ant kurios pastatyta viena ar kita matematinė teorija, keliami nuoseklumo, nepriklausomumo ir išsamumo reikalavimai.

Aksiomų sistema vadinama nuoseklus , jei iš jo neįmanoma vienu metu išvesti dviejų vienas kitą paneigiančių sakinių: A, neA.

Aksiomų sistema vadinama nepriklausomas , jei nė viena šios sistemos aksioma nėra kitų šios sistemos aksiomų pasekmė.

Aksiomų sistema vadinama pilnas , jei jame būtinai įrodomas vienas iš dviejų dalykų: arba teiginys A, arba neA.

Teiginys, kurio nėra aksiomų sąraše, turi būti įrodytas. Toks pasiūlymas vadinamas teorema .

Teorema yra matematinis teiginys, kurio tiesa nustatoma per samprotavimo procesą, vadinamą įrodymu.

Aksioma: „Kad ir kokia būtų linija, yra taškų, kurie priklauso šiai linijai, ir taškų, kurie jai nepriklauso“.

Teorema: „Jei keturkampio įstrižainės susikerta ir yra perkirstos per susikirtimo tašką, tai šis keturkampis yra lygiagretainis“.

Vienas iš pagrindinių metodų šiuolaikinė matematika yra aksiominis metodas . Jo esmė yra tokia:

1) išvardijamos pagrindinės neapibrėžtos kuriamos teorijos sąvokos ir ryšiai (santykių pavyzdžiai: sekti..., gulėti tarp...);

2) formuluojamos, šioje teorijoje priimtos be įrodymų aksiomos, kurios išreiškia ryšį tarp pagrindinių sąvokų ir jų santykių;

3) turi būti apibrėžti sakiniai, kurie nėra tarp pagrindinių sąvokų ir pagrindinių santykių;

4) teiginiai, kurių nėra aksiomų sąraše, turi būti įrodyti remiantis šiomis aksiomomis ir anksčiau įrodytais teiginiais.

1.2 Euklido geometrija – pirmoji gamtos mokslinė teorija

Istorinė apžvalga geometrijos pagrindimas. Geometrija, prieš tapdama aksiomatine teorija, praėjo ilgą empirinio vystymosi kelią.

Pirmąją informaciją apie geometriją gavo civilizacijos Senovės Rytai(Egiptas, Kinija, Indija) susiję su žemės ūkio plėtra, ribotomis derlingomis žemėmis ir kt. Šiose šalyse geometrija buvo empirinio pobūdžio ir buvo atskirų sprendimo „receptų-taisyklių“ rinkinys. konkrečias užduotis. Jau II tūkstantmetyje pr. egiptiečiai mokėjo tiksliai apskaičiuoti trikampio plotą, nupjautos piramidės tūrį, apskritimo plotą, o babiloniečiai žinojo Pitagoro teoremą. Atkreipkite dėmesį, kad nebuvo jokių įrodymų, o skaičiavimų taisyklės.

Graikijos laikotarpis Geometrija prasidėjo VII–VI a. pr. Kr egiptiečių įtakoje. Laikomas graikų matematikos tėvu garsus filosofas Talis (640-548 m. pr. Kr.). Talis, tiksliau, jis matematikos mokykla priklauso savybių įrodymams lygiašonis trikampis, vertikalūs kampai. Vėliau Senovės Graikijos geometrija gavo rezultatus, apimančius beveik visą šiuolaikinio turinio turinį mokyklos kursas geometrija.

Pitagoro (570–471 m. pr. Kr.) filosofinė mokykla atrado teoremą apie trikampio kampų sumą, įrodė Pitagoro teoremą ir nustatė penkių tipų egzistavimą. taisyklingas daugiabriaunis ir nepalyginamus segmentus. Demokritas (470–370 m. pr. Kr.) atrado teoremas apie piramidės ir kūgio tūrius. Eudoksas (410-356 m. pr. Kr.) sukūrė geometrinė teorija proporcijos (t. y. proporcinių skaičių teorija).

Menaechmas ir Apolonijus studijavo kūginius pjūvius. Archimedas (289-212 m. pr. Kr.) atrado rutulio paviršiaus ploto ir tūrio bei kitų figūrų skaičiavimo taisykles. Jis taip pat rado apytikslę skaičiaus π reikšmę.

Ypatingas nuopelnas Senovės Graikijos mokslininkai teigia, kad jie pirmieji iškėlė griežtos geometrinių žinių konstravimo problemą ir išsprendė ją pagal pirmąjį apytikslį. Problemą iškėlė Platonas (428-348 m. pr. Kr.). Aristotelis (384-322 m. pr. Kr.) – didžiausias filosofas, įkūrėjas formalioji logika– priklauso aiškiam geometrijos konstravimo teiginių grandinės pavidalu, remiantis tik logikos taisyklėmis. Daugelis graikų mokslininkų (Hipokratas, Faidijus) bandė išspręsti šią problemą.

Euklidas (330-275 m. pr. Kr.) – didžiausias antikos geometras, Platono mokyklos absolventas, gyveno Egipte (Aleksandrijoje). Jo sudarytuose „Principuose“ pateikiamas sistemingas geometrijos principų, atliekamų ant tokių. mokslinio lygio kad daugelį amžių geometrijos mokymas rėmėsi jo darbu. „Principai“ susideda iš 13 knygų (skyrių):

I-VI – planimetrija;

VII-IX – aritmetika geometriniame pateikime;

X – nesuderinami segmentai;

ХI-ХII – stereometrija.

Ne visa geometrijoje žinoma informacija buvo įtraukta į elementus. Pavyzdžiui, šiose knygose nebuvo: teorijos kūginės sekcijos, aukštesnių užsakymų kreivės.

Kiekviena knyga prasideda joje esančių sąvokų apibrėžimu. Pavyzdžiui, I knygoje yra 23 apibrėžimai. Štai pirmųjų keturių sąvokų apibrėžimai:

1 Taškas yra tai, kas neturi dalių.

2 Linija yra ilgis be pločio.

3 Tiesės ribos yra taškai.

Euklidas pateikia teiginius, priimtus be įrodymų, suskirstydamas juos į postulatus ir aksiomas. Jis turi penkis postulatus ir septynias aksiomas. Štai keletas iš jų:

IV Ir kad visi statūs kampai būtų lygūs.

V Ir taip, kad kai tiesi linija, susikertanti su kitomis dviem tiesiomis linijomis, sudarytų su jomis vidinius vienpusius kampus, kurių suma mažesnė už dvi tieses, šios tiesės susikerta toje pusėje, kurioje ši suma mažesnė nei dvi tiesios linijos.

Aksiomos

I Atskirai lygūs trečiam yra lygūs vienas kitam.

II Ir jei sudėsime lygus prie lygių, gausime lygus.

VII O tie, kurie jungiasi, yra lygūs.

Euklidas nenurodė skirtumo tarp postulatų ir aksiomų. Vis tiek ne galutinis sprendimasšį klausimą.

Euklidas geometrijos teoriją aiškina taip, kaip to reikalauja graikų mokslininkai, ypač Aristotelis, t.y. Teoremos išdėstytos taip, kad kiekviena paskesnė būtų įrodyta tik remiantis ankstesnėmis. Kitaip tariant, Euklidas kuria geometrinę teoriją griežtai logišku būdu. Tai istorinis Euklido nuopelnas mokslui.

Euklido „Elementai“ suvaidino didžiulį vaidmenį matematikos ir visos žmonijos kultūros istorijoje. Šios knygos buvo išverstos į visas pagrindines pasaulio kalbas po 1482 m., jos išleistos apie 500 leidimų.

Euklido sistemos trūkumai.Šiuolaikinės matematikos požiūriu Elementų pateikimas turėtų būti laikomas netobulu. Įvardinkime pagrindinius šios sistemos trūkumus:

1) daugelis sąvokų apima tas, kurios savo ruožtu turi būti apibrėžtos (pvz., 1 skyriaus 1-4 apibrėžimuose vartojamos pločio, ilgio, kraštinės sąvokos, kurios taip pat turi būti apibrėžtos);

2) aksiomų ir postulatų sąrašo nepakanka geometrijai konstruoti griežtai logiškai. Pavyzdžiui, šiame sąraše nėra eilės aksiomų, be kurių neįmanoma įrodyti daugelio geometrijos teoremų; Pastebėkime, kad Gaussas atkreipė dėmesį į šią aplinkybę. Šiame sąraše taip pat trūksta judėjimo (derinio) sąvokos ir judėjimo savybių apibrėžimų, t.y. judėjimo aksiomos. Sąraše taip pat trūksta Archimedo aksiomos (vienos iš dviejų tęstinumo aksiomų), kuri atlieka svarbų vaidmenį atkarpų, figūrų plotų ir kūnų objektų ilgių matavimo teorijoje. Atkreipkite dėmesį, kad tai pastebėjo Euklido amžininkas Archimedas;

3) IV postulatas yra aiškiai perteklinis, jį galima įrodyti kaip teoremą. Ypač atkreipkime dėmesį į penktąjį postulatą. Pirmojoje elementų knygoje pirmieji 28 teiginiai įrodomi neatsižvelgiant į penktąjį postulatą. Bandymas sumažinti aksiomų ir postulatų sąrašą, ypač įrodyti V postulatą kaip teoremą, buvo vykdomas nuo paties Euklido laikų. Proclus (V a. po Kr.), Omaras Khayyamas (1048-1123), Wallis (17 a.), Saccheri ir Lambertas (XVIII a.), Legendre (1752-1833) taip pat bandė įrodyti V postulatą kaip teoremą. Jų įrodymai buvo klaidingi, bet tai paskatino teigiamų rezultatų– iki dar dviejų geometrijų (Riemano ir Lobačevskio) gimimo.

Neeuklidinės geometrinės sistemos. N. Lobačevskis (1792-1856), atradęs nauja geometrija– Lobačevskio geometrija taip pat prasidėjo bandymu įrodyti postulatą V.

Nikolajus Ivanovičius sukūrė savo sistemą iki „Principų“ tomo, tikėdamasis gauti prieštaravimą. Jis jo negavo, bet 1826 m. padarė teisingą išvadą: egzistuoja geometrija, kuri skiriasi nuo Euklido geometrijos.

Iš pirmo žvilgsnio ši išvada atrodo nepakankamai pagrįsta: galbūt ją toliau plėtojant galima susidurti su prieštaravimu. Tačiau tas pats klausimas galioja ir Euklido geometrijai. Kitaip tariant, abi geometrijos yra vienodos, kai susiduriame su loginio nuoseklumo klausimu. Tolesni tyrimai parodė, kad vienos geometrijos nuoseklumas reiškia ir kitos geometrijos nuoseklumą, t.y. egzistuoja loginių sistemų lygybė.

Lobačevskis pirmasis, bet ne vienintelis, padarė išvadą, kad egzistuoja kita geometrija. Gaussas (1777-1855) šią mintį išsakė dar 1816 metais privačiais laiškais, tačiau oficialiuose leidiniuose to nepasakė.

Praėjus trejiems metams po Lobačevskio rezultatų paskelbimo (1829 m.), t.y. 1832 m. buvo paskelbtas vengras J. Bolyai (1802-1860) darbas, kuris 1823 m. padarė išvadą apie kitokios geometrijos egzistavimą, tačiau paskelbė ją vėliau ir mažiau išvystyta forma nei Lobačevskis. Todėl teisinga, kad ši geometrija turi Lobačevskio vardą.

Bendrą Lobačevskio geometrijos pripažinimą labai palengvino geometrų darbas po Lobačevskio. 1868 metais italų matematikas E. Beltrami (1825-1900) įrodė, kad Lobačevskio geometrija laikosi pastovaus neigiamo kreivumo paviršiuje (vadinamojoje pseudosferoje). Lobačevskio geometrijos nuoseklumo įrodymo, paremto Beltramio interpretacija, silpnoji vieta buvo ta, kad, kaip parodė D. Hilbertas (1862-1943), nėra viso paviršiaus nuolatinis neigiamas kreivumas be bruožų. Todėl ant nuolatinio neigiamo kreivio paviršiaus galima interpretuoti tik dalį plokščios Lobačevskio geometrijos. Šį trūkumą pašalino A. Poincare'as (1854-1912) ir F.Kleinas (1849-1925).

Lobačevskio geometrijos nuoseklumo įrodymas kartu buvo ir penktojo postulato nepriklausomumo nuo kitų įrodymas. Iš tiesų, priklausomybės atveju Lobačevskio geometrija būtų prieštaringa, nes joje būtų du vienas kitą paneigiantys teiginiai.

Tolesni Euklido geometrijos tyrimai parodė Euklido aksiomų ir postulatų sistemos neužbaigtumą. Euklido aksiomatikos tyrimą 1899 metais baigė Hilbertas.

Hilberto aksiomatika susideda iš penkių grupių:

Ryšio aksiomos (priklausymas);

Tvarkos aksiomos;

Sutapimo aksiomos (lygybė, sutapimas);

Tęstinumo aksiomos;

Paralelizmo aksioma.

Šios aksiomos (iš viso jų yra 20) nurodo trijų rūšių objektus: taškus, linijas, plokštumas, taip pat tris santykius tarp jų: ​​„priklauso“, „sulysta tarp“, „sutampa“. Konkreti taškų, linijų, plokštumų ir santykių reikšmė nenurodoma. Jie netiesiogiai apibrėžiami per aksiomas. Dėl šios priežasties Hilberto aksiomų pagrindu sukonstruota geometrija leidžia atlikti įvairius konkrečius įgyvendinimus.

