Monotoninės skaičių sekos yra. aš

Tikslas: Suteikti sąvoką, apibrėžimą sekos, baigtinės, begalinės, įvairius sekų apibrėžimo būdus, jų skirtumus, išmokyti jais naudotis sprendžiant pavyzdžius.

Įranga: Stalai.

Pamokos eiga

aš. Organizacinis momentas.

II. Priekinė patikra namų darbai:

1) mokinys ant lentos uždavinys Nr. 2.636 (iš II dalies „Egzamino raštu 9 klasėje užduočių rinkinys“)

2) studentas. Sukurkite grafiką

3) priekyje su visa klase Nr.2.334 (a).

III. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Mokyklinė paskaita yra ugdymo proceso organizavimo forma, kuri orientuoja studentus, studijuojant tam tikrą temą, į pagrindinį dalyką ir apima platų asmeninio mokytojo ir mokinių požiūrio į mokomąją medžiagą demonstravimą. Nes Pamokoje-paskaitoje numatytas didelio bloko medžiagos pristatymas, kurį atlieka mokytojas, tada žodinis mokytojo ir mokinių bendravimas yra pagrindinis jos technologijos dalykas. Mokytojo žodis turi emocinį, estetinį poveikį ir sukuria tam tikrą požiūrį į dalyką. Paskaitos pagalba vadovaujamasi įvairaus pobūdžio mokinių veiklai klasėje, o per žinias, įgūdžius ir gebėjimus formuojamas pažinimas kaip ugdomosios veiklos pagrindas.

I. Užrašykite dviženklius skaičius, kurie baigiasi 3 didėjimo tvarka.

13; 23; 33;………….93.

Visiems serijos numeris Nuo 1 iki 9 suderinkite konkretų dviženklį skaičių:

1->13; 2->23;………9->93.

Nustatyta atitiktis tarp pirmųjų devynių natūraliųjų skaičių aibės ir dviženklių skaičių, kurie baigiasi 3, aibės. Šis susirašinėjimas yra funkcija.

Apibrėžimo sritis yra (1; 2; 3;……..9)

Daug reikšmių (13; 23; 33;…….93).

Jei atitikmuo žymimas f, tai

Šią seką galima nurodyti naudojant par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Lentelė Nr.1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje, vadinama begaline seka.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- sekos nariai.

Pastaba: būtina atskirti aibės ir sekos sąvokas.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Tas pats komplektas.

b) tačiau 10 sekos; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Įvairūs:

III. Apsvarstykite seką:

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> galutinis, mažėjantis.

A)

Seka vadinama didėjančia, jei kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

b)

Pateikiamas mažėjančios sekos apibrėžimas.

Didėjančios arba mažėjančios sekos vadinamos monotoninėmis.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - svyruojantis;

5; 5; 5; 5; ..... - pastovus.

IV. Sekos gali būti pavaizduotos geometriškai. Nes seka yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra aibė N, tada grafikas, matyt, yra plokštumos taškų aibė (x; y).

Pavyzdys: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Nubraižykime šią seką

1 pav.

Pavyzdys: Įrodykite, kad seka pateikta šia forma

99; 74; 49; 24; -1;……………

mažėja.

V. Sekų patikslinimo metodai.

Nes Seka yra funkcija, apibrėžta aibėje N, tada yra penki būdai, kaip apibrėžti sekas:

I. Lentelinė

II. Aprašymo metodas

III. Analitinis

IV. Grafika

V. Pasikartojantis

I. Tabulinė – labai nepatogu. Sudarome lentelę ir pagal ją nustatome, kuris narys? kokią vietą jis užima....

II. Aprašymo būdas.

Pavyzdys: seka yra tokia, kad kiekvienas narys rašomas naudojant skaičių 4, o skaitmenų skaičius yra lygus sekos skaičiui.

III. Analitinis metodas(naudojant formulę).

Formulė, išreiškianti kiekvieną sekos narį jo skaičiumi n, vadinama sekos n nario formule.

