Гауссын арилгах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх. Гауссын арга: шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритмын тайлбар, жишээ, шийдлүүд

Бид системийг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно шугаман тэгшитгэл. Энэ хичээл нь сэдвийн гурав дахь хичээл юм. Хэрэв та ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэлийн систем гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол, хэрэв та цайны сав шиг санагдаж байвал би дараагийн хуудасны үндсэн мэдээллээс эхлэхийг зөвлөж байна. Дараа нь хичээлийг судлах нь ашигтай юм.

Гауссын арга амархан!Яагаад? Германы алдарт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуй цагтаа хүлээн зөвшөөрөгдсөн. хамгийн агуу математикчбүх цаг үеийн суут ухаантан, тэр ч байтугай "математикийн хаан" хочтой. Таны мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд хэлэхэд, зөвхөн сорогчид мөнгө авдаггүй, харин суут ухаантнууд - Гауссын хөрөг 10 Дойчмаркийн дэвсгэрт дээр (евро гаргахаас өмнө) байсан бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркнаас германчуудад нууцлаг байдлаар инээмсэглэдэг хэвээр байна.

Гауссын арга нь ТАВДУГААР АНГИЙН СУРАГЧИЙН МЭДЛЭГ түүнийг эзэмшихэд ХАНГАЛТТАЙ байдгаараа энгийн. Та хэрхэн нэмэх, үржүүлэхээ мэддэг байх ёстой!Багш нар сургуулийн математикийн сонгон шалгаруулалтад үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан хасах аргыг ихэвчлэн авч үздэг нь тохиолдлын хэрэг биш юм. Энэ бол парадокс боловч оюутнуудад Гауссын аргыг хамгийн хэцүү гэж үздэг. Гайхах зүйлгүй - энэ бол аргачлалын тухай бөгөөд би аргын алгоритмын талаар хүртээмжтэй хэлбэрээр ярихыг хичээх болно.

Нэгдүгээрт, шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи бага зэрэг мэдлэгийг системчилье. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Байна цорын ганц шийдвэр. 2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх. 3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх хамтарсан бус).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, бүх нийтийн хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар, Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Мөн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга Ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөлнө! Асаалттай энэ хичээлБид №1 тохиолдлын хувьд Гауссын аргыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэлийг 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулж байна. Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

-руу буцаж орцгооё хамгийн энгийн системангиасаа Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн системийн матриц: . Коэффициент ямар зарчмаар бичигдсэнийг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математикийн утга агуулаагүй - энэ нь дизайныг хялбарчлах үүднээс зураас юм.

Лавлагаа : Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөл шугаман алгебр. Системийн матриц Энэ нь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц бөгөөд энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц нь системийн ижил матриц ба чөлөөт нөхцлийн багана, in энэ тохиолдолд: . Товчхондоо аль ч матрицыг матриц гэж нэрлэж болно.

Өргөтгөсөн системийн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд Чадах дахин зохион байгуулахзарим газар. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь эгнээг өвдөлтгүйгээр дахин зохион байгуулж болно.

2) Хэрэв матриц нь пропорциональ (эсвэл гарч ирсэн) байвал онцгой тохиолдол– ижил) мөрүүд, дараа нь дагалддаг устгахНэгээс бусад бүх мөр матрицаас авсан. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргах үед матрицад тэг мөр гарч ирвэл энэ нь бас байх ёстой устгах. Мэдээжийн хэрэг би зурахгүй, тэг шугам нь тухайн шугам юм бүх тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)дурын дугаар руу тэг биш. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Энэ үйлдэлЭнэ нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбаршуулдаг тул маш ашигтай.

5) Энэ хувиргалт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээ рүү та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Манай матрицыг авч үзье практик жишээ: . Эхлээд би өөрчлөлтийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , Мөн хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-т хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. ҮргэлжНЭМЭГДСЭН гэсэн мөр өөрчлөгдөнө UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд үүнийг нарийвчлан бичдэггүй, гэхдээ товчхон бичдэг: Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бөгөөд оюун санааны тооцооллын үйл явц нь дараах байдалтай байна.

“Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

“Эхний багана. Доод талд нь би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс би дээд талд байгаа нэгийг –2: -ээр үржүүлж, эхнийхийг нь хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 2 + (–2) = 0. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ. »

"Одоо хоёр дахь багана. Дээд талд би -1-ийг -2-оор үржүүлнэ: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. Дээд талд би -5-ыг -2-оор үржүүлнэ: . Би хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: –7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар ойлгож, дараалсан тооцооллын алгоритмыг ойлгоорой, хэрэв та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга бараг таны халаасанд байна. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, бид энэ өөрчлөлт дээр ажиллах болно.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрөө" өгдөг даалгавар санал болговол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицтай үйлдлүүдЯмар ч тохиолдолд та матриц доторх зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй! Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Үүнийг бараг хэсэг болгон авдаг.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг багасгая шаталсан харах:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талд нь тэг авахын тулд, энэ нь хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас салах гэсэн үг юм.

(2) Хоёр дахь мөрийг 3-т хуваа.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – Матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах: . Даалгаврын дизайн хийхэд тэд зүгээр л "шат" -ыг энгийн харандаагаар тэмдэглэж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. "Шаталсан үзэл" гэсэн нэр томъёо нь шинжлэх ухааны хувьд бүхэлдээ онолын шинж чанартай биш юм боловсролын уран зохиолихэвчлэн гэж нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "тайлах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ үйл явц гэж нэрлэгддэг Гауссын аргын урвуу.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд аль хэдийн мэдэгдэж байсан "y" утгыг түүнд орлъё.

Гауссын арга нь гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийг шаарддаг хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад гарах үр дүнг нэн даруй зурах болно. Дахин хэлэхэд, бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу: Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө, -1 (заримдаа бусад тоонууд) хийх болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар нэгийг нь ихэвчлэн тэнд байрлуулдаг уламжлалтай. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бид бэлэн нэгжтэй байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний болон гурав дахь мөрийг солих:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн талд байгаа нэгж дээд буланзохион байгуулсан. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Бид "хэцүү" хувиргалтыг ашиглан тэг авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, –1, 3, 13) хандана. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Хэрэгтэй хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –2-оор үржүүлнэ: (–2, –4, 2, –18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, Хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Бид үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Бид гурав дахь мөрийг ижил аргаар (3, 2, –5, –1) харьцдаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –3-аар үржүүлнэ: (–3, –6, 3, –27). БА Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Бид үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "оруулах" тууштайихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичээд, аажмаар өөрсөддөө уусдаг - ТУСГАЙ болон АНХААРАЛТАЙ:
Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн үйл явцыг би аль хэдийн хэлэлцсэн.

IN энэ жишээндҮүнийг хийхэд хялбар, хоёр дахь мөрийг -5-т хуваа (учир нь бүх тоо 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-т хуваадаг, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн эцсийн шатанд та эндээс өөр тэг авах хэрэгтэй.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг -2-оор үржүүлнэ:
Энэ үйлдлийг өөрөө олохыг хичээ - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаараа -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг хий.

Гүйцэтгэсэн сүүлчийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн эквивалент системийг олж авав. Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу арга хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд доороос дээшээ "тайлагдана".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "Zet" гэдэг үгийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Игрек" ба "зэт" нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн жижиг зүйл юм.

Хариулах:

Дахин дахин дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд аз болоход энэ нь хялбар бөгөөд хурдан юм.

Жишээ 2

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ, эцсийн дизайны дээж, хичээлийн төгсгөлд хариулт юм.

Таны шийдвэрийн явцМиний шийдвэр гаргах үйл явцтай давхцахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм. Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Бид тэнд нэг байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад огт нэгж байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч шийдэхгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: (1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд маш сайн тохирдог. +1 авахыг хүссэн хүн бүр нэмэлт хөдөлгөөн хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (тэмдэгээ өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Гурав дахь эгнээний тэмдгийг мөн өөрчилж, хоёрдугаар байр руу шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам" дээр бид шаардлагатай нэгжтэй болсон.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь мөрийг 3-т хуваасан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (ховор тохиолдолд үсгийн алдаа) нь "муу" дүгнэлт юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доор, мөн үүний дагуу ямар нэг зүйл авсан бол, , дараа нь хамт том хувьмагадлалын хувьд энгийн хувиргалт хийх явцад алдаа гарсан гэж үзэж болно.

Бид эсрэгээр тооцдог, жишээний загварт тэд системийг өөрөө дахин бичдэггүй, гэхдээ тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг". Урвуу цус харвалт нь доороос дээш ажилладаг гэдгийг би танд сануулж байна. Тийм ээ, энд бэлэг байна:

Хариулах: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм, энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэрэв хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн. Таны шийдэл миний шийдлээс өөр байж магадгүй.

Сүүлийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл: Өргөтгөсөн системийн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Би энэ талаар аль хэдийн анги дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг тавьдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь хөөрхөн юм хялбар жишээ, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд гүйцэтгэх энгийн хөрвүүлэлтүүд цөөн байна.

Хоёр дахь онцлог нь энэ юм. Бид авч үзсэн бүх жишээн дээр "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Тэнд өөр тоо байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид хоёр байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг, нөгөө нь хоёр ба зургаа байна гэдгийг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа хоёр нь бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Ингэснээр бид эхний баганад шаардлагатай тэгүүдийг авах болно.

Эсвэл үүнтэй төстэй зүйл нөхцөлт жишээ: . 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "алхам" дээрх гурав нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: хоёр дахь мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -4-ээр үржүүлснээр бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Бусад аргуудыг ашиглан системийг шийдэж сурах (Крамерын арга, матрицын арга) та анх удаа шууд утгаараа чадна - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "шүдээ оруулаад" дор хаяж 5-10 арван системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс эхлээд тооцоололд төөрөгдөл, алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадаа бороотой намрын цаг агаар.... Тиймээс илүү ихийг хүсдэг хүн бүрт зориулав нарийн төвөгтэй жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх 4 шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор байдаггүй. Энэ хуудсыг сайтар судалсан цайны хүн ч гэсэн ийм системийг зөн совингоор шийдэх алгоритмыг ойлгоно гэж бодож байна. Үндсэндээ бүх зүйл ижил байна - илүү олон үйлдлүүд байна.

Системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг хичээл дээр авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй. Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.
Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд: (1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар! Энд та гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасахыг хүсч магадгүй бөгөөд би үүнийг хасахгүй байхыг зөвлөж байна - алдааны эрсдэл ихээхэн нэмэгддэг. Зүгээр л эвхээрэй! (2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрүүдийг сольсон. тэмдэглэл , "алхам" дээр бид зөвхөн нэгд төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм. (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 5-аар үржүүлсэн. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу:

Хариулах : .

Жишээ 4: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөр нэмэгдсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав. (2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмэв.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дордох болно , "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. Хоёр дахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авлаа . (5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн. (6) Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, гурав дахь мөрийг -83-аар хуваасан.

Урвуу:

Хариулах :

Жишээ 5: Шийдэл : Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг сольсон. (2) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. (3) Хоёр дахь мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, 4-өөр үржүүлсэн. Хоёр дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн. Дөрөв дэх мөрийг 3-т хувааж, гурав дахь мөрийн оронд байрлуулсан. (5) Гурав дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -5-аар үржүүлсэн.

Урвуу:

Хариулах :

Гауссын аргашугаман системийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой алгебрийн тэгшитгэл(SLAU). Энэ нь бусад аргуудтай харьцуулахад хэд хэдэн давуу талтай:

• нэгдүгээрт, тэгшитгэлийн системийг тууштай байдлын үүднээс эхлээд шалгах шаардлагагүй;
• Хоёрдугаарт, Гауссын арга нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж, системийн үндсэн матриц нь ганц биш байх SLAE-ийг төдийгүй тэгшитгэлийн тоо нь давхцдаггүй тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна. үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоо эсвэл үндсэн матрицын тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү;
• Гуравдугаарт, Гауссын арга нь харьцангуй үр дүнд хүргэдэг бага хэмжээтооцоолох үйлдлүүд.

Нийтлэлийн товч тойм.

Эхлээд өгье шаардлагатай тодорхойлолтуудтэмдэглэгээг танилцуулна.

Дараа нь бид Гауссын аргын алгоритмыг хамгийн энгийн тохиолдол, өөрөөр хэлбэл шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүдийн хувьд тодорхойгүй хувьсагчдын тоотой давхцаж байгаа тэгшитгэлийн тоо, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тодорхойлогдоно. тэгтэй тэнцүү биш. Ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ Гауссын аргын мөн чанар хамгийн тод харагддаг бөгөөд энэ нь тууштай хасахүл мэдэгдэх хувьсагч. Тиймээс Гауссын аргыг үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга гэж бас нэрлэдэг. Бид танд үзүүлэх болно нарийвчилсан шийдлүүдхэд хэдэн жишээ.

Дүгнэж хэлэхэд гол матриц нь тэгш өнцөгт эсвэл дан хэлбэртэй шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийн Гауссын аргын шийдлийг авч үзэх болно. Ийм системийн шийдэл нь зарим онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг жишээн дээр нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Үндсэн тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ.

n үл мэдэгдэх p шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье (p нь n-тэй тэнцүү байж болно):

Үүнд үл мэдэгдэх хувьсагч, тоо (бодит эсвэл нийлмэл), чөлөөт нэр томъёо байна.

Хэрэв , дараа нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг нэрлэнэ нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - нэг төрлийн бус.

Системийн бүх тэгшитгэлүүд нь таних тэмдэг болох үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багцыг нэрлэдэг SLAU-ийн шийдвэр.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн ядаж нэг шийдэл байгаа бол түүнийг дуудна хамтарсан, эс бөгөөс - хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой. Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол системийг дуудна тодорхойгүй.

Тэд систем нь бичигдсэн гэж хэлдэг координатын хэлбэр , хэрэв энэ нь маягттай бол
.

Энэ системд матриц хэлбэр бүртгэл нь хаана гэсэн хэлбэртэй байна - SLAE-ийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын баганын матриц, - чөлөөт нэр томъёоны матриц.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг тусгаарладаг. босоо шугамүлдсэн баганаас, өөрөөр хэлбэл,

А квадрат матриц гэж нэрлэдэг доройтох, хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг бол. Хэрэв бол А матрицыг дуудна доройтдоггүй.

