Atviri ir uždari rinkiniai. Metrinės erdvės ir nuolatiniai atvaizdai

Vienas iš pagrindinių taškų aibių teorijos uždavinių yra savybių tyrimas įvairių tipų taškų rinkiniai. Susipažinkime su šia teorija naudodamiesi dviem pavyzdžiais ir išnagrinėkime vadinamųjų uždarųjų ir atvirųjų aibių savybes.

Rinkinys vadinamas uždaryta , jei jame yra visi ribiniai taškai. Jei rinkinys neturi vieno ribinio taško, tada jis taip pat laikomas uždaru. Be ribinių taškų, uždaroje aibėje gali būti ir atskirų taškų. Rinkinys vadinamas atviras , jei kiekvienas jo taškas jam yra vidinis.

Duokim uždarų ir atvirų aibių pavyzdžiai .

Kiekvienas segmentas yra uždara aibė, o kiekvienas intervalas (a, b) yra atvira aibė. Netinkami pusės intervalai ir uždaryta, o netinkami intervalai ir atviras. Visa linija yra ir uždara, ir atvira. Tuščią komplektą patogu laikyti ir uždaru, ir tuo pačiu atidarytu. Bet koks baigtinis rinkinys linijos taškai yra uždaryti, nes ji neturi ribinių taškų.

Rinkinys, susidedantis iš taškų:

uždarytas; ši aibė turi unikalų ribinį tašką x=0, kuris priklauso aibei.

Pagrindinis uždavinys yra išsiaiškinti, kaip sudaryta savavališka uždara ar atvira aibė. Norėdami tai padaryti, mums reikės daugybės pagalbinių faktų, kuriuos priimsime be įrodymų.

• 1. Bet kokio skaičiaus uždarų aibių sankirta uždaryta.
• 2. Bet kurio atvirųjų aibių skaičiaus suma yra atviroji aibė.
• 3. Jei uždara aibė yra ribojama aukščiau, tada joje yra savoji viršutinis kraštas. Panašiai, jei uždaras rinkinys yra apribotas žemiau, tada jame yra jo infimumas.

Tegu E yra savavališka tiesės taškų rinkinys. Aibės E komplementu vadiname ir CE žymime visų taškų aibę tiesėje not priklausantis daugeliui E. Akivaizdu, kad jei x yra išorinis taškas E, tai jis yra vidinis aibės CE taškas ir atvirkščiai.

4. Jei aibė F uždara, tai jos komplementas CF yra atviras ir atvirkščiai.

4 teiginys rodo, kad yra gana didelis skirtumas tarp uždarų ir atvirų aibių. glaudus ryšys: kai kurie papildo kitus. Dėl to pakanka tirti tik uždaras arba tik atviras aibes. Žinodami vieno tipo aibių savybes, galite iš karto sužinoti kito tipo aibių savybes. Pavyzdžiui, bet koks atviras rinkinys gaunamas pašalinus iš linijos tam tikrą uždarą aibę.

Pradėkime tyrinėti uždarų aibių savybes. Pateikiame vieną apibrėžimą. Tegu F yra uždara aibė. Intervalas (a, b), turintis savybę, kad nė vienas jo taškas nepriklauso aibei F, o taškai a ir b priklauso F, vadinamas gretimu aibės F intervalu.

Taip pat kaip gretimus intervalus įtrauksime netinkamus intervalus arba jei taškas a arba taškas b priklauso aibei F, o patys intervalai nesikerta su F. Parodykime, kad jei taškas x nepriklauso uždarai aibei F, tai jis priklauso vienam iš gretimų intervalų.

Pažymėkime aibės F dalimi, esančia taško x dešinėje. Kadangi pats taškas x nepriklauso aibei F, jį galima pavaizduoti sankirtos forma:

Kiekvienas rinkinys yra F ir uždaras. Todėl pagal 1 teiginį aibė uždaryta. Jei aibė tuščia, tai visas pusės intervalas nepriklauso aibei F. Tarkime, kad aibė nėra tuščia. Kadangi šis rinkinys yra tik per pusę intervalo, jis apribotas žemiau. Jo apatinę ribą pažymėkime b. Pagal 3 pasiūlymą, o tai reiškia. Be to, kadangi b yra aibės infimumas, pusės intervalas (x, b), esantis į kairę nuo taško b, neapima aibės taškų, todėl jame nėra aibės F taškų. mes sukūrėme pusintervalą (x, b), kuriame nėra aibės F taškų, o taškas b priklauso aibei F. Panašiai sudaromas pusintervalas (a, x), kuriame nėra taškų. aibės F ir arba, arba. Dabar aišku, kad intervale (a, b) yra taškas x ir jis yra gretimas aibės F intervalas. Nesunku pastebėti, kad jei ir yra du gretimi aibės F intervalai, tai šie intervalai arba sutampa, arba nesikerta.

Iš ankstesnio išplaukia, kad bet kuri uždara aibė tiesėje gaunama iš eilutės pašalinus tam tikrą intervalų skaičių, būtent gretimus aibės F intervalus. Kadangi kiekviename intervale yra bent vienas racionalus taškas, ir yra skaičiuojama aibė visi racionalūs linijos taškai, nesunku įsitikinti, kad visų gretimų intervalų skaičius yra daugiausia skaičiuojamas. Iš čia gauname galutinę išvadą. Kiekvienas uždaras aibė tiesėje gaunama pašalinus iš eilutės daugiausia skaičiuojamą nevienodų intervalų rinkinį.

Remiantis 4 teiginiu, iš karto išplaukia, kad kiekviena atvira eilutė tiesėje yra ne kas kita, kaip skaičiuojama nevienodų intervalų suma. Remiantis 1 ir 2 teiginiais, taip pat aišku, kad bet kuri aibė, išdėstyta taip, kaip nurodyta aukščiau, iš tikrųjų yra uždara (atvira).

Kaip matyti iš šio pavyzdžio, uždarų rinkinių struktūra gali būti labai sudėtinga.

Vienas pagrindinių taškinių aibių teorijos uždavinių yra įvairių tipų taškų aibių savybių tyrimas. Susipažinkime su šia teorija naudodamiesi dviem pavyzdžiais ir išnagrinėkime vadinamųjų uždarųjų ir atvirųjų aibių savybes.

Aibė vadinama uždara, jei joje yra visi ribiniai taškai. Jei aibė neturi vieno ribinio taško, tada ji taip pat laikoma uždaryta. Be ribinių taškų, uždaroje aibėje gali būti ir atskirų taškų. Aibė vadinama atvira, jei kiekvienas jos taškas yra jos viduje.

Pateiksime uždarų ir atvirų aibių pavyzdžius. Kiekvienas segmentas \(\) yra uždara aibė, o kiekvienas intervalas \((a,b)\) yra atvira aibė. Netinkami pusės intervalai \((-\infty,b]\) ir \(\) , kuriuose nėra aibės \(F\) taškų ir \(a=-\infty\) arba \(a\in F\) Dabar aišku, kad intervale \((a,b)\) yra taškas \(x\) ir jis yra gretimas aibės \(F\) intervalas. Nesunku pastebėti, kad jei \( (a_1,b_1)\) ir \((a_2,b_2)\) yra du gretimi aibės \(F\) intervalai, tada šie intervalai arba sutampa, arba nesikerta.

Iš ankstesnio išplaukia, kad bet kuri uždara eilutė eilutėje gaunama iš eilutės pašalinus tam tikrą intervalų skaičių, būtent gretimus aibės \(F\) intervalus. Kadangi kiekviename intervale yra bent vienas racionalus taškas, o tiesėje yra visų racionalių taškų rinkinys, kurį galima suskaičiuoti, nesunku patikrinti, ar visų gretimų intervalų skaičius yra daugiausia skaičiuojamas. Iš čia gauname galutinę išvadą. Kiekvienas uždaras aibė tiesėje gaunama pašalinus iš eilutės daugiausia skaičiuojamą nevienodų intervalų rinkinį.

Remiantis 4 teiginiu, iš karto išplaukia, kad kiekviena atvira eilutė tiesėje yra ne kas kita, kaip skaičiuojama nevienodų intervalų suma. Remiantis 1 ir 2 teiginiais, taip pat aišku, kad bet kuri aibė, išdėstyta taip, kaip nurodyta aukščiau, iš tikrųjų yra uždara (atvira).

Kaip matyti iš šio pavyzdžio, uždarų rinkinių struktūra gali būti labai sudėtinga.

Cantor tobulas rinkinys

Sukurkime vieną specialų uždarą komplektą su serija nepaprastų savybių. Pirmiausia pašalinkime iš eilutės netinkamus intervalus \((-\infty,0)\) ir \((1,+\infty)\). Po šios operacijos mums liks segmentas \(\) . Tada pašalinkite intervalą iš šio segmento \(\left(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\right)\), sudaro vidurinį trečdalį. Iš kiekvieno iš likusių dviejų segmentų \(\kairėje\) Ir \(\left[\frac(2)(3),1\right]\) Išimkime jo vidurinį trečdalį. Šį vidurinių trečdalių pašalinimo iš likusių segmentų procesą tęsime neribotą laiką. Taškų rinkinys tiesėje, likęs pašalinus visus šiuos intervalus, vadinamas Cantor tobula rinkiniu; žymėsime raide \(P\) .

Panagrinėkime kai kurias šio rinkinio savybes. Aibė \(P\) yra uždara, nes ji suformuota pašalinus iš eilutės tam tikrą nevienodų intervalų rinkinį. Rinkinys \(P\) nėra tuščias; bet kuriuo atveju jame yra visų atmestų intervalų galai.

Iškviečiama uždaroji aibė \(P\). tobulas, jei jame nėra izoliuotų taškų, tai yra, jei kiekvienas jo taškas yra ribinis taškas. Parodykime, kad rinkinys \(P\) yra tobulas. Iš tiesų, jei koks nors taškas \(x\) būtų izoliuotas aibės \(P\) taškas, jis būtų bendras dviejų gretimų šios aibės intervalų galas. Tačiau pagal konstrukciją gretimi aibės \(P\) intervalai neturi bendrų galų.

Aibėje \(P\) nėra vieno intervalo. Tiesą sakant, tarkime, kad tam tikras intervalas \(\delta\) visiškai priklauso aibei \(P\) . Tada jis visiškai priklauso vienam iš segmentų, gautų \(n\) -tajame aibės \(P\) konstravimo žingsnyje. Bet tai neįmanoma, nes \(n\to\infty\) šių segmentų ilgiai linkę į nulį.

Galima parodyti, kad aibė \(P\) turi kontinuumo kardinalumą. Visų pirma iš to išplaukia, kad „Cantor perfect“ rinkinyje, be gretimų intervalų galų, yra ir kitų taškų. Iš tikrųjų gretimų intervalų galai sudaro tik skaičiuojamą aibę.

Įvairiose matematikos šakose nuolat susiduriama su įvairių tipų taškų aibėmis, o jų savybių žinojimas yra būtinas studijuojant daugelį matematines problemas. Ypač puiki vertė turi taškų aibės teoriją matematinė analizė ir topologija.

Pateiksime keletą taškų aibių atsiradimo klasikinėse analizės dalyse pavyzdžių. Tegul \(f(x)\) yra ištisinė funkcija, apibrėžta intervale \(\) . Pataisykime skaičių \(\alpha\) ir apsvarstykime aibę tų taškų \(x\), kuriems \(f(x)\geqslant\alpha\) . Nesunku parodyti, kad šis rinkinys gali būti savavališkas uždaras rinkinys, esantis segmente \(\) . Lygiai taip pat taškų aibė \(x\), kuriai \(f(x)>\alpha\) gali būti bet koks atviras rinkinys \(G\pogrupis\) . Jeigu \(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ltaškai\) yra seka nuolatinės funkcijos, pateiktą atkarpoje \(\), tada tų taškų \(x\), kuriuose ši seka susilieja, aibė negali būti savavališka, bet priklauso labai specifiniam tipui.

Matematinė disciplina, tirianti taškų aibių struktūrą, vadinama aprašomoji aibių teorija. Labai dideli pasiekimai plėtojant aprašomąją aibių teoriją priklauso sovietiniai matematikai- N. N. Luzinas ir jo mokiniai P. S. Aleksandrovas, M. Ya Suslinas, A. N. Kolmogorovas, M. A. Lavrentjevas, P. S. Novikovas, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov ir kt.

N. N. Luzino ir jo mokinių tyrimai parodė, kad yra gilus ryšys tarp aprašomosios aibių teorijos ir matematinė logika. Sunkumai, kylantys svarstant daugybę aprašomosios aibių teorijos problemų (ypač kai kurių aibių kardinalumo nustatymo problemas), yra loginio pobūdžio sunkumai. Atvirkščiai, metodai matematinė logika leidžia mums giliau įsiskverbti į kai kuriuos aprašomosios aibių teorijos klausimus.

Atviri ir uždari rinkiniai

1 priedas . Atviri ir uždari rinkiniai

Daugelis M tiesia linija vadinama atviras, jei kiekvienas jo taškas yra šioje aibėje kartu su tam tikru intervalu. Uždaryta yra aibė, kurioje yra visi jos ribiniai taškai (t. y. tokia, kad bet kuris intervalas, kuriame yra šis taškas, kerta aibę dar bent viename taške). Pavyzdžiui, segmentas yra uždara aibė, bet nėra atvira, o intervalas, priešingai, yra atvira aibė, bet nėra uždara. Yra rinkinių, kurie nėra nei atviri, nei uždari (pavyzdžiui, pusės intervalas). Yra du rinkiniai, kurie yra ir uždari, ir atviri – tai tuščia ir viskas Z(įrodykite, kad kitų nėra). Nesunku tai pastebėti, jei M atidarykite, tada [` M] (arba Z \ M- komplekto papildymas Mį Z) yra uždarytas. Iš tiesų, jei [` M] nėra uždarytas, tada jame nėra jokio savo ribinio taško m. Bet tada m APIE M, ir kiekvienas intervalas, kuriame yra m, susikerta su rinkiniu [` M], t. y. neturi prasmės M, ir tai prieštarauja faktui, kad M– atviras. Panašiai, taip pat tiesiogiai iš apibrėžimo, įrodoma, kad jei M yra uždarytas, tada [` M] atidaryti (patikrinkite!).

Dabar įrodysime šią svarbią teoremą.

Teorema. Bet koks atviras rinkinys M gali būti pavaizduota kaip intervalų sąjunga su racionaliais galais (tai yra su galais racionaliuose taškuose).

Įrodymas . Apsvarstykite sąjungą U visi intervalai su racionaliais galais, kurie yra mūsų aibės poaibiai. Įrodykime, kad ši sąjunga sutampa su visu rinkiniu. Tikrai, jei m- tam tikras taškas M, tada yra intervalas ( m 1 , m 2) M M kuriuose yra m(tai išplaukia iš to, kad M– atviras). Bet kuriame intervale galite rasti racionalų tašką. Leisk ( m 1 , m) – tai m 3, įjungta ( m, m 2) – tai yra m 4. Tada nurodykite m apima sąjunga U, būtent intervalas ( m 3 , m 4). Taigi mes įrodėme, kad kiekvienas taškas m iš M apima sąjunga U. Be to, kaip tai akivaizdžiai išplaukia iš konstrukcijos U, nėra jokios prasmės M, neuždengtas U. Reiškia, U Ir M rungtynės.

Svarbi šios teoremos pasekmė yra tai, kad bet kuri atviroji aibė yra skaičiuojamas derinant intervalus.

Niekur tankūs aibės ir nulio matavimo rinkiniai. Kantoriaus rinkinys>

2 priedas . Niekur tankūs aibės ir nulio matavimo rinkiniai. Kantoriaus rinkinys

Daugelis A paskambino niekur tanku, jei dėl kokių nors skirtingų taškų a Ir b yra segmentas [ c, d] M [ a, b], nesikerta su A. Pavyzdžiui, sekos taškų rinkinys a n = [ 1/(n)] yra niekur ne tankus, o rinkinys racionalūs skaičiai– Ne.

Baire'o teorema. Segmentas negali būti pavaizduotas kaip skaičiuojama niekur nieko tankių aibių sąjunga.

Įrodymas . Tarkime, yra seka A k niekur tankūs rinkiniai tokie, kad Ir i A i = [a, b]. Sukurkime sekančią segmentų seką. Leiskite aš 1 – tam tikras segmentas, įterptas į [ a, b] ir nesikerta su A 1. Pagal apibrėžimą, niekur tankus intervalo rinkinys aš 1 yra atkarpa, kuri nesikerta su aibe A 2. Paskambinkime jam aš 2. Be to, segmente aš 2, panašiai paimkite segmentą aš 3, nesikerta su A 3 ir tt Seka aš k yra įdėtų segmentų bendras taškas(tai viena iš pagrindinių savybių realūs skaičiai). Pagal konstrukciją šis taškas nėra nė viename rinkinyje A k, o tai reiškia, kad šie rinkiniai neapima viso segmento [ a, b].

Paskambinkime rinkiniui M turintis nulį, jei bet kuriam teigiamam e yra seka aš k intervalai, kurių bendras ilgis mažesnis nei e, apimantis M. Akivaizdu, kad bet koks skaičiuojamas rinkinys turi nulį. Tačiau yra ir nesuskaičiuojamų rinkinių, kurių matas yra nulis. Pastatykime vieną, labai garsų, vadinamą „Cantor's“.

Paimkime segmentą. Padalinkime jį į tris lygias dalis. Išmeskime vidurinį segmentą (11 pav., A). Bus du bendro ilgio segmentai [2/3]. Su kiekvienu iš jų atliksime lygiai tą pačią operaciją (11 pav., b). Liks keturi segmentai, kurių bendras ilgis [4/9] = ([2/3]) \ B 2 . Tęsiant taip (11 pav., V–e) iki begalybės, gauname aibę, kurios matas yra mažesnis nei bet kuris iš anksto nustatytas teigiamas matas, ty matas nulis. Galima nustatyti atitikimą vienas su vienu tarp šios aibės taškų ir begalinių nulių ir vienetų sekų. Jei per pirmąjį „išmetimą“ mūsų taškas patenka į dešinįjį segmentą, sekos pradžioje dėsime 1, jei kairėje - 0 (11 pav., A). Toliau, po pirmojo „išmetimo“, gauname mažą didelio segmento kopiją, su kuria darome tą patį: jei mūsų taškas po išmetimo patenka į dešinįjį segmentą, įdėkite 1, jei kairėje - 0, ir tt (patikrinkite ryšį vienas su vienu), ryžiai. 11, b, V. Kadangi nulių ir vienetų sekų aibė turi kardinalumo kontinuumą, Kantoro aibė taip pat turi kardinalumo kontinuumą. Be to, nesunku įrodyti, kad jis niekur nėra tankus. Tačiau netiesa, kad jo griežtas matas nulis (žr. griežto matu apibrėžimą). Idėja įrodyti šį faktą yra tokia: paimkite seką a n, labai greitai linkęs į nulį. Pavyzdžiui, seka a n = [ 1/(2 2 n)]. Tada įrodysime, kad ši seka negali apimti Cantor aibės (padarykite tai!).

3 priedas . Užduotys

Nustatyti operacijas

Rinkiniai A Ir B yra vadinami lygus, jei kiekvienas rinkinio elementas A priklauso rinkiniui B, ir atvirkščiai. Pavadinimas: A = B.

Daugelis A paskambino poaibis rinkiniai B, jei kiekvienas rinkinio elementas A priklauso rinkiniui B. Pavadinimas: A M B.

1. Kiekviename iš dviejų toliau nurodytų rinkinių nurodykite, ar vienas yra kito poaibis:

2. Įrodykite, kad rinkinys A jei ir tik tada yra aibės poaibis B, kai kiekvienas elementas, nepriklausantis B, nepriklauso A.

3. Įrodykite, kad tai savavališkos aibės A, B Ir C

A) A M A; b) jei A M B Ir B M C, Tai A M C;

V) A = B, jei ir tik tada A M B Ir B M A.

Rinkinys vadinamas tuščias, jei jame nėra jokių elementų. Pavadinimas: F.

4. Kiek elementų turi kiekvienas iš šių rinkinių:

5. Kiek poaibių turi trijų elementų aibė?

6. Ar aibėje gali būti tiksliai a) 0; b*) 7; c) 16 poaibiu?

asociacija rinkiniai A Ir B x, Ką x APIE A arba x APIE B. Pavadinimas: A IR B.

Kertant rinkiniai A Ir B vadinama aibe, susidedančia iš tokių x, Ką x APIE A Ir x APIE B. Pavadinimas: A Z B.

Pagal skirtumą rinkiniai A Ir B vadinama aibe, susidedančia iš tokių x, Ką x APIE A Ir x P B. Pavadinimas: A \ B.

7. Duoti rinkiniai A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Raskite rinkinius:

8. Leiskite A yra lyginių skaičių aibė ir B– skaičių aibė, dalijama iš 3. Rasti A Z B.

9. Įrodykite tai bet kokiems rinkiniams A, B, C

A) A IR B = B IR A, A Z B = B Z A;

b) A IR ( B IR C) = (A IR B) IR C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;

V) A Z ( B IR C) = (A Z B)IR ( A Z C), A IR ( B Z C) = (A IR B)Z ( A IR C);

G) A \ (B IR C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)IR ( A \ C).

10. Ar tiesa, kad bet kokiems rinkiniams A, B, C

Nustatykite žemėlapius

Jei kiekvienas elementas x rinkiniai X atitinka tiksliai vienas elementas f(x) rinkiniai Y, tada jie sako, kad duota ekranas f iš daugelio Xį daugybę Y. Tuo pačiu, jei f(x) = y, tada elementas y paskambino būdu elementas x kai rodomas f, ir elementas x paskambino prototipas elementas y kai rodomas f. Pavadinimas: f: X ® Y.

11. Nubrėžkite visus galimus atvaizdus iš aibės (7,8,9) į aibę (0,1).

Leiskite f: X ® Y, y APIE Y, A M X, B M Y. Visas elemento prototipas y kai rodomas f vadinamas rinkiniu ( x APIE X | f(x) = y). Pavadinimas: f - 1 (y). Daugybės įvaizdyje A M X kai rodomas f vadinamas rinkiniu ( f(x) | x APIE A). Pavadinimas: f(A). Rinkinio prototipas B M Y vadinamas rinkiniu ( x APIE X | f(x) APIE B). Pavadinimas: f - 1 (B).

12. Norėdami parodyti f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), pateikta paveikslėlyje, rasti f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

13. Leiskite f: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. Ar tai visada tiesa

A) f(X) = Y;

b) f - 1 (Y) = X;

V) f(A 1 I A 2) = f(A 1) Ir f(A 2);

G) f(A 1 W A 2) = f(A 1) Z f(A 2);

d) f - 1 (B 1 I B 2) = f - 1 (B 1) Ir f - 1 (B 2);

e) f - 1 (B 1 W B 2) = f - 1 (B 1) Z f - 1 (B 2);

g) jei f(A 1) M f(A 2), tada A 1 M A 2 ;

h) jei f - 1 (B 1) M f - 1 (B 2), tada B 1 M B 2 ?

Sudėtis kartografijos f: X ® Y Ir g: Y ® Z vadinamas atvaizdavimu, susiejančiu elementą x rinkiniai X elementas g(f(x)) rinkiniai Z. Pavadinimas: g° f.

14. Įrodykite, kad savavališki atvaizdai f: X ® Y, g: Y ® Z Ir h: Z ® W daroma taip: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Leiskite f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – paveikslėlyje pavaizduoti atvaizdai:

Nupieškite paveikslėlius šiems ekranams:

A) g° f; b) h° g; V) f° h° g; G) g° h° f.

Ekranas f: X ® Y paskambino dviprasmiškas, jei už kiekvieną y APIE Y yra lygiai vienas x APIE X toks kad f(x) = y.

16. Leiskite f: X ® Y, g: Y ® Z. Ar tiesa, kad jei f Ir g tada yra objektyvūs g° f objektyviai?

17. Leiskite f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – paveikslėlyje pavaizduoti atvaizdai:

18. Išsiaiškinkite, ar kiekvienoje iš dviejų aibių yra bijekcijos nuo pirmosios iki antrosios (darant prielaidą, kad nulis yra natūralusis skaičius):

a) daug natūraliuosius skaičius;

b) lyginių natūraliųjų skaičių aibė;

c) natūraliųjų skaičių aibė be skaičiaus 3.

Metrinė erdvė vadinamas rinkiniu X su duotu metrinė r: X× X ® Z

1) " x,y APIE X r ( x,y) i 0 ir r ( x,y) = 0 tada ir tik tada x = y (ne negatyvumas ); 2) " x,y APIE X r ( x,y) = r ( y,x) (simetrija ); 3) " x,y,z APIE X r ( x,y) + r ( y,z) i r ( x,z) (trikampio nelygybė ). 19 19. X

A) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[a,ba,b] funkcijos,

Atidaryti(atitinkamai, uždaryta) spindulio rutulys r erdvėje X centruojamas taške x vadinamas rinkiniu U r (x) = {y APIE x:r ( x,y) < r) (atitinkamai, B r (x) = {y APIE X:r ( x,y) Ј r}).

Vidinis taškas rinkiniai U M X U

atviras aplinkašį tašką.

Ribinis taškas rinkiniai F M X F.

uždaryta

20. Įrodyk tai

21. Įrodyk tai

b) aibės sąjunga A trumpasis jungimas A

Ekranas f: X ® Y paskambino tęstinis

22.

23. Įrodyk tai

F (x) = inf y APIE F r ( x,y

F.

24. Leiskite f: X ® Y– . Ar tiesa, kad jo atvirkštinė reikšmė yra ištisinė?

Nuolatinis „vienas su vienu“ žemėlapių sudarymas f: X ® Y homeomorfizmas. Erdvės X, Yhomeomorfinis.

25.

26. Kurioms poroms? X, Y f: X ® Y, kuris nesilaiko kartu taškų (t. y. f(x) № f(y) adresu x № y investicijos)?

27*. vietinis homeomorfizmas(t. y. kiekviename taške x lėktuvas ir f(x) torus yra tokių apylinkių U Ir V, Ką f homeomorfiškai žemėlapiai Uįjungta V).

Metrinės erdvės ir nuolatiniai atvaizdai

Metrinė erdvė vadinamas rinkiniu X su duotu metrinė r: X× X ® Z, atitinkantis šias aksiomas:

1) " x,y APIE X r ( x,y) i 0 ir r ( x,y) = 0 tada ir tik tada x = y (ne negatyvumas ); 2) " x,y APIE X r ( x,y) = r ( y,x) (simetrija ); 3) " x,y,z APIE X r ( x,y) + r ( y,z) i r ( x,z) (trikampio nelygybė ). 28. Įrodykite, kad šios poros ( X,r ) yra metrinės erdvės:

A) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[a,b] – nenutrūkstamų [ a,b] funkcijos,

Atidaryti(atitinkamai, uždaryta) spindulio rutulys r erdvėje X centruojamas taške x vadinamas rinkiniu U r (x) = {y APIE x:r ( x,y) < r) (atitinkamai, B r (x) = {y APIE X:r ( x,y) Ј r}).

Vidinis taškas rinkiniai U M X yra taškas, esantis U kartu su kokiu nors nulinio spindulio rutuliuku.

Vadinama aibė, kurios visi taškai yra vidiniai atviras. Atviras rinkinys, kuriame yra šį tašką, paskambino aplinkašį tašką.

Ribinis taškas rinkiniai F M X yra taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra be galo daug aibės taškų F.

Vadinama aibė, kurioje yra visi jos ribiniai taškai uždaryta(palyginkite šį apibrėžimą su pateiktu 1 priede).

29. Įrodyk tai

a) aibė yra atvira tada ir tik tada, kai jos papildinys yra uždaras;

b) uždarųjų aibių baigtinė jungtis ir skaičiuojama sankirta yra uždara;

c) atvirųjų aibių skaičiuojamoji sąjunga ir baigtinė sankirta yra atviros.

30. Įrodyk tai

a) bet kurios aibės ribinių taškų aibė yra uždaroji aibė;

b) aibės sąjunga A ir jo ribinių taškų rinkinį ( trumpasis jungimas A) yra uždaras rinkinys.

Ekranas f: X ® Y paskambino tęstinis, jei kiekvieno prototipas atviras rinkinys atviras.

31. Įrodykite, kad šis apibrėžimas atitinka funkcijų tęstinumo tiesėje apibrėžimą.

32. Įrodyk tai

a) atstumas iki rinkinio r F (x) = inf y APIE F r ( x,y) yra nuolatinė funkcija;

b) a) punkto funkcijos nulių aibė sutampa su uždarymu F.

33. Leiskite f: X ® Y

Nuolatinis „vienas su vienu“ žemėlapių sudarymas f: X ® Y, kurio atvirkštinė vertė taip pat yra ištisinė, vadinama homeomorfizmas. Erdvės X, Y, kurioms toks atvaizdavimas egzistuoja, yra vadinami homeomorfinis.

34. Kiekvienai šių rinkinių porai nustatykite, ar jie yra homeomorfiniai:

35. Kurioms poroms? X, Y tarpų nuo ankstesnės problemos yra nuolatinis kartografavimas f: X ® Y, kuris nesilaiko kartu taškų (t. y. f(x) № f(y) adresu x № y– tokie atvaizdai vadinami investicijos)?

36*. Sugalvokite nuolatinį kartografavimą nuo plokštumos iki toro, kuris būtų vietinis homeomorfizmas(t. y. kiekviename taške x lėktuvas ir f(x) torus yra tokių apylinkių U Ir V, Ką f homeomorfiškai žemėlapiai Uįjungta V).

Išbaigtumas. Baire'o teorema

Leiskite X– metrinė erdvė. Pasekmė x n jos elementai vadinami esminis, Jei

37. Įrodykite, kad konvergencinė seka yra pagrindinė. Ar teisingas priešingas teiginys?

Metrinė erdvė vadinama užbaigti, jei yra pagrindinė seka tai susilieja.

38. Ar tiesa, kad erdvė, kuri yra homeomorfinė, yra užbaigta?

39. Įrodykite, kad uždara pilnos erdvės poerdvė pati yra užbaigta; joje uždara visa savavališkos erdvės poerdvė.

40. Įrodykite, kad pilnoje metrinėje erdvėje įdėtų uždarų rutuliukų, kurių spindulys linkęs į nulį, seka turi bendrą elementą.

41. Ar įmanoma į ankstesnė užduotis pašalinti erdvės pilnumo sąlygą arba rutuliukų spindulių tendenciją iki nulio?

Ekranas f metrinė erdvė X pašaukė į save suspaudimo, Jei

42. Įrodykite, kad susitraukimo žemėlapis yra ištisinis.

43. a) Įrodykite, kad visos metrinės erdvės susitraukimo atvaizdavimas į save turi tiksliai vieną fiksuotą tašką.

b) Padėkite Rusijos žemėlapį, kurio mastelis yra 1:20 000 000, į Rusijos žemėlapį, kurio mastelis yra 1:5 000 000. Įrodykite, kad yra taškas, kurio vaizdai abiejuose žemėlapiuose sutampa.

44*. Ar yra neužbaigta metrinė erdvė, kurioje problemos eh teiginys yra teisingas?

Metrinės erdvės poaibis vadinamas visur tankus, jei jo uždarymas sutampa su visa erdve; niekur tanku– jei jo uždarymas neturi netuščių atvirų poaibių (palyginkite šį apibrėžimą su pateiktu 2 priede).

45. a) Tegul a, b, a , b O Z Ir a < a < b < b. Įrodykite, kad ištisinių funkcijų rinkinys [ a,b], monotoniškas įjungtas , niekur nėra tankus visų tęstinių funkcijų erdvėje [ a,b] su vienoda metrika.

b) Tegul a, b, c, ir O Z Ir a < b, c> 0, e > 0. Tada ištisinių funkcijų rinkinys [ a,b], toks

46. (Apibendrinta Baire'o teorema .) Įrodykite, kad pilnos metrinės erdvės negalima pavaizduoti kaip skaičiuojamo skaičiaus niekur nieko tankių aibių sąjunga.

47. Įrodykite, kad ištisinių, nemonotoniškų bet kuriame netuščiame intervale ir niekur intervale apibrėžtų diferencijuojamų funkcijų aibė yra visur tanki visų ištisinių funkcijų erdvėje su vienoda metrika.

48*. Leiskite f– diferencijuojama funkcija intervale. Įrodykite, kad jo išvestinė visur yra tolydi tankus rinkinys taškų. Tai yra apibrėžimas Lebesgue matuoja nulį. Jei skaičiuojamas intervalų skaičius pakeičiamas baigtiniu, gauname apibrėžimą Jordanova

matuoja nulį.

APIBRĖŽIMAS 5. Tegu X yra metrinė erdvė, ММ Х, аОХ. Taškas a vadinamas M ribiniu tašku, jei bet kurioje a kaimynystėje yra aibės M\(a) taškų. Pastarasis reiškia, kad bet kurioje a kaimynystėje yra aibės M taškų, kurie skiriasi nuo a.

Pastabos. 1. Ribinis taškas gali priklausyti arba nepriklausyti aibei. Pavyzdžiui, 0 ir 1 yra aibės (0,2) ribiniai taškai, tačiau pirmasis jai nepriklauso, o antrasis priklauso. 2. Aibės M taškas negali būti jos ribinis taškas. Šiuo atveju jis vadinamas izoliuotu tašku M. Pavyzdžiui, 1 - izoliuotas taškas

rinkiniai (-1,0)È(1).

3. Jei ribinis taškas a nepriklauso aibei M, tai šioje metrinėje erdvėje yra taškų x n ОM seka, konverguojanti į a. Norėdami tai įrodyti, pakanka paimti atvirus rutuliukus šiame spindulio 1/n taške ir iš kiekvieno rutulio pasirinkti tašką, priklausantį M. Taip pat yra atvirkščiai, jei a yra tokia seka, tai taškas yra a. ribinis taškas.

APIBRĖŽIMAS 6. Aibės M uždarumas yra M sąjunga su jos ribinių taškų aibe. Paskyrimas

Atkreipkite dėmesį, kad rutulio uždarymas neturi sutapti su tokio paties spindulio uždarytu rutuliu. Pavyzdžiui, atskiroje erdvėje rutulio B(a,1) uždarymas yra lygus pačiam rutuliui (susideda iš vieno taško a), o uždaras rutulys (a,1) sutampa su visa erdve.

Apibūdinkime kai kurias aibių uždarymo savybes.

1. MÌ. Tai tiesiogiai išplaukia iš uždarymo apibrėžimo. 2. Jei M М N, tai М . Iš tiesų, jei О , ПМ, tai bet kurioje a kaimynystėje yra aibės M taškai. Jie taip pat yra N taškai. Todėl aО

4. .

. Dėl taškų iš M tai aišku pagal apibrėžimą. 5. Tuščio komplekto uždarymas yra tuščias. Šis susitarimas neišplaukia iš bendras apibrėžimas

, bet natūralu.

APIBRĖŽIMAS 7. Aibė M М X vadinama uždara, jei = M.

Aibė M М X vadinama atidaryta, jei aibė X\M yra uždaryta.

APIBRĖŽIMAS 8. Taškas a vadinamas vidiniu aibės M tašku, jei B(a,r)МM tam tikram teigiamam r, t.y. vidinis taškasį komplektą įeina kartu su kai kuriais rajonais. Taškas a vadinamas išoriniu aibės M tašku, jei rutulys B(a,r)МХ/M tam tikram teigiamam r, ty vidinis taškas nėra įtrauktas į aibę kartu su kai kuriais rajonais. Taškai, kurie nėra nei vidiniai, nei išoriniai aibės M taškai, vadinami ribiniais taškais.

Taigi ribiniams taškams būdinga tai, kad kiekvienoje jų apylinkėje yra taškų, įtrauktų ir neįtrauktų į M.

PASIŪLYMAS 4. Kad rinkinys būtų atviras, būtina ir pakanka, kad visi jo taškai būtų vidiniai.

Uždarųjų aibių eilutėje pavyzdžiai yra , )