Pavyzdžiui:

ir mokiniai sudaro šias sekas, ir atvirkščiai: pasirinkite sekų terminų formulę:

a) 1; ;
b) ...
;……………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Grafinis metodas

- taip pat nėra labai patogu, jie dažniausiai to nenaudoja.

Weierstrasso teorema apie monotoninės sekos ribą Bet kokia monotoniška ribota seka(xn) turi galutinė riba , lygi tiksliai viršutinei ribai, sup (xn) dėl nemažėjančios ir tikslios apatinės ribos, inf(xn)
nedidėjančiai sekai. Bet kuri monotoniška neapribota seka turi begalinė riba

, lygus plius begalybei nedidėjančiai sekai ir minus begalybei nedidėjančiai sekai.

1) Įrodymas nemažėjantis .

(1.1) .

ribota seka
.
Kadangi seka yra ribota, ji turi griežtą viršutinę ribą

• Tai reiškia, kad:
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
visiems n,
Čia taip pat naudojome (1.3). Sujungę su (1.2), randame:
adresu .
,
Nuo tada
Čia taip pat naudojome (1.3). Sujungę su (1.2), randame:
arba

2) Pirmoji teoremos dalis įrodyta. Tegul dabar seka yra:
(2.1) nedidėjanti ribojama seka

Kadangi seka yra ribota, ji turi griežtą apatinę ribą
.
Tai reiškia:

• visoms n galioja šios nelygybės:
  (2.2) ;
• bet kam teigiamas skaičius, yra skaičius, priklausomai nuo ε, kuriam
  (2.3) .

.
Čia taip pat naudojome (2.3). Atsižvelgdami į (2.2), randame:
Čia taip pat naudojome (1.3). Sujungę su (1.2), randame:
adresu .
,
Nuo tada
Čia taip pat naudojome (1.3). Sujungę su (1.2), randame:
Tai reiškia, kad skaičius yra sekos riba.
Antroji teoremos dalis įrodyta.

Dabar pasvarstykime neribotos sekos.
3) Tegul seka būna neribota nemažėjanti seka.

Kadangi seka yra nemažėjanti, visos n galioja šios nelygybės:
(3.1) .

Kadangi seka yra nemažėjanti ir neapribota, ji yra neapribota dešinėje pusėje. Tada bet kuriam skaičiui M yra skaičius, priklausomai nuo M, kuriam
(3.2) .

Kadangi seka nemažėja, tada, kai turime:
.
Čia taip pat naudojome (3.2).

.
Tai reiškia, kad sekos riba yra plius begalybė:
.
Trečioji teoremos dalis įrodyta.

4) Galiausiai apsvarstykite atvejį, kai neapribota nedidėjanti seka.

Panašus į ankstesnįjį, nes seka nedidėja, tada
(4.1) nedidėjanti ribojama seka

Kadangi seka yra nedidėjanti ir neapribota, ji yra neapribota kairėje pusėje. Tada bet kuriam skaičiui M yra skaičius, priklausomai nuo M, kuriam
(4.2) .

Kadangi seka nedidėja, tada, kai turime:
.

Taigi, bet kuriam skaičiui M yra natūralusis skaičius, priklausantis nuo M, todėl visiems skaičiams galioja šios nelygybės:
.
Tai reiškia, kad sekos riba yra minus begalybė:
.
Teorema įrodyta.

Problemos sprendimo pavyzdys

Naudodamiesi Weierstrasso teorema, įrodykite sekos konvergencija:
, , . . . , , . . .
Tada raskite savo ribą.

Pavaizduokime seką pasikartojančių formulių pavidalu:
,
.

