Matematiniai modeliai

Matematinis modelis - apytikslis opimodeliuojamo objekto prasmė, išreikšta naudojantmatematinės simbolikos.

Matematiniai modeliai atsirado kartu su matematika prieš daugelį amžių. Didžiulis postūmis plėtrai matematinis modeliavimas atsirado dėl kompiuterių atsiradimo. Taikymas kompiuteriai leido išanalizuoti ir praktiškai pritaikyti daugybę matematinių modelių, kurie anksčiau nebuvo tinkami analitiniams tyrimams. Įdiegta kompiuteryje matematiškaidangaus modelis paskambino kompiuterinis matematinis modelis, A tikslinių skaičiavimų atlikimas naudojant kompiuterinį modelį paskambino skaičiavimo eksperimentas.

Kompiuterinės matematikos mokslo etapaipadalinys parodytos paveiksle. Pirmaetapas - modeliavimo tikslų apibrėžimas.Šie tikslai gali būti skirtingi:

1. modelis reikalingas norint suprasti, kaip veikia konkretus objektas, kokia jo struktūra, pagrindinės savybės, vystymosi ir sąveikos dėsniai.
   su išoriniu pasauliu (supratimas);
2. modelis reikalingas norint išmokti valdyti objektą (ar procesą) ir nustatyti geriausi būdai valdymas su duotais tikslais ir kriterijais (vadyba);
3. modelis reikalingas tiesioginėms ir netiesioginėms įgyvendinimo pasekmėms numatyti duotus metodus ir įtakos objektui formos (prognozavimas).

Pavyzdys iš visiškai kitos srities: dviejų rūšių individų populiacijos, kurios taikiai sugyveno su stabiliu skaičiumi ir turėjo bendrą maisto tiekimą, „staiga“ pradeda smarkiai keisti savo skaičių. O štai matematinis modeliavimas leidžia (su tam tikru patikimumu) nustatyti priežastį (ar bent paneigti tam tikrą hipotezę).

Kitas galimas modeliavimo tikslas – objekto valdymo koncepcijos kūrimas. Kokį lėktuvo skrydžio režimą turėčiau pasirinkti, kad skrydis būtų saugus ir ekonomiškai pelningas? Kaip suplanuoti šimtus darbų rūšių statant didelį objektą, kad jis būtų atliktas per trumpiausią įmanomą laiką? Daugelis tokių problemų sistemingai iškyla ekonomistams, dizaineriams ir mokslininkams.

Galiausiai, tam tikrų poveikių objektui pasekmių numatymas gali būti gana paprastas dalykas paprastose fizinėse sistemose ir labai sudėtingas – ties įgyvendinamumo riba – biologinėse, ekonominėse ir socialinėse sistemose. Jei gana lengva atsakyti į klausimą apie šilumos pasiskirstymo būdo pokyčius ploname strypelyje dėl jo sudedamojo lydinio pasikeitimo, tada atsekti (numatyti) aplinkos ir klimato pasekmes statyba didelė hidroelektrinė arba socialines pasekmes mokesčių teisės aktų pakeitimai yra nepalyginamai sunkesni. Galbūt ir čia ateityje reikšmingesnės pagalbos suteiks matematinio modeliavimo metodai.

Antrasis etapas: modelio įvesties ir išvesties parametrų nustatymas; įvesties parametrų skirstymas pagal jų pokyčių įtakos produkcijai svarbą. Šis procesas vadinamas reitingavimu arba atskyrimu pagal rangą (žr. „Formalizavimasmodelis ir modeliavimas“).

Trečias etapas: statyba matematinis modelis. Šiame etape vyksta perėjimas nuo abstrakčios modelio formuluotės prie formuluotės, kuri turi specifinį matematinis vaizdavimas. Matematinis modelis – tai lygtys, lygčių sistemos, nelygybių sistemos, diferencialinės lygtys arba tokių lygčių sistemos ir kt.

Ketvirtas etapas: pasirenkant matematinio modelio tyrimo metodą. Dažniausiai čia naudojami skaitmeniniai metodai, kurie puikiai tinka programavimui. Paprastai tai pačiai problemai išspręsti tinka keli metodai, kurie skiriasi tikslumu, stabilumu ir pan. Iš teisingas pasirinkimas metodas dažnai priklauso nuo viso modeliavimo proceso sėkmės.

Penktas etapas: algoritmo kūrimas, kompiuterinės programos kompiliavimas ir derinimas yra sunkiai įforminamas procesas. Tarp programavimo kalbų daugelis profesionalų teikia pirmenybę FORTRAN matematiniam modeliavimui: tiek dėl tradicijų, tiek dėl neprilygstamo kompiliatorių efektyvumo (skaičiavimo darbams) ir dėl didžiulių, kruopščiai derintų ir optimizuotų standartinių programų bibliotekų, skirtų jame parašytiems matematiniams metodams. . Taip pat naudojamos kalbos, tokios kaip PASCAL, BASIC, C, atsižvelgiant į užduoties pobūdį ir programuotojo polinkius.

Šeštas etapas: programos testavimas. Programos veikimas išbandomas pagal bandomąją problemą su anksčiau žinomu atsakymu. Tai tik bandymo procedūros, kurią sunku formaliai išsamiai apibūdinti, pradžia. Paprastai testavimas baigiasi, kai vartotojas, remdamasis savo profesinėmis savybėmis, mano, kad programa yra teisinga.

Septintas etapas: tikrasis skaičiavimo eksperimentas, kurio metu nustatoma, ar modelis atitinka realų objektą (procesą). Modelis yra pakankamai adekvatus realiam procesui, jei kai kurios proceso charakteristikos, gautos kompiuteriu, tam tikru tikslumu sutampa su eksperimentiškai gautomis charakteristikomis. Jei modelis neatitinka realaus proceso, grįžtame į vieną iš ankstesnių etapų.

Matematinių modelių klasifikacija

Matematinių modelių klasifikacija gali būti pagrįsta įvairių principų. Modelius galima klasifikuoti pagal mokslo šakas (matematiniai modeliai fizikoje, biologijoje, sociologijoje ir kt.). Galima klasifikuoti pagal naudojamą matematinį aparatą (modeliai, pagrįsti įprastiniu diferencialines lygtis, dalinės diferencialinės lygtys, stochastiniai metodai, diskretiškas algebrinės transformacijos ir tt). Galiausiai, jei pereisime nuo bendrųjų modeliavimo problemų skirtinguose moksluose, neatsižvelgiant į matematinį aparatą, natūraliausia yra tokia klasifikacija:

• aprašomieji (descriptive) modeliai;
• optimizavimo modeliai;
• daugiakriteriniai modeliai;
• žaidimų modeliai.

Paaiškinkime tai pavyzdžiais.

Aprašomieji (aprašomieji) modeliai. Pavyzdžiui, į Saulės sistemą įsiveržusios kometos judėjimo modeliavimas atliekamas siekiant numatyti jos skrydžio trajektoriją, atstumą, kuriuo ji praskris nuo Žemės ir pan. Šiuo atveju modeliavimo tikslai yra aprašomojo pobūdžio, nes nėra galimybės paveikti kometos judėjimo ar ką nors joje pakeisti.

Optimizavimo modeliai yra naudojami apibūdinti procesus, kuriuos galima paveikti bandant pasiekti tam tikrą tikslą. Šiuo atveju modelis apima vieną ar daugiau parametrų, kuriuos galima paveikti. Pavyzdžiui, keičiant terminį režimą grūdų sandėlyje, galima išsikelti tikslą pasirinkti tokį režimą, kuriuo bus pasiektas maksimalus grūdų saugumas, t.y. optimizuoti saugojimo procesą.

Daugiakriteriniai modeliai. Dažnai reikia optimizuoti procesą pagal kelis parametrus vienu metu, o tikslai gali būti gana prieštaringi. Pavyzdžiui, žinant maisto kainas ir žmogaus poreikį maistui, reikia fiziologiškai teisingai ir tuo pačiu pigiai organizuoti maitinimą didelėms žmonių grupėms (kariuomenėje, vaikų vasaros stovykloje ir pan.). galima. Aišku, kad šie tikslai visiškai nesutampa, t.y. Modeliuojant bus naudojami keli kriterijai, tarp kurių reikia ieškoti balanso.

Žaidimų modeliai gali būti susiję ne tik su kompiuteriniai žaidimai, bet ir labai rimtų dalykų. Pavyzdžiui, vadas prieš mūšį su neišsamia informacija apie priešinga armija turi parengti planą: kokia tvarka įvesti į mūšį tam tikrus dalinius ir pan., atsižvelgiant į ir galima reakcija priešas. Yra speciali šiuolaikinės matematikos šaka – žaidimų teorija, kuri tiria sprendimų priėmimo metodus nepilnos informacijos sąlygomis.

IN mokyklos kursas Informatikos srityje studentai gauna pradinį supratimą apie kompiuterinį matematinį modeliavimą kaip pagrindinio kurso dalį. Vidurinėje mokykloje matematinį modeliavimą galima studijuoti nuodugniai bendrojo lavinimo kursas fizikos ir matematikos pamokoms, taip pat pagal specializuotą pasirenkamąjį kursą.

Pagrindinės kompiuterinio matematinio modeliavimo mokymo formos vidurinėje mokykloje yra paskaitos, laboratoriniai ir bandomieji užsiėmimai. Paprastai darbas kuriant ir ruošiantis studijuoti kiekvieną naują modelį trunka 3-4 pamokas. Medžiagos pristatymo metu iškeliamos problemos, kurias ateityje studentai turi spręsti savarankiškai. bendras kontūras aprašyti jų sprendimo būdai. Formuluojami klausimai, į kuriuos atsakymus reikia gauti atliekant užduotis. Nurodyta papildoma literatūra, leidžianti gauti pagalbinės informacijos sėkmingiau atlikti užduotis.

Užsiėmimų organizavimo forma studijuojant naują medžiagą dažniausiai yra paskaita. Baigę aptarti kitą modelį studentai turėti reikalingą informaciją teorinė informacija ir užduočių rinkinį tolesniam darbui. Ruošdamiesi atlikti užduotį mokiniai pasirenka tinkamas metodas sprendimus, naudojant kokį nors gerai žinomą privatų sprendimą sukurtai programai išbandyti. Iškilus visai galimiems sunkumams atliekant užduotis, konsultuojamasi, siūloma plačiau išstudijuoti šias dalis literatūros šaltiniuose.

Praktinei kompiuterinio modeliavimo mokymo daliai tinkamiausias projektinis metodas. Užduotis mokiniui suformuluota edukacinio projekto forma ir vykdoma per kelias pamokas, o pagrindinė organizacinė forma – kompiuteris. laboratoriniai darbai. Mokymas modeliuoti naudojant metodą edukaciniai projektai gali būti įgyvendintas skirtingi lygiai. Pirmoji – probleminis projekto užbaigimo proceso pristatymas, kuriam vadovauja mokytojas. Antrasis – projektą įgyvendina mokiniai vadovaujami mokytojo. Trečiasis skirtas mokiniams savarankiškai atlikti edukacinio tyrimo projektą.

Darbo rezultatai turi būti pateikti skaitine forma, grafikų ir diagramų pavidalu. Jei įmanoma, procesas kompiuterio ekrane pateikiamas dinamikoje. Atlikus skaičiavimus ir gavus rezultatus, jie analizuojami ir lyginami su žinomų faktų iš teorijos patvirtinamas patikimumas ir pateikiama prasminga interpretacija, kuri vėliau atsispindi rašytinėje ataskaitoje.

Jei rezultatai tenkina mokinį ir mokytoją, tada darbas skaičiuoja baigtas, o paskutinis jos etapas – ataskaitos parengimas. Pranešime pateikiama trumpa teorinė informacija nagrinėjama tema, matematinė problemos formuluotė, sprendimo algoritmas ir jo pagrindimas, kompiuterinė programa, programos rezultatai, rezultatų analizė ir išvados, literatūros sąrašas.

Kai visos ataskaitos yra sudarytos, mokiniai pristato savo trumposios žinutės apie atliktus darbus, apginti savo projektą. Tai efektyvi projektą vykdančios grupės pranešimo klasei forma, apimanti problemos nustatymą, formalaus modelio kūrimą, darbo su modeliu metodų pasirinkimą, modelio įgyvendinimą kompiuteryje, darbą su baigtu modeliu, interpretavimą. rezultatus ir prognozes. Dėl to mokiniai gali gauti du balus: pirmąjį – už projekto išdirbimą ir jo gynimo sėkmę, antrą – už programą, jos algoritmo, sąsajos optimalumą ir kt. Studentai taip pat gauna pažymius teorijos viktorinų metu.

Esminis klausimas – kokias priemones naudoti mokykliniame informatikos kurse matematiniam modeliavimui? Modelių įgyvendinimas kompiuteriu gali būti atliekamas:

• naudojant skaičiuoklių procesorių (dažniausiai MS Excel);
• kuriant programas tradicinėmis programavimo kalbomis (Pascal, BASIC ir kt.), taip pat šiuolaikinėmis jų versijomis (Delphi, Visual
  Basic for Application ir kt.);
• naudojant specialius taikomųjų programų paketus matematiniams uždaviniams spręsti (MathCAD ir kt.).

Pagrindinėje mokykloje pirmenybė teikiama pirmajam metodui. Tačiau į vidurinę mokyklą Kai programavimas kartu su modeliavimu yra pagrindinė kompiuterių mokslo tema, pageidautina jį naudoti kaip modeliavimo įrankį. Programavimo proceso metu studentams tampa prieinamos matematinių procedūrų detalės; Be to, jie tiesiog priversti juos įvaldyti, o tai prisideda matematikos išsilavinimą. Kalbant apie specialių programinės įrangos paketų naudojimą, tai tinkama specializuotame informatikos kurse kaip kitų įrankių priedas.

Pratimas :

• Sudarykite pagrindinių sąvokų diagramą.

Turinys Matematinio modeliavimo dalykas. Modeliavimo pagrindai. Modelio samprata. Modeliavimo principas. Modeliavimas kaip metodas mokslo žinių. Modeliavimo etapai. 1 – 2 etapų charakteristikos. Modeliavimo etapai. 3 – 4 etapų charakteristikos. Modelių klasifikacija. Bendra apžvalga. Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija. Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Matematinis modelis. Linijinis programavimas. Linijinio programavimo uždavinio teiginys. Geometrinė interpretacija ir grafinis linijinio programavimo uždavinio sprendimas. Paprastas metodas. Pradinio konstrukcija orientacinis planas. Paprastos lentelės. Referencinio plano optimalumo ženklas. Dvilypumo samprata. Dvigubų problemų konstravimas ir jų savybės. Transporto problema. Pradinio orientacinio plano sudarymas. Transporto problema. Potencialų metodas.

Turinys Grafų teorijos pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai. Dviženklio elementų išdėstymas. Fulkersono algoritmas. Trumpiausių kelių grafe suradimo uždavinių sprendimas. Maksimalaus srauto problema ir jos pritaikymai. Transporto problema tinklo nustatymuose. Tinklo planavimo elementai. Dinaminio programavimo principai, metodo skaičiavimo procedūra. Monte Karlo metodas. Metodo esmė. Problemų sprendimas Monte Karlo metodu. Matricinių žaidimų teorijos elementai. Suporuoti nulinės sumos matricos žaidimai. Matricinių žaidimų sprendimo būdai. Žaidimai su gamta. Sprendimo priėmimo kriterijai. Maple 7 paketas Bendra paketo apžvalga. Jo galimybės. Programos sąsaja, darbas su komandomis. Naudojant kintamuosius. Darbas su stalais.

Matematinio modeliavimo dalykas. Modeliavimo pagrindai Matematinis modeliavimas – tai reiškinių, procesų, sistemų ar objektų tyrimas, konstruojant ir tiriant jų modelius ir naudojant juos charakteristikoms nustatyti ar patikslinti. racionaliais būdais naujai projektuojamų technologinių procesų, sistemų ir objektų statyba. Matematinis modelis yra realaus pasaulio abstrakcija, kurioje tyrinėtojų santykiai yra įdomūs. tikri elementai pakeistas tinkami santykiai tarp matematinių kategorijų. Šie ryšiai dažniausiai pateikiami lygčių ir (ar) nelygybių, apibūdinančių imituojamos realios sistemos funkcionavimą, pavidalu. Matematinių modelių konstravimo menas yra apjungti kuo daugiau trumpumo matematiniame aprašyme su pakankamu modelio atkūrimo tikslumu būtent tų analizuojamos tikrovės aspektų, kurie domina tyrėją. Meniu modeliavimas – tai kūrybinis procesas, reikalaujantis rimto pasiruošimo ir didelio informacijos kiekio apdorojimo, apjungiantis darbo intensyvumo ir euristinius principus bei tikimybinio pobūdžio.

Modelio samprata. Modeliavimas kaip mokslo žinių metodas Modelis yra tam tikras supaprastintas realaus objekto, reiškinio ar proceso panašumas. Modelis yra materialus arba psichiškai įsivaizduojamas objektas, kuris pakeičia pradinį objektą jo tyrimo tikslais, išsaugodamas kai kuriuos svarbius šis tyrimas tipinės originalo savybės ir savybės. Gerai sukonstruotas modelis paprastai yra labiau prieinamas tyrimams nei tikras objektas(pavyzdžiui, pavyzdžiui, šalies ekonomika, saulės sistema ir pan.). Kitas, ne mažiau svarbus modelio tikslas – jo pagalba nustatyti reikšmingiausius veiksnius, formuojančius tam tikras objekto savybes. Modelis taip pat leidžia išmokti valdyti objektą, o tai svarbu tais atvejais, kai eksperimentuoti su objektu yra nepatogu, sunku arba neįmanoma (pavyzdžiui, kai eksperimentas ilgesnė trukmė arba kai yra rizika paversti objektą į nepageidaujamą ar negrįžtamą būseną). Taigi galime daryti išvadą, kad modelis reikalingas tam, kad: suprastume, kaip konkretus objektas yra struktūrizuotas – kokia jo sandara, pagrindinės savybės, vystymosi ir sąveikos su išoriniu pasauliu dėsniai; išmokti valdyti objektą ar procesą ir nustatyti geriausius valdymo metodus pagal nustatytus tikslus ir kriterijus (optimizavimas); Meniu numatyti tiesiogines ir netiesiogines konkrečių metodų ir poveikio formų pasekmes objektui ar procesui.

Modeliavimo etapai 1 etapo charakteristikos I etapas. Problemos pareiškimas Pagal pačią užduotį bendrąja prasme yra problema, kurią reikia išspręsti. Svarbiausia yra apibrėžti modeliavimo objektą ir suprasti, koks turėtų būti rezultatas. Atsižvelgiant į formuluotės pobūdį, visas problemas galima suskirstyti į dvi pagrindines grupes. Pirmajai grupei priskiriamos užduotys, kuriose reikia ištirti, kaip keičiasi objekto savybės jam veikiant. Tokia problemos formuluotė paprastai vadinama „kas bus, jei...“. Antroji problemų grupė turi tokią apibendrintą formuluotę: koks poveikis turi būti padarytas objektui, kad jo parametrai atitiktų tam tikrą duota sąlyga? Tokia problemos formuluotė dažnai vadinama „kaip tai padaryti, kad...“. Modeliavimo tikslus lemia modelio projektiniai parametrai. Dažniausiai tai yra atsakymo į klausimą, užduodamą formuluojant problemą, paieška. Tada pereikite prie objekto ar proceso aprašymo. Šiame etape nustatomi veiksniai, nuo kurių priklauso modelio elgsena. Modeliuojant skaičiuoklės Tačiau galima atsižvelgti tik į tuos parametrus, kurie turi kiekybines charakteristikas. Kartais problemą jau galima suformuluoti supaprastinta forma, joje aiškiai nustatomi tikslai ir apibrėžiami modelio parametrai, į kuriuos reikia atsižvelgti. Nagrinėjant objektą būtina atsakyti į tokį klausimą: ar tiriamas objektas ar procesas gali būti laikomas vientisa visuma, ar tai sistema, susidedanti iš paprastesnių objektų? Jei tai yra viena visuma, galite pradėti kurti informacinį modelį. Jei tai sistema, turite pereiti prie ją sudarančių objektų analizės ir nustatyti ryšius tarp jų. Meniu

Modeliavimo etapai 2 etapo charakteristikos II etapas. Modelio kūrimas Remiantis objekto analizės rezultatais, a informacinis modelis. Jame detaliai aprašomos visos objekto savybės, jų parametrai, veiksmai ir santykiai. Toliau informacinis modelis turi būti išreikštas viena iš simbolinių formų. Atsižvelgiant į tai, kad dirbsime skaičiuoklės aplinkoje, informacinis modelis turi būti konvertuojamas į matematinį. Remiantis informacija ir matematiniais modeliais, lentelių pavidalu sudaromas kompiuterinis modelis, kuriame išskiriamos trys duomenų sritys: pradiniai duomenys, tarpiniai skaičiavimai, rezultatai. Pirminiai duomenys įvedami rankiniu būdu. Tiek tarpiniai, tiek galutiniai skaičiavimai atliekami pagal formules, parašytas pagal skaičiuoklių taisykles. Meniu

Modeliavimo etapai 3 etapo charakteristikos III etapas. Kompiuterinis eksperimentas Suteikti gyvybės naujiems dizaino pokyčiams, pristatyti naujus techniniai sprendimai pradėti gaminti arba išbandyti naujas idėjas, reikia eksperimento. Neseniai toks eksperimentas galėjo būti atliktas arba laboratorinėmis sąlygomis specialiai jam sukurtose instaliacijose arba in situ, t.y. ant tikro gaminio pavyzdžio, atliekant įvairius bandymus. Tam reikia daug materialinės išlaidos ir laikas. Į pagalbą atėjo kompiuteriniai modelių tyrimai. Atliekant kompiuterinį eksperimentą, tikrinamas modelių teisingumas. Modelio elgsena tiriama esant įvairiems objekto parametrams. Kiekvieną eksperimentą lydi rezultatų supratimas. Jeigu kompiuterinio eksperimento rezultatai prieštarauja sprendžiamos problemos reikšmei, tai klaidos reikia ieškoti neteisingai parinktame modelyje arba jos sprendimo algoritme ir būdu. Nustačius ir pašalinus klaidas, kompiuterinis eksperimentas kartojamas. Meniu

Modeliavimo etapai 4 etapo charakteristikos IV etapas. Modeliavimo rezultatų analizė Finalinis etapas modeliavimas – modelio analizė. Remdamiesi gautais skaičiavimo duomenimis, patikriname, ar skaičiavimai atitinka mūsų supratimą ir modeliavimo tikslus. Šiame etape nustatomos rekomendacijos, kaip tobulinti priimtą modelį ir, jei įmanoma, objektą ar procesą. Meniu

Modelių klasifikacija Klasifikacija pagal naudojimo sritį Švietimo: vaizdinės priemonės, įvairūs treniruokliai, mokymo programos. Patyrę: sumažintos arba padidintos tiriamo objekto kopijos tolimesniam tyrimui (laivo, automobilio, lėktuvo, hidroelektrinės modeliai). Kuriami moksliniai ir techniniai modeliai procesams ir reiškiniams tirti (stovas televizoriams testuoti; sinchrotronas – elektronų greitintuvas ir kt.). Žaidimai: kariniai, ekonominiai, sportiniai, verslo žaidimai. Imitacija: atspindi tikrovę su skirtingu tikslumo laipsniu (naujo vaisto išbandymas atliekant daugybę eksperimentų su pelėmis; eksperimentai pradedant gaminti nauja technologija). Klasifikacija atsižvelgiant į laiko faktorių Statinis modelis – objekto modelis in šiuo metu laiko. Dinaminis modelis leidžia matyti objekto pokyčius laikui bėgant. Meniu

Modelių klasifikacija Klasifikacija pagal vaizdavimo būdą Medžiaginis modelis – tai fizinis objekto panašumas. Jie atkuria originalo geometrines ir fizines savybes (paukščių iškamšos, gyvūnų modeliai, vidaus organai žmogaus kūnas, geografinės ir istoriniai žemėlapiai, saulės sistemos schema). Informacinis modelis – informacijos rinkinys, apibūdinantis objekto, proceso, reiškinio savybes ir būsenas, taip pat santykį su išoriniu pasauliu. Bet kuriame informaciniame modelyje yra tik esminė informacija apie objektą, atsižvelgiant į tikslą, kuriam jis sukurtas. To paties objekto informaciniai modeliai, skirti skirtingiems tikslams, gali būti visiškai skirtingi. Verbalinis modelis – informacinis modelis mentaliniame arba šnekamosios kalbos forma. Ženklų modelis – informacinis modelis, išreiškiamas specialiais ženklais, t.y., bet kokia formalia kalba. Ikoniniai modeliai – tai brėžiniai, tekstai, grafikai, diagramos, lentelės ir kt. Kompiuterinis modelis – tai modelis, įgyvendintas naudojant programinę aplinką. Prieš kuriant objekto (reiškinio, proceso) modelį, būtina nustatyti jo sudedamuosius elementus ir ryšius tarp jų (atlikti sistemos analizę) ir gautą struktūrą „išversti“ į tam tikrą iš anksto nustatytą formą – formalizuoti informaciją. Meniu formalizavimas – tai objekto, reiškinio ar proceso vidinės struktūros išryškinimo ir pavertimo konkretumu procesas informacijos struktūra- forma.

Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija Ekonominiai ir matematiniai modeliai – tai valdomų ir reguliuojamų ekonominių procesų modeliai, kurie naudojami transformuojant ekonominę tikrovę. Modelių tinkamumą objektams modeliuoti lemia tyrimo rezultatų sutapimas su pastebėtais faktais. Praktika šiuo atveju reiškia realybę. Pagal paskirtį ekonominiai-matematiniai modeliai skirstomi į: Teorinius-analitinius Ekonominius-matematinius modelius; nacionalinė ekonomika ir jos posistemių (pramonės šakų, regionų ir kt.) Modeliai yra funkciniai ir struktūriniai. Modeliai gali būti aprašomieji arba normatyviniai. Aprašomieji modeliai atsako į klausimą: kaip tai vyksta ir kaip tai gali vystytis toliau? Norminiai modeliai atsako į klausimą: kaip tai turėtų būti? Tai yra, jie susiję su tikslinga veikla. Yra griežtai deterministiniai modeliai ir modeliai, kuriuose atsižvelgiama į atsitiktinumą ir neapibrėžtumą. Modeliai gali būti statiniai arba dinamiški. Remiantis nagrinėjamo laikotarpio trukme, išskiriami trumpalaikio (1-5 metų) ir ilgalaikio (10-15 ir daugiau metų) prognozavimo ir planavimo modeliai. Pats laikas tokiuose modeliuose gali keistis nuolat arba diskretiškai. Meniu modeliai gali būti linijiniai arba netiesiniai.

Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Inscenizacija ekonomine problema ir jos analizė. Svarbiausia yra nustatyti problemos esmę, padarytas prielaidas ir klausimus, į kuriuos reikia atsakyti. Etapas apima svarbiausių objekto savybių ir savybių išryškinimą, abstrahavimą nuo antraeilių. Jei reikia, hipotezių suformavimas, paaiškinantis objekto elgesį ir vystymąsi. Matematinio modelio konstravimas. Ekonominės problemos formalizavimo etapas. Klaidinga manyti, kad kuo daugiau faktų modelis atsižvelgia, tuo jis geresnis. Modelio sudėtingumo ir sudėtingumo keitimas apsunkina tyrimo procesą. Būtina atsižvelgti į realias informacijos ir matematinės paramos galimybes. Būtina palyginti modeliavimo kainą su gaunamu efektu. Viena iš svarbiausių matematinio modelio savybių yra galimybė jį panaudoti sprendžiant įvairias problemas. Meniu

Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Matematinė modelio analizė. Šio etapo tikslas – išsiaiškinti bendrosios savybės modeliai. Svarbus punktas– sprendimo egzistavimo įrodymas. Pradinės informacijos rengimas Būtina atsižvelgti į reikalingos informacijos surinkimo laiką ir atsižvelgti į informacijos parengimo išlaidas. Rengimo procese plačiai taikomi tikimybių teorijos, teorinės ir matematinės statistikos metodai. Skaitinis sprendimas. Skaitmeninio uždavinio sprendimo algoritmų kūrimas, kompiuterinių programų sudarymas ir tiesioginiai skaičiavimai. Šiame etape sunkumų sukelia didelis matmuo ūkinius uždavinius ir būtinybė apdoroti didelius informacijos kiekius. Meniu analizė skaitiniai rezultatai ir jų taikymas. Šiame etape kyla klausimas dėl modeliavimo rezultatų teisingumo ir išsamumo bei jų praktinio pritaikymo laipsnio.

Linijinis programavimas. Tai matematinio modeliavimo šaka, kurios visos priklausomybės yra tiesinės. Bet kurios linijinio programavimo uždavinio matematinis modelis yra Z= max(min) Meniu sąlygos neneigiamumui Xj ≥ 0

Pavyzdys: Gaminant gaminius u 1 ir u 2, naudojamos tekinimo ir frezavimo staklės, taip pat plienas ir spalvotieji metalai pagal technologinius standartus gaminio vienetui u 1, 300 ir 200 vnt. reikia atitinkamai tekinimo ir frezavimo įrangos (valandomis), o plieno ir spalvotųjų metalų – 10 ir 20 vienetų (kg.). gaminiui u pagaminti reikia atitinkamai 2, 400, 100, 70, 50 vienetų tų pačių išteklių. Dirbtuvėse yra 12400 ir 6800 valandų, 640 ir 840 kg. medžiaga. Pelnas iš pardavimo vienam gaminio vienetui u 1=6000 den. vienetų , u 2 = 16000 den. vienetų Būtina: apibendrinkite šaltinio duomenis į lentelę, patogią modeliui kurti. Sukurkite matematinį problemos modelį. Nustatyti gaminių gamybos planą, užtikrinti maksimalų pelną su sąlyga, kad turi būti pilnai išnaudotas frezavimo staklių darbo laikas.

Sprendimas: Tegul x1 yra produktų skaičius u 1, o x2 – produktų skaičius u 2, z – visas pelnas.

Linijinis programavimas. Tai yra įprasta arba išvestinė žymėjimo forma. Kintamieji Xj, kurie tenkina apribojimų sistemą ir neneigiamumo sąlygą, vadinami priimtinais. Galiojantys kintamieji, paverčiantys tikslo funkciją į max arba min, vadinami optimaliais. Tokių problemų sprendimo būdai skirstomi į universalius ir specialiuosius. Universalus metodas naudojamas bet kokiam PLP išspręsti. Specialūs metodai atsižvelgti į modelio ypatybes. Ypatinga ZLP ypatybė yra ta, kad maksimali (min) tikslo funkcija pasiekia regiono ribą priimtini sprendimai. PLP apima: optimalių technologijų pasirinkimo problemą; mišinio problema; pjovimo medžiagos problema; transporto problema; Meniu problema yra apie geriausią išteklių panaudojimą; užsakymo pateikimo problema;

Linijinio programavimo uždavinio teiginys Bet kuris ZLP parašytas naudojant matematinį modelį. Yra 3 įrašymo formos PAP meniu Bendrasis (nemokamas)

Tiesinio programavimo uždavinio teiginys Visos šios formos yra lygiavertės. Norint pereiti nuo max iki min (arba atvirkščiai), reikia pakeisti kiekvieno termino ženklus tikslinės funkcijos žymėjime. Norėdami formos nelygybę paversti formos nelygybe (ir atvirkščiai), reikia padauginti abi nelygybės puses iš -1. Meniu Kanoninis (pagrindinis) Norint nelygybę paversti lygybe (ir atvirkščiai), reikia pridėti arba iš kairės pusės atimti papildomą neneigiamą kintamąjį, jis vadinamas balanso kintamuoju. Rašant tikslo funkciją, jos koeficientas =0.

Modelis (iš lot. modulis – matas) ir modeliavimas yra bendrosios mokslinės sąvokos. Modeliavimas bendruoju moksliniu požiūriu veikia kaip pažinimo būdas konstruojant specialius objektus, sistemas – tiriamų objektų, reiškinių ar procesų modelius. Šiuo atveju vienas ar kitas objektas vadinamas modeliu, kai iš jo gaunama informacija apie kitą objektą – modelio prototipą.

Modeliavimo metodas taikomas praktiškai visuose be išimties moksluose ir visuose mokslinių tyrimų etapuose. Euristinę šio metodo galią lemia tai, kad modeliavimo metodo pagalba galima sumažinti komplekso tyrimą iki paprasto, nematomo ir neapčiuopiamo, matomo ir apčiuopiamo ir kt.

Tirdami objektą (procesą ar reiškinį) modeliavimo metodu, kaip modelį galime pasirinkti tas savybes, kurios šiuo metu mus domina. Mokslinis bet kurio objekto tyrimas visada yra santykinis. IN atvejo analizė neįmanoma laikyti objekto visa jo įvairove. Vadinasi, tas pats objektas gali turėti daug skirtingų modelių ir nė vieno iš jų negalima sakyti, kad jis yra vienintelis, tikras modelisšio objekto.

Įprasta išskirti keturis pagrindinius savybių modeliai:

· supaprastinimas, palyginti su tiriamu objektu;

· gebėjimas reflektuoti ar atkurti tiriamąjį objektą;

· gebėjimas pakeisti tyrimo objektą tam tikrose jo pažinimo stadijose;

· galimybė gauti naujos informacijos apie tiriamą objektą.

Įvairių reiškinių ar procesų tyrimas matematiniais metodais atliekamas naudojant matematinį modelį. Matematinis modelis yra formalizuotas aprašomas tiriamo objekto matematikos kalba. Toks formalizuotas aprašymas gali būti tiesinių, netiesinių ar diferencialinių lygčių sistema, nelygybių sistema, apibrėžtasis integralas, daugianario su nežinomais koeficientais ir kt.. Matematinis modelis turi apimti svarbiausias tiriamo objekto charakteristikas ir atspindėti ryšiai tarp jų.

Prieš sukuriant matematinį objekto (proceso ar reiškinio) modelį, jis ilgai tiriamas įvairių metodų: stebėjimas, specialiai organizuoti eksperimentai, teorinė analizė ir pan., tai yra gana gerai ištiria kokybinę reiškinio pusę, nustato ryšius, kuriuose yra objekto elementai. Tada objektas supaprastinamas, o iš jam būdingų savybių įvairovės išskiriami reikšmingiausi. Jei reikia, daromos prielaidos apie esamus ryšius su išoriniu pasauliu.

Kaip minėta anksčiau, bet koks modelis nėra identiškas pačiam reiškiniui, jis tik pateikia tam tikrą aproksimaciją su tikrove. Tačiau modelyje pateikiamos visos prielaidos, kuriomis jis grindžiamas. Šios prielaidos gali būti neapdorotos, tačiau jos visiškai patenkina tikrovę. Tam pačiam reiškiniui galima sukurti kelis modelius, įskaitant matematinius. Pavyzdžiui, galite apibūdinti Saulės sistemos planetų judėjimą naudodami:

8 Keplerio modelis, kurį sudaro trys dėsniai, įskaitant matematines formules(elipsės lygtis);

8 Niutono modelis, kuris susideda iš vienos formulės, tačiau vis dėlto yra bendresnis ir tikslesnis.

Optikoje buvo nagrinėjami keli šviesos modeliai: korpuskulinis, banginis ir elektromagnetinis. Jiems buvo sukurta daugybė kiekybinių modelių. Kiekvienam iš šių modelių reikėjo savo matematinio požiūrio ir atitinkamų matematinių įrankių. Korpuskulinė optika panaudojo Euklido geometrijos priemones ir priėjo prie išvados apie šviesos atspindžio ir lūžio dėsnius. Šviesos teorijos bangų modelis reikalavo naujo matematines idėjas ir grynai skaičiavimo priemonėmis buvo atrasti nauji faktai, susiję su šviesos difrakcijos ir trukdžių reiškiniais, kurie anksčiau nebuvo pastebėti. Geometrinė optika, siejamas su korpuskuliniu modeliu, čia pasirodė bejėgis.

Sukonstruotas modelis turi būti toks, kad galėtų pakeisti objektą (procesą ar reiškinį) tyrime ir turi turėti panašių savybių. Panašumas pasiekiamas dėl struktūros panašumo (izomorfizmas) arba dėl elgesio ar veikimo analogijos (izofunkcionalumo). Remiantis modelio ir originalo struktūros arba funkcijos panašumu šiuolaikinės technologijos patikrinti, apskaičiuoti ir projektuoti labai sudėtingos sistemos, mašinos ir konstrukcijos.

Kaip minėta aukščiau, tam pačiam objektui, procesui ar reiškiniui galima sukurti daug skirtingų modelių. Kai kurie iš jų (nebūtinai visi) gali būti izomorfiniai. Pavyzdžiui, in analitinė geometrija kreivė plokštumoje naudojama kaip atitinkamos dviejų kintamųjų lygties modelis. Šiuo atveju modelis (kreivė) ir prototipas (lygtis) yra izomorfiniai sistemoms (kreivėje esantys taškai ir atitinkamos skaičių poros, atitinkančios lygtį),

Knygoje „Matematika atlieka eksperimentą“ akademikas N. N. Moisejevas rašo, kad bet koks matematinis modelis gali atsirasti trimis būdais:

· Dėl tiesioginio objekto (proceso ar reiškinio) tyrimo ir supratimo (fenomenologinio) (pavyzdys – lygtys, apibūdinančios atmosferos, vandenyno dinamiką),

· Dėl tam tikro dedukcijos proceso, kai gaunamas naujas modelis kaip ypatingas atvejis bendresnis modelis (besimptomis) (pavyzdys - atmosferos hidrotermodinamikos lygtys),

· Dėl tam tikro indukcijos proceso, kai naujasis modelis yra natūralus „elementarių“ modelių apibendrinimas (ansamblio modelis arba apibendrintas modelis).

Matematinių modelių kūrimo procesas susideda iš šių dalykų etapai:

· problemos formulavimas;

· modeliavimo tikslo nustatymas;

· dalykinės srities tyrimų organizavimas ir vykdymas (modeliuojamojo objekto savybių tyrimas);

· modelio kūrimas;

· tikrinti jo tikslumą ir atitiktį tikrovei;

· praktinis naudojimas, t.y. modeliu gautų žinių perkėlimas į tiriamą objektą ar procesą.

Ypatinga reikšmė modeliavimas kaip gamtos dėsnių ir reiškinių supratimo būdas įgyjamas tiriant objektus, kurie nėra visiškai prieinami tiesioginiam stebėjimui ar eksperimentavimui. Tai apima socialines sistemas, vienintelis galimas studijų būdas, kuris dažnai yra modeliavimas.

Įprasti metodai nėra matematinių modelių konstravimo. Kiekvienu konkrečiu atveju būtina remtis turimais duomenimis, tiksline orientacija, atsižvelgti į tyrimo tikslus, taip pat subalansuoti modelio tikslumą ir detalumą. Ji turėtų atspindėti svarbiausias reiškinio ypatybes, esminius veiksnius, nuo kurių daugiausia priklauso modeliavimo sėkmė.

Kurdami modelius turite laikytis šių pagrindinių principų: metodinius principus modeliavimas socialiniai reiškiniai:

· problematiškumo principas, reiškiantis judėjimą ne nuo paruoštų „universalių“ matematinių modelių prie problemų, o nuo realių, aktualių problemų – prie specialių modelių paieškos ir kūrimo;

· sistemiškumo principas, kuriame atsižvelgiama į visus modeliuojamo reiškinio tarpusavio ryšius sistemos ir jos aplinkos elementų požiūriu;

· valdymo procesų įforminimo kintamumo principas, susijęs su specifiniais gamtos ir visuomenės raidos dėsnių skirtumais. Norint jį paaiškinti, būtina atskleisti esminį socialinių procesų modelių ir gamtos reiškinius aprašančių modelių skirtumą.

Paskaita Nr.1

Įvadas. Matematinių modelių ir metodų samprata

1 skyrius. Įvadas

2. Matematinių modelių konstravimo metodai. Koncepcija sistemingas požiūris. 1

3. Pagrindinės matematinio modeliavimo sąvokos ekonominės sistemos.. 4

4. Analitinio, modeliavimo ir pilno masto modeliavimo metodai. 5

Testo klausimai.. 6

1. Dalykos „Modeliavimo metodai“ turinys, tikslai ir uždaviniai

Ši disciplina skirta modeliavimo metodų studijoms ir praktinis pritaikymasįgytų žinių. Drausmės tikslas – ugdyti mokinius bendrus klausimus modeliavimo teorija, matematinių modelių konstravimo metodai ir formalus aprašymas procesai ir objektai, matematinių modelių panaudojimas atliekant skaičiavimo eksperimentus ir sprendžiant optimizavimo problemos, naudojant šiuolaikines skaičiavimo priemones.

Šios disciplinos tikslai apima:

Supažindinti studentus su pagrindinėmis matematinio modeliavimo teorijos, sistemų teorijos, panašumo teorijos, eksperimentinio planavimo teorijos ir eksperimentinių duomenų apdorojimo, naudojamų matematiniams modeliams kurti, sąvokomis;

Suteikti studentams įgūdžių modeliavimo uždavinių nustatymo, objektų/procesų/ matematinių aprašymų, skaitmeninių matematinių modelių diegimo kompiuteryje ir optimizavimo uždavinių sprendimo metodų.

Studijuodamas discipliną, studentas turi įsisavinti matematinio procesų ir objektų modeliavimo metodus nuo problemos formulavimo iki matematinių modelių diegimo kompiuteryje ir modelių tyrimo rezultatų pristatymo.

Disciplinos kursą sudaro 12 paskaitų ir 12 praktinių darbų. Studijuodamas discipliną, studentas turi įsisavinti matematinio modeliavimo metodus nuo uždavinių formulavimo iki matematinių modelių diegimo kompiuteryje.

2. Matematinių modelių konstravimo metodai. Sisteminio požiūrio samprata

5. Problemos sprendimas.

Nuoseklus operacijų tyrimo metodų taikymas ir jų diegimas šiuolaikinėse informacinėse ir kompiuterinėse technologijose leidžia įveikti subjektyvumą ir pašalinti vadinamuosius stiprios valios sprendimus, pagrįstus ne griežtu ir tiksliu objektyvių aplinkybių įvertinimu, o atsitiktinėmis emocijomis ir asmeniniu interesu. vadovai skirtingi lygiai kurie, be to, negali derinti šių valingų sprendimų.

Sistemos analizė leidžia atsižvelgti į ir valdyme panaudoti visą turimą informaciją apie valdomą objektą, derinti priimtus sprendimus objektyvaus, o ne subjektyvaus efektyvumo kriterijaus požiūriu. Taupymas skaičiuojant valdant yra tas pats, kas taupant taikant šaudant. Tačiau kompiuteris ne tik leidžia atsižvelgti į visą informaciją, bet ir atleidžia valdytoją nuo nereikalingos informacijos, o visą reikiamą informaciją aplenkia, pateikdamas jam tik labiausiai apibendrintą informaciją, kvintesenciją. Sisteminis požiūris ekonomikoje yra efektyvus pats savaime, nenaudojant kompiuterio, kaip tyrimo metodas ir nekeičia anksčiau atrastų ekonomikos dėsnių, o tik moko, kaip geriausiai juos panaudoti.

4. Analitinio, modeliavimo ir pilno masto modeliavimo metodai

Simuliacija yra galingas metodas mokslo žinios, kuriose tiriamas objektas pakeičiamas paprastesniu objektu, vadinamu modeliu. Pagrindiniais modeliavimo proceso tipais galima laikyti du tipus – matematinį ir fizinį modeliavimą. Fizinio (viso masto) modeliavimo metu tiriama sistema pakeičiama ją atitinkančia kita materialinė sistema, kuri atkuria tiriamos sistemos savybes jas išsaugant fizinė prigimtis. Tokio modeliavimo pavyzdys yra bandomasis tinklas, kurio pagalba tiriama esminė galimybė sukurti tinklą, pagrįstą tam tikrais kompiuteriais, ryšio įrenginiais, operacinėmis sistemomis ir programomis.

Fizinio modeliavimo galimybės yra gana ribotos. Tai leidžia išspręsti individualias problemas nurodant nedidelį tiriamų sistemos parametrų derinių skaičių. Tiesa, kada viso masto modeliavimas kompiuterių tinkle beveik neįmanoma patikrinti jo veikimo, ar nėra pasirinkimų įvairių tipų ryšio prietaisai – maršrutizatoriai, jungikliai ir kt. Praktiškai išbandoma apie dešimt skirtingų tipų maršrutizavimas yra susijęs ne tik su didelėmis pastangomis ir laiko sąnaudomis, bet ir su didelėmis materialinėmis išlaidomis.

Tačiau net ir tais atvejais, kai optimizuojant tinklą keičiasi ne įrenginių ir operacinių sistemų tipai, o tik jų parametrai, atlikti eksperimentus realiuoju laiku su daugybe įvairių šių parametrų derinių per numatomą laiką praktiškai neįmanoma. . Net paprasčiausiai pakeitus maksimalų paketo dydį bet kuriame protokole, reikia iš naujo konfigūruoti operacinė sistemašimtuose kompiuterių tinkle, o tai reikalauja daug tinklo administratoriaus darbo.

Todėl, optimizuojant tinklus, daugeliu atvejų pageidautina naudoti matematinį modeliavimą. Matematinis modelis yra sąryšių (formulių, lygčių, nelygybių, loginių sąlygų) visuma, kuri lemia sistemos būsenos keitimo procesą priklausomai nuo jos parametrų, įvesties signalų, pradines sąlygas ir laikas.

Ypatinga matematinių modelių klasė yra modeliavimo modeliai. Tokie modeliai yra kompiuterine programa, kuriame žingsnis po žingsnio atkuriami įvykiai, vykstantys tikroji sistema. Kalbant apie kompiuterių tinklus, jų modeliavimo modeliai atkuria programų pranešimų generavimo procesus, pranešimų skaidymą į tam tikrų protokolų paketus ir kadrus, delsas, susijusias su pranešimų, paketų ir kadrų apdorojimu operacinėje sistemoje, kompiuterio prieigos prie bendra tinklo aplinka, gaunamų paketų apdorojimo maršrutizatoriumi procesas ir tt Imituojant tinklą, nereikia pirkti brangios įrangos – jos veikimas imituojamas programomis, kurios gana tiksliai atkuria visas pagrindines tokios įrangos savybes ir parametrus.

Simuliacinių modelių privalumas yra galimybė pakeisti įvykių keitimo procesą tiriamoje sistemoje realiu laiku pagreitintu įvykių keitimo procesu programos tempu. Dėl to per kelias minutes galima atkurti kelių dienų tinklo veikimą, o tai leidžia įvertinti tinklo veikimą įvairiais parametrais.

Modeliavimo modelio rezultatas – statistiniai duomenys, surinkti stebint vykstančius įvykius apie daugiausiai svarbias savybes tinklas: atsako laikas, kanalų ir mazgų panaudojimo rodikliai, paketų praradimo tikimybė ir kt.

Yra specialių kalbų imitacinis modeliavimas, kurios palengvina programos modelio kūrimo procesą, lyginant su universalių programavimo kalbų naudojimu. Modeliavimo kalbų pavyzdžiai apima tokias kalbas kaip SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Taip pat yra modeliavimo modeliavimo sistemų, kurios orientuojasi į siaurą tiriamų sistemų klasę ir leidžia kurti modelius be programavimo.

Saugumo klausimai

4 PASKAITA

Matematinio modeliavimo apibrėžimas ir tikslas

Pagal modelis(iš lot. modulio - matas, pavyzdys, norma) suprasime tokį materialiai ar mintyse reprezentuojamą objektą, kuris pažinimo (tyrimo) procese pakeičia pirminį objektą, išsaugodamas kai kuriuos šiam tyrimui svarbius jam būdingus bruožus. Modelio kūrimo ir naudojimo procesas vadinamas modeliavimu.

Esmė matematinis modeliavimas (MM) susideda iš tiriamo objekto (proceso) pakeitimo tinkamu matematiniu modeliu ir tolesnio šio modelio savybių tyrimo naudojant analitinius metodus arba skaičiavimo eksperimentus.

Kartais naudingiau, užuot pateikus griežtus apibrėžimus, apibūdinti tam tikrą sąvoką terminais konkretus pavyzdys. Todėl aukščiau pateiktus MM apibrėžimus iliustruojame naudodami specifinio impulso skaičiavimo problemos pavyzdį. 60-ųjų pradžioje mokslininkai susidūrė su užduotimi sukurti raketų kurą, turintį didžiausią specifinį impulsą. Raketos varymo principas yra toks: skystas kuras ir oksidatorius iš raketų bakų tiekiami į variklį, kur jie sudeginami, o degimo produktai išleidžiami į atmosferą. Iš impulso išsaugojimo dėsnio išplaukia, kad šiuo atveju raketa judės dideliu greičiu.

Specifinis kuro impulsas yra gautas impulsas, padalytas iš kuro masės. Eksperimentų vykdymas buvo labai brangus ir dėl to buvo sistemingai sugadinta įranga. Paaiškėjo, kad paprasčiau ir pigiau apskaičiuoti termodinamines funkcijas idealios dujos, naudojant juos išeinančių dujų sudėčiai ir plazmos temperatūrai apskaičiuoti, o tada specifiniam impulsui. Tai yra, atlikti kuro degimo proceso MM.

Matematinio modeliavimo (MM) sąvoka šiandien yra viena iš labiausiai paplitusių mokslinėje literatūroje. Didžioji dauguma šiuolaikinių diplomų ir disertacijos susiję su atitinkamų matematinių modelių kūrimu ir naudojimu. Kompiuterinis MM šiandien yra neatskiriama dalis daug sričių žmogaus veikla(mokslas, technologijos, ekonomika, sociologija ir kt.). Tai viena iš priežasčių, kodėl šiandien trūksta specialistų informacinių technologijų srityje.

Spartų matematinio modeliavimo augimą lemia spartus kompiuterinių technologijų tobulėjimas. Jei prieš 20 metų su skaitiniais skaičiavimais užsiimdavo tik nedidelė programuotojų dalis, tai dabar šiuolaikinių kompiuterių atminties talpa ir sparta leidžia spręsti matematinio modeliavimo uždavinius, prieinamus visiems specialistams, taip pat ir universiteto studentams.

Bet kurioje disciplinoje pirmiausia pateikiamas kokybinis reiškinių aprašymas. Ir tada – kiekybinis, suformuluotas dėsnių, nustatančių ryšius tarp, forma skirtingi kiekiai(lauko stiprumas, sklaidos intensyvumas, elektronų krūvis, ...) matematinių lygčių pavidalu. Todėl galime teigti, kad kiekvienoje disciplinoje yra tiek mokslo, kiek jame yra matematikos, ir šis faktas leidžia sėkmingai išspręsti daugelį problemų naudojant matematinio modeliavimo metodus.

Šis kursas skirtas taikomosios matematikos specialybės studentams, baigiantiems magistro darbą vadovaujant įvairių sričių mokslininkams. Todėl šis kursas reikalingas ne tik kaip mokomoji medžiaga, bet ir kaip pasiruošimas diplominis darbas. Norėdami studijuoti šį kursą, mums reikės šių matematikos skyrių:

1. Lygtys matematinė fizika(lenkimo mechanika, dujos ir hidrodinamika)

2. Tiesinė algebra (elastingumo teorija)

3. Skaliariniai ir vektoriniai laukai (lauko teorija)

4. Tikimybių teorija (kvantinė mechanika, statistinė fizika, fizikinė kinetika)

5. Specialios funkcijos.

6. Tenzorinė analizė (elastingumo teorija)

7. Matematinė analizė

MM gamtos mokslų, technologijų ir ekonomikos srityse

Pirmiausia panagrinėkime įvairias gamtos mokslų, technologijų ir ekonomikos dalis, kuriose naudojami matematiniai modeliai.

Gamtos mokslas

Fizika, nustatanti pagrindinius gamtos mokslų dėsnius, ilgą laiką buvo skirstoma į teorinę ir eksperimentinę. Teorinė fizika nagrinėja lygčių, apibūdinančių fizikinius reiškinius, išvedimą. Taigi teorinę fiziką taip pat galima laikyti viena iš matematinio modeliavimo sričių. (Atminkite, kad pirmosios fizikos knygos pavadinimas – I. Newtono „Matematiniai gamtos filosofijos principai“ gali būti išverstas į šiuolaikinė kalba kaip „Matematiniai gamtos mokslų modeliai.“) Remiantis gautais dėsniais, atliekami inžineriniai skaičiavimai, kurie atliekami įvairiuose institutuose, įmonėse, projektavimo biuruose. Šios organizacijos kuria šiuolaikinių, žinioms imlių produktų gamybos technologijas.

Viena iš plačiausių fizikos šakų yra klasikinė mechanika(kartais šis skyrius vadinamas teoriniu arba analitinė mechanika). Šis skyrius teorinė fizika tiria kūnų judėjimą ir sąveiką. Skaičiavimai naudojant formules teorinė mechanika būtini tiriant kūnų sukimąsi (inercijos momentų skaičiavimas, girostatai – prietaisai, laikantys sukimosi ašį stacionarią), kūno judėjimo beorėje erdvėje analizę ir kt. Viena iš teorinės mechanikos skyrių vadinama teorija stabilumo ir yra daugelio matematinių modelių, apibūdinančių orlaivių, laivų, raketų judėjimą, pagrindas. Skyriai praktinė mechanika– kursai „Mašinų ir mechanizmų teorija“, „Mašinų dalys“, kuriuos studijavo beveik visi studentai technikos universitetai(įskaitant MGIU).

Elastingumo teorija– skyriaus dalis mechanika kontinuumas , darant prielaidą, kad medžiaga elastingas korpusas vienalytis ir nuolat pasiskirstęs visame kūno tūryje, kad mažiausias iš korpuso atpjautas elementas būtų vienodas fizines savybes, kaip ir visas kūnas. Tamprumo teorijos taikymas – kursą „Medžiagų stiprumas“ studijuoja visų technikos universitetų (taip pat ir Maskvos valstybinio universiteto) studentai. Šis skyrius reikalingas visiems stiprumo skaičiavimams. Tai apima laivų, orlaivių, raketų korpusų stiprumo apskaičiavimą, pastatų plieninių ir gelžbetoninių konstrukcijų stiprumo skaičiavimą ir daug daugiau.

Dujos ir hidrodinamika, kaip ir elastingumo teorija, yra sekcijos dalis kontinuumo mechanika, nagrinėja skysčių ir dujų judėjimo dėsnius. Dujų ir hidrodinamikos lygtys būtinos analizuojant kūnų judėjimą skystose ir dujinėse terpėse (palydovai, povandeniniai laivai, raketos, sviediniai, automobiliai), skaičiuojant dujų nutekėjimą iš raketų ir lėktuvų variklių purkštukų. Praktinis hidrodinamikos pritaikymas - hidraulika (stabdžiai, vairas,...)

Ankstesnėse mechanikos dalyse buvo nagrinėjamas kūnų judėjimas makrokosmose ir fiziniai dėsniai makrokosmosas netaikomas mikrokosmose, kuriame juda medžiagos dalelės – protonai, neutronai, elektronai. Čia galioja visiškai kiti principai, o mikropasauliui apibūdinti tai būtina kvantinė mechanika. Pagrindinė lygtis, apibūdinanti mikrodalelių elgesį, yra Schrödingerio lygtis: . Čia yra Hamiltono operatorius (Hamiltono). Vienmatė dalelių judėjimo lygtis https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potential energy. Šios problemos sprendimas lygtis yra aibė savąsias reikšmes energija ir savosios funkcijos..gif" width="55" height="24 src=">– tikimybinis tankis. Kvantiniai mechaniniai skaičiavimai reikalingi kuriant naujas medžiagas (mikroschemas), kuriant lazerius, kuriant metodus spektrinė analizė ir kt.

Išspręskite daugybę problemų kinetika, apibūdinantis dalelių judėjimą ir sąveiką. Čia turime difuziją, šilumos perdavimą ir plazmos teoriją – ketvirtąją materijos būseną.

Statistinė fizika svarsto dalelių ansamblius, leidžia pasakyti apie ansamblio parametrus pagal atskirų dalelių savybes. Jei ansamblį sudaro dujų molekulės, tada išvestiniai metodai statistinė fizika ansamblio savybės yra dujinės būsenos lygtys, gerai žinomos iš vidurinės mokyklos: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=" >.gif" width ="16" height="17">-dujų molekulinė masė. K – Rydbergo konstanta. Statistiniai metodai Taip pat apskaičiuojamos metalų tirpalų, kristalų, elektronų savybės. Statistinės fizikos MM – teorinis pagrindas termodinamika, kuria grindžiamas variklių, šilumos tinklų ir stočių skaičiavimas.

Lauko teorija MM metodais aprašo vieną pagrindinių materijos formų – lauką. Šiuo atveju pagrindinis interesas yra elektromagnetiniai laukai. Lygtys elektromagnetinis laukas(elektrodinamiką) išvedė Maxwellas: , , . Čia ir https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - krūvio tankis, - srovės tankis. Elektrodinamikos lygtys grindžiamos sklidimo skaičiavimais elektromagnetinių bangų, reikalingų apibūdinti radijo bangų sklidimą (radijo, televizijos, korinio ryšio), ir paaiškinti radarų stočių veikimą.

Chemija gali būti pateikta dviem aspektais, išryškinant aprašomąją chemiją – cheminių veiksnių atradimą ir jų aprašymą – ir teorinę chemiją – teorijų, leidžiančių apibendrinti nustatytus veiksnius ir pateikti juos konkrečios sistemos pavidalu, kūrimą (L. Pauling ). Teorinė chemija dar vadinama fizikine chemija ir iš esmės yra fizikos šaka, tirianti medžiagas ir jų sąveiką. Todėl viskas, kas buvo pasakyta apie fiziką, visiškai tinka chemijai. Skyriai fizikinė chemija Bus termochemija, tirianti reakcijų šiluminį poveikį, cheminė kinetika (reakcijos greitis), kvantinė chemija (molekulių sandara). Tuo pačiu metu chemijos problemos gali būti labai sudėtingos. Pavyzdžiui, kvantinės chemijos – atomų ir molekulių sandaros mokslo – problemoms spręsti naudojamos programos, kurios savo apimtimi prilygsta šalies oro gynybos programoms. Pavyzdžiui, norint aprašyti UCl4 molekulę, susidedančią iš 5 atomų branduolių ir +17*4) elektronų, reikia užrašyti judėjimo lygtį – dalines diferencialines lygtis.

Biologija

Matematika į biologiją iš tikrųjų atėjo tik XX amžiaus antroje pusėje. Pirmieji bandymai apibūdinti matematiškai biologiniai procesai remtis populiacijos dinamikos modeliais. Populiacija – tai tos pačios rūšies individų bendruomenė, užimanti tam tikrą Žemės erdvės plotą. Ši sritis matematinė biologija, kuri tiria populiacijos dydžio pokyčius skirtingos sąlygos(konkuruojančių rūšių, plėšrūnų, ligų ir kt. buvimas) ir vėliau buvo matematinių bandymų vieta, kurioje buvo „testuojami“ matematiniai modeliai. skirtingos sritys biologija. Įskaitant evoliucijos, mikrobiologijos, imunologijos ir kitų sričių, susijusių su ląstelių populiacijomis, modelius.
Pats pirmasis žinomas modelis, suformuluotas biologine formule, yra garsioji Fibonačio serija (kiekvienas paskesnis skaičius yra ankstesnių dviejų suma), kurią savo darbe citavo Leonardo iš Pizos XIII amžiuje. Tai skaičių serija, nusakanti kiekvieną mėnesį gimstančių triušių porų skaičių, jei triušiai pradeda veistis nuo antrojo mėnesio ir kiekvieną mėnesį užaugina porą triušių. Eilutė žymi skaičių seką: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

8, 13, …

Kitas pavyzdys – jonų transmembraninių transportavimo procesų ant dirbtinės dvisluoksnės membranos tyrimas. Čia, norint ištirti porų, per kurias jonas pereina per membraną į ląstelę, susidarymo dėsnius, reikia sukurti modelio sistemą, kurią būtų galima tirti eksperimentiškai ir kuriai būtų galima gerai išplėtoti mokslo fizinį aprašymą. būti naudojamas.

Klasikinis MM pavyzdys taip pat yra Drosophila populiacija. Dar patogesnis modelis – virusai, kuriuos galima dauginti in vitro. Modeliavimo metodai biologijoje – tai dinaminių sistemų teorijos metodai, o priemonės – diferencialinės ir diferencialinės lygtys, diferencialinių lygčių kokybinės teorijos metodai, imitacinis modeliavimas.
Biologijos modeliavimo tikslai:
3. Sistemos elementų sąveikos mechanizmų išaiškinimas
4. Modelio parametrų identifikavimas ir patikrinimas naudojant eksperimentinius duomenis.
5. Sistemos (modelio) stabilumo įvertinimas.

6. Sistemos elgesio, veikiant įvairiems išoriniams poveikiams, numatymas, įvairiais būdais valdymas ir kt.
7. Optimalus sistemos valdymas pagal pasirinktą optimalumo kriterijų.

Technika

Pagerina technologijas didelis skaičius specialistais, kurie savo darbą grindžia rezultatais moksliniai tyrimai. Todėl MM technologijose yra tas pats, kas gamtos mokslų MM, kuris buvo aptartas aukščiau.

Ekonomika ir socialiniai procesai

Visuotinai pripažįstama, kad matematinį modeliavimą kaip makroekonominių procesų analizės metodą pirmasis panaudojo karaliaus Liudviko XV gydytojas dr. Francois Quesnay, kuris 1758 metais išleido veikalą „Ūkio lentelė“. Šis darbas buvo pirmasis bandymas kiekybiškai aprašyti nacionalinė ekonomika. O knygoje 1838 m O. Cournot„Turto teorijos matematinių principų studija“ kiekybiniai metodai pirmiausia buvo panaudoti analizuojant konkurenciją prekių rinkoje įvairiose rinkos situacijose.

Plačiai žinoma ir Malthuso populiacijos teorija, kurioje jis pasiūlė idėją: gyventojų skaičiaus augimas ne visada yra pageidautinas, ir šis augimas eina greičiau, o tai padidina gyventojų aprūpinimo maistu galimybes. Matematinis tokio proceso modelis yra gana paprastas: Tegul gyventojų skaičiaus augimas per laiką https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> būna lygus . ir – koeficientai, atsižvelgiant į vaisingumą ir mirtingumą (asm./metai).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentiniai ir matematiniai metodai " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="žymė"> matematiniai metodai analizė (pavyzdžiui, pastaraisiais dešimtmečiais humanitariniuose moksluose atsirado matematinės kultūros raidos teorijos, buvo kuriami ir tiriami matematiniai mobilizacijos modeliai, ciklinis vystymasis sociokultūriniai procesai, žmonių ir valdžios sąveikos modelis, ginklavimosi lenktynių modelis ir kt.).

Apskritai socialinių ir ekonominių procesų MM procesą galima suskirstyti į keturis etapus:

hipotezių sistemos formulavimas ir konceptualaus modelio sukūrimas; matematinio modelio kūrimas; modelio skaičiavimų rezultatų analizė, kuri apima jų palyginimą su praktika; naujų hipotezių formulavimas ir modelio patikslinimas, esant neatitikimams tarp skaičiavimo rezultatų ir praktinių duomenų.

Atkreipkite dėmesį, kad paprastai matematinio modeliavimo procesas yra ciklinis, nes net ir studijuojant palyginti paprasti procesai Retai kada pavyksta sukurti adekvatų matematinį modelį ir iš pirmo žingsnio pasirinkti tikslius jo parametrus.

Šiuo metu ekonomika laikoma sudėtinga besivystančia sistema kiekybinis aprašymas kuriame naudojami įvairaus sudėtingumo dinaminiai matematiniai modeliai. Viena iš makroekonominės dinamikos tyrimų krypčių siejama su gana paprastų netiesinių modeliavimo modelių, atspindinčių įvairių posistemių – darbo rinkos, prekių rinkos, finansų sistemos, sąveiką, konstravimu ir analize. natūrali aplinka ir tt

Katastrofų teorija vystosi sėkmingai. Ši teorija sprendžia klausimą, kokiomis sąlygomis keičiasi parametrai netiesinė sistema sukelia taško judėjimą fazinė erdvė, apibūdinantis sistemos būseną, nuo traukos srities iki pradinės pusiausvyros padėties iki traukos srities į kitą pusiausvyros padėtį. Pastaroji labai svarbi ne tik techninių sistemų analizei, bet ir socialinių ekonominių procesų tvarumo suvokimui. Šiuo atžvilgiu išvados yra įdomios apie netiesinių valdymo modelių tyrimo svarbą. 1990 m. išleistoje knygoje „Katastrofų teorija“ jis ypač rašo: „... dabartinis pertvarkymas daugiausia paaiškinamas tuo, kad pradėjo veikti bent kai kurie mechanizmai. atsiliepimai(asmeninio sunaikinimo baimė).

(modelio parametrai)

Kuriant realių objektų ir reiškinių modelius dažnai tenka susidurti su informacijos trūkumu. Tiriamo objekto savybių pasiskirstymas, poveikio parametrai ir pradinė būsena yra žinomi su skirtingu neapibrėžtumo laipsniu. Kuriant modelį galimos šios neapibrėžtų parametrų apibūdinimo parinktys:

Matematinių modelių klasifikacija

(įgyvendinimo metodai)

MM įgyvendinimo metodus galima klasifikuoti pagal toliau pateiktą lentelę.