Žingsnis po žingsnio sukurkime pagalbinę segmento funkciją. Nuliniame žingsnyje nustatysime du taškus:

Ir .

Toliau pataisome parametrą. Pirmajame ir tolesniuose žingsniuose mes nustatysime taškus pagal kita taisyklė: už kiekvienus du anksčiau sukonstruotus taškus, esančius greta x ašies, ir mes statysime du naujus taškus ir centriškai simetriškai taškais apibrėžto stačiakampio centro atžvilgiu ir su koeficientu k. Tai yra, pirmame žingsnyje nurodomi du nauji taškai:

Ir ir kt.

Įjungta (m+1)- om žingsnis be anksčiau sukonstruotų taškų su abscisėmis

du taškai yra sukonstruoti visose erdvėse išilgai abscisių tarp gretimų jau sukonstruotų taškų. Ši konstrukcija atliekama taip: tarpai išilgai abscisių ašies tarp gretimų taškų (stačiakampiai su šonais a Ir b) yra padalinti į 3 lygias dalis. Tada pagal vieną iš šių schemų sukonstruojami du nauji taškai:

Priklausomai nuo to, kuris iš gretimų taškų yra aukščiau ar aukščiau, naudojame kairiąją arba dešinę schemą. Pirmajame žingsnyje, kaip parodyta aukščiau, sutinkame a = b = 1.

Konstrukciją kartojame suskaičiuojamą skaičių kartų, kai m = 1, 2, 3, …. Dėl to mes gausime fraktalą, kuris bus panašus iki tam tikro afininė transformacija(ištempimas, suspaudimas, sukimas) bet kuriai iš kiekvienoje juostoje esančių jo dalių:

;

Sukūrę fraktalą, gauname funkciją, apibrėžtą taškų aibėje

kuris yra tankus visur segmente .

Kokias savybes turi sudaryta funkcija?

· kiekviename formos (*) taške yra arba griežtas maksimumas, arba griežtas minimumas, t.y. funkcija g(x) niekur nėra monotoniškas, o segmente yra tankūs griežtų ekstremalių taškų rinkiniai;

· funkcija g(x) yra ištisinė ir netgi tolygiai tolydi taškų aibėje (*);

· funkcija, sudaryta ištisinė atkarpoje, neturi jokiame taške šis segmentas net vienpusiai dariniai;

Minėtos savybės buvo įrodytos kurse „Pasirinkti matematinės analizės skyriai“.

Nagrinėtame pavyzdyje padarėme prielaidą, kad parametras . Pakeitę šio parametro reikšmę, galite gauti funkcijų šeimas su savo ypatingomis savybėmis.

· . Šios funkcijos yra nuolatinės ir griežtai monotoniškai didėjančios. Jie turi nulinius ir begalinius išvestinius (atitinkamai vingio taškus) taškų rinkiniuose, kurie yra tankūs visur atkarpoje.

· . Gauta tiesinė funkcija y = x

· . Funkcijų šeimos savybės yra tokios pačios kaip ir k reikšmių iš pirmojo diapazono.

· . Gavome Cantor funkciją, kurią mes išsamiai ištyrėme anksčiau.

· . Šios funkcijos yra ištisinės, niekur nėra monotoniškos, turi griežtus minimumus ir maksimumus, nulį ir begalinį (abiejų ženklų) vienpuses išvestis taškų rinkiniuose, kurie yra tankūs visur atkarpoje.

· . Ši funkcija buvome išnagrinėti aukščiau.

· . Funkcijos iš šio diapazono turi tokias pačias savybes kaip ir funkcija .

Išvada.

Savo darbe įgyvendinau keletą pavyzdžių iš kurso „Pasirinkti matematinės analizės skyriai“. IN šis darbas Buvo įterptos mano vizualizuotų programų ekrano kopijos. Tiesą sakant, jie visi yra interaktyvūs, studentas gali matyti funkcijos vaizdą konkretus žingsnis, kurkite juos patys kartotiniu būdu ir priartinkite mastą. Konstravimo algoritmai, taip pat kai kurios bibliotekos funkcijos Skeletas buvo specialiai atrinkti ir patobulinti šio tipo problemų (daugiausia buvo svarstomi fraktalai).