Įrodykime, kad duotoji seka yra ribojama aukščiau reikšmės
(P1) .
Įrodinėjimą atliekame naudodami metodą matematinė indukcija.
.
Tegul .
.
Tada

Nelygybė (A1) įrodyta.
;
Įrodykime, kad seka didėja monotoniškai. .
(P2)
.
Kadangi , Tada trupmenos vardiklis ir pirmasis skaitiklio veiksnys yra teigiami. Dėl sekos narių apribojimo nelygybe (A1) antrasis veiksnys taip pat yra teigiamas. Štai kodėl

Tai yra, seka griežtai didėja.

Kadangi seka didėja ir ribojama aukščiau, tai yra ribota seka. Todėl pagal Weierstrasso teoremą ji turi ribą.
.
Pasinaudokime tuo faktu
.
Taikykime tai (A2), naudodami konvergencinių sekų ribų aritmetines savybes:
.
Sąlygą tenkina šaknis.

Jei visi natūralusis skaičius n yra priskirtas kai kuriems realus skaičius x n , tada jie sako, kad duota skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

Skaičius x 1 vadinamas sekos nariu su numeriu 1 arba pirmasis sekos terminas, numeris x 2 – sekos narys su numeriu 2 arba antrasis sekos narys ir kt. Vadinamas skaičius x n sekos narys su skaičiumi n.

Yra du būdai nurodyti skaičių sekas – su ir su pasikartojanti formulė.

Seka naudojant formules generalinis narys sekos– tai sekos užduotis

x 1 , x 2 , … x n , …

naudojant formulę, išreiškiančią termino x n priklausomybę nuo jo skaičiaus n.

1 pavyzdys. Skaičių seka

1, 4, 9, … n 2 , …

pateikiami naudojant bendro termino formulę

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekos nurodymas naudojant formulę, išreiškiančią sekos narį x n per sekos narius su ankstesniais skaičiais, vadinamas sekos nurodymu naudojant pasikartojanti formulė.

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino didėjančia seka, daugiau ankstesnis narys.

Kitaip tariant, visiems n

x n + 1 >x n

3 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių seka

1, 2, 3, … n, …

yra didėjančia seka.

Apibrėžimas 2. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino mažėjančia seka jei kiekvienas šios sekos narys mažiau ankstesnis narys.

Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

x n + 1 < x n

4 pavyzdys. Pasekmė

pateikta pagal formulę

yra mažėjančia seka.

5 pavyzdys. Skaičių seka

1, - 1, 1, - 1, …

pateikta pagal formulę

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nėra nei didėja, nei mažėja seka.

Apibrėžimas 3. Vadinamos didėjančios ir mažėjančios skaičių sekos monotoniškos sekos.

Apribotos ir neribotos sekos

Apibrėžimas 4. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino apribotas iš viršaus, jei yra toks skaičius M, kad kiekvienas šios sekos narys mažiau skaičiai M.

Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

Apibrėžimas 5. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino apribota žemiau, jei yra toks skaičius m, kad kiekvienas šios sekos narys daugiau skaičiai m.

Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

Apibrėžimas 6. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

vadinamas ribotu, jei jis ribotas tiek viršuje, tiek apačioje.

Kitaip tariant, yra skaičiai M ir m tokie, kad visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

m< x n < M

7 apibrėžimas. Skaičių sekos, kuris nėra ribojami, paskambino neribotos sekos.

6 pavyzdys. Skaičių seka

1, 4, 9, … n 2 , …

pateikta pagal formulę

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

apribota žemiau, pavyzdžiui, skaičius 0. Tačiau ši seka neribotas iš viršaus.

7 pavyzdys. Pasekmė

pateikta pagal formulę

yra ribota seka, nes visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

Mūsų svetainėje taip pat galite susipažinti su mokymo centro „Resolventa“ mokytojų parengta mokomoji medžiaga, skirta pasiruošti vieningam valstybiniam matematikos egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui.

Moksleiviams, norintiems gerai pasiruošti ir išlaikyti Vieningas valstybinis matematikos arba rusų kalbos egzaminasįjungta aukštas rezultatas, mokymo centras Diriguoja „Resolventa“.

Sekos monotonija

Monotoniška seka- seka, atitinkanti vieną iš šių sąlygų:

Tarp monotoniškų sekų išsiskiria šios: griežtai monotoniškas sekos, atitinkančios vieną iš šių sąlygų:

Kartais vartojamas terminologijos variantas, kuriame terminas „didėjanti seka“ laikomas termino „nemažėjanti seka“ sinonimu, o terminas „mažėjanti seka“ laikomas termino „nedidėjanti seka“ sinonimu. “. Tokiu atveju didėjančios ir mažėjančios sekos pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą atitinkamai vadinamos „griežtai didėjančia“ ir „griežtai mažėjančia“.

Kai kurie apibendrinimai

Gali pasirodyti, kad aukščiau nurodytos sąlygos tenkinamos ne visiems skaičiams, o tik skaičiams iš tam tikro diapazono

(čia leidžiama apversti dešinę kraštą N+ iki begalybės). Šiuo atveju seka vadinama monotoniškas intervale aš , ir pats diapazonas aš paskambino monotonijos intervalas sekos.

Pavyzdžiai

Taip pat žr

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „sekos monotoniškumas“ kituose žodynuose: Matematikos šaka, susijusi su savybių tyrimuįvairių funkcijų . Funkcijų teorija skirstoma į dvi sritis: realaus kintamojo funkcijų teoriją ir kompleksinio kintamojo funkcijų teoriją, tarp kurių skirtumas toks didelis, kad... ...

Collier enciklopedija Pseudoatsitiktinių sekų testavimas yra metodų rinkinys, leidžiantis nustatyti tam tikros pseudoatsitiktinės sekos artumo laipsnį atsitiktinai. Ši priemonė paprastai yra buvimas vienodas paskirstymas

, didelis... ... Vikipedija Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Aibės matas yra neneigiamas dydis, intuityviai interpretuojamas kaip aibės dydis (tūris). Tiesą sakant, tai yra tam tikra priemonė skaitinė funkcija

Garsus rašytojas. Genus. Orelyje 1871 m. jo tėvas buvo matininkas. Mokėsi Oriolio gimnazijoje ir Sankt Peterburgo bei Maskvos universitetuose, anot Teisės fakultetas. Studentui labai reikėjo. Tada jis parašė savo pirmąją istoriją „apie... ... Didelė biografinė enciklopedija

Skaitiniai sprendimo metodai, pakeičiantys sprendimą ribinės vertės problema diskrečiojo uždavinio sprendimas (žr. Tiesinės ribinės reikšmės uždavinys; skaitiniai sprendimo metodai ir Netiesinė lygtis; skaitiniai sprendimo metodai). Daugeliu atvejų, ypač kai svarstoma... ... Matematinė enciklopedija

Voynicho rankraštis buvo parašytas naudojant nežinoma sistema raidės Voynicho rankraštis (angl. Voyni ... Wikipedia

Parašyta naudojant nežinomą rašymo sistemą Voynicho rankraštis – paslaptinga knyga, parašyta maždaug prieš 500 metų nežinomas autorius, įjungta nežinoma kalba, naudojant nežinomą abėcėlę. Voynicho rankraštis... ... Vikipedija

Sigismondo d'India (ital. Sigismondo d India, apie 1582 m. Palermas? iki 1629 m. balandžio 19 d. Modena) italų kompozitorius. Turinys 1 Biografija 2 Kūryba ... Vikipedija

Modernizavimas- (Modernizacija) Modernizacija – tai kažko pakeitimo procesas, atitinkantis modernumo reikalavimus, perėjimas prie pažangesnių sąlygų, diegiant įvairius naujus modernizavimo teorijos, modernizavimo tipus, organinius... ... Investuotojų enciklopedija

Vienas iš pagrindinių matematines sąvokas, kurios reikšmė vystantis matematikai buvo apibendrinta. I. Netgi Euklido „Elementuose“ (III a. pr. Kr.) V. savybės, dabar vadinamos, buvo aiškiai suformuluotos taip, kad jas atskirtų nuo... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Apibrėžimas 1. Seka vadinama mažėja (nedidėjantis ), jei visiems
nelygybė galioja
.

Apibrėžimas 2. Nuoseklumas
paskambino didėja (nemažėjantis ), jei visiems
nelygybė galioja
.

Apibrėžimas 3. Vadinamos mažėjančios, nedidėjančios, didėjančios ir nemažėjančios sekos monotoniškas sekos, dar vadinamos mažėjančios ir didėjančios sekos griežtai monotoniškas sekos.

Akivaizdu, kad nemažėjanti seka ribojama iš apačios, o nedidėjanti seka – iš viršaus. Todėl bet kokia monotoniška seka yra akivaizdžiai ribota vienoje pusėje.

Pavyzdys 1. Nuoseklumas
didėja, nemažėja,
mažėja
nepadidėja
– nemonotoniška seka.

Monotoninėse sekose svarbų vaidmenį atlieka šie dalykai:

Teorema 1. Jei nemažėjanti (nedidėjanti) seka ribojama iš viršaus (iš apačios), tai ji susilieja.

Įrodymas. Tegul seka
nemažėja ir yra ribojamas iš viršaus, t.y.
ir daug
apribotas iš viršaus. Pagal 1 teoremos § 2 yra
. Įrodykime tai
.

Paimkime
savavališkai. Nes A– tiksli viršutinė riba, yra skaičius N toks kad
. Kadangi seka nemažėja, tai visiems
turime, t.y.
, Štai kodėl
visiems
, ir tai reiškia, kad
.

Nedidėjančios sekos, apribotos žemiau, įrodymas yra panašus į ( šį teiginį mokiniai gali įrodyti namuose patys). Teorema įrodyta.

komentuoti. 1 teorema gali būti suformuluota skirtingai.

Teorema 2. Tam, kad monotoniška seka susilietų, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribojama.

Pakankamumas nustatytas 1 teoremoje, būtinumas – 5 § 2 teoremoje.

Monotoniškumo sąlyga sekos konvergencijai nebūtina, nes konvergencinė seka nebūtinai yra monotoniška. Pavyzdžiui, seka
ne monotoniškas, bet suartėja iki nulio.

Pasekmė. Jei seka
didėja (mažėja) ir ribojamas iš viršaus (iš apačios), tada
(
).

Iš tikrųjų pagal 1 teoremą
(
).

Apibrėžimas 4. Jei
adresu
, tada seka vadinama įdėtų segmentų sutraukimo sistema .

Teorema 3 (įdėtųjų segmentų principas). Kiekviena įdėtųjų segmentų sudarymo sistema turi, be to, unikalų tašką Su, priklausantis visiems šios sistemos segmentams.

Įrodymas. Įrodykime, kad esmė Su egzistuoja. Nes
, Tai
taigi ir seka
mažėja ne, o seka
nepadidėja. Tuo pačiu metu
Ir
ribotas, nes. Tada pagal 1 teoremą egzistuoja
Ir
, bet nuo to laiko
, Tai
=
. Rastas taškas Su priklauso visiems sistemos segmentams, nes pagal 1 teoremą
,
, t.y.
visoms vertybėms n.

Dabar parodykime esmę Su- vienintelis. Tarkime, kad yra du tokie punktai: Su Ir d ir tegul dėl tikrumo
. Tada segmentas
priklauso visiems segmentams
, t.y.
visiems n, o tai neįmanoma, nes
ir todėl pradedant nuo tam tikro skaičiaus,
. Teorema įrodyta.

Atkreipkite dėmesį, kad čia esminis dalykas yra tai, kad atsižvelgiama į uždarus intervalus, t.y. segmentai. Jei svarstysime intervalų susitraukimo sistemą, tada principas apskritai yra neteisingas. Pavyzdžiui, intervalai
, akivaizdu, kad susitraukimas iki taško
, tačiau taškas
nepriklauso jokiam šios sistemos intervalui.

Dabar panagrinėkime konvergencinių monotoninių sekų pavyzdžius.

1) Skaičius e.

Dabar panagrinėkime seką
. Kaip ji elgiasi? Bazė

laipsnių
, Štai kodėl
? Iš kitos pusės,
, A
, Štai kodėl
? O gal ribų nėra?

Norėdami atsakyti į šiuos klausimus, apsvarstykite pagalbinę seką
. Įrodykime, kad jis mažėja ir yra ribojamas žemiau. Tuo pačiu mums reikės

Lemma. Jeigu
, tada visoms gamtos vertybėms n mes turime

(Bernulio nelygybė).

Įrodymas. Pasinaudokime matematinės indukcijos metodu.

Jeigu
, Tai
, t.y. nelygybė yra tiesa.

Tarkime, kad tai tiesa
ir įrodyti jo pagrįstumą
+1.

Teisingai
. Padauginkime šią nelygybę iš
:

Taigi,. Tai reiškia, kad pagal matematinės indukcijos principą Bernulio nelygybė galioja visoms gamtos vertybėms n. Lema įrodyta.

Parodykime, kad seka
mažėja. Turime

Bernulio nelygybė
, o tai reiškia, kad seka
mažėja.

Ribos iš apačios išplaukia iš nelygybės
Bernulio nelygybė
visoms gamtos vertybėms n.

Pagal 1 teoremą yra
, kuris žymimas raide e. Štai kodėl
.

Skaičius e neracionalus ir transcendentalus, e= 2,718281828… . Tai, kaip žinoma, yra natūraliųjų logaritmų pagrindas.

Pastabos. 1) Tam įrodyti galima panaudoti Bernulio nelygybę
adresu
. Tikrai, jei
, Tai
. Tada, pagal Bernulio nelygybę, su
. Vadinasi, at
mes turime
, tai yra
adresu
.

2) Aukščiau aptartame pavyzdyje laipsnio pagrindas linkęs į 1, o eksponentas n- Į , tai yra, yra formos neapibrėžtumas . Tokio pobūdžio neapibrėžtumą, kaip parodėme, atskleidžia nepaprasta riba
.

2)
(*)

Įrodykime, kad ši seka konverguoja. Norėdami tai padaryti, parodome, kad jis yra apribotas iš apačios ir nedidėja. Šiuo atveju naudojame nelygybę
visiems
, kuri yra nelygybės pasekmė
.

Turime
 pamatyti nelygybė didesnė!
, t.y. seka apačioje ribojama skaičiumi
.

Kitas,
 nuo tada

, t.y. seka nedidėja.

Pagal 1 teoremą yra
, kurį žymime X. Perėjimas lygybėje (*) iki ribos ties
, gauname

, t.y.
, kur
(imame pliuso ženklą, nes visos sekos sąlygos yra teigiamos).

Skaičiuojant naudojama seka (*).
apytiksliai. Už paimkite bet kurį teigiamą skaičių. Pavyzdžiui, suraskime
. Leiskite
. Tada
,. Taigi,
.

3)
.

Turime
. Nes
adresu
, yra numeris N, toks, kad visiems
nelygybė galioja
. Taigi seka
, pradedant nuo tam tikro skaičiaus N, mažėja ir yra apribota žemiau, nes
visoms vertybėms n. Tai reiškia, kad pagal 1 teoremą yra
. Nes
, turime
.

Taigi,
.

4)
, teisingai - n šaknys.

Naudodami matematinės indukcijos metodą parodysime tai
visoms vertybėms n. Turime
. Leiskite
. Tada iš čia gauname teiginį, pagrįstą matematinės indukcijos principu. Naudodamiesi šiuo faktu, nustatome, t.y. seka
didėja ir yra ribojamas iš viršaus. Todėl ji egzistuoja, nes
.

Taigi,
.