Geometrinė sistema, sukurta remiantis išvardytomis aksiomomis, vadinama Euklido geometrija, kadangi ji sutampa su Euklido elementuose išaiškinta geometrija.

Vadinamos kitokios nei euklido geometrinės sistemos neeuklido geometrijos. Pagal bendrąją reliatyvumo teoriją, erdvėje nei viena, nei kita nėra absoliučiai tiksli, tačiau mažomis mastelėmis (žemės masteliai irgi gana „maži“) jie visai tinkami erdvei apibūdinti. Priežastis, kodėl Euklido formulės naudojamos praktikoje, yra jų paprastumas.

Hilbertas visapusiškai išnagrinėjo savo aksiomų sistemą ir parodė, kad ji yra nuosekli, jei aritmetika nėra nenuosekli (t. y. iš tikrųjų yra įrodytas esminis arba vadinamasis išorinis nuoseklumas). Jis baigė šimtmečius trukusius geometrų tyrimus, siekdamas pagrįsti geometriją. Šis darbas buvo labai įvertintas ir 1903 m. buvo apdovanotas Lobačevskio premija.

Šiuolaikiniame aksiominiame Euklido geometrijos pristatyme Hilberto aksiomos naudojamos ne visada: geometrijos vadovėliai yra kuriami remiantis įvairiomis šios aksiomų sistemos modifikacijomis.

XX amžiuje buvo atrasta, kad Lobačevskio geometrija turi ne tik svarbu abstrakčiajai matematikai kaip vienai iš galimų geometrijų, bet ir tiesiogiai susijusiai su matematikos taikymu. Paaiškėjo, kad erdvės ir laiko santykis, kurį atrado A. Einšteinas ir kiti mokslininkai viduje specialioji teorija reliatyvumo teorija, yra tiesiogiai susijusi su Lobačevskio geometrija.

teorijos konstravimo metodas, kuriame ji remiasi tam tikromis pradinėmis nuostatomis – aksiomomis arba postulatais, iš kurių grynai logiškai turi būti išvedami visi kiti šios teorijos teiginiai.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

Aksiominis metodas

iš graikų kalbos aksioma – priimta pozicija) – mokslinės teorijos konstravimo būdas, kuris a priori priima nuostatas kaip savo pagrindą, iš kurios logiškai išvedami visi kiti teorijos teiginiai. Visiškas teorijų aksiomatizavimas neįmanomas (K. Gödel, 1931).

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

Aksiominis metodas

iš graikų kalbos axi?ma – priimta pozicija) – teorijos konstravimo metodas, pagrįstas priimtomis (ar anksčiau įrodytomis) pradinėmis pozicijomis (aksiomomis ir postulatais), iš kurios per įrodymus logiškai išvedamos likusios žinios. Aksiomatinis metodas kaip dedukcijos taikymas gavo filosofinį aiškinimą R. Dekarto mokymuose. Vienaip ar kitaip, aksiominis metodas buvo naudojamas įvairių mokslų- filosofijoje (B. Spinoza), sociologijoje (G. Vico), biologijoje (J. Woodger) ir kt. Tačiau pagrindinė jos taikymo sritis išlieka matematika ir simbolinė logika, taip pat nemažai fizikos sričių. (mechanika, termodinamika, elektrodinamika ir kt.).

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

mokslinės teorijos konstravimo metodas, kuriame ji remiasi tam tikromis pradinėmis nuostatomis (aksiomomis), arba postulatais, iš kurių visi kiti šios teorijos teiginiai turi būti išvedami grynai logiškai per įrodymus. Aksiomatiniu metodu pagrįsta mokslo konstrukcija paprastai vadinama dedukcine. Šis metodas pradėtas naudoti statant geometriją Senovės Graikijoje. Sėkmingiausiai ji įgyvendinama organizacijai matematines žinias, kur didžiulis žinių svoris priklauso konstruktyviai ir kūrybingai proto veiklai. Gamtos, socialinių mokslų, humanitarinių mokslų, inžinerijos ir technologijų srityse šis metodas, palyginti su kitais pažinimo metodais, užima subordinuotą padėtį.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

mokslo (ypač teorinių) žinių organizavimo būdas, kurio esmė yra iš viso tikrų teiginių apie tam tikrą dalykinę sritį išskirti tokį poaibį (aksiomas), iš kurio visi kiti teisingi teiginiai (teoremos ir pavieniai teisingi teiginiai). ) logiškai sektųsi. Aksiominės mokslo žinių konstravimo idealas, kurio įgyvendinimas prasidėjo konstruojant geometriją Senovės Graikijoje (VII – IV a. pr. Kr.), pasirodė tinkamiausias matematinių žinių sistemoms organizuoti, kur žinioms tenka didžiulis svoris. ne tik empirinei-abstrahuojančiai veiklos protui, bet ir konstruktyviai bei kūrybinei proto veiklai. Gamtos, socialiniuose, humanitariniuose ir inžineriniuose moksluose aksiominis žinių organizavimo metodas užima subordinuotą poziciją, palyginti su kitomis pažinimo organizavimo formomis. (Žr. įrodymas, dedukcija, teorija, metodas).

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

mokslinio konstravimo būdas teorija, kurioje ji remiasi tam tikromis pradinėmis pozicijomis (sprendimais) – aksiomomis, arba postulatais, iš kurių turi būti logiškai išvedami visi kiti šio mokslo teiginiai (teoremos). per įrodymą. A.m. apima savivalės perėmimo mokslo žinias ribojimą. sprendimai kaip tam tikros teorijos tiesos. Mokslo konstravimas remiantis A.M. paprastai vadinamas dedukciniu (žr. Išskaičiavimas). Visos dedukcinės teorijos sąvokos (išskyrus fiksuotą pradinių skaičių) įvedamos per apibrėžimus, kurie jas išreiškia (arba paaiškina) anksčiau įvestomis sąvokomis. Vienaip ar kitaip dedukciniai įrodymai, būdingi A. M., vartojami daugiskaita. mokslai Tačiau nepaisant bandymų sistemingai prašymas A.m. filosofijos (Spinoza), sociologijos (Vico), politinės ekonomijos (Rodbertus-Yagezov), biologijos (Woodger) ir kituose moksluose, sk. regione jos taikymas išlieka matematika ir simbolika. logika, taip pat tam tikros fizikos šakos (mechanika, termodinamika, elektrodinamika ir kt.). Vienas pirmųjų A.m. naudojimo pavyzdžių. yavl. Euklido elementai (apie 300 m. pr. Kr.). B.N.Machutovas

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

Mokslinės teorijos konstravimo metodas, kai kai kurios teorijos nuostatos pasirenkamos kaip pradinės, o visos kitos jos nuostatos iš jų išvedamos grynai loginiu būdu, per įrodymus. Aksiomų pagrindu įrodyti teiginiai vadinami teoremomis.

A. m – tai ypatingas objektų ir santykių tarp jų apibrėžimo būdas (žr.: Aksiominis apibrėžimas). AM naudojamas matematikoje, logikoje, taip pat tam tikrose fizikos, biologijos ir kt.

A. m. atsirado senovėje ir įgijo didelę šlovę dėl Euklido elementų, pasirodžiusių apie 330–320 m. pr. Kr e. Tačiau Euklidas savo „aksiomose ir postulatuose“ nesugebėjo aprašyti visų geometrinių objektų savybių, kurias iš tikrųjų naudojo; jo parodymus lydėjo daugybė brėžinių. „Paslėptas“ Euklido geometrijos prielaidas tik naujaisiais laikais atskleidė D. Hilbertas (1862-1943), kuris aksiomatinę teoriją laikė formalia teorija, nustatančia ryšius tarp jos elementų (ženklų) ir aprašančia bet kokias ją tenkinančias objektų aibes. . Šiais laikais aksiomatinės teorijos dažnai formuluojamos kaip formalizuotos sistemos, turinčios tikslų teoremų iš aksiomų išvedimo loginių priemonių aprašymą. Įrodymas tokioje teorijoje yra formulių seka, kurių kiekviena yra arba aksioma, arba gaunama iš ankstesnių sekos formulių pagal vieną iš priimtų išvadų taisyklių.

Aksiomatinei formaliai sistemai keliami nuoseklumo, išsamumo, aksiomų sistemos savarankiškumo ir kt.

A.M. yra tik vienas iš mokslo žinių konstravimo metodų. Jis turi ribotą pritaikymą, nes reikalauja aukšto aksiomatizuotos esminės teorijos išsivystymo lygio.

Kaip parodė žymus matematikas ir logikas K. Gödelis, gana turtingos mokslinės teorijos (pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aritmetika) neleidžia visiškai aksiomatizuoti. Tai rodo A. M. apribojimus. ir visiško mokslo žinių formalizavimo negalimumą (žr. Gödelio teoremą).

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

mokslinio konstravimo būdas teorija, kurioje ji remiasi tam tikromis pradinėmis pozicijomis (sprendimais) – aksiomomis, arba postulatais, iš kurių grynai logiškai turėtų būti išvedami visi kiti šios teorijos teiginiai. per įrodymus. Mokslo konstravimas AM pagrindu paprastai vadinamas. dedukcinis (žr. Išskaičiavimas). Visos dedukcinės teorijos sąvokos (išskyrus fiksuotą pradinių skaičių) įvedamos per apibrėžimus, išreiškiančius jas per anksčiau įvestas sąvokas. Vienaip ar kitaip dedukciniai įrodymai, būdingi AM, vartojami daugiskaita. mokslai, tačiau sk. jo taikymo sritis yra matematika, logika, taip pat tam tikros fizikos šakos.

AM idėja pirmą kartą buvo išreikšta geometrijos konstravimo srityje Dr. Graikija (Pitagoras, Platonas, Aristotelis, Euklidas). Šiuolaikiniams AM raidos etapui būdinga Hilberto pateikta formaliojo AM samprata, kuri iškelia uždavinį tiksliai apibūdinti loginį. teoremų išvedimo iš aksiomų priemonės. Pagrindinis Hilberto idėja – tai visiškas mokslo kalbos formalizavimas, kuriame jos sprendimai laikomi ženklų (formulių) sekomis, kurios prasmę įgyja tik su tam tikra specifine interpretacija. Norint išvesti teoremas iš aksiomų (ir apskritai kai kurias formules iš kitų), formuluojamos specialios formulės. išvadų taisyklės. Įrodymas tokioje teorijoje (skaičiuojant arba formalioje sistemoje) yra tam tikra formulių seka, kurių kiekviena yra arba aksioma, arba gaunama iš ankstesnių sekos formulių pagal tam tikrus kriterijus. išvados taisyklė. Priešingai nei tokie formalūs įrodymai, tiriamos pačios formalios sistemos kaip visumos savybės. pasitelkiant metateoriją. Pagrindinis reikalavimai aksiomatiniams formalios sistemos – nuoseklumas, išsamumas, aksiomų nepriklausomumas. Hilberto programa, kuri prisiėmė galimybę įrodyti visos klasikos nuoseklumą ir išbaigtumą matematika apskritai pasirodė neįmanoma. 1931 metais Gödelis įrodė, kad pakankamai išsivysčiusio mokslo visiškai aksiomatizuoti neįmanoma. teorijos (pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aritmetika), kurios nurodė A. m. apribojimus. AM principus kritikavo intuicionizmo ir konstruktyvios krypties šalininkai. Taip pat žiūrėkite formalizmas matematikoje ir logikoje, teorija.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

vienas iš dedukcinio mokslinių teorijų konstravimo metodų, kuriame: 1) be įrodymų priimama tam tikra tam tikros teorijos teiginių (aksiomų) visuma; 2) jose esančios sąvokos nėra aiškiai apibrėžtos šios teorijos rėmuose; 3) fiksuotos tam tikros teorijos apibrėžimo ir išvadų taisyklės, leidžiančios į teoriją įvesti naujus terminus (sąvokas) ir logiškai išvesti vienus teiginius iš kitų; 4) visi kiti šios teorijos (teoremos) teiginiai yra išvesti iš (1) remiantis (3). Pirmosios idėjos apie A. m. Graikija (eleatika, Platonas. Aristotelis, Euklidas). Vėliau buvo bandoma pateikti aksiomatinį įvairių filosofijos ir mokslo skyrių (Spinozos, Niutono ir kt.) pristatymą. Šie tyrimai pasižymėjo prasminga tam tikros (ir tik vienos) teorijos aksiomatine konstrukcija, o pagrindinis dėmesys buvo skiriamas. į intuityviai akivaizdžių aksiomų apibrėžimą ir atranką. Pradedant nuo antrosios pusės. XX amžiaus 30-ieji – kaip formalizuota) sistema, nustatanti ryšius tarp jos elementų (ženklų) ir aprašanti bet kokius ją tenkinančius objektų rinkinius. Tuo pačiu metu pagrindinis pradėtas kreipti dėmesį į sistemos nuoseklumo, išbaigtumo, aksiomų sistemos savarankiškumo ir kt. nustatymą. Dėl to, kad ženklų sistemas galima nagrinėti arba neatsižvelgiant į jose pavaizduojamą turinį, arba imant Atsižvelgiant į tai, išskiriamos sintaksinės ir semantinės aksiomatinės sistemos (tik pastarosios reprezentuoja pačias mokslo žinias) Dėl šio skirtumo reikėjo suformuluoti pagrindines. joms keliami reikalavimai dviem lygiais – sintaksiniu ir semantiniu (sintaksinis ir semantinis nuoseklumas, užbaigtumas, aksiomų nepriklausomumas ir kt.). Formalizuotų aksiomatinių sistemų analizė leido nustatyti esminius jų apribojimus, tarp kurių pagrindinis yra visiško aksiomatizavimo neįmanoma. pakankamai išvystytų sistemų, kurias įrodė Gödelio mokslinės teorijos (pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aritmetika), o tai reiškia, kad neįmanoma visiškai formalizuoti mokslo žinių Aksiomatizacija yra tik vienas iš mokslo žinių konstravimo metodų, tačiau jo naudojimas kaip mokslinė priemonė atradimas yra labai ribotas. Aksiomatizacija paprastai atliekama po to, kai teorija jau yra pakankamai sukonstruota savo turiniu ir tarnauja tikslesniam jos vaizdavimui, ypač griežtam visų pasekmių išvedimui iš priimtų prielaidų atkreiptas dėmesys į ne tik matematinių disciplinų, bet ir tam tikrų fizikos, biologijos, psichologijos, ekonomikos, kalbotyros ir kt. skyrių aksiomatizavimą, įskaitant mokslo žinių struktūros ir dinamikos teorijas. Studijuojant gamtos mokslą (apskritai, bet kokias ne matematines) žinias, matematinė teorija pasirodo hipotetinio dedukcinio metodo forma (taip pat žr. Formalizavimas)

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

graikų aksioma – reikšminga, priimta pozicija) – teorijos konstravimo metodas, kai kai kurie teisingi teiginiai pasirenkami kaip pradinės pozicijos (aksiomos), iš kurių vėliau logiškai išvedami ir įrodomi likę tikri šios teorijos teiginiai (teoremos). Mokslinė A.M. pateisino Aristotelis, pirmasis suskirstęs visą teisingų teiginių aibę į pagrindinius ("principus") ir reikalaujančius įrodymų ("įrodomuosius"). Kurdamas A.M. praėjo tris etapus. Pirmajame etape A.M. buvo prasminga, aksiomos buvo priimtos remiantis jų akivaizdumu. Tokios dedukcinės teorijos konstravimo pavyzdys yra Euklido elementai. Antrajame etape D. Hilbertas įvedė formalų A. M. taikymo kriterijų. - aksiomų sistemos nuoseklumo, nepriklausomumo ir išsamumo reikalavimas. Trečiajame etape A.M. tampa formalizuotas. Atitinkamai pasikeitė „aksiomos“ sąvoka. Jei pirmajame vystymosi etape A.M. ji buvo suprantama ne tik kaip įrodymų išeities taškas, bet ir kaip tikroji pozicija, kuriai nereikia įrodymų dėl savo akivaizdumo, tai šiuo metu aksioma yra pagrindžiama kaip būtinas teorijos elementas, kai svarstomas pastarojo patvirtinimas. kartu patvirtinant jos aksiominius pamatus kaip statybos pradžios tašką . Be pagrindinių ir įvadinių teiginių A.M. Taip pat pradėjo ryškėti specialių išvadų taisyklių lygis. Taigi, kartu su aksiomomis ir teoremomis, kaip visų pateiktos teorijos tikrųjų teiginių visuma, formuluojamos išvadų taisyklių aksiomos ir teoremos - metaaksiomos ir metateoremos. 1931 m. K. Gödelis įrodė teoremą apie esminį bet kurios formalios sistemos neužbaigtumą, nes joje yra neapsprendžiamų teiginių, kurie yra ir neįrodomi, ir nepaneigiami. Atsižvelgiant į jam taikomus apribojimus, AM yra laikomas vienu iš pagrindinių metodų kuriant išplėtotą formalizuotą (o ne tik esminę) teoriją, kartu su hipotetiniu-dedukciniu metodu (kuris kartais interpretuojamas kaip „pusiau aksiominis“). ir matematinės hipotezės metodas. Hipotetinis dedukcinis metodas, priešingai nei A. M., apima hipotezių hierarchijos kūrimą, kai silpnesnės hipotezės išvedamos iš stipresnių vienos dedukcinės sistemos rėmuose, kur hipotezės stiprumas didėja didėjant atstumui nuo empirinio pagrindo. mokslo. Tai leidžia susilpninti A.M apribojimų galią: įveikti aksiomatinės sistemos uždarumą dėl galimybės įvesti papildomas hipotezes, kurios nėra griežtai saistomos pradinių teorijos nuostatų; supažindinti su skirtingų tikrovės organizavimo lygių abstrakčiais objektais, t.y. panaikinti aksiomatikos „visuose pasauliuose“ galiojimo apribojimą; panaikinti aksiomų lygybės reikalavimą. Kita vertus, A. M., priešingai nei matematinės hipotezės metodas, orientuotas į pačias matematinių hipotezių, susijusių su netirtais reiškiniais, konstravimo taisykles, leidžia apeliuoti į tam tikras turinio dalykines sritis.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

AKSIOMATINIS METODAS

teorijų konstravimo metodas, pagal kurį įrodymuose leidžiama naudoti tik aksiomas ir anksčiau iš jų išvestus teiginius. Aksiominio metodo naudojimo priežastys gali būti įvairios, o tai dažniausiai lemia aksiomų išskyrimą ne tik pagal jų formuluotes, bet ir pagal metodologinį (pragmatinį) statusą. Pavyzdžiui, aksioma gali turėti teiginio statusą, prielaidos statusą arba lingvistinės konvencijos apie norimą terminų vartojimą statusą. Kartais šis statuso skirtumas atsispindi aksiomų pavadinimuose (šiuolaikinėse empirinėms teorijoms skirtose aksiomose tarp visų aksiomų dažnai išskiriami prasmės postulatai, išreiškiantys kalbines konvencijas, o senovės graikai geometrines aksiomas skirstė į bendrąsias sąvokas ir postulatus, manydami, kad pirmieji aprašomi, antrieji statomi). Paprastai tariant, atsižvelgti į aksiomų būsenas yra privaloma, nes galima, pavyzdžiui, pakeisti aksiomatinės teorijos turinį nekeičiant nei formuluotės, nei aksiomų semantikos, o tik keičiant jų statusą, deklaruojant, tarkime, vienas iš jų – naujas prasmės postulatas. Aksiomatinį metodą pirmasis pademonstravo Euklidas savo Elementuose, nors aksiomos, postulato ir apibrėžimo sąvokas jau svarstė Aristotelis. Visų pirma, aksiomų aiškinimas kaip būtinas grįžta jam bendrus principusįrodymas. Aksiomų kaip savaime suprantamų tiesų supratimas išsivystė vėliau, tapęs esminiu, atsiradus Port-Royal mokyklinei logikai, kurios autoriams įrodymai reiškia ypatingą sielos gebėjimą tiesiogiai (grynoje kontempliacijoje ar intuicija) suvokti tam tikras tiesas. ). Beje, Kanto tikėjimas a priori sintetiniu Euklido geometrijos pobūdžiu priklauso nuo šios tradicijos nelaikyti aksiomų kalbinėmis sutartimis ar prielaidomis. Neeuklido geometrijos atradimas (Gaussas, Lobačevskis, Bolyai); naujų skaičių sistemų ir ištisų jų šeimų atsiradimas abstrakčioje algebroje (pavyzdžiui, /-adiniai skaičiai); kintamų struktūrų, tokių kaip grupės, atsiradimas; galiausiai, diskusija apie tokius klausimus kaip „kuri geometrija yra teisinga? - visa tai prisidėjo prie dviejų naujų, lyginant su senovinių, aksiomų statusų suvokimo: aksiomos kaip aprašymai (galimų samprotavimų visatų klasės) ir aksiomos kaip prielaidos, o ne savaime suprantami teiginiai. Taip buvo suformuoti pamatai šiuolaikinis supratimas aksiominis metodas. Ši aksiominio metodo raida ypač išryškėja lyginant Euklido „Principus“ su D. Hilberto „Geometrijos pagrindais“ – nauja geometrijos aksiomatika, pagrįsta aukščiausiais XIX amžiaus matematikos pasiekimais. To paties amžiaus pabaigoje J. Peano pateikė natūraliųjų skaičių aksiomatiką. Be to, aksiomatinis metodas buvo naudojamas aibių teorijai išsaugoti radus paradoksus. Tuo pat metu aksiominis metodas buvo apibendrintas iki logikos. Hilbertas suformulavo klasikinės teiginių logikos aksiomas ir išvedimo taisykles, o P. Bernaysas – predikatų logiką. Šiais laikais aksiomatinė užduotis yra standartinis būdas apibrėžti naujas logikas ir naujas algebrines sąvokas. Pastaraisiais dešimtmečiais, tobulėjant teoriniams modeliams, aksiomatinį metodą beveik būtinai papildė modelių teorinis metodas.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

aksiominis metodas

AKSIOMATINIS METODAS (iš graikų aksioma) – priimta pozicija – mokslinės teorijos konstravimo metodas, kai įrodymuose naudojamos tik aksiomos, postulatai ir anksčiau iš jų išvesti teiginiai. Pirmą kartą tai aiškiai parodė Euklidas savo elementuose, nors aksiomos ir postulato sąvokas minėjo jau Aristotelis. Senovės graikai aksioma buvo aiškiai suformuluotas teiginys, kuris buvo toks savaime suprantamas, kad nebuvo įrodytas ir buvo naudojamas kaip kitų įrodymų pagrindas. Postulatas yra teiginys apie galimybę atlikti tam tikrą konstrukciją. Todėl „Visa yra didesnė už dalį“ yra aksioma, o „Iš tam tikro taško tam tikru spinduliu galite apibūdinti apskritimą“ yra postulatas. Vėliau aksiomos sąvoka absorbavo postulato sąvoką, nes deskriptyvumo ir konstruktyvumo sąvokos nebuvo realizuotos (aksioma aprašo, postulatas stato). Beveik visos helenų geometrijos aksiomos buvo suformuluotos taip aiškiai ir sėkmingai, kad nekėlė abejonių. Tačiau viena iš Euklido nuostatų, būtent penktasis postulatas, atitinkantis teiginį „Per tašką, esantį už tiesės, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotajai, ir tik vieną“, buvo abejojama nuo pat pradžių. Be to, iki Euklido helenai tyrinėjo visas tris galimas hipotezes: 1) neįmanoma nubrėžti vienos lygiagrečios tiesės, 2) galima nubrėžti daugiau nei vieną ir 3) galima nubrėžti tik vieną lygiagrečią tiesę; tačiau Euklidas sąmoningai pasirinko vieną formuluotę, nes tik šiuo atveju egzistavo kvadratas ir figūrų panašumo samprata. Vėliau alternatyvų buvimas buvo pamirštas, o penktasis postulatas ne kartą buvo bandomas įrodyti. Iki XVII a. A. m. Euklidas ir Archimedas suformulavo statikos ir optikos aksiomas, o vėliau, siejant su bendra tendencija į komentavimą ir kanonizaciją, buvo verčiami tyrimai, arba, geriausiu atveju, analizuojamos senosios aksiomų sistemos. Nenuostabu, kad naujoji matematika prasidėjo atmetus AM, o begalinių mažumų analizė išsivystė kaip neformalizuota teorija. Aksiomos „Visa yra mažesnė už dalį“ abejotinumas buvo suprastas, nes Nikolajus Kuzietis ir po jo Galilėjus parodė, kad begaliniams agregatams visuma gali būti daliai izomorfiška. Tačiau šis atradimas buvo neįvertintas, nes per daug sutapo su krikščionių religija (su įvairių begalinio Dievo hipostazių sampratomis). Be to, Spinozos nesėkmė bandant išvesti etikos ir metafizikos sistemą naudojant geometrinį, grynai racionalų metodą, parodė esamos AM nepritaikymą humanitarinėms koncepcijoms. Grįžti į A. m įvyko XIX a. Jis buvo pagrįstas dviem atradimais – neeuklido geometrija (iš naujo atrado tai, kas buvo žinoma iki Euklido, bet paskui buvo visiškai pamiršta), ir abstrakčiąja algebra. Neeuklido geometrijoje (Gaussas, Lobačevskis, Bolyai) buvo parodyta, kad vienas iš penktojo postulato neigimų – kad per tašką, esantį už tiesės, galima nubrėžti dvi tieses, lygiagrečias duotajai. su kitomis geometrijos aksiomomis. Taigi tos aksiomos ir postulatai, kurie buvo sukurti apibūdinti „vienintelę tikrąją“ erdvę, iš tikrųjų apibūdina visą klasę skirtingų erdvių. Abstrakčioje algebroje atsirado naujų skaičių sistemos, įskaitant ištisas jų šeimas (pavyzdžiui, p-adinius skaičius) ir kintamąsias struktūras, tokias kaip grupes. Natūralu buvo aprašyti kintamų struktūrų savybes naudojant aksiomas, tačiau dabar niekas neprimygtinai reikalavo jų akivaizdumo, o laikė jas tiesiog matematinių objektų klasės apibūdinimo būdu. Pavyzdžiui, pusgrupę lemia viena aksioma - daugybos asociatyvumas: a° (b o c) = (a o b) O SU. Pačioje geometrijoje atėjo laikas kritiškai permąstyti klasikines aksiomas. E. Pašas parodė, kad Euklidas nematė kito postulato, tokio intuityviai akivaizdaus kaip jo aprašytieji: „Jei tiesė kerta vieną iš trikampio kraštinių, tai ji kirs ir kitą“. Toliau buvo parodyta, kad vienas iš trikampių lygybės kriterijų turi būti priimtas kaip aksioma, priešingu atveju prarandamas įrodymų griežtumas, nes iš likusių aksiomų figūrų judinimo galimybė neišplaukia. Aksioma „Visa yra mažesnė už dalį“ buvo atmesta kaip beprasmė naujosios matematikos požiūriu ir pakeista keliomis nuostatomis dėl figūrų matų santykio. Ir galiausiai D. Hilbertas suformulavo naują geometrijos aksiomatiką, paremtą aukščiausiais XIX amžiaus matematikos pasiekimais. Graikijos laikais ir vėliau skaičiaus sąvoka nebuvo aprašyta aksiomatiškai. Tik XIX amžiaus pabaigoje. G. Peano (Italija) pateikė natūraliųjų skaičių aksiomatiką. Peano ir Hilberto aksiomatikoje yra po vieną aukštesnės eilės principą, kuris kalba ne apie fiksuotas sąvokas, o apie savavališkas sąvokas ar agregatus. Pavyzdžiui, aritmetikoje tai yra matematinės indukcijos principas. Be aukštesnės eilės principų neįmanoma vienareikšmiškai aprašyti standartinių matematinių struktūrų. A. M. buvo panaudotas gelbėjimui aibių teorija radęs su ja susijusią paradoksai. Pats gelbėjimas buvo atliktas ne pačiu geriausiu būdu – lopant paradigmos. Aksiomomis buvo priimti tie aibių teorijos principai, kurie, regis, neprivedė prie paradoksų ir suteikė matematikai būtinas konstrukcijas. Tačiau tuo pat metu AM buvo apibendrintas iki logikos. D. Hilbertas aiškiai suformulavo klasikos aksiomas ir išvadų taisykles teiginių logika, ir P. Bernaysas – predikatinė logika.Šiais laikais aksiomatinė užduotis yra standartinis būdas apibrėžti naujas logikas ir naujas algebrines sąvokas. Šiuolaikiniai matematiniai metodai skiriasi nuo tradicinių tuo, kad aiškiai nurodomos ne tik aksiomos, bet ir kalba, o logikoje – ir aprašomos teorijos ar sistemos išvedimo taisyklės. Peržiūrėta ir sustiprinta AM tapo galingu ginklu tokiose naujose žinių srityse kaip pažinimo mokslas ir matematinė lingvistika. Tai leidžia sumažinti semantines problemas iki sintaksinių lygio ir taip padėti jas išspręsti. Pastaraisiais dešimtmečiais, tobulėjant modelių teorijai, AM būtinai buvo papildyta modelių teoriniais metodais. Formuluojant aksiomatinę sistemą, būtina apibūdinti jos modelių visumą. Minimalus būtinas aksiomų sistemos pagrindimas yra jos teisingumas ir išsamumas tam tikrai modelių klasei. Tačiau programoms tokio formalaus pagrindimo neužtenka – reikia parodyti ir prasmingą sukonstruotos sistemos prasmę bei jos išraiškingąsias galimybes. Pagrindinis matematinis matematinės logikos apribojimas yra tas, kad aukštesnės eilės logika yra neformalizuojama ir neišsami, o be jos neįmanoma aprašyti standartinių matematinių struktūrų. Todėl tose srityse, kuriose yra konkretūs skaitiniai įverčiai, AM negalima taikyti visai matematinei kalbai. Tokiose srityse galimas tik nepilnas ir nenuoseklus, vadinamasis dalinis arba prasmingas aksiomatizavimas. Sąvokų neformalizavimas savaime, kaip bebūtų keista, netrukdo šioms sąvokoms taikyti AM. Visgi, dirbant fiksuotoje aplinkoje, prasminga pereiti prie daug efektyvesnių formalių modelių. Šiuo atveju teigiama formalizmų savybė dažnai gali būti jų neatitikimas realiai situacijai. Formalizmai negali visiškai atitikti sąvokų turinio, tačiau jei šie neatitikimai yra paslėpti, formalizmai dažnai toliau vartojami net tada, kai situacija nustoja būti tinkama jų vartojimui, ir net tokioje situacijoje, kuri nebuvo tinkama jų vartojimui nuo pati pradžia. Panašūs pavojai kyla ir daliniam įforminimui. Aš esu N. Nepeyvoda

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

Savivaldybės švietimo įstaiga.

Voznesensko vidurinė mokykla.

Santrauka apie matematiką

tema „Aksiomatika ir aksiomatinis metodas“

7 klasės mokinys Jevgenijus Viktorovičius Kaeras.

Vadovė Puzikova N.V.

Su. Voznesenka, 2007 m

aksiomatinio metodo ir jo pritaikymo tyrimas įvairiose sritysežinių.

· Išsiaiškinti, kas yra aksiomatika.

· Apsvarstykite aksiominio metodo taikymą geometrijoje

· Išmokti taikyti aksiomatinį metodą.

1. Įvadas. Kas yra aksiomatika.

2. Aksiomatinis metodas yra svarbiausias mokslinis metodas.

3. Aksiominis metodas geometrijoje.

4. Tiriamasis darbas. Aksiominio metodo taikymas šachmatų turnyre.

6. Literatūra.

1. Įvadas. Kas yra aksiomatika.

Aksioma yra kai kurie teiginiai apie daiktų savybes, kurie priimami kaip išeities taškai, kurių pagrindu toliau įrodinėjamos teoremos ir apskritai kuriama visa teorija.

Aksiomatika yra tam tikro mokslo aksiomų sistema. Pavyzdžiui, elementarios geometrijos aksiomatikoje yra apie dvi dešimtis aksiomų. skaičių lauko aksiomatika-9 aksiomos. Kartu su jais gyvybiškai svarbus vaidmuošiuolaikinėje matematikoje grupės aksiomatika, metrinės aksiomatika ir vektorinės erdvės ir tt

Sovietų matematikai S. N. Bernsteinas ir A. N. Kolmogorovas nusipelno garbės aksiominis aprašymas tikimybių teorija. Dešimtys kitų šiuolaikinės matematikos sričių taip pat vystosi aksiomatiniu pagrindu, t.y. remiantis atitinkama aksiomų sistema.

2. Aksiomatinis metodas yra svarbiausias mokslinis metodas

Aksiomatinis metodas yra svarbi mokslinė priemonė suprasti pasaulį. Dauguma šiuolaikinės matematikos lentų, teorinės mechanikos ir nemažai skyrių šiuolaikinė fizika remiasi aksiomatiniu metodu. Pačioje matematikoje aksiomatinis metodas suteikia pilną, logiškai nuoseklią mokslinės teorijos konstrukciją. Ne mažiau svarbu ir tai, kad matematinė teorija, sukurta aksiomatiškai, randa daugybę pritaikymų gamtos moksluose.

Šiuolaikinis požiūris į bet kurios žinių srities aksiomatinę konstravimą yra toks:

1. Išvardijamos pradinės (neapibrėžtos) sąvokos;

2. Nurodytas aksiomų sąrašas, kuriame nustatomi tam tikri ryšiai ir ryšiai tarp pirminių sąvokų;

3. Apibrėžčių pagalba įvedamos tolesnės sąvokos;

4. Remiantis pradiniais faktais, esančiais aksiomose, jie išvedami ir įrodomi naudojant kai kuriuos loginė sistema tolesni faktai– teoremos.

Pradinės sąvokos ir aksiomos pasiskolintos iš patirties. Todėl akivaizdu, kad visi vėlesni faktai, išvedami aksiomatinėje teorijoje, nors ir gauti remiantis aksiomomis grynai spekuliatyviu, dedukciniu būdu, turi glaudus ryšys su gyvenimu ir gali būti pritaikytas praktinė veikla asmuo.

Svarbiausias reikalavimas aksiomų sistemai yra jos nuoseklumas, kurį galima suprasti taip: nesvarbu, kiek teoremų išvesime iš šių aksiomų, tarp jų nebus dviejų viena kitai prieštaraujančių teoremų. Prieštaringa aksiomatika negali būti prasmingos teorijos kūrimo pagrindas.

Sukūrę vieną ar kitą aksiomatinę teoriją, galime be pakartotinio samprotavimo teigti, kad jos išvados galioja kiekvienu atveju, kai nagrinėjamos aksiomos yra teisingos. Taigi aksiomatinis metodas leidžia sveikuosius skaičius būti aksiomatiškai sukurtos teorijos taikyti įvairiose žinių srityse. Tai yra aksiominio metodo stiprybė.

3. Aksiominis metodas geometrijoje

Studijuodami geometriją rėmėmės daugybe aksiomų. Prisiminkime, kad aksiomos yra tie pagrindiniai geometrijos principai, kurie priimami kaip pradiniai. Kartu su vadinamosiomis pagrindinėmis sąvokomis jie sudaro geometrijos konstravimo pagrindą. Pirmosios pagrindinės sąvokos, su kuriomis susipažinome, buvo taško ir linijos sąvokos. Pagrindinių sąvokų apibrėžimai nepateikti, o jų savybės išreiškiamos aksiomomis. Naudodamiesi pagrindinėmis sąvokomis ir aksiomomis, pateikiame naujų sąvokų apibrėžimus, formuluojame ir įrodome teoremas ir taip tiriame geometrinių figūrų savybes.

Pavyzdžiui, apsvarstykite lygiagrečių linijų aksiomą:

per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina tik viena tiesė, lygiagreti duotajai.

Teiginiai, kurie yra išvesti tiesiogiai iš aksiomų, vadinami pasekmėmis. Panagrinėkime kai kurias išvadas iš lygiagrečių tiesių aksiomos.

1. Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą.

2. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios.

4. Tiriamasis darbas. Aksiominio metodo taikymas šachmatų turnyre.

Norėdami išsamiau paaiškinti, kaip naudojamas aksiominis metodas, pateikiame pavyzdį. Tarkime, keli moksleiviai nusprendė surengti šachmatų turnyrą pagal supaprastintą schemą: kiekvienas turi sužaisti lygiai keturias partijas su bet kuriuo iš kitų dalyvių (ir su baltomis arba juodomis figūromis – burtų keliu). aksiomų forma suformuluoti studentų keliamus reikalavimus turnyrui. Tam reikėjo įvesti tris pradines (neapibrėžtas) sąvokas: „žaidėjas“, „žaidimas“, „žaidėjo dalyvavimas žaidime“. Yra keturios aksiomos:

1 aksioma. Žaidėjų skaičius nelyginis.

2 aksioma. Kiekvienas žaidėjas žaidžia keturis žaidimus .

3 aksioma. Kiekviename žaidime dalyvauja du žaidėjai .

4 aksioma. Kiekvienam dviems žaidėjams tenka daugiausiai vienas žaidimas, kuriame jie abu dalyvauja.

Iš šių aksiomų galima išvesti daugybę teoremų.

1 teorema. Žaidėjų skaičius yra mažiausiai penki .

Įrodymas. Nuo nulio lyginis skaičius, tada pagal aksiomą 1 žaidėjų skaičius nėra lygus nuliui, t.y. yra bent vienas žaidėjas A. Pagal 2 aksiomą šis žaidėjas dalyvauja keturiuose žaidimuose ir kiekviename iš šių žaidimų, be A, dalyvauja dar vienas žaidėjas (3 aksioma). Tegul B, C, D, E yra kiti žaidėjai nei A, kurie dalyvauja šiuose žaidimuose. Pagal 4 aksiomą viskas žaidėjai B, C, D, E yra skirtingi (jei, pavyzdžiui, būtų B = C, tada išeitų, kad yra du žaidimai, kuriuose dalyvauja žaidėjas A ir žaidėjas B = C Taigi, mes jau radome penkis žaidėjus: A, B, C). , D, E. Bet tada, pagal 1 aksiomą, žaidėjų skaičius yra ne mažesnis kaip penki.

Teorema.2 . Visų žaidėjų pasirodymų skaičius yra lyginis .

q yra tam tikras žaidimas, mes pristatome naują koncepciją - (q,A) - žaidėjo pasirodymas.

Įrodymas. Kiekviename žaidime pateikiami du žaidėjų pasirodymai (q, A), (q, B), (pagal 3 aksiomą), visų pasirodymų skaičius yra 2n, kur n yra žaidėjų skaičius (A 4). Todėl visų žaidėjų pasirodymų skaičius yra 2 kartotinis, t.y. net.

3 teorema. Turnyro laimėjimų skaičius neviršija žaidėjų skaičiaus.

Įrodymas. Leiskite n- tada žaidėjų skaičius 2p- žaidėjų pasirodymų skaičius (A), n- sužaistų žaidimų skaičius (A3). Panagrinėkime du atvejus:

1. Visose rungtynėse buvo nugalėtojas ir pralaimėtojas. Tada laimėjimų skaičius bus lygus žaidimų skaičiui, t.y. p.

2. Kai kurios partijos baigėsi lygiosiomis, tegul būna tokių Į. Tada likusioje p - kžaidynėse buvo nustatytas nugalėtojas, t.y. laimėjimų skaičius neviršija žaidimų skaičiaus. Teorema įrodyta.

Perskaičiusi literatūrą sužinojau, kas yra aksioma, kas yra aksiomatinis metodas ir kaip jis taikomas geometrijoje. Išstudijavus aksiomatinį metodą, pritaikiau jį šachmatų turnyro studijoms.

Literatūra.

Enciklopedinis jauno matematiko žodynas

/ Komp. E-68 A.P. Savin.- M.: Pedagogika, 1989m.

Geometrija, 7-9: Vadovėlis. Dėl bendrojo išsilavinimo Institucijos / L.S. Atanasyan ir kt., Švietimas, 2004 m.