Ši medžiaga neabejotinai bus naudinga dėstytojams ir studentams bei puikiai papildys kurso „Rinktiniai matematinės analizės skyriai“ paskaitas. Šių vizualizacijų interaktyvumas padeda geriau suprasti sukonstruotų rinkinių prigimtį ir palengvina mokiniams medžiagos suvokimo procesą.

Aprašytos programos yra įtrauktos į projekto www.visualmath.ru vaizdo modulių biblioteką, pavyzdžiui, čia yra Cantor funkcija, kurią jau svarstėme:

Ateityje planuojama praplėsti vizualizuotų užduočių sąrašą ir dar labiau tobulinti konstravimo algoritmus efektyvus darbas programas. Darbas www.visualmath.ru projekte neabejotinai atnešė daug naudos ir patirties, komandinio darbo įgūdžių, sugebėjimo kuo aiškiau įvertinti ir pateikti mokomąją medžiagą.

Literatūra.

1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Analizės priešpavyzdžiai. M.: Mir.1967.

2. B.M. Makarovas ir kt. Pasirinktos problemos realioje analizėje. Nevskio tarmė, 2004 m.

3. B. Mandelbrotas. Fraktalinė gamtos geometrija. Kompiuterių studijų institutas, 2002 m.

4. Yu.S. Ochan, TFDP problemų ir teoremų rinkinys. M.: Nušvitimas. 1963 m.

5. V.M. Shibinsky Pavyzdžiai ir priešingi pavyzdžiai matematinės analizės metu. M.: absolventų mokykla, 2007.

6. R.M. Kronover, Fraktalai ir chaosas dinamines sistemas, M.: Pašto rinka, 2000 m.

7. A. A. Nikitinas, Rinktiniai matematinės analizės skyriai // Maskvos valstybinio universiteto Kompiuterinės matematikos ir matematikos fakulteto jaunųjų mokslininkų straipsnių rinkinys, 2011 / red. S. A. Ložkinas. M.: Maskvos valstybinio universiteto Kompiuterinės matematikos ir matematikos fakulteto Leidybos skyrius. M.V. Lomonosova, 2011. 71-73 p.

8. R.M. Kronover, Fraktalai ir chaosas dinamiškose sistemose, M.: Postmarket, 2000 m.

9. Fraktalas ir visur ištisinės, bet niekur nesiskiriančios funkcijos konstravimas // XVI tarptautiniai Lomonosovo skaitymai: rinkinys mokslo darbai. – Archangelskas: Pomeranijos valstybinis universitetas, 2004. P.266-273.

Suskaičiuojamo skaičiaus atvirųjų aibių (gretimų intervalų) sąjunga yra atvira, o atvirosios aibės papildinys yra uždaras.

Bet kuri taško kaimynystė A Cantor rinkinys, yra bent vienas taškas nuo , skiriasi nuo A.

Uždaryta ir nėra izoliuoti taškai(kiekvienas taškas yra riba).

Yra daugiausia skaičiuojamas rinkinys, kuris visur yra tankus.

Aibė A niekur nėra tanki erdvėje R, jei tokia yra atviras rinkinysŠioje erdvėje yra dar vienas atviras rinkinys, visiškai laisvas nuo A rinkinio taškų.

Taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra nesuskaičiuojama tam tikros aibės taškų aibė.

Sakysime, kad rinkinys lėktuve niekur nėra tankus metrinė erdvė R, jei kuriame nors atvirame šios erdvės apskritime yra kitas atviras apskritimas, visiškai laisvas nuo šios aibės taškų.

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA

VALSTYBINĖ UGDYMO ĮSTAIGA

AUKŠTESIS PROFESINIS IŠSILAVINIMAS

"USŪRIJOS VALSTYBINIS PEDAGOGINIS INSTITUTAS"

Fizikos ir matematikos fakultetas

Kursiniai darbai matematinė analizė

Tema: „Nuolatinės, bet nediferencijuojamos funkcijos“

Užbaigė: Plyasheshnik Ksenia

131 grupės mokinys

Vadovas: Delyukova Y.V.

Usūrija – 2011 m

Įvadas.................................................. ...................................................... 3

Istorinis fonas................................................ ........................... 4

Pagrindiniai apibrėžimai ir teoremos................................................ ...................................... 5

Pavyzdys nuolatinė funkcija be išvestinės.......................... 10

Pratimų sprendimas.................................................. ..................................... 13

Išvada................................................ ...................................... 21

Literatūra.................................................. .......................................... 22

Įvadas

Kursinis darbas skirtas ryšiui tarp tęstinumo ir vieno kintamojo funkcijos išvestinės egzistavimo tirti. Atsižvelgiant į tikslą, buvo iškeltos šios užduotys:

1. Studijuoti mokomąją literatūrą;

2. Ištirkite van der Waerden sukurtą tolydžios funkcijos, kuri jokiame taške neturi išvestinės, pavyzdį;

3. Nuspręskite dėl pratimų sistemos.

Istorinis fonas

Bartel Leendert van der Waerden (olandų kalba Bartel Leendert van der Waerden, 1903 m. vasario 2 d. Amsterdamas, Nyderlandai – 1996 m. sausio 12 d. Ciurichas, Šveicarija) – olandų matematikas.

Jis studijavo Amsterdamo universitete, vėliau Getingeno universitete, kur Emmy Noether padarė jam didžiulę įtaką.

Pagrindiniai darbai algebros, algebrinės geometrijos srityje, kur jis (kartu su Andre Weilu ir O. Zariski) kėlė griežtumo lygį, o. matematinė fizika, kur dirbo su grupės teorijos taikymu klausimams kvantinė mechanika(kartu su Hermann Weyl ir Yu. Wigner). Jo klasikinė knyga „Modernioji algebra“ (1930) tapo pavyzdžiu vėlesniems abstrakčiosios algebros vadovėliams ir išleido daugybę leidimų.

Van der Waerdenas yra vienas iš pirmaujančių matematikos ir astronomijos istorijos specialistų Senovės pasaulis. Jo pabudimo mokslas (Ontwakende wetenschap 1950, vertimas į rusų kalbą 1959) išsamiai aprašo matematikos ir astronomijos istoriją Senovės Egiptas, Babilonas ir Graikija. Šios knygos priede prie rusų kalbos vertimo yra straipsnis „Pitagoro harmonijos doktrina“ (1943 m.) – esminis pitagoriečių požiūrių į muzikinę harmoniją pristatymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir teoremos

Funkcijos riba taške. Kairė ir dešinė ribos

Apibrėžimas (Kauši riba, kalboje Skaičius vadinamas funkcijos riba taške if

Apibrėžimas (kaimynystės kalba) Skaičius vadinamas funkcijos riba taške, jei bet kurioje skaičiaus kaimynystėje yra taško kaimynystė, kad kai tik

Apibrėžimas (pagal Heine) Skaičius vadinamas funkcijos riba taške, jei bet kuriai sekai, kuri konverguoja į (tai yra, atitinkama funkcijos reikšmių seka konverguoja į skaičių

Apibrėžimas Skaičius vadinamas kairiąja funkcijos riba taške if

Apibrėžimas Skaičius vadinamas dešiniąja funkcijos riba taške if

Teorema (būtina ir pakankama būklė ribos buvimas)

Tam, kad taške egzistuotų funkcijos riba, būtina ir pakanka, kad būtų kairiosios ir dešiniosios ribos, kurios būtų lygios viena kitai.

Išvestinės sąvoka. Vienpusiai dariniai.

Apsvarstykite aibėje apibrėžtą funkciją

1. Paimkime prieaugį. Padidinkime tašką.

2. Apskaičiuokime funkcijos reikšmę taškuose. Ir

3. .

