Тодорхойлолт. Нэмэлт натурал тоонууд"1) (a Î N)a + 1 = a", 2) "(a, b Î N)a + b" =(a +b)" гэсэн шинж чанаруудтай алгебрийн үйлдэл юм. a тоо + b-г a ба b нийлбэр тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд a, b тоонууд нь өөрөө гишүүнчлэлийн хувьд аль ч хоёр натурал тооны нийлбэр нь мөн натурал тоо бөгөөд аливаа а ба b натурал тооны хувьд a + нийлбэр болно. b нь өвөрмөц, өөрөөр хэлбэл натурал тоонуудын нийлбэр байдаг ба өвөрмөц .Тодорхойлолтын онцлог нь тодорхой шинж чанартай алгебрийн үйлдэл байгаа эсэх нь урьдаас тодорхойгүй, хэрэв байгаа бол. өвөрмөц үү? аксиоматик бүтэцнатурал тооны онолууд нотолж байна дараах мэдэгдэл: Натурал тооны нэмэгдэл байдаг бөгөөд энэ нь өвөрмөц юм. Энэ теорем нь хоёр мэдэгдлээс (хоёр теоремоос) бүрдэнэ: натурал тооны нэмэгдэл байдаг; натурал тоог нэмэх нь өвөрмөц юм. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд нэмэх хуулиудыг ашигладаг. Натурал тоонуудын хувьд шилжих ба ассоциатив гэсэн хоёр нэмэх хууль байдаг. Дүрэм: Нэр томъёоны газрыг өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй (нэмэлтийн солих хууль). Жишээ нь: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.V ерөнхий үзэл: a + b = b + a. Дүрэм. Хоёр гишүүний нийлбэр дээр гурав дахь гишүүнийг нэмэхийн тулд эхний гишүүнд хоёр ба гурав дахь гишүүний нийлбэрийг нэмж болно (нэмэлтийн хосолсон хууль). Жишээ нь: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). Ерөнхий хэлбэрээр: (a + b) + c = a + (b + c). Ихэнхдээ жишээн дээр нэмэх хоёр хуулийг нэг дор ашигладаг. Жишээ нь: 1,300 + 400 + 700 + 600 = (1,300 + 700) + (400 + 600) = 2,000 + 1,000 = 3,000.
Аксиоматик тодорхойлолтнатурал тоог үржүүлэх. Түүний оршихуй ба давтагдашгүй байдлын тухай нотолгоотой теорем. Үржүүлэх хүснэгт.
Натурал тоог үржүүлэх гэдэг нь натурал тоонуудын олон тооны N дээр тодорхойлогддог алгебрийн үйлдэл бөгөөд (a, b) хос бүрт a * b тоог өгч, шинж чанарыг (аксиом) хангадаг: 1. (∀a є N)a∙1 = a ; 2. (∀ a,b є N) a∙b" = a∙b + a. a∙b тоог a, b тоонуудын үржвэр гэж нэрлэдэг ба a, b тоонууд нь өөрөө хүчин зүйл юм. Теорем 1. Үржүүлэх натурал тоонууд байдаг бөгөөд энэ нь өвөрмөц юм Үржүүлэх үйл ажиллагааны тодорхойлолтыг ашиглан бид нэг оронтой тоог үржүүлэх хүснэгтийг үүсгэнэ: a) 1×1=3×1=4; г.м. 1); +1=4 гэх мэт (2-р теорем дээр үндэслэн).(∀a,b,c є N)(a+b)∙ c = a∙c + b∙c ба b-г дур зоргоороо сонгох ба в-г өөр авна байгалийн үнэт зүйлс. (a + b)c = a∙c + b∙c тэгшитгэл үнэн болох бүх ба зөвхөн эдгээр натурал тоо c c олонлогийг M-ээр тэмдэглэе. c=1-ийн хувьд (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1 үнэн болохыг харуулъя, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Дурын сонгосон c тооны хувьд хуваарилалтын хуулийг хангая, өөрөөр хэлбэл (a+b)∙c = a∙c + b∙c тэгш байдал үнэн. Таамаглал дээр үндэслэн бид тэгш байдлын үнэн зөвийг нотлох болно: c" тооны хувьд (a + b)∙c" = a∙c" + b∙c". Ингээд авч үзье зүүн талтэгш байдал ба зөвтэй тэнцүү болохыг харуул: (a + b)∙c" = (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c)+ (a+b) = (a ∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c' Энэ тэгш байдал (a + b)∙c = a∙c + b∙c ямар ч натурал тооны хувьд үнэн. c, a, b тоонууд дур зоргоороо сонгогдсон тул энэ тэгшитгэл нь дурын a ба b-д хүчинтэй байна Үржүүлэхийн зүүн тархалтын хууль үүнтэй төстэй байдлаар нотлогддог: (∀а,b,с є N)а ∙(b. +с)= а∙b+а ∙с теорем 3. (∀ a,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-ассоциатив теорем 4. (∀a,. b є N) a∙b = b∙a.- үржүүлэх үйлдэл нь хоёр хуулийг хангана: ab = bа (үржүүлэхийн солих хууль), а(bс) = (аb)с (үржүүлэх ассоциатив хууль) Мөн байдаг. Нэмэх ба үржүүлэхийг холбосон хууль: а(b +) = ab + ac (тархалтын хууль) Хүснэгт нь мөр, багана нь хүчин зүйлээр тэмдэглэгдсэн, хүснэгтийн нүднүүд нь үржвэрийг агуулсан хүснэгт юм үржүүлэхийг заахад ашигладаг.
Натурал тооны нэмэхнь дараах хоёр аксиомыг хангасан хоёртын үйлдэл юм.
C1: a + 1 = a /
C2: a + b / = (a + b) /
Жишээ.Тодорхойлолт дээр үндэслэн бид 2 + 2 нийлбэрийг олно.
2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.
Теорем 1(нэмэлтийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын талаар). a ба b натурал тоонуудын хос бүр нь нэмэхийн тодорхойлолтыг (C1 ба C2 аксиомууд) хангадаг өвөрмөц тодорхойлсон a + b нийлбэртэй тохирч байна.
Баталгаа.Өвөрмөц байдал. С1 ба С2 нөхцөлийг хангасан + үйлдлээс гадна С1 / ба С2 / нөхцөлийг хангасан өөр нэг үйлдэл байна гэж үзье.
C1 / : a 1 = a /
C2 / : a b / = (a b) /
Тэгвэл дурын натурал тоонуудын хувьд дараах тэгшитгэл биелнэ: a + b = a b.
Бид b хувьсагч дээр математик индукцийн аргыг ашиглан нотлох ажлыг гүйцэтгэнэ. b = 1-ийн хувьд C1 ба C1 дээр үндэслэн бид дараахь зүйлийг авна.
a + 1 = a / = a 1
Тиймээс b = 1-ийн хувьд энэ өмчшударга.
Индукцийн таамаглал: a + k = a k
b = k / хувьд энэ мэдэгдлийг баталцгаая:
C2 a + k / = (a +k) / дээр үндэслэсэн.
Натурал тоонуудын тодорхойлолтоос А 2 аксиом дээр үндэслэсэн индукцийн таамаглалаас a + k = a k => (a + k) / = (a k) /, үүнээс C2 ба С2 / нөхцлийн дагуу бид . :
a + k / = (a +k) / = (a k) / = a k / ,
энэ нь шаардлагатай байсан юм.
Оршихуй. Оруулсан индуктив тодорхойлолт нь ямар ч хоёр дахь гишүүний (б элемент) нийлбэрийг олох боломжийг олгодог. Аливаа эхний гишүүний (а элемент) нийлбэрийг олох боломжтой эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид өөрсдөө (*) ба (**) нөхцлийг хангасан үйлдлийг нэвтрүүлдэг.
(**) a / + b = (a + b) / .
Бидний оруулсан үйлдэл нь нэмэх, өөрөөр хэлбэл С1 ба С2 нөхцөлийг хангасан гэдгийг баталцгаая. Бид нотлох баримтыг индукцээр хийх болно.
С1 нотлох баримтаас эхэлцгээе. Индукцийн суурь: a = 1-ийн хувьд
1 + 1 = 1 / (нөхцөл (*) дээр үндэслэн).
Индукцийн таамаглал: k + 1 = k /
Индукцийн алхам: a = k / хувьд k / + 1 = (k /) / гэдгийг батлах шаардлагатай.
(**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / нөхцөл дээр үндэслэсэн (индуктив таамаглалаар). Тиймээс бүх байгалийн а-д C1 нөхцөл хангагдсан байна.
С2: (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / нөхцөлөөр a = 1-ийн хувьд.
Индукцийн таамаглал (i.p.): k + b / = (k + b) / .
a = k / хувьд k / + b / = (k / + b) / гэдгийг батлах шаардлагатай.
Энд тэгш байдал бүрийн дээр үндэслэлийг зааж өгсөн болно - энэ тэгш байдлыг хангах үндсэн дээр өмч. Тиймээс C2 нөхцөл нь бүх байгалийн а-д бас хангагдана. Теорем бүрэн батлагдсан.
Теорем 2. Аливаа натурал тоонуудын хувьд a, b, c, Нэмэлтийн ассоциатив хууль(a.z.s.): (a + b) + c = a + (b +c)
Баталгаа(c дээрх индукцаар): c = 1-ийн хувьд бид:
Индукцийн таамаглал: (a+b)+k = a+(b+k).
Индукцийн зарчмын дагуу бид одоо үүнийг батлах хэрэгтэй
(a+b)+k / = a+(b+k /). Үүнийг баталъя.
Тиймээс k /-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн тул индукцийн теоремын дагуу аливаа натурал тоонуудад ассоциатив хууль хүчинтэй байна.
Теорем 3.Аливаа натурал тооны хувьд нэмэх солих хууль (LLA) a + b = b + a биелнэ.
Теоремыг батлахын өмнө лемма бичье.
Лемма 1. a + 1 = 1 + a (L1)
Үүнийг а дээр индукцийн аргаар баталъя. Индукцийн суурь: 1 + 1 = 1 + 1 (шударга)
Индукцийн таамаглал: k + 1 = 1 + k.
Индукцийн алхам: k / + 1 = 1 + k / гэдгийг баталцгаая.
Лемма нь батлагдсан.
Одоо бид теоремыг b дээр индукцаар баталж байна. b = 1-ийн хувьд Лемма 1-ээр теорем үнэн болно.
Индукцийн таамаглал: a + k = k + a.
Индукцийн алхам:
Теорем 4.Хоёр тооны нийлбэр нь ямар ч нөхцөлтэй тэнцүү биш байна:
Баталгаа b-ийн индукцаар: b = 1-ийн хувьд теоремын мэдэгдэл натурал тооны тодорхойлолтоос (a / 1) аксиом 1-ээр үнэн болно.
Индукцийн таамаглал: a + k k.
Индукцийн таамаглал ба 1.2-р зүйлийн 1-р теоремоос (a + k) / k / . C2-г ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
a + k / = (a + k) / k / .
Теорем 5. a = b => a + c = b + c.
Баталгаа(в дээрх индукцаар):
a = b => (A 2-оор) a / = b / => (C1-ээр) a + 1 = b +1.
Индукцийн таамаглал: a = b => a + k = b+k.
a = b нь a + k / = b + k / -ийг агуулж байгааг баталцгаая.
Тиймээс k /-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн тул индукцийн теоремын дагуу теорем нь аливаа натурал тоонуудад хүчинтэй байна.
Дүгнэлт 1. a + c b + c = > a b (баталгааг зөрчилдөөн хийж, уншигчдад үлдээдэг).
Теорем 6. a + c = b + c => a = b.
Баталгаа(в дээрх индукцаар):
a + 1 = b + 1 => a / = b / => a = b (C1 ба A 3-ын дагуу).
Индукцийн таамаглал: a + k = b + k => a = b.
a + k / = b + k / a = b гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Эндээс k /-ийн хувьд мэдэгдэл нь үнэн бөгөөд энэ нь бидний теоремыг баталж байна.
Дүгнэлт 2. a b = > a + c b + c (зөрчилөөр нотлох).
a + x = b (a, b нь натурал тоо, х нь хувьсагч) тэгшитгэлийн шийдэл нь ийм натурал c тоо бөгөөд тэгшитгэлд x-ийн оронд орлуулах үед зөв тоон тэгшитгэл нь a + c = b болно. олж авсан
Теорем 7.Хэрэв a + x = b тэгшитгэл нь шийдэлтэй бол энэ шийдэл нь өвөрмөц байна.
Баталгаа: 1 ба 2-той хоёр шийдэл байна гэж бодъё. Дараа нь a + c 1 = b ба a + c 2 = b, эндээс a + c 1 = a + c 2, теорем 6 ба солих хуулиар энэ нь c 1 = c 2 (өөрөөр хэлбэл шийдэл нь өвөрмөц гэсэн үг юм. ).
Бие даасан шийдлийн даалгавар
дугаар 1.2. 5+3 натурал тоог нэмэх тодорхойлолт дээр үндэслэн нэмнэ үү. Доор үзүүлсэн натурал тоонуудын загварт ижил үйлдлийг гүйцэтгэнэ.
a) (3, 4, 5...); n / = n +1
б) (n –2, n З); n / = n +1
в) сондгой натурал тоо, n / = n +2
d) Бүхэл тоо 
дугаар 1.3. Аливаа натурал n тооны тэгшитгэлийг батал.
a) 1 + 2 + …+ n = 
;
б) 1 2 + 2 2 + … + n 2 = 
;
в) 1 3 + 2 3 + … + n 3 = 
;
d) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;
д) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 = 
;
e) 12 + 23 + … + (n – 1)n = 
;
ба) 
;
h) 
.
Багана нэмэх буюу тэдний хэлснээр багана нэмэх нь олон оронтой натурал тоог нэмэхэд өргөн хэрэглэгддэг арга юм. Энэ аргын мөн чанар нь хоёр ба түүнээс дээш тооны нэмэлт юм олон оронтой тооцөөхөн хэд болж ирдэг энгийн үйлдлүүднэг оронтой тоог нэмэх.
Нийтлэлд хоёр ба нэмэхийг хэрхэн гүйцэтгэх талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно илүүолон оронтой натурал тоонууд. Баганад тоо нэмэх дүрэм, багананд тоо нэмэхэд үүсдэг хамгийн ердийн нөхцөл байдлын дүн шинжилгээ бүхий шийдлүүдийн жишээг өгсөн болно.
Баганад хоёр тоог нэмэх: та юу мэдэх хэрэгтэй вэ?
Багана нэмэх үйлдэл рүү шууд шилжихээсээ өмнө заримыг нь харцгаая чухал цэгүүд. Учир нь хурдан хөгжилХүссэн материал:
- Нэмэх хүснэгтийг мэдэж, сайн ойлгоорой. Тиймээс завсрын тооцоог хийхдээ цаг хугацаа алдах шаардлагагүй бөгөөд нэмэлт хүснэгтэд байнга ханддаг.
- Натурал тоог нэмэх шинж чанарыг санаарай. Ялангуяа тэг нэмэхтэй холбоотой шинж чанарууд. Тэднийг товч дурдъя. Хэрэв хоёр гишүүний аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол нийлбэр нь нөгөө гишүүнтэй тэнцүү байна. Хоёр тэгийн нийлбэр нь тэг байна.
- Натурал тоог харьцуулах дүрмийг мэдэх.
- Натурал тооны цифр гэж юу болохыг мэдэх. Цифр гэдэг нь тухайн тооны тэмдэглэгээн дэх цифрийн байрлал, утга гэдгийг санаарай. Цифр нь тоон дахь цифрийн утгыг тодорхойлдог - нэгж, арав, зуу, мянга гэх мэт.
Баганад тоо нэмэх алгоритмыг ашиглан тайлбарлая тодорхой жишээ. 724980032 ба 30095 тоог нэмье. Эхлээд та баганад нэмэх бичих дүрмийн дагуу эдгээр тоонуудыг бичих хэрэгтэй.
Тоонууд нь нэг нэгнийхээ доор бичигдсэн, орон бүрийн цифрүүд нь нөгөөгийнхөө доор байрладаг. Бид зүүн талд нэмэх тэмдэг тавьж, тоонуудын доор хэвтээ шугам зурна.
Одоо бид сэтгэцийн хувьд бичлэгийг зэрэглэлээр нь багана болгон хуваадаг.
Зөвхөн нугалах л үлдлээ нэг оронтой тообагана бүрт.
Бид хамгийн баруун талын баганаас (нэгжийн цифр) эхэлдэг. Бид тоонуудыг нэмж, шугамын доор нэгжийн утгыг бичнэ. Хэрэв нэмэх үед аравтын утга тэгээс ялгаатай байвал энэ тоог санаарай.
Хоёр дахь баганад байгаа тоонуудыг нэмнэ үү. Үүний үр дүнд бид өмнөх алхам дээр санаж байсан аравтын тоог нэмнэ.
Бид бүх үйл явцыг багана бүрээр, зүүн тийшээ давтана.
Энэхүү танилцуулга нь баганад натурал тоог нэмэх алгоритмын хялбаршуулсан диаграмм юм. Одоо бид аргын мөн чанарыг ойлгосон тул алхам бүрийг нарийвчлан авч үзье.
Эхлээд бид нэгжүүдийг, өөрөөр хэлбэл баруун баганад байгаа тоонуудыг нэмнэ. Хэрэв бид 10-аас бага тоо авсан бол ижил баганад бичээд дараагийнх руу шилжинэ. Хэрэв нэмэхийн үр дүн 10-аас их буюу тэнцүү бол эхний баганын шугамын доор бид нэгжийн байршлын утгыг бичиж, аравтын орны утгыг санах болно. Жишээлбэл, энэ тоо 17 болж хувирав. Дараа нь бид 7 дугаарыг бичнэ - нэгжийн үнэ цэнэ, аравтын утга - 1 - бид санаж байна. Тэд ихэвчлэн: "Бид долоо, нэгийг оюун ухаандаа бичдэг" гэж хэлдэг.
Бидний жишээн дээр эхний баганад байгаа тоонуудыг нэмэхэд бид 7 гэсэн тоог авна.
7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.
Дараа нь бид дараагийн баганад, өөрөөр хэлбэл аравтын оронд тоонуудыг нэмнэ. Бид ижил үйлдлүүдийг хийдэг, зөвхөн бидний санаж байсан тоог нэмэх хэрэгтэй. Хэрэв дүн нь 10-аас бага бол хоёр дахь баганын доор дугаарыг бичнэ үү. Хэрэв үр дүн нь 10-аас их эсвэл тэнцүү бол бид хоёр дахь баганад энэ тооны нэгжийн утгыг бичиж, аравтын тооноос эхлэн тоог санаарай.
Манай тохиолдолд бид 3 ба 9-ийн тоог нэмснээр 3 + 9 = 12 болно. Бид өмнөх алхамд юу ч санахгүй байгаа тул энэ үр дүнд юу ч нэмэх шаардлагагүй.
12 > 10, тиймээс хоёр дахь баганад бид нэгжийн 2-ын тоог бичиж, аравтын орон дахь 1-ийн тоог хадгална. Тохиромжтой болгохын тулд та энэ дугаарыг дараагийн баганын дээр өөр өнгөөр бичиж болно.
Гурав дахь баганад цифрүүдийн нийлбэр нь тэг (0 + 0 = 0) байна. Энэ нийлбэр дээр бид өмнө нь санаж байсан тоог нэмээд 0 + 1 = 1 болно. бичих:
Дараагийн багана руу шилжихдээ бид мөн 0 + 0 = 0 нэмээд үр дүнг 0 гэж бичнэ, учир нь бид өмнөх алхам дээр юу ч санахгүй байсан.
Дараагийн алхам нь 8 + 3 = 11 болно. Баганад бид нэгжийн цифрээс 1-ийн тоог бичнэ. Бид аравтын тооноос 1-ийн тоог санаж, дараагийн багана руу шилждэг.
Энэ баганад зөвхөн нэг тоо 9 байна. Хэрэв бидний санах ойд 1-ийн тоо байхгүй байсан бол бид зүгээр л хэвтээ шугамын доор 9-ийн тоог дахин бичих болно. Гэсэн хэдий ч бид өмнөх алхам дээр 1-ийн тоог санаж байсан тул 9 + 1-ийг нэмж, үр дүнг бичих хэрэгтэй.
Тиймээс бид хэвтээ шугамын доор 0 гэж бичээд дахин нэгийг санаарай.
Дараагийн багана руу шилжиж, 4 ба 1-ийг нэмж, үр дүнг мөрний доор бичнэ үү.
Дараагийн баганад зөвхөн 2-ын тоог агуулна. Тиймээс өмнөх алхамд бид юу ч санахгүй байсан тул бид энэ дугаарыг мөрний доор дахин бичсэн.
Бид 7 дугаарыг агуулсан сүүлчийн баганатай ижил зүйлийг хийдэг.
Багана байхгүй, санах ойд юу ч байхгүй тул багана нэмэх үйл ажиллагаа дууссан гэж хэлж болно. Мөрний доор бичигдсэн тоо нь дээд хоёр тоог нэмсний үр дүн юм.
Бүх боломжит нюансуудыг ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Жишээ 1. Баганад натурал тоог нэмэх
21 ба 36 гэсэн хоёр натурал тоог нэмье.
Эхлээд баганад нэмэхийг бичих дүрмийн дагуу эдгээр тоог бичье.
Баруун баганаас эхлэн бид тоо нэмж оруулдаг.
7-оос хойш< 10 , записываем 7 под чертой.
Хоёр дахь баганад байгаа тоонуудыг нэмнэ үү.
5-аас хойш< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат
Санах ойд өөр тоо байхгүй бөгөөд дараагийн баганад нэмэх ажил дуусна. 21 + 36 = 57
Жишээ 2. Баганад натурал тоог нэмэх
47 + 38 гэж юу вэ?
7 + 8 = 15 тул мөрний доорх эхний баганад 5 гэж бичээд 1-ийг санаарай.
Одоо бид аравтын цэгээс утгыг нэмж байна: 4 + 3 = 7. Нэгийг мартаж, үр дүнд нь нэмээрэй.
7 + 1 = 8. Бид үүссэн тоог мөрний доор бичнэ.
Энэ бол нэмэлтийн үр дүн юм.
Жишээ 3. Баганад натурал тоог нэмэх
Одоо хоёрыг авъя гурван оронтой тоомөн тэдгээрийн нэмэлтийг гүйцэтгэнэ.
3 + 9 = 12 ; 12 > 10
Мөрний доор 2 гэж бичээд 1-ийг санаарай.
8 + 5 = 13 ; 13 > 10
Бид 13 ба цээжилсэн нэгжийг нэмээд бид дараахь зүйлийг авна.
13 + 1 = 14 ; 14 > 10
Бид мөрний доор 4 гэж бичээд 1-ийг санаарай.
Өмнөх алхам дээр бид 1-ийг санаж байсныг бүү мартаарай.
Бид мөрний доор 0 гэж бичээд 1-ийг санаарай.
Сүүлийн баганад бид өмнө нь санаж байсан нэгжийг шугамын доор шилжүүлж, нэмэлтийн эцсийн үр дүнг авна.
783 + 259 = 1042
Жишээ 4. Баганад натурал тоог нэмэх
56927 ба 90 тоонуудын нийлбэрийг олъё.
Ердийнх шигээ эхлээд бид нөхцөлийг бичнэ.
7 + 0 = 7 ; 7 < 10
2 + 9 = 11 ; 11 > 10
Бид мөрний доор 1-ийг бичиж, 1-ийг санаж, дараагийн багана руу шилжинэ.
Бид мөрний доор 0 гэж бичээд 1-ийг санаж, дараагийн багана руу шилжинэ.
Баганад нэг тоо 6 байна. Бид үүнийг санаж байгаа нэгжээр нэмнэ.
6 + 1 = 7 ; 7 < 10
Бид мөрний доор 7 гэж бичээд дараагийн багана руу шилжинэ.
Баганад нэг тоо 5 байна. Бид үүнийг шугамын доор шилжүүлж, нэмэх үйлдлийг дуусгана.
56927 + 90 = 57017
Бид дараах жишээг өгөлгүй өгөх болно завсрын үр дүнпрактикт баганын нэмэхийг хэрхэн бичих тухай тайлбар.
Үүгээр аравыг аравт, зуутыг зуугаар нэмэх гэх мэтийг хэрхэн ашиглахыг олж мэдье.
8 арав, 9 аравыг нэмье. Нэмэх хүснэгтээс бид 8+9=10+7 болохыг олж мэднэ. Иймд 8 арав, 9 аравтыг нэмбэл 10 арав ба 7 аравтын нийлбэр, өөрөөр хэлбэл 100 ба 70-ын нийлбэрийг авна. Тиймээс 80+90=100+70. 100+70 нийлбэр нь нийлбэрийг илэрхийлнэ битийн нэр томъёо 170 тоо. Эдгээр бүх аргументуудыг дараалсан тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой: 80+90=100+70=170. Ийм тэмдэглэгээ нь тэнцүү тэмдгээр тусгаарлагдсан бүх илэрхийллийн утга тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Материалыг нэгтгэхийн тулд шийдлийг өөр жишээнд авч үзье. 4000+7000 нэмэхийг хийцгээе. Нэмэх хүснэгт нь 4+7=10+1 тэгшитгэлийг өгдөг. Тэгэхээр 4 мянга 7 мянгыг нэмбэл 10 мянга 1 мянгыг нэмсэнтэй адил. Тиймээс 4,000+7,000=10,000+1,000. Сүүлийн нийлбэр нь натурал тооны 11,000-ын оронтой тоонуудын өргөтгөл юм. Бидэнд байна 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .
Дурын натурал тоог нэмэх.
Дурын натурал тоог нэмэхийн өмнө бид цифрүүдийн нийлбэрийн нийтлэл дэх материалыг сайтар судалж үзэхийг зөвлөж байна, ингэснээр та ямар ч натурал тоог эргэлзэлгүйгээр оронтой тоонд задлах, мөн эргэлзэлгүйгээр мэдэгдэж буй тоонуудыг ашиглах боломжтой болно. задралын үед та задарсан натурал тоог нэн даруй бичиж болно. Энэ нь танд дурын натурал тоог нэмэхэд хэр хялбар болохыг шууд тодорхойлох болно.
Үйлдлүүдийн дарааллыг тайлбарлая:
- бид нэр томъёог тэдгээрийн өргөтгөлөөр цифрээр солино;
- нэр томьёо нь нэгийн хажууд, арав нь аравтын хажууд, зуут нь зуутын хажууд байхаар дахин цэгцлэх;
- бид нэгийг нэгтэй, дараа нь аравыг аравтай, дараа нь зуутыг зуугаар нэмэх гэх мэт;
- өмнөх бүх үйлдлүүд нь биднийг нийлбэр рүү хөтөлдөг бөгөөд энэ нь натурал тооны цифрүүд рүү тэлэх явдал юм;
- эцэст нь бид шаардлагатай тоог өргөтгөлөөр нь бичнэ.
Хоёр натурал тоог нэмэхийг жишээ болгон авч үзье.
Жишээ.
36+2 нэмэлтийг гүйцэтгэнэ.
Шийдэл.
36 тоог оронтой тоонд задлах нь 30+6 хэлбэртэй, 2 тоо нь 2 хэлбэртэй байна. Дараа нь 36+2=30+6+2.
Энэ жишээн дээр бид нэр томъёог өөрчлөх шаардлагагүй, учир нь тэдгээр нь бидэнд хэрэгтэй дарааллаар байна.
Одоо бид нэгжүүдийг нэмнэ: 6+2=8. Тиймээс 30+6+2=30+8.
Бид 38-тай тэнцэх 30+8 нийлбэрт ирлээ.
Ингээд шийдийг дараах байдлаар бичиж болно: 36+2=30+6+2=30+8=38.
Хариулт:
36+2=38 .
Жишээ.
57 ба 17 тоог нэмнэ үү.
Шийдэл.
Учир нь 57=50+7, мөн 17=10+7, дараа нь 57+17=50+7+10+7.
Нөхцөлүүдийг өөрчилсний дараа нийлбэр нь дараах хэлбэртэй болно: 50+10+7+7.
Одоо бид нэгжүүдийг нэмнэ (хэрэв та цээжээр санахгүй байгаа бол нэмэх хүснэгтээс үзнэ үү): 7+7=10+4.
Тиймээс 50+10+7+7=50+10+10+4.
Бид аравыг нэмэх, өөрөөр хэлбэл 50, 10, 10 гэсэн гурван гишүүний нийлбэрийг олох руу шилждэг. Эхлээд 50 ба 10-ыг нэмээд дараа нь үлдсэн 10 тоог үр дүнд нэмнэ. Явцгаая: 50+10=60, 5+1=6 тул 50+10+10=60+10=70, 6+1=7.
Бидэнд 50+10+10+4=70+4 байна. Сүүлийн нийлбэр нь 74-ийн цифрүүдийн задрал юм.
Тэгэхээр 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .
Хариулт:
57+17=74 .
Жишээ.
3007 ба 200 тоонуудын нийлбэрийг тооцоол.
Шийдэл.
3007 тоог цифр болгон задлах нь 3000+7 хэлбэртэй, 200 тоо нь 200 хэлбэртэй байна. Дараа нь 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Бид 3207 тооны цифрийн өргөтгөлийг олж авлаа. Ингээд 3,007+200=3,207 болно.
Хариулт:
3 007+200=3 207 .
Жишээ.
28,301 ба 73,745 тоог нэм.
Шийдэл.
28,301=20,000+8,000+300+1, 73,745=70,000+3,000+700+40+5 гэсэн тоонуудыг оронтой тоонд хуваая.
Дараа нь
28 301+73 745=
20 000+8 000+300+1+70 000+
3 000+700+40+5=
20 000+70 000+8 000+
3 000+300+700+40+1+5
.
(Тэгш байдлыг дараагийн мөрөнд шилжүүлэхэд “=” тэмдгийг дахин бичнэ).
Нэгжийг нэмнэ үү: 1+5=6. Үүний дараа 20,000+70,000+8,000+ 3,000+300+700+40+1+5= 20,000+70,000+8,000+ 3,000+300+700+40+6 байна.
Арав нэмэх шаардлагагүй.
Бид 300+700=1000-ыг нэмдэг, учир нь 3+7=10. Энэ үе шатанд бид 20,000+70,000+8,000+ 3,000+300+700+40+6= 20,000+70,000+8,000+ 3,000+1000+40+6 байна.
Бид хэдэн мянгаараа нэмдэг. 8+3=10+1 тул 8,000+3,000+1,000= 10,000+1,000+1,000= 10,000+2,000 болно. Энэ үе шатанд бид авдаг
20 000+70 000+8 000+
3 000+1 000+40+6=
20 000+70 000+10 000+2 000+40+6
.
Хэдэн арван мянган тоог нэм: 20,000+70,000+10,000= 90,000+10,000=100,000. Дараа нь 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .
100,000+2,000+40+6 нийлбэр нь 102,046 тоотой тэнцэнэ.
Хариулт:
28 301+73 745=102 046 .
Энэ зүйлийн төгсгөлд олон оронтой натурал тоог баганад нэмэх нь тохиромжтой гэдгийг бид тэмдэглэж байгаа тул нийтлэл дэх материалыг судлахыг зөвлөж байна.
Координатын туяа дээрх натурал тоог нэмэх.
Энэ догол мөрийн зорилго нь танилцуулах явдал юм геометрийн тайлбарнатурал тоог нэмэх үйлдлүүд. Энэ зорилгодоо хүрэхэд бидэнд туслах болно. Бид координатын цацрагийг хэвтээ ба баруун талд байрлуулсан гэж үзэх болно.
Асаалттай координатын туяа a ба b натурал хоёр тоог нэмэх нь дараах үйлдлүүдийн дараалал юм. Эхлээд бид а координаттай цэгийг олно. Энэ үеэс эхлэн бид b нэгжийн сегментүүдийг ар араас нь байрлуулж, гарал үүслийн цэгээс зай гарах болно. Энэ нь биднийг координат туяа дээрх координат нь натурал тоо болох цэг рүү аваачна. нийлбэртэй тэнцүү байна a+b . Өөрөөр хэлбэл, а координаттай цэгээс баруун тийшээ b зай руу шилжиж, яг тэр үед координат нь a ба b тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү цэгт хүрнэ.
Тодорхой болгохын тулд жишээ хэлье. Координатын туяа дээрх натурал 2 ба 4 тоог нэмэх нь юуг илэрхийлж байгааг харцгаая (доорх зургийг харна уу). Координат 2-той цэгээс бид 4 нэгж сегментийг зурна. Үүний дараа бид координат нь 6 дугаартай цэг рүү хүрнэ. Тиймээс 2+4=6.
Натурал тоог хасах замаар нэмэх үр дүнг шалгах.
Хасах үйлдлийг ашиглан натурал тоог нэмэх үр дүнг шалгах нь нэмэх, хасах хоёрын хооронд нэлээд тодорхой холболт дээр суурилдаг. Дараах жишээн дээр үндэслэн энэ холболтыг олоход хялбар байдаг.
Бидэнд 7 алим, 2 лийр авцгаая. Эдгээр жимсийг нийлүүлээд натурал тоог нэмэхийн утга учир 7+2=9 нийлбэрийг тодорхойлно. нийт тоо хэмжээжимс. Жимс жимсгэнээс 7 алимыг (нийт 9) хойш нь тавьбал нөгөө талд 2 лийр үлдэх нь тодорхой байна. Натурал тоог хасах утга учир тайлбарласан үйлдэл нь 9−7=2 тэгшитгэлтэй тохирч байна. Үүний нэгэн адил, хэрэв та 2 лийрийг хамтад нь тавьсан жимсний хажуу талд тавивал нөгөө талдаа 7 алим үлдэнэ. Энэ үйлдэл нь 9−2=7 тэгшитгэлтэй тохирч байна.
Үзэж буй жишээ нь биднийг дүрэм рүү хөтөлж, томъёолол нь дараах байдалтай байна. Хэрэв та хоёр натурал тооны нийлбэрээс нэг гишүүнийг хасвал үр дүн нь нөгөө гишүүн болно. Энэ дүрмийг дараах байдлаар үсэг ашиглан бичнэ: if a+b=c натурал тоог хасах.
Нэмэлтийн үр дүнг шалгая. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн нийлбэр 163-аас 106 гишүүнийг хасаад хоёр дахь гишүүн 57-той тэнцэх тоо гарах эсэхийг харна уу. Бидэнд 163−106=57 байна. Тиймээс туршилт амжилттай болсон бөгөөд нэмэлтийг зөв хийсэн гэж хэлж болно.
Хариулт:
106+57=163 .
Лавлагаа.
- Математик. Ерөнхий боловсролын байгууллагын 1, 2, 3, 4-р ангийн аливаа сурах бичиг.
- Математик. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 5-р ангийн аливаа сурах бичиг.
Энэ хичээлээр та натурал тоог нэмэх болон түүнийг зохицуулдаг хуулиудыг мэддэг болно. Эдгээр хуулиудыг ашигласнаар тоо нэмэх нь илүү тохиромжтой гэдгийг олж мэдээрэй. Мөн зарим жишээг шийдээрэй.
BAN + KA = БАНК
Гэхдээ заримдаа тэд үүнийг эсрэгээр хийдэг: KA + BAN = BOAR
Лена, Ваня хоёр хувин руу ус хийнэ. Лена хоёр литрийн савтай устай, Ваня гурван литрийн савтай. Тэд ямар дарааллаар ус асгах нь хамаагүй юу? Үгүй Ямар ч тохиолдолд ижил хэмжээний ус (5 литр) байх болно.
Хоёр жишээнд хоёр хэсгийг нэмсэн. Гэхдээ эхний тохиолдолд дараалал нь чухал байсан бөгөөд хэрэв бид нөхцөлүүдийг дахин зохицуулбал үр дүн өөрчлөгдсөн. Хоёр дахь тохиолдолд, захиалга нь чухал биш байсан бол нөхцөлийг сольж болно.
Тооцоолох: .
Тооцоолох: .
Тэр нь 
.
Эдгээр гурван оруулга нь ижил тоо хэмжээг илэрхийлнэ.
Үг, устай жишээнүүдийг санаж, бид ийм таамаглалд хүрдэг математикийн нэмэлтУсны хоёр дахь жишээтэй төстэй бөгөөд нэр томъёог сольж болно.
Нэмэхдээ юу хийж болох, юу хийж болохгүйг ойлгохын тулд энэ нь юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. 5 ба 3-ыг нэмэх нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь 5 нэгж, 3 нэгж нэмэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Та тэдгээрийг саваагаар төсөөлж болно (1-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 1. Нэмэлтийг илэрхийлэх
"Эвхэх" гэдэг үг нь нэг овоонд хийх гэсэн утгатай. Тэгээд нийтдээ хичнээн их байгааг тоол. Та наймыг авна (2-р зургийг үз).
Том овоолго дахь нэгж эсвэл савхны тоог үргэлж тоолж болно. Өөрөөр хэлбэл, ямар ч хоёр бүлгийн савааг нэг том болгон нугалж болно. Мөн тодорхой тооны саваа байх болно.
Математикийн хэлээр үүнийг дараах байдлаар хэлж болно: дурын хоёр натурал тоог нэмж болно. Үр дүн нь шинэ натурал тоо болно.
Тоонуудыг нэр томъёо гэж нэрлэдэг. Тоо нь тоонуудын нийлбэр ба . Бичлэгийг өөрөө нийлбэр гэж нэрлэдэг.
Хоёр бүлгийг нэг том нэгж болгон нэмэхдээ та үүнийг хоёр аргаар хийж болно.
1) эхний бүлэгт секунд нэмэх,
2) эхнийхийг хоёр дахь дээр нэмнэ.
Үүнийг ямар дарааллаар хийх нь хамаагүй. Эхлээд таван нэгжийг авч, гурвыг нь нэмнэ үү эсвэл эсрэгээр. Өөрөөр хэлбэл, бид том овоолгын дотор хэд хэдэн элементийг зүгээр л сольсон. Гэхдээ энэ нь тэдний тоог өөрчлөхгүй. Үр дүн нь үргэлж ижил байх болно. Нийтлэг овоолгод үргэлж ижил тооны нэгж, саваа байх болно. IN энэ тохиолдолднайм.
Математикийн хэлээр үүнийг дараах байдлаар хэлж болно: нэр томъёог дахин цэгцлэх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй.
Тэгэхээр 
, учир нь хоёр нийлбэр нь 8-тай тэнцүү.
ХАМТ их тооэнэ хууль бас ажилладаг: . Эдгээр хоёр хэмжээ нь хоорондоо тэнцүү байна. Үүнийг ойлгохын тулд тоолох шаардлагагүй. Нөхцөлүүдийг өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй гэдгийг бид мэднэ.
Одоо бидэнд гурван тоо (гурван бүлэг нэгж) байгаа бөгөөд бид тэдгээрийг нэмэх хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг нэг овоонд хийнэ. Хоёр сонголт байна:
1) эхнийх нь хоёр дахь, дараа нь гурав дахь нь нэмэх,
2) эхний хоёр дахь, гурав дахь нь аль хэдийн нугалж урьдчилан нэмнэ.
Ямар ч ялгаа байхгүй. Бид үргэлж ижил багц, саваа авах болно. Шинэ нь гэнэт гарч ирэхгүй, байгаа нь ч алга болохгүй.
Хэрэв бид үүнийг тоогоор бичвэл:
Хэрэв та ямар нэг гурван тоог нэмбэл эхний хоёр тоог нэмж эсвэл сүүлийн хоёр тоог нэмж болно. Хэд хэдэн нэр томъёо нэмэх үед хийх үйлдлүүдийн дараалал чухал биш юм.
Эдгээр хууль нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой.
Бид ямар ч дарааллаар нэмж болно. Тохиромжтой дарааллыг сонгоцгооё. Ингээд харцгаая сүүлийн цифрүүд. Хэрэв тэд 10 хүртэл тоог нэмбэл тэднээс эхэлж оролдсон нь дээр, нэмэхэд илүү хялбар болно. Хоёрдахь гишүүний төгсгөлд 6, гурав дахь гишүүн нь 4, нийлбэр нь 10 болж байгаа тул эхлээд тэдгээрийг нэмээд дараа нь эхний гишүүнийг нэмье.
Эхлээд ба сүүлийн дугаартаваар төгсөх нь нийлбэр тэгээр төгсөнө гэсэн үг, энэ нь тохиромжтой. Гэхдээ тэд дараалан ороогүй байна. 39 ба 295-ыг сольж үзье.
Санаа нь энгийн: хэрвээ бид хэд хэдэн тоог нэг дор нэмэх шаардлагатай бол бид хүссэнээрээ дахин цэгцэлж, үйлдлүүдийг дурын дарааллаар гүйцэтгэх боломжтой.
Эхний тоог сүүлчийн, хоёр дахь тоог гурав дахь тоогоор нэмэх нь тохиромжтой.
Тус бүр нь тодорхой тооны алимтай хэд хэдэн ваартай болцгооё. Та нийт хэдэн алим байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Бүх алимыг нэг овоонд хийж, тоолох шаардлагагүй. Ваар бүрт хэдэн алим байгааг цаасан дээр бичээд эдгээр тоог нэмье. Жишээлбэл, 
.
Хэрэв зарим ваар хоосон байвал бид 0 алим байна гэж бичих бөгөөд нийт тоо нь дараах байдалтай байна. 
.
Хоосон ваар нь нийт алимны тоонд нөлөөлдөггүй. Өөрөөр хэлбэл, тэг нэмэхэд анхны хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөхгүй: .
