Шинжлэх ухааныг бий болгох гол арга замууд нь аксиоматик ба туршилт юм. Аксиоматик аргын тухай ойлголтыг бий болгох, хөгжүүлэх, үгийн тодорхойлолт

12.9. Аксиоматик арга Эртний Грекчүүдийн хувьд математикийн объектууд "санаа бодлын ертөнцөд" жинхэнэ оршин тогтнож байсан. Эдгээр объектын зарим шинж чанарууд нь оюун ухаанд бүрэн үгүйсгэх аргагүй мэт санагдаж, аксиом гэж тунхаглагдсан байсан бол зарим нь тодорхой бус байх ёстой.

(Грек аксиома - чухал ач холбогдолтой, хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь) - зарим үнэн мэдэгдлийг сонгосон онолыг бий болгох арга ...

(Грек аксиома - чухал ач холбогдолтой, хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь) - зарим үнэн мэдэгдлийг анхны байрлал (аксиом) болгон сонгож, дараа нь энэ онолын үлдсэн үнэн мэдэгдлийг (теорем) логикоор гаргаж, нотолсон онолыг бий болгох арга. А.М.-ийн шинжлэх ухааны ач холбогдол. Бүх багцыг анхлан хуваасан Аристотель нотолсон үнэн мэдэгдэлүндсэн ("зарчмууд") болон нотлох шаардлагатай ("нотлох боломжтой"). Түүний хөгжилд A.M. гурван үе шатыг туулсан. Эхний шатанд A.M. утга учиртай байсан тул аксиомуудыг илэрхий байдлын үндсэн дээр хүлээн зөвшөөрсөн. Ийм дедуктив онолын жишээ бол Евклидийн "Элементүүд" юм. Хоёр дахь шатанд Д.Хилберт А.М.-ийн өргөдөл гаргах албан ёсны шалгуурыг танилцуулав. - аксиомын системийн тууштай байдал, бие даасан байдал, бүрэн байдлын шаардлага. Гурав дахь шатанд A.M. албан ёсны болж байна. Үүний дагуу "аксиом" гэсэн ойлголт өөрчлөгдсөн. Хэрэв хөгжлийн эхний үе шатанд A.M. гэж ойлгосонгүй эхлэх цэгнотлох баримт, гэхдээ бас илэрхий байдгаараа нотлох шаардлагагүй үнэн байр суурь гэж үздэг бол одоогийн байдлаар аксиом нь онолын зайлшгүй элемент болгон нотлогддог бол сүүлчийнх нь баталгааг түүний аксиоматик үндсийг батлахтай нэгэн зэрэг авч үздэг. барилгын ажлын эхлэлийн цэг болно. A.M.-ийн үндсэн ба танилцуулга мэдэгдлүүдээс гадна. түвшин ч тодроод эхэлсэн тусгай дүрэмгаралт. Ийнхүү аксиом ба теоремуудын хамт бүхний олонлог үнэн мэдэгдэлЭнэ онол нь дүгнэлт хийх дүрмийн аксиом ба теоремуудыг томъёолдог - метааксиом ба метатеорем. 1931 онд К.Годель аливаа албан ёсны тогтолцооны үндсэн бүрэн бус байдлын тухай теоремыг нотолсон, учир нь энэ нь нотлогдохгүй, няцаашгүй аль аль нь шийдэгдэх боломжгүй саналуудыг агуулдаг. Түүнд тавигдсан хязгаарлалтыг харгалзан AM-ийг гипотетик-дедуктив аргын хамт (заримдаа "хагас аксиоматик" гэж тайлбарладаг) боловсруулсан албан ёсны (зөвхөн бодит бус) онолыг бий болгох гол аргуудын нэг гэж үздэг. болон математикийн таамаглалын арга. Таамаглал-дедуктив арга нь A.M.-ээс ялгаатай нь нэг дедуктив системийн хүрээнд сул таамаглалыг илүү хүчтэйгээс гаргаж авсан таамаглалуудын шатлалыг бий болгоход оршино, энд таамаглалын хүч нь эмпирик үндэслэлээс холдох тусам нэмэгддэг. шинжлэх ухааны. Энэ нь A.M-ийн хязгаарлалтын хүчийг сулруулах боломжийг олгодог: онолын анхны заалтуудад хатуу заагаагүй нэмэлт таамаглалыг нэвтрүүлэх боломжоос шалтгаалан аксиоматик системийн хаалттай байдлыг даван туулах; оруулах хийсвэр объектууд өөр өөр түвшинбодит байдлын зохион байгуулалт, өөрөөр хэлбэл. "бүх ертөнцөд" аксиоматик хүчинтэй байх хязгаарлалтыг арилгах; аксиомуудын тэгш байдлын шаардлагыг хасах. Нөгөөтэйгүүр, өөрөө барилгын дүрэмд анхаарлаа хандуулдаг математикийн таамаглалын аргаас ялгаатай нь А.М. математикийн таамаглал, судлагдаагүй үзэгдлүүдтэй холбоотой нь танд тодорхой утга учиртай хандах боломжийг олгодог сэдвийн хэсгүүд.