4. .

o argumento prieaugis gali būti teigiamas arba neigiamas, tada ši riba vadinama išvestine taške ir žymima . Jis taip pat gali būti begalinis.

kairioji (kairioji) funkcijos išvestinė taške , o jei

yra ribota riba tada ji vadinama dešiniąja funkcijos išvestine taške.

Funkcija taške turi tada ir tik tada, kai jos kairioji ir dešinioji išvestinės taške sutampa:

( ( .

Apsvarstykite funkciją Suraskime taške vienpuses išvestines

Vadinasi, ( =-1; ( =1 Ir ( ( , tai yra, funkcija taške neturi išvestinės.

Įvairūs apibrėžimai funkcijos tęstinumas taške.

1 apibrėžimas (pagrindinė) Funkcija vadinama tęstine taške, jei funkcijos riba yra ties lygi vertei funkcijos šiuo metu.

2 apibrėžimas (kalboje Funkcija vadinama tęstine taške, jei ε, δ>0, kad .

3 apibrėžimas (pagal Heine, sekos kalba) Funkcija vadinama tęstine taške, jei bet kuriai sekai, konverguojančiai į tašką, atitinkama funkcijos reikšmių seka konverguoja į .

4 apibrėžimas (inkrementų kalba) Funkcija taške vadinama tęstine, jei begalinis argumento prieaugis atitinka be galo mažą funkcijos prieaugį.

Diferencijuojamos funkcijos samprata

1 apibrėžimas Funkcija, apibrėžta aibėje (vadinama diferencijuojama taške, jei jos prieaugis šiame taške gali būti pavaizduotas kaip (*), kur A yra const, nepriklausoma nuo , yra be galo maža

2 apibrėžimas Funkcija, kuri yra diferencijuojama bet kuriame aibės taške, vadinama aibėje diferencijuojama.

Skirtumo ir tęstinumo ryšys

Teorema. Jei funkcija taške yra diferencijuota, tai taške ji yra tolydi.

Įrodymas.

Tegul funkcija yra diferencijuojama taške, kur

Atvirkštinė teorema. Jei funkcija yra ištisinė, tada ji yra diferencijuojama.

Atvirkštinė teorema nėra teisinga.

B nėra diferencijuotas, nors ir tęstinis.

Lūžio taškų klasifikacija

Apibrėžimas Funkcija, kuri nėra tolydi taške, taške yra nepertraukiama, o pats taškas vadinamas pertrūkių tašku.

Yra dvi lūžio taškų klasifikacijos: I tipas ir II tipas.

Apibrėžimas Taškas vadinamas pirmos rūšies nenutrūkstamumo tašku, jei šiame taške yra viena kitai nelygios baigtinės vienpusės ribos.

Apibrėžimas Taškas vadinamas pašalinamo tarpo tašku yva, jei , bet jie nėra lygūs funkcijos reikšmei taške .

Apibrėžimas Taškas vadinamas antrojo tipo nutrūkimo tašku, jei šiame taške vienpusės ribos yra lygios arba viena iš vienpusių ribų yra begalinė arba taške nėra ribos.

· – begalinis;

· – begalinis arba – begalinis;

Ženklai vienoda konvergencijašalia V

Weierstrass ženklas.

Jei nariai funkcinis diapazonas(1) tenkinti srityje nelygybes kur yra kažkokio konvergento terminas skaičių serija tada (1) serija konverguoja tolygiai.

1 teorema Tegu funkcijos yra apibrėžti intervale ir visi yra tęstiniai tam tikru šio intervalo tašku. Jei serija (1) tolygiai susilieja intervale, tada serijų suma taške taip pat bus ištisinė.

Tolydžios funkcijos be išvestinės pavyzdys

Pirmąjį tokio tipo pavyzdį pastatė Weierstrass; jo funkcija apibrėžiama taip:

kur 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Šią eilutę didina konvergencinė progresija, todėl (vienodos eilučių konvergencijos požymiai) ji konverguoja tolygiai, o jos suma yra visur nuolatinė x funkcija. Atlikdamas kruopštų tyrimą, Weierstrassas sugebėjo parodyti, kad vis dėlto jokiu būdu nėra baigtinės išvestinės.

