Nižnij Novgorodo valstybinis technikos universitetas
juos. A.E. Aleksejeva
Tikimybių teorijos disciplinos santrauka
Užbaigė: Ruchina N.A gr 10MEnz
Patikrintas: Gladkovas V.V.
Nižnij Novgorodas, 2011 m
Tikimybių teorija……………………………………
Tikimybių teorijos dalykas…………………………
Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos……………
Atsitiktiniai įvykiai, įvykių tikimybė………………………………………………………………
Ribinės teoremos……………………………………
Atsitiktiniai procesai…………………………………………………………
Istorinis fonas………………………………………………………
Naudota literatūra……………………………………………………………
Tikimybių teorija
Tikimybių teorija - matematikos mokslas, leidžiantis kai kurių tikimybes atsitiktiniai įvykiai rasti kitų atsitiktinių įvykių, tam tikru būdu susijusių su pirmuoju, tikimybes.
Teiginys, kad įvykis įvyksta su tikimybe , lygus, pavyzdžiui, 0,75, savaime nereiškia galutinės reikšmės, nes mes siekiame patikimų žinių. Galutinė kognityvinė vertė yra tie tikimybių teorijos rezultatai, leidžiantys teigti, kad bet kokio įvykio įvykimo tikimybė A labai artima vienybei arba (tai yra ta pati) tikimybei, kad įvykis neįvyks A labai mažas. Remiantis principu „nepaisyti pakankamai mažų tikimybių“, toks įvykis pagrįstai laikomas praktiškai tikru. Tokio pobūdžio išvados, turinčios mokslinį ir praktinį interesą, paprastai grindžiamos prielaida, kad įvykio įvykis arba neįvykimas A priklauso nuo daugybės atsitiktinių veiksnių, mažai susijusių vienas su kitu . Todėl taip pat galime sakyti, kad tikimybių teorija yra matematikos mokslas, kuris išaiškina modelius, atsirandančius sąveikaujant daugeliui atsitiktinių veiksnių.
Tikimybių teorijos dalykas
Tikimybių teorijos dalykas. Apibūdinti natūralų ryšį tarp tam tikrų sąlygų S ir renginys A, kurių atsiradimą ar neįvykimą tam tikromis sąlygomis galima tiksliai nustatyti, gamtos mokslai dažniausiai naudoja vieną iš šių dviejų schemų:
a) kai tenkinamos sąlygos S ateina įvykis A. Pavyzdžiui, visi klasikinės mechanikos dėsniai turi tokią formą, kuri teigia, kad duota pradines sąlygas ir jėgų, veikiančių kūną ar kūnų sistemą, judėjimas vyks vienareikšmiškai apibrėžtu būdu.
b) Esant sąlygoms S renginys A turi tam tikrą tikimybę P(A/S), lygus r. Pavyzdžiui, radioaktyviosios spinduliuotės dėsniai teigia, kad kiekvienai radioaktyviai medžiagai yra tam tikra tikimybė, kad duotas kiekis medžiagos kiekis suyra per tam tikrą laikotarpį N atomai.
Pavadinkime tai renginio dažnumu Ašioje serijoje nuo n testai (tai yra iš n pakartotinis sąlygų įgyvendinimas S) požiūris h = m/n numeriai m tie testai, kuriuose A atėjo iki bendro jų skaičiaus n. Renginio prieinamumas A sąlygomis S tam tikra tikimybė, lygi p, pasireiškia tuo, kad beveik kiekvienoje pakankamai ilgoje testų serijoje įvykio dažnumas A maždaug lygus r.
Statistiniai modeliai, ty modeliai, aprašyti b tipo schema, pirmą kartą buvo aptikti lošimo žaidimuose, tokiuose kaip kauliukai. Statistiniai gimimo ir mirties modeliai taip pat žinomi labai seniai (pavyzdžiui, tikimybė, kad naujagimis bus berniukas, yra 0,515). 19 amžiaus pabaiga ir XX amžiaus I pusė. pasižymėjo daugybės statistinių dėsnių atradimu fizikoje, chemijoje, biologijoje ir kt.
Galimybė taikyti tikimybių teorijos metodus, tiriant statistinius modelius, susijusius su viena nuo kitos labai nutolusiomis mokslo sritimis, grindžiama tuo, kad įvykių tikimybės visada tenkina tam tikrus paprastus ryšius. Įvykių tikimybių savybių tyrimas remiantis šiais paprastais ryšiais yra tikimybių teorijos dalykas.
Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos
Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Pagrindinės tikimybių teorijos, kaip matematinės disciplinos, sąvokos paprasčiausiai apibrėžiamos vadinamosios elementariosios tikimybių teorijos rėmuose. Kiekvienas išbandymas T, elementariojoje tikimybių teorijoje laikomas toks, kad baigiasi vienu ir tik vienu iš įvykių E 1 ,E 2 ,..., E S (vienaip ar kitaip, priklausomai nuo atvejo). Šie įvykiai vadinami bandymo rezultatais. Su kiekvienu rezultatu E k susietas teigiamas skaičius r Į - šio rezultato tikimybę. Skaičiai p k turi pridėti iki vieno. Tada svarstomi įvykiai A, susidedantis iš to, kad „atsitinka arba E i , arba E j ,..., arba E k“ Rezultatai E i ,E j ,..., E k vadinamos palankiomis A, ir pagal apibrėžimą jie prisiima tikimybę R(A) įvykius A, lygi sumai palankių rezultatų tikimybė:
P(A) =p i +p s +… +p k . (1)
Ypatingas atvejis p 1 =p 2 =...p s = 1/S veda prie formulės
R(A) =r/s.(2)
(2) formulė išreiškia vadinamąjį klasikinį tikimybės apibrėžimą, pagal kurį įvykio tikimybė A lygus skaičiaus santykiui r rezultatai palankūs A, prie numerio s visi „vienodai galimi“ rezultatai. Klasikinis tikimybės apibrėžimas tik sumažina „tikimybės“ sąvoką iki „lygios galimybės“ sąvokos, kuri lieka be aiškaus apibrėžimo.
Pavyzdys. Metant du kauliukus, kiekvienas iš 36 galimų baigčių gali būti pažymėtas ( i,j), Kur i- taškų, išmestų ant pirmo kauliuko, skaičius, j- antroje. Manoma, kad rezultatai yra vienodai tikėtini. Renginys A -„balų suma yra 4“, palankūs yra trys rezultatai (1; 3), (2; 2), (3; 1). Vadinasi, R(A) = 3/36= 1/12.
Remiantis bet kuriais duotais įvykiais, galima nustatyti du naujus įvykius: jų jungtį (sumą) ir derinį (produktą).
Renginys IN vadinamas įvykių telkimu A 1 , A 2 ,..., A r ,-, jei turi formą: „ateina arba A 1 , arba A 2 ,..., arba A r ».
Įvykis C vadinamas įvykių deriniu A 1 , A. 2 ,..., A r , jei turi formą: „ateina ir A 1 , Ir A 2 ,..., Ir A r » . Įvykių susiliejimas žymimas ženklu, o junginys – ženklu. Taigi jie rašo:
B = A 1 A 2 … A r , C = A 1 A 2 … A r .
Renginiai A Ir IN yra vadinami nesuderinamais, jei jų vienu metu įgyvendinti neįmanoma, tai yra, jei tarp testo rezultatų nėra nė vieno palankaus ir A Ir IN.
Įvestos įvykių jungimo ir jungimo operacijos siejamos su dviem pagrindinėmis tikimybių teorijos teoremomis – tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis.
Tikimybių sudėjimo teorema: Jei įvykiai A 1 ,A 2 ,...,A r yra tokie, kad kas du iš jų yra nesuderinami, tada jų susijungimo tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai.
Taigi, aukščiau pateiktame dviejų kauliukų metimo pavyzdyje, įvykis IN –„taškų suma neviršija 4“, yra trijų nesuderinamų įvykių sąjunga A 2 ,A 3 ,A 4, susidedantis iš to, kad taškų suma lygi atitinkamai 2, 3, 4. Šių įvykių tikimybė yra 1/36. 2/36; 3/36. Pagal sudėjimo teoremą tikimybė R(IN) lygus
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Renginiai A 1 ,A 2 ,...,A r vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų sąlyginė tikimybė, jei įvyko bet kuri iš kitų, yra lygi jos „besąlyginei“ tikimybei.
Tikimybių daugybos teorema: Įvykių sujungimo tikimybė A 1 ,A 2 ,...,A r yra lygus įvykio tikimybei A 1 , padauginta iš įvykio tikimybės A 2 paimtas su sąlyga, kad A 1 įvyko,..., padauginta iš įvykio tikimybės A r su sąlyga, kad A 1 ,A 2 ,...,A r-1 atvyko. Nepriklausomiems įvykiams daugybos teorema veda į formulę:
P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)
tai yra, nepriklausomų įvykių sujungimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai. Formulė (3) lieka galioti, jei abiejose jos dalyse kai kurie įvykiai pakeičiami jų priešingybėmis.
Pavyzdys. Į taikinį paleidžiami 4 šūviai, kurių kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,2. Manoma, kad skirtingų šūvių taikiniai yra nepriklausomi įvykiai. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį tiksliai tris kartus?
Kiekvienas bandymo rezultatas gali būti pažymėtas keturių raidžių seka [pvz., (y, n, n, y) reiškia, kad pirmasis ir ketvirtas šūviai pataikė (sėkmingai), o antrasis ir trečiasis šūviai nepataikė (nesėkmė)]. Iš viso bus 2·2·2·2 = 16 rezultatų. Remiantis atskirų šūvių rezultatų nepriklausomumo prielaida, šių rezultatų tikimybei nustatyti turėtų būti naudojama (3) formulė ir pastaba prie jos. Taigi rezultato tikimybė (y, n. n, n) turėtų būti lygi 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; čia 0,8 = 1-0,2 yra tikimybė, kad nepataikysite vienu šūviu. Įvykį „į taikinį pataikyta tris kartus“ palankiai vertina rezultatai (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), kiekvieno tikimybė yra tokia pati:
0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;
todėl reikiama tikimybė lygi
4·0,0064 = 0,0256.
Apibendrinant analizuojamo pavyzdžio samprotavimus, galime išvesti vieną iš pagrindinių tikimybių teorijos formulių: jei įvykiai A 1 , A 2 ,..., A n yra nepriklausomi ir turi kiekvieną tikimybę p, tada atsiradimo tikimybė yra tiksliai m iš kurių yra lygus
P n (m)= C n m p m (1 - p) n-m ; (4)
Čia C n mžymi kombinacijų skaičių n elementai pagal m. Laisvėje n Skaičiavimas naudojant (4) formulę tampa sudėtingas.
Tarp pagrindinių elementariosios tikimybių teorijos formulių yra ir vadinamoji bendrosios tikimybės formulė: jei įvykiai A 1 , A 2 ,..., A r yra nesuderinami poromis ir jų sąjunga yra patikimas įvykis, tada bet kokiam įvykiui IN jo tikimybė lygi jų sumai.
Tikimybių daugybos teorema yra ypač naudinga svarstant sudėtinius testus. Sako, tai išbandymas T sudarytas iš testų T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, Jei kiekvienas bandymo rezultatas T yra kai kurių rezultatų derinys A i ,B j ,..., X k ,Y l atitinkamus testus T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Dėl vienos ar kitos priežasties tikimybės dažnai būna žinomos
P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)
Iš tikimybių (5), naudojant daugybos teoremą, galima nustatyti tikimybes R(E) visiems rezultatams E sudėtinis testas, o kartu ir visų su šiuo testu susijusių įvykių tikimybė. Praktiniu požiūriu svarbiausi yra dviejų tipų sudėtiniai testai:
a) testo komponentai yra nepriklausomi, ty tikimybės (5) lygios besąlyginėms tikimybėms P(A i), P(B j),..., P(Y l);
b) bet kurio testo rezultatų tikimybei turi įtakos tik prieš tai buvusio testo rezultatai, tai yra, tikimybės (5) yra atitinkamai lygios: P(A i), P(B j /A i),..., P(Y i /X k). Šiuo atveju kalbame apie testus, sujungtus Markovo grandine. Visų įvykių, susijusių su sudėtiniu testu, tikimybės čia visiškai nustatomos pagal pradines tikimybes R(A i) ir perėjimo tikimybės P(B j /A i),..., P(Y l /X k).
Pagrindinės tikimybių teorijos formulės
Tikimybių teorijos formulės.
1. Pagrindinės kombinatorikos formulės
a) pertvarkymai.
\b) išdėstymas
c) deriniai 
.
2. Klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Kur yra įvykiui palankių rezultatų skaičius, yra visų elementarių vienodai galimų baigčių skaičius.
3. Įvykių sumos tikimybė
Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui:
Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema:
4. Įvykių įvykimo tikimybė
Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema:
Priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema:
,
Sąlyginė tikimybėįvykiai, jei įvykis įvyko,
Sąlyginė įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyko.
Kombinatorika yra matematikos šaka, nagrinėjanti klausimus, kiek skirtingų derinių, esant tam tikroms sąlygoms, galima sudaryti iš pateiktų objektų. Atsitiktinių įvykių tikimybei įvertinti labai svarbūs kombinatorikos pagrindai, nes Būtent jie leidžia apskaičiuoti iš esmės galimą skirtingų įvykių raidos scenarijų skaičių.
Pagrindinė kombinatorikos formulė
Tegul yra k elementų grupių, o i-oji grupė susideda iš ni elementų. Pažymime po vieną elementą iš kiekvienos grupės. Tada bendras skaičius N būdų, kuriais galima pasirinkti tokį pasirinkimą, lemia santykis N=n1*n2*n3*...*nk.
1 pavyzdys. Paaiškinkime šią taisyklę paprastu pavyzdžiu. Tegul yra dvi elementų grupės, ir pirmoji grupė susideda iš n1 elementų, o antroji - iš n2 elementų. Kiek skirtingų elementų porų galima sudaryti iš šių dviejų grupių, kad poroje būtų vienas elementas iš kiekvienos grupės? Tarkime, paėmėme pirmąjį elementą iš pirmosios grupės ir, jo nekeisdami, perėjome visas įmanomas poras, keisdami tik elementus iš antrosios grupės. Šiam elementui yra n2 tokių porų. Tada paimame antrą elementą iš pirmosios grupės ir taip pat sudarome visas įmanomas poras. Taip pat bus n2 tokių porų. Kadangi pirmoje grupėje yra tik n1 elementų, iš viso galimi variantai bus n1*n2.
2 pavyzdys. Kiek triženklių lyginių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jei skaitmenys gali kartotis?
Sprendimas: n1=6 (nes galite paimti bet kurį skaičių iš 1, 2, 3, 4, 5, 6 kaip pirmąjį skaitmenį), n2=7 (nes galite paimti bet kurį skaičių nuo 0 kaip antrąjį skaitmenį, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (nes bet koks skaičius nuo 0, 2, 4, 6 gali būti laikomas trečiuoju skaitmeniu).
Taigi, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
Tuo atveju, kai visos grupės susideda iš tas pats numeris elementai, t.y. n1=n2=...nk=n galime daryti prielaidą, kad kiekvienas pasirinkimas atliekamas iš tos pačios grupės, o elementas po pasirinkimo grąžinamas į grupę. Tada visų atrankos metodų skaičius lygus nk Šis atrankos būdas vadinamas atranka su grąžinimu.
Pavyzdys. Kiek keturženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 5, 6, 7, 8?
Sprendimas. Kiekvienam keturženklio skaičiaus skaitmeniui yra penkios galimybės, o tai reiškia, kad N=5*5*5*5=54=625.
Apsvarstykite aibę, susidedančią iš n elementų. Šį aibę vadinsime bendrąja populiacija.
Apibrėžimas 1. n elementų išdėstymas pagal m yra bet kokia tvarkinga m aibė įvairių elementų, pasirinkta iš gyventojų n elementų.
Pavyzdys. Skirtingi trijų elementų (1, 2, 3) išdėstymai po du bus aibės (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Vietos gali skirtis viena nuo kitos tiek elementais, tiek jų tvarka.
Vietų skaičius žymimas A, m nuo n ir apskaičiuojamas pagal formulę:
Pastaba: n!=1*2*3*...*n (skaitykite: „en faktorialus“), be to, daroma prielaida, kad 0!=1.
5 pavyzdys. Kiek yra dviženklių skaičių, kurių dešimčių ir vienetų skaitmenys yra skirtingi ir nelyginiai?
Sprendimas: nes Jei yra penki nelyginiai skaitmenys, būtent 1, 3, 5, 7, 9, tada ši užduotis yra pasirinkti ir sudėti du iš penkių skirtingų skaitmenų į dvi skirtingas pozicijas, t.y. nurodyti skaičiai bus:
2 apibrėžimas. n elementų derinys yra bet kokia netvarkinga m skirtingų elementų rinkinys, parinktas iš n elementų visumos.
6 pavyzdys. Aibės (1, 2, 3) deriniai yra (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Derinių skaičius žymimas Cnm ir apskaičiuojamas pagal formulę: 
3 apibrėžimas. n elementų permutacija yra bet kokia tvarkinga šių elementų aibė.
7a pavyzdys. Visos galimos aibės, susidedančios iš trijų elementų (1, 2, 3), permutacijos yra: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
Įvairių n elementų permutacijų skaičius žymimas Pn ir apskaičiuojamas pagal formulę Pn=n!.
8 pavyzdys. Kiek būdų septynios skirtingų autorių knygos gali būti išdėstytos vienoje eilėje lentynoje?
Sprendimas: ši problema susijusi su septynių permutacijų skaičiumi skirtingos knygos. Yra P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 knygų išdėstymo būdų.
Diskusija. Matome, kad galimų kombinacijų skaičius gali būti skaičiuojamas pagal skirtingas taisykles (permutacijas, derinius, vietas) ir rezultatas bus skirtingas, nes Skaičiavimo principas ir pačios formulės skiriasi. Atidžiai pažvelgę į apibrėžimus pastebėsite, kad rezultatas priklauso nuo kelių veiksnių vienu metu.
Pirma, iš kiek elementų galime sujungti jų aibes (kiek didelė yra elementų visuma).
Antra, rezultatas priklauso nuo mums reikalingų elementų rinkinių dydžio.
Galiausiai svarbu žinoti, ar mums svarbi rinkinio elementų tvarka. Paaiškinkime paskutinį veiksnį naudodami šį pavyzdį.
Pavyzdys. Tėvų susirinkime dalyvauja 20 žmonių. Kiek skirtingų tėvų komiteto sudėties variantų yra, jei jį turi sudaryti 5 žmonės?
Sprendimas: Šiame pavyzdyje mūsų nedomina vardų tvarka komiteto sąraše. Jei dėl to paaiškėja, kad tie patys žmonės yra jo dalis, tada mums tai yra ta pati galimybė. Todėl galime naudoti formulę, kad suskaičiuotume 20 elementų derinių skaičių iš 5.
Viskas bus kitaip, jei kiekvienas komiteto narys iš pradžių bus atsakingas už konkrečią darbo sritį. Tada su ta pačia komiteto sąrašo sudėtimi jame gali būti 5! svarbios permutacijos. Skirtingų (tiek sudėties, tiek atsakomybės srities) variantų skaičius šiuo atveju nustatomas pagal 20 elementų skaičių po 5.
Geometrinis tikimybės apibrėžimas
Įsivaizduokite atsitiktinį testą kaip taško metimą atsitiktinai į kokią nors geometrinę sritį G (tiesioje linijoje, plokštumoje arba erdvėje). Elementarieji rezultatai yra atskiri G taškai, bet koks įvykis yra šios srities poaibis, elementariųjų G rezultatų erdvė. Galime daryti prielaidą, kad visi G taškai yra „lygūs“, o tada tikimybė, kad taškas pateks į tam tikrą poaibį, yra proporcingas jo matui (ilgiui, plotui, tūriui) ir nepriklauso nuo jo vietos bei formos.
Įvykio A geometrinė tikimybė nustatoma pagal ryšį: , kur m(G), m(A) yra visos elementariųjų baigčių ir įvykio A erdvės geometriniai matai (ilgiai, plotai arba tūriai).
Pavyzdys. Spindulio r () apskritimas atsitiktinai išmestas į plokštumą, pavaizduotą lygiagrečiomis 2d pločio juostelėmis, kurių atstumas tarp ašinių linijų lygus 2D. Raskite tikimybę, kad apskritimas susikirs su tam tikra juosta.
Sprendimas. Kaip elementarų šio testo rezultatą, mes atsižvelgsime į atstumą x nuo apskritimo centro iki juostos, esančios arčiausiai apskritimo, vidurio linijos. Tada visa elementariųjų rezultatų erdvė yra segmentas. Apskritimo susikirtimas su juostele įvyks, jei jo centras pateks į juostą, t.y., arba yra nuo juostos krašto mažesniu atstumu nei spindulys, t.y.
Norimą tikimybę gauname: .
Įvykių klasifikavimas į galimus, tikėtinus ir atsitiktinius. Paprastų ir sudėtingų elementarių įvykių sampratos. Operacijos renginiuose. Klasikinis atsitiktinio įvykio tikimybės ir jo savybių apibrėžimas. Kombinatorikos elementai tikimybių teorijoje. Geometrinė tikimybė. Tikimybių teorijos aksiomos.
1. Įvykių klasifikacija
Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra įvykio samprata. Įvykis yra bet koks faktas, kuris gali įvykti dėl patirties ar išbandymo. Patirtis arba bandymas reiškia tam tikros sąlygos įgyvendinimą.
Renginių pavyzdžiai:
– pataikymas į taikinį šaudant iš ginklo (patirtis – šūvio atlikimas; įvykis – pataikyti į taikinį);
– dviejų emblemų praradimas metant monetą tris kartus (patirtis – monetos metimas tris kartus; įvykis – dviejų emblemų praradimas);
– matavimo paklaidos atsiradimas nurodytose ribose matuojant diapazoną iki tikslo (patirtis – diapazono matavimas; įvykis – matavimo paklaida).
Panašių pavyzdžių galima pateikti begalę. Renginiai yra paskirti didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė ir tt
Skiriami bendri ir nebendri renginiai. Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito. Priešingu atveju įvykiai vadinami nesuderinamais. Pavyzdžiui, mesti du kauliukai. Įvykis - trijų taškų gavimas ant pirmo kauliuko, įvykis - trijų taškų gavimas antruoju kauliuku ir-. bendri renginiai. Tegul parduotuvė gauna to paties stiliaus ir dydžio batų partiją, bet skirtingos spalvos. Renginys - atsitiktine tvarka paimtoje dėžutėje bus juodi batai, įvykis - dėžutėje bus rudi batai ir - nesuderinami įvykiai.
Įvykis vadinamas patikimu, jei jis tikrai įvyks tam tikros patirties sąlygomis.
Įvykis vadinamas neįmanomu, jei jis negali įvykti tam tikros patirties sąlygomis. Pavyzdžiui, atvejis, kai standartinė dalis bus paimta iš standartinių dalių partijos, yra patikimas, bet nestandartinės detalės neįmanomas.
Įvykis vadinamas galimu arba atsitiktiniu, jei dėl patirties jis gali pasirodyti, bet gali nepasireikšti. Atsitiktinio įvykio pavyzdys galėtų būti gaminio defektų nustatymas gatavų gaminių partijos tikrinimo metu, perdirbto produkto ir nurodyto produkto dydžio neatitikimas arba vienos iš automatinės valdymo sistemos grandžių gedimas. .
Įvykiai vadinami vienodai įmanomais, jei pagal bandymo sąlygas nė vienas iš šių įvykių nėra objektyviai labiau įmanomas už kitus. Pavyzdžiui, leiskite kelioms gamykloms tiekti elektros lemputes į parduotuvę (ir vienodais kiekiais). Taip pat galimi įvykiai, susiję su elektros lemputės pirkimu bet kurioje iš šių gamyklų.
Svarbi koncepcija yra visa įvykių grupė. Keli šio eksperimento formos įvykiai pilna grupė, jei bent vienas iš jų tikrai atsiras dėl eksperimento. Pavyzdžiui, urnoje yra dešimt kamuoliukų, iš kurių šeši yra raudoni, keturi – balti, o penki – su skaičiais. - raudono rutulio atsiradimas per vieną traukimą, - balto rutulio atsiradimas, - rutulio su skaičiu pasirodymas. Renginiai sudaro ištisą bendrų renginių grupę.
Įveskime priešingo arba papildomo įvykio sampratą. Priešingas įvykis yra įvykis, kuris būtinai turi įvykti, jei koks nors įvykis neįvyksta. Priešingi įvykiai yra nesuderinami ir vieninteliai galimi. Jie sudaro visą įvykių grupę. Pavyzdžiui, jei pagamintų gaminių partiją sudaro geri ir nekokybiški, tai pašalinus vieną prekę ji gali pasirodyti arba gera – įvykis, arba brokuotas – įvykis.
2. Operacijos renginiuose
Kuriant atsitiktinių įvykių tyrimo aparatą ir metodiką tikimybių teorijoje, labai svarbi įvykių sumos ir sandaugos samprata.
Matematikos kursas moksleiviams paruošia daug staigmenų, viena iš jų – tikimybių teorijos problema. Mokiniai sprendžiant tokias užduotis problemų kyla beveik šimtu procentų atvejų. Suprasti ir suprasti šį klausimą, reikia žinoti pagrindines taisykles, aksiomas, apibrėžimus. Norint suprasti knygos tekstą, reikia žinoti visas santrumpas. Siūlome viso to išmokti.
Mokslas ir jo taikymas
Kadangi siūlome avarijos kursas„tikimybių teorija manekenams“, tada pirmiausia turite supažindinti su pagrindinėmis sąvokomis ir raidžių santrumpos. Pirmiausia apibrėžkime pačią „tikimybių teorijos“ sąvoką. Kas tai per mokslas ir kam jis reikalingas? Tikimybių teorija yra viena iš tiriamų matematikos šakų atsitiktiniai reiškiniai ir dydis. Ji taip pat atsižvelgia į modelius, savybes ir operacijas, atliekamas su šiais atsitiktiniais dydžiais. Kam jis skirtas? Mokslas tyrime plačiai paplito gamtos reiškiniai. Bet koks natūralus ir fiziniai procesai negali išsiversti be atsitiktinumo. Net jei eksperimento metu rezultatai buvo užfiksuoti kuo tiksliau, pakartojus tą patį testą, rezultatas greičiausiai nebus toks pat.
Būtinai peržiūrėsime užduočių pavyzdžius, tuo įsitikinsite patys. Rezultatas priklauso nuo daugelio įvairių veiksnių, į kuriuos beveik neįmanoma atsižvelgti ar užregistruoti, tačiau vis dėlto jie turi didžiulę įtaką eksperimento rezultatams. Ryškūs pavyzdžiai Gali pasitarnauti planetų trajektorijos nustatymo ar orų prognozės, tikimybės sutikti pažįstamą žmogų pakeliui į darbą, sportininko šuolio aukščio nustatymo užduotys. Tikimybių teorija taip pat suteikia didelę pagalbą brokeriams biržose. Tikimybių teorijos problema, kurios sprendimas anksčiau turėjo daug problemų, po trijų ar keturių toliau pateiktų pavyzdžių jums taps tik smulkmena.
Renginiai
Kaip minėta anksčiau, mokslas tiria įvykius. Tikimybių teorija, problemų sprendimo pavyzdžius apžvelgsime kiek vėliau, tiria tik vieną tipą – atsitiktinį. Tačiau vis dėlto turite žinoti, kad įvykiai gali būti trijų tipų:
- Neįmanoma.
- Patikimas.
- Atsitiktinis.
Siūlome kiekvieną iš jų šiek tiek aptarti. Neįmanomas įvykis niekada neįvyks, jokiomis aplinkybėmis. Pavyzdžiai: vandens užšaldymas aukštesnėje nei nulio temperatūroje, kubo ištraukimas iš kamuoliukų maišo.
Patikimas įvykis visada įvyksta su 100% garantija, jei tenkinamos visos sąlygos. Pavyzdžiui: gavote darbo užmokesčio už atliktus darbus gavo aukštąjį diplomą profesinį išsilavinimą, jei mokėsi sąžiningai, išlaikei egzaminus ir apgynė diplomą ir pan.
Viskas yra šiek tiek sudėtingiau: eksperimento metu tai gali įvykti arba ne, pavyzdžiui, iš kortų kaladės ištraukus tūzą, atlikus ne daugiau kaip tris bandymus. Rezultatą galite gauti iš pirmo karto arba iš viso ne. Tai yra įvykio, kurį tiria mokslas, tikimybė.
Tikimybė
Tai yra bendrąja prasme patirties, kurioje įvykis įvyksta, sėkmingo rezultato galimybės įvertinimas. Tikimybė įvertinta kokybės lygis, ypač jei kiekybinis įvertinimas neįmanoma ar sunku. Tikimybių teorijos problema su sprendimu, o tiksliau su įvertinimu, apima labai galimos sėkmingo rezultato dalies radimą. Tikimybė matematikoje yra skaitinės įvykio charakteristikos. Ji paima reikšmes nuo nulio iki vieneto, žymimos raide P. Jei P lygus nuliui, tai įvykis negali įvykti, jei jis yra vienas, tada įvykis įvyks šimtaprocentine tikimybe. Kuo daugiau P artėja prie vieno, tuo didesnė sėkmingo rezultato tikimybė, ir atvirkščiai, jei jis artimas nuliui, tada įvykis įvyks su maža tikimybe.
Santrumpos
Tikimybės problemą, su kuria netrukus susidursite, gali būti šios santrumpos:
- P ir P(X);
- A, B, C ir tt;
Galimi ir kiti: prireikus bus pateikti papildomi paaiškinimai. Pirmiausia siūlome paaiškinti aukščiau pateiktas santrumpas. Pirmasis mūsų sąraše yra faktorinis. Kad būtų aišku, pateikiame pavyzdžius: 5!=1*2*3*4*5 arba 3!=1*2*3. Toliau, į garbanoti petnešos parašykite duotus rinkinius, pavyzdžiui: (1;2;3;4;...;n) arba (10;140;400;562). Toliau pateiktas žymėjimas yra rinkinys natūraliuosius skaičius, gana dažnai randama tikimybių teorijos užduotyse. Kaip minėta anksčiau, P yra tikimybė, o P(X) yra įvykio X tikimybė. Įvykiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis, pvz.: A - gotcha baltas rutulys, B - mėlyna, C - raudona arba, atitinkamai, . Mažoji raidė n yra visų galimų rezultatų skaičius, o m yra sėkmingų rezultatų skaičius. Iš čia gauname radimo taisyklę klasikinė tikimybė V elementarios užduotys: P=m/n. Tikimybių teorija „manekenams“ tikriausiai apsiriboja šiomis žiniomis. Dabar, norėdami konsoliduoti, pereikime prie sprendimo.
1 uždavinys. Kombinatorika
Studentų grupę sudaro trisdešimt žmonių, iš kurių reikia išrinkti viršininką, jo pavaduotoją ir profesinės sąjungos vadovą. Būtina rasti daugybę būdų, kaip tai padaryti šis veiksmas. Panaši užduotis gali pasirodyti ir vieningame valstybiniame egzamine. Tikimybių teorija, kurios uždavinių sprendimą dabar svarstome, gali apimti kombinatorikos kurso uždavinius, ieškant klasikinės tikimybės, geometrijos ir uždavinių. pagrindinės formulės. IN šiame pavyzdyje Iš kombinatorikos kurso sprendžiame uždavinį. Pereikime prie sprendimo. Ši užduotis yra pati paprasčiausia:
- n1=30 - galimi studentų grupės prefektai;
- n2=29 – galintys užimti pavaduotojo pareigas;
- n3=28 asmenys pretenduoja į profesinių sąjungų narius.
Tereikia surasti galimą variantų skaičių, tai yra padauginti visus rodiklius. Rezultate gauname: 30*29*28=24360.
Tai bus atsakymas į užduotą klausimą.
2 uždavinys. Pertvarkymas
Konferencijoje kalba 6 dalyviai, eilė nustatoma burtų keliu. Turime rasti kiekį galimi variantai burtų traukimas. Šiame pavyzdyje mes svarstome šešių elementų permutaciją, tai yra, turime rasti 6!
Santrumpos pastraipoje jau minėjome, kas tai yra ir kaip jis apskaičiuojamas. Iš viso pasirodo, kad yra 720 piešimo variantų. Iš pirmo žvilgsnio sudėtinga užduotis turi labai trumpą ir paprastą sprendimą. Tai yra užduotys, kurias tikimybių teorija svarsto. Kaip daugiau spręsti problemas aukšto lygio, pažvelgsime į šiuos pavyzdžius.
3 problema
Dvidešimt penkių mokinių grupė turi būti suskirstyta į tris pogrupius po šešis, devynis ir dešimt žmonių. Turime: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Belieka pakeisti reikšmes reikiamą formulę, gauname: N25(6,9,10). Atlikę paprastus skaičiavimus gauname atsakymą - 16 360 143 800 Jei užduotyje neparašyta, ką reikia gauti skaitinis sprendimas, tada galime pateikti faktorialų pavidalu.
4 problema
Trys žmonės atspėjo skaičius nuo vieno iki dešimties. Raskite tikimybę, kad kažkieno skaičiai sutaps. Pirmiausia turime išsiaiškinti visų baigčių skaičių – mūsų atveju tai yra tūkstantis, tai yra dešimt iki trečios laipsnio. Dabar suraskime variantų skaičių, kai visi atspėjo skirtingi skaičiai, Norėdami tai padaryti, padauginame dešimt, devyni ir aštuoni. Iš kur atsirado šie skaičiai? Pirmasis atspėja skaičių, jis turi dešimt variantų, antrasis jau turi devynis, o trečiajam reikia rinktis iš likusių aštuonių, todėl gauname 720 galimų variantų. Kaip jau skaičiavome anksčiau, iš viso yra 1000 variantų, o be pakartojimų yra 720, todėl mus domina likę 280. Dabar reikia klasikinės tikimybės nustatymo formulės: P = . Gavome atsakymą: 0,28.
12 skyrius. Tikimybių teorija.
1. Įvadas
2. Paprasčiausios tikimybių teorijos sąvokos
3. Įvykių algebra
4. Atsitiktinio įvykio tikimybė
6. Klasikinės tikimybės. Kombinatorikos formulės.
7. Sąlyginė tikimybė. Renginių nepriklausomybė.
8. Formulė visa tikimybe ir Bayes formules
9. Pakartotinio bandymo schema. Bernulio formulė ir jos asimptotika
10. Atsitiktiniai kintamieji (RV)
11. Eilė DSV platinimai
12. Integruota funkcija paskirstymas
13. NSV pasiskirstymo funkcija
14. NSV tikimybės tankis
15. Skaitmeninės charakteristikos atsitiktiniai dydžiai
16. Svarbių SV paskirstymų pavyzdžiai
16.1. Binominis skirstinys DSV.
16.2. Puasono pasiskirstymas
16.3. Vienodas paskirstymas NSV.
16.4. Normalus pasiskirstymas.
17. Tikimybių teorijos ribinės teoremos.
Įvadas
Tikimybių teorija, kaip ir daugelis kitų matematikos disciplinų, išsivystė iš praktikos poreikių. Tuo pačiu, tiriant realų procesą, reikėjo sukurti abstraktų matematinį realaus proceso modelį. Dažniausiai pagrindinis, reikšmingiausias varomosios jėgos realus procesas, išbraukiant iš antrinių, kurie vadinami atsitiktiniais. Žinoma, kas laikoma pagrindiniu, o kas antraeiliu – atskira užduotis. Šio klausimo sprendimas lemia abstrakcijos, paprastumo ar sudėtingumo lygį matematinis modelis ir modelio adekvatumo realiam procesui lygis. Iš esmės bet koks abstraktus modelis yra dviejų priešingų siekių rezultatas: paprastumas ir adekvatumas tikrovei.
Pavyzdžiui, šaudymo teorijoje buvo sukurtos gana paprastos ir patogios formulės sviedinio skrydžio trajektorijai nustatyti iš taške esančio ginklo (1 pav.).
 |
Tam tikromis sąlygomis minėtos teorijos pakanka, pavyzdžiui, masinio artilerijos rengimo metu.
Tačiau aišku, kad iš vieno ginklo vienodomis sąlygomis paleidus kelis šūvius, trajektorijos, nors ir artimos, vis tiek bus skirtingos. Ir jei tikslinis dydis yra mažas, palyginti su sklaidos sritimi, kyla konkretūs klausimai, susiję konkrečiai su veiksnių, į kuriuos neatsižvelgta siūlomame modelyje, įtaka. Tokiu atveju atsižvelgs ir į papildomus veiksnius sudėtingas modelis, kurio beveik neįmanoma naudoti. Be to, šių atsitiktinių veiksnių yra daug, jų prigimtis dažniausiai nežinoma.
Aukščiau pateiktame pavyzdyje tokie konkretūs klausimai, kurie peržengia deterministinis modelis, ar, pavyzdžiui, yra šie: kiek šūvių reikia iššauti, kad būtų garantuotas pataikymas į taikinį su tam tikru pasitikėjimu (pavyzdžiui, į )? Kaip turėtų būti nustatytas nulis, kad būtų panaudotas kuo mažesnis sviedinių kiekis pataikyti į taikinį? ir tt
Kaip pamatysime vėliau, žodžiai „atsitiktinis“ ir „tikimybė“ taps griežti matematinius terminus. Tačiau jie yra labai dažni kasdieniame gyvenime šnekamoji kalba. Manoma, kad būdvardis „atsitiktinis“ yra „natūralaus“ priešingybė. Tačiau taip nėra, nes gamta sukurta taip, kad atsitiktiniai procesai atrasti modelius, bet tam tikromis sąlygomis.
Pagrindinė sąlyga vadinama masinis charakteris.
Pavyzdžiui, jei metate monetą, negalite nuspėti, kas pasirodys, herbo ar skaičiaus, galite tik spėti. Tačiau jei išversite šią monetą didelis skaičius kartų, kad iškritusio herbo dalis nedaug skirsis nuo tam tikro skaičiaus, artimo 0,5 (toliau šį skaičių vadinsime tikimybe). Be to, padidėjus metimų skaičiui, nuokrypis nuo šio skaičiaus mažės. Ši savybė vadinama tvarumą vidutiniai rodikliai (in šiuo atveju- herbų akcijos). Reikia pasakyti, kad pirmaisiais tikimybių teorijos žingsniais, kai reikėjo praktiškai patikrinti, ar yra stabilumo savybė, net ir didieji mokslininkai nemanė, kad sunku atlikti savo patikrinimą. Taigi gerai žinomas Buffono eksperimentas, kuris monetą metė 4040 kartų, o herbas iškilo 2048 kartus, todėl trupmena (arba santykinis dažnis) herbo yra 0,508, o tai intuityviai artima laukiamam skaičiui 0,5.
Todėl paprastai pateikiamas apibrėžimas tikimybių teorijos dalykas kaip matematikos šaka, tirianti masinių atsitiktinių procesų dėsningumus.
Reikia pasakyti, kad, nepaisant to, kad didžiausi tikimybių teorijos pasiekimai datuojami praėjusio amžiaus pradžioje, ypač dėka aksiominė konstrukcija teorijos A. N. darbuose. Kolmogorovas (1903-1987), susidomėjimas avarijų tyrimu atsirado seniai.
Pradiniai interesai buvo susiję su bandymu pritaikyti skaitinį požiūrį į azartinius lošimus. Pirmųjų užtenka įdomių rezultatų tikimybių teorijos dažniausiai siejamos su L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) ir N. Tartaglia (1556) darbais.
Vėliau pamatus padėjo B. Pascalis (1623-1662), P. Fermatas (1601-1665), H. Huygensas (1629-1695). klasikinė teorija tikimybės. XVIII amžiaus pradžioje J. Bernoulli (1654-1705) suformavo atsitiktinio įvykio tikimybės sampratą kaip palankių šansų skaičiaus santykį su visų įmanomų skaičiumi. E. Borelis (1871-1956), A. Lomnickis (1881-1941), R. Misesas (1883-1953) savo teorijas kūrė remdamiesi aibės masto sąvokos vartojimu.
Aibės teorinis požiūris buvo pateiktas 1933 m. A.N. Kolmogorovas savo monografijoje „Pagrindinės tikimybių teorijos sampratos“. Nuo šio momento tikimybių teorija tampa griežtu matematiniu mokslu.
Rusų matematikai P.L. daug prisidėjo prie tikimybių teorijos kūrimo. Čebyševas (1821-1894), A.A. Markovas (1856-1922), S.N. Bernsteinas (1880-1968) ir kt.
Tikimybių teorija šiuo metu sparčiai vystosi.
Paprasčiausios tikimybių teorijos sąvokos
Kaip ir bet kuri matematinė disciplina, tikimybių teorija prasideda nuo paprasčiausių sąvokų, kurios nėra apibrėžtos, o tik paaiškinamos, įvedimu.
Viena iš pagrindinių pirminių sąvokų yra patirtį. Patirtis suprantama kaip tam tikras sąlygų rinkinys, kurį galima pakartoti neribotą skaičių kartų. Kiekvieną šio komplekso įgyvendinimą vadinsime patirtimi arba išbandymu. Eksperimento rezultatai gali būti skirtingi, ir čia atsiranda atsitiktinumo elementas. Įvairūs patirties rezultatai arba baigtys vadinami įvykius(o tiksliau atsitiktiniai įvykiai). Taigi eksperimento įgyvendinimo metu gali įvykti vienoks ar kitoks įvykis. Kitaip tariant, atsitiktinis įvykis yra eksperimento rezultatas, kuris gali įvykti (pasirodyti) arba neįvykti eksperimento įgyvendinimo metu.
Patirtis bus žymima raide , o atsitiktiniai įvykiai paprastai žymimi didžiosiomis raidėmis
Dažnai eksperimento metu galima iš anksto nustatyti jo rezultatus, kuriuos galima pavadinti paprasčiausiais, kurių negalima išskaidyti į paprastesnius. Tokie renginiai vadinami elementarūs įvykiai(arba atvejai).
1 pavyzdys. Leiskite išmesti monetą. Eksperimento rezultatai: herbo praradimas (šį įvykį žymime raide); skaičių praradimas (žymimas ). Tada galime rašyti: patirtis = (monetos metimas), rezultatai: Aišku, kad elementarūs įvykiai in šią patirtį. Kitaip tariant, surašyti viską elementarūs įvykiai patirtis tai visiškai apibūdina. Šiuo atžvilgiu sakysime, kad patirtis yra elementarių įvykių erdvė, o mūsų atveju patirtį galima trumpai užrašyti forma: = (monetos metimas) = (G; C).
2 pavyzdys. =(moneta metama du kartus)= 
Čia pateikiamas žodinis patirties aprašymas ir visų elementarių įvykių sąrašas: tai reiškia, kad pirmiausia ant pirmojo monetos metimo nukrito herbas, antroje – irgi herbas; reiškia, kad ant pirmojo monetos metimo iškyla herbas, antroje – skaičius ir t. t.
3 pavyzdys. Koordinačių sistemoje taškai metami į kvadratą. Šiame pavyzdyje elementarieji įvykiai yra taškai su koordinatėmis, kurios tenkina nurodytas nelygybes. Trumpai parašyta taip:
Dvitaškis garbanotuose skliaustuose reiškia, kad jį sudaro taškai, bet ne bet kokie, o tik tie, kurie atitinka po dvitaškio nurodytą sąlygą (ar sąlygas) (mūsų pavyzdyje tai yra nelygybės).
4 pavyzdys. Moneta metama tol, kol pasirodo pirmasis herbas. Kitaip tariant, monetos metimas tęsiamas tol, kol nukrenta galva. Šiame pavyzdyje galima išvardyti elementarius įvykius, nors jie begalinis skaičius:
Atkreipkite dėmesį, kad 3 ir 4 pavyzdžiuose elementarių įvykių erdvė turi begalinį skaičių rezultatų. 4 pavyzdyje jie gali būti išvardyti, t.y. perskaičiuoti. Toks rinkinys vadinamas skaičiuojamuoju. 3 pavyzdyje tarpas yra nesuskaičiuojamas.
Pristatykime dar du įvykius, kurie yra bet kokioje patirtyje ir kurie turi didelę teorinę reikšmę.
Pavadinkime renginį neįmanoma, nebent dėl patirties tai būtinai nepasitaiko. Ją žymėsime tuščios aibės ženklu. Priešingai, vadinamas įvykis, kuris būtinai įvyks dėl patirties patikimas. Patikimas įvykis žymimas taip pat, kaip ir pati elementarių įvykių erdvė – raide.
Pavyzdžiui, kai mesti kauliukaiįvykis (riedant mažiau nei 9 balus) yra patikimas, o įvykis (riedant lygiai 9 taškus) neįmanomas.
Taigi, elementarių įvykių erdvė gali būti suteikta žodinis aprašymas, išvardijant visus jo elementarius įvykius, nurodant taisykles ar sąlygas, pagal kurias gaunami visi jo elementarūs įvykiai.
Įvykių algebra
Iki šiol mes kalbėjome tik apie elementarius įvykius kaip tiesioginius patirties rezultatus. Tačiau patirties rėmuose, be elementarių, galime kalbėti ir apie kitus atsitiktinius įvykius.
5 pavyzdys. Metant kauliuką, be elementarių įvykių, atitinkamai vienas, du,..., šeši iškritę, galime kalbėti apie kitus įvykius: (iškritimas iš lyginio skaičiaus), (iškritimas iš nelyginio skaičiaus) , (atmetant skaičių, kuris yra trijų kartotinis), (išmetant skaičių, mažesnį nei 4) ir kt. Šiame pavyzdyje nurodyti įvykiai, išskyrus žodinė užduotis, galima nurodyti išvardijant elementarius įvykius:
Naujų įvykių formavimas iš elementarių, kaip ir iš kitų įvykių, atliekamas naudojant operacijas (ar veiksmus) su įvykiais.
Apibrėžimas. Dviejų įvykių rezultatas yra įvykis, kurį sudaro tai, kad eksperimento rezultatas įvyks Ir renginys, Irįvykis, t. y. abu įvykiai įvyks kartu (vienu metu).
Produkto ženklas (taškas) dažnai praleidžiamas:
Apibrėžimas. Dviejų įvykių suma yra įvykis, kurį sudaro tai, kad eksperimento rezultatas įvyks arba renginys, arba renginys, arba abu kartu (tuo pačiu metu).
Abiejuose apibrėžimuose sąmoningai akcentavome jungtukus Ir Ir arba- norėdami atkreipti skaitytojo dėmesį į jūsų kalbą sprendžiant problemas. Jei tariame jungtuką „ir“, tada mes kalbame apie apie įvykių atsiradimą; Jei tariamas jungtukas „arba“, įvykiai turi būti pridėti. Tuo pačiu metu pastebime, kad jungtukas „arba“ kasdieninėje kalboje dažnai vartojamas siekiant atskirti vieną iš dviejų: „tik arba tik“. Tikimybių teorijoje tokia išimtis nelaikoma: ir , ir , ir reiškia įvykio įvykį
Jei pateikiama išvardijant elementarius įvykius, tai sudėtingus įvykius galima lengvai gauti naudojant nurodytas operacijas. Norėdami gauti, turite rasti visus elementarius įvykius, kurie priklauso abiem įvykiams, jei jų nėra, tada įvykių sumą taip pat lengva sudaryti: reikia paimti bet kurį iš dviejų įvykių ir pridėti prie jo tuos elementarius įvykius; kitas įvykis, neįtrauktas į pirmąjį.
5 pavyzdyje gauname, ypač
Įvestos operacijos vadinamos dvejetainiais, nes apibrėžta dviem įvykiams. Didelę reikšmę turi ši unarinė operacija (nustatyta vienam įvykiui): įvykis vadinamas priešingaįvykis, jei jis susideda iš to, kad tam tikroje patirtyje įvykis neįvyko. Iš apibrėžimo aišku, kad kiekvienas įvykis ir jo priešingybė turi šias savybes: Įvesta operacija iškviečiama papildymasįvykiai A.
Iš to išplaukia, kad jei pateikiamas elementarių įvykių sąrašas, tai, žinant įvykio specifiką, lengva gauti, kad jis susideda iš visų elementarių erdvės įvykių, kurie konkrečiai nepriklauso, pavyzdžiui, 5 įvykiui
Jei skliaustų nėra, tai atliekant operacijas nustatomas toks prioritetas: sudėjimas, daugyba, sudėjimas.
Taigi, pasitelkus įvestas operacijas, elementariųjų įvykių erdvė pasipildo kitais atsitiktiniais įvykiais, kurie sudaro vadinamąjį. įvykių algebra.
6 pavyzdys.Šaulys į taikinį paleido tris šūvius. Apsvarstykite įvykius = (šaulys pataikė į taikinį, kai i-tas šūvis), i = 1,2,3.
Iš šių įvykių sukomponuokime keletą įvykių (nepamirškime ir priešingų). Ilgų komentarų neteikiame; Tikime, kad skaitytojas juos atliks savarankiškai.
Įvykis B = (visi trys šūviai pataikė į taikinį). Daugiau informacijos: B = ( Ir pirma, Ir antra, Ir trečias šūvis pataikė į taikinį). Naudota sąjunga Ir, todėl įvykiai padauginami:
Taip pat:
C = (nė vienas šūvis nepataikė į taikinį) 
E = (vienas šūvis pasiekė tikslą)
D = (taikinys antruoju šūviu) = ;
F = (į taikinį pataikė du šūviai)
N = (bent vienas smūgis pataikys į taikinį)
Kaip žinoma, matematikoje puiki vertė turi geometrinę analitinių objektų, sąvokų ir formulių interpretaciją.
Tikimybių teorijoje patogu vizualiai pavaizduoti (geometrinės interpretacijos) patirtį, atsitiktinius įvykius ir operacijas su jais vadinamųjų formų. Eulerio-Venno diagramos. Esmė ta, kad kiekviena patirtis tapatinama (interpretuojama) su taškų metimu į tam tikrą kvadratą. Taškai mesti atsitiktinai, kad visi taškai turėtų vienodą galimybę patekti į bet kurią kvadrato vietą. Aikštė apibrėžia nagrinėjamos patirties rėmus. Kiekvienas patirties įvykis tapatinamas su tam tikra aikštės sritimi. Kitaip tariant, įvykio įvykis reiškia pataikymą atsitiktinis taškas raide nurodytos srities viduje Tada operacijos su įvykiais lengvai interpretuojamos geometriškai (2 pav.)
| |
A: A + B: bet koks
perinti
2 pav. a) aiškumo dėlei įvykis A paryškintas vertikaliu atspalviu, įvykis B – horizontaliu šešėliavimu. Tada daugybos operacija atitinka dvigubą liuką – įvykis atitinka tą kvadrato dalį, kuri yra uždengta dvigubu liuku. Be to, jei tada jie vadinami nesuderinamais įvykiais. Atitinkamai, papildymo operacija atitinka bet kokį perėjimą – įvykis reiškia kvadrato dalį, nuspalvintą bet kokiu – vertikaliu, horizontaliu ir dvigubu perėjimu. 2 pav. b) įvykis atitinka nuspalvintą kvadrato dalį – viskas, kas nepatenka į sritį dėl skaičių, bet yra ir konkrečių.
1 0 . daugybos komutaciškumas;
2 0 . sudėjimo komutaciškumas;
3 0 . daugybos asociatyvumas;
4 0 . papildomas asociatyvumas,
5 0 . daugybos pasiskirstymas, palyginti su pridėjimu,
6 0 . sudėjimo pasiskirstymas daugybos atžvilgiu;
9 0 . 
de Morgano dvilypumo dėsniai,
10 0 . 
1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =
7 pavyzdys. Ivanas ir Petras susitarė susitikti, pavyzdžiui, T valandos intervalu (0,T). Kartu susitarė, kad kiekvienas iš jų, atvykęs į susitikimą, lauks kito ne ilgiau kaip valandą.
Pateikime šį pavyzdį geometrinė interpretacija. Pažymėkime: Ivano atvykimo į susirinkimą laiką; Petro atvykimo laikas į susitikimą. Kaip sutarta: 0 . Tada koordinačių sistemoje gauname: = Nesunku pastebėti, kad mūsų pavyzdyje elementariųjų įvykių erdvė yra kvadratas. 1
0 x atitinka tą kvadrato dalį, kuri yra virš šios tiesės. Panašiai ir antrą nelygybę y≤x+ ir; ir neveikia, jei neveikia visi elementai, t.y. 
.Taigi antrasis De Morgano dvilypumo dėsnis: realizuojamas tada, kai lygiagretus ryšys elementai.
Aukščiau pateiktas pavyzdys parodo, kodėl tikimybių teorija plačiai naudojama fizikoje, ypač skaičiuojant realių techninių prietaisų patikimumą.
ĮVADAS
Daugelis dalykų mums nesuprantami ne todėl, kad mūsų sąvokos yra silpnos;
bet kadangi šie dalykai neįtraukti į mūsų sąvokų diapazoną.
Kozma Prutkovas
Pagrindinis tikslas studijuoti matematiką vidurinėje specialybėje švietimo įstaigų yra suteikti studentams matematinių žinių ir įgūdžių, reikalingų studijuojant kitas programos disciplinas, kurios vienu ar kitu laipsniu naudoja matematiką, gebėjimui atlikti praktinius skaičiavimus, loginio mąstymo formavimui ir ugdymui.
Šiame darbe visos pagrindinės matematikos skyriaus „Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos pagrindai“ sąvokos, numatytos programoje ir Valstybiniuose vidurinio profesinio išsilavinimo standartuose (Rusijos Federacijos švietimo ministerija. M., 2002 m. ), yra nuosekliai pristatomos, suformuluotos pagrindinės teoremos, kurių dauguma neįrodyta . Aptariamos pagrindinės problemos ir jų sprendimo būdai bei šių metodų taikymo sprendžiant praktines problemas technologijos. Prie pristatymo pateikiamos išsamios pastabos ir daugybė pavyzdžių.
Metodiniai nurodymai gali būti naudojami pirminiam susipažinimui su studijuojama medžiaga, konspektuojant paskaitas, pasiruošimui praktiniai užsiėmimai, įtvirtinti įgytas žinias, įgūdžius ir gebėjimus. Be to, vadovas taip pat bus naudingas bakalauro studijų studentams kaip informacinis įrankis, leidžiantis greitai prisiminti, kas buvo studijuota anksčiau.
Darbo pabaigoje pateikiami pavyzdžiai ir užduotys, kurias mokiniai gali atlikti savikontrolės režimu.
Gairės skirtos neakivaizdinių ir nuolatinių studijų studentams.
PAGRINDINĖS SĄVOKOS
Tikimybių teorija tiria objektyvius masinių atsitiktinių įvykių modelius. Tai teorinis matematinės statistikos pagrindas, kuriame nagrinėjami stebėjimo rezultatų rinkimo, aprašymo ir apdorojimo metodai. Per stebėjimus (bandymus, eksperimentus), t.y. patirtis į plačiąja prasmežodžiais, atsiranda pažinimas apie realaus pasaulio reiškinius.
Savo praktinė veikla Dažnai susiduriame su reiškiniais, kurių baigties neįmanoma numatyti, kurių baigtis priklauso nuo atsitiktinumo.
Atsitiktinį reiškinį galima apibūdinti jo pasireiškimų skaičiaus ir bandymų skaičiaus santykiu, kurių kiekviename, esant vienodoms visų bandymų sąlygoms, jis gali įvykti arba neįvykti.
Tikimybių teorija – matematikos šaka, kurioje tiriami atsitiktiniai reiškiniai (įvykiai) ir nustatomi modeliai, kai jie kartojasi masiškai.
Matematinė statistika – matematikos šaka, kurios dalykas – statistinių duomenų rinkimo, sisteminimo, apdorojimo ir panaudojimo metodų tyrimas moksliškai pagrįstoms išvadoms gauti ir sprendimams priimti.
Šiuo atveju statistiniai duomenys suprantami kaip skaičių rinkinys, kuris parodo mus dominančių tiriamų objektų charakteristikų kiekybines charakteristikas. Statistiniai duomenys gaunami specialiai sukurtų eksperimentų ir stebėjimų metu.
Statistiniai duomenys pagal savo pobūdį priklauso nuo daugelio atsitiktinių veiksnių, todėl matematinė statistika yra glaudžiai susijęs su tikimybių teorija, kuri yra jos teorinis pagrindas.
I. TIKIMYBĖ. TIKIMYBIŲ SUDĖJIMO IR DAIDAVIMO TEOROS
1.1. Pagrindinės kombinatorikos sąvokos
Matematikos šakoje, kuri vadinama kombinatorika, sprendžiamos kai kurios problemos, susijusios su aibių svarstymu ir įvairių šių aibių elementų kombinacijų kompozicija. Pavyzdžiui, jei paimsime 10 skirtingų skaičių 0, 1, 2, 3,: , 9 ir sudarysime jų derinius, gausime skirtingi skaičiai, pavyzdžiui, 143, 431, 5671, 1207, 43 ir kt.
Matome, kad vienos iš šių kombinacijų skiriasi tik skaitmenų tvarka (pavyzdžiui, 143 ir 431), kitos – į juos įeinančiais skaitmenimis (pvz., 5671 ir 1207), o kitos skiriasi ir skaitmenų skaičiumi. (pavyzdžiui, 143 ir 43).
Taigi, gauti deriniai tenkina įvairias sąlygas.
Atsižvelgiant į kompozicijos taisykles, galima išskirti tris derinių tipus: permutacijos, vietos, deriniai.
Pirmiausia susipažinkime su koncepcija faktorinis.
Vadinama visų natūraliųjų skaičių sandauga nuo 1 iki n imtinai n faktorinis ir parašyk.
Apskaičiuokite: a) ; b) ; V) .
Sprendimas. A) .
b) Nuo to laiko 
, tada galime jį dėti iš skliaustų
Tada gauname
V) 
.
Pertvarkymai.
n elementų, kurie skiriasi vienas nuo kito tik elementų tvarka, derinys vadinamas permutacija.
Permutacijos žymimos simboliu P n , kur n yra elementų, įtrauktų į kiekvieną permutaciją, skaičius. ( R- pirmoji prancūziško žodžio raidė permutacija- pertvarkymas).
Permutacijų skaičių galima apskaičiuoti naudojant formulę
arba naudojant faktorialą:
Prisiminkime tai 0!=1 ir 1!=1.
2 pavyzdys. Kiek būdų vienoje lentynoje gali būti išdėstytos šešios skirtingos knygos?
Sprendimas. Reikiamas būdų skaičius lygus 6 elementų permutacijų skaičiui, t.y.
Vietos.
Pranešimai iš m elementai n kiekviename vadinami tokie junginiai, kurie skiriasi vienas nuo kito arba pačiais elementais (bent vienu), arba jų išdėstymo tvarka.
Vietos žymimos simboliu kur m- visų turimų elementų skaičius, n- elementų skaičius kiekviename derinyje. ( A- pirmoji raidė prancūziškas žodis susitarimas, o tai reiškia „sutvarkymas, sutvarkymas“).
Kartu manoma, kad nm.
Vietų skaičių galima apskaičiuoti naudojant formulę
,
tie. visų skaičius galimos vietos iš m elementai pagal n prilygsta produktui n sveikieji skaičiai iš eilės, iš kurių didžiausias yra m.
Parašykime šią formulę faktorine forma:
3 pavyzdys. Kiek penkiems pretendentams gali būti sudaryta galimybė išdalinti tris kuponus įvairaus profilio sanatorijose?
Sprendimas. Reikalingas parinkčių skaičius lygus 5 elementų iš 3 elementų įdėjimų skaičiui, t.y.
.
Deriniai.
Deriniai yra visi galimi deriniai m elementai pagal n, kurios skiriasi viena nuo kitos bent vienu elementu (čia m Ir n- natūraliuosius skaičius ir n m).
Derinių skaičius m elementai pagal n yra žymimi ( SU- pirmoji prancūziško žodžio raidė derinys- derinys).
IN bendras atvejis skaičius m elementai pagal n lygus paskirties vietų skaičiui nuo m elementai pagal n, padalytas iš permutacijų skaičiaus iš n elementai:
Naudodami faktorines formules vietų ir permutacijų skaičiui, gauname:
4 pavyzdys. 25 žmonių komandoje turite skirti keturis darbui tam tikroje srityje. Kiek būdų tai galima padaryti?
Sprendimas. Kadangi pasirinktų keturių žmonių eilės tvarka nėra svarbi, yra būdų tai padaryti.
Mes randame naudodami pirmąją formulę
.
Be to, sprendžiant uždavinius, naudojamos šios formulės, išreiškiančios pagrindines derinių savybes:
(pagal apibrėžimą jie prisiima ir);
.
1.2. Kombinatorinių uždavinių sprendimas
1 užduotis. Fakultete mokoma 16 dalykų. Į pirmadienio tvarkaraštį turite įtraukti 3 dalykus. Kiek būdų tai galima padaryti?
Sprendimas. Yra tiek daug būdų, kaip suplanuoti tris elementus iš 16, kiek galite išdėstyti 16 elementų išdėstymą po 3.
2 užduotis. Iš 15 objektų reikia pasirinkti 10 objektų. Kiek būdų tai galima padaryti?
Užduotis 3. Varžybose dalyvavo keturios komandos. Kiek galimų vietų paskirstymo tarp jų variantų?
.
4 uždavinys. Kokiais būdais galima suformuoti trijų karių ir vieno karininko patrulį, jei yra 80 karių ir 3 pareigūnai?
Sprendimas. Galite pasirinkti patruliuojantį karį
būdais, o pareigūnai – būdais. Kadangi bet kuris karininkas gali eiti su kiekviena karių komanda, yra tik tiek daug būdų.
5 užduotis. Raskite , jei žinoma, kad .
Nuo , mes gauname
,
,
Iš derinio apibrėžimo išplaukia, kad , . Tai. .
1.3. Atsitiktinio įvykio samprata. Renginių tipai. Įvykio tikimybė
Bet koks veiksmas, reiškinys, stebėjimas su keliais skirtingais rezultatais, realizuotas kada šis kompleksas sąlygomis, paskambinsime bandymas.
Šio veiksmo ar stebėjimo rezultatas vadinamas renginys .
Jei įvykis duotomis sąlygomis gali įvykti arba neįvykti, tai vadinama atsitiktinis . Kai įvykis tikrai įvyks, jis vadinamas patikimas ir tuo atveju, kai tai akivaizdžiai negali įvykti, - neįmanoma.
Renginiai vadinami nesuderinamas , jei kiekvieną kartą įmanoma pasirodyti tik vienas iš jų.
Renginiai vadinami jungtis , jei tam tikromis sąlygomis vienas iš šių įvykių neatmeta galimybės įvykti kito to paties bandymo metu.
Renginiai vadinami priešinga , jei bandymo sąlygomis jie, kaip vieninteliai rezultatai, yra nesuderinami.
Įvykiai paprastai žymimi didžiosiomis lotyniškos abėcėlės raidėmis: A, B, C, D, : .
Pilna įvykių sistema A 1 , A 2 , A 3 , : , A n yra nesuderinamų įvykių visuma, kurių bent vieno įvykis yra privalomas atliekant tam tikrą testą.
Jei visa sistema susideda iš dviejų nesuderinamų įvykių, tokie įvykiai vadinami priešingais ir žymimi A ir .
Pavyzdys. Dėžutėje yra 30 sunumeruotų rutuliukų. Nustatykite, kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, patikimi ar priešingi:
išėmė sunumeruotą rutulį (A);
gavo kamuoliuką su lyginiu skaičiumi (IN);
gavo kamuolį su nelyginiu skaičiumi (SU);
gavo kamuolį be numerio (D).
Kurie iš jų sudaro pilną grupę?
Sprendimas . A- patikimas renginys; D- neįmanomas įvykis;
Į ir SU- priešingi įvykiai.
Visą renginių grupę sudaro A Ir D, V Ir SU.
Įvykio tikimybė laikoma matu objektyvi galimybė atsitiktinio įvykio atsiradimas.
1.4. Klasikinis tikimybės apibrėžimas
Vadinamas skaičius, išreiškiantis objektyvios įvykio galimybės matą tikimybė šį įvykį ir yra pažymėtas simboliu R(A).
Apibrėžimas. Įvykio tikimybė A vadinamas atakai palankių baigčių m skaičiaus santykiu šio įvykio A, į numerį n visi rezultatai (nenuoseklūs, tik galimi ir vienodai galimi), t.y. .
Todėl norint rasti įvykio tikimybę, būtina, įvertinus įvairius testo rezultatus, apskaičiuoti visus galimus nenuoseklius rezultatus. n, pasirinkite mus dominančių rezultatų skaičių ir apskaičiuokite santykį mĮ n.
Iš šio apibrėžimo išplaukia šios savybės:
Bet kurio testo tikimybė yra neneigiamas skaičius, neviršijantis vieneto.
Iš tiesų, reikiamų įvykių skaičius m yra per . Abi dalis dalijant į n, gauname
2. Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui, nes .
3. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, nes .
1 uždavinys. 1000 bilietų loterijoje yra 200 laimėjusių. Atsitiktinai išimamas vienas bilietas. Kokia tikimybė, kad šis bilietas bus laimėtojas?
Sprendimas. Bendras skirtingų rezultatų skaičius yra n= 1000. Palankių laimėti baigčių skaičius yra m=200. Pagal formulę gauname
.
2 uždavinys. 18 dalių partijoje yra 4 sugedusios. Atsitiktinai parenkamos 5 dalys. Raskite tikimybę, kad dvi iš šių 5 dalių bus sugedusios.
Sprendimas. Visų vienodai galimų nepriklausomų rezultatų skaičius n lygus derinių skaičiui iš 18 iš 5 t.y.
Suskaičiuokime skaičių m, kuris palankus įvykiui A. Tarp 5 atsitiktinai paimtų dalių turėtų būti 3 geros ir 2 sugedusios. Būdų, kaip pasirinkti dvi sugedusias dalis iš 4 esamų sugedusių dalių, skaičius yra lygus derinių skaičiui 4 x 2:
Būdų, kaip pasirinkti tris kokybiškas dalis iš 14 turimų kokybiškų dalių, skaičius yra lygus
.
Bet kuri gerų dalių grupė gali būti derinama su bet kuria brokuotų dalių grupe, taigi bendras derinių skaičius m sudaro
Reikalinga įvykio A tikimybė yra lygi šiam įvykiui palankių rezultatų m skaičiaus ir visų vienodai galimų nepriklausomų baigčių skaičiaus n santykiui:
.
Suma baigtinis skaičiusįvykiai yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš jų įvykio.
Dviejų įvykių suma žymima simboliu A+B, o suma nįvykiai su simboliu A 1 +A 2 + : +A n.
Tikimybių sudėjimo teorema.
Dviejų nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.
Išvada 1. Jei įvykis A 1, A 2, :,A n sudaro užbaigtą sistemą, tai šių įvykių tikimybių suma lygi vienetui.
Išvada 2. Priešingų įvykių ir tikimybių suma lygi vienetui.
.
1 uždavinys. Yra 100 loterijos bilietų. Yra žinoma, kad 5 bilietai laimi 20 000 rublių, 10 bilietų laimi 15 000 rublių, 15 bilietų laimi 10 000 rublių, 25 bilietai laimi 2 000 rublių. o likusiems nieko. Raskite tikimybę, kad įsigytas bilietas gaus bent 10 000 rublių laimėjimą.
Sprendimas. Tegul A, B ir C yra įvykiai, susidedantys iš to, kad įsigytas bilietas gauna laimėjimą, lygų atitinkamai 20 000, 15 000 ir 10 000 rublių. kadangi įvykiai A, B ir C yra nesuderinami, tada
Užduotis 2. Įjungta korespondencijos skyrius technikumas iš miestų gauna matematikos testus A, B Ir SU. Priėmimo tikimybė bandomasis darbas nuo miesto A lygus 0,6, iš miesto IN- 0,1. Raskite tikimybę, kad kitas bandymas bus iš miesto SU.
Tikimybių teorijos atsiradimas datuojamas vidurio XVII a amžiuje, kai matematikai susidomėjo lošėjų keliamomis ir iki šiol matematikos nenagrinėtomis problemomis. Sprendžiant šias problemas, tokios sąvokos kaip tikimybė ir matematinis lūkestis. Tuo pačiu metu to meto mokslininkai - Huygensas (1629-1695), Pascalis (1623-1662), Fermat (1601-1665) ir Bernoulli (1654-1705) buvo įsitikinę, kad aiškūs modeliai gali atsirasti remiantis didžiuliu atsitiktiniu būdu. įvykius. Ir tik gamtos mokslų būklė lėmė tai azartinių lošimų Ilgą laiką jie tebebuvo vienintelė konkreti medžiaga, kurios pagrindu buvo kuriamos tikimybių teorijos sąvokos ir metodai. Ši aplinkybė paliko pėdsaką ir formaliajame matematiniame aparate, per kurį buvo sprendžiamos tikimybių teorijoje kylančios problemos: ji buvo redukuota tik iki elementarios aritmetikos ir kombinatorinių metodų.
Rimti gamtos mokslų ir socialinės praktikos reikalavimai (stebėjimo klaidų teorija, šaudymo teorijos problemos, statistikos problemos, pirmiausia populiacijos statistika) lėmė poreikį. tolesnė plėtra tikimybių teorija ir labiau išvystyto analizės aparato naudojimas. Ypač svarbus vaidmuo plėtojant analizės metodai Tikimybių teorijomis žaidė Moivre'as (1667-1754), Laplasas (1749-1827), Gaussas (1777-1855), Puasonas (1781-1840). Iš formalios analitinės pusės – neeuklido geometrijos kūrėjo Lobačevskio (1792-1856) darbas, skirtas sferos matavimų klaidų teorijai ir atliktas siekiant sukurti geometrinę sistemą, kuri dominuotų visatoje. , yra greta tos pačios krypties.
Tikimybių teorija, kaip ir kitos matematikos šakos, išsivystė iš praktikos poreikių: in abstrakti forma ji atspindi šablonus, būdingus atsitiktiniams masinio pobūdžio įvykiams. Šie modeliai žaidžia išskirtinai svarbus vaidmuo fizikoje ir kitose gamtos mokslų srityse, įvairiose techninėse disciplinose, ekonomikos, sociologijos, biologijos srityse. Plačiai plintant masinę produkciją gaminančioms įmonėms, tikimybių teorijos rezultatai pradėti taikyti ne tik jau pagamintų produktų atmetimui, bet ir pačiam gamybos procesui organizuoti (statistinė kontrolė gamyboje).
Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos
Tikimybių teorija paaiškina ir tiria įvairius modelius, valdančius atsitiktinius įvykius ir atsitiktinius kintamuosius. Renginys yra bet koks faktas, kuris gali būti konstatuotas kaip stebėjimo ar patirties rezultatas. Stebėjimas arba patirtis yra tam tikrų sąlygų, kurioms esant gali įvykti įvykis, suvokimas.
Patirtis reiškia, kad minėta aplinkybių visuma buvo sukurta sąmoningai. Stebėjimo metu šių sąlygų stebėjimo kompleksas nesukuria ir neįtakoja. Jį sukuria arba gamtos jėgos, arba kiti žmonės.
Ką reikia žinoti norint nustatyti įvykių tikimybę
Visi įvykiai, kuriuos žmonės stebi ar kuria patys, skirstomi į:
- patikimi įvykiai;
- neįmanomi įvykiai;
- atsitiktiniai įvykiai.
Patikimi renginiai visada atsiranda susidarius tam tikroms aplinkybėms. Pavyzdžiui, jei dirbame, už tai gauname atlygį, jei išlaikome egzaminus ir išlaikome konkursą, galime patikimai tikėtis, kad būsime įtraukti į mokinių skaičių. Fizikoje ir chemijoje galima stebėti patikimus įvykius. Ekonomikoje patikimi įvykiai siejami su esama socialine struktūra ir teisės aktais. Pavyzdžiui, jei mes įnešėme pinigus į banką ir išreiškėme norą juos gauti per tam tikrą laikotarpį, tada pinigus ir gausime. Tai galima laikyti patikimu įvykiu.
Neįmanomi įvykiai tikrai neįvyks, jei buvo sudarytos tam tikros sąlygos. Pavyzdžiui, vanduo neužšąla, jei temperatūra yra plius 15 laipsnių šilumos, gamyba nevykdoma be elektros.
Atsitiktiniai įvykiai Kai realizuojamas tam tikras sąlygų rinkinys, jos gali atsirasti arba neįvykti. Pavyzdžiui, jei vieną kartą metame monetą, herbas gali iškristi arba neiškristi, loterijos bilietas gali laimėti arba nelaimėti, pagamintas gaminys gali būti brokuotas arba ne. Sugedusios prekės atsiradimas yra atsitiktinis įvykis, rečiau nei tinkamos prekės gamyba.
Tikėtinas atsitiktinių įvykių dažnis yra glaudžiai susijęs su tikimybės samprata. Atsitiktinių įvykių atsiradimo ir neatsitikimo modelius tiria tikimybių teorija.
Jei kompleksas būtinas sąlygas yra įdiegtas tik vieną kartą, tada negauname pakankamai informacijos apie atsitiktinį įvykį, nes jis gali įvykti arba neįvykti. Jei sąlygų rinkinys įgyvendinamas daug kartų, atsiranda žinomi modeliai. Pavyzdžiui, niekada negalima žinoti, kokio kavos aparato parduotuvėje prireiks kitas pirkėjas, tačiau jei žinomi jau seniai paklausiausių kavos aparatų prekės ženklai, tai remiantis šiais duomenimis galima organizuoti gamybą ar tiekimą, kad būtų patenkinta paklausa.
Žinios apie modelius, reguliuojančius masinius atsitiktinius įvykius, leidžia mums numatyti, kada šie įvykiai įvyks. Pavyzdžiui, kaip minėta anksčiau, neįmanoma iš anksto nuspėti monetos metimo rezultato, tačiau jei moneta bus metama daug kartų, tada galima numatyti, kad herbas iškris. Klaida gali būti nedidelė.
Tikimybių teorijos metodai plačiai naudojami įvairios pramonės šakos gamtos mokslai, teorinė fizika, geodezija, astronomija, teorija automatizuotas valdymas, klaidų stebėjimo teorija ir daugelis kitų teorinių ir praktiniai mokslai. Tikimybių teorija plačiai naudojama planuojant ir organizuojant gamybą, gaminių kokybės analizę, technologiniai procesai, draudimo, gyventojų statistikos, biologijos, balistikos ir kitose pramonės šakose.
Paprastai žymimi atsitiktiniai įvykiai didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė A, B, C ir kt.
Atsitiktiniai įvykiai gali būti:
- nesuderinamas;
- jungtis.
Įvykiai A, B, C... vadinami nesuderinamas , jei dėl vieno bandymo gali įvykti vienas iš šių įvykių, bet negali įvykti dviejų ar daugiau įvykių.
Jeigu vieno atsitiktinio įvykio įvykis neatmeta kito įvykio, tai tokie įvykiai vadinami jungtis . Pavyzdžiui, jei nuo konvejerio juostos pašalinama kita dalis, o įvykis A reiškia „detalė atitinka standartą“, o įvykis B reiškia „detalė neatitinka standarto“, A ir B yra nesuderinami įvykiai. Jei įvykis C reiškia „paimta II klasės dalis“, tai šis įvykis yra kartu su įvykiu A, bet nesuderinamas su įvykiu B.
Jei kiekviename stebėjime (teste) įvyksta vienas ir tik vienas iš nesuderinamų atsitiktinių įvykių, tai šie įvykiai sudaro visa renginių rinkinys (sistema). .
Patikimas renginys yra bent vieno įvykio įvykis iš visų įvykių.
Jei įvykiai, kurie sudaro visą įvykių rinkinį poromis nenuoseklus , tada dėl stebėjimo gali įvykti tik vienas iš šių įvykių. Pavyzdžiui, studentas turi išspręsti du testo uždavinius. Tikrai įvyks vienas ir tik vienas iš šių įvykių:
- pirmoji problema bus išspręsta, o antroji problema nebus išspręsta;
- antroji problema bus išspręsta, o pirmoji problema nebus išspręsta;
- abi problemos bus išspręstos;
- nė viena problema nebus išspręsta.
Šie įvykiai formuojasi visas nesuderinamų įvykių rinkinys .
Jei visą įvykių rinkinį sudaro tik du nesuderinami įvykiai, jie vadinami tarpusavyje priešingi arba alternatyva įvykius.
Priešingas įvykiui įvykis žymimas . Pavyzdžiui, išmetus vieną monetą, gali pasirodyti nominalas () arba herbas ().
Renginiai vadinami vienodai įmanoma , jei nė vienas iš jų neturi objektyvių pranašumų. Tokie įvykiai taip pat sudaro visą įvykių rinkinį. Tai reiškia, kad po stebėjimo ar bandymų būtinai turi įvykti bent vienas iš šių dalykų. galimi įvykiai.
Pavyzdžiui, ištisą įvykių grupę sudaro nominalo ir emblemos praradimas vieno monetos metimo metu, 0, 1, 2, 3 ir daugiau nei 3 klaidų buvimas viename atspausdintame teksto puslapyje.
Tikimybių apibrėžimai ir savybės
Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Galimybė arba palankus atvejis – tai atvejis, kai, įgyvendinant tam tikrą aplinkybių visumą, įvyksta įvykis A atsitikti. Klasikinis tikimybės apibrėžimas apima tiesioginį palankių atvejų arba galimybių skaičiaus apskaičiavimą.
Klasikiniai ir statistinė tikimybė. Tikimybių formulės: klasikinė ir statistinė
Įvykio tikimybė A vadinti šiam įvykiui palankių galimybių skaičiaus ir visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičiaus santykį N kuris gali atsirasti dėl vieno bandymo ar stebėjimo. Tikimybių formulė įvykius A:
Jei visiškai aišku apie kokią įvykio tikimybę kalbame, tai tikimybė žymima maža raide p, nenurodant įvykio pavadinimo.
Norėdami apskaičiuoti tikimybę pagal klasikinis apibrėžimas, reikia rasti visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičių ir nustatyti, kiek iš jų yra palankių įvykio apibrėžimui A.
1 pavyzdys. Raskite tikimybę gauti skaičių 5 metant kauliuką.
Sprendimas. Yra žinoma, kad visi šeši veidai turi vienodą galimybę atsidurti viršuje. Skaičius 5 pažymėtas tik vienoje pusėje. Visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičius yra 6, iš kurių tik viena palanki galimybė yra skaičius 5 ( M= 1). Tai reiškia, kad norima tikimybė išmesti skaičių 5
2 pavyzdys. Dėžutėje yra 3 raudoni ir 12 baltų vienodo dydžio rutuliukų. Vienas kamuolys buvo paimtas nežiūrint. Raskite tikimybę, kad raudonas rutulys bus paimtas.
Sprendimas. Reikalinga tikimybė
Raskite tikimybes patys ir tada pamatykite sprendimą
3 pavyzdys. Kauliukai metami. Renginys B- lyginio skaičiaus ridenimas. Apskaičiuokite šio įvykio tikimybę.
5 pavyzdys. Urnoje yra 5 balti ir 7 juodi rutuliai. Atsitiktinai ištraukiamas 1 rutulys. Renginys A- ištraukiamas baltas rutulys. Renginys B- ištraukiamas juodas rutulys. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybę.
Klasikinė tikimybė taip pat vadinama išankstinė tikimybė, nes jis apskaičiuojamas prieš pradedant bandymą ar stebėjimą. Iš klasikinės tikimybės apriorinio pobūdžio išplaukia, kad pagrindinis trūkumas: tik retais atvejais prieš stebėjimo pradžią galima apskaičiuoti visus vienodai galimus nesuderinamus įvykius, įskaitant ir palankius įvykius. Tokios galimybės dažniausiai atsiranda situacijose, panašiose į žaidimus.
Deriniai. Jei įvykių seka nėra svarbi, galimų įvykių skaičius apskaičiuojamas kaip kombinacijų skaičius:
6 pavyzdys. Grupėje yra 30 mokinių. Trys studentai turėtų eiti į informatikos skyrių pasiimti ir atsinešti kompiuterio ir projektoriaus. Apskaičiuokite tikimybę, kad tai padarys trys konkretūs mokiniai.
Sprendimas. Galimų įvykių skaičių apskaičiuojame naudodami (2) formulę:
Tikimybė, kad į katedrą pateks trys konkretūs studentai:
7 pavyzdys. Parduota 10 mobiliuosius telefonus. 3 iš jų turi defektų. Pirkėjas pasirinko 2 telefonus. Apskaičiuokite tikimybę, kad abu pasirinkti telefonai turės defektų.
Sprendimas. Visų vienodai galimų įvykių skaičius randamas naudojant (2) formulę:
Naudodami tą pačią formulę randame įvykiui palankių galimybių skaičių:
Norima tikimybė, kad abu pasirinkti telefonai turės defektų.