В.Л. Абушенко

Аксиоматик арга

Шинжлэх ухааны онолыг дедуктив аргаар бий болгох аргуудын нэг бөгөөд үүнд: 1) хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхой багцыг...

Шинжлэх ухааны онолыг дедуктив аргаар бий болгох аргуудын нэг бөгөөд үүнд: 1) тодорхой онолын (аксиом) тодорхой багц саналуудыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг; 2) эдгээр онолын хүрээнд тэдгээрт багтсан ойлголтууд тодорхой тодорхойлогдоогүй; 3) өгөгдсөн онолын тодорхойлолт, дүгнэлтийн дүрмүүд нь тогтмол бөгөөд энэ нь онолд шинэ нэр томъёо (үзэл баримтлал) нэвтрүүлэх, бусдаас зарим саналыг логикоор гаргаж авах боломжийг олгодог; 4) энэ онолын бусад бүх саналууд (теорем) нь (3) үндсэн дээр (1)-ээс гаралтай. A. m-ийн талаархи анхны санаанууд Эртний үед үүссэн. Грек (Элеатик, Платон. Аристотель, Евклид). Дараа нь философи, шинжлэх ухааны янз бүрийн хэсгүүдийн аксиоматик танилцуулгыг өгөхийг оролдсон (Спиноза, Ньютон гэх мэт) Эдгээр судалгаанууд нь тодорхой онолын (мөн зөвхөн нэг) утга учиртай аксиоматик бүтээн байгуулалтаар тодорхойлогддог байсан бол гол анхаарлаа хандуулсан. Зөн совингийн тодорхой аксиомуудыг тодорхойлох, сонгоход 19-р зуунаас математик, математик логикийн үндэслэлийн асуудлууд эрчимтэй хөгжиж байгаатай холбогдуулан аксиоматик онолыг албан ёсны (мөн 20-р зууны үеэс) авч үзэх болсон. -20-р зууны 30-аад он - албан ёсны систем болгон, түүний элементүүд (тэмдэг) хоорондын харилцааг тогтоож, түүнд нийцсэн аливаа объектын багцыг дүрсэлсэн. Үүний зэрэгцээ гол системийн тууштай байдал, түүний бүрэн бүтэн байдал, аксиомын системийн бие даасан байдал гэх мэтийг тогтооход анхаарч эхэлсэн. дохионы системүүдТэдгээрийн агуулгыг харгалзахгүйгээр авч үзэж болно, эсвэл үүнийг харгалзан үзэхэд синтакс ба семантик аксиоматик системийг ялгаж үздэг (зөвхөн сүүлийнх нь шинжлэх ухааны мэдлэгийг өөрөө илэрхийлэхийг шаарддаг). Тэдэнд тавигдах шаардлагууд нь синтакс ба семантик гэсэн хоёр түвшинд (синтакс ба утгын уялдаа, бүрэн байдал, аксиомуудын бие даасан байдал гэх мэт) Албан ёсны аксиоматик системүүдийн дүн шинжилгээ нь тэдгээрийн үндсэн хязгаарлалтыг бий болгоход хүргэсэн бөгөөд тэдгээрийн гол нь бүрэн аксиоматжуулалт хийх боломжгүй юм. Годелийн шинжлэх ухааны онолоор нотлогдсон хангалттай хөгжсөн системүүд (жишээлбэл, натурал тооны арифметик), энэ нь бүрэн албажуулах боломжгүй гэсэн үг юм. шинжлэх ухааны мэдлэгАксиоматжуулалт нь шинжлэх ухааны мэдлэгийг бий болгох аргуудын зөвхөн нэг нь боловч түүнийг хэрэгсэл болгон ашиглах явдал юм шинжлэх ухааны нээлтмаш хязгаарлагдмал. Аксиоматизаци нь ихэвчлэн онолыг агуулгаараа хангалттай боловсруулсны дараа хийгддэг бөгөөд үүнийг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэх, ялангуяа сүүлийн 30-40 жилийн хугацаанд бүх үр дагаврыг хатуу гаргаж авах зорилготой юм их анхааралЭнэ нь зөвхөн математикийн шинжлэх ухааныг төдийгүй физик, биологи, сэтгэл судлал, эдийн засаг, хэл шинжлэл гэх мэт зарим салбарыг, түүний дотор шинжлэх ухааны мэдлэгийн бүтэц, динамикийн онолуудыг аксиоматжуулахад зориулагдсан болно. Байгалийн шинжлэх ухааныг (ерөнхийдөө аливаа математикийн бус) мэдлэгийг судлахдаа математикийн аргууд нь таамаглал-дедуктив аргын хэлбэрээр гарч ирдэг (мөн албан ёсны хэлбэрийг үзнэ үү)