Čia mes apsvarstysime paprastesnį van der Waerden pavyzdį, pagrįstą iš esmės ta pačia idėja, tik virpesių kreivės y = cosωχ yra pakeistos svyruojančiomis trūkinėmis linijomis.

Taigi, pažymėkime absoliuti vertė skirtumas tarp skaičiaus χ ir artimiausio sveikojo skaičiaus. Ši funkcija bus tiesinė kiekviename formos intervale, kur s yra sveikas skaičius; jis yra ištisinis ir turi 1 periodą. Jo grafikas yra laužta linija, parodyta 1 pav.; atskirų trūkinės linijos grandžių kampo koeficientas yra ±1.

Tarkime, kad k=1,2,3,…:

Ši funkcija bus tiesinė formos intervalais ; jis taip pat yra tęstinis ir turi laikotarpį. Jo grafikas taip pat sulaužytas, bet mažesniais dantimis; Pavyzdžiui, 1(b) pav. parodytas funkcijos grafikas. Visais atvejais šlaitai atskiros trūkinės linijos nuorodos ir čia yra lygios ±1.

Dabar apibrėžkime funkciją f (x) visoms tikrosioms x reikšmėms lygybe

Kadangi akivaizdu, kad 0≤ (k =0,1,2,...), taigi, kad serija yra didinama konvergentine progresija, tada (kaip ir Weierstrasso funkcijos atveju) eilutė konverguoja tolygiai, o funkcija yra nuolatinis visur.

Sustokime ties bet kokia verte. Skaičiuodami jį į vidų (kur n =0,1,2,...), pagal trūkumą ir perteklių, įterpsime tarp formos skaičių:

≤ , kur yra sveikas skaičius.

(n = 0,1,2,…).

Akivaizdu, kad uždari intervalai yra įterpti vienas į kitą. Kiekviename iš jų yra taškas, kurio atstumas nuo taško yra lygus pusei intervalo ilgio.

Akivaizdu, kad didėjant n, parinktys .

Dabar sudarykime prieaugių santykį

Bet kai k > n, skaičius yra sveikasis funkcijos periodų kartotinis, atitinkami serijos nariai virsta 0 ir gali būti praleisti. Jei k ≤ n, tai funkcija, kuri yra tiesinė intervale, taip pat bus tiesinė ir jame esančiame intervale, ir

(k=0,1,…,n).

Taigi, pagaliau turime kitaip tariant, šis santykis lygus lyginiam sveikajam skaičiui, kai n yra nelyginis, ir nelyginiam skaičiui, kai n lyginis. Iš čia aišku, kad kai prieaugių santykis su bet kokiu baigtinė riba tendencija negali, todėl mūsų funkcija neturi baigtinės išvestinės.

Pratimų sprendimas

1 pratimas (, Nr. 909)

Funkcija apibrėžiama taip: . Tyrinėkite tęstinumą ir sužinokite egzistavimą

Na yra tolydis kaip daugianario;

Įjungta (0;1) yra tęstinis kaip daugianario;

On (1;2) yra tolydis kaip daugianario;

Įjungta (2; yra nuolatinė kaip elementari funkcija.

Taškai, įtartini dėl plyšimo

Kadangi kairioji riba yra lygi dešiniajai ribai ir lygi funkcijos reikšmei taške, funkcija taške yra ištisinė

Kadangi kairioji riba yra lygi funkcijos reikšmei taške, funkcija taške yra nepertraukiama.

1 būdas. Iš tikrųjų taške nėra baigtinės funkcijos išvestinės, tarkime priešingai. Tegul taške yra baigtinė funkcijos išvestinė yra tęstinis taške (pagal 1 teoremą: jei funkcija taške yra diferencijuota, tada ji yra tolydi.

2 būdas. Raskime funkcijos vienpuses ribas taške x =0.

2 pratimas (, №991)

Parodykite tą funkciją turi nenutrūkstamą išvestinę.

Raskime funkcijos išvestinę.

Taške riba neegzistuoja nenutrūkstamumas

Nes – be galo maža funkcija, - ribotas.

Įrodykime, kad funkcija taške neturi ribų.

Norėdami tai įrodyti, pakanka parodyti, kad yra dvi argumentų reikšmių sekos, kurios konverguoja į 0, o tai nesutampa su

Išvestis: funkcija taške neturi ribų.

3 pratimas (, Nr. 995)

Parodykite, kad funkcija kur yra ištisinė funkcija ir neturi išvestinės taške . Kam lygios vienpusės išvestinės priemonės?

Vienpusės ribos nėra lygios, funkcija taške neturi išvestinės.

4 pratimas (, Nr. 996)

Sukurkite tęstinės funkcijos, kuri tam tikruose taškuose neturi išvestinės funkcijos, pavyzdį:

Apsvarstykite funkciją taškuose

Raskime vienpuses ribas

Vienpusės ribos nėra lygios, funkcija taške neturi išvestinės. Panašiai funkcija neturi išvestinių kituose taškuose

5 pratimas (, Nr. 125)

Parodykite, kad funkcija taške neturi išvestinės.

Raskime funkcijos prieaugį taške

Sukurkime funkcijos padidėjimo taške santykį su argumento prieaugiu

Eikime iki ribos

6 pratimas (, №128)

Parodykite tą funkciją taške išvestinės nėra.

Paimkime prieaugį Duokime tašką prieaugį, kurį gausime

Raskime funkcijos reikšmę taškuose ir

Raskime funkcijos prieaugį taške

Sukurkime funkcijos padidėjimo taške santykį su argumento prieaugiu

Eikime iki ribos

Išvada: taške neturi baigtinės išvestinės.

7 pratimas (, №131)

Išnagrinėkite funkciją tęstinumui

– taškas įtartinas dėl plyšimo

Kadangi kairioji riba yra lygi funkcijos reikšmei taške, tada funkcija taške yra ištisinė ir yra pirmosios rūšies nenuoseklumas.

Išvada

IN kursinis darbas pateikta medžiaga, susijusi su „Nuolatinių, bet nediferencijuojamų funkcijų“ samprata, pasiekti šio darbo tikslai, išspręstos problemos.

Nuorodos

1. B. P. Demidovičius, / Matematinės analizės eigos uždavinių rinkinys. Pamoka Fizikos ir matematikos fakulteto studentams pedagoginiai institutai. – M.: Švietimas, 1990 –624 p.

2. G. N. Berman, / Uždavinių rinkinys matematinės analizės eigai. – M.: Nauka, 1977 – 416 p.

3. G. M. Fikhtengolts, / Kursas diferencialinis ir integralinis skaičiavimas II t. - M., Mokslas, 1970-800 m.

4. I.A. Vinogradova, /Matematinės analizės užduotys ir pratimai, 1 dalis. – M.: Bustard, 2001 – 725 p.

5. Interneto šaltinis \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. Interneto šaltinis \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Lėktuve sukonstruokime įdomų rinkinį IN taip: padalinkite, kvadratuokite tiesiomis linijomis
iki 9 vienodi kvadratai ir išmeskite penkis iš jų atvirus, o ne greta pradinio kvadrato viršūnių. Tada mes taip pat padalijame kiekvieną iš likusių kvadratų į 9 dalis ir išmetame penkis iš jų ir pan. Aibė, likusi po suskaičiuojamo žingsnių skaičiaus, žymima B ir paskambinsim Sierpinskio kapinės. Apskaičiuokime išmestų kvadratų plotą:

Sierpinskio kapinės yra tobula ir niekur nestora daugybė.

Atkreipkime dėmesį į aibės fraktalinę struktūrą.

2.2 Kantoro šukos

Paskambinkime Kantorinės šukos daug D lėktuve Oxy, susidedantis iš visų taškų
, kurių koordinatės atitinka šias sąlygas:
, Kur
- Ant ašies nustatytas kantorius Oy. Cantor šukos yra puikus niekur tankus rinkinys lėktuve. Daugelis D susideda iš visų taškų
originalus vieneto kvadratas, kurių abscisės yra savavališkos
, o ordinates galima parašyti kaip trejetą trupmeną, kurios trejeto ženklų tarpe nėra vieneto.

Ar galima nustatyti B(Sierpinskių kapinės) ir D(Cantor šukos) išreikšti per Cantor rinkinį
naudojant segmento komplemento ir Dekarto sandaugos operacijas? Akivaizdu, kad rinkiniai B Ir D išreikšta paprastai:

B=
x

D= x

3 Cantor funkcija

Ar galima nenutrūkstamai susieti aibę, kuri niekur nėra tanki atkarpoje, į patį atkarpą?

Taip, paimkime Cantor rinkinį, kuris niekur nėra tankus. Pirmajame konstravimo etape nustatome funkcijos reikšmę 0,5 gretimo pirmosios rūšies intervalo taškuose. Antrame žingsnyje kiekvienam gretimam antrojo tipo intervalui priskiriame atitinkamai funkcijos reikšmę 0,25 ir 0,75. Tie. atrodo, kad kiekvieną segmentą padaliname į ašį Oy per pusę ( y i) ir atitinkamame gretimame intervale nustatykite funkcijos reikšmę, lygią reikšmei yi.

Dėl to gavome nemažėjančią funkciją (tai buvo įrodyta kurse „Pasirinkti matematinės analizės skyriai“), apibrėžtą atkarpoje ir konstantą tam tikroje kiekvieno taško kaimynystėje iš aibės \
. Sukonstruota funkcija
paskambino Cantor funkcija(Cantor funkcija), o jos grafikas yra žemiau „velnio laiptai“.

Atkreipkite dėmesį į funkcijos fraktalinę struktūrą:

Funkcija
tenkina šią nelygybę:

Cantor funkcija yra nuolatinė intervale. Jis nemažėja ir jo verčių rinkinys sudaro visą segmentą. Todėl funkcija
neturi šuolių. Ir todėl monotoninė funkcija negali turėti nepertraukiamumo taškų, išskyrus šuolius (žr. tęstinumo kriterijų monotoniškos funkcijos), tada jis yra tęstinis.

Įdomus pastebėjimas yra tas, kad tolydžios Cantor funkcijos grafikas
Neįmanoma piešti „nepakėlus pieštuko nuo popieriaus“.

Funkcija, kuri yra nuolatinė visur, bet niekur nesiskirianti

Sukurkime pagalbinę funkciją
segmente žingsnis po žingsnio. Nuliniame žingsnyje nustatysime du taškus:

Ir
.

Toliau pataisome parametrą . Pirmajame ir vėlesniuose žingsniuose nurodysime taškus pagal šią taisyklę: už kiekvienus du anksčiau sukonstruotus taškus, esančius greta abscisių ašies Ir pastatysime du naujus taškus Ir centre simetriškas taškais apibrėžto stačiakampio centro atžvilgiu Ir su koeficientu k. Tai yra, pirmame žingsnyje nurodomi du nauji taškai:

Ir
ir kt.

Įjungta (m+1)- om žingsnis be anksčiau sukonstruotų taškų su abscisėmis

Priklausomai nuo to, kuris iš gretimų taškų arba aukščiau, naudokite kairę arba dešinę schemą. Pirmajame žingsnyje, kaip parodyta aukščiau, sutinkame a = b = 1.

Konstrukciją kartojame suskaičiuojamą skaičių kartų, kai m = 1, 2, 3, …. Dėl to mes gausime fraktalą, kuris bus panašus iki bet kurios kiekvienos juostelės dalies afininės transformacijos (ištempimo, suspaudimo, pasukimo):

;