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв та шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системээр дараах үйлдлүүдийг хийвэл

• хоёр тэгшитгэл солих,
• аливаа тэгшитгэлийн хоёр талыг дурын ба тэг биш бодит (эсвэл комплекс) k тоогоор үржүүлэх,
• аливаа тэгшитгэлийн хоёр талд өөр тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг үржүүлж нэмнэ дурын тоок,

Дараа нь та ижил шийдэлтэй (эсвэл анхных шиг шийдэлгүй) ижил төстэй системийг авах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матрицын хувьд эдгээр үйлдлүүд нь эгнээнүүдийн үндсэн хувиргалтыг хийх болно.

• хоёр мөр солих,
• T матрицын аль ч эгнээний бүх элементүүдийг тэгээс өөр k тоогоор үржүүлэх,
• матрицын аль ч эгнээний элементүүдэд өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дурын k тоогоор үржүүлнэ.

Одоо бид Гауссын аргын тайлбар руу орж болно.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэхийн тоотой тэнцүү, системийн үндсэн матриц нь ганц биш байх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Хэрэв бидэнд тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох даалгавар өгвөл бид сургуульд юу хийх байсан бэ? .

Зарим нь үүнийг хийх байсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмэхийг анхаарна уу зүүн талэхлээд, баруун талд - баруун талд нь үл мэдэгдэх x 2 ба x 3 хувьсагчдаас салж, тэр даруй x 1-ийг олох боломжтой.

Бид системийн эхний ба гурав дахь тэгшитгэлд олсон x 1 =1 утгыг орлуулна.

Хэрэв бид системийн гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг -1-ээр үржүүлж, эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдэд нэмбэл бид үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчаас салж, x 2-ыг олж болно.

Гурав дахь тэгшитгэлд үүссэн x 2 = 2 утгыг орлуулж, үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ыг олно.

Бусад нь өөрөөр хийх байсан.

Үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчтай холбоотой системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг системийн хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, энэ хувьсагчийг тэдгээрээс хасъя.

Одоо x 2 системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэж, олж авсан үр дүнг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, үл мэдэгдэх х 2 хувьсагчийг хасъя.

Системийн гурав дахь тэгшитгэлээс x 3 =3 гэдэг нь тодорхой байна. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог , мөн эхний тэгшитгэлээс бид .

Танил шийдлүүд, тийм үү?

Энд хамгийн сонирхолтой зүйл бол хоёр дахь шийдлийн арга нь үндсэндээ үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга буюу Гауссын арга юм. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (эхний x 1, дараагийн шатанд x 2) илэрхийлж, системийн үлдсэн тэгшитгэлд орлуулах үед бид тэдгээрийг хассан. Сүүлийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх ганц хувьсагч үлдэх хүртэл бид арилгах ажлыг хийсэн. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах үйл явц гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга. Урагшлах хөдөлгөөнийг дуусгасны дараа бид сүүлчийн тэгшитгэлээс олдсон үл мэдэгдэх хувьсагчийг тооцоолох боломжтой болно. Үүний тусламжтайгаар бид эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг олох гэх мэт. Үйл явц дараалсан олдворСүүлчийн тэгшитгэлээс эхнийх рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагч гэж нэрлэдэг Гауссын аргын урвуу.

Эхний тэгшитгэлд x 1-ийг x 2 ба x 3-аар илэрхийлж, дараа нь гарсан илэрхийлэлийг хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулах үед дараах үйлдлүүд ижил үр дүнд хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Үнэн хэрэгтээ ийм журам нь системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасах боломжийг олгодог.

Гауссын аргыг ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах нюансууд нь системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч агуулаагүй тохиолдолд үүсдэг.

Жишээлбэл, SLAU-д эхний тэгшитгэлд үл мэдэгдэх хувьсагч х 1 байхгүй (өөрөөр хэлбэл түүний өмнөх коэффициент нь тэг). Иймд үл мэдэгдэх хувьсагчийг үлдсэн тэгшитгэлээс хасахын тулд бид x 1 системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй. Энэ байдлаас гарах арга зам бол системийн тэгшитгэлийг солих явдал юм. Бид үндсэн матрицуудын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэж байгаа тул бидэнд хэрэгтэй хувьсагч байх тэгшитгэл үргэлж байдаг бөгөөд бид энэ тэгшитгэлийг өөрт хэрэгтэй байрлалд шилжүүлж болно. Бидний жишээн дээр системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийг солиход хангалттай , тэгвэл та x 1-ийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, системийн үлдсэн тэгшитгэлээс хасаж болно (хэдийгээр хоёр дахь тэгшитгэлд x 1 байхгүй).

Та гол санааг ойлгосон гэж найдаж байна.

Тодорхойлъё Гауссын аргын алгоритм.

Бид n үл мэдэгдэх n шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё хэлбэрийн хувьсагч , мөн түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай байг.

Системийн тэгшитгэлүүдийг солих замаар бид үргэлж үүнийг хийж чадна гэж таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлээр үржүүлж, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь, үржүүлсэн, гэх мэт, n-р тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмээд үржүүлж нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлж, зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ ашиглан алгоритмыг харцгаая.

Жишээ.

Гауссын арга.

Шийдэл.

a 11 коэффициент нь тэгээс ялгаатай тул Гауссын аргын шууд прогресс руу шилжье, өөрөөр хэлбэл эхнийхээс бусад системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчийг хасах хүртэл. Үүнийг хийхийн тулд зүүн ба баруун хэсэгт хоёр дахь, гурав дахь болон дөрөв дэх тэгшитгэлэхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмээд үржүүлье, Мөн:

Үл мэдэгдэх хувьсагч x 1 хасагдсан тул x 2-г хасах руу шилжье. Системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус үржүүлж нэмнэ. Тэгээд :

Гауссын аргын урагшлах явцыг дуусгахын тулд системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчийг хасах хэрэгтэй. Дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмээд үржүүлье. :

Та Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлж болно.

Бидэнд байгаа сүүлчийн тэгшитгэлээс ,
Гурав дахь тэгшитгэлээс бид олж авна
хоёр дахь нь,
эхнийхээс.

Шалгахын тулд та үл мэдэгдэх хувьсагчдын олж авсан утгыг тэгшитгэлийн анхны системд орлуулж болно. Бүх тэгшитгэлүүд ижил төстэй байдал болж хувирдаг бөгөөд энэ нь Гауссын аргыг ашигласан шийдэл зөв олдсоныг харуулж байна.

Хариулт:

Одоо матрицын тэмдэглэгээнд Гауссын аргыг ашиглан ижил жишээний шийдлийг өгье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн системийн шийдийг ол Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь хэлбэртэй байна . Багана бүрийн дээд талд матрицын элементүүдтэй харгалзах үл мэдэгдэх хувьсагчид байна.

Гауссын аргын шууд хандлага нь системийн өргөтгөсөн матрицыг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ процесс нь координат хэлбэрээр системтэй хийсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахтай төстэй юм. Одоо та үүнийг харах болно.

Матрицыг хоёр дахь баганаас эхлэн эхний баганын бүх элементүүд тэг болохын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх мөрийн элементүүдэд бид эхний мөрийн харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. ба үүний дагуу:

Дараа нь бид үүссэн матрицыг хувиргаж, хоёр дахь баганад гурав дахь баганаас эхлэн бүх элементүүд тэг болно. Энэ нь үл мэдэгдэх хувьсагч x 2-ыг арилгахад тохирно. Үүнийг хийхийн тулд гурав ба дөрөв дэх эгнээний элементүүдэд бид матрицын эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг тус тус үржүүлж нэмнэ. Тэгээд :

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ийг хасах хэвээр байна. Үүнийг хийхийн тулд элементүүд рүү очно уу сүүлчийн мөрүүссэн матрицаас бид эцсийн өмнөх эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, үржүүлнэ. :

Энэ матриц нь шугаман тэгшитгэлийн системтэй тохирч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй

урагш хөдөлсний дараа өмнө нь олж авсан.

Буцах цаг болжээ. Матрицын тэмдэглэгээнд Гауссын аргын урвуу нь үүссэн матрицыг зураг дээр тэмдэглэсэн матрицыг хувиргах явдал юм.

диагональ болсон, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийг авсан

хэдэн тоо хаана байна.

Эдгээр хувиргалтууд нь Гауссын аргын урагшаа хувиргахтай төстэй боловч эхний мөрөөс сүүлчийнх хүртэл биш, харин сүүлчийнхээс эхнийх хүртэл хийгддэг.

Гурав, хоёр, эхний мөрийн элементүүдэд сүүлчийн мөрийн харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. , үргэлжилээд л байх тус тус:

Одоо хоёр дахь ба эхний мөрийн элементүүдэд гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдийг тус тус үржүүлж, нэмье.

Урвуу Гауссын аргын сүүлчийн алхамд бид эхний эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлнэ.

Үүссэн матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна , бид үл мэдэгдэх хувьсагчдыг хаанаас олдог.

Хариулт:

ЖИЧ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглахдаа ойролцоогоор тооцоолол хийхээс зайлсхийх хэрэгтэй, учир нь энэ нь бүрэн буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй юм. Аравтын бутархайг дугуйлахгүй байхыг зөвлөж байна. -аас илүү сайн аравтын бутархайруу явах энгийн бутархай.

Жишээ.

Гауссын аргыг ашиглан гурван тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Энэ жишээнд үл мэдэгдэх хувьсагчид өөр тэмдэглэгээтэй байгааг анхаарна уу (x 1, x 2, x 3 биш, харин x, y, z). Энгийн бутархай руу шилжье:

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х-г хасъя.

Үүссэн системд үл мэдэгдэх y хувьсагч хоёр дахь тэгшитгэлд байхгүй, харин y нь гурав дахь тэгшитгэлд байгаа тул хоёр, гурав дахь тэгшитгэлийг сольж үзье.

Ингэснээр Гауссын аргын шууд явц (энэ үл мэдэгдэх хувьсагч байхгүй болсон тул y-г гурав дахь тэгшитгэлээс хасах шаардлагагүй).

Урвуу хөдөлгөөнийг эхлүүлье.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог ,
эцсийн өмнөх үеэс


Бидэнд байгаа эхний тэгшитгэлээс

Хариулт:

X = 10, y = 5, z = -20.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан хэлбэртэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Үндсэн матриц нь тэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн систем нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно.

Одоо бид Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлыг хэрхэн тогтоох боломжийг олгодог бөгөөд түүний нийцтэй байдлын хувьд бүх шийдлүүдийг (эсвэл нэг шийдлийг) тодорхойлох боломжийг бид ойлгох болно.

Зарчмын хувьд ийм SLAE-ийн хувьд үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах үйл явц ижил хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч үүсч болзошгүй зарим нөхцөл байдлын талаар нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хамгийн чухал үе шат руугаа явцгаая.

Тиймээс, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь Гауссын аргын урагшлах явцыг дуусгасны дараа хэлбэрийг авна гэж үзье. нэг ч тэгшитгэлийг бууруулаагүй (энэ тохиолдолд бид систем нь нийцэхгүй байна гэж дүгнэх болно). "Дараа нь юу хийх вэ" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Үүссэн системийн бүх тэгшитгэлд хамгийн түрүүнд орох үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичье.

Бидний жишээнд эдгээр нь x 1, x 4, x 5 юм. Системийн тэгшитгэлийн зүүн талд бид зөвхөн x 1, x 4, x 5 гэсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан нэр томъёог үлдээж, үлдсэн нэр томъёог тэгшитгэлийн баруун талд эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дурын утгыг өгье. - дурын тоо:

Үүний дараа манай SLAE-ийн бүх тэгшитгэлийн баруун гар талд тоонууд байгаа бөгөөд бид Гауссын аргын урвуу руу шилжиж болно.

Бидэнд байгаа системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс бид эхний тэгшитгэлээс олж авна.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн утгуудын багц юм

Тоо өгөх өөр өөр утгатай, бид хүлээн авах болно янз бүрийн шийдэлтэгшитгэлийн системүүд. Өөрөөр хэлбэл, бидний тэгшитгэлийн систем хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг.

Хариулт:

Хаана - дурын тоо.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Жишээ.

Шийдэх нэгэн төрлийн системшугаман алгебрийн тэгшитгэл Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг -аар үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмнэ. Эхний тэгшитгэлийн баруун талыг үржүүлсэн:

Одоо үүссэн тэгшитгэлийн системийн гурав дахь тэгшитгэлээс y-г хасъя.

Үүссэн SLAE нь системтэй тэнцүү байна .

Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн үл мэдэгдэх x ба y хувьсагчдыг агуулсан нөхцөлүүдийг үлдээж, үл мэдэгдэх z хувьсагчтай нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ.

Шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг болох Гауссын аргыг авч үзье. Энэ аргыг (мөн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга гэж нэрлэдэг) янз бүрийн хувилбараар 2000 гаруй жилийн турш мэдэгдэж байсан.

Гауссын аргыг ашиглан тооцоо хийх нь урагшлах болон хойшлох хөдөлгөөн (буцах орлуулалт) гэсэн хоёр үндсэн алхмаас бүрдэнэ. Гауссын аргын шууд хандлага нь систем (5.1)-ээс үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан устгаж, түүнийг хувиргах явдал юм. эквивалент системдээд гурвалжин матрицтай. Үл мэдэгдэх утгын тооцоог урвуу үе шатанд хийдэг.

1. Нэг хэлтсийн схем.

Эхлээд авч үзье хамгийн энгийн сонголтГауссын аргыг нэг хуваах схем гэж нэрлэдэг.

Урагшлах алхам нь арилгах алхмуудаас бүрдэнэ.

1-р алхам. Энэ алхамын зорилго нь тоонуудтай тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах явдал юм коэффициент Бид үүнийг 1-р алхамын гол (эсвэл тэргүүлэх) элемент гэж нэрлэнэ.

Хэмжээг нь олцгооё

1-р алхам үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. (5.1) системийн хоёр дахь, гурав дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг тус тус үржүүлж хасъя

Эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлд тэг коэффициент. Үүний үр дүнд бид ижил төстэй системийг олж авдаг

тэдгээрт томъёог ашиглан тооцоолно

2-р алхам. Энэ алхамын зорилго нь тоонуудтай тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах явдал юм. 2-р алхамын хүчин зүйлсийг тооцоолъё

(5.30) системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг -аар үржүүлэн хасна. Үүний үр дүнд бид системийг олж авдаг

Энд коэффициентийг томъёогоор тооцоолно

Үлдсэн алхамуудыг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг. Дараагийн алхамыг тайлбарлая.

к-р алхам. Алхамын гол (тэргүүлэх) элемент нь тэг биш гэж үзвэл бид алхамын үржүүлэгчийг тооцоолно.

өмнөх алхам дээр олж авсан системийн тэгшитгэлээс үржүүлсэн тэгшитгэлийг дараалан хасна.

Устгах алхамын дараа бид тэгшитгэлийн системийг олж авна

матриц нь дээд гурвалжин юм. Энэ нь урагшлах тооцоог дуусгана.

Урвуу хөдөлгөөн. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс (5.33) бид олсон утгыг төгсгөлийн тэгшитгэлд орлуулж, бид дараалсан томъёог ашиглан үл мэдэгдэх тоог олно

Аргын нарийн төвөгтэй байдал. Нэг хуваах схемийг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах арифметик үйлдлийн тоог тооцоолъё.

(5.29), (5.31) томъёог ашиглан арилгах 1-р алхамыг тооцоолохдоо хуваах, үржүүлэх, хасах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. нийт тооАрифметик үйлдлүүд Үүний нэгэн адил алхам нь үйлдлүүдийг шаарддаг бөгөөд алхам нь үйлдлүүдийг шаарддаг.

Системийн хэмжээ хангалттай том байгаа тул урагшлах арифметик үйлдлийн нийт тоог ойролцоогоор тооцоолъё.

Харахад хялбар байдаг тул (5.34) томъёоны дагуу урвуу цохилтыг хэрэгжүүлэхийн тулд танд нийт үйлдлүүд хэрэгтэй бөгөөд том хэмжээний хувьд урагшлах үйл ажиллагааны тоотой харьцуулахад маш бага байдаг.

Тиймээс Гауссын аргыг хэрэгжүүлэхийн тулд ойролцоогоор арифметик үйлдлүүд шаардлагатай бөгөөд эдгээр үйлдлүүдийн дийлэнх хувийг урагшлах үе шатанд гүйцэтгэдэг.

Жишээ 5.7. Гауссын аргыг ашиглан бид системийг шийддэг

Шууд шилжих. 1-р алхам. Системийн хоёр, гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлээс (5.35) эхний тэгшитгэлийг үржүүлсэн хүчин зүйлсийг тооцож үзье.

2-р алхам. Системийн гурав ба дөрөв дэх тэгшитгэлээс (5.36) хоёр дахь тэгшитгэлийг тус тус үржүүлсэн хүчин зүйлсийг тооцоод системд хүрнэ.

3-р алхам. Коэффицентийг тооцоолж, системийн дөрөв дэх тэгшитгэлээс (5.37) гурав дахь тэгшитгэлийг үржүүлснээр бид системийг гурвалжин хэлбэрт оруулна.

Урвуу хөдөлгөөн. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид утгыг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж олно

Тооцооллын үр дүнг дараах хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэж болно.

Хүснэгт 5.2 (скан харна уу)

Үндсэн элементүүдийг сонгох хэрэгцээ. Хүчин зүйлийн тооцоо, түүнчлэн урвуу орлуулалт нь үндсэн элементүүдээр хуваагдахыг шаарддаг тул хэрэв үндсэн элементүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол нэг хуваах схемийг хэрэгжүүлэх боломжгүй юм. Эрүүл ухаанБүх үндсэн элементүүд тэгээс ялгаатай, гэхдээ тэдгээрийн дотор тэгтэй ойрхон байгаа нөхцөлд алдаа хяналтгүй нэмэгдэх боломжтой гэж үздэг.

Жишээ 5.8. Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийддэг

аравтын битийн компьютер дээр.

Шууд шилжих. 1-р алхам. Бид хүчин зүйлсийг тооцоолж, системийг хэлбэрт шилжүүлдэг

Энэ алхам дахь бүх тооцооллыг дугуйлахгүйгээр гүйцэтгэнэ.

2-р алхам. Үржүүлэгчийг тооцоолсны дараа системийн сүүлчийн тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэх ёстой. Гэсэн хэдий ч ашигласан компьютер дээр тэгшитгэлийг олж авах болно.

Үнэн хэрэгтээ коэффициентийг нарийн тодорхойлдог, учир нь үүнийг тооцоолохдоо мантиса нь 6-аас дээш оронтой тоо байдаггүй. Үүний зэрэгцээ тооцоолохдоо 3.0001-ийн коэффициентийг үржүүлэхэд 7 оронтой тоо 105003.5 гарах ба 6 оронтой болгон дугуйрсны дараа үр дүн нь 105004. Тооцоолол 62) хасах үйлдлийг гүйцэтгэснээр: . Бөөрөнхийлсний дараа сүүлийн огноомантисын 6 хүртэлх оронтой тоогоор бид (5.41) тэгшитгэлд хүрнэ.

Урвуу хөдөлгөөн. (5.41) тэгшитгэлээс бид мөн 1.00001-ийг олно. Жинхэнэ утгыг харьцуулах нь ашигласан компьютерийн хувьд энэ утгыг маш өндөр нарийвчлалтайгаар олж авсан болохыг харуулж байна. Цаашдын тооцооллыг өгнө

Бөөрөнхийлсний дараа бид .

Харахад хялбар тул үл мэдэгдэх зүйлсийн олсон утгууд нь бараг ижил төстэй байдаггүй жинхэнэ үнэт зүйлсшийдлүүд

Ийм ноцтой алдааны шалтгаан юу вэ? Нийт 28 арифметик үйлдэл хийгдсэн бөгөөд зөвхөн 4 тохиолдолд л дугуйлах шаардлагатай байсан тул дугуйрсан алдааны тухай ярих шаардлагагүй болно. Системийн нөхцөл муутай гэсэн таамаглал батлагдаагүй; тооцоолол нь утгыг өгдөг ба 100.

Бодит байдал дээр шалтгаан нь алхам дээр жижиг тэргүүлэх элементийг ашиглах явдал юм

үржүүлэгч ба системийн сүүлчийн тэгшитгэл дэх коэффициентийн мэдэгдэхүйц өсөлт.

Ийнхүү Гауссын аргын дээрх хувилбар (нэг хуваах схем) нь буруу байсан тул компьютерийн тооцоололд тохиромжгүй болсон. Энэ арга нь яаралтай зогсооход хүргэдэг (хэрэв ямар нэг шалтгааны улмаас тооцоолол тогтворгүй болж магадгүй юм).

2. Гол элементийг баганаар сонгох Гауссын арга (хэсэгчилсэн сонголтын схем).

Аргын тайлбар. Урагшлах алхамд тоо бүхий системийн тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг томъёоны дагуу хөрвүүлнэ.

Системийн коэффициентүүд болон холбогдох алдааны хүчтэй өсөлтөөс зайлсхийхийн тулд том үржүүлэгч гарч ирэхийг зөвшөөрөхгүй байх нь ойлгомжтой.

Гол элементийг баганаар сонгох Гауссын аргын хувьд бүх k-ийн хувьд Гауссын аргын энэ хувилбар ба нэг хуваах схемийн хоорондох ялгаа нь арилгах алхамд хамгийн их байх коэффициент a байх явдал юм. үнэмлэхүй утгыг үндсэн элемент болгон сонгосон. тоо бүхий тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэхийн хувьд Дараа нь сонгосон коэффициентэд тохирох тоо бүхий тэгшитгэлийг системийн тэгшитгэлтэй сольж болно. гол элементкоэффициентийн байрыг эзэлсэн

Энэхүү орлуулалтын дараа үл мэдэгдэх зүйлийг хасах нь нэг хуваах схемийн нэгэн адил хийгддэг.

Жишээ 5.9. -битийн аравтын бутархай компьютер дээр үндсэн элементийг баганаар сонгож Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг (5.39) шийдье.

Шууд шилжих. 1-р алхам. Эхний баганад байгаа матрицын хамгийн их элемент нь эхний мөрөнд байгаа тул тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах шаардлагагүй. Энд 1-р алхамыг жишээ 5.8-тай яг адилхан гүйцэтгэнэ.

2-р алхам. Системийн матрицын элементүүдээс (5.40) хамгийн их нь гурав дахь тэгшитгэлд хамаарна. Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг сольж, бид системийг олж авна

Тооцооллын дараа системийн сүүлчийн тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлнэ

Урвуу хөдөлгөөн. Сүүлчийн тэгшитгэлээс бид олсон Цаашилбал, бид байна Энэ тохиолдолд хариулт үнэн зөв болсон.

анзаараарай, тэр нэмэлт ажилХэсэгчилсэн сонголтын схемд үндсэн элементүүдийг сонгох нь үйл ажиллагааны дарааллыг шаарддаг бөгөөд энэ нь аргын ерөнхий нарийн төвөгтэй байдалд бараг нөлөөлдөггүй.

Хэсэгчилсэн сонголтын схемийн тооцооллын тогтвортой байдал. Гауссын аргын нарийвчилсан судалгаагаар нэг хуваах схемийн тогтворгүй байдлын жинхэнэ шалтгаан нь урагшлах хөдөлгөөний явцад завсрын матрицын элементүүдийн хязгааргүй өсөлтийн боломж байгааг харуулж байна. Хэсэгчилсэн сонголтын схемийн 1-р алхамд (5.42) томъёог ашиглан тооцоолсон элементүүдийн хувьд дараах тооцоолол хүчинтэй байна: Иймээс матрицын элементүүдийн хамгийн их үнэмлэхүй утга нэг алхам дээр 2 дахин ихгүй, хамгийн тааламжгүй үед нэмэгддэг. тохиолдолд урагшлах алхам нь өсөлтийн коэффициентийг өгнө

Матрицын элементүүдийн өсөлт хязгаарлагдмал байх баталгаа нь хэсэгчилсэн сонголтын схемийг тооцооллын хувьд тогтвортой болгодог. Үүнээс гадна дараах алдааны тооцоолол нь хүчинтэй байна.

Системийн компьютерт суурилсан шийдлийг энд оруулав; түүний харьцангуй алдаа; матрицын нөхцөлийн дугаар em - машин эпсилон; эцэст нь системийн дарааллаас хамааран аажмаар өсөн нэмэгдэж буй зарим функц (жишээ нь эрчим хүчний функцбага үзүүлэлттэй), өсөлтийн хурд.

Тооцоолол (5.43)-д үржүүлэгч байгаа нь том хэмжээтэй үед хэсэгчилсэн сонголтын схем нь нөхцөл муутай болж, нарийвчлалыг ихээхэн алдах боломжтойг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч дадлага хий матрицын тооцоололматрицын элементүүдийн мэдэгдэхүйц өсөлт маш ховор тохиолддог болохыг харуулж байна. Ихэнх тохиолдолд бодит үнэ цэнэөсөлтийн хүчин зүйл 8-10-аас хэтрэхгүй. Хэрэв систем сайн нөхцөлтэй бол тооцоолсон шийдлийн алдаа нь дүрмээр бол бага байна.

Заримдаа ойролцоогоор шийдлийн чанарыг шалгахын тулд х

Тэд зөрүүг тооцоолж, хэр бага зөрүүтэй байгаагаар нь ойролцоох шийдлийн ойролцоох зэргийг үнэлэхийг хичээдэг. Энэ арга нь хэсэгчилсэн сонголтын схемийн хувьд найдваргүй, учир нь энэ нь жижиг алдаа гаргах баталгаатай гэдгийг мэддэг. Илүү нарийн, энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар томъёолж болно: тооцоо нь шударга байна

хаана нь тооцоо (5.43)-тай ижил байна. Тэгш бус байдал (5.44) нь нөхцөлийн дугаарыг оруулаагүй болохыг анхаарна уу.

3. Матрицын туршид үндсэн элементийн дээж бүхий Гауссын арга (бүрэн сонголтын схем).

Энэ схем нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах байгалийн дарааллыг зөрчих боломжийг олгодог.

Аргын 1-р алхамд элементүүдийн дунд хамгийн их үнэмлэхүй утгатай элементийг тодорхойлно. Дараа нь үл мэдэгдэх х-г эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлээс стандарт аргаар хасна. (энэ нь хэсэгчилсэн сонголтын схемийн харгалзах утгаас хамаагүй бага). Ямар матриц хараахан олдоогүй байгааг бид онцолж байна бүрэн сонголтутгыг өгөх болно Тиймээс сайн нөхцөлтэй системүүдийн хувьд Гауссын аргын энэ хувилбар нь сайн нөхцөлтэй байдаг.

Гэсэн хэдий ч үндсэн элементүүдийг сонгоход ихээхэн хэмжээний зардлаар сайн нөхцөл байдлын баталгааг олж авдаг. Үүний тулд, үүнээс гадна арифметик үйлдлүүдОйролцоогоор харьцуулах үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь компьютер дээрх асуудлыг шийдвэрлэх үйл явцыг ихээхэн удаашруулж болзошгүй юм. Тиймээс ихэнх тохиолдолд практик дээр хэсэгчилсэн сонголтын схемийг илүүд үздэг хэвээр байна. Өмнө дурьдсанчлан, Гауссын аргын энэ хувилбарыг ашиглах үед элементүүдийн хэмжээ мэдэгдэхүйц нэмэгдэх тохиолдол маш ховор байдаг. Нэмж дурдахад эдгээр нөхцөл байдлыг суулгасан програмыг ашиглан хялбархан тодорхойлж болно орчин үеийн хөтөлбөрүүд үр дүнтэй аргуудматрицын элементүүдийн өсөлтийг хянах.

4. Үндсэн элементүүдийг сонгох шаардлагагүй тохиолдлууд.

Зарим ангиллын матрицын хувьд нэг хуваах схемийг ашиглахдаа үндсэн элементүүд нь үндсэн диагональ дээр байрлах баталгаатай байдаг тул хэсэгчилсэн сонголтыг ашиглах шаардлагагүй байдаг. Энэ нь жишээлбэл, эерэг тодорхой матрицтай систем, түүнчлэн матрицтай системд тохиолддог дараах өмчдиагональ давамгайлал:

(5.45) нөхцөлийг хангасан матрицууд нь мөр бүрт үндсэн диагональ дээр байрлах элементийн модуль нь мөрийн бусад бүх элементүүдийн модулиудын нийлбэрээс их байхаар байна.

5. Томруулах.

Шийдлийг эхлүүлэхийн өмнө түүний коэффициентүүд нь нэгдмэл байдлын дарааллаар байхаар системийг масштаблахыг зөвлөж байна.

Хоёр байна байгалийн аргасистемийг масштаблах Эхнийх нь тэгшитгэл бүрийг зарим масштабын хүчин зүйлээр үржүүлэхээс бүрдэнэ. Хоёр дахь нь матрицын багана бүрийг хувьсах хэмжигдэхүүнийг солихтой харьцуулах (үнэндээ энэ нь нэгжийг солих явдал юм. хэмжилт). IN бодит нөхцөл байдалИхэнх тохиолдолд масштабыг мэдэгдэхүйц хүндрэлгүйгээр хийж болно. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг онцолж байна ерөнхий тохиолдолхангалттай хэмжээний масштабын арга хараахан олдоогүй байна.

Практикт масштабыг ихэвчлэн тэгшитгэл бүрийг хамгийн том коэффициентээр нь хуваах замаар хийдэг. Энэ бол амьдралын ихэнх асуудлуудыг шийдвэрлэх бүрэн хангалттай арга юм.

Өнөөдөр бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг авч үзэж байна. Эдгээр системүүд юу болохыг та Крамерын аргыг ашиглан ижил SLAE-ийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан өмнөх нийтлэлээс уншиж болно. Гауссын арга нь тодорхой мэдлэг шаарддаггүй, танд зөвхөн анхааралтай, тууштай байх хэрэгтэй. Хэдийгээр математикийн үүднээс авч үзвэл үүнийг хэрэгжүүлэхэд хангалттай сургуулийн бэлтгэл, оюутнууд ихэвчлэн энэ аргыг эзэмшихэд хэцүү байдаг. Энэ нийтлэлд бид тэдгээрийг юу ч биш болгохыг хичээх болно!

Гауссын арга

М Гауссын арга- SLAE-ийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга (маш том системүүд). Өмнө дурьдсанаас ялгаатай нь энэ нь зөвхөн нэг шийдэлтэй системд төдийгүй хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй системүүдэд тохиромжтой. Энд гурван боломжит сонголт байна.

1. Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш);
2. Систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй;
3. Ямар ч шийдэл байхгүй, систем нь таарахгүй байна.

Тиймээс бид системтэй (нэг шийдэлтэй байг) бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийдэх гэж байна. Хэрхэн ажилладаг?

Гауссын арга нь урагш ба урвуу гэсэн хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Гауссын аргын шууд харвалт

Эхлээд системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье. Энэ зорилгоор үндсэн матрицчөлөөт гишүүдийн баганыг нэмж байна.

Гауссын аргын бүх мөн чанар нь энгийн хувиргалтаар дамжуулан, энэ матрицшаталсан (эсвэл тэдний хэлснээр гурвалжин) дүр төрхтэй. Энэ хэлбэрээр матрицын үндсэн диагональ доор (эсвэл түүнээс дээш) зөвхөн тэг байх ёстой.

Чи юу хийж чадах вэ:

1. Та матрицын мөрүүдийг дахин цэгцлэх боломжтой;
2. Хэрэв матрицад тэнцүү (эсвэл пропорциональ) мөр байгаа бол та тэдгээрийн нэгээс бусад бүх мөрийг устгаж болно;
3. Та мөрийг дурын тоогоор (тэгээс бусад) үржүүлж эсвэл хувааж болно;
4. хоосон мөрүүдийг устгасан;
5. Та тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн мөрийг мөрт нэмж болно.

Урвуу Гауссын арга

Бид системийг ийм байдлаар хувиргасны дараа нэг үл мэдэгдэх Xn мэдэгдэнэ, та чадна урвуу дараалалСистемийн тэгшитгэлд аль хэдийн мэдэгдэж байсан х-г эхнийх хүртэл орлуулах замаар үл мэдэгдэх бүх үлдэгдлийг ол.

Интернет үргэлж бэлэн байх үед та Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна онлайн.Та зүгээр л онлайн тооцоолуур дээр коэффициентүүдийг оруулах хэрэгтэй. Гэхдээ та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, жишээ нь шийдэгдээгүй гэдгийг ойлгох нь илүү таатай байна компьютерийн программ, гэхдээ өөрийн тархитай.

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэх жишээ

Одоо - бүх зүйл тодорхой, ойлгомжтой болохын тулд жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье, та үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийдэх хэрэгтэй.

Эхлээд бид өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

Одоо өөрчлөлтүүдийг хийцгээе. Бид юунд хүрэх ёстойгоо санаж байна гурвалжин хэлбэртэйматрицууд. 1-р мөрийг (3) үржүүлье. 2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмээд дараахь зүйлийг авна.

Дараа нь 3-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

1-р мөрийг (6)-аар үржүүлье. 2-р мөрийг (13)-аар үржүүлье. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

Voila - системийг зохих хэлбэрт оруулав. Үл мэдэгдэх зүйлийг олоход л үлддэг:

Энэ жишээн дээрх систем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Системийг ашиглан шийдвэрлэх хязгааргүй тооБид тусдаа өгүүллээр шийдлүүдийг авч үзэх болно. Магадгүй та эхлээд матрицыг хаанаас хувиргахаа мэдэхгүй байж магадгүй, гэхдээ зохих дадлага хийсний дараа та үүнийг ойлгож, самар шиг Гауссын аргыг ашиглан SLAE-ийг хагалах болно. Хэрэв та гэнэт SLA-тай тааралдвал хэтэрхий хатуу самар болж хувирвал манай зохиогчидтой холбоо барина уу! Та захидал харилцааны албанд хүсэлтээ үлдээж болно. Бид хамтдаа ямар ч асуудлыг шийдэх болно!

(SLAE), үл мэдэгдэх тэгшитгэлээс бүрдэх:

Системийн өвөрмөц шийдэл байдаг гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл.

Энэ нийтлэлд Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэхэд гарч буй алдааны шалтгаан, энэ алдааг тодорхойлох, арилгах (багасгах) аргуудыг авч үзэх болно.

Аргын тайлбар

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үйл явц

Гауссын аргын дагуу 2 үе шатаас бүрдэнэ.

• Урвуу Шууд тодорхойлолтүл мэдэгдэх

Аргын дүн шинжилгээ

Энэ арга нь тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх шууд аргуудын ангилалд хамаарах бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм эцсийн тооОролтын өгөгдөл (матриц ба баруун хэсэгтэгшитгэл - )-ийг яг нарийн зааж өгсөн бөгөөд тооцоог дугуйлахгүйгээр гүйцэтгэнэ. Шийдлийг олж авахын тулд үржүүлэх, хуваах, өөрөөр хэлбэл үйлдлүүдийн дараалал шаардлагатай.

Энэ арга нь тодорхой шийдлийг бий болгох нөхцөл байдал нь практикт боломжгүй байдаг - оролтын өгөгдлийн алдаа болон дугуйралтын алдаа хоёулаа зайлшгүй юм. Дараа нь асуулт гарч ирнэ: Гауссын аргыг ашиглан хэр зөв шийдлийг гаргаж чадах вэ, арга нь хэр зөв бэ? Оролтын параметрүүдийн хувьд шийдлийн тогтвортой байдлыг тодорхойлъё. Анхны системтэй зэрэгцэн түгшүүртэй системийг авч үзье.

Ямар нэгэн хэм хэмжээ оруулъя. - матрицын нөхцөлийн дугаар гэж нэрлэдэг.

3 боломжит тохиолдол байдаг:

Матрицын нөхцөлийн дугаар нь үргэлж байдаг. Хэрэв энэ нь том () бол матрицыг муу нөхцөлтэй гэж үзнэ. Энэ тохиолдолд анхны өгөгдлийг буруу зааж өгсөн эсвэл тооцооллын алдаанаас үүдэлтэй системийн баруун талд бага зэргийн эвдрэлүүд нь системийн шийдэлд ихээхэн нөлөөлдөг. Ойролцоогоор, хэрэв баруун талын алдаа нь байвал шийдлийн алдаа нь .

Дараах тоон жишээгээр олж авсан үр дүнг харуулъя: Өгөгдсөн систем

Түүнд шийдэл бий.

Одоо түгшүүртэй системийг авч үзье:

Ийм системийн шийдэл нь вектор байх болно.

Баруун талын маш бага цочролын тусламжтайгаар бид харьцуулшгүй зүйлийг олж авсан их уур хилэншийдлүүд. Шийдлийн энэхүү "найдваргүй байдал" нь матриц нь бараг ганц бие байдагтай холбон тайлбарлаж болно: графикаас харахад хоёр тэгшитгэлд тохирох шулуун шугамууд бараг давхцаж байна.

Матрицын нөхцөл байдал муу байснаас энэ үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжтой байсан:

Тооцоолол нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд бүхэл бүтэн системийн шийдэлтэй харьцуулах боломжтой тул алдааг тооцоолоход илүү бүдүүлэг боловч хэрэгжүүлэхэд хялбар аргуудыг ашигладаг.

Алдааг үнэлэх аргууд

Бид системийн хяналтын элементүүдээс бүрдсэн хяналтын баганыг бүрдүүлдэг.

Тэгшитгэлийг хувиргахдаа хяналтын элементүүд дээр дээрхтэй ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг чөлөөт гишүүдтэгшитгэл. Үр дүнд нь хяналтын элементшинэ тэгшитгэл бүрийн коэффициент нь энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх ёстой. Тэдний хоорондох том зөрүү нь тооцооллын алдаа эсвэл тооцооллын алдаатай холбоотой тооцооллын алгоритмын тогтворгүй байдлыг илтгэнэ.

2) Мэдэгдэж буй шийдлийн харьцангуй алдаа шийдвэрийн алдааны талаархи дүгнэлтийг нэмэлт зардалгүйгээр авах боломжийг танд олгоно.

Тодорхой векторыг боломжтой бол хүссэн шийдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй ижил дараалал, тэмдэгтэй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр зааж өгсөн болно. Векторыг тооцоолж, системийг анхны тэгшитгэлийн системийн хамт шийддэг.

Эдгээр системүүдийн бодитоор олж авсан шийдлүүд байг. Хүссэн шийдлийн алдааны талаархи дүгнэлтийг таамаглал дээр үндэслэн авч болно. харьцангуй алдааижил матрицтай, өөр өөр баруун талтай системийг хэмжигдэхүүн бөгөөд тус тусад нь арилгах аргаар шийдвэрлэх үед тэдгээр нь тийм ч их ялгаатай байдаггүй. том тоонэг удаа.

3) Жинлүүрийг өөрчлөх - тооцоололд бөөрөнхийлсөний улмаас үүссэн алдааны бодит хэмжээний талаархи санааг олж авахад ашигладаг техник.

Анхны системтэй хамт системийг ижил аргаар шийддэг

Хэрэв дугуйралтын алдаа байхгүй байсан бол анхны болон масштабтай системийн шийдлүүдийн хувьд тэгш байдал хадгалагдана: . Иймд хоёрын зэрэглэл биш ба -ын хувьд векторуудын харьцуулалт нь тооцооллын алдааны хэмжээг харуулдаг.

Гауссын арилгах аргыг сайжруулах

Доор авч үзсэн Гауссын аргын өөрчлөлтүүд нь үр дүнгийн алдааг бууруулж чадна.

Үндсэн элементийг сонгох

Аргын алдааны гол өсөлт нь урагшлах үед, тэргүүлэгч --р эгнээний коэффициентүүд нь 1%20" alt=" >1 "> байвал өмнөх алхамуудад гарсан алдаанууд гарч ирдэг. Үүнээс зайлсхийхийн тулд үндсэн элементийг сонгох замаар аргын өөрчлөлтийг ердийн хэлхээнд нэмнэ. хамгийн их элементбаганаар дараах байдлаар:

Үл мэдэгдэхийг арилгах замаар тэгшитгэлийн системийг олъё.

-e ба -e түвшний байрлалыг сольж байхаар олцгооё.

Ихэнх тохиолдолд ийм хувиргалт нь тооцоолол дахь дугуйралтын алдааны шийдлийн мэдрэмжийг эрс бууруулдаг.

Үр дүнг давтах сайжруулалт

Хэрэв үүссэн шийдэл нь ноцтой гажуудсан гэж сэжиглэж байгаа бол үр дүнг дараах байдлаар сайжруулж болно. Хэмжигдэхүүнийг үлдэгдэл гэж нэрлэдэг. Алдаа нь тэгшитгэлийн системийг хангаж байна

Энэ системийг шийдэж, бид ойролцоогоор таамаглалыг олж авдаг

Хэрэв энэ тооцооллын нарийвчлал хангалтгүй байвал бид энэ үйлдлийг давтана.

Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд хангалттай бага болтол процессыг үргэлжлүүлж болно. Энэ тохиолдолд үлдэгдэл векторын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд хангалттай жижиг болсон тул та тооцооллыг зогсоож чадахгүй: энэ нь коэффициент матрицын муу нөхцөл байдлын үр дүн байж магадгүй юм.

Тоон жишээ

Жишээлбэл, 7х7 Вандермондын матриц ба 2 өөр баруун талыг авч үзье.

Эдгээр системийг хоёр аргаар шийдсэн. Өгөгдлийн төрөл - хөвөгч. Үүний үр дүнд бид дараах үр дүнд хүрсэн.