Аксиоматик арга

Анхны тодорхой заалтууд - аксиом эсвэл постулатын үндсэн дээр онолыг бий болгох арга ...

Анхны тодорхой заалтууд - аксиом эсвэл постулат дээр үндэслэсэн онолыг бий болгох арга бөгөөд үүнээс энэ онолын бусад бүх мэдэгдлийг цэвэр логик аргаар гаргаж авах ёстой.

Аксиоматик арга

Онолын зарим заалтыг анхдагч зүйл болгон сонгож, бусад бүх зүйлийг шинжлэх ухааны онол бүтээх арга...

Онолын зарим заалтыг анхдагч зүйл болгон сонгож, бусад бүх заалтыг нь цэвэр логик аргаар, нотлох баримтаар гаргаж авсан шинжлэх ухааны онолыг бий болгох арга. Аксиомын үндсэн дээр батлагдсан мэдэгдлийг теорем гэж нэрлэдэг.

A. m. нь объект, тэдгээрийн хоорондын харилцааг тодорхойлох тусгай арга юм (аксиоматик тодорхойлолтыг үзнэ үү). А. м нь математик, логик, түүнчлэн физик, биологийн зарим салбаруудад хэрэглэгддэг. А. м нь эртний үед үүссэн бөгөөд 330-320 онд гарсан Евклидийн "Элементүүд" -ийн ачаар асар их алдар нэрийг олж авсан. МЭӨ д. Гэсэн хэдий ч Евклид өөрийн "аксиом ба постулатууд"-даа өөрийн ашиглаж байсан геометрийн объектуудын бүх шинж чанарыг тодорхойлж чадаагүй; түүний нотлох баримтыг олон тооны зураг дагалдуулсан. Евклидийн геометрийн "далд" таамаглалууд зөвхөн онд илчлэгдсэн орчин үеийн цаг үеД.Гилберт (1862-1943) аксиоматик онолыг түүний элементүүдийн (тэмдэг) хоорондын харилцааг тогтоодог албан ёсны онол гэж үзэж, түүнд нийцсэн аливаа объектын багцыг дүрсэлдэг. Өнөө үед аксиоматик онолыг аксиомоос теорем гаргах логик арга хэрэгслийн нарийн тодорхойлолтыг агуулсан албан ёсны систем болгон томъёолдог. Ийм онолын нотолгоо нь томъёоны дараалал бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь аксиом буюу өмнөх томъёоллуудаас хүлээн зөвшөөрөгдсөн дүгнэлтийн дүрмийн дагуу дарааллаар олж авсан болно.

