Šriodingerio lygtis dalelei potencialiame lauke. Šriodingerio lygtis

Mikrodalelių judėjimas įvairiose jėgos laukai yra aprašytas nereliatyvistinės kvantinės mechanikos rėmuose, naudojant Schrödingerio lygtį, iš kurios seka eksperimentiškai stebimos sąlygos bangų savybės dalelių. Ši lygtis, kaip ir visos pagrindinės fizikos lygtys, nėra išvestinė, o postuluojama. Jo teisingumą patvirtina skaičiavimo rezultatų suderinimas su patirtimi. Schrödingerio bangos lygtis turi tokią bendra forma :

– (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

kur ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s – Planko konstanta;
m – dalelių masė;
∆ – Laplaso operatorius (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) – norima banginė funkcija;
U (x, y, z, t) – potenciali funkcija dalelės jėgos lauke, kur jis juda;
aš yra įsivaizduojamas vienetas.

Ši lygtis turi sprendimą tik esant banginei funkcijai nustatytomis sąlygomis:

1. ψ (x, y, z, t) turi būti baigtinis, vienareikšmis ir tolydis;
2. pirmieji jo dariniai turi būti tęstiniai;
3. funkcija | ψ | 2 turi būti integruojamas, o tai paprasčiausiais atvejais redukuojasi iki tikimybių normalizavimo sąlygos.

∆ψ + (2 m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

čia ψ = ψ (x, y, z) yra tik koordinačių banginė funkcija;
E – lygties parametras – visos energijos dalelių.

Šioje lygtyje tik tie sprendiniai, kurie išreiškiami reguliariosiomis funkcijomis ψ (vadinamos savo funkcijas), kurios atsiranda tik tam tikroms parametro E reikšmėms, vadinamoms energijos savąja verte. Šios E reikšmės gali sudaryti ištisinę arba atskiros serijos, t.y. tiek nuolatinis, tiek diskretinis energijos spektras.

Bet kuriai mikrodalelei, esant (8.2) tipo Šredingerio lygčiai, kvantinės mechanikos problema redukuojama iki šios lygties sprendimo, t.y. rasti banginių funkcijų ψ = ψ (x, y, z) reikšmes, atitinkančias savųjų energijų spektrą E. Toliau raskite tikimybių tankį | ψ | 2, kuris kvantinėje mechanikoje nustato tikimybę rasti dalelę tūrio vienete šalia taško su koordinatėmis (x, y, z).

Vienas iš paprasčiausių Šriodingerio lygties sprendimo atvejų yra dalelės elgsenos problema vienmačio stačiakampio formos „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“. Tokia „skylė“ dalelei, judančiai tik išilgai X ašies, apibūdinama formos potencine energija

čia l – „skylės“ plotis, o energija matuojama nuo jos apačios (8.1 pav.).

Šriodingerio lygtis stacionarioms būsenoms vienmatės problemos atveju bus parašyta tokia forma:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2 m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

Dėl to, kad „duobės sienos“ yra be galo aukštos, dalelė neprasiskverbia už „duobės“. Tai lemia ribines sąlygas:

ψ (0) = ψ (l) = 0

„Šulinyje“ (0 ≤ x ≤ l) (8.4) lygtis redukuojama į formą:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2 m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

kur k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

kur k = (n ∙ π)/ l

sveikosioms n reikšmėms.

Iš (8.8) ir (8.10) išraiškų išplaukia, kad

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2 m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3...)

Vadinasi, mikrodalelė „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“ gali būti tik tam tikro energijos lygio E n , t.y. diskrečiose kvantinėse būsenose n.

Pakeitę išraišką (8.10) į (8.9), randame savąsias funkcijas

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

kuris šiuo atveju bus parašytas taip:

Iš kur dėl integracijos gauname A = √ (2 / l) ir tada turime

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ nuodėmė (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Funkcijos ψ n (x) grafikai neturi fizinės reikšmės, o funkcijos grafikai | ψ n | 2 parodytas dalelės aptikimo įvairiais atstumais nuo „duobės sienų“ tikimybės tankio pasiskirstymas (8.1 pav.). Būtent šie grafikai (taip pat ir ψ n (x) – palyginimui) yra nagrinėjami šiame darbe ir aiškiai parodo, kad idėjos apie dalelių trajektorijas kvantinėje mechanikoje yra nepagrįstos.

Iš (8.11) išraiškos išplaukia, kad energijos intervalas tarp dviejų gretimų lygių yra lygus

∆E n = E n-1 – E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Iš to aišku, kad mikrodalelėms (pavyzdžiui, elektronams) at dideli dydžiai„skylių“ (l≈ 10 -1 m), energijos lygiai išsidėstę taip arti, kad sudaro beveik ištisinį spektrą. Ši sąlyga atsiranda, pavyzdžiui, laisvųjų elektronų metale. Jei „šulinio“ matmenys yra palyginami su atominiais (l ≈ 10 -10 m), tada gaunamas diskretus energijos spektras ( linijų spektras). Šio tipo spektrai taip pat gali būti tiriami šiame darbe įvairioms mikrodalelėms.

Kitas dažnai praktikoje sutinkamas (ir šiame darbe nagrinėjamas) mikrodalelių (kaip ir mikrosistemų – švytuoklių) elgsenos atvejis yra tiesinio harmoninio osciliatoriaus problema kvantinėje mechanikoje.

Kaip žinoma, potencinė energija vienmatis harmoninis osciliatorius, kurio masė m yra lygus

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

čia ω 0 yra osciliatoriaus generatoriaus natūralusis dažnis ω 0 = √ (k / m);
k – osciliatoriaus elastingumo koeficientas.

Priklausomybė (8.17) turi parabolės formą, t.y. „potenciali skylė“. tokiu atveju yra parabolinis (8.2 pav.).

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

kur N n yra pastovus normalizavimo koeficientas, priklausantis nuo sveikojo skaičiaus n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) yra n laipsnio polinomas, kurio koeficientai apskaičiuojami naudojant pasikartojančią formulę skirtingiems sveikiesiems skaičiams n.
Teoriškai diferencialines lygtis galima įrodyti, kad Šriodingerio lygtis turi sprendinį (8.18) tik energijos savosioms reikšmėms:

E n = (n + (1/2)) ∙ ħ ∙ ω 0

Tai reiškia, kad kvantinio osciliatoriaus energija gali turėti tik atskiras reikšmes, t.y. kvantuota. Kai n = 0, vyksta E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, t.y. nulinio taško energija, kuri būdinga kvantinėms sistemoms ir reiškia tiesioginė pasekmė neapibrėžtumo santykiai.

Kaip rodo išsamus kvantinio osciliatoriaus Šriodingerio lygties sprendimas, kiekviena skirtingų n energijos savoji vertė atitinka jos pačios bangos funkciją, nes pastovus normalizavimo koeficientas priklauso nuo n

taip pat H n (x) – n laipsnio Čebyševo-Hermito daugianario.
Be to, pirmieji du daugianariai yra lygūs:

H0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Bet kuris paskesnis daugianomas yra susietas su nmi pagal šią pasikartojančią formulę:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) – 2n ∙ H n-1 (x)

(8.18) tipo savosios funkcijos leidžia kvantiniam generatoriui rasti mikrodalelės radimo tikimybės tankį kaip | ψ n (x) | 2 ir ištirti jo elgesį įvairių lygių energijos. Išspręsti šią problemą sunku, nes reikia naudoti pasikartojančią formulę. Šią problemą galima sėkmingai išspręsti tik naudojant kompiuterį, kas ir yra daroma šiame darbe.

Šią paskaitą skaitysiu jums pramogai. Norėjau pažiūrėti, kas nutiktų, jei pradėčiau skaityti kiek kitokiu stiliumi. Tai nėra įtraukta į kursą ir nemanykite, kad tai yra bandymas jus išmokyti Paskutinė valanda kažkas naujo. Verčiau įsivaizduoju, kad vedu seminarą ar pristatau tyrimo ataskaitą labiau pažengusiai auditorijai, žmonėms, kurie jau daug supranta apie kvantinę mechaniką. Pagrindinis skirtumas tarp seminaro ir įprastos paskaitos yra tas, kad seminare pranešėjas nepristato visų etapų, visos skaičiavimų algebros. Jis tiesiog sako: „Jei darysi taip ir aną, tai ir gausi“, bet nesigilina. Taigi šioje paskaitoje išsakysime tik mintis ir pateiksime skaičiavimų rezultatus. Ir jūs turite suprasti, kad visai nebūtina iš karto ir iki galo visko suprasti, tereikia tikėti, kad jei atliksite visus skaičiavimus, tada viskas pasiteisins.

Bet tai dar ne viskas. Svarbiausia, kad aš noriu apie tai kalbėti. Tai taip šviežia, aktualu, moderni tema, kad visai legalu neštis į seminarą. Ši tema yra klasikinis Schrödingerio lygties, superlaidumo reiškinio, aspektas.

Paprastai bangos funkcija, kuri atsiranda Schrödingerio lygtyje, taikoma tik vienai ar dviem dalelėms. O pati banginė funkcija neturi klasikinės reikšmės, skirtingai nei elektrinis laukas, nei vektorinis potencialas, nei kiti panašūs dalykai. Tiesa, atskiros dalelės banginė funkcija yra „laukas“ ta prasme, kad ji yra padėties funkcija, tačiau, paprastai kalbant, ji neturi klasikinės reikšmės. Tačiau kartais yra aplinkybių, kai kvantinės mechaninės bangos funkcija iš tikrųjų turi klasikine prasme, kaip tik tai ir noriu paliesti. Materijos kvantinės mechaninės elgsenos mažuose masteliuose ypatumai didelio masto reiškiniuose dažniausiai nepasireiškia, išskyrus standartines išvadas, kad dėl to atsiranda Niutono dėsniai, vadinamieji dėsniai. klasikinė mechanika. Tačiau kartais yra aplinkybių, kai kvantinės mechanikos ypatybės gali turėti ypatingą poveikį didelio masto reiškiniams.

Esant žemai temperatūrai, kai sistemos energija labai labai stipriai sumažėja, vietoj ankstesnio didžiulio būsenų skaičiaus į žaidimą įtraukiamas tik labai labai mažas skaičius būsenų - tų, kurios yra netoli pagrindinės. . Tokiomis sąlygomis šios pagrindinės būsenos kvantinis mechaninis pobūdis gali pasireikšti makroskopiniu lygmeniu. Šios paskaitos tikslas yra parodyti ryšį tarp kvantinės mechanikos ir didelio masto efektų, o ne įprastos diskusijos apie tai, kaip Kvantinė mechanika atgaminti vidutiniškai Niutono mechanika, bet ypatingas atvejis, kai kvantinė mechanika sukelia savo būdingus efektus dideliems, „makroskopiniams“ matmenims.

Leiskite pradėti primindamas kai kurias Schrödingerio lygties savybes. Noriu panaudoti Šriodingerio lygtį dalelės elgsenai magnetiniame lauke apibūdinti, nes superlaidumo reiškiniai yra susiję su magnetiniai laukai. Išorinis magnetinis laukas apibūdinamas vektoriaus potencialu, ir kyla klausimas, kokie yra kvantinės mechanikos dėsniai vektoriaus potencialo lauke. Principas, nulemiantis dalelės kvantinį mechaninį elgesį vektoriaus potencialo lauke, yra labai paprastas. Amplitudė, kurią dalelė, esant laukui, keliaus tam tikru keliu iš vienos vietos į kitą (19.1 pav.), yra lygi amplitudei, kurią ji nukeliautų šiuo keliu be lauko, padauginta iš eksponento kreivinis integralas nuo vektorinio potencialo, padauginto iš eilės elektros krūvis ir padalintas iš Planko konstantos [žr Ch. 15, § 2 (6 leidimas)]:

Tai yra pirminis kvantinės mechanikos teiginys.

Fig. 19.1. Perėjimo iš į palei kelią amplitudė yra proporcinga .

O jei nėra vektoriaus potencialo, įkrautos dalelės Schrödingerio lygtis (nereliatyvistinė, be sukinio) turi tokią formą

kur yra elektrinis potencialas, tai ir potenciali energija. O (19.1) lygtis yra lygiavertė teiginiui, kad magnetiniame lauke Hamiltono gradientai kiekvieną kartą turi būti pakeisti gradientu minusu , kad (19.2) virstų

Tai Šriodingerio lygtis dalelei su krūviu (nereliatyvistiniu, be sukinio), judančiu elektromagnetiniame lauke.

Kad būtų aišku, ar tai teisinga, noriu tai iliustruoti paprastu pavyzdžiu, kur vietoj ištisinio atvejo yra atomų linija, išdėstyta ašyje atstumu vienas nuo kito, ir yra elektrono amplitudė. peršokti nesant lauko nuo vieno atomo prie kito. Tada pagal (19.1) lygtį, jei yra vektorinis potencialas kryptimi, tai šuolio amplitudė pasikeis, palyginti su buvusia anksčiau, ją reikės padauginti iš - eksponentas su indikatoriumi, lygus produktuiįjungta vektoriaus potencialas, integruotas iš vieno atomo į kitą. Paprastumo dėlei parašysime , nes, paprastai kalbant, priklauso nuo . Jei amplitude pažymėsime, kad elektronas yra šalia atomo, esančio taške, tai šios amplitudės kitimo greitis bus pateiktas lygtimi

Jį sudaro trys dalys. Pirma, taške esantis elektronas turi tam tikrą energiją. Tai, kaip įprasta, suteikia narį. Tada yra terminas, ty amplitudė to, kad elektronas iš atomo, esančio adresu, peršoko žingsnį atgal. Tačiau jei tai įvyksta esant vektoriaus potencialui, tai amplitudės fazė turi pasislinkti pagal taisyklę (19.1). Jei atstumas tarp gretimų atomų pastebimai nesikeičia, tai integralas gali būti parašytas tiesiog kaip reikšmė viduryje, padauginta iš atstumo. Taigi sandauga padauginta iš integralo yra lygi . O kadangi elektronas atšoko atgal, šį fazės poslinkį pažymiu minuso ženklu. Tai suteikia antrąją dalį. Ir lygiai taip pat yra tam tikra amplitudė, kad bus šuolis į priekį, tačiau šį kartą vektoriaus potencialas imamas kitoje pusėje, atstumu, ir padauginamas iš atstumo. Tai suteikia trečią dalį. Apibendrinant gauname amplitudės lygtį, kurią dalelė lauke, kuriam būdingas vektoriaus potencialas, atsidurs taške .

Bet toliau mes žinome, kad jei funkcija pakankamai sklandi (imame ilgosios bangos ribą) ir jei priartinsime atomus, tada (14.4) lygtis (p. 80) apytiksliai apibūdins elektrono elgesį vakuume. Todėl kitas žingsnis yra išplėsti abi (19.4) galias, laikant ją labai maža. Pavyzdžiui, jei , tada dešinioji dalis bus lygus tiesiog , taigi nulinėje aproksimacijoje energija lygi . Tada ateis galios, bet dėl ​​to, kad rodiklių ženklai yra priešingi, liks tik lygiosios galios. Dėl to, jei išplėste Taylor seriją ir eksponentus, o tada surenkate terminus su , gausite. Dabar atminkite, kad nulinio magnetinio lauko tirpalai (žr. I skyrių, § 3) vaizduoja dalelę su efektyvi masė pateikta pagal formulę

Jei tada jį nuleisite ir grįšite prie , tada galite lengvai patikrinti, ar (19.6) yra tokia pati kaip pirmoji (19.3) dalis. (Potencialios energijos termino kilmė yra gerai žinoma ir į ją nesileisiu.) Teiginys (19.1), kad vektorinis potencialas visas amplitudes padaugina iš eksponentinės koeficiento, yra lygiavertis taisyklei, kad impulso operatorius pakeičiamas , kaip tai padarėme Šriodingerio lygtyje (19.3).

SCHRÖDINGER LYGTIS
IR SPECIALIEJI JOS ATVEJAI (tęsinys): dalelės praėjimas per POTENCIALĄ KLIŪTĄ, Harmoninis generatorius

Dalelės praėjimas per potencialų barjerą klasikiniam atvejui jau nagrinėjome 1 DALIES 7 PASKAITOJE (žr. 7.2 pav.). Dabar panagrinėkime mikrodalelę, kurios bendra energija yra mažesnė už lygį U potencialo barjeras (19.1 pav.). IN klasikinė versijašiuo atveju dalelės praėjimas per barjerą yra neįmanomas. Tačiau į Kvantinė fizika yra tikimybė, kad dalelė praeis. Be to, jis ne „peršoks“, o tarsi „pratekės“, naudodamasis savo banginėmis savybėmis. Todėl efektas dar vadinamas „tuneliu“. Kiekvienai iš sričių I, II, III užsirašykime stacionari lygtisŠriodingeris (18,3).

Dėl aš Ir III: , (19.1, a)

Dėl II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, kur a = konst. Tada ir y" = . Pakeitus y" ​​į (19.1a), gaunama: Reikalinga bendras sprendimas regionui aš bus parašyta kaip superpozicija

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

Tokiu atveju atspirties taškas bangos sklidimas pasislenka L,a IN 3 = 0 , kadangi rajone III yra tik praeinanti banga.

Teritorijoje II(barjeras) y" pakeitimas (19.1b) suteikia

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Apibūdinama praėjimo tikimybė praėjimo rodiklis- perduodamos bangos intensyvumo ir krintančios bangos intensyvumo santykis:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

iš kurių pirmieji du reiškia funkcijų „susiuvimą“ kairėje ir dešinėje barjero ribose, o trečioji ir ketvirtoji – tokio perėjimo sklandumą. Funkcijas y1, y2 ir y3 pakeitę į (19.5), gauname lygtis

Padalinkime juos į A 1 ir pažymėkite a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Pirmąją lygtį (19.6) padauginkime iš ik ir pridėkite jį prie antrosios. Mes gauname 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)

Antrąją lygčių porą (19.6) laikysime dviejų lygčių su nežinomaisiais sistema a 2 ir b 2.

Šios sistemos veiksniai:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

kur el. qL(q+ik) 2 » 0, nes qL >> 1.

Todėl https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> ir rasti kompleksinės reikšmės modulį A 3, gautos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš ( q +ik)2. Po to paprastos transformacijos mes gauname

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Paprastai E/U~ 90%, o visas koeficientas prieš „e“ yra vieneto eilės. Todėl tikimybę, kad dalelė prasiskverbs per barjerą, lemia toks ryšys:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Tai reiškia, kad kada E< U dalelė neįveiks barjero, t.y. tunelio efekto klasikinė fizika nėra.

Šis efektas naudojamas inžinerinė praktika sukurti tunelinius diodus, plačiai naudojamus radijo inžinerijos įrenginiuose (žr. 3 DALIS 3 PASKAITĄ).

Be to, pasirodė, kad galima inicijuoti antžeminėmis sąlygomis termobranduolinė reakcija sintezė, kuri vyksta Saulėje normaliomis Saulei sąlygomis – temperatūroje T ~ 109 K. Tačiau Žemėje tokios temperatūros nėra tunelio efektas, yra tikimybė, kad reakcija prasidės esant temperatūrai T ~ 107 K kuris įvyksta sprogimo metu atominė bomba, kuris buvo vandenilinio uždegimo įtaisas. Daugiau apie tai kitoje kurso dalyje.

Harmoninis osciliatorius.Klasikinis Taip pat jau aptarėme harmoninį osciliatorių (1,2 PASKAITOS 3 DALIS). Pavyzdžiui, jie yra spyruoklinė švytuoklė, kurių bendra energija E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoriškai ši energija gali įgyti nuolatinę verčių seką, pradedant nuo nulio.

Kvantinis harmoninis osciliatorius yra svyruojantis harmonijos dėsnis esančios mikrodalelės surišta būsena atomo ar branduolio viduje. Šiuo atveju potenciali energija išlieka klasikinė, charakterizuojanti panašią elastingą atkuriamąją jėgą kx. Atsižvelgiant į tai, kad ciklinis dažnis gauname potencialią energiją https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematiškai ši problema yra dar sudėtingesnė nei ankstesnės. Todėl apsiribosime konstatavimu, kas bus dėl to. Kaip ir vienmačio šulinio atveju, gauname diskretus savųjų funkcijų ir savųjų energijų spektras, o viena energijos savoji reikšmė atitiks vieną bangos funkciją: EnÛ y n(nėra būsenų išsigimimo, kaip ir trimačio šulinio atveju). Tikimybių tankis |yn|2 taip pat yra svyravimo funkcija, tačiau „kuprotų“ aukštis skiriasi. Tai nebėra smulkmena nuodėmė2 , ir egzotiškesni Ermito daugianariai Hn(x). Bangos funkcija atrodo kaip

, Kur SUn- priklausomai nuo n pastovus. Energijos savosios vertės spektras:

, (19.10)

kur yra kvantinis skaičius n = 0, 1, 2, 3 ... . Taigi taip pat yra " nulinės energijos" , virš kurios energijos spektras suformuoja „lentyną“, kur lentynos išsidėsčiusios vienodu atstumu viena nuo kitos (19.2 pav.). Tas pats paveikslas kiekvienam energijos lygiui rodo atitinkamą tikimybės tankį |yn|2, taip pat potencialią energiją išorinis laukas(taškinė parabolė).

Nulinės minimalios galimos generatoriaus energijos egzistavimas turi gilią prasmę. Tai reiškia, kad mikrodalelių vibracijos nesiliauja niekada, o tai savo ruožtu reiškia nepasiekiamumą absoliutus nulis temperatūros.

1. , Burso fizika: Paskaitų kursas su kompiuterine pagalba: Vadovėlis. pagalba studentams aukštesnė vadovėlis įstaigos: 2 tomuose - M.: Leidykla VLADOS-PRESS, 2001 m.

Iš principo nieko ypatingo, juos galima rasti lentelėse ir net grafikuose.

Leiskite dalelei judėti išilgai X ašies Šiuo atveju judėjimą riboja segmentas (. 0.l). Taškuose x=0 ir x=l yra nepramušamos be galo aukštos sienos. Potenciali energija šiuo atveju turi formą

Ši potencialios energijos priklausomybė nuo x vadinama potencialus gerai.

Parašykime stacionariąją Šriodingerio lygtį

Kadangi psi funkcija priklauso tik nuo x koordinatės, lygtis supaprastinama taip

Potencialaus šulinio viduje U=0

Dalelė negali peržengti potencialo šulinio. Todėl tikimybė aptikti dalelę už šulinio yra lygi nuliui. Atitinkamai, psi funkcija už skylės yra lygi nuliui. Iš tęstinumo sąlygos išplaukia, kad šulinio ribose ψ turi būti lygus nuliui, t.y. . Tai yra ribinė sąlyga, kurią turi tenkinti lygties sprendiniai.

Supažindinkime su užrašu

ir gauname iš svyravimų teorijos gerai žinomą lygtį

Tokios lygties sprendimas turi formą harmoninė funkcija

Atitinkamų parametrų k ir α pasirinkimą lemia ribinės sąlygos, būtent,

n = 0 pašalinama, nes šiuo atveju ψ = 0 ir dalelės niekur nėra. Vadinasi, skaičius k įgauna tik tam tikras atskiras reikšmes, kurios tenkina sąlygą. Iš to labai seka svarbus rezultatas. Mes rasime savąsias reikšmes dalelių energija

tie. Elektrono energija potencialo šulinyje nėra savavališka, o įgauna atskiras reikšmes, t.y. yra kvantuota. E n reikšmė priklauso nuo sveikojo skaičiausn , kuris įgauna reikšmę nuo 1 iki ∞ ir yra vadinamas pagrindinis kvantinis skaičius . Kvantuotos energijos vertės vadinamos energijos lygiai, o kvantinis skaičius n lemia energijos lygio skaičių. Taigi elektronas potencialo šulinyje gali būti tam tikrame energijos lygyje E n. Be to, minimali energijos vertė, atitinkanti pirmąjį energijos lygį, skiriasi nuo nulio

.

Nustatykime atstumą tarp gretimų energijos lygių

Esant dideliems m ir l, atstumas tarp lygių tampa mažas, o spektras tampa beveik ištisinis. Santykinis atstumas tarp lygių

kaip n → ∞,

y., spektras tampa ištisinis. Tai yra Boro korespondencijos principas: Didelių kvantinių skaičių atveju kvantinės mechanikos išvados ir rezultatai turi sutapti su klasikiniais rezultatais.

Grįžkime prie savųjų funkcijų nustatymo problemos. Pritaikę ribines sąlygas turime

Norėdami rasti koeficientą A, naudojame normalizavimo sąlygą

Integralo reikšmė yra l /2.

Taigi savosios funkcijos turi formą

Savųjų funkcijų grafikai atrodo taip

Pagaliau suformuluokime pagrindinės išvados:

1. Potencialų duobėje esančios dalelės energijos spektras yra diskretus – energija kvantuojama.

2. Minimali vertė kinetinė energija negali būti lygus nuliui.

3. Diskretus pobūdis energijos lygiai pasirodo esant žemai m,l Ir n, laisvėje m,l,n judesys tampa klasikinis.

4. Mikrodalelės padėtys šulinyje nėra vienodai tikėtinos, o nulemtos jų pačių funkcijų, tuo tarpu klasikinės dalelės atveju visos padėtys yra vienodai tikėtinos.

Klausimai savikontrolei:

1. Kaip nustatyti tikimybę rasti dalelę tam tikrame taške?

2. Kas vadinama potencialiniu šuliniu?

3. Ką reiškia Šriodingerio lygtis? Ką mums leidžia rasti Schrödingerio lygtis?

4. Kokios sąlygos keliamos psi funkcijai?

5. Kokia fizinė pagrindinio kvantinio skaičiaus reikšmė?

6. Kodėl kvantinė mechanika yra statistinė teorija?

7. Koks yra Boro korespondencijos principas?

Dėl dalelių kvantinis pasaulis galioja kiti dėsniai nei klasikinės mechanikos objektams. Remiantis de Broglie prielaida, mikroobjektai turi ir dalelių, ir bangų savybių – ir iš tiesų, kai elektronų pluoštas yra išsklaidytas per skylę, stebima bangoms būdinga difrakcija.

Todėl mes negalime kalbėti apie judėjimą kvantinės dalelės, bet apie tikimybę, kad dalelė bus konkretus taškas tam tikru momentu.

Ką apibūdina Šriodingerio lygtis?

Schrödingerio lygtis skirta kvantinių objektų judėjimo laukuose ypatumams apibūdinti išorinės jėgos. Dažnai dalelė juda per jėgos lauką, kuris nepriklauso nuo laiko. Šiuo atveju parašyta stacionari Schrödingerio lygtis:

Pateiktoje lygtyje m ir E yra ir atitinkamai dalelės, esančios jėgos lauke, energija, o U yra šis laukas. — Laplaso operatorius. — Planko konstanta lygi 6,626 10 -34 J s.

(ji dar vadinama tikimybės amplitude, arba psi funkcija) – tai funkcija, leidžianti sužinoti, kurioje erdvės vietoje greičiausiai bus mūsų mikroobjektas. Fizinę reikšmę turi ne pati funkcija, o jos kvadratas. Tikimybė, kad dalelė yra elementariame tūryje:

Todėl galima rasti funkciją baigtiniame tūryje su tikimybe:

Kadangi psi funkcija yra tikimybė, ji taip pat negali būti mažiau nei nulis, nei viršyti vieną. Bendra tikimybė Dalelės radimas begaliniame tūryje yra normalizavimo sąlyga:

Psi funkcijai veikia superpozicijos principas: jei dalelė ar sistema gali būti kelių kvantinių būsenų, tai jai galima ir jų sumos nulemta būsena:

Stacionarioji Šriodingerio lygtis turi daug sprendinių, tačiau sprendžiant reikia į ją atsižvelgti pasienio sąlygos ir pasirinkite tik savo sprendimus– tie, kurie turi fizinę reikšmę. Tokie sprendimai egzistuoja tik individualias vertybes dalelės E energija, kuri sudaro atskirą dalelės energijos spektrą.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 PAVYZDYS

2 PAVYZDYS