Ankstesnėje pastraipoje išdėstyta kvadratinės formos redukavimo į kanoninę formą teorija yra sukurta pagal analogiją su antrosios eilės centrinių kreivių geometrine teorija, tačiau negali būti laikoma šios teorijos apibendrinimu. Tiesą sakant, mūsų teorijoje leidžiama naudoti bet kokias neišsigimusias tiesines transformacijas, o antros eilės kreivė į kanoninę formą pasiekiama naudojant tiesines transformacijas. specialus tipas(2), kurie yra plokštumos sukimai. Tai geometrinė teorija tačiau gali būti apibendrintas kvadratinėms formoms nežinomuose su realiais koeficientais, reikalaujant, kad transformacijos matrica būtų stačiakampė. Ši transformacija vadinama stačiakampis, ir pati procedūra kvadratines formas redukuojant į pagrindines ašis.

TEOREMA. Kiekvienas kvadratine forma gali būti perkelta į kanoninę formą tam tikra stačiakampe transformacija.

ĮRODYMAS. Į kvadratinės formos matricą žiūrėsime kaip į kai kurių matricą linijinis operatorius Euklido erdvėje. Jei matrica yra kvadratinės formos, tada ji yra eilės simetriška. Jeigu tam tikras ortonormalus matmenų Euklido erdvės pagrindas, tada matrica apibrėžia simetrinį operatorių šiame pagrinde. Pagal pagrindinę teoremą apie simetrinius operatorius Euklido erdvėje, tinkamu ortonormaliu pagrindu jos matrica bus įstrižainė. Tegul perėjimo matrica iš į , Tada .

Bet matrica , kaip perėjimo matrica iš vieno ortonormalaus pagrindo į kitą, pagal 2 teoremą §1.6 bus stačiakampė, todėl . Štai kodėl. Būtent taip transformuojama kvadratinės formos matrica, kuriai taikoma tiesinė nežinomųjų transformacija su matrica .

Taigi, nežinomųjų, turinčių matricą, transformacija yra stačiakampė, o matrica, būdama įstriža, atitinka kvadratinę formą kanoninė forma. □

Tai, kad tiesinio operatoriaus matrica bazėje, kurią sudaro savieji vektoriai, turi įstrižainę formą (su savosiomis reikšmėmis išilgai pagrindinės įstrižainės), suteikia mums metodą, kaip praktiškai rasti kvadratinės formos kanoninę formą, taip pat tai patį. stačiakampė transformacija.

2 pavyzdys. Raskite stačiakampę transformaciją, kuri sumažina kvadratinę formą

į kanoninį vaizdą ir parašykite šį kanoninį vaizdą.

Sprendimas. Šios formos matrica turi formą

,

Suraskime ją būdingas daugianario:

.

Taigi, matrica turi dvigubą šaknį ir paprastą šaknį. Todėl šios kvadratinės formos kanoninė forma bus

.

Raskime stačiakampę transformaciją, kuri įgyvendina šį sumažinimą. Norėdami tai padaryti, randame savuosius vektorius, atitinkančius rastas savąsias reikšmes , t.y., sprendžiame sistemas tiesine vienarūšės lygtys visiems.

Kai turime

.

Kur , t.y. yra 2 nepriklausomi kintamieji ir pamatinis rinkinys sprendimai bus tokie:

Taikydami jiems ortogonalizacijos procesą, gauname.

Ankstesnėje pastraipoje išdėstyta kvadratinės formos redukavimo į kanoninę formą teorija yra sukurta pagal analogiją su antrosios eilės centrinių kreivių geometrine teorija, tačiau negali būti laikoma šios teorijos apibendrinimu. Tiesą sakant, mūsų teorijoje leidžiama naudoti bet kokias neišsigimusias tiesines transformacijas, o antros eilės kreivė į kanoninę formą pasiekiama naudojant labai ypatingo tipo (2) tiesines transformacijas, kurios yra plokštumos sukimai. . Tačiau šią geometrinę teoriją galima apibendrinti kvadratinėms formoms nežinomuose su realiais koeficientais, reikalaujant, kad transformacijos matrica būtų stačiakampė. Ši transformacija vadinama stačiakampis, ir pati procedūra kvadratines formas redukuojant į pagrindines ašis.

TEOREMA. Kiekviena kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos tam tikra stačiakampe transformacija.

ĮRODYMAS. Į kvadratinės formos matricą žiūrėsime kaip į kokio nors tiesinio operatoriaus matricą Euklido erdvėje. Jei matrica yra kvadratinės formos, tada ji yra eilės simetriška. Jeigu tam tikras ortonormalus matmenų Euklido erdvės pagrindas, tada matrica apibrėžia simetrinį operatorių šiame pagrinde. Pagal pagrindinę teoremą apie simetrinius operatorius Euklido erdvėje, tinkamu ortonormaliu pagrindu jos matrica bus įstrižainė. Tegul perėjimo matrica iš į , Tada .

Bet matrica , kaip perėjimo matrica iš vieno ortonormalaus pagrindo į kitą, pagal 2 teoremą §1.6 bus stačiakampė, todėl . Štai kodėl. Būtent taip transformuojama kvadratinės formos matrica, kuriai taikoma tiesinė nežinomųjų transformacija su matrica .

Taigi, nežinomųjų, turinčių matricą, transformacija yra stačiakampė, o matrica, būdama įstriža, atitinka kvadratinę kanoninės formos formą. □

Tai, kad tiesinio operatoriaus matrica pagrinde, sudarytame iš savųjų vektorių, turi įstrižainę (su savosiomis reikšmėmis išilgai pagrindinės įstrižainės), suteikia mums metodą, kaip praktiškai rasti kvadratinės formos kanoninę formą, taip pat šią stačiakampę transformaciją. pati.

2 pavyzdys. Raskite stačiakampę transformaciją, kuri sumažina kvadratinę formą

į kanoninį vaizdą ir parašykite šį kanoninį vaizdą.

Sprendimas. Šios formos matrica turi formą

,

Raskime jam būdingą daugianarį:

.

Taigi, matrica turi dvigubą šaknį ir paprastą šaknį. Todėl šios kvadratinės formos kanoninė forma bus

.

Raskime stačiakampę transformaciją, kuri įgyvendina šį sumažinimą. Norėdami tai padaryti, randame savuosius vektorius, atitinkančius rastas savąsias reikšmes , t.y., išspręsime tiesinių vienarūšių lygčių sistemas kiekvienam .

Kai turime

.

Kur , t.y. yra 2 nepriklausomi kintamieji, o pagrindinis sprendimų rinkinys bus:

Taikydami jiems ortogonalizacijos procesą, gauname:

Kai turime

.

Ši sistema yra lygiavertis:

,

kurio sprendimas bus

- Tiesinė algebra

Kvadratinės formos redukavimas į pagrindines ašis

Anksčiau mes svarstėme realaus sumažinimo problemą

q(x)= \sum_(n=1)^(n) \sum_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n kintamųjų į

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

naudojant nedegeneruotą tiesinį kintamųjų pokytį x=Sy. Norėdami išspręsti šią problemą, naudojome .

Panagrinėkime kitą sprendimo būdą. Tiesinis neišsigimęs kintamųjų x=Sy pokytis su stačiakampe matrica S~(S^(-1)=S^T) bus vadinamas stačiakampiu kintamųjų pasikeitimu (arba stačiakampe kintamųjų transformacija).

Suformuluokim problemą kvadratinę formą redukuojant į pagrindines ašis: reikia rasti stačiakampį kintamųjų pokytį x=Sy (S^(-1)=S^T), kvadratinę formą (9.23) perkeliant į kanoninę formą (9.24).

Norėdami išspręsti, naudojame šiuos veiksmus geometrine prasme užduotis. Suskaičiuosime kintamuosius x_1,x_2,\ldots,x_n n-matės Euklido erdvės \mathbb(E) vektoriaus \boldsymbol(x) koordinatės ortonormaliu pagrindu (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n), o kvadratinės formos (9.23) matrica A yra kai kurių tiesinė transformacija \mathcal(A)\dvitaškis \mathbb(E)\į \mathbb(E) tuo pačiu pagrindu. Be to, ši transformacija yra savarankiška, nes jos matrica yra simetriška: A^T=A. Kvadratinė forma (9.23) gali būti pavaizduota kaip skaliarinė sandauga

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A )(\boldsymbol(x))\bigr\rangle.

Stačiakampis kintamųjų x=Sy pokytis atitinka perėjimą iš vieno ortonormalaus pagrindo į kitą. Iš tiesų, tegul S yra perėjimo matrica iš ortonormalaus pagrindo (\boldsymbol(e)) į ortonormalų pagrindą (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(s)_1,\ldots,\boldsymbol(s)_n), t.y. (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))S ir S^(-1)=S^T. Tada vektoriaus \boldsymbol(x) x koordinatės pagrinde (\boldsymbol(e)) ir to paties vektoriaus y koordinatės pagrinde (\boldsymbol(s)) yra susietos pagal (8.11) formulę: x= Sy .

Taigi kvadratinės formos redukavimo į pagrindines ašis problemą galima suformuluoti taip: erdvėje \mathbb(E) reikia rasti pagrindą, kuriame savaime adjunktosios transformacijos matrica \mathcal(A) turi įstrižainę. forma. Pagal 9.10 teoremą reikia pasirinkti ortonormalųjį pagrindą iš savaiminio adjunkto transformacijos savųjų vektorių. Šiuo atveju perėjimo matrica S į kanoninį pagrindą pasirodo esanti ortogonali: S^T=S^(-1) .

Suformuluokime šį kvadratinės formos rezultatą.

Teorema (9.12) apie kvadratinės formos redukciją į pagrindines ašis

Tikroji kvadratinė forma (9.23) gali būti sumažinta iki kanoninės formos (9.24), naudojant stačiakampę kintamųjų transformaciją x=Sy, kur - savąsias reikšmes matricos A.

Pasekmė. Kvadratinė forma (9.23) yra teigiama apibrėžtoji (ne neigiama apibrėžtoji) tada ir tik tada, kai visos jos matricos savosios reikšmės yra teigiamos (ne neigiamos).

Pastabos 9.10

1. Su linijiniu neišsigimusiu pakaitalu kintamoji matrica kvadratinė forma keičiasi pagal (6.10) formulę: A"=S^TAS. Už ortogonalioji matrica S ši formulė įgauna formą A"=S^(-1)AS, kuri sutampa su (9.4) formule, skirta keisti tiesinės transformacijos matricą keičiant pagrindą.

2. Norint rasti kanoninę formą (9.24), pakanka nustatyti visas šaknis \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(tarp kurių gali būti lygių) (lygtys) \det(A-\lambda E)=0, kur E yra tapatybės matrica.

3. 9.12 teoremos išvadą galima panaudoti kvadratinės formos ženklui analizuoti:

– jei visos savosios reikšmės yra teigiamos (neigiamos), tai kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta;

– jei visos savosios reikšmės yra neneigiamos (neteigiamos), tai kvadratinė forma yra neneigiama (neteigiama) apibrėžta;

– jei yra skirtingų ženklų savosios reikšmės, tai kvadratinė forma yra neapibrėžta (kintamoji).

4. Komentarų 3 punkte suformuluotais rezultatais galima patikrinti pakankamą ir būtinas sąlygas antra eilė besąlyginio funkcijų ekstremumo paieškos problemoje. Norėdami tai padaryti, turite rasti savąsias reikšmes \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx) kiekviename stacionarūs taškai x^(\ast) funkcijos f(x)=f(x_1,\ltaškai,x_n).

Jei visos savosios reikšmės yra teigiamos: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, tada taške x^(\ast) vietinis minimumas;

– jei visos savosios reikšmės yra neigiamos: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , tada taške x^(\ast) yra vietinis maksimumas;

– jei visos savosios reikšmės yra neneigiamos: \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, tada taške x^(\ast) gali būti lokalus minimumas;

– jei visos savosios reikšmės nėra teigiamos: \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, tada taške x^(\ast) gali būti vietinis maksimumas;

– jei savosios reikšmės \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, skirtingi ženklai, tada taške x^(\ast) ekstremumo nėra;

– jei visos savosios reikšmės lygios nuliui: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, tada reikalingi papildomi tyrimai.

5. Kvadratinės formos redukavimo į pagrindines ašis problema išspręsta naudojant savaiminio susijungimo transformacijos į įstrižainę formą redukavimo algoritmą. Šiuo atveju randama kvadratinės formos matricos įstrižainė forma ir kintamųjų x=Sy kitimo stačiakampė matrica S, kvadratinę formą atnešant į kanoninę formą (į pagrindines ašis).

9.7 pavyzdys. Nustatykite trijų kintamųjų kvadratinės formos ženklą

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

Sprendimas. Sudarome kvadratinės formos matricą: A=\begin(pmatrica) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end(pmatrica). 9.6 pavyzdyje buvo rastos šios matricos savosios reikšmės: \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3. Visos savosios reikšmės yra neneigiamos, todėl kvadratinė forma yra neneigiama apibrėžtoji (žr. 9.10 pastabų 4 punktą).

Buvo rasta ortogonali matrica

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ -\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \end(pmatrix)\!,

redukuojant matricą A į įstrižainę \Lambda= \operatoriaus vardas(diag) (0,0,3). Užrašome reikiamą ortogonalinį kintamųjų x=Sy pokytį:

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

ir kvadratinė forma kanonine forma: \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

9.8 pavyzdys. Raskite dviejų kintamųjų funkcijos vietinius ekstremumo taškus naudodami matricas

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Sprendimas. 1 veiksme buvo rastas funkcijos gradientas ir iš būtinos pirmosios eilės ekstremumo sąlygos trys stacionarūs taškai:

x^0= \begin(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\begin(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\begin(pmatrix) - 1&1\end(pmatrica)^T.

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end(pmatrix)\!.

Raskime Heseno matricos savąsias reikšmes kiekviename stacionariame taške:

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx ) = \begin(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) -22&4\\4&2\ pabaiga (pmatrica)

Taške x^0=\begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix) Heseno matrica turi formą \begin(pmatrix) 0&0\\ 0&2\end(pmatrix). Iš Eq. \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0 randame \lambda_1=0, \lambda_2=2 . Kadangi visos savosios reikšmės yra neneigiamos, taške x^0 gali būti vietinis minimumas, todėl galutinei išvadai reikia atlikti papildomus tyrimus (žr. 6.13 pavyzdį).

Taške x^1=\begin(pmatrix)1\\1 \end(pmatrix) Heseno matrica turi formą \begin(pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix). Iš Eq. \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, arba \lambda^2-40 \lambda+60=0 gauname \lambda_(1,2)= 20\pm2\sqrt(85). Kadangi visos savosios reikšmės yra teigiamos, tada taške x^1 yra funkcijos lokalus minimumas.

Taške x^2=\begin(pmatrix)-1\\1 \end(pmatrix) Heseno matrica turi formą \begin(pmatrix) -22&4\\ 4&2 \end(pmatrix). Iš Eq. \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, arba \lambda^2+40 \lambda-60=0 gauname \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). Kadangi savosios reikšmės turi skirtingus ženklus, taške x^2 ekstremumo nėra.

Apsvarstykite savavališką realią kvadratinę formą

Jo koeficientų matrica yra tikroji simetriška. Todėl (žr. IX skyrių, § 13) ji yra statmenai panaši į tikrąją įstrižainę matricą, t.y. yra tikroji stačiakampė matrica, tokia, kad

Čia yra būdingi matricos skaičiai.

Kadangi stačiakampei matricai , iš (41) išplaukia, kad forma pagal stačiakampę kintamųjų transformaciją

arba išsamesniame įraše

(42")

įeina į formą

. (43)

7 teorema. Tikroji kvadratinė forma visada gali būti sumažinta iki kanoninės formos (43), naudojant stačiakampę transformaciją; šiuo atveju yra būdingi matricos skaičiai.

Kvadratinės formos redukavimas į kanoninę formą (43), naudojant stačiakampę transformaciją, vadinamas redukcija į pagrindines ašis. Šis pavadinimas atsirado dėl to, kad antrosios eilės centrinio hiperpaviršiaus lygtis,

, (44)

su stačiakampe kintamųjų transformacija (42) įgauna kanoninę formą

. (45)

Jei laikysime jas koordinatėmis kokiame nors ortonormaliame -dimensinės euklido erdvės pagrinde, tai jos bus koordinatės naujame tos pačios erdvės ortonormaliame pagrinde, o ašių „sukimas“ atliekamas statmena transformacija (42). Naujosios koordinačių ašys yra centrinio paviršiaus (44) simetrijos ašys ir paprastai vadinamos pagrindinėmis šio paviršiaus ašimis.

Iš (43) formulės išplaukia, kad formos rangas yra lygus nulinių matricos būdingųjų skaičių skaičiui, o parašas yra lygus skirtumui tarp teigiamų ir neigiamų charakteristikų skaičių skaičiaus. matrica.

Iš čia visų pirma išplaukia toks pasiūlymas:

Jei, nuolat keičiantis kvadratinės formos koeficientams, jos rangas išlieka nepakitęs, tai pasikeitus koeficientams, jo parašas taip pat lieka nepakitęs.

Šiuo atveju mes remiamės tuo, kad nuolatinis koeficientų pokytis reiškia nuolatinį būdingų skaičių kitimą. Parašas gali pasikeisti tik tada, kai pakeičiamas koks nors būdingas skaičius. Bet tada tam tikru tarpiniu momentu aptariamas būdingas skaičius taps nuliu, o tai reiškia formos rango pasikeitimą. (48)