Raskite parabolės židinio koordinates. Kanoninė parabolės lygtis

Tikriausiai visi žino, kas yra parabolė. Štai kaip jį teisingai ir kompetentingai naudoti sprendžiant įvairius praktines problemas, mes tai išsiaiškinsime žemiau.

Pirmiausia apibūdinkime pagrindines sąvokas, kurias algebra ir geometrija suteikia šiam terminui. Panagrinėkime visus galimus šio grafiko tipus.

Išsiaiškinkime visas pagrindines šios funkcijos savybes. Supraskime pagrindus kreivės konstravimas (geometrija). Sužinokime, kaip rasti šio tipo grafiko aukščiausias ir kitas pagrindines reikšmes.

Išsiaiškinkime: kaip teisingai sukonstruoti norimą kreivę naudojant lygtį, į ką reikia atkreipti dėmesį. Pažiūrėkime pagrindus praktinis pritaikymasši unikali vertybė žmogaus gyvenime.

Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo?

Algebra: šis terminas reiškia kvadratinės funkcijos grafiką.

Geometrija: tai antros eilės kreivė, turinti keletą specifinių savybių:

Kanoninė parabolės lygtis

Nuotraukoje parodyta stačiakampė sistema koordinatės (XOY), ekstremumas, funkcijos brėžinio šakų kryptis išilgai abscisių ašies.

Kanoninė lygtis turi formą:

y 2 = 2 * p * x,

kur koeficientas p yra parabolės (AF) židinio parametras.

Algebroje jis bus parašytas kitaip:

y = a x 2 + b x + c (atpažįstamas modelis: y = x 2).

Kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas

Funkcija turi simetrijos ašį ir centrą (ekstremumą). Apibrėžimo sritis yra visos abscisių ašies reikšmės.

Funkcijos reikšmių diapazonas – (-∞, M) arba (M, +∞) priklauso nuo kreivės šakų krypties. Parametras M čia reiškia funkcijos reikšmę eilutės viršuje.

Kaip nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos

Norėdami iš išraiškos rasti tokio tipo kreivės kryptį, turite nustatyti ženklą prieš pirmąjį parametrą algebrinė išraiška. Jei a ˃ 0, tada jie nukreipti aukštyn. Jei yra atvirkščiai, žemyn.

Kaip rasti parabolės viršūnę naudojant formulę

Ekstremo radimas yra pagrindinis žingsnis sprendžiant daugelį praktinių problemų. Žinoma, galite atidaryti specialius internetiniai skaičiuotuvai, bet geriau tai padaryti patiems.

Kaip tai nustatyti? Yra speciali formulė. Kai b nelygus 0, turime ieškoti šio taško koordinačių.

Viršūnės radimo formulės:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Pavyzdys.

Yra funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Raskime šios funkcijos viršūnes.

Tokiai eilutei:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Gauname viršūnės koordinates (-2, -41).

Parabolės poslinkis

Klasikinis atvejis, kai kvadratinėje funkcijoje y = a x 2 + b x + c antrasis ir trečiasis parametrai lygūs 0, o = 1 – viršūnė yra taške (0; 0).

Judėjimą išilgai abscisių arba ordinačių ašių lemia atitinkamai b ir c parametrų pasikeitimai. Linija plokštumoje bus paslinkta tiksliai tiek vienetų, kiek parametro vertė.

Pavyzdys.

Turime: b = 2, c = 3.

Tai reiškia, kad klasikinė kreivės forma pasislinks 2 vienetais išilgai abscisių ašies ir 3 išilgai ordinačių ašies.

Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį

Svarbu, kad moksleiviai išmoktų teisingai nupiešti parabolę naudojant nurodytus parametrus.

Analizuodami išraiškas ir lygtis, galite pamatyti šiuos dalykus:

1. Norimos tiesės susikirtimo taškas su ordinačių vektoriumi turės reikšmę lygi vertei Su.
2. Visi grafiko taškai (išilgai x ašies) bus simetriški pagrindinio funkcijos ekstremumo atžvilgiu.

Be to, susikirtimo taškus su OX galima rasti žinant tokios funkcijos diskriminantą (D):

D = (b 2 - 4 * a * c).

Norėdami tai padaryti, išraišką turite prilyginti nuliui.

Parabolės šaknų buvimas priklauso nuo rezultato:

• D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, tada x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tada nėra susikirtimo taškų su vektoriumi OX.

Gauname parabolės konstravimo algoritmą:

• nustatyti šakų kryptį;
• rasti viršūnės koordinates;
• rasti sankirtą su ordinačių ašimi;
• rasti sankirtą su x ašimi.

1 pavyzdys.

Duota funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Būtina sukonstruoti parabolę. Mes laikomės algoritmo:

1. a = 1, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. kertasi su ordinačių ašimi reikšme y = 4;
4. raskime diskriminantą: D = 25 - 16 = 9;
5. Ieškau šaknų:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

2 pavyzdys.

Funkcijai y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 reikia sukurti parabolę. Mes veikiame pagal pateiktą algoritmą:

1. a = 3, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. susikirs su y ašimi reikšme y = -1;
4. Raskime diskriminantą: D = 4 + 12 = 16. Taigi šaknys yra:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Naudodami gautus taškus galite sukonstruoti parabolę.

Kryptis, ekscentriškumas, parabolės židinys

Remiantis kanonine lygtimi, F židinys turi koordinates (p/2, 0).

Tiesi linija AB yra kryptis (tam tikro ilgio parabolės styga). Jo lygtis yra x = -p/2.

Ekscentriškumas (pastovi) = 1.

Išvada

Apžvelgėme temą, kuria mokosi moksleiviai vidurinę mokyklą. Dabar žinote, žvelgdami į kvadratinę parabolės funkciją, kaip rasti jos viršūnę, į kurią pusę bus nukreiptos šakos, ar yra poslinkis išilgai ašių, ir, turėdami konstravimo algoritmą, galite nubraižyti jos grafiką.

Užduotis Nr. 1. Nustatykite židinių koordinates ir sudarykite parabolės krypties lygtį

Palyginus šią lygtį su lygtimi
, mes nustatome, kad 2p=4, iš kur . Taigi esmė
- parabolės židiniai ir tiesi linija
, ty x=-1 arba x+1=0 yra jo kryptis.

Atsakymas: (1;0)

2 uždavinys. Parabolės, kurios viršūnė yra pradžioje, židiniai yra taške F(0;-4). Parašykite šios parabolės lygtį.

3 uždavinys. Parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, kryptis yra tiesė 2x+5=0

Parašykite lygtį ir raskite parabolės židinio koordinates.

R
Sprendimas: Kadangi parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, kryptis yra tiesė 2x+5=0 arba
, tada jo židinys turi koordinates

, todėl norima kreivė yra simetriška Ox ašiai F( )
o jo šakos nukreiptos į dešinę (židinio abscisė teigiama). Todėl parabolės lygtis turi formą

Nes
Tai
ir parabolės lygtis bus tokia:
, o jo židinio koordinatės yra F(2.5;0)

Atsakymas:
; F(2,5;0)

4 užduotis. Parašykite parabolės, simetriškos Oy ašiai, su centru koordinačių sistemos pradžioje, lygtį, jei ji eina per tašką B(1;-2).

Kadangi parabolė yra simetriška Oy ašiai ir turi viršūnę koordinačių sistemos pradžioje, jos lygtis turi tokią formą
. Kadangi taškas B(1;-2) yra ant parabolės, jo koordinatės tenkina paraboles, t.y.
,

Kur
, ir todėl
- parabolės lygtis.

Atsakymas:

5 uždavinys. Raskite 24 m ilgio tilto arkos aukštį, jei arka yra parabolės formos, kurios lygtis

Nubraižykime parabolę
Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje. Pažymėkime h tilto aukštį ir pagal =24 - tilto arkos ilgis. Tada A(12;-h) P:
.

T
kaip taškas A priklauso parabolei
, tada jo koordinatės tenkina parabolės lygtį. Tai leidžia į parabolės lygtį pakeisti tam tikro taško koordinates, o ne dabartines koordinates (x;y). Tada mes turime

Taigi, tilto arkos aukštis yra 3 m.

Užduotis Nr. 6. Vandens srovė, nukreipta kampu į horizonto plokštumą, pakyla į 2 m aukštį ir nukrenta 12 m nuo žarnos galo. Raskite parabolinę čiurkšlės trajektoriją.

Sprendimas: Purkštuko parabolinę trajektoriją susiekime su Dekarto stačiakampe koordinačių sistema, kad parabolinė trajektorija būtų simetriška Oy ašiai, šakos būtų nukreiptos žemyn, o jos viršūnė būtų koordinačių pradžioje.

Tada tokios parabolinės trajektorijos lygtis turi formą
, taškas A(6;-2) P:
, todėl jo koordinatės tenkina parabolės lygtį. Vietoj dabartinių parabolės x ir y koordinačių pakeičiant taško A koordinates
, suteikia lygybę

. Vadinasi,
- srovės parabolinės trajektorijos lygtis.

Atsakymas:

Spręskite patys:

Uždavinys Nr. 7. Atšvaito skerspjūvis plokštumoje, einančioje per reflektoriaus ašį, yra parabolė. Parašykite jos lygtį, jei atšvaito plotis 30 cm, o gylis 20 cm (atšvaito ašis sutampa su Ox ašimi)

Atsakymas:

Užduotis Nr. 8. Vanduo išteka iš žemės paviršiaus skylės srove, vaizduojančia parabolės šaką
. Kokiu atstumu nuo rezervuaro krašto upelis nukrenta ant žemės, jei skylės aukštis

Atsakymas: 3 m.

Uždavinys Nr. 9. Parabolinio veidrodžio ašinis pjūvis yra parabolė

Nustatykite veidrodžio skersmenį, jei jo „gylis“ yra 18,75 cm.

Atsakymas: 30 cm.

Užduotis Nr. 10. Po numestas akmuo aštrus kampasį horizonto plokštumą, pasiekė didžiausias aukštis 16 m., Aprašęs parabolinę trajektoriją, akmuo nukrito 48 m., nuo metimo taško. Raskite akmens trajektoriją.

Atsakymas:
.

11 uždavinys Raskite parabolę, kurios viršūnė yra pradžioje, jei jos židinys yra taške a) F(3;0);

b) F(-2;0);
c) F(0;4);
d) F(0;-)
Atsakymas: a)

;
b)

;
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
.

;

G)
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
Užduotis Nr. 12 Raskite paraboles, kurių viršūnė yra ištakoje, jei nurodytos kryptys: a)

;

b)x=-5; c) y = 3; d) y = -2;

Atsakymas: a)

; G)

13 uždavinys. Raskite židinio koordinates ir parašykite kiekvienos parabolės krypties lygtį.

Atsakymas:

A)

. Sukurkite šias paraboles.

Atsakymas: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3=0; c) F(0;); 2m+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

14 uždavinys. Patikrinkite, ar taškai A(2;-2) ir B(1;2) yra ant parabolės

Atsakymas: A yra, B ne.
15 uždavinys. Parašykite lygtį parabolės, kurios viršūnė yra simetriška Ox ašiai ir einanti per tašką
16 uždavinys. Parašykite parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, lygtį, jei:
A) parabolė yra viršutinėje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 4;
.

B) parabolė yra apatinėje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras yra 6; B) parabolė yra dešinėje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 3;.

d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. Atsakymas a).

; b)

; V)

Tai yra, ,

Norėdami sukurti, užpildykite lentelę, pakeisdami x reikšmes į formulę:

Pažymėkite taškus (0;0); (1; 1); (-1;1) ir kt. įjungta koordinačių plokštuma(kuo mažesniu žingsniu imsime x reikšmes (in šiuo atveju 1 veiksmas), ir kuo daugiau x reikšmių imsime, tuo sklandesnė kreivė), gauname parabolę:

Nesunku pastebėti, kad jei paimtume atvejį , , , tai yra, gautume parabolę, kuri yra simetriška ašiai (oh). Tai lengva patikrinti užpildant panašią lentelę:

II ATVEJIS, „a“ SKIRIASI NUO VIENETAS

Kas atsitiks, jei imsime , , ? Kaip pasikeis parabolės elgsena? Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajame paveikslėlyje (žr. aukščiau) aiškiai matyti, kad parabolės (1;1), (-1;1) lentelės taškai buvo paversti taškais (1;4), (1;-4), tai yra, esant toms pačioms reikšmėms, kiekvieno taško ordinatė padauginama iš 4. Taip atsitiks su visais pagrindiniais pradinės lentelės taškais. Panašiai mąstome ir 2 ir 3 paveikslėlių atvejais.

Ir kai parabolė „tampa platesnė“ už parabolę:

Apibendrinkime:

1)Koeficiento ženklas lemia šakų kryptį. Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoliuti vertė koeficientas (modulis) yra atsakingas už parabolės „išsiplėtimą“ ir „suspaudimą“. Kuo didesnė , tuo siauresnė parabolė, tuo mažesnė |a|, tuo parabolė platesnė.

III ATVEJIS, ATRODA „C“.

Dabar įveskime į žaidimą (tai yra, apsvarstykime atvejį, kai), apsvarstysime formos paraboles. Nesunku atspėti (visada galite remtis lentele), kad parabolė pasislinks aukštyn arba žemyn išilgai ašies, priklausomai nuo ženklo:

IV ATVEJIS, ATSIRODA „b“.

Kada parabolė „atitrūks“ nuo ašies ir pagaliau „vaikščios“ per visą koordinačių plokštumą? Kada jis nustos būti lygus?

Čia reikia sukurti parabolę viršūnės apskaičiavimo formulė: , .

Taigi šiuo metu (kaip taške (0;0) nauja sistema koordinates) pastatysime parabolę, ką jau galime padaryti. Jei mes susiduriame su byla, tai iš viršaus dedame vieną vieneto segmentasį dešinę, vienas aukštyn, - gautas taškas yra mūsų (panašiai, žingsnis į kairę, žingsnis aukštyn yra mūsų taškas); jei turime reikalą, pavyzdžiui, tai iš viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, du – į viršų ir pan.

Pavyzdžiui, parabolės viršūnė:

Dabar svarbiausia suprasti, kad šioje viršūnėje mes sukursime parabolę pagal parabolės modelį, nes mūsų atveju.

Statant parabolę suradus viršūnės koordinates labaiPatogu atsižvelgti į šiuos dalykus:

1) parabolė tikrai praeis per tašką . Iš tiesų, formulėje pakeitę x=0, gauname, kad . Tai yra, parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taško ordinatė yra . Mūsų pavyzdyje (aukščiau) parabolė kerta ordinatę taške , nes .

2) simetrijos ašis parabolės yra tiesi linija, todėl visi parabolės taškai bus jos atžvilgiu simetriški. Mūsų pavyzdyje iš karto paimame tašką (0; -2) ir pastatome jį simetriškai parabolės simetrijos ašies atžvilgiu, gauname tašką (4; -2), per kurį parabolė praeis.

3) Prilyginę , išsiaiškiname parabolės susikirtimo taškus su ašimi (oh). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį. Priklausomai nuo diskriminanto, gausime vieną (, ), du ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Ankstesniame pavyzdyje mūsų diskriminanto šaknis konstruojant nėra sveikasis skaičius, mums nėra prasmės rasti šaknis, bet aiškiai matome, kad turėsime du susikirtimo taškus su ašimi (oh) (nuo title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Taigi išsiaiškinkime

Parabolės konstravimo algoritmas, jei jis pateiktas formoje

1) nustatyti šakų kryptį (a>0 – aukštyn, a<0 – вниз)

2) parabolės viršūnės koordinates randame naudodami formulę , .

3) parabolės susikirtimo tašką su ašimi (oy) randame naudodami laisvąjį terminą, sukonstruojame tašką, simetrišką šiam taškui parabolės simetrijos ašies atžvilgiu (atkreiptinas dėmesys, kad pasitaiko, kad tai neapsimoka pažymėti taškas, pavyzdžiui, nes vertė yra didelė... šį tašką praleidžiame...)

4) Rastame taške - parabolės viršūnėje (kaip ir naujos koordinačių sistemos taške (0;0)) konstruojame parabolę. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taškus randame (jei jie dar „nepavirtę“) išspręsdami lygtį

1 pavyzdys

2 pavyzdys

1 pastaba. Jei parabolė iš pradžių mums pateikiama forma , kur yra keletas skaičių (pavyzdžiui, ), tada ją sudaryti bus dar lengviau, nes mums jau buvo pateiktos viršūnės koordinatės. Kodėl?

Paimkime kvadratinis trinaris ir paryškinkite jame tobulas kvadratas: Žiūrėk, mes taip gavome. Jūs ir aš anksčiau vadinome parabolės viršūnę, tai yra dabar, .

Pavyzdžiui,. Plokštumoje pažymime parabolės viršūnę, suprantame, kad šakos nukreiptos žemyn, parabolė išsiplėtusi (santykinai su ). Tai yra, mes atliekame 1 punktus; 3; 4; 5 iš parabolės konstravimo algoritmo (žr. aukščiau).

2 pastaba. Jei parabolė pateikiama tokia forma (tai yra, vaizduojama kaip dviejų sandauga tiesiniai daugikliai), tada iš karto matome parabolės susikirtimo taškus su ašimi (oh). Šiuo atveju – (0;0) ir (4;0). Likusioje dalyje mes veikiame pagal algoritmą, atidarydami skliaustus.

Apsvarstykite liniją plokštumoje ir tašką, esantį ne ant šios linijos. IR elipsė, Ir hiperbolė gali būti apibrėžiamas vieningai kaip geometrinis taškų lokusas, kurio atstumo iki tam tikro taško ir atstumo iki nurodytos tiesės santykis yra pastovi reikšmė

rangas ε. Prie 0 1 – hiperbolė. Parametras ε yra tiek elipsės, tiek hiperbolės ekscentriškumas. Iš galimų teigiamas vertes vienas parametras ε, būtent ε = 1, pasirodo nenaudojamas. Ši reikšmė atitinka geometrinį taškų, esančių vienodu atstumu nuo nurodyto taško ir nuo nurodytos linijos, lokusą.

Apibrėžimas 8.1. Geometrinė vieta vadinami plokštumos taškai, esantys vienodu atstumu nuo fiksuoto taško ir nuo fiksuotos linijos parabolė.

Fiksuotasis taškas vadinamas parabolės židinys, o tiesi linija - parabolės kryptis. Kartu manoma, kad parabolės ekscentriškumas lygus vienam.

Iš geometrinių svarstymų išplaukia, kad parabolė yra simetriška tiesei, statmenai krypčiai ir einančia per parabolės židinį. Ši tiesi linija vadinama parabolės simetrijos ašimi arba tiesiog parabolės ašis. Parabolė kerta savo simetrijos ašį viename taške. Šis taškas vadinamas parabolės viršūnė. Jis yra atkarpos, jungiančios parabolės židinį su jos ašies ir krypties susikirtimo tašku, viduryje (8.3 pav.).

Parabolės lygtis. Norėdami gauti parabolės lygtį, pasirenkame plokštumoje kilmės parabolės viršūnėje, as x ašis- parabolės ašis, kurios teigiamą kryptį nurodo židinio padėtis (žr. 8.3 pav.). Ši koordinačių sistema vadinama kanoninis aptariamai parabolei, o atitinkami kintamieji yra kanoninis.

Atstumą nuo židinio iki krypties pažymėkime p. Jie jį vadina parabolės židinio parametras.

Tada židinys turi koordinates F(p/2; 0), o kryptis d apibūdinama lygtimi x = - p/2. Taškų M(x; y), vienodu atstumu nuo taško F ir nuo tiesės d, lokusas pateikiamas pagal lygtį

Pažymėkime (8.2) lygtį kvadratu ir pateiksime panašias. Gauname lygtį

kuris vadinamas kanoninė parabolės lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratas šiuo atveju yra lygiavertis konvertavimas lygtis (8.2), nes abi lygties pusės yra neneigiamos, kaip ir išraiška po radikalu.

Parabolės tipas. Jei parabolė y 2 = x, kurios formą laikome žinoma, yra suspausta koeficientu 1/(2p) išilgai x ašies, tada bus gauta parabolė bendras vaizdas, kuri apibūdinama (8.3) lygtimi.

8.2 pavyzdys. Raskime židinio koordinates ir parabolės krypties lygtį, jei ji eina per tašką, kurio kanoninės koordinatės yra (25; 10).

Kanoninėse koordinatėse parabolės lygtis yra y 2 = 2px. Kadangi taškas (25; 10) yra ant parabolės, tada 100 = 50p ir todėl p = 2. Todėl y 2 = 4x yra kanoninė parabolės lygtis, x = - 1 yra jos krypties lygtis, o fokusas yra taške (1; 0 ).

Optinė parabolės savybė. Parabolė turi šiuos dalykus optinė savybė. Jei šviesos šaltinis yra parabolės židinyje, tada viskas šviesos spinduliai atsispindėjus nuo parabolės, jos bus lygiagrečios parabolės ašiai (8.4 pav.). Optinė savybė reiškia, kad bet kuriame parabolės taške M normalus vektorius liestinė sudaro vienodus kampus su židinio spinduliu MF ir abscisių ašimi.