Hilberto problemos. Hilberto problemos ir sovietinė matematika

(standartinė sistema aibių teorijos aksiomos). Taigi kontinuumo hipotezė šioje aksiomų sistemoje negali būti nei įrodyti, nei paneigti (su sąlyga, kad ši aksiomų sistema yra nuosekli).

1900 m. Paryžiuje įvyko Antrasis tarptautinis matematikų kongresas. Ją aptarė vokiečių mokslininkas, profesorius Davidas Hilbertas, kuris savo pranešime iškėlė 23 tuo metu svarbiausias problemas, susijusias su matematika, geometrija, algebra, topologija, skaičių teorija ir tikimybių teorija.

Įjungta šiuo metu Išspręsta 16 iš 23 problemų. Dar 2 yra neteisingos matematinės problemos (viena suformuluota per miglotai, kad suprastų, ar ji išspręsta, ar ne, kita, toli gražu neišspręsta, yra fizinė, o ne matematinė). Iš likusių penkių problemų dvi niekaip neišspręstos, o trys išspręstos tik kai kuriais atvejais.

Visas Hilberto problemų sąrašas ir jų būsena:

1. Kontinuumas-hipotezė. Ar begalinis kardinalus skaičius egzistuoja tik tarp sveikųjų ir realiųjų skaičių aibių kardinolų? 1963 metais išsprendė Paul Cohen – atsakymas į klausimą priklauso nuo to, kokios aksiomos naudojamos aibių teorijoje.

2. Aritmetikos loginis nuoseklumas. Įrodykite, kad standartinės aritmetikos aksiomos negali sukelti prieštaravimo. Kurtas Gödelis išsprendė 1931 m.: su įprastomis aibių teorijos aksiomomis toks įrodymas neįmanomas.

3. Lygi vienodo dydžio tetraedrų sudėtis. Jei du tetraedrai yra vienodo tūrio, ar visada įmanoma vieną iš jų supjaustyti į baigtinį daugiakampių skaičių ir iš jų surinkti antrą? 1901 m. išsprendė Maxas Dehnas, atsakymas yra neigiamas.

4. Tiesioginis kaip trumpiausias atstumas tarp dviejų taškų. Remdamiesi suformuluokite geometrijos aksiomas šis apibrėžimas nukreipkite ir pažiūrėkite, kas bus toliau. Užduotis per daug miglota, kad būtų galima tikėtis konkretaus sprendimo, tačiau padaryta daug.

5. Melo grupės nesiremdamos diferenciacija. Techninis klausimas transformacijos grupių teorijoje. Vienoje iš interpretacijų šeštajame dešimtmetyje jį išsprendė Andrew Gleasonas, kitoje – Hidehiko Yamabe.

6. Fizikos aksiomos. Sukurkite griežtą aksiomų sistemą matematinėms fizikos sritims, tokioms kaip tikimybių teorija ar mechanika. Tikimybių aksiomų sistemą sukūrė Andrejus Kolmogorovas 1933 m.

7. Iracionalūs ir transcendentiniai skaičiai. Įrodyk tai tam tikrus skaičius yra neracionalūs arba transcendentiniai. 1934 m. išsprendė Aleksandras Gelfondas ir Theodoras Schneideris.

8. Riemano hipotezė. Įrodykite, kad visi netrivialūs Riemano zeta funkcijos nuliai yra kritinėje tiesėje. Žr. 9 skyrių.

9. Abipusiškumo dėsniai skaičių laukuose. Apibendrinti klasikinė teisė kvadratinis abipusiškumas (apie modulio kvadratus) į daugiau aukšti laipsniai. Išspręsta iš dalies.

10. Diofantinių lygčių sprendinių egzistavimo sąlygos. Raskite algoritmą, leidžiantį nustatyti, ar duota daugianario lygtis su daugybe sprendimų kintamųjų sveikaisiais skaičiais. Neįmanomumą įrodė Jurijus Matiyasevičius 1970 m.

11. Kvadratinės formos su algebriniais skaičiais kaip koeficientais. Diofantinių lygčių su daugybe kintamųjų sprendimo techniniai klausimai. Išspręsta iš dalies.

12. Kronecker’io teorema apie Abelio laukus. Kroneckerio teoremos apibendrinimo techniniai klausimai. Dar neįrodyta.

13. Septinto laipsnio lygčių sprendimas naudojant funkcijas specialus tipas. Įrodykite, kad bendrosios septinto laipsnio lygties negalima išspręsti naudojant dviejų kintamųjų funkcijas. Viename iš interpretacijų tokio sprendimo galimybę įrodė Andrejus Kolmogorovas ir Vladimiras Arnoldas.

14. Pilnos funkcijų sistemos baigtinumas. Išplėskite Hilberto teoremą apie algebrinius invariantus į visas transformacijų grupes. Masayoshi Nagata paneigė 1959 m

15. Skaitinė Schuberto geometrija. Hermannas Schubertas rado negriežtą įvairių geometrinių konfigūracijų skaičiavimo metodą. Iššūkis yra padaryti šį metodą griežtą. Viso sprendimo vis dar nėra.

16. Kreivių ir paviršių topologija. Kiek sujungtų komponentų gali turėti tam tikro laipsnio algebrinė kreivė? Kiek skirtingų periodinių ciklų gali turėti tam tikro laipsnio algebrinė diferencialinė lygtis? Ribota akcija.

17. Pristatymas tam tikros formos kaip kvadratų suma. Jeigu racionali funkcija visada ima neneigiamas reikšmes, tai būtinai turi būti išreikšta kvadratų suma? Išsprendė Emilis Artinas, D. Dubois ir Albrechtas Pfisteris. Tiesa tikriems skaičiams, klaidinga kai kuriose kitų skaičių sistemose.

18. Erdvės užpildymas daugiakampiais. Bendrieji klausimai apie erdvės užpildymą kongruentiniais daugiakampiais. Susijęs su Keplerio hipoteze, kuri dabar įrodyta (žr. 5 skyrių).

19. Sprendimų analitiškumas variacijų skaičiavime. Variacijų skaičiavimas atsako į tokius klausimus kaip „rasti trumpiausią kreivę su duotomis savybėmis“ Jei tokia problema suformuluota naudojant gražias funkcijas, tai sprendimas irgi turėtų būti gražus? Įrodė Ennio de Giorgi 1957 m. ir Johnas Nashas.

20. Ribinės vertės problemos. Supraskite sprendimus diferencialines lygtis fizika tam tikroje erdvės srityje, jei sprendinio savybės nurodytos šią sritį ribojančiame paviršiuje. Dažniausiai sprendžiama (prisidėjo daug matematikų).

21. Diferencialinių lygčių su duotuoju monodromu buvimas. Ypatingas sudėtingos diferencialinės lygties tipas, kurį galima suprasti naudojant duomenis apie jos singuliarumo taškus ir monodromų grupę. Įrodykite, kad gali egzistuoti bet koks šių duomenų derinys. Atsakymas yra „taip“ arba „ne“, priklausomai nuo interpretacijos.

22. Uniformacija naudojant automorfines funkcijas. Techninis klausimas dėl lygčių supaprastinimo. Paulas Koebe'as nusprendė netrukus po 1900 m.

23. Variacijų skaičiavimo kūrimas. Hilbertas paragino naujų idėjų variacijų skaičiavimo srityje. Daug nuveikta, bet formuluotė pernelyg miglota, kad problema būtų laikoma išspręsta.

GOU gimnazija Nr.000

„Maskvos miesto pedagoginė gimnazija-laboratorija“

Abstraktus

Hilberto problemos ir sovietinė matematika

Efremova Jekaterina

Prižiūrėtojas:

Įvadas.................................................. ...................................................... .............................................................. ...2

§1. Trumpa biografija Davidas Gilbertas................................................ ...................................................4

§2. Hilberto problemos................................................ ................................................... ...................... 5

§3. Sovietinių matematikų indėlis sprendžiant Hilberto uždavinius................................................ .........7

§4. Sovietinių matematikų išspręsti uždaviniai................................................ ..............................9

Išvada................................................ .................................................. ......................................10

Literatūra.................................................. ...................................................... ...............................11

Įvadas

Mano santrauka skirta straipsniui apie Hilberto problemas ir sovietinę matematiką. Straipsnį parašė Demidovas ir jis publikuotas lapkričio mėnesio „Fizika ir matematika“ numeryje mokslo populiarinimo žurnalas„Kvantas“ 1977 m.

Šis žurnalas moksleiviams ir studentams buvo skirtas masiniam skaitytojui. Straipsnio publikavimo metu žurnalą leido leidinys „Nauka“. Pirmą kartą idėją sukurti „Kvantą“ akademikas Piotras Leonidovičius Kapitsa išreiškė 1964 m., o tik 1970 m. sausį pasirodė pirmasis žurnalo numeris, kuriame vyriausiuoju redaktoriumi tapo akademikas Isaacas Konstantinovičius Kikoinas. Pasak UNESCO ekspertų 1985 m., Quant buvo unikalus žurnalas savo žanre.

Hilberto problemos yra dvidešimt trijų sąrašas kardinalios problemos matematikai, kuriuos pristatė Davidas Hilbertas antroje Tarptautinis kongresas matematikai Paryžiuje 1900 m. Šios problemos apėmė matematikos pagrindus (1, 2 uždaviniai), algebrą (13, 14, 17 uždavinių), skaičių teoriją (7, 8, 9, 10, 11, 12 uždavinių), geometriją (3, 4, 18 uždavinių), topologija (16 uždavinių), algebrinė geometrija (12, 13, 14, 15, 16, 22 uždaviniai), melo grupės (5, 14, 18 uždavinių), realioji ir išsamią analizę(13, 22 uždaviniai), diferencialinės lygtys (16, 19, 20, 21 uždavinys), matematinė fizika ir tikimybių teorija (6 uždavinys), taip pat variacijų skaičiavimas (23 uždavinys). Tada šios problemos nebuvo išspręstos. Šiuo metu devyniolika iš dvidešimt trijų jau yra išspręsta, tiksliau – penkiolika, o likusios keturios turi tik dalinį sprendimą. Dar dvi nėra teisingos matematinės problemos, nes viena suformuluota per neaiškiai, kad suprastų, ar ji išspręsta, ar ne, o antroji yra labiau fizinė nei matematinė. Atsakymas į likusius du (8,16) vis dar yra paslaptis.

Tačiau šiame straipsnyje akcentuojamos ne Hilberto problemos, o sovietinė matematika. Ji pasakoja, kad Rusija ilgą laiką nebuvo tokia galinga matematinė galia, kaip Prancūzija ir Vokietija. Iki to laiko Rusija buvo pripažinusi matematikos mokyklas ir išugdė puikius matematikus, tokius kaip Lobačevskis ir Čebyševa. Demidovo straipsnis parodo, kaip Rusija augo moksle ir kaip ji pasiekė matematikos viršūnę. Manau, tai svarbu, nes parodo, kad ne viskas duodama iš karto, o viską reikia pasiekti pastangomis. Kad net norėdami sulaukti pasaulinio pripažinimo, mokslininkai turėjo nueiti ilgą mokslo kelią.

Šis straipsnis parengtas remiantis knyga, kurioje pasakojama apie viso pasaulio mokslininkų pasiekimus sprendžiant Hilberto problemas, kuri buvo išleista Rusijoje 1969 m. Bet aš rašau ne iš šios knygos, nes tam reikia daug matematinis mokymas, ir net universiteto kurso nepakanka norint suprasti kai kuriuos skyrius. Be to, nuo jo paskelbimo iki straipsnio parašymo Hilberto problemų tyrimo padėtis labai pasikeitė. Matematika jau buvo spartaus vystymosi stadijoje, ji nuolat kėlė mokslininkams naujų problemų. Taip yra nepaisant to, kad daugelis senų problemų, įskaitant Hilbertą, nerado savo sprendimo.

Išsikėliau sau tikslą šio straipsnio pavyzdžiu ištirti sovietų matematikų indėlį sprendžiant šias problemas ir pamatyti, kaip XX amžiuje vystėsi matematikos mokslas.

Šią temą laikau įdomia pirmiausia man pačiam, todėl ja ir rėmiausi savo rašiniu. Man atrodo, kad dabar matematikos samprata tarp moksleivių yra labai paviršutiniška. Visi tiki, kad visos įmanomos teoremos ir dėsniai jau atrasti. Tačiau tai toli gražu nėra tiesa. Kasdien matematika juda į priekį ir nestovi vietoje. Ir šis straipsnis parodo, kaip tai vystėsi, kaip kūrė mūsų tautiečiai. Ir manau, kad svarbu žinoti, ką jie padarė pasaulio matematikai.

§1. Davido Gilberto biografija

Davidas Gilbertas gimė teisėjo Otto Gilbert šeimoje 1862 m. sausio 23 d. Wehlau mieste netoli Karaliaučiaus, Prūsijoje. Čia jis baigė Wilselmo gimnaziją ir įstojo į Karaliaučiaus universitetą, kur susidraugavo su Hermannu Minkowskiu ir Adolfu. Hurwitz. Kartu jie dažnai leisdavosi į ilgus „matematinius pasivaikščiojimus“, kuriuose aktyviai diskutuodavo apie sprendimą mokslines problemas. Vėliau Gilbertas tokius pasivaikščiojimus įteisino kaip neatskiriamą savo mokinių ugdymo dalį.

1885 m. Hilbertas apgynė disertaciją apie invariantų teoriją. mokslinis vadovas kuris buvo Lindemannas, ir in kitais metais tapo matematikos profesoriumi Karaliaučiuje. Per ateinančius kelerius metus esminiai Hilberto atradimai invariantų teorijoje pastūmėjo jį į Europos matematikų priešakyje.

1895 m. Felikso Kleino kvietimu Hilbertas persikėlė į Getingeno universitetą. Šiose pareigose jis išbuvo 35 metus, beveik iki savo gyvenimo pabaigos.

1900 m. Antrajame tarptautiniame matematikų kongrese Hilbertas suformulavo garsus sąrašas 23 neišspręstos matematikos problemos, kurios bus aptartos toliau.

§2. Hilberto problemos

„Kas iš mūsų nenorėtų pakelti šydo, už kurio slypi mūsų ateitis, kad bent vienu žvilgsniu prasiskverbtų į artėjančius mūsų žinių sėkmes ir jų raidos paslaptis ateinančiais šimtmečiais? Kokie bus ypatingi tikslai, kuriuos sau išsikels pirmaujantys kitos kartos matematiniai protai? Kokie nauji metodai ir nauji faktai bus atrasti naujajame amžiuje plačiame ir turtingame matematinės minties lauke? Istorija moko, kad mokslo raida yra nuolatinė. Žinome, kad kiekvienas amžius turi savo problemų, kurias vėlesnė era arba išsprendžia, arba nustumia į šalį kaip bevaises, kad pakeistų jas naujomis. Kad įsivaizduotume galimą matematikos raidos pobūdį artimiausioje ateityje, turime vaizduotėje peržvelgti vis dar atvirus klausimus, apžvelgti matematikos keliamas problemas. šiuolaikinis mokslas, ir kurių sprendimų tikimės iš ateities. Tokia problemų apžvalga man atrodo ypač savalaikė šiandien, naujojo amžiaus sandūroje. – Taip D. Hilbertas pradėjo savo pranešimą antrajame matematikos kongrese 1900 metų rugpjūčio 8 dieną, penktosios ir šeštosios sekcijų posėdyje.

Pirmosios šešios Hilberto pranešimo problemos yra susijusios su įvairių matematinių disciplinų pagrindimu, kitos devynios – su daugiau. specialius klausimus algebra, algebrinė geometrija ir skaičių teorija, likusios aštuonios – į funkcijų teoriją, diferencialines lygtis ir variacijų skaičiavimą.

Reikėtų pažymėti, kad kai kurios iš šių problemų buvo iškeltos gerokai anksčiau nei Hilbertas. Taigi pirmą sąraše – kontinuumo problemą – G. Cantoras iškėlė 1878 m., su trečiąja problema susijusius klausimus aptarė K. Gaussas susirašinėjime su Gerlingu. Kalbant apie klausimus, sudarančius aštuntosios problemos turinį, vienas iš jų yra hipotezė apie nulius

zeta funkcija - buvo iškelta B. Riemanno 1859 m., kitą, pavadintą Goldbacho hipoteze, - dar 1742 m. pastarojo laiške L. Euleriui ir galiausiai 21-oji problema - B. Riemanno 1857 m. Likusios problemos, kurių autorius buvo pats Hilbertas, sudaro tik dalį to meto jo iškeltų problemų. Šios aplinkybės pabrėžia ypatingas personažas ataskaitoje pateiktų problemų pasirinkimas – čia pateikiamos tik svarbiausios, Hilberto nuomone, matematikos užduotys, kurių apmąstymas galėjo padėti „įsivaizduoti galimą raidos pobūdį matematines žinias artimiausiu metu“.

Įjungta duoto laiko, jau po 113 metų dvi žinomos problemos nebuvo išspręstos. Būtent aštuntasis (apie Riemano zeta funkcijos nulius) ir šešioliktasis (apie ribinius ciklus). Viso pasaulio mokslininkai galvoja apie šių problemų sprendimą, tačiau sprendimo dar nerado, o prognozės dar nėra labai aiškios.

Iš visų problemų buvo išspręstos tik dvylika, iš kurių dvi buvo paneigtos. Be to, trys reikalauja patikslinti formuluotę, o viena yra neišsprendžiama.

Taip pat yra įdomus faktas kad iš pradžių buvo 24 Hilberto problemos. Tačiau ruošdamasis ataskaitai Gilbertas vieno iš jų atsisakė. Problema buvo atrasta po šimto metų, vokiečių istorikas Gilberto užrašuose. Ši problema buvo susijusi su paprastojo ir kriterijaus įrodinėjimo teorija bendri metodai. Iš esmės ši problema taip pat neišspręsta, tačiau oficialiai apie tai niekas nekalbėjo. Ir todėl jie nebandė to išspręsti.

§3. Sovietų matematikų indėlis sprendžiant Hilberto uždavinius

Taip pat sprendžiant šias problemas, be daugybės talentingų matematikų iš įvairių pasaulio šalių ir paties Hilberto, dalyvavo ir šalies matematikai. Rusija tuo metu dar nebuvo matematinė galia, kaip Prancūzija ar Vokietija, bet jau turėjo matematikos mokyklas. Rusijos delegacijos suvažiavimuose nebuvo didelės, apie 9 žmones. Ir tai yra mažai, palyginti su Vokietija (25) ir Prancūzija (90). Šiame suvažiavime delegacija padarė tik vieną pranešimą „Dėl funkcijos išnykimo N keli kintamieji“.

Pirmuoju darbu Rusijoje, skirtu Hilberto problemoms spręsti, laikomas Kagano 1903 m. darbas apie trečiąją problemą. Nors tai nebuvo išspręsta, tyrimai labai supaprastino įrodymą. Būtent su šia problema Rusijoje prasidėjo aktyvus dalyvavimas juos sprendžiant.

O po metų jaunas mokslininkas, vėliau akademikas Berenšteinas visiškai išsprendė devynioliktąją problemą. Šių problemų plėtra atnešė tam tikrą šlovę sovietiniams matematikams, nes anksčiau apie jas buvo mažai žinoma.

Visą dvidešimtąjį amžių mokslininkai įvairiai sėkmingai sprendė problemas. Taigi 1929 m. Gelfondas pateikė dalinį Hilberto septintosios problemos sprendimą, o 1934 m. – galutinį sprendimą. Kai kurie vokiečių matematikai dirbo ties šia problema ir pamažu padarė išvadas. Ačiū dirbant kartu mokslininkų ir septintoji problema, kaip ir daugelis kitų, buvo įrodyta.

Aštuntoji Hilberto problema susideda iš kelių problemų, susijusių su pirminių skaičių teorija. Kiekvienas čia gavo naujas faktas buvo itin reikšmingas įvykis. Viena iš šių problemų yra vadinamoji Goldbacho problema: įrodyti, kad kiekvienas sveikasis skaičius, didesnis nei šeši, yra trijų pirminių skaičių suma.

Nesunku rasti reikiamus išplėtimus dideli skaičiai:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Tačiau patikrinkite šią hipotezę su dideliais skaičiais ilgą laiką tai nepasiteisino. Nebuvo įmanoma rasti būdų, kaip išspręsti problemą. Tai pasiekė tašką, kad 1912 m. Tarptautiniame matematikų kongrese buvo pranešta apie neįmanomą šios problemos sprendimą. Juo labiau sensacingas buvo nuostabaus sovietinio matematiko, akademiko, kuriam 1937 m. pavyko išspręsti nelyginių skaičių problemą, rezultatas. Šis rezultatas, kaip ir jo gavimo būdas, laikomi vienu iškiliausių XX amžiaus matematinių pasiekimų. Šis metodas vėliau buvo sėkmingai panaudotas sprendžiant daugelį skaičių teorijos problemų. 1946 m. ​​akademikas pateikė dar vieną teoremos įrodymą, naudodamas kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos metodus.

Galima išsamiai kalbėti apie daugybę Rusijos mokslininkų, kurie prisidėjo prie šių problemų sprendimo, nes net ir mažas atradimas sprendžiant problemą jau reiškė daug ir priartino prie jos sprendimo.

§4. Sovietinių matematikų išspręsti uždaviniai

Sąrašas problemų, kurias išsprendė šiuolaikiniai matematikai arba kurioms jie priartėjo:

1. 1903 m. atliktas tyrimas, kuris žymiai sutrumpino ir supaprastino trečiosios Hilberto problemos sprendimą;

2. 1904 m. jis pateikė devynioliktos problemos sprendimą

3. Savo 1908-1909 m. darbuose gavo svarbius rezultatus susijusi su dvidešimtąja problema;

4. 1929 m. jis pateikė dalinį Hilberto septintosios problemos sprendimą;

5. dirbo su šešioliktąja Hilberto problema ir 1933 m. išsprendė vieną iš šių uždavinių;

6. 1934 metais davė galutinis sprendimas septintoji problema;

7. Padarė pažangą sprendžiant penktąją problemą ir įrodė problemą atitinkamai 1934 m. ir 1946 m. ​​labai svarbiais atvejais, nors jos iki galo neišsprendė;

8. Devynioliktojo uždavinio rezultatai gauti 1937 m.

9. 1937 m. išsprendė dalį aštuntojo nelyginių skaičių uždavinio;

10. Vieną ryškiausių antrosios problemos įrodymų 1943 m. gavo akademikas;

11. 1949 m. darbe (kartu su) jis apibendrino savo rezultatą devyniolikta problema;

12. 1954 metais akademikas padarė pažangą spręsdamas tryliktąją problemą;

13. 1960 m. Leningrado matematikai gavo Hilberto devynioliktosios ir dvidešimtosios uždavinių rezultatų „konvergenciją“;

14. Dešimtoji problema galutinai išspręsta 1970 m.;

Išvada

Hilberto problemos yra vienos iš labiausiai sudėtingos užduotys pasaulio matematika. Tačiau jų sprendimas padėjo išvystyti rusų matematiką nuo beveik nieko iki pasaulinės šlovės. Jei XX amžiaus pradžioje buvo žinomi tik keli matematikai, tai pabaigoje Rusija buvo žinoma kaip didelė matematinė galia. Kartu buvo steigiamos mokyklos ir universitetai matematines kryptis. Matematika dabar sparčiai vystosi, mokslininkams ji nuolatos kelia vis naujų problemų. Ir daugelis senų (įskaitant kai kurias Hilberto problemas) dar nerado savo sprendimo. Daugelis žmonių matematiką laiko „mirusiu mokslu“, bet taip nėra. Matematikai nuolat ją tobulina.

O tam tikrų problemų buvimas rodo, kad ir matematika turi savo istoriją. Be to, studijuodamas šias problemas supratau, kad ši istorija yra labai įdomi. Sužinojau daug naujų dalykų, daugeliui matematika yra tik formulių ir įrodymų, teoremų ir aksiomų rinkinys. Taigi, matematika yra gyvas mokslas. Kaip pasaulis gyvena ir kasdien patenka į istoriją, taip ir matematika rašo savo istoriją.

Taip pat mačiau, kiek daug matematikai, o ypač matematikai Rusijoje, reiškė XX a. Juk per šį šimtmetį tiek daug pasikeitė. Iš dalies sovietų matematikų dėka įvyko neįtikėtinas mokslo šuolis.

Nuorodos

1) Bolibrukh „Matematinis nušvitimas“ 2 leidimas. „Hilberto problemos (po 100 metų).“ // Maskva, 1999 m.

2) Demidovas S. Populiarus mokslinis fizikos-matematikos žurnalas „Kvant“. // Maskva, 1977 m. lapkritis.

PRATARMĖ

Skaitytojo dėmesiui pasiūlytame rinkinyje yra pirmą kartą į rusų kalbą išverstas tekstas garsus reportažas Hilbertas „Matematinės problemos“, perskaitytas II tarptautiniame matematikų kongrese, vykusiame Paryžiuje 1900 m. rugpjūčio 6–12 d.

Kongrese dalyvavo 226 žmonės: 90 žmonių iš Prancūzijos, 25 iš Vokietijos, 17 iš JAV, 15 iš Italijos, 13 iš Belgijos, 9 iš Rusijos, po 8 iš Austrijos ir Šveicarijos, po 7 iš Anglijos ir Švedijos, 4 iš Danijos, po 3 iš Olandijos, Ispanijos ir Rumunijos, po 2 iš Serbijos ir Portugalijos, 4 iš Pietų Amerika, Turkija, Graikija, Norvegija, Kanada, Japonija ir Meksika atsiuntė po vieną delegatą.

Pagrindinės kongreso kalbos buvo anglų, prancūzų, vokiečių ir italų.

Kongreso pirmininku išrinktas Henri Poincaré, garbės pirmininku išrinktas nesantis Charlesas Hermite'as (1822 - 1901), garbės pirmininku – E. Chuberis (Viena), K. Geyseris (Ciurichas), P. Gordanas (Erlangenas), A. Greenhillas (Londonas). vicepirmininkais buvo išrinkti L. Lindelofas (Helsingforsas), F. Lindemannas (Miunchenas), G. Mittag-Leffleris (Stokholmas), nedalyvavo E. Moore'as (Čikaga), M. A. Tikhomandritskis (Charkovas), V. Volterra (Turinas). , G. Zeitenas (Kopenhaga), Kongreso sekretoriai - I. Bendiksonas (Stokholmas), A. Capelli (Neapolis), G. Minkowskis (Ciurichas), I. L. Ptašitskis (Sankt Peterburgas), o nedalyvaujantis A. Whiteheadas (Kembridžas) ).

Kongreso generaliniu sekretoriumi išrinktas E. Duporcqas (Paryžius).

Buvo šešios sekcijos: 1) aritmetika ir algebra (pirmininkas D. Hilbertas, sekretorius E. Kartanas),

5 ir 6 skyriai sėdėjo kartu.

Kongreso atidarymo dieną visuotiniame susirinkime buvo surengti du valandos trukmės pranešimai: M. Cantor „Apie matematikos istoriografiją“, kuriuose apžvelgė matematikos istorijos darbus, pradedant J. Montucl ir G. Libri, ir V. Volterra apie E. Betti, F. Brioschi ir F. Casorati mokslinę veiklą.

Tada prasidėjo pertraukos seansai, kurių metu buvo pateikti 46 pranešimai, įskaitant L. Dixon, G. Mittag-Leffler, D. Gilbert, J. Hadamard, A. Capelli, I. Fredholm, I. Bendixson, V. Volterra ir kt. .

Rusijos matematikai Kongrese atstovavo viena M.A. Tikhomandritskis „Dėl funkcijos išnykimo N keli kintamieji“.

Baigiamajame visuotiniame susirinkime kalbėjo G. Mittag-Leffler, kuris kalbėjo apie paskutinius Weierstrasso gyvenimo metus, remdamasis laiškais S. V. Kovalevskajai, ir A. Poincaré, surengęs pranešimą „Apie intuicijos ir logikos vaidmenį matematikoje. “

Taip vyko kongresas, kuriame rugpjūčio 8 dieną bendrame 5 ir 6 sekcijų posėdyje D. Hilbertas skaitė pranešimą „Matematiniai uždaviniai“.

Kaip rašo D. Sintsovas*, „Hilberto žinutė sukėlė nemažai komentarų iš susirinkusių, kurie nurodė, kad kai kurias Hilberto išvardytas problemas jie visiškai arba iš dalies išsprendė“**. Tuo metu Hilbertas, 38 metų Getingeno profesorius, jau buvo plačiai žinomas dėl savo darbų apie invariantų teoriją ir teoriją. algebriniai skaičiai. 1899 m. buvo paskelbti jo garsieji „Geometrijos pagrindai“, kurie sudarė matematikos pagrindų erą. Nuostabus Hilberto talento universalumas ir apibendrinanti galia leido jam lengvai naršyti įvairiose matematikos srityse, kurių beveik kiekvienoje jis pasiekė puikių rezultatų ir padarė daugybę svarbius klausimus.

* D. M. Sintsovas, Antrasis tarptautinis matematikos kongresas, fiz.-matema. Mokslai (2) 1, Nr. 5 (1901), 129-137.

** Tikriausiai problemų skaičius pirminiame ataskaitos tekste viršijo dvidešimt tris.

Įdomiausios problemos, pasak Hilberto, yra „kurių tyrimai gali žymiai paskatinti tolesnė plėtra mokslas“, Tai jis pasiūlė matematikams savo pranešime. Nuo to laiko praėjo du trečdaliai amžiaus. Hilberto problemos išliko aktualios visą šį laikotarpį, o jų sprendimui buvo pritaikytos talentingiausių matematikų pastangos. Su turiniu susijusių idėjų kūrimas minimos problemos, sudarė didelę XX amžiaus matematikos dalį.

Pagrindinės ataskaitos dalies (išskyrus 15 ir 23 uždavinių tekstus ir išvadą) vertimą iš Gottinger Nachrichten (1900, 253-297) publikuoto teksto atliko M. G. Shestopal, recenzavo I. N. Bronstein ir I. M. Yaglom, kuris padarė keletą redakcinių pataisų ir pakeitimų. 15 ir 23 uždavinių tekstą bei baigiamąją pranešimo dalį išvertė A. V. Dorofejeva. Vertimas apima Hilberto papildymus dėl pranešimo paskelbimo trečiajame jo Surinktų darbų tome (Gesammelte Abhandlungen, Berlynas, Springer, 1932-1935) – tekste jie pateikti laužtiniuose skliaustuose. Vertimas patikrintas vertimu į anglų kalbą (Bull. Amer. Math. Soc. 8, Nr. 10 (1902), 403-479), taip pat su vertimu, atliktu Maskvos valstybės matematikos ir mechanikos istorijos biure. A. V. Dorofejevos ir M. V. Chirikovo universitetas *.

* Šis vertimas buvo istorinės ir matematinės Hilberto problemų analizės, atliekamos Maskvos valstybinio universiteto Matematikos ir mechanikos istorijos biure, vadovaujant prof. K. A. Rybnikova.

Žinomas sunkumas buvo kai kurių senų matematinių terminų vertimas. Kai kuriais atvejais šalia perkėlimo į skliausteliuoseįtrauktas vokiškas terminas, o vienu atveju terminas (Polarenprocess) paliekamas be vertimo. Vertėjai sunkiai dirbo, kad rusų skaitytojui perteiktų savitą, kartais net apgailėtiną Hilberto pranešimo kalbą. Numerio komentarų autoriai maloniai sutiko peržiūrėti aktualių numerių vertimus ir padarė nemažai reikšmingų pataisymų.

Įvertinkite nepaprastą Hilberto pranešimo reikšmę matematikai XX amžiuje. leis, tikimės, pakomentuoti problemas, kurios sudaro antrąją rinkinio dalį. Pavieniai autoriai jau ėmėsi kurti tokius komentarus, kuriuose apžvelgiami pagrindiniai rezultatai, pasiekti sprendžiant Hilberto problemas. Tačiau tokio pobūdžio darbai, kuriuose dalyvauja žinomi atitinkamų matematikos sričių specialistai, mūsų žiniomis, atliekami pirmą kartą.

* L. Bieberbachas, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; S. S. Demidovas, Apie Hilberto problemų istoriją. IMI, t. 17, „Mokslas“, 1967, 91–121.

Šios knygos leidybą labai palengvino daugelio žmonių dėmesys ir pagalba, tarp kurių būtina pažymėti Maskvos valstybinio universiteto matematikos ir mechanikos istorijos seminaro dalyvius, ypač jo vadovus profesorius I.G. Bašmakovas, K.A. Rybnikova, A.P. Juškevičius, velionis S.A. Yanovskaya, taip pat darbuotojas Matematikos institutas pavadintas V.A. Steklovo SSRS mokslų akademija A.N. Paršinas, kurio patarimai ir pagalba labai padėjo tobulinti leidinį.

S. S. Demidovas

KELI ŽODŽIAI APIE HILBERTO PROBLEMAS

Tarptautiniame matematikos kongrese Paryžiuje 1900 m. iškilus vokiečių matematikas Davidas Hilbertas skaitė pranešimą „Matematinės problemos“. Tada ši ataskaita buvo keletą kartų paskelbta originale ir vertimais *; Naujausias originalo leidimas yra trečiajame Gilberto surinktų darbų tome**.

* Pirmą kartą paskelbta Arcbiv f. Matematika. u Phys., Ill serija, 1 (1901), 44-63, 213-237.

** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, t. Ill, 1935, 290-329.

Gilberto ataskaitos vertimas į rusų kalbą išspausdintas kituose puslapiuose.

Nei prieš Hilberto pranešimą 1900 m., nei po šio pranešimo, kiek aš žinau, matematikai nepateikė mokslines ataskaitas, apimantis matematikos problemas apskritai *. Taigi Hilberto pranešimas pasirodo esąs visiškai unikalus reiškinys matematikos istorijoje ir matematinėje literatūroje. Ir dabar, praėjus beveik 70 metų po Hilberto pranešimo, jis išlaiko savo susidomėjimą ir reikšmę.

* Amerikiečių matematiko J. von Neumanno pranešimas Tarptautiniame matematikų kongrese Amsterdame 1954 m. nėra šio teiginio paneigimas: tiesa, kad von Neumanno pranešimas vadinosi „Neišspręstos matematikos problemos“, tačiau pranešėjas pradėjo savo pranešimą. su teiginiu, kad svarstytų mėgdžioti beprotybę Hilbertas kalba apie matematikos problemas apskritai, tačiau ketina apsiriboti tik kai kurių matematikos sričių (daugiausia funkcinei analizei artimų) uždaviniais. Von Neumanno pranešimas nebuvo paskelbtas – „Proceedings of the Amsterdam Congress“ apie jį buvo paskelbta tik tai, kad pranešimo rankraštis nebuvo prieinamas leidėjams; matyt jo nėra. Todėl apie šį pranešimą šiuo metu galima spręsti tik pagal jo klausytojų prisiminimus.

Visam vystymuisi šiuolaikinė matematika Hilbertas turėjo išskirtinę įtaką, apėmė beveik visas matematinės minties sritis; tai paaiškinama tuo, kad Hilbertas buvo matematikas, kuriame matematinės minties galia buvo derinama su retu platumu ir universalumu. Šis universalumas, galima sakyti, buvo gana sąmoningas: Hilbertas nuolat pabrėžia, kad matematika yra vieninga, kad įvairios jos dalys nuolat sąveikauja viena su kita ir su gamtos mokslais ir kad ši sąveika yra ne tik raktas suprasti esmę. pati matematika, bet ir geriausia priemonė prieš matematikos skilimą į atskiras, nesusijusias dalis – pavojus, kuris mūsų didžiulio kiekybinio augimo ir bauginančios matematinių tyrimų specializacijos laikais
nuolat verčia galvoti apie save. SU didelė jėga ir Hilbertas su įsitikinimu kalba, ypač savo nuostabaus pranešimo pabaigoje, apie holistinį matematikos pobūdį kaip visų tikslių gamtos mokslų žinių pagrindą. Jo įsitikinimas šiuo klausimu didžiąja dalimi yra pagrindinė jo pranešimo gija ir, be jokios abejonės, daugeliu atvejų vadovavo autoriui pasirenkant jo pateiktas matematines problemas.

Pranešimas pradedamas įdomia, sakyčiau, įkvėpta, parašyta bendra įvadine dalimi, kurioje kalbama ne tik apie „gerai iškeltos“ specialiosios problemos reikšmę matematikai, bet ir sprendžiama apie matematinį griežtumą, apie matematikos ryšį su gamtos mokslai ir kiti dalykai, susiję su kiekvienu matematiku, kuris aktyviai galvoja apie savo mokslą. Baigdamas šią įžanginę dalį, Hilbertas su stulbinančiu skirtumu ir įsitikinimu išsako savo pagrindinę tezę, „aksiomą“ apie bet kurios matematinės problemos sprendžiamumą plačiąja šio žodžio prasme – tezę, kurios turinys yra gilus pasitikėjimas neribotu dalyku. žmogaus žinių galia ir nesutaikoma kova su bet kokiu agnosticizmu – prieš absurdą "Ignorabimas" *, kaip Gilbertas sako kitur.

* "Ignorabimas"(lot.) - "mes nesužinosime"- vienas iš garsios kalbos fiziologas E. Dubois-Reymondas baigė (tai taikomas kai kuriems neaiškiems moksliniams klausimams) šauktuku: „Ignoramus et ignorabimus“ – mes nežinome ir nesužinosime!

Toliau ateina pačios problemos. Jie prasideda aibių teorija (kontinuumo problema) ir matematikos pagrindais, pereina prie geometrijos pagrindų, tęstinių grupių teorijos (garsioji penktoji problema apie tolydžios grupės sampratos išlaisvinimą nuo diferencijavimo reikalavimo). , į skaičių teoriją, algebrą ir algebrinę geometriją ir baigiame analize (diferencialinės lygtys, ypač su dalinėmis išvestinėmis, variacijų skaičiavimas). Ypatingą vietą užima šeštoji problema – apie tikimybių teorijos ir mechanikos aksiomatiką.

Iš prigimties Hilberto problemos yra labai nevienalytės. Kartais tai yra konkrečiai užduotas klausimas, į kurį ieškoma vienareikšmiško atsakymo – taip arba ne – kaip, pavyzdžiui, geometrinė trečioji problema arba aritmetinė septintoji užduotis apie transcendentinius skaičius. Kartais problema keliama ne taip aiškiai, kaip, pavyzdžiui, dvyliktoje užduotyje (Hilbertas jai skyrė ypatingą dėmesį svarbu), kuriame reikia rasti ir pačios Kronecker’io teoremos apibendrinimą, ir atitinkamą funkcijų klasę, kuri turėtų pakeisti eksponentinę ir modulinę.

Penkioliktoji problema iš esmės yra visos algebrinių atmainų teorijos pagrindimo problema.

Kartais šiuo numeriu pažymėtoje problemoje iš tikrųjų yra keletas skirtingų, nors ir glaudžiai susijusių, problemų. Galiausiai dvidešimt trečioji problema iš esmės yra tolesnio variacijų skaičiavimo tobulinimo problema.

Dabar, praėjus daugeliui metų po to, kai Hilbertas iškėlė savo problemas, galime pasakyti, kad jos buvo iškeltos gerai. Jie pasirodė esąs tinkamas objektas sutelkti įvairių matematikų kūrybines pastangas mokslo kryptys ir mokyklos. Kokios buvo šios pastangos ir kokių rezultatų jos atvedė, kurios Hilberto problemos buvo išspręstos, o kurios dar neišspręstos - apie tai skaitytojas gali sužinoti, nors ir ne iki galo, iš komentarų prie šių problemų.

Šių komentarų pobūdis yra kiek nevienalytis (tai daugiausia lemia pačių problemų pobūdis) – kai kuriuos iš jų gali suprasti matematiką išmanantis skaitytojas pirmuose dviejuose universitetų mechanikos-matematikos arba fizikos-matematikos fakultetų kursuose. arba pedagoginiai institutai, o kiti reikalauja gana aukštos matematinės kultūros. Manau, bet kuriuo atveju skaitytojas bus dėkingas komentarų autoriams,
kas gerokai palengvino pažintį su tuo tikrai išskirtiniu bendrosios matematinės literatūros kūriniu, kuris yra Hilberto pranešimas; Be to, iš komentarų, man atrodo, galima suprasti, kokią įtaką ši ataskaita turėjo tolesnei matematikos raidai.

P. S. Aleksandrovas

Kas iš mūsų nenorėtų pakelti šydo, už kurio slypi mūsų ateitis, kad bent vienu žvilgsniu prasiskverbtų į artėjančias mūsų žinių sėkmes ir jų raidos paslaptis ateinančiais šimtmečiais? Kokie bus ypatingi tikslai, kuriuos sau išsikels pirmaujantys kitos kartos matematiniai protai? Kokie nauji metodai ir nauji faktai bus atrasti naujajame amžiuje plačiame ir turtingame matematinės minties lauke?

Istorija moko, kad mokslo raida yra nuolatinė. Žinome, kad kiekvienas amžius turi savo problemų, kurias vėlesnė era arba išsprendžia, arba nustumia į šalį kaip bevaises, kad pakeistų jas naujomis. Kad įsivaizduotume galimą matematinių žinių raidos pobūdį artimiausioje ateityje, turime vaizduotėje peržvelgti vis dar atvirus klausimus, apžvelgti šiuolaikinio mokslo keliamas problemas, kurių sprendimų tikimės iš ateities. Tokia problemų apžvalga man šiandien, naujojo amžiaus sandūroje, atrodo ypač savalaikė. Juk dideli pasimatymai ne tik verčia atsigręžti į praeitį, bet ir nukreipia mintis į nežinomą ateitį.

Neįmanoma paneigti gilią prasmę, kokios tam tikros problemos turi matematikos mokslo pažangą apskritai ir kokį svarbų vaidmenį jos atlieka atskiro tyrėjo darbe. Bet koks mokslo sritis gyvybinga tol, kol turi daug naujų problemų. Naujų problemų trūkumas reiškia išnykimą arba nutrūkimą savarankiškas vystymasis. Kaip apskritai kiekviena žmogaus veikla yra susijusi su vienu ar kitu tikslu, taip ir matematinė kūryba yra susijusi su problemų formulavimu. Sprendžiant problemas išmokstama tyrėjo stiprybės: jis randa naujų metodų, naujų požiūrio taškų, atveria platesnius ir laisvesnius horizontus.

Iš anksto teisingai įvertinti konkrečios užduoties reikšmę sunku, o dažnai ir neįmanoma; nes galiausiai jo vertę lems mokslui teikiama nauda. Tai kelia klausimą: ar yra bendrų bruožų, apibūdinančių gerą matematikos problemą?

Vienas senas prancūzų matematikas pasakė: "Matematinė teorija gali būti laikoma tobula tik tada, kai ją taip aiškiai išdėstote, kad įsipareigojate paaiškinti jos turinį pirmajam sutiktam žmogui". Šį aiškumo ir lengvo prieinamumo reikalavimą, kuris čia taip aštriai suformuluotas matematinės teorijos atžvilgiu, aš dar aštriau reikščiau matematinės problemos, jei ji teigia esanti tobula, atžvilgiu; Juk aiškumas ir lengvas pasiekiamumas mus traukia, o sudėtingumas ir painiava atbaido.

Be to, matematinė problema turi būti tokia sunki, kad pritrauktų mus, ir kartu ne visiškai neprieinama, kad mūsų pastangos nebūtų beviltiškos; tai turėtų būti vedantis ženklas susivėlusiuose keliuose, vedančiuose į paslėptas tiesas; ir tada ji turėtų apdovanoti mus džiaugsmu ieškant sprendimo.

Praėjusio amžiaus matematikai su aistringu užsidegimu atsidėjo individualių sunkių problemų sprendimui; jie žinojo sunkios užduoties vertę. Prisiminsiu tik Johano Bernoulli išsakytą problema apie greičiausio kritimo liniją.„Kaip rodo patirtis, – sako Bernoulli, paskelbdamas savo užduotį, – niekas taip stipriai nemotyvuoja aukštųjų protų praturtinti žinias, kaip sudėtingo ir kartu formulavimo. naudinga užduotis„Ir todėl jis tikisi pelnyti matematinio pasaulio dėkingumą, jei jis, sekdamas tokių vyrų, kaip Mersenne'as, Paskalis, Fermatas, Vivianis ir kiti, kurie (prieš jį) padarė tą patį, pavyzdžiu, pasiūlys iškiliems savo analitikams problemą. laiko, kad jie galėtų jį panaudoti, norėdami patikrinti savo metodų pranašumus ir įvertinti savo stipriąsias puses.

Gerai žinomas Fermato teiginys yra tas, kad Diofanto lygtis

x n + y n = z n

neapsprendžiamas sveikaisiais skaičiais x, y, z, išskyrus kai kurias akivaizdžias išimtis. Šio neapibrėžtumo įrodymo problema yra ryškus pavyzdys, kokią skatinančią įtaką mokslui gali turėti ypatinga ir iš pažiūros nereikšminga problema. Nes, paskatintas Ferma problemos, Kummeris priėjo prie idealių skaičių įvedimo ir prie teorijos apie unikalų skaičių skaidymą ciklotominiuose laukuose į idealius pirminius veiksnius – teoremą, kuri dėl apibendrinimų į bet kurį gautą algebrinių skaičių sritį. Dedekind ir Kronecker, dabar yra pagrindinis šiuolaikinė teorija skaičiai ir kurių reikšmė gerokai viršija skaičių teoriją algebros ir funkcijų teorijos srityje.

Leiskite man priminti dar vieną įdomią problemą - trijų kūno problemų. Tai, kad Poincaré ėmėsi naujo svarstymo ir gerokai pažengė į priekį sunki užduotis, paskatino vaisingus metodus ir toli siekiančius principus, kuriuos šis mokslininkas pristatė m dangaus mechanika, metodai ir principai, kurie dabar pripažįstami ir taikomi praktinėje astronomijoje.

Abi minėtos problemos – Ferma problema ir trijų kūnų problema – yra tarsi priešingi poliai mūsų uždavinių sandėlyje: pirmoji reiškia laisvą grynojo proto pasiekimą, priklausantį abstrakčiųjų skaičių teorijos sričiai, antrasis. astronomija ir yra būtinas paprasčiausių fundamentalių gamtos reiškinių pažinimui.

Tačiau dažnai nutinka taip, kad ta pati speciali problema iškyla labai skirtingose ​​matematikos srityse. Taigi, trumpiausios linijos problema vienu metu atlieka svarbų istorinį ir esminį vaidmenį geometrijos pagrinduose, kreivių ir paviršių teorijoje, mechanikoje ir variacijų skaičiavime. Ir kaip F. Kleinas įtikinamai parodo savo knygoje apie ikosaedrą *, problema apie taisyklingas daugiabriaunis yra svarbus vienu metu elementariai geometrijai, grupių teorijai, algebrinei teorijai ir tiesinių diferencialinių lygčių teorijai!

* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipcigas, 1884 m. Pastaba red.

Norėdamas pabrėžti individualių problemų svarbą, leisiu sau remtis Weierstrassu, kuris savo paties sėkme manė, kad aplinkybių derinys leido jam savo mokslinės karjeros pradžioje spręsti tokią reikšmingą problemą. kaip Jacobi problema dėl elipsinio integralo inversijos.

Po to, kai svarstėme bendrą reikšmę Matematikos uždaviniai, pereikime prie klausimo, iš kokio šaltinio matematika semia savo problemas. Neabejotina, kad pirmosios ir seniausios kiekvienos matematinės žinių srities problemos kilo iš patirties ir jas mums pateikė išorinių reiškinių pasaulis. Netgi skaičiavimo sveikaisiais skaičiais taisyklės buvo atrastos ankstyvame šio kelio etape. kultūrinis vystymasisžmonija, kaip ir dabar vaikas išmoksta taikyti šias taisykles empiriniu metodu. Tas pats pasakytina ir apie pirmąsias geometrijos problemas - kubo padvigubinimo, apskritimo kvadrato uždavinius, kurie atėjo pas mus nuo seniausių laikų, taip pat seniausios problemos Skaitinių lygčių teorija, kreivių teorija, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, variacijų skaičiavimas, Furjė eilučių teorija ir potencialų teorija, jau nekalbant apie daugybę tikrosios mechanikos, astronomijos ir fizikos problemų.

Toliau tobulėjant bet kuriai matematinei disciplinai, sėkmės skatinamas žmogaus protas jau rodo savarankiškumą; jis pats kelia naujas ir vaisingas problemas, dažnai be pastebimos išorinio pasaulio įtakos, naudodamas tik loginį palyginimą, apibendrinimą, specializaciją, sėkmingą sąvokų skirstymą ir grupavimą, o tada pats iškyla kaip problemų kūrėjas. Taip jie atsirado pirminio skaičiaus problema ir kitos aritmetikos, Galois teorijos, algebrinių invariantų teorijos, Abelio ir automorfinių funkcijų teorijos problemos, ir taip beveik iškilo apskritai. visi subtilūs šiuolaikinės skaičių teorijos ir funkcijų teorijos klausimai.

Tuo tarpu veikiant grynojo mąstymo kūrybinei galiai, išorinis pasaulis vėl primygtinai reikalauja savo teisių: jis kelia mums naujus klausimus savo tikrais faktais ir atveria mums naujas matematinių žinių sritis. Perkeldami šias naujas žinių sritis į grynosios minties sritį, mes dažnai randame atsakymus į senas neišspręstas problemas ir tokiu būdu geriausiai patobuliname senas teorijas. Man atrodo, kad šiuo nuolat besikartojančiu ir besikeičiančiu mąstymo ir patirties žaidimu remiasi tos daugybės įspūdingų analogijų ir ta, regis, iš anksto nustatyta harmonija, kurią matematikas taip dažnai atranda įvairių žinių sričių problemose, metoduose ir koncepcijose.

Trumpai apsistokime ties klausimu, kokie gali būti bendrieji reikalavimai, kuriuos turime teisę pateikti matematinio uždavinio sprendimui. Visų pirma turiu omenyje reikalavimus, leidžiančius patikrinti atsakymo teisingumą naudojant baigtinį išvadų skaičių ir, be to, remiantis baigtiniu skaičiumi premisų, kurios sudaro kiekvienos problemos ir problemos pagrindą. kuris kiekvienu atveju turi būti tiksliai suformuluotas. Šis loginės išskaičiavimo, naudojant baigtinį išvadų skaičių, reikalavimas yra ne kas kita, kaip įrodymų griežtumo reikalavimas. Iš tiesų, griežtumo reikalavimas, jau tapęs matematikos patarle, atitinka bendrą mūsų proto filosofinį poreikį; kita vertus, tik įvykdžius šį reikalavimą galima identifikuoti pilna prasmė užduoties esmė ir jos vaisingumas. Nauja užduotis, ypač jei ją atgaivina išorinio pasaulio reiškiniai, yra tarsi jaunas ūglis, kuris gali augti ir duoti vaisių tik tada, kai jis yra kruopščiai ir laikantis griežtų sodininkystės meno taisyklių, puoselėjamas ant seno kamieno. - tvirtas mūsų matematinių žinių pagrindas.

Būtų didelė klaida manyti, kad įrodinėjimo griežtumas yra paprastumo priešas. Daugybė pavyzdžių įtikina priešingai: griežti metodai tuo pat metu yra paprasčiausi ir prieinamiausi. Griežtumo troškimas veda būtent į paprasčiausių įrodymų paieškas. Tas pats troškimas dažnai atveria kelią metodams, kurie yra vaisingesni nei senesni, ne tokie griežti metodai. Taigi, algebrinių kreivių teorija, dėka daugiau griežti metodai sudėtingo kintamojo funkcijų teorija ir tikslingas transcendentinių priemonių panaudojimas gerokai supaprastėjo ir įgavo didesnį vientisumą. Be to, keturių elementariųjų aritmetinių operacijų taikymo laipsninėms eilutėms teisėtumo įrodymas, taip pat šių eilučių diferencijavimas ir integravimas pagal terminus bei atpažinimas pagal tai. galios serija [kaip matematinės analizės įrankis - P.A. ], neabejotinai labai supaprastino visą analizę, ypač išskyrimo teoriją ir diferencialinių lygčių teoriją (kartu su jos egzistavimo teoremomis).

Tačiau ypač ryškus pavyzdys, iliustruojantis mano mintį, yra variacijų skaičiavimas. Pirmosios ir antrosios apibrėžtojo integralo variacijų tyrimas lėmė itin sudėtingi skaičiavimai, o atitinkamiems senųjų matematikų tyrimams trūko reikiamo griežtumo. Weierstrass parodė mums kelią į naują ir visiškai patikimą variacijų skaičiavimo pagrindą. Naudodamas paprasto ir dvigubo integralo pavyzdį, savo pranešimo pabaigoje trumpai apibūdinsiu, kaip sekimas šiuo keliu kartu veda į nuostabų variacijų skaičiavimo supaprastinimą dėl to, kad norint nustatyti būtiną ir Pakankami didžiausio ir mažiausio kriterijai, antrojo varianto skaičiavimas tampa nereikalingas ir netgi iš dalies pašalina būtinybę daryti varginančius išvedžiojimus, susijusius su pirmuoju variantu. Jau net nekalbu apie privalumus, atsirandančius dėl to, kad nereikia atsižvelgti tik į tuos variantus, kuriems funkcijų išvestinių reikšmės keičiasi nežymiai.

Nors įrodinėjimo reikalavimą taikau griežtumą, kad problema būtų visiškai išspręsta, tačiau, kita vertus, norėčiau paneigti nuomonę, kad visiškai griežtas samprotavimas taikytinas tik analizės ar net aritmetikos sąvokoms. Manau, kad ši nuomonė, kurią kartais palaiko puikūs protai, yra visiškai klaidinga. Toks vienpusis griežtumo reikalavimo aiškinimas greitai priveda prie visų sąvokų, kylančių iš geometrijos, mechanikos, fizikos, ignoravimo ir sustabdo [į matematiką - P.A. ] nauja medžiaga iš išorinio pasaulio ir, galų gale, netgi veda prie kontinuumo ir neracionalaus skaičiaus sampratos atmetimo. Ar yra svarbesnis gyvybinis nervas už tą, kuris būtų atkirstas nuo matematikos, jei iš jo būtų pašalinta geometrija ir matematinė fizika? Priešingai, aš tuo tikiu bet kada matematines sąvokas kilę iš žinių teorijos arba geometrijos ar gamtos mokslų teorijų, matematikai tenka užduotis ištirti principus, kuriais grindžiamos šios sąvokos, ir taip pateisinti šias sąvokas naudojant išsamią ir paprastą aksiomų sistemą, kad naujos sąvokos ir jų pritaikomumas dedukcijai, kiek ji nebuvo prastesnė už senąsias aritmetines sąvokas.

Naujos sąvokos apima ir naujus pavadinimus. Mes pasirenkame juos taip, kad jie būtų panašūs į reiškinius, kurie buvo šių sąvokų susidarymo priežastis. Taigi geometrinės figūros yra vaizdai, skirti prisiminti erdvines sąvokas, todėl jas naudoja visi matematikai. Kas nesieja su dviem nelygybėmis a>b>c tarp trijų kiekių a, b, c, Tiesiai išsidėsčiusių ir vienas po kito einančių taškų trijulės vaizdas kaip geometrinė interpretacija sąvoka "tarp"? Kas nenaudoja segmentų ir stačiakampių, išdėstytų vienas kitame, vaizdo, jei reikia atlikti išsamų ir griežtą sudėtingos teoremos dėl funkcijų tęstinumo arba ribinio taško egzistavimo įrodymą? Kas gali apsieiti be trikampio figūros, apskritimo su nurodytu centru ar be viena kitai statmenų ašių trejeto? Arba kas norėtų atsisakyti vektorinio lauko ar kreivių šeimos vaizdo ar paviršių su jų gaubtais – sąvokų, kurios atlieka tokį esminį vaidmenį diferencialinėje geometrijoje, diferencialinių lygčių teorijoje, variacijų skaičiavimo pagrinduose. ir kitose grynai matematinėse žinių srityse?

Aritmetiniai ženklai yra užrašytos geometrinės figūros, o geometrinės figūros yra nubraižytos formulės, ir joks matematikas neapsieidavo be šių nubraižytų formulių, kaip ir negalėtų atsisakyti dėti skliausteliuose ar jų atidaryti ar naudoti kitus analitinius ženklus skaičiuodamas.

Taikymas geometrines figūras kaip griežta įrodinėjimo priemonė, ji suponuoja tikslias žinias ir visišką tų aksiomų, kuriomis grindžiama šių figūrų teorija, išmanymą, todėl norint, kad šios geometrinės figūros būtų įtrauktos į bendrą matematinių ženklų lobyną, reikia griežtai aksiomatiškai ištirti būtinas jų vizualinis turinys.

Kaip ir sudedant du skaičius, negalima pasirašyti terminų skaitmenų neteisinga tvarka, tačiau reikia griežtai laikytis taisyklių, t. y. tų aritmetikos aksiomų, kurios valdo. aritmetines operacijas, o operacijas su geometriniais vaizdais lemia tos aksiomos, kuriomis grindžiamos geometrinės sąvokos ir jų tarpusavio ryšiai.

Geometrinio ir aritmetinio mąstymo panašumas pasireiškia ir tuo, kad aritmetikos studijose mes, lygiai taip pat mažai, kaip ir geometrinių svarstymų atveju, atsekame loginio samprotavimo grandinę iki galo, iki pat aksiomų. Atvirkščiai, ypač pirmajame problemos sprendime, aritmetikoje, kaip ir geometrijoje, pirmiausia naudojame kokį nors trumpalaikį, nesąmoningą, ne visai aiškų derinį, pagrįstą pasitikėjimu kokiu nors aritmetiniu instinktu, aritmetinių ženklų veiksmingumu, - be to mes negalėtume tobulėti aritmetikos srityje, kaip ir geometrijoje, nepasikliaudami geometrinės vaizduotės galiomis. Aritmetinės teorijos, kuri griežtai veikia su geometrinėmis sąvokomis ir ženklais *, pavyzdys yra Minkowskio darbas „Skaičių geometrija“**.

** Leipcigas, 1896 m.

Dar keletą pastabų apie sunkumus, kuriuos gali sukelti matematinės problemos, ir apie šių sunkumų įveikimą.

Jei nepavyksta rasti matematinio uždavinio sprendimo, tai dažnai priežastis yra ta, kad dar nesame įgiję pakankamai bendro požiūrio taško, iš kurio nagrinėjama problema atrodytų tik atskira grandis susijusių problemų grandinėje. Radę šį požiūrį, dažnai ne tik darome duotą problemą labiau prieinamą tyrimams, bet ir įvaldome metodą, pritaikomą susijusioms problemoms spręsti. Pavyzdžiui, Cauchy įvadas į teoriją apibrėžtasis integralas integracija kreiviniu keliu ir Kummerio sukurta idealo samprata skaičių teorijoje. Šis bendrųjų metodų paieškos būdas yra patogiausias ir patikimiausias, nes jei ieškoma bendrųjų metodų, negalvodami apie konkrečią užduotį, tada šios paieškos dažniausiai yra bergždžios.

Nagrinėjant matematines problemas, specializacija, manau, vaidina net svarbesnį vaidmenį nei apibendrinimas. Gali būti, kad daugeliu atvejų, kai veltui ieškome atsakymo į klausimą, mūsų nesėkmės priežastis yra ta, kad paprastesnės ir lengvesnės už šią problemos dar neišspręstos arba iki galo neišspręstos. Tada visa esmė yra surasti tas lengvesnes problemas ir įgyvendinti jų sprendimą pažangiausiomis priemonėmis, pasitelkiant sąvokas, kurias galima apibendrinti. Ši taisyklė yra vienas iš galingiausių svertų, padedančių įveikti matematinius sunkumus, ir man atrodo, kad dažniausiai ši svirtis yra paleidžiama, kartais nesąmoningai.

Kartu pasitaiko ir taip, kad atsakymą pasiekiame turėdami nepakankamas prielaidas, arba eidami ne ta kryptimi, ir dėl to nepasiekiame tikslo. Tada iškyla užduotis įrodyti šios problemos neišsprendžiamumą priimtomis prielaidomis ir pasirinkta kryptimi. Tokius neįmanomumo įrodymus atliko senieji matematikai, pavyzdžiui, išsiaiškinę, kad lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzės ir jo kraštinės santykis yra neracionalus skaičius. Šiuolaikinėje matematikoje svarbų vaidmenį atlieka tam tikrų problemų sprendimo neįmanomumo įrodymai; ten teigiame, kad tokios senos ir sudėtingos problemos kaip paralelių aksiomos įrodymas, apskritimo kvadratas ar penktojo laipsnio lygties sprendimas radikalais vis dėlto gavo griežtą sprendimą, kuris mus visiškai tenkina, nors kitokia kryptimi, nei buvo manoma iš pradžių.

Šis nuostabus faktas kartu su kitais filosofinius pagrindus sukuria mumyse pasitikėjimą, kuriuo neabejotinai dalijasi kiekvienas matematikas, bet kurio dar niekas nepatvirtino įrodymu – pasitikėjimą, kad kiekviena konkreti matematinė problema tikrai turi būti prieinama griežtam sprendimui * arba ta prasme, kad įmanoma gauti atsakymas į užduotą klausimą arba ta prasme, kad bus nustatytas jo sprendimo negalėjimas ir tuo pačiu įrodyta visų bandymų jį išspręsti nesėkmės neišvengiamybė.

* Manome, kad būtina šį teiginį, kuris yra toks lemiamas visai Hilberto mokslinei pasaulėžiūrai, pateikti originale. "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss." - Pastaba P.A.

Įsivaizduokime kai kuriuos neišspręsta problema, tarkime, konstantos neracionalumo klausimas SU Euleris – Mascheroni arba begalinio skaičiaus pirminių formos skaičių egzistavimo klausimas 2n + 1 . Kad ir kokios mums nepasiekiamos šios problemos atrodytų ir kad ir kokie bejėgiai dabar prieš jas stovėtume, vis tiek turime tvirtą įsitikinimą, kad jas išspręsti pasitelkus ribotą skaičių loginių išvadų vis tiek turi būti įmanoma.

Ar ši kiekvienos problemos išsprendžiamumo aksioma yra būdingas tik matematinio mąstymo bruožas, o gal yra bendras dėsnis, susijęs su mūsų proto esme, pagal kurį visi jo keliami klausimai gali būti išspręsti? Juk kitose žinių srityse esama senų problemų, kurios buvo išspręstos labiausiai patenkinamai ir duoda didžiausią naudą mokslui, įrodant jų sprendimo neįmanomumą. Pamenu problemą apie perpetuum mobile(amžinas variklis) *. Po bergždžių bandymų projektuoti amžinasis variklis Priešingai, pradėjo tyrinėti ryšius, kurie turi egzistuoti tarp gamtos jėgų, darydami prielaidą, kad perpetuum mobile neįmanoma. Ir ši atvirkštinės problemos formuluotė leido atrasti energijos tvermės dėsnį, iš kurio išplaukia neįmanoma perpetuum mobile pirminiu jos reikšmės supratimu.

Šis tikėjimas kiekvienos matematinės problemos išsprendžiamumu mums labai padeda darbe; Savo viduje girdime nuolatinį raginimą: kai iškyla problema, ieškok sprendimo. Jį galite rasti per gryną mąstymą; nes matematikoje Ignorabimo nėra! **

* Trečiadienis H. Heimholcas, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, pranešimas Karaliaučiuje, 1854 m. (vertimas į rusų k. „Apie gamtos jėgų sąveiką“, rinkinyje G. Helmholtz, Populiarios kalbos, 2 dalis, 1 leid. , Sankt Peterburgas, 1898 m. Pastaba red. ).

**Žr. išnašą. - Pastaba red.

Matematikoje yra begalė uždavinių, o išsprendus vieną problemą, jos vietą iškyla daugybė naujų uždavinių. Leiskite man ateityje tarsi išbandymui įvardyti keletą specifinių problemų iš įvairių matematikos disciplinų, kurių tyrimas gali reikšmingai paskatinti tolimesnę mokslo raidą.

Pereikime prie analizės ir geometrijos pagrindų. Reikšmingiausi ir svarbiausi praėjusio šimtmečio įvykiai šioje srityje, man atrodo, yra kontinuumo sampratos aritmetinis įvaldymas Cauchy, Bolzano, Cantor darbuose ir Gausso, Bolyaiaus ir neeuklido geometrijos atradimas. Lobačevskis. Todėl atkreipiu jūsų dėmesį į kai kurias šioms sritims priklausančias problemas.<...>

1. Kantoro uždavinys apie kontinuumo galią

2. Aritmetinių aksiomų nuoseklumas

3. Dviejų tetraedrų, turinčių vienodus pagrindus ir vienodus aukščius, lygybė.

4. Tiesės, kaip trumpiausios dviejų taškų jungties, uždavinys.

5. Lie transformacijų ištisinės grupės samprata, nepriimant grupę apibrėžiančių funkcijų diferencialumo.

6. Matematinis fizikos aksiomų pateikimas.

7. Kai kurių skaičių neracionalumas ir transcendencija.

8. Pirminių skaičių problema.

9. Bendriausio abipusiškumo dėsnio bet kuriame skaičių lauke įrodymas.

10. Diofantinės lygties išsprendžiamumo problema.

11. Kvadratinės formos su savavališkais algebriniais skaitiniais koeficientais.

12. Kronecker teoremos apie Abelio laukus išplėtimas iki savavališkos algebrinės racionalumo srities.

13. Sprendimo neįmanomumas bendroji lygtisį septintą laipsnį, naudojant funkciją, kuri priklauso tik nuo dviejų kintamųjų.

14. Kai kurios pilnos funkcijų sistemos baigtinumo įrodymas.

15. Griežtas Schuberto skaičiuojamosios geometrijos pagrindimas.

16. Algebrinių kreivių ir paviršių topologijos problema.

17. Tam tikrų formų vaizdavimas kvadratų suma.

18. Erdvės konstravimas iš kongruentinių daugiakampių.

19. Ar sprendimai yra reguliarūs? variacinė problema reikia analitikos?

20. Bendroji ribinių sąlygų problema.

21. Tiesinių diferencialinių lygčių su duota monodromų grupe egzistavimo įrodymas.

22. Analitinių priklausomybių suvienodinimas naudojant automorfines funkcijas.

23. Variacijų skaičiavimo metodų kūrimas

Aš tuo netikiu ir nenoriu. Matematikos mokslas mano nuomone, jis reprezentuoja nedalomą visumą, organizmą, kurio gyvybingumą lemia jo dalių darna. Iš tiesų, nepaisant visų matematinės medžiagos skirtumų, vis dar labai aiškiai matome loginių pagalbinių priemonių tapatumą, matematikos idėjų formavimosi panašumą apskritai ir daugybę analogijų įvairiose jos srityse. Taip pat pastebime, kad kuo toliau vystosi matematikos teorija, tuo harmoningesnė ir vieningesnė formuojasi jos struktūra, o tarp iki tol atskirtų sričių atsiveria netikėti ryšiai. Pasirodo, kad plečiantis matematikai, jos vieningas pobūdis neprarandamas, o vis labiau ryškėja.

Tačiau – klausiame – ar plečiantis matematinėms žinioms, ilgainiui atskiram tyrėjui netampa neįmanoma aprėpti visų jų dalių? Atsakydamas noriu paminėti faktą, kad matematikos mokslo prigimtis yra tokia, kad kiekviena tikra jo sėkmė eina koja kojon su stipresnių pagalbinių priemonių ir paprastesnių metodų atradimu, kurie iš karto palengvina ankstesnių teorijų supratimą ir pašalina. senų samprotavimų sunkumai; todėl individualus tyrėjas dėl to, kad jis juos įsisavins stipriau pagalbinės priemonės ir paprastesnius metodus, bus lengviau naršyti įvairiose matematikos srityse nei bet kurio kito mokslo atveju.

Matematikos vieningą prigimtį lemia vidinė šio mokslo esmė; Juk matematika yra visų tiksliųjų mokslų pagrindas. Ir norint tai padaryti tobulai aukštas paskyrimas, gali ateinančiame amžiuje įgyti puikių meistrų ir daugybės kilniu uolumu degančių šalininkų *.

* Originale šie žodžiai skamba taip: „Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens Reiche in Edlem Eifer ergluhende Jungerl“ - Pastaba red.

(standartinė aibių teorijos aksiomų sistema). Taigi kontinuumo hipotezė šioje aksiomų sistemoje negali būti nei įrodyti, nei paneigti (su sąlyga, kad ši aksiomų sistema yra nuosekli).