Vienanarių sudėjimas ir atėmimas. Video pamoka „Aritmetiniai veiksmai su monomijomis

3 skaidrė

4 skaidrė

1 etapas: „Kartojimas yra mokymosi motina“ Iššifruokite žodį: ALGEBRA iš arabiško žodžio „Al“ - jebra (išversta kaip „atstatymas“).

5 skaidrė

6 skaidrė

1. Monomialas – tai skaitinių ir abėcėlinių veiksnių suma. 2. Visi skaičiai, bet kokie kintamieji, kintamųjų laipsniai taip pat laikomi monominiais. 3. Standartine forma užrašyto monomio pažodinis koeficientas vadinamas monomio koeficientu. 4. Algebrinė išraiška, kuri yra skaičių ir kintamųjų, pakeltų į laipsnius su sandauga natūralus rodiklis, vadinamas monomialu

7 skaidrė

5. Visų raidžių, įtrauktų į monomiją, rodiklių suma vadinama monomio laipsniu. 6. Identiški arba vieni nuo kitų besiskiriantys tik koeficientais vadinami panašiais terminais. 7. Du vienanariai, susidedantys iš tų pačių kintamųjų, vadinami panašiais monominiais. 8. Pridėjus monomius, gaunamas monomilas.

8 skaidrė

9. Monomalis, kuriame padauginami visi skaitiniai faktoriai, o jų sandauga dedama į pirmąją vietą, dauginami visi turimi laipsniai su vienoda raidžių baze, o visi laipsniai su skirtinga raidžių baze – vadinamas standartinės formos monomiu. 10. Norėdami atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „+“ ženklas, skliaustus reikia praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą, kuris buvo įterptas skliausteliuose. 11. Kai atidarome skliaustus, prieš kuriuos yra „-“ ženklas, skliaustus praleidžiame, o skliaustuose esančių elementų ženklai apverčiami atvirkščiai.

9 skaidrė

10 skaidrė

Raskite klaidą:

11 skaidrė

Iš parašytų monomijų pasirinkite panašius ir raskite jų sumą:

12 skaidrė

A D U G S I

13 skaidrė

Pirmasis etapas yra rengimas matematinis modelis. (SMM) Tegul visas atstumas yra x km, tada pirmą dieną ėjome Antrą dieną ėjome

14 skaidrė

Kadangi trečią dieną liko 25 km, gauname matematinį modelį: Antrasis etapas yra darbas su sudarytu modeliu. RMM

15 skaidrė

2. RMM 3 etapas: Atsakymas į uždavinio klausimą: (OVZ) Kelio ilgį laikėme x, o tai reiškia, kad jis lygus 55 km. Atsakymas: tako ilgis 55 km.

16 skaidrė

A Z D U G S I

17 skaidrė

„Knyga yra knyga, bet judink smegenis“ Nr. 292 Nr. 293

Šioje pamokoje prisiminsime, kas yra monomialas, standartinė monomio forma, ir pateiksime panašių monomijų apibrėžimą. Išmokime atskirti panašius monomius nuo nepanašių. Suformuluokime panašių vienatūrių pridėjimo ir atėmimo taisykles. Mokykimės spręsti tipinės užduotys naudojant sudėjimą ir atimtį.

Tema:Monomilai. Aritmetinės operacijos su vienanariais

Pamoka:Monomijų pridėjimas ir atėmimas

Prisiminkime, kas vadinama monomialu ir kokias operacijas galima atlikti su monomijomis. Monomialas yra skaičių ir laipsnių sandauga. Pažvelkime į du pavyzdžius:

Abi išraiškos yra vienareikšmės ir prieš pradedant pridėti ar atimti, būtina jas paversti standartine forma:

Prisiminkite, kad norėdami sumažinti monomiją iki standartinės formos, pirmiausia turite gauti skaitinis koeficientas, padauginus visus skaitinius veiksnius ir tada padauginus atitinkamas galias.

Išsiaiškinkime, ar galima pridėti mūsų du vienanarius – ne, tai neįmanoma, nes galite pridėti tik tuos vienvardžius, kurie turi tą pačią raidžių dalį, tai yra tik panašius mononomus. Tai yra, turime išmokti atskirti panašius ir nepanašius monomus.

Pažvelkime į panašių monomijų pavyzdžius:

Monomialai ir yra panašūs, nes turi tą pačią raidžių dalį -

Kitas pavyzdys. Parašykime monomiją ir monomiją. Antrajam mononomui galime priskirti absoliučiai bet kokį skaitinį koeficientą ir gauti panašų į pirmąjį. Pasirinkime, pavyzdžiui, koeficientą ir gausime du panašius vienatūrius: ir

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Pirmasis monomis, jo koeficientas lygus vienam. Dabar užrašykime jos raidės dalį ir pridėkime prie jos savavališką skaitinį koeficientą, pavyzdžiui, . Turime du panašius monomus: ir .

Padarykime tai išvada: Panašūs mononomai turi tą pačią raidžių dalį, o tokius mononomus galima sudėti ir atimti.

Dabar pateikiame nepanašių monomijų pavyzdžius:

IR ; šie monomai turi skirtingas raidžių dalis, juose esantis kintamasis a pavaizduotas skirtingų laipsnių, todėl monomai nėra panašūs

Kitas pavyzdys: monomai ir taip pat nėra panašūs jų raidžių dalys kintamojo a galiomis.

Panagrinėkime trečiąją monomijų porą: ir taip pat nėra panašios.

Dabar pažvelkime į panašių monomijų pridėjimą, pateiksime pavyzdį:

Pridėkite du monomus:

Akivaizdu, kad šie vienandžiai yra panašūs, nes nesunku pastebėti, kad jų raidžių dalys yra vienodos, tačiau matematiškai monomijų panašumą galima įrodyti raidės dalį pakeitus kita raide, o jei abiem monomams ši raidė pasisuka. jei jie yra vienodi, tada monomai yra panašūs. Pereidami prie pavyzdžio, pakeiskime pirmąjį monomį į ? Tada antrajame mononome tą pačią raidės dalį pakeičiame su

Sudėjus šias dvi išraiškas, gauname . Dabar grįžkime prie pradinių kintamųjų – atsakyme pakeiskite kintamąjį t į , gausime galutinį atsakymą:

Dabar suformuluokime monomijų pridėjimo taisyklė:

Norint gauti panašių vienanarių sumą, reikia pridėti jų koeficientus, o raidės dalį pridėti taip pat, kaip ir pradiniuose terminuose.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

2)

Komentuokite pavyzdį Nr. 1: pirmiausia į rezultatą įrašome vienandžių koeficientų sumą, tai yra, tada perrašome pažodinę dalį be pakeitimų, tai yra

2 pavyzdžio komentaras: panašiai kaip pirmame pavyzdyje, pirmiausia užrašome koeficientų sumą, tai yra, tada perrašome raidės dalį be pakeitimų - .

Pereikime prie monomijų atėmimo taisyklė. Apsvarstykite pavyzdžius:

Tokių vienatūrių atėmimo taisyklė panaši į sudėjimo taisyklę: raidės dalį perrašome be pakeitimų, o koeficientus atimame ir atimame teisinga tvarka. Mūsų pavyzdys:

Padarykime tai išvada: galite pridėti ir atimti bet kokius monomelius, tačiau tam reikia pridėti arba atimti jų koeficientus, perrašant raidės dalį į pradinę formą. Nepanašių monomijų negalima pridėti ar atimti.

Dabar, žinodami panašių monomijų pridėjimo ir atėmimo algoritmą, galime išspręsti kai kurias tipines problemas.

Supaprastinimo užduotys:

Supaprastinkite išraišką:

Pirmas monomis parašytas standartine forma, jo nebegalima supaprastinti, antrasis ir trečiasis nėra standartinės formos, o tai reiškia, kad pirmas veiksmas supaprastinant išraiškas monomijomis yra sumažinti iki jo redukuojamus monomius. į standartinę formą.

Taigi, antrąjį, o paskui trečiąjį monomiją perkelkime į standartinę formą:

Perrašykime pradinę išraišką, atsižvelgdami į atliktas transformacijas:

Visiems trims mononomams matome tą pačią raidžių dalį, o tai reiškia, kad jie yra panašūs, tai yra, turime teisę juos sudėti ir atimti. Pagal taisyklę įvykdysime būtini veiksmai su koeficientais ir perrašykite pažodinę dalį be pakeitimų:

Egzistuoja atvirkštinė problema . Duodamas monomis. Pavaizduokite monomiją kaip monomijų sumą.

Visi mononomai, kurių sumos pavidalu pateikiame duotąjį, turės tą pačią raidės dalį, kuri taip pat yra tokia pati su duotuoju monomialu - . Įsivaizduokime, pavyzdžiui, mūsų monomiją kaip dviejų dėmenų sumą. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokime koeficientą kaip sumą.

Tęskime pažintį su monomijomis su medžiaga toliau pateiktame straipsnyje: pažvelkime į įgyvendinimą pagrindiniai veiksmai su monomijomis, tokiais kaip sudėjimas ir atėmimas. Pasvarstykime, kokiais atvejais šie veiksmai turi būti atliekami ir ką jie galiausiai duos; Suformuluokime sudėjimo ir atimties taisyklę ir pritaikykime ją standartiniams uždaviniams spręsti.

Vienanarių pridėjimo ir atėmimo rezultatas

Tirsime vienanarių sudėjimą ir atėmimą, pagrįstą operacijomis su daugianariais, nes paprastai vienanarių sudėjimo arba atimties rezultatas yra daugianario, o tik ypatingomis situacijomis yra mononomas.

Kitaip tariant, sudėti ir atimti monomijų rinkinyje galima įvesti tik su apribojimais. Paaiškinkime, ką tai reiškia, pateikdami analogiją su natūraliųjų skaičių atėmimu. Natūraliųjų skaičių aibėje atimties veiksmas taip pat vertinamas su apribojimu: kad rezultatas taptų natūraliuoju skaičiumi, atimti reikia tik pagal schemą: iš didesnio natūralusis skaičius mažiau.

Kitas reikalas, jei mes kalbame apie apie sveikųjų skaičių aibę, įskaitant natūraliuosius skaičius: čia atimtis atliekama be apribojimų.

Tą patį galima taikyti, kai reikia pridėti arba atimti du vienatūrius. Norint galiausiai gauti monomiją, vienanarių aibės sudėjimas arba atėmimas gali būti atliekami su apribojimu: pradiniai pridėtiniai arba atimti monomialai turi būti panašūs (tada jie vadinami panašiais monomeliais) arba vienas iš jų turi būti lygus nuliui. . Kitais atvejais veiksmų rezultatas nebėra monomas.

Tačiau daugianarių aibėje, kurioje yra visi vienanaliai, vienanarių sudėjimas ir atėmimas tiriamas kaip ypatingas daugianario sudėties ir atėmimo atvejis. Šiuo atveju veiksmai laikomi be minėtų apribojimų, nes jų vykdymo rezultatas yra daugianomas (arba mononomas kaip ypatingas atvejis daugianario).

Vienanarių pridėjimo ir atėmimo taisyklė

Suformuluokime monomijų pridėjimo ir atėmimo taisyklę veiksmų sekos forma:

1 apibrėžimas

Norėdami atlikti dviejų mononomų pridėjimo arba atėmimo veiksmą, turite:

• užrašykite vienanarių sumą arba skirtumą priklausomai nuo užduoties: vienanariai turi būti rašomi skliausteliuose, atitinkamai tarp jų dedant pliuso arba minuso ženklą;
• jei skliausteliuose yra monomijų nestandartinė forma, pateikti juos į standartinę formą;
• atviri skliaustai;
• Pateikite panašius terminus, jei tokių yra, ir pašalinkite terminus, kurie yra lygūs nuliui.

Dabar pritaikykime nurodytą taisyklę problemoms spręsti.

Vienatūrių pridėjimo ir atėmimo pavyzdžiai

Pateikti mononomai 8 x Ir – 3 x. Būtina atlikti jų sudėjimą ir atimtį.

Sprendimas

1. Atlikime papildymo veiksmą. Parašykime sumą skliausteliuose įterpdami originalius monomelius ir tarp jų įdėdami pliuso ženklą: (8 x) + (– 3 x). Skliausteliuose esantys monomai turi standartinę formą, o tai reiškia, kad antrąjį taisyklės algoritmo žingsnį galima praleisti. Kitas žingsnis yra atidaryti skliaustus: 8 x – 3 x, tada pateikiame panašius terminus: 8 x − 3 x = (8 − 3) x = 5 x.

Trumpai parašykime sprendimą taip: (8 x) + (− 3 x) = 8 x − 3 x = 5 x.

1. Atimties operaciją atlikime taip pat: (8 x) − (− 3 x) = 8 x + 3 x = 11 x.

Atsakymas: (8 x) + (− 3 x) = 5 x Ir (8 x) − (− 3 x) = 11 x.

Panagrinėkime pavyzdį, kai vienas iš monomijų yra lygus nuliui.

2 pavyzdys

Reikia rasti skirtumą tarp vienanario - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 ir vienanario x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y.

Sprendimas

Mes veikiame pagal algoritmą pagal taisyklę. Parašykime skirtumą: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y. Skliausteliuose pateiktus vienatūrius paverčiame standartine forma ir gauname: 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z. Atverkime skliaustus, kurie suteiks mums tokią išraiškos formą: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z, tai dėl savybės pridėti nulį bus identiškai lygi 1 4 · x 2 · y 6 · z.

Taigi, trumpa pastaba sprendimas bus toks:

5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 y 5 z - 3 8 x y = = 0 - - 1 4 x 2 y 6 z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Atsakymas:– 5 x 3 2 3 0 x z 2 – x 2 3 y 5 z – 3 8 x y = 1 4 x 2 y 6 z

Nagrinėjami pavyzdžiai davė monomijų dėl sudėties ir atimties. Tačiau, kaip jau minėta, į bendras atvejis sudėties ir atimties rezultatas yra daugianario.

3 pavyzdys

Pateikti mononomai − 9 x z 3 Ir − 13 x y z. Būtina rasti jų sumą.

Sprendimas

Užrašome sumą: (− 9 x z 3) + (− 13 x y z). Monomilai turi standartinę formą, todėl skliaustus išplečiame: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . Gautoje išraiškoje nėra panašių terminų, neturime ką duoti, o tai reiškia, kad gauta išraiška bus skaičiavimo rezultatas: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z.

Atsakymas: (− 9 x z 3) + (− 13 x y z) = − 9 x z 3 − 13 x y z.

Ta pati schema taikoma sudėjus arba atimant tris ar daugiau mononomų.

4 pavyzdys

Reikia išspręsti pavyzdį: 0, 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2, 7 · a 3 · b 2.

Sprendimas

Visi pateikti monomai turi standartinę formą ir yra panašūs. Duokim panašių narių atlikdami sudėjimą ir atimtį skaitiniai koeficientai, ir paliekant raidės dalį kaip originalą: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 - 3 · a 3 · b 2 - 2, 7 · a 3 · b 2 = = (0, 2 + 7 - 3 - 2, 7) a 3 b 2 = 1, 5 a 3 b 2

Atsakymas: 0, 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2, 7 · a 3 · b 2 = 1, 5 · a 3 · b 2.

5 pavyzdys

Pateikiami vienanaliai: 5, − 3 a, 15 a, − 0, 5 x z 4, − 12 a, − 2 ir 0,5 x z 4. Būtina rasti jų sumą.

Sprendimas

Užsirašykime sumą: (5) + (− 3 a) + (15 a) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 a) + (− 2) + (0,5 x z 4). Išplėsdami skliaustus gauname: 5 - 3 a + 15 a - 0, 5 x z 4 - 12 a - 2 + 0, 5 x z 4. Sugrupuokime panašius terminus: (5 − 2) + (− 3 a + 15 a − 12 a) + (− 0,5 x z 4 + 0,5 x z 4) ir išvardinkime juos: 3 + 0 + 0 = 3

Atsakymas: (5) + (− 3 a) + (15 a) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 a) + (− 2) + (0,5 x z 4 ) = 3.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pridėti monomiją arba atimti vieną monomiją iš kito galima tik tuo atveju, jei vienanariai yra panašūs. Jei vienanariai nepanašūs, tokiu atveju vienanarių sudėjimas gali būti užrašomas kaip suma, o atėmimas – kaip skirtumas.

Panašūs monomai

Panašūs monomai- vienatūriai, susidedantys iš tų pačių raidžių, bet gali turėti skirtingus arba tuos pačius koeficientus (skaitinius veiksnius). Turi būti vienodos panašių monomijų raidės tie patys rodikliai laipsnių. Jei tos pačios raidės laipsniai skirtinguose monomuose nesutampa, tada tokių monomijų negalima vadinti panašiais:

5ab 2 ir -7 ab 2 - panašūs monomai

5a 2 b ir 5 ab - nepanašūs monomai

Atkreipkite dėmesį, kad panašių monomijų raidžių seka gali būti nevienoda. Be to, monomilai gali būti pavaizduoti išraiškos forma, kurią galima supaprastinti, todėl prieš pradedant nustatyti, ar šie monomai yra panašūs, ar ne, verta pateikti monomiją į standartinę formą. Pavyzdžiui, paimkime du vienatūrius:

5abb ir -7 b 2 a

Abu monomai yra nestandartinės formos, todėl nustatyti, ar jie panašūs, nebus lengva. Norėdami tai išsiaiškinti, sumažinkime monomus iki standartinės formos:

5ab 2 ir -7 ab 2

Dabar iš karto aišku, kad šie monomai yra panašūs.

Vadinami du panašūs monomai, kurie skiriasi tik ženklu priešinga. Pavyzdžiui:

5a 2 bc ir -5 a 2 bc- priešingi monomai.

Panašių monomijų mažinimas yra išraiškos, kurioje yra panašių monomijų, supaprastinimas juos pridedant. Panašių monomijų pridėjimas atliekamas pagal panašių terminų mažinimo taisykles.

Monomijų pridėjimas

Norėdami pridėti monomijų, jums reikia:

1. Sudarykite sumą, parašydami visus terminus po vieną
2. Norėdami pateikti panašias sąlygas, jums reikia:

1 pavyzdys. Pridėti monomijų 12 ab, -4a 2 b ir -5 ab.

Sprendimas: Suskaičiuokime monomijų sumą:

12ab + (-4a 2 b) + (-5ab)

12ab - 4a 2 b - 5ab

Dabar turime nustatyti, ar tarp terminų yra panašių monomijų, ir, jei tokių yra, sumažinti:

12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b

2 pavyzdys. Pridėti monomijų 5 a 2 bc ir -5 a 2 bc.

Sprendimas: Suskaičiuokime monomijų sumą:

5a 2 bc + (-5a 2 bc)

Išplėskime skliaustus:

5a 2 bc - 5a 2 bc

Šie du monomai yra priešingi, tai yra, skiriasi tik ženklu. Tai reiškia, kad pridėję jų skaitinius veiksnius gausime nulį:

5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0

Vadinasi, pridedant priešingus monomelius, rezultatas lygus nuliui.

Bendra taisyklė monomijų pridėjimas:

Jei norite pridėti kelis vienatūrius, turite surašyti visus terminus vieną po kito, išsaugodami jų ženklus, neigiamus monomelius dėkite skliausteliuose ir sumažinkite panašius terminus(panašūs monomai).

Monomijų atėmimas

Norėdami atimti monomiją, turite:

1. Sudarykite skirtumą rašydami visus vienatūrius vieną po kito, atskirdami juos – (minuso) ženklu.
2. Sukelkite visus monomelius į standartinę formą
3. Išskleiskite skliaustus, jei jie yra išraiškoje
4. Sumažinkite panašius monomus, ty:
   1. pridėkite jų skaitinius veiksnius
   2. Po gauto koeficiento pridėkite raidžių koeficientus be pakeitimų

Pavyzdys. Raskite monomijų skirtumą 8 ab 2 , -5a 2 b Ir - ab 2 .

Sprendimas: Suskaičiuokime monomijų skirtumą:

8ab 2 - (-5a 2 b) - (-ab 2)

Visi monomai yra standartinės formos. Taigi galite pradėti atidaryti skliaustus. Žr. skliaustų atidarymo taisykles.

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2

Dabar turime nustatyti, ar tarp monomijų yra panašių, ir, jei yra, sumažinti:

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b

Bendra monomijų atėmimo taisyklė:

Norėdami atimti vieną monomiją iš kito, pridėkite subtrahend mononomą su prie minios priešingas ženklas ir sumažinti panašius monomelius.