Tikimybių teorijoje ir jos taikymuose dvimatis normalusis skirstinys vaidina svarbų vaidmenį. Dvimačio normalaus atsitiktinio dydžio (X,Y) tankis turi formą

Čia
- matematiniai lūkesčiai dydžiai X ir Y;
- vidutinis kvadratiniai nuokrypiai dydžiai X ir Y; r – X ir Y reikšmių koreliacijos koeficientas.

Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y nėra koreliuojami, tai yra r=0. Tada mes turime:

(53)

Mes nustatėme, kad dviejų sistemos pasiskirstymo tankis atsitiktiniai dydžiai(X,Y) yra lygus komponentų X ir Y pasiskirstymo tankių sandaugai, o tai reiškia, kad X ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Taigi buvo įrodyta, kas išdėstyta toliau teorema: iš normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių nekoreliacijos išplaukia, kad jie yra nepriklausomi . Kadangi bet kokių atsitiktinių dydžių nepriklausomumas reiškia, kad jie nėra koreliuojami, galime daryti išvadą, kad terminai „nekoreliuoti“ ir „nepriklausomi“ kintamieji yra lygiaverčiai normaliojo skirstinio atveju.

Pateiksime normaliai pasiskirstyto dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybės pakliūti į formules įvairiose srityse lėktuve.

Tegu atsitiktinis vektorius (X,Y), kurio komponentai yra nepriklausomi, pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį (53). Tada atsitiktinio taško (X,Y) patekimo į stačiakampį tikimybė R, kurios kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims yra lygios

Kur
- Laplaso funkcija. Ši funkcija yra lentelėse.

Tegu atsitiktinių dydžių sistemos (X,Y) normaliojo dėsnio pasiskirstymo tankis pateikiamas (52) forma. Akivaizdu, kad šis tankis išlieka pastovią vertę ant elipsių:

kur C yra konstanta; šiuo pagrindu vadinamos tokios elipsės vienodų tikimybių elipsės. Galima parodyti, kad taško (X,Y) patekimo į elipsės vidų tikimybė lygia tikimybe lygus

(56)

Pavyzdys 10 . Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi ir normaliai pasiskirstę su Raskite tikimybę, kad atsitiktinis taškas (X,Y) pateks į žiedą

Sprendimas: Kadangi atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, jie nėra koreliuojami, todėl r = 0. Pakeitę į (C), gauname

,

tai yra, vienodos tikimybės elipsė išsigimė į vienodos tikimybės apskritimą. Tada

Atsakymas: 0,1242.

3.2. Bendrasis n-mačio normaliojo skirstinio atvejis

Normalus sistemos pasiskirstymo tankis n Atsitiktiniai dydžiai turi tokią formą:

Kur - matricos C determinantas - atvirkštinis kovariacijos matricai;
- matematinė atsitiktinio dydžio X i lūkestis - i-oji dedamoji n -dimensinis normalus atsitiktinis vektorius.

Iš bendra išraiška visos normaliojo dėsnio formos taikomos bet kokiam matmenų skaičiui ir bet kokio tipo atsitiktinių dydžių priklausomybei. Visų pirma, kai n = 2 kovariacijos matrica turi tokią formą:

(58)

jo determinantas
; matrica C, atvirkštinė kovariacijos matricai, turi formą

. (59)

Pakeitimas ir matricos C elementai bendroji formulė(57), gauname normaliojo pasiskirstymo plokštumoje (52) formulę.

Jei atsitiktiniai dydžiai
nepriklausomas, tada sistemos pasiskirstymo tankis
lygus

Jei n = 2, ši formulė įgauna formą (53).

Tikimybių teorijoje ir jos taikymuose dvimatis normalusis pasiskirstymas. Dvimačio normalaus atsitiktinio dydžio (X,Y) tankis turi formą

Čia pateikiami matematiniai X ir Y reikšmių lūkesčiai; - standartiniai X ir Y verčių nuokrypiai; r – X ir Y reikšmių koreliacijos koeficientas.

Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y nėra koreliuojami, tai yra r=0. Tada mes turime:

(53)

Nustatėme, kad dviejų atsitiktinių dydžių sistemos (X,Y) pasiskirstymo tankis yra lygus komponentų X ir Y pasiskirstymo tankių sandaugai, o tai reiškia, kad X ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Taigi buvo įrodyta, kas išdėstyta toliau teorema: iš normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių nekoreliacijos išplaukia, kad jie yra nepriklausomi . Kadangi bet kokių atsitiktinių dydžių nepriklausomumas reiškia, kad jie nėra koreliuojami, galime daryti išvadą, kad terminai „nekoreliuoti“ ir „nepriklausomi“ kintamieji yra lygiaverčiai normaliojo skirstinio atveju.

Pateiksime normaliai paskirstyto dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybės pakliūti į įvairias plokštumos sritis formules.

Tegu atsitiktinis vektorius (X,Y), kurio komponentai yra nepriklausomi, pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį (53). Tada atsitiktinio taško (X,Y) patekimo į stačiakampį tikimybė R, kurių kraštinės lygiagrečios koordinačių ašys, yra lygus

y R d c x a b

(54)

Kur - Laplaso funkcija. Ši funkcija yra lentelėse.

Tegu atsitiktinių dydžių sistemos (X,Y) normaliojo dėsnio pasiskirstymo tankis pateikiamas (52) forma. Akivaizdu, kad šis tankis elipsėse išlieka pastovus:

kur C yra konstanta; šiuo pagrindu vadinamos tokios elipsės vienodų tikimybių elipsės. Galima parodyti, kad taško (X,Y) patekimo į vienodos tikimybės elipsės vidų yra lygi

(56)

10 pavyzdys. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi ir normaliai pasiskirstę su Raskite tikimybę, kad atsitiktinis taškas (X,Y) pateks į žiedą

Sprendimas: Kadangi atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, jie nėra koreliuojami, todėl r = 0. Pakeitę į (C), gauname

tai yra, vienodos tikimybės elipsė išsigimė į vienodos tikimybės apskritimą. Tada

Atsakymas: 0,1242.

3.2. Bendrasis n-mačio normaliojo skirstinio atvejis

Normalus sistemos pasiskirstymo tankis n Atsitiktiniai dydžiai turi tokią formą:

kur matricos determinantas C – kovariacijos matricos atvirkštinė vertė; - matematinė atsitiktinio dydžio X i lūkestis - i-oji dedamoji n -dimensinis normalus atsitiktinis vektorius.

Visos normaliojo dėsnio formos bet kokiam matmenų skaičiui ir bet kokio tipo atsitiktinių dydžių priklausomybei išplaukia iš bendrosios išraiškos. Visų pirma, kai n = 2 kovariacijos matrica turi tokią formą:

(58)

jo determinantas ; matrica C, atvirkštinė kovariacijos matricai, turi formą

. (59)

Pakeitę matricos C elementus į bendrą formulę (57), gauname normaliojo skirstinio plokštumoje formulę (52).

Jei atsitiktiniai dydžiai nepriklausomas, tada sistemos pasiskirstymo tankis lygus

Jei n = 2, ši formulė įgauna formą (53).

3.2. Normalaus paskirstymo atsitiktinių dydžių funkcijos. Chi kvadrato, Studento ir Fisher-Snedecor paskirstymai

Panagrinėkime bendrą atvejį: tiesinė normaliai paskirstytų argumentų funkcija. Tegu duotas n matmenų normaliai pasiskirstęs atsitiktinis vektorius , atsitiktinis dydis Y yra tiesinė šių dydžių funkcija:

(61)

Galima parodyti, kad atsitiktinis dydis Y taip pat yra normaliai pasiskirstęs su parametrais

(62)

(63)

kur yra atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis - atsitiktinio dydžio dispersija - koreliacijos koeficientas tarp ir .

11 pavyzdys. Užrašykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį , jei atsitiktiniai dydžiai ir turi normalųjį skirstinį su parametrais , , , jų koreliacijos koeficientas yra .

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas turime: n=2; . Naudodami (62) formulę gauname: . Naudodami (63) formulę gauname: .

Tada reikiama atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija yra tokia:

Leiskite - nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurie paklūsta normaliajam pasiskirstymui su nuliniu matematiniu lūkesčiu ir vieneto dispersija, tai yra, standartiniam normaliajam pasiskirstymui. Atsitiktinio dydžio, kuris yra šių reikšmių kvadratų suma, pasiskirstymas

. (64)

vadinamas " CI skirstinys – kvadratas su n laisvės laipsnių ”.

CI – kvadrato su n=2 laisvės laipsniais pasiskirstymo tankis lygus

(65)

CI tankis – kvadratinis skirstinys su n laisvės laipsnių turi tokią formą:

(66)

Kur - Eilerio gama funkcija. Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, skirstinys artėja prie normalaus skirstinio dėsnio (su n >30 pasiskirstymas praktiškai nesiskiria nuo normalaus). Skirstinio su n laisvės laipsnių matematinė lūkestis yra n , o dispersija yra 2 n .

Studentų skirstinys su n laisvės laipsnių St(n) apibrėžiamas kaip atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

kur Z yra standartinis normalioji vertė, nepriklausomas nuo platinimo.

Studento pasiskirstymo tankis su n laisvės laipsnių turi tokią formą:

(68)

Matematinė lūkestis ties lygi 0, dispersija at lygi At, Stjudento skirstinys artėja prie normalaus (jau ties n >30 beveik sutampa su normaliuoju pasiskirstymu).

Fisher-Snedecor paskirstymas (arba F paskirstymas) su ir laisvės laipsniais vadinamas atsitiktinio dydžio skirstiniu

(69)

kur ir yra atsitiktiniai dydžiai, turintys atitinkamai pasiskirstymą su ir laisvės laipsniais.

4. Parašytas D.T. Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos paskaitų konspektas. – M.: Iris-press, 2004 m.

1. Pagrindinė informacija apie atsitiktinių dydžių sistemas ir jų patikslinimo būdus. . 3

1.1. Atsitiktinių dydžių sistemos samprata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija ir jos

savybių. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Diskretaus dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo dėsnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Ištisinio dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis ir jo savybės. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. n atsitiktinių dydžių sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Atsitiktinių dydžių priklausomybė ir nepriklausomumas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Sąlyginiai skirstymo dėsniai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Priklausomybės skaitinės charakteristikos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Atsitiktinių dydžių sistemos normalusis skirstinys. . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Dvimatis normalusis skirstinys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Bendrasis n-mačio normaliojo skirstinio atvejis. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Normalaus paskirstymo atsitiktinių dydžių funkcijos. Paskirstymai: CI - kvadratas, Studentas, Fisher - Snedecor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Nuorodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Sudarė Vera Aleksandrovna Bobkova

Atsitiktinių dydžių sistemos

Gairės Už savarankiškas darbas studentai

Redaktorius G. V. Kulikova

Pasirašyta publikavimui 2010-02-03. Formatas 60x84. Rašomasis popierius. Kepimo sąlygos l.1.63.

Uch.-red. l.1.81. Tiražas 50 egz.

Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga Ivanovo valstybinis chemijos technologijos universitetas

Spausdinta ant Valstybinės profesinės aukštosios mokyklos "IGHTU" Ekonomikos ir finansų katedros spausdinimo įrangos

153000, Ivanovas, F. Engelso pr., 7

Panagrinėkime dviejų atsitiktinių nuolatinių kintamųjų sistemą. Šios sistemos paskirstymo dėsnis yra normalus įstatymas pasiskirstymas, jei šios sistemos tikimybės tankio funkcija turi formą

. (1.18.35)

Galima parodyti, kad čia yra atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai, jų standartiniai nuokrypiai ir kintamųjų koreliacijos koeficientas. Skaičiavimai naudojant (1.18.31) ir (1.18.35) formules duoda

. (1.18.36)

Nesunku pastebėti, kad jei atsitiktiniai dydžiai, paskirstyti pagal normalųjį dėsnį, nėra koreliuojami, jie taip pat yra nepriklausomi

.

Taigi normaliojo skirstymo dėsniui nekoreliacija ir nepriklausomumas yra lygiavertės sąvokos.

Jei , tada atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Sąlyginiai skirstymo dėsniai apskaičiuojami naudojant formules (1.18.20)

. (1.18.37)

Abu dėsniai (1.18.37) reiškia normaliuosius skirstinius. Tiesą sakant, transformuokime, pavyzdžiui, antrąjį iš santykių (1.18.37) į formą

.

Tai tikrai normalus paskirstymo įstatymas, kuris turi sąlyginis matematinis lūkestis lygus

, (1.18.38)

A sąlyginis standartinis nuokrypis išreikšta formule

. (1.18.39)

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyginiame dydžio paskirstymo fiksuota verte dėsnyje nuo šios reikšmės priklauso tik sąlyginis matematinis lūkestis, bet ne sąlyginė dispersija – .

Įjungta koordinačių plokštuma priklausomybė (1.18.38) yra tiesi linija

, (1.18.40)

kuris vadinamas regresijos linija ant .

Visiškai analogišku būdu nustatoma, kad sąlyginis dydžio paskirstymas fiksuota verte

, (1.18.41)

yra normalusis skirstinys su sąlyginiu matematiniu lūkesčiu

, (1.18.42)

sąlyginis standartinis nuokrypis

. (1.18.43)

Šiuo atveju regresijos linija atrodo taip

. (1.18.44)

Regresijos linijos (1.18.40) ir (1.18.44) sutampa tik tada, kai santykis tarp dydžių ir yra tiesinis. Jei dydžiai ir yra nepriklausomi, regresijos linijos yra lygiagrečios koordinačių ašims.

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso skyriui:

Matematikos tikimybių teorijos paskaitų konspektas matematinė statistika

skyrius aukštoji matematika ir informatika.. paskaitų konspektai.. matematikoje..

Jei reikia papildomos medžiagosšia tema, arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

Visos temos šiame skyriuje:

Tikimybių teorija
Tikimybių teorija yra matematikos šaka, kurioje tiriami atsitiktinių masės reiškinių modeliai.

Reiškinys, kuris yra atsitiktinis, vadinamas
Statistinis tikimybės apibrėžimas

Įvykis yra atsitiktinis reiškinys, kuris gali pasirodyti arba nepasireikšti kaip patirties rezultatas (dviprasmiškas reiškinys). Įvykius nurodykite didžiosiomis lotyniškomis raidėmis
Elementarių įvykių erdvė

Tegul būna daug įvykių, susijusių su tam tikra patirtimi, ir: 1) dėl patirties atsiranda vienas ir tik vienas dalykas
Veiksmai dėl įvykių

Dviejų įvykių suma ir
Pertvarkymai

Įvairių elementų permutacijų skaičius žymimas
Vietos

Dedant elementus pagal
Deriniai

Elementų derinys
Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo formulė Teorema. Dviejų sumos tikimybė nesuderinami įvykiai

yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.
(1

Savavališkų įvykių tikimybių pridėjimo formulė
Teorema. Dviejų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų sandaugos tikimybės.

Tikimybių daugybos formulė
Tegul du įvykiai ir bus duoti. Apsvarstykite įvykį

Bendrosios tikimybės formulė
Tegul yra visa nesuderinamų įvykių grupė, jie vadinami hipotezėmis. Apsvarstykite kokį nors įvykį Hipotezės tikimybės formulė (Bayes) Pažiūrėkime dar kartą -

pilna grupė
nesuderinamos hipotezės ir įvykiai

Asimptotinė Puasono formulė
Tais atvejais, kai bandymų skaičius yra didelis ir įvykio tikimybė Atsitiktiniai diskretūs dydžiai Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris kartojant eksperimentą gali įgauti nelygias reikšmes.

skaitines reikšmes
. Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiu, Atsitiktiniai nuolatiniai kintamieji, tada jis vadinamas tęstiniu. Teisė

Atsitiktinio tolydžio dydžio tikimybės tankio funkcija
Tegul būna. Apsvarstykime tašką ir padidinkime jį

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Atsitiktiniai diskretieji arba tęstiniai kintamieji laikomi visiškai apibrėžtais, jei žinomi jų pasiskirstymo dėsniai. Tiesą sakant, žinodami paskirstymo dėsnius, visada galite apskaičiuoti pataikymo tikimybę

Atsitiktinių dydžių kvantliai
Atsitiktinio tolydžio dydžio kvantilis

Atsitiktinių dydžių matematinis lūkestis
Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis apibūdina jo vidutinę reikšmę. Visos atsitiktinio dydžio reikšmės yra sugrupuotos aplink šią reikšmę. Pirmiausia panagrinėkime atsitiktinį diskrečiųjį kintamąjį

Atsitiktinių dydžių standartinis nuokrypis ir sklaida
Pirmiausia panagrinėkime atsitiktinį diskrečiųjį kintamąjį. Skaitinių charakteristikų režimas, mediana, kvantiliai ir matematinis lūkestis

Atsitiktinių dydžių momentai
Be matematinių lūkesčių ir sklaidos, tikimybių teorijoje naudojamos aukštesnių laipsnių skaitinės charakteristikos, kurios vadinamos atsitiktinių dydžių momentais.

Atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų teoremos
1 teorema. Neatsitiktinės reikšmės matematinis lūkestis yra lygus pačiai šiai reikšmei.

Įrodymas: tegul

Binominio skirstymo dėsnis
Poisson platinimo dėsnis

Tegul atsitiktinis diskretinis kintamasis paima reikšmes
Vienodas platinimo įstatymas

Vienodas atsitiktinio nuolatinio kintamojo pasiskirstymo dėsnis yra tikimybės tankio funkcijos dėsnis, kuris
Normalaus paskirstymo dėsnis

Atsitiktinio nuolatinio kintamojo normalaus pasiskirstymo dėsnis yra tankio funkcijos dėsnis
Eksponentinio skirstymo dėsnis Atsitiktinių dydžių eksponentinis arba eksponentinis pasiskirstymas naudojamas tikimybių teorijos taikymuose, pvz., teorijoje. eilėse

, patikimumo teorija
Atsitiktinių dydžių sistemos

Praktikoje, taikant tikimybių teoriją, dažnai susiduriama su problemomis, kuriose eksperimento rezultatai aprašomi ne vienu atsitiktiniu dydžiu, o keliais atsitiktiniais iš karto.
Dviejų atsitiktinių diskrečiųjų dydžių sistema

Tegul du atsitiktiniai diskretieji kintamieji sudaro sistemą. Atsitiktinis kintamasis
Dviejų atsitiktinių nuolatinių dydžių sistema Dabar sistemą sudaro du atsitiktiniai nuolatiniai kiekiai

. Šios sistemos skirstymo dėsnis vadinamas tikriausiai
Sąlyginiai skirstymo dėsniai

Tegul priklausomi atsitiktiniai nuolatiniai dydžiai
Pradžios momentas atsitiktinių dydžių sistemos tvarka

Kelių atsitiktinių dydžių sistema
Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos gautus rezultatus galima apibendrinti sistemoms, susidedančioms iš bet koks skaičius atsitiktiniai dydžiai.

Tegul sistemą sudaro aibė
Tikimybių teorijos ribinės teoremos Pagrindinis tikimybių teorijos disciplinos tikslas – tirti atsitiktinių masės reiškinių modelius. Praktika rodo, kad stebint vienalytės masės

atsitiktiniai reiškiniai
atradimas

Čebyševo nelygybė
Panagrinėkime atsitiktinį kintamąjį su matematiniais lūkesčiais

Čebyševo teorema
Jei atsitiktiniai dydžiai yra poromis nepriklausomi ir turi baigtines, kolektyviai apribotas dispersijas

Bernulio teorema
Neribotai didėjant eksperimentų skaičiui, įvykio pasireiškimo dažnis pagal tikimybę susilieja su įvykio tikimybe

Centrinės ribos teorema
Pridedant atsitiktinius dydžius su bet kokiais pasiskirstymo dėsniais, bet kartu su ribotomis dispersijomis, pasiskirstymo dėsnis Pagrindinės matematinės statistikos problemos Pirmiau aptarti tikimybių teorijos dėsniai yra

matematinė išraiška
realūs modeliai, kurie iš tikrųjų egzistuoja įvairiuose atsitiktiniuose masės reiškiniuose.

Studijuoja
Paprasta statistinė visuma. Statistinio pasiskirstymo funkcija Panagrinėkime kai kuriuos atsitiktinius dydžius, kurių pasiskirstymo dėsnis nežinomas. Reikalingas pagal patirtį Statistinė serija. Histograma At didelis skaičius

stebėjimai (apie šimtus)
gyventojų tampa nepatogu ir sudėtinga registruoti statistinę medžiagą. Dėl aiškumo ir kompaktiškumo, statistinė medžiaga Statistinio skirstinio skaitinės charakteristikos

Tikimybių teorijoje buvo nagrinėjamos įvairios atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos: matematinė tikėtis, dispersija, pradinė ir
centriniai taškai

skirtingi užsakymai. Panašūs skaičiai
Teorinio skirstinio parinkimas momentų metodu Bet koks statistinis pasiskirstymas neišvengiamai turi atsitiktinumo elementų, susijusių su ribotu stebėjimų skaičiumi. Atliekant daugybę stebėjimų, šie atsitiktinumo elementai išlyginami, Hipotezės apie pasiskirstymo dėsnio formą tikimybės tikrinimas

Tegul duota
statistinis pasiskirstymas

aproksimuota pagal kokią nors teorinę kreivę arba
psl. 2.1. – 2.7 detaliai išnagrinėjome, kaip išspręsti pirmą ir antrą pagrindines problemas matematinė statistika. Tai atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių nustatymo remiantis eksperimentiniais duomenimis problemos

Tikėjimo ir dispersijos įverčiai
Perkelkite atsitiktinį kintamąjį su nežinomais matematiniais lūkesčiais

Pasitikėjimo intervalas. Pasitikėjimo tikimybė
Praktiškai, atliekant nedidelį atsitiktinio dydžio eksperimentų skaičių, apytikslis pakeitimas nežinomas parametras

Tuo atveju, kai atsitiktiniams reiškiniams tirti reikia naudoti du atsitiktinius dydžius X Ir Y kartu sakome, kad yra sistema ( X, Y) du atsitiktiniai dydžiai. Galimos sistemos reikšmės ( X, Y) atstovauti atsitiktiniai taškai (x, y) rajone galimas vertes sistemos.

Atsižvelgiant į į jas įtrauktų atsitiktinių dydžių tipą, išskiriamos diskrečios ir tolydžios sistemos.

Diskrečiosios sistemos skirstymo dėsnis nurodomas lentelės arba paskirstymo funkcijos pavidalu.

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Sistemos paskirstymo lentelė{X, Y) yra kiekių rinkinys xi, yj Ir P(xi, yj), kur P(xi, yj)=P(X=xi, Y=yj), n, m– atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius X, Y, atitinkamai.

Sistemos paskirstymo funkcija{X, Y) pateikiama tokia forma:

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Tolydžios sistemos pasiskirstymo dėsnis ( X, Y) gali būti atstovaujama paskirstymo funkcija F(x, y)arba pasiskirstymo tankis φ(x, y):

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Privačių sistemų platinimas{X, Y) yra kiekvieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniai X Ir Y.

Jeigu X Ir Y yra diskretieji atsitiktiniai dydžiai, tada tikimybės P(xi) Ir P(yj), būtini jų pasiskirstymo dėsniams rasti, randami iš paskirstymo lentelės naudojant formules:

Už nuolatinės sistemos {X, Y) dalinio pasiskirstymo tankiai turi tokią formą:

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Sąlyginiai paskirstymai yra nustatomi:

sąlyginės tikimybės P(xi/yj), P(yj/xi) atskiroms sistemoms ( X, Y) ir sąlyginius pasiskirstymo tankius ( x/m), (y/x) nuolatinėms sistemoms ( X, Y}:

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Atsitiktinių dydžių X ir Y nepriklausomumo sąlygos:

– atskiroms sistemoms (8)

– nuolatinėms sistemoms (9)

Kai šie santykiai įvyksta, tai:

(10) (11)

Tikimybė pasiekti galimas ištisinės sistemos vertes{X, Y) į sritį ( D) nustatoma pagal formulę:

(12)

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

3.1 pavyzdys

Sistemos pasiskirstymo dėsnis (X, Y) pateikiamas lentelėje:

Reikalinga:

a) raskite X ir Y dalinius skirstinius;

b) Y sąlyginio skirstymo dėsnis, kai X= -1;

c) nustatyti, ar dydžiai X ir Y yra priklausomi?

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Sprendimas:

a) Raskite X ir Y dalinius skirstinius

b) Y sąlyginis skirstymo dėsnis, kai X= -1. Kai X= -1, atsitiktinis dydis Y turi kitas įstatymas paskirstymai:

c) Nustatykite, ar dydžiai X ir Y yra priklausomi?

Kadangi besąlyginiuose ir sąlyginiuose dėsniuose P(yj) ir P(yj / X = -1) tikimybių skirstiniai yra skirtingi, todėl atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi.

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

3.2 pavyzdys

Duota sistema (X, Y), tolygiai paskirstyta kvadrate |x|+|y|1 (žr. 22 pav.).

Nustatykite: a) konkrečius X ir Y pasiskirstymo dėsnius; b) ar šie atsitiktiniai dydžiai priklausomi?

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Sprendimas:

Paskirstymo įstatymas (X, Y) turi tokią formą:

|x|≤1 tankis nustatomas pagal formulę:

6 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo dėsniai

Tada (žr. 23 pav.):

Panašiai (y) gauname:

Kadangi nepriklausomumo sąlyga netenkinama:

tada atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi.

Prie skaitinių sistemos charakteristikų ( X, Y) apima:

• atsitiktinių dydžių X ir Y skaitinės charakteristikos:

mx, mano, Dx, Dy, σx, σy;

• skaitinės sąlyginių skirstinių charakteristikos:

mx/m, mano/x, Dx/m, Dy/x, σx/m, σy/x;

• atsitiktinių dydžių ryšio skaitinės charakteristikos:

Kxy Ir rxy

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Pirmosios grupės skaitinės charakteristikos nustatomos naudojant anksčiau pateiktas formules.

Antrosios grupės skaitinės charakteristikos, susijusios su ištisine sistema ( X, Y) nustatomi pagal formules:

Skirta atskiroms sistemoms ( X, Y) šios formulės yra akivaizdžios.

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Kiekiai Kxy Ir rxy yra linijinės charakteristikos koreliacinė priklausomybė tarp X Ir Y; juos apibrėžia priklausomybės:

Kur Kxy– koreliacijos momentas arba ryšio momentas tarp X Ir Y;

– koreliacijos koeficientas tarp X Ir Y, -1  rx  1. (16)

Koreliacijos koeficientas apibūdina tiesinės koreliacijos laipsnį tarp X Ir Y.

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Pagal koreliacinė priklausomybė tokia priklausomybė suprantama, kai, pavyzdžiui, pasikeitus vienam atsitiktiniam dydžiui X, kitas - Y jo matematiniai lūkesčiai keičiasi ( mano/x).

Kada | rxy|=1 yra linijinis funkcinis ryšys tarp X Ir Y, adresu rxy=0 atsitiktinių dydžių X Ir Y nekoreliuoja.

Jeigu X Ir Y nepriklausomi, tada jie nekoreliuoja. Jeigu rxy=0, tada atsitiktiniai dydžiai X Ir Y gali būti priklausomas.

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

3.3 pavyzdys

3.1 pavyzdžio sąlygomis. nustatyti: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Sprendimas:

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

3.4 pavyzdys

3.2 pavyzdžio sąlygomis. nustatyti skaitines sistemos charakteristikas (X, Y).

Sprendimas:

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

yra tolygaus pasiskirstymo intervale tankis

(-(1-|x|), (1-|x|))

Panašiai galite rašyti mx/y, Dx/y išraiškas.

Bendruoju atveju, kai atsitiktiniai dydžiai, įtraukti į sistemą ( X, Y), yra priklausomi, normalaus pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

(17)

Daliniai pasiskirstymai nustatomi pagal formules:

(18)

(19)

8 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos normaliojo skirstinio dėsnis

Sąlyginiai tankiai ( x/m) ir ( y/x) turi normaliųjų skirstinių formą:

(20) (21)

Kur

(22) (23)

(24) (25)

8 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos normaliojo skirstinio dėsnis

Jei atsitiktiniai dydžiai X Ir Y yra nepriklausomi, tada tankis įgauna tokią formą:

Tikimybė patekti į normaliai paskirstytą sistemą (X, Y)(jeigu nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X Ir Y) į stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims, nustatomi naudojant Laplaso funkciją pagal formulę:

(27)

8 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos normaliojo skirstinio dėsnis

3.5 pavyzdys

Nustatykite tikimybę, kad sviedinys pataikys į taikinį, kurio vidurio koordinatės yra stačiakampio formos: xts = 10 m, yts = 5 m. Stačiakampio kraštinės yra lygiagrečios koordinačių ašims ir yra lygios: išilgai ašies: 2 = 20 m, išilgai oy ašies: 2k = 40 m Nukreipimo taško koordinatės: mx=5m, my =5 m Sviedinių sklaidos charakteristikos atitinkamai pagal ox ir oy ašis yra lygios: σx=. 20 m, σy =10 m.

Sprendimas: stačiakampio plotą pažymėkime D.

Tada:

4 tema. Atsitiktinių dydžių funkcijos

9 paskaita. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

Funkcijos skirstinio dėsnio nustatymo tvarka Y=y(X), kur X– diskretinis atsitiktinis dydis, pateiktas 4.1 pavyzdyje.

Jei įmanoma, atsitiktinių dydžių reikšmės X Ir Y susietas funkcine priklausomybe y=y(x), kur y(x) yra tolydis ir diferencijuotas, o atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra žinomas X-, tada atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį Y- tuo atveju, kai y(x) monotoniškai didėja arba mažėja galimų reikšmių diapazone, išreikštame (1) formule:

(1) formulėje x(y) yra atvirkštinė funkcija.

Tuo atveju, kai funkcija y(x) turi n mažėjančios ir didėjančios atkarpos, tada ši formulė rašoma forma (2).

9 paskaita. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

4.1 pavyzdys

Atsitiktinis dydis X turi pasiskirstymo dėsnį:

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį

Sprendimas: Raskite galimas funkcijos reikšmes

esant =0, 1, 2, 3.

Jos atitinkamai lygios: 1, 2, 1, 0. Todėl galimos reikšmės yra: 0, 1, 2.

9 paskaita. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

Mes nustatome šių galimų verčių tikimybes:

Y paskirstymo įstatymas:

9 paskaita. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

4.2 pavyzdys

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį ir nubraižykite jį, jei atsitiktinis kintamasis X pasiskirstęs tolygiai per intervalą

Sprendimas: funkcijos grafikas

parodyta pav. 24.

9 paskaita. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

Atsitiktinis dydis X turi tokį pasiskirstymo tankį:

Atvirkštinės funkcijos x radimas(y)ir jo darinys:

9 paskaita. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

Galiausiai gauname tokią tankio išraišką

Šio tankio grafikas

parodyta pav. 25.

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

Pagrindinės formulės:

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

Kur Xi– nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai,

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

Už n Atsitiktiniai dydžiai, skaitines charakteristikas nurodo populiacija ir koreliacijos matrica:

Žymėjimas trikampės matricos forma galioja, nes

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

Koreliacijos matrica gali būti pateikta normalizuota forma, t.y. koreliacijos koeficientų matrica:

Paskaita 10. Atsitiktinių dydžių funkcijos skaitinės charakteristikos

4.3 pavyzdys

Nustatykite atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas

jei ir

Sprendimas:

Atsitiktinis dydis U yra atsitiktinių argumentų X, Y ir Z tiesinė funkcija. Todėl naudojant šios dalies (11) ir (17) formules gauname:

Atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Pasiskirstymo dėsnis visiškai charakterizuoja atsitiktinių dydžių sistemą, tačiau praktiškai jį naudoti ne visada patogu dėl jos sudėtingumo. Dažnai pakanka žinoti atsitiktinių dydžių, sudarančių sistemą, skaitines charakteristikas, kurios apima: matematinius lūkesčius M[X], M[Y], dispersijas D[X], D[Y] ir standartinius nuokrypius. Jie apskaičiuojami pagal šias formules.

Komponentų dispersijas taip pat galima apskaičiuoti naudojant sutrumpintas formules

Svarbų vaidmenį dvimačių atsitiktinių dydžių teorijoje vaidina koreliacijos momentas (kovariacija), kuris apibūdina linijinis ryšys tarp sistemos komponentų

Koreliacijos momentas apskaičiuojamas naudojant šias formules.

Už diskrečiųjų sistemų atsitiktiniai dydžiai

Ištisinėms atsitiktinių dydžių sistemoms

Kartu su koreliacijos momentas naudojama bematė charakteristika koreliacinis ryšys- koreliacijos koeficientas

Bet kurioms atsitiktinių dydžių sistemoms

Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nekoreliuojančiais, jei

Nepriklausomi dydžiai visada nėra koreliuojami.

Į sistemą įtraukto atsitiktinio dydžio sąlyginis pasiskirstymo dėsnis yra jo pasiskirstymo dėsnis, apskaičiuojamas su sąlyga, kad kitas atsitiktinis kintamasis turi tam tikrą reikšmę. Ištisinių atsitiktinių dydžių sistemoms sąlyginius įstatymus išreiškiami sąlyginiais komponentų pasiskirstymo tankiais

Be to, (6.9)

Tuo pačiu metu

Atsitiktinių dydžių sistemų vienodo ir normaliojo pasiskirstymo dėsniai

Vienodas įstatymas. Jei visos į sistemą įtrauktų atsitiktinių dydžių reikšmės yra D srities viduje, o sistemos tikimybės tankis turi tokią formą

tada (X,Y) yra subordinuotas vienoda teisė paskirstymus.

Normalus įstatymas. Jei sistemos pasiskirstymo tankis (X,Y) turi formą

kur matematiniai lūkesčiai; - standartiniai nuokrypiai, a yra koreliacijos koeficientas, tada sistemai galioja normalaus skirstinio dėsnis.

Nekoreliuotiems atsitiktiniams dydžiams normalus tankis paskirstymas

6.2 pavyzdys. Planuojama veikti 3 įmones dar metai. Sistema (X, Y)

kur yra įmonės numeris

Investicijų suma (tūkst. įprastų piniginių vienetų),

Apibrėžiama pagal lentelę

X komponento pasiskirstymo dėsnis reiškia, kad, nepaisant investicijų apimties, pirmoji įmonė turės investicijų su 0,3, antroji – su 0,2, o trečioji – su 0,5 tikimybe. Y komponentas atitinka paskirstymo dėsnį

o tai reiškia, kad, nepaisant įmonės numerio, investicijų apimtis gali būti lygi 3 tūkst. sutartinių vienetų. den. vienetų su 0,5 arba 4 tūkst. sutartinių piniginių vienetų tikimybe. su 0,5 tikimybe.

Dedamųjų skaitinėms charakteristikoms nustatyti naudosime rastus X ir Y pasiskirstymo dėsnius bei diskrečiųjų sistemų skaitinių charakteristikų nustatymo formules.

Vidutinė investicijų apimtis;

Nukrypimas nuo vidutinės investicijų apimties

Ryšys tarp įmonės skaičiaus ir investicijų apimties

6.3 pavyzdys. Per tam tikrą laikotarpį gamybai buvo naudojamos dviejų rūšių žaliavos. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra atitinkamai žaliavų kiekiai, išreikšti sutartiniais vienetais. Sistemos tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą