Visi galimi atvejai santykinė padėtis tiesi linija ir plokštuma erdvėje :
Tiesi linija yra plokštumoje, jei visi tiesės taškai priklauso plokštumai.
komentuoti . Kad tiesė gulėtų plokštumoje, būtina ir pakanka, kad bet kurie du šios tiesės taškai priklausytų šiai plokštumai.
Tiesė kerta plokštumą, jei tiesė ir plokštuma turi vienintelis bendras taškas
Tiesi linija yra lygiagreti plokštumai, jei tiesė ir plokštuma neturiu bendrų taškų . (jie nesikerta
1 teiginys . Tarkime, kad tiesi linija a ir plokštuma α yra lygiagrečios, o plokštuma β eina per tiesę a. Tada galimi du atvejai:
Bet tada laikotarpis P pasirodo esąs linijos susikirtimo taškas a ir plokštuma α, ir gauname prieštaravimą su tuo, kad tiesė a o plokštuma α lygiagreti. Gautas prieštaravimas užbaigia 1 teiginio įrodymą.
2 teiginys (tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklas) . Jei tiesiai a, neguli plokštumoje α, lygiagreti kokiai nors tiesei b esantis plokštumoje α, tada tiesė a o plokštuma α lygiagreti.
Įrodymas. Įrodykime tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklą „prieštaravimu“. Tarkime, kad tiesi linija a tam tikru momentu kerta plokštumą α P. Lygiagrečiomis tiesėmis nubrėžkime plokštumą β a Ir b.
Taškas P guli ant tiesios linijos a ir priklauso β plokštumai. Bet darant prielaidą esmė P priklauso plokštumai α, todėl taškas P guli ant tiesios linijos b, išilgai kurių susikerta plokštumos α ir β. Tačiau tiesioginis a Ir b lygiagrečiai pagal sąlygą ir negali turėti bendrų taškų.
Gautas prieštaravimas užbaigia tiesės ir plokštumos lygiagretumo kriterijaus įrodymą.
Teoremos
- Jei tiesė, kertanti plokštumą, yra statmena dviem šioje plokštumoje esančioms tiesėms, einančioms per šios tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, tai ji yra statmena plokštumai.
- Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
- Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.
- Jei tiesė, esanti plokštumoje, yra statmena pasvirusios projekcijai, tai ji taip pat yra statmena pasvirusiajai.
- Jei tiesė, esanti ne tam tikroje plokštumoje, yra lygiagreti kuriai nors tiesei, esančiai šioje plokštumoje, tada ji yra lygiagreti šiai plokštumai.
- Jei tiesė lygiagreti plokštumai, tai ji lygiagreti kuriai nors šios plokštumos tiesei.
- Jei tiesė ir plokštuma yra statmenos tai pačiai tiesei, tada jos yra lygiagrečios.
- Visi plokštumai lygiagrečios tiesės taškai yra vienodai nutolę nuo šios plokštumos.
Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!
Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.
Visi būtina teorija. Greiti būdai sprendimus, spąstus ir vieningo valstybinio egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.
Kursą sudaro 5 didelės temos, po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.
Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodžių problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sudėtingos užduotys Vieningo valstybinio egzamino 2 dalys.
Geometrijos kursas yra platus, gausus ir daugialypis: apima daug įvairiomis temomis, taisyklės, teoremos ir naudingų žinių. Galima įsivaizduoti, kad viskas mūsų pasaulyje susideda iš paprastų dalykų, net ir pačių sudėtingiausių. Taškai, tiesios linijos, plokštumos – visa tai jūsų gyvenime. Ir jie yra paklusnūs pasaulyje egzistuojantiems dėsniams dėl objektų santykio erdvėje. Norėdami tai įrodyti, galite pabandyti įrodyti tiesių ir plokštumų lygiagretumą.
Tiesi linija yra linija, jungianti du taškus trumpiausiu keliu, be pabaigos ir besitęsianti iš abiejų pusių iki begalybės. Plokštuma yra paviršius, sudarytas iš kinematinis judėjimas formuojant tiesią liniją išilgai kreiptuvo. Kitaip tariant, jei bet kurios dvi tiesės turi susikirtimo tašką erdvėje, jos gali būti toje pačioje plokštumoje. Tačiau kaip galime išreikšti tiesioginius, jei tokiam teiginiui šių duomenų neužtenka?
Pagrindinė tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlyga yra ta, kad jie neturi bendrų taškų. Skirtingai nuo tiesių, kurios, nesant bendrų taškų, gali būti ne lygiagrečios, o besiskiriančios, plokštuma yra dvimatė, o tai neįtraukia divergentinių linijų sąvokos. Jeigu ši sąlyga lygiagretumas nepastebimas - tai reiškia, kad linija susikerta duotas lėktuvas bet kuriame taške arba slypi jame visiškai.
Ką mums aiškiausiai parodo tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlyga? Faktas, kad bet kuriame erdvės taške atstumas tarp lygiagrečios linijos ir plokštumos bus pastovus. Jei yra nors menkiausias nuolydis, milijardinės laipsnio dalys, tiesė dėl abipusės begalybės anksčiau ar vėliau susikirs su plokštuma. Štai kodėl lygiagretumas tarp tiesės ir plokštumos galimas tik laikantis šios taisyklės, kitaip nebus įvykdyta pagrindinė jos sąlyga – bendrų taškų nebuvimas.
Ką galite pridėti kalbėdami apie tiesių ir plokštumų lygiagretumą? Faktas yra tas, kad jei viena iš lygiagrečių tiesių priklauso plokštumai, tada antroji yra lygiagreti plokštumai arba taip pat priklauso jai. Kaip tai įrodyti? Tiesės ir plokštumos, turinčios lygiagrečią duotajai tiesei, lygiagretumas įrodomas labai paprastai. neturi bendrų taškų, todėl jie nesikerta. Ir jei tiesė viename taške nesikerta su plokštuma, tai reiškia, kad ji yra lygiagreti arba guli plokštumoje. Tai dar kartą įrodo tiesės ir plokštumos, kurios neturi susikirtimo taškų, lygiagretumą.
Geometrijoje taip pat yra teorema, kuri teigia, kad jei yra dvi plokštumos ir tiesė yra statmena joms abiem, tai plokštumos yra lygiagrečios. Panaši teorema teigia, kad jei dvi tiesės yra statmenos kuriai nors vienai plokštumai, jos būtinai bus lygiagrečios viena kitai. Ar šiomis teoremomis išreikštas tiesių ir plokštumų lygiagretumas yra teisingas ir įrodomas?
Pasirodo, tai tiesa. Tiesiai, statmenai plokštumai, visada bus griežtai statmena bet kuriai tiesei, kuri yra tam tikroje plokštumoje ir taip pat turi susikirtimo tašką su kita tiese. Jei tiesė turi panašias sankirtas su keliomis plokštumomis ir visais atvejais yra joms statmena, tai reiškia, kad visos šios plokštumos yra lygiagrečios viena kitai. Ryškus pavyzdys gali pasitarnauti vaikiška piramidė: jos ašis bus norima statmena tiesė, o piramidės žiedai – plokštumos.
Todėl gana lengva įrodyti tiesės ir plokštumos lygiagretumą. Šias žinias moksleiviai įgyja studijuodami geometrijos pagrindus ir iš esmės lemia tolesnį medžiagos mokymąsi. Jei gebėsite kompetentingai panaudoti mokymų pradžioje įgytas žinias, galėsite dirbti bet kur didelis skaičius formules ir praleisti nereikalingas loginiai ryšiai tarp jų. Svarbiausia suprasti pagrindus. Jei jo nėra, geometrijos studijas galima palyginti su statyba be pamato. Štai kodėl ši tema reikalauja atidus dėmesys ir kruopštus tyrimas.