Аксиоматик албан ёсны систем нь аксиомын системийн тууштай байдал, бүрэн бүтэн байдал, бие даасан байдал гэх мэт шаардлагад захирагддаг.

А.М. нь шинжлэх ухааны мэдлэгийг бий болгох аргуудын зөвхөн нэг юм. Энэ нь шаардлагатай учраас хязгаарлагдмал хэрэглээ юм өндөр түвшинаксиоматжуулж болох бодитой онолыг боловсруулах.

Зурагт үзүүлснээр алдартай математикчболон логикч К.Годель, нэлээд баялаг шинжлэх ухааны онолууд (жишээлбэл, натурал тооны арифметик) бүрэн аксиоматжуулалтыг зөвшөөрдөггүй. Энэ нь A.M-ийн хязгаарлалтыг харуулж байна. шинжлэх ухааны мэдлэгийг бүрэн албан ёсны болгох боломжгүй (Годелийн теоремыг үзнэ үү).

Аксиоматик аргын мөн чанар

Евклид

П.Дирак

Хэрэв теоремыг баталж чадахгүй бол аксиом болно.

Математик нь ойлголт дээр суурилдаг. Үзэл баримтлал нь тодорхойлогдсон эсвэл тодорхойгүй байж болно. Доод тодорхойлолт тодорхой ойлголтын нарийн томъёололыг ойлгох. Математикийн үзэл баримтлалыг тодорхойлох нь энэ ойлголтыг бусад зүйлээс ялгах онцлог шинж чанар, шинж чанарыг илтгэнэ гэсэн үг юм. Тодорхойлох ердийн арга математикийн ойлголтҮүнд: 1) ойрын төрөл, өөрөөр хэлбэл тодорхойлсон ойлголт нь хамаарах илүү ерөнхий ойлголт; 2) зүйлийн ялгаа, өөрөөр хэлбэл тэдгээр онцлог шинж чанаруудэсвэл энэ тодорхой үзэл баримтлалд хамаарах шинж чанарууд.

Жишээ 1.Тодорхойлолт: "Дөрвөлжин бол бүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм." Хамгийн ойрын төрөл, өөрөөр хэлбэл илүү ерөнхий ойлголт нь тэгш өнцөгтийн тухай ойлголт бөгөөд тодорхой ялгаа нь квадратын бүх талууд тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн хувьд илүү ерөнхий ойлголт бол параллелограмм, параллелограммын хувьд дөрвөлжин, дөрвөлжингийн хувьд олон өнцөгт гэх мэт ойлголт юм. Гэхдээ энэ хэлхээ эцэс төгсгөлгүй биш юм.

Бусад, илүү ерөнхий ойлголтоор тодорхойлогдох боломжгүй ойлголтууд байдаг. Математикт тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн тодорхойгүй ойлголтууд . Үндсэн ойлголтуудын жишээ бол цэг, шулуун, хавтгай, зай, олонлог гэх мэт.

Үндсэн ойлголтуудын хоорондын холбоо, харилцааг аксиом ашиглан томъёолдог.

Аксиомнь өгөгдсөн онолд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн математикийн санал юм.

Нэг юм уу өөр зүйл баригдсан аксиомын системд математикийн онол, тууштай байдал, бие даасан байдал, бүрэн бүтэн байдалд тавигдах шаардлагууд байдаг.

Аксиомын системийг нэрлэдэг тууштай , хэрэв үүнээс бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр өгүүлбэрийг нэгэн зэрэг гаргаж авах боломжгүй бол: А, үгүйА.

Аксиомын системийг нэрлэдэг бие даасан , хэрэв энэ системийн аксиомуудын аль нь ч энэ системийн бусад аксиомуудын үр дагавар биш бол.

Аксиомын системийг нэрлэдэг дүүрэн , хэрэв хоёр зүйлийн аль нэг нь заавал нотлох боломжтой бол: аль нэг нь мэдэгдэл А, эсвэл бишА.

Аксиомын жагсаалтад ороогүй саналыг батлах ёстой. Ийм санал гэж нэрлэдэг теорем .

Теоремнь нотолгоо гэж нэрлэгддэг сэтгэхүйн үйл явцаар үнэнийг нь тогтоодог математикийн санал юм.

Аксиом: "Ямар ч шулуун, энэ шулуунд хамаарах цэгүүд, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг."

Теорем: "Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцож, огтлолцлын цэгээр хуваагдсан бол энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно."

Гол аргуудын нэг орчин үеийн математикбайна аксиоматик арга . Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

1) барьж буй онолын үндсэн тодорхойгүй ойлголт, харилцааг жагсаасан (харилцааны жишээ: дагаж ..., ... хооронд худал хэлэх);

2) үндсэн ойлголт, тэдгээрийн хоорондын уялдаа холбоог илэрхийлдэг аксиомуудыг томъёолж, энэ онолд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн;

3) үндсэн ойлголт, үндсэн харилцаанд ороогүй өгүүлбэрийг тодорхойлсон байх;

4) аксиомуудын жагсаалтад ороогүй саналуудыг эдгээр аксиомууд болон өмнө нь батлагдсан саналууд дээр үндэслэн нотлох ёстой.

1.2 Евклидийн геометр - анхны байгалийн шинжлэх ухааны онол

Түүхийн тоймгеометрийн үндэслэл.Геометр нь аксиоматик онол болохоосоо өмнө эмпирик хөгжлийн урт замыг туулсан.

Геометрийн талаархи анхны мэдээллийг соёл иргэншил олж авсан Эртний Дорнод(Египет, Хятад, Энэтхэг) газар тариалангийн хөгжил, хязгаарлагдмал үржил шимт газар гэх мэт. Эдгээр оронд геометр нь эмпирик шинж чанартай байсан бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх тусдаа "жор-дүрэм"-ийн багц байв. тодорхой ажлууд. МЭӨ 2-р мянганы үед аль хэдийн. Египетчүүд гурвалжны талбай, таслагдсан пирамидын эзэлхүүн, тойргийн талбайг хэрхэн зөв тооцоолохыг мэддэг байсан бол вавилончууд Пифагорын теоремыг мэддэг байв. Ямар ч нотлох баримт байхгүй, харин тооцоолох дүрэм байсан гэдгийг анхаарна уу.

Грекийн үеГеометрийн хөгжил 7-6-р зууны үеэс эхэлсэн. МЭӨ Египетчүүдийн нөлөөн дор. Грекийн математикийн эцэг гэж тооцогддог алдартай философичФалес (МЭӨ 640-548). Талес, эс тэгвээс тэр математикийн сургуульэд хөрөнгийн нотолгоонд хамаарна тэгш өнцөгт гурвалжин, босоо өнцөг. Дараа нь Эртний Грекийн геометр нь орчин үеийн бараг бүх агуулгыг хамарсан үр дүнг олж авсан сургуулийн курсгеометр.

Пифагорын философийн сургууль (МЭӨ 570-471) гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремыг нээж, Пифагорын теоремыг баталж, таван төрлийн оршин тогтнохыг тогтоожээ. ердийн олон талтболон харьцуулашгүй сегментүүд. Демокрит (МЭӨ 470-370) пирамид ба конусын эзэлхүүний тухай теоремуудыг нээсэн. Евдокс (МЭӨ 410-356) бүтээжээ геометрийн онолпропорц (жишээ нь пропорциональ тооны онол).

Менахмус, Аполлониус нар конус хэлбэрийн хэсгүүдийг судалжээ. Архимед (МЭӨ 289-212) бөмбөг болон бусад дүрсийн гадаргуугийн талбай, эзэлхүүнийг тооцоолох дүрмийг нээсэн. Мөн π тооны ойролцоо утгыг олсон.

Онцгой гавьяаЭртний Грекийