Slopinami ir priverstiniai svyravimai

Virpesių slopinimas vadinamas virpesių amplitudės sumažėjimu laikui bėgant dėl svyravimo sistemos energijos praradimo (pavyzdžiui, virpesių energija paverčiama šiluma dėl trinties mechaninės sistemos). Slopinimas pažeidžia svyravimų periodiškumą, todėl jie nebėra periodiškas procesas. Jei slopinimas yra mažas, galime sąlygiškai naudoti svyravimo laikotarpio sąvoką - T(7.6 pav A 0 – pradinė svyravimų amplitudė).

7.6 pav. Charakteristikos slopinami svyravimai

Irstanti mechaninės vibracijos spyruoklinė švytuoklė atsiranda veikiant dviem jėgoms: tamprumo jėgai ir pasipriešinimo jėgai:

Kur r– pasipriešinimo koeficientas.

Naudodami antrojo Niutono dėsnio lygtį galime gauti:

arba

Paskutinę lygtį padalinkite iš m ir įvesti užrašą arba

Kur β slopinimo koeficientas, tada lygtis įgauna formą

(7.20)

Ši išraiška ir yra diferencialinė lygtis slopinami svyravimai. Šios lygties sprendimas yra

Tai reiškia eksponentinį slopintų svyravimų pobūdį, t.y. svyravimų amplitudė mažėja su eksponentinė teisė(7.6 pav.):

(7.22)

Santykinis virpesių amplitudės sumažėjimas per tam tikrą laikotarpį apibūdinamas slopinimo mažėjimu, lygiu

(7.23)

arba logaritminis mažėjimas slopinimas:

(7.24)

Silpninimo koeficientas β atvirkščiai proporcinga laikui τ kurio metu svyravimų amplitudė sumažėja e vieną kartą:

tie. (7.25)

Slopintų svyravimų dažnis visada yra mažesnis už natūralių virpesių dažnį ir jį galima rasti iš išraiškos

(7.26)

čia ω 0 – sistemos natūralių virpesių dažnis.

Atitinkamai, slopintų svyravimų periodas yra lygus:

Arba (7.27)

Didėjant trinčiai, svyravimų periodas didėja, o kai periodas .

Norint gauti nuolatinius svyravimus, reikalinga papildomo kintamojo įtaka išorinė jėga, kuris pastūmėtų materialus taškas iš pradžių viena kryptimi, po to kita kryptimi ir kurios darbas nuolat papildytų trinčiai įveikti sunaudojamos energijos nuostolius. Tokie kintamoji jėga paskambino verčiantF vyn, ir tie, kurie atsiranda jo įtakoje neslopinami svyravimai – priverstinis.

Jei varomoji jėga pasikeis pagal išraišką, priverstinių virpesių lygtis įgis tokią formą

(7.28)

(7.29)

čia ω yra varomosios jėgos ciklinis dažnis.

Tai priverstinių virpesių diferencialinė lygtis. Jo sprendimas gali būti parašytas formoje

Lygtis apibūdina harmoninį svyravimą, kuris atsiranda tam tikru dažniu vienodas dažnis varomoji jėga, kurios fazė skiriasi φ, palyginti su jėgos svyravimais.

Priverstinių virpesių amplitudė:

(7.30)

Iš išraiškos randamas fazių skirtumas tarp jėgos ir sistemos svyravimų

(7.31)

Priverstinių svyravimų grafikas parodytas 7.7 pav.

7.7 pav. – Priverstiniai svyravimai

At priverstinės vibracijos Galima pastebėti reiškinį, vadinamą rezonansu. Rezonansas Tai staigus padidėjimas sistemos virpesių amplitudės.

Nustatykime, kokiomis sąlygomis atsiranda rezonansas. Raskime sąlygą, kuriai esant amplitudė maksimali vertė.

Iš matematikos žinoma, kad funkcijos ekstremumas bus tada, kai išvestinė lygi nuliui, t.y.

Diskriminantas yra lygus

Vadinasi

Po transformacijos gauname

Vadinasi – rezonansinis dažnis.

Paprasčiausiu atveju rezonansas atsiranda, kai išorinė periodinė jėga F keičiasi dažniu ω , lygus natūralių sistemos svyravimų dažniui ω = ω 0 .

Mechaninės bangos

Virpesių plitimo procesas kontinuumas, periodiškas laike ir erdvėje, vadinamas bangų procesas arba banga.

Kai banga sklinda, terpės dalelės nejuda kartu su banga, o svyruoja aplink savo pusiausvyros padėtis. Kartu su banga iš terpės dalelės į dalelę perduodama tik svyruojančio judėjimo būsena ir jos energija. Todėl pagrindinė bangų savybė, nepaisant jų pobūdžio, yra energijos perdavimas be medžiagos perdavimo.

Paryškinti šių tipų bangos:

Elastingas(arba mechaninis) bangos vadinami mechaniniais trikdžiais, kurie plinta elastinga terpė. Bet kurioje elastingoje bangoje vienu metu egzistuoja du judėjimo tipai: terpės dalelių virpesiai ir trikdžių sklidimas.

Banga, kurioje terpės dalelių virpesiai ir bangos sklidimas vyksta ta pačia kryptimi, vadinama išilginis, o banga, kurioje terpės dalelės svyruoja statmenai bangos sklidimo krypčiai, vadinama skersinis.

Išilginės bangos gali sklisti terpėse, kuriose gniuždymo ir tempimo deformacijų metu atsiranda tamprumo jėgos, t.y. kietas, skystas ir dujiniai kūnai. Skersinės bangos gali sklisti terpėje, kurioje šlyties deformacijos metu atsiranda tamprumo jėgos, t.y. V kietosios medžiagos. Taigi skysčiuose ir dujose kyla tik išilginės bangos, o kietuose – tiek išilginės, tiek skersinės.

Elastinė banga paskambino sinusoidinis(arba harmoninis), jei atitinkami terpės dalelių virpesiai yra harmoningi.

Atstumas tarp netoliese esančių dalelių, vibruojančių toje pačioje fazėje, vadinamas bangos ilgis λ .

Bangos ilgis yra lygus atstumui, kurį banga nukeliauja per laiką lygus laikotarpiui svyravimai:

kur yra bangos sklidimo greitis.

Kadangi (kur ν yra virpesių dažnis), tada

Geometrinė vieta taškai, kuriuos laiko momentu pasiekia svyravimai t, paskambino bangos frontas . Toje pačioje fazėje svyruojančių taškų geometrinė vieta vadinama bangos paviršius.

MECHANINĖ VIBRACIJA

Panagrinėkime mechaninėse sistemose vykstančius svyravimus.

Virpesiai yra procesai, kurie laikui bėgant turi skirtingą pakartojamumo laipsnį.

Jie įvyksta nemokamai, jei jie atliekami iš pradžių perduotos energijos sąskaita vėliau nesant išorinių poveikiųį virpesių sistemą. Laisvos vibracijos gali būti neslopinamas ir prislopintas.

Kitas virpesių tipas - priverstinis, jie atliekami veikiant išorinei, periodiškai veikiančiai jėgai.

Paprasčiausias virpesių tipas yra harmoninė. Tiek laisvoji, tiek priverstinė vibracija gali būti harmoninga.

Laisvi neslopinami svyravimai

Svyravimas, kuriam esant reikšmė X svyruojantis kiekis kinta laikui bėgant t teisėje

x = A sin(ω 0 t+a 0) arba

x = Aсos(ω 0 t+ a), (1.1)

paskambino harmoninė.

Mechaninių virpesių išraiškose (1.1). x- svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties; A- svyravimų amplitudė (didžiausias poslinkis); (ω 0 t+a) – svyravimų fazė laiko momentu t; a, a 0 – pradinės fazės laiko momentu t = 0; ω 0 – natūralus ciklinis dažnis. Palyginus lygtis aišku, kad pradinės fazės yra susijusios: a = a 0 - p / 2. SI, fazė matuojama radianų(patogumui akcijų p, pavyzdžiui, p/2), bet gali būti matuojamas ir laipsniais.

Mechaninės harmoninės vibracijos atsiranda veikiant elastinga arba beveik elastingas jėga, proporcinga poslinkiui ir visada nukreipta į pusiausvyros padėtį, ty paklūstanti įstatymui F = - k x, Kur k- proporcingumo koeficientas (už elastinė jėga kietumo koeficientas).

Kadangi – 1 ≤ сos(ω 0 t+a) ≤ 1 ir - 1 ≤ sin(ω 0 t+a 0) ≤ 1, tada reikšmė X skiriasi nuo - A prie + A.

Vadinamas pilnų svyravimų skaičius per laiko vienetą dažnis n, o vieno pilno svyravimo laikas yra svyravimo periodas T. Harmoninės funkcijos laikotarpis yra susijęs su cikliniu dažniu:

T = 2p / ω 0 . (1.2)

Todėl dažnis yra atvirkščiai proporcingas laikotarpiui

n = 1/T,ω 0 = 2 pn . (1.3)

Dažnio vienetas yra hercų(Hz). 1 Hz yra virpesių dažnis, kai vienas pilnas svyravimas įvyksta per vieną sekundę, 1 Hz = 1 s -1.

Ciklinis dažnis lygus pilnų svyravimų skaičiui per 2p sekundes, matuojamas s -1.

Virpesių laikotarpis T galima nustatyti iš grafikų (1.1 pav.).

Kosinusas ir sinusas yra periodinės funkcijos, todėl kartojasi per argumento reikšmę, lygią 2 π radianams, t.y. po svyravimų periodo fazė pasikeičia į 2π radianas. Funkcija x= nuodėmė ( t) prasideda nuo nulio, pav. 1.1, A jo pradžia yra paliko nuo ašies Jautis, grafikas laike paslinktas T/8, o fazėje π/4 rad. Norėdami grįžti į grafiko pradžią, turite judėti Autorius laiko ašis, todėl fazė imama su pliuso ženklu: α 0 = π/4 rad.

Atgalinis skaičiavimas pradinė fazė pagal kosinuso dėsnį (1.1 pav., b) daroma iš grafiko „kupra“, nes funkcija x= cos( t) yra lygus vienybei ties t= 0. Grafikas perkeliamas taip, kad artimiausia maksimali kosinuso reikšmė būtų į dešinę ašies atžvilgiu Jautis: pagal laiką T/8, o fazėje π/4 rad. Grįžimas į koordinačių ašių pradžią vyksta priešingai laiko ašiai, pradinė fazė V šiuo atveju skaičiuojamas su minuso ženklu: α = - π/4 rad. Momentinė fazė vibracija lemia būseną svyravimo sistema V šiuo metu laiko. Dėl taško M(1.1 pav., b) lygtyje pagal sinuso dėsnį virpesių fazė lygi π radianams, nes nuo artimiausios funkcijos reikšmės x= nuodėmė ( t) adresu t= 0 pusė laikotarpio praėjo iki nurodyto momento. Ketvirtadalis laikotarpio praėjo nuo artimiausio „kuproto“, taigi pagal kosinuso dėsnį fazė lygi π/2 radianams.

Primename, kad šios funkcijos yra periodinės, todėl fazę galima pridėti (arba atimti). lyginis skaičiusπ – tai nepakeis virpesių sistemos būsenos.

Panagrinėkime paprasčiausią mechaninę virpesių sistemą su vienu laisvės laipsniu, vadinamą harmoniniu osciliatoriumi. Kaip tikrą osciliatoriaus įsikūnijimą, laikykime m masės kūną, pakabintą ant spyruoklės, kurios standumas yra k, darant prielaidą, kad pasipriešinimo jėgų galima nepaisyti. Spyruoklės pailgėjimą skaičiuosime nuo spyruoklės pusiausvyros padėties. Statinė tamprumo jėga subalansuos gravitacijos jėgą ir nei viena, nei kita jėga nepateks į judėjimo lygtį. Parašykime judėjimo lygtį pagal antrąjį Niutono dėsnį:

(4.1)
Parašykime šią lygtį projekcijomis į x ašį (4.1 pav.).

Pagreičio projekciją x ašyje pavaizduojame kaip antrąją x koordinatės išvestinę laiko atžvilgiu. Skirtumas laiko atžvilgiu paprastai žymimas tašku virš pažodinė išraiška kiekiai. Antrasis darinys pažymėtas dviem taškais. Tada perrašome (4.1) lygtį į formą:

(4.2)
Minuso ženklas dešinėje (4.2) lygties pusėje rodo, kad jėga nukreipta prieš kūno poslinkį iš pusiausvyros padėties. K/m pažymėkime w2, o (4.2) lygčiai pateiksime formą:

(4.3)
Kur

(4.4)
Lygtis (4.3) vadinama harmoninio osciliatoriaus lygtimi. Su panašia lygtimi (3.29 lygtis) jau susidūrėme ir su ja susidursime ne kartą. Tai yra diferencialinė lygtis. Nuo algebrinės skiriasi tuo, kad jame esantis nežinomasis yra funkcija (mūsų atveju – laiko funkcija), o ne skaičius, taip pat tuo, kad apima nežinomos funkcijos išvestinius. Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia surasti funkciją x(t), kuri, pakeitus ją lygtyje, paverčia ją tapatybe. Ieškosime sprendimo naudodami atrankos metodą (su vėlesniu patikrinimu). Yra pagrindo manyti, kad mūsų lygties sprendimas yra formos funkcija

(4.5)
Funkcija (4.5) yra sinusoidinė funkcija bendras vaizdas. Parametrai A, a,j0, 0 dar nenustatyti, ir tik funkcijos (4.5) pakeitimas į (4.3) lygtį parodys, kaip jie turi būti parinkti. Raskime antrąją funkcijos (4.5) išvestinę ir pakeiskime ją (4.3) lygtimi:

(4.6)

(4.7)
Sumažinkime lygties narius Asin(a t + j0) ir gaukime:

(4.8)
Tai, kad sutrumpinus laiką „neiškrenta“ iš lygties, rodo, kad ieškomos funkcijos tipas pasirinktas teisingai. Iš (4.8) lygties matyti, kad a turi būti lygus w.
Konstantos A ir j0 negali būti nustatytos pagal judėjimo lygtį, jos turi būti randamos pagal kai kuriuos kitus svarstymus. Taigi harmoninio osciliatoriaus lygties sprendimas yra funkcija

(4.9)
Kaip nustatyti konstantas A ir j 0? Jos vadinamos savavališkomis konstantomis ir nustatomos iš pradinių sąlygų. Esmė ta, kad svyravimai turi įvykti tam tikru momentu. Jų atsiradimą lemia kai kurios pašalinės priežastys. Panagrinėkime du skirtingus svyravimų atsiradimo atvejus: 1) spyruoklės svyravimai, kuriuos eksperimentatorius atitraukia atgal dydžiu x0 ir tada atleidžiamas. 2) kūno, pakabinto ant spyruoklės, į kurią buvo smogta kūju ir kuriai pradiniu laiko momentu buvo suteiktas greitis v0, virpesiai. Raskime šių atvejų konstantas A ir j 0.

(4.10)
Atskirkime (4.9) laiko atžvilgiu, t.y. Raskime kūno greitį:

(4.11)
Pradines sąlygas pakeiskime lygtimis (4.9) ir (4.11):

(4.12)
Iš to seka, kad 0 = p /2, A = x0.
Kūno judėjimo dėsnis pagaliau įgaus formą

(4.13)
2)Kai t = 0 x = 0, o greitis v = x = v0.
Pakeiskime naujas pradines sąlygas į (4.9) ir (4.11) lygtis:
0 = Asinj 0,
v0=Awcosj 0.
(4.14)
Gauname, kad esant 0 = 0 A = v0/w. Judėjimo dėsnis įgauna formą

(4.15)
Žinoma, galimos ir kitos, sudėtingesnės pradinės sąlygos, ir iš jų reikia rasti naujas konstantas A ir j 0 Taigi sprendinys (4.9) yra bendras kūno judėjimo lygties sprendimas. Iš jo, remiantis pradinėmis sąlygomis, galima rasti konkretų sprendimą, apibūdinantį konkretų judėjimo atvejį.
Dabar nustatykime įvestų konstantų A, j 0,w fizinę reikšmę. Akivaizdu, kad A reiškia svyravimų amplitudę, t.y. didžiausias kūno nukrypimas nuo pusiausvyros padėties. j 0 vadinamas pradine svyravimo faze, o sinuso argumentas (wt + j 0) vadinamas faze. Fazė nustato judančio kūno būseną tam tikru laiko momentu. Žinodami fazę (sinuso argumentą), galite rasti kūno vietą (jo koordinatę) ir greitį. j 0 yra fazė pradiniu laiku.
Belieka išsiaiškinti parametro w reikšmę. Per laikotarpį, lygų periodui
svyravimai T, ty visiško svyravimo metu sinuso argumentas pasikeičia 2p. Todėl wТ = 2p, iš kur

(4.16)
Formulė (4.16) rodo, kad w yra svyravimų skaičius per 2p sekundžių laiką – ciklinis dažnis. Pastarasis yra susijęs su dažniu n ryšiu

(4.17)
Raskime energijos laisvos vibracijos. Jį atstovauja dviejų tipų energija: kinetinė ir potencialinė.

(4.18)
Pakeitę x ir v reikšmes į šią formulę pagal ryšius (4.9) ir (4.11), gauname:

(4.19)

Taigi laisvųjų virpesių energija yra proporcinga virpesių amplitudės kvadratui.
Atkreipkime dėmesį į šią aplinkybę. Sinuso ir kosinuso funkcijos skiriasi viena nuo kitos tik tuo, kad viena kitos atžvilgiu fazėje pasislenka p / 2. Sinuso kvadratas lemia potencinę energiją, o kosinuso kvadratas – kinetinę energiją. Iš to seka, kad laiko vidurkiu (pavyzdžiui, per svyravimų laikotarpį) kinetinė ir potencinė energija yra vienoda, t.y.

(4.20)
Ir

Zilbermanas A. R. Neslopintų virpesių generatorius // Kvantinis. - 1990. - Nr 9. - P. 44-47.

Specialiu susitarimu su žurnalo „Kvant“ redakcija ir redaktoriais

Tokie generatoriai naudojami daugelyje įrenginių – radijo imtuvuose, televizoriuose, magnetofonuose, kompiuteriuose, elektros organuose ir kt. – ir yra labai skirtingi. Taigi generatoriaus dažniai gali svyruoti nuo kelių dešimčių hercų ( žemos natos elektriniuose vargonuose) iki šimtų megahercų (televizorius) ir net iki kelių gigahercų ( palydovinė televizija, kelių policijos pareigūnų naudojami radarai transporto priemonės greičiui nustatyti). Galia, kurią generatorius gali tiekti vartotojui, svyruoja nuo kelių mikrovatų (generatoriaus rankinis laikrodis) iki dešimčių vatų (televizijos nuskaitymo generatorius), o kai kuriais ypatingais atvejais galia gali būti tokia, kad nėra prasmės rašyti - vis tiek nepatikėsite. Virpesių forma gali būti tokia paprasta kaip sinusoidinė (radijo vietinis generatorius) arba stačiakampė (kompiuterio laikmatis) arba labai sudėtinga – „imituojanti“ garsą. muzikos instrumentai(muzikos sintezatoriai).

Žinoma, mes nenagrinėsime visos šios įvairovės, bet visiškai apsiribosime paprastas pavyzdys- vidutinio dažnio (šimtai kilohercų) mažos galios sinusinės įtampos generatorius.

Kaip žinoma, paprasčiausioje virpesių grandinėje, susidedančioje iš idealaus kondensatoriaus ir idealios ritės, gali atsirasti neslopinami harmoniniai virpesiai. Proceso lygtį nesunku gauti sulyginus (atsižvelgiant į požymius) kondensatoriaus ir ritės įtampas - juk jos sujungtos lygiagrečiai (1 pav.):

\(~\frac qC = -LI"\) .

Srovė, tekanti per ritę, keičia kondensatoriaus įkrovą; šie dydžiai yra susiję ryšiu

\(~I = q"\) .

Dabar galime parašyti lygtį

\(~q"" + \frac(q)(LC) = 0\) .

Šios lygties sprendimas yra gerai žinomas – tai harmoniniai virpesiai. Jų dažnis nustatomas pagal parametrus virpesių grandinė\[~\omega = \frac(1)(\sqrt(LC))\] , o amplitudė priklauso tik nuo energijos, kuri iš pradžių buvo suteikta grandinei (ir kuri išlieka pastovi idealiai grandinei).

Kas pasikeis, jei grandinės elementai nebus idealūs, kaip iš tikrųjų atsitinka praktikoje (daug metų autorius nematė nė vienos idealios ritės, nors šiuo klausimu jį labai domino)? Tarkime, visas grandinės netobulumas yra dėl to, kad ritė, tiksliau, viela, iš kurios ji suvyniota, turi aktyvią (ominę) varžą. r(2 pav.). Tiesą sakant, žinoma, kondensatorius taip pat turi energijos nuostolių (nors ir nelabai aukšti dažniai Be didelių sunkumų galite pagaminti labai gerą kondensatorių). O vartotojas paima energiją iš grandinės, o tai taip pat prisideda prie svyravimų slopinimo. Žodžiu, manysime r- tai lygiavertė vertė, atsakinga už visus energijos nuostolius grandinėje. Tada Eq. procesas įgauna formą

\(~LI" + rI + \frac(q)(C) = 0\) .

Akivaizdu, kad būtent antrasis narys trukdo gauti norimą neslopintų svyravimų lygtį. Todėl mūsų užduotis yra kompensuoti šį terminą. Fiziškai tai reiškia, kad į grandinę turi būti pumpuojama papildoma energija, tai yra, reikia įvesti kitą EMF. Kaip tai padaryti nenutraukiant grandinės? Lengviausias būdas naudoti magnetinis laukas- sukurti papildomų magnetinis srautas, pradurti grandinės ritės posūkius. Norėdami tai padaryti, netoli šios ritės reikia pastatyti kitą ritę (3 pav.) ir per ją praleisti srovę, kurios vertė turėtų keistis pagal norimą dėsnį, t.y., kad ši srovė sukurtų būtent tokią ritę. magnetinis laukas, kuris, prasiskverbęs į ritės grandinę, sukurs joje tokį magnetinį srautą, kuris, keisdamasis, sukels tokį sukeltas emf, kuris proceso lygtyje tiksliai kompensuoja terminą, kuris mums nepatinka. Visa ši ilga frazė, primenanti „namą, kurį pastatė Džekas“, yra tiesiog Faradėjaus dėsnio, kurį žinote dėl elektromagnetinės indukcijos reiškinio, atpasakojimas.

Dabar pažiūrėkime į srovę, kuri turėtų tekėti per papildomą ritę. Aišku, kad tam reikalingas energijos šaltinis (atpildyti energijos nuostolius grandinėje) ir valdymo įtaisas, užtikrinantis norimą srovės kitimo dėsnį laikui bėgant. Įprasta baterija gali būti naudojama kaip šaltinis, o elektronų vamzdis arba tranzistorius gali būti naudojamas kaip valdymo įtaisas.

Yra tranzistoriai įvairių tipų- įprastiniai (jie vadinami dvipoliais) ir lauko, kurie dar skirstomi į lauką su izoliuotais vartais (dažniausiai naudojami skaitmeniniuose įrenginiuose) ir su valdikliu p-n- perėjimas. Bet kuris lauko tranzistorius turi „kanalą“ su dviem gnybtais - jie išradingai vadinami šaltiniu ir nutekėjimu, o jo laidumas reguliuojamas įjungus valdymo įtampą į trečiąjį gnybtą - vartus (4 pav.). Lauko tranzistoryje su valdikliu p-n-perėjimu - ir apie tai kalbėsime toliau - vartai yra atskirti nuo kanalo būtent tokiu perėjimu, kuriam vartų sritis yra pagaminta iš priešingo laidumo tipo kanalo atžvilgiu. Pavyzdžiui, jei kanalas turi priemaišų laidumas tipo p, tada užraktas yra kaip n, ir atvirkščiai.

Kai sandūroje įvedama blokavimo įtampa U z (5 pav.), laidžiojo kanalo skerspjūvis sumažėja, o esant tam tikrai įtampai – ji vadinama atjungimo įtampa – kanalas visiškai užsiblokuoja ir srovė sustoja.

Priklausomybė nuo kanalo srovės aš k nuo vartų įtampos U z parodyta 6 paveiksle. Ši priklausomybė beveik tokia pati kaip ir elektroninio vamzdžio (triodo). Svarbu pažymėti, kad valdymo įtampa yra blokavimo įtampa, o tai reiškia, kad srovė valdymo grandinėje yra itin maža (dažniausiai ji yra keli nanoamperai), o valdymo galia atitinkamai maža, o tai yra labai gerai. Esant mažoms valdymo įtampos vertėms, srovės priklausomybė nuo įtampos gali būti laikoma tiesine ir parašyta forma

\(~I_k = I_0 + SU_z\) ,

Kur S - pastovus. Generatoriui nukrypimai nuo tiesiškumo taip pat yra reikšmingi, bet apie tai vėliau.

7 paveiksle parodyta grandinės schema nuolatinių virpesių generatorius. Čia lauko tranzistoriaus valdymo įtampa yra virpesių grandinės kondensatoriaus įtampa:

\(~U_z = U_C = \frac qC\) ,

o srovė per papildomą ritę yra

\(~I_k = I_0 + \frac(Sq)(C)\) .

Papildomas magnetinis srautas yra proporcingas šiai srovei, o papildomas Grandinės EMF yra lygus šio srauto išvestinei, paimtai iš priešingas ženklas:

\(~\varepsilon_i = -\Phi" = -(MI_k)" = -\frac(MS)(C) q"\) ,

Minuso ženklas čia yra gana savavališkas - ritė gali būti prijungta prie lauko tranzistoriaus arba viename, arba kitame gale, o papildomo EMF ženklas pasikeis į priešingą. Žodžiu, papildomas EMF turi būti toks, kad kompensuotų grandinės energijos nuostolius. Dar kartą parašykime proceso lygtį:

\(~LI" + rI + \frac(q)(C) - \frac(MS)(C) q" = 0\) .

Jei pasirinksite vertę M taip, kad ketvirtasis narys kompensuoja antrąjį, tada gauname lygtį

\(~LI" + \frac(q)(C) = 0\) ,

kuri atitinka harmoninius neslopintus virpesius.

Kaip galite paveikti dydį M? Pasirodo, kad jis padidės, jei suvyniosite daugiau apsisukimų į papildomą ritę arba jei ši ritė bus dedama arčiau grandinės ritės. Reikia pasakyti, kad koeficientas yra pakankamas generavimui M praktiškai tai gana lengva gauti. Geriau pasirinkti šią vertę su tam tikra atsarga - taip grandinė bus ne tik be nuostolių, bet net ir siurbiant energiją iš išorinis šaltinis(su „neigiamais“ nuostoliais). Įjungus generatorių, svyravimų amplitudė iš pradžių padidės, bet po kurio laiko nusistovi – per vieną laikotarpį į grandinę patenkanti energija taps lygi per tą patį laiką prarastai energijai. Iš tiesų, padidėjus kondensatoriaus įtampos amplitudei (lauko tranzistoriaus valdymo įtampai), tranzistorius pradeda stiprėti blogiau, nes esant didelei neigiamai įtampai, srovė kanalo grandinėje sustoja, o esant teigiamai. įtampa, sandūra pradeda atsidaryti, o tai taip pat padidina nuostolius grandinėje. Dėl to svyravimai nėra visiškai sinusiniai, tačiau jei nuostoliai grandinėje nedideli, iškraipymas yra nereikšmingas.

Norint panaudoti susidariusius svyravimus – būtent tam ir sukurtas generatorius – reikia arba tiesiogiai prisijungti prie grandinės, arba apvynioti kitą ritę. Tačiau abiem atvejais būtina atsižvelgti į energijos „nutekėjimą“ iš grandinės ir jį kompensuoti, be kitų nuostolių.

Panagrinėkime mechaninėse sistemose vykstančius svyravimus.

Virpesiai yra procesai, kurie laikui bėgant turi skirtingą pakartojamumo laipsnį.

Jie įvyksta nemokamai, jei jie atliekami dėl iš pradžių suteiktos energijos, vėliau nesant išorinio poveikio virpesių sistemai. Laisvos vibracijos gali būti neslopinamas ir prislopintas.

Kitas virpesių tipas - priverstinis, jie atliekami veikiant išorinei, periodiškai veikiančiai jėgai.

Paprasčiausias virpesių tipas yra harmoninė. Tiek laisvoji, tiek priverstinė vibracija gali būti harmoninga.

1.1. Laisvi neslopinami svyravimai

Svyravimas, kuriam esant reikšmė X svyruojantis kiekis kinta laikui bėgant t teisėje

x = A sin(ω 0 t+a 0) arba

x = Aсos(ω 0 t+ a), (1.1)

paskambino harmoninė.

Mechaninių virpesių išraiškose (1.1). x- svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties; A- svyravimų amplitudė (didžiausias poslinkis); (ω 0 t+a) – svyravimų fazė laiko momentu t; a, a 0 – pradinės fazės laiko momentu t = 0; ω 0 – natūralus ciklinis dažnis. Palyginus lygtis aišku, kad pradinės fazės yra susijusios: a = a 0 - p / 2. SI, fazė matuojama radianų(patogumui akcijų p, pavyzdžiui, p/2), bet gali būti matuojamas ir laipsniais.

Kadangi – 1 ≤ сos(ω 0 t+a) ≤ 1 ir - 1 ≤ sin(ω 0 t+a 0) ≤ 1, tada reikšmė X skiriasi nuo - A prie + A.

Vadinamas pilnų svyravimų skaičius per laiko vienetą dažnįn, o vieno pilno svyravimo laikas yra svyravimų periodas T. Harmoninės funkcijos laikotarpis yra susijęs su cikliniu dažniu:

T = 2p / ω 0 . (1.2)

Todėl dažnis yra atvirkščiai proporcingas laikotarpiui

n = 1 /T,ω 0 = 2 pn . (1.3)

Dažnio vienetas yra hercų(Hz). 1 Hz yra virpesių dažnis, kai vienas pilnas svyravimas įvyksta per vieną sekundę, 1 Hz = 1 s -1.

Ciklinis dažnis lygus pilnų svyravimų skaičiui per 2p sekundes, matuojamas s -1.

Virpesių laikotarpis T galima nustatyti iš grafikų (1.1 pav.).

Atgalinis skaičiavimas pradinė fazė pagal kosinuso dėsnį (1.1 pav., b) daroma iš grafiko „kupra“, nes funkcija x= cos( t) yra lygus vienybei ties t= 0. Grafikas perkeliamas taip, kad artimiausia maksimali kosinuso reikšmė būtų į dešinę ašies atžvilgiu Jautis: pagal laiką T/8, o fazėje π/4 rad. Grįžimas į koordinačių ašių pradžią vyksta priešingai laiko ašiai, pradinė fazė šiuo atveju laikoma su minuso ženklu: α = - π/4 rad. Momentinė fazė vibracija lemia virpesių sistemos būseną tam tikru metu. Dėl taško M(1.1 pav., b) lygtyje pagal sinuso dėsnį virpesių fazė lygi π radianams, nes nuo artimiausios funkcijos reikšmės x= nuodėmė ( t) adresu t= 0 pusė laikotarpio praėjo iki nurodyto momento. Ketvirtadalis laikotarpio praėjo nuo artimiausio „kuproto“, taigi pagal kosinuso dėsnį fazė lygi π/2 radianams.

Primename, kad šios funkcijos yra periodinės, todėl prie fazės galite pridėti (arba atimti) lyginį skaičių π – tai nepakeis virpesių sistemos būsenos.

1.2. Virpesių taško greitis, pagreitis, energija

Greitis svyruojančio taško yra pirmoji taško poslinkio laike išvestinė (pagrindu imkime antrąją iš (1.1) lygčių poros):

Čia u maks = Aω 0 - maksimalus greitis, arba greičio amplitudė.

Pagreitis yra antroji taško poslinkio laike išvestinė:

Kur a maks = Aω 0 2 - maksimalus pagreitis, arba pagreičio amplitudė.

Iš (1.1), (1.4) ir (1.5) formulių aišku, kad poslinkis, greitis ir pagreitis nesutampa pagal fazę (1.2 pav.). Kai poslinkis yra didžiausias, greitis lygus nuliui, o pagreitis įgauna didžiausią neigiamą reikšmę. Yra poslinkis ir pagreitis antifazė- taip sakoma, kai fazių skirtumas lygus p. Pagreitis visada nukreipiamas priešinga poslinkiui kryptimi.

Bendra vibracijos energija lygi svyravimo taško kinetinės ir potencinės energijų sumai:

W=WĮ + W n = mu 2 / 2+ kx 2/ 2.

Atsižvelgdami į šią išraišką pakeisime formules (1.4) ir (1.1). k = m ω 0 2 (kaip bus parodyta žemiau), gauname

W = kA 2/ 2 = m A 2ω 0 2 /2. (1.6)

Iš funkcijų grafikų palyginimo X(t), Wį ( t) Ir W p( t) (1.3 pav.) aišku, kad energijos svyravimų dažnis yra du kartus didesnis už poslinkio svyravimų dažnį.

Vidutinė laikotarpio potencialios ir kinetinės energijos vertė T lygi pusei visos energijos(1.3 pav.):

1 pavyzdys. 5 g masės materialus taškas svyruoja pagal lygtį kur x– poslinkis, žr. Apibrėžti maksimali jėga ir pilna energija.

Sprendimas: Didžiausia jėga išreiškiama formule kur (žr. (1.5) formulę). Tada F max = mAω 0 2 . Iš virpesių lygties išplaukia, kad pakeiskime skaitines reikšmes: F max =5∙10 -3 0,1∙4 = 2∙10 -3 N = 2mN.

Bendra energija Dėl to E= 0,5∙5∙10 -3 ∙4∙10 -2 = 10 -4 J.

1.3. Diferencialinė lygtis

laisvi neslopinami svyravimai. Švytuoklės

Sistema, susidedanti iš masės kūno m pakabinamas ant spyruoklės, kurios kitas galas yra fiksuotas, vadinamas spyruoklinė švytuoklė(1.4 pav.). Ši sistema tarnauja kaip modelis tiesinis osciliatorius.

Jei ištempsite (suspauskite) spyruoklę tam tikru kiekiu X, tada atsiras tamprumo jėga, linkusi grąžinti kūną į pusiausvyros padėtį. Mažoms deformacijoms galioja Huko dėsnis: F = - kx, Kur k- spyruoklės standumo koeficientas. Užrašykime antrąjį Niutono dėsnį:

ma = - kx. (1.7)

Minuso ženklas reiškia, kad tamprumo jėga nukreipta priešinga poslinkiui kryptimi x.Į šią lygtį pakeiskime pagreitį a svyravimo tašką iš (1.5) lygties, gauname
- mω 0 2 x = - k x,
kur k = mω 0 2, Virpesių laikotarpis

(1.8)

Taigi svyravimo periodas nepriklauso nuo amplitudės.

2 pavyzdys. Veikiant apkrovos gravitacijai, spyruoklė ištempiama 5 cm. Nustatykite šių svyravimų periodą.

Sprendimas Spyruoklinės švytuoklės svyravimo periodas randamas naudojant (1.8) formulę. Spyruoklės standumo koeficientą apskaičiuojame pagal Huko dėsnį, remdamiesi tuo, kad spyruoklė yra ištempta veikiama gravitacijos: mg = -kx, iš kur ateina modulis k =mg/x. Pakeiskime kį formulę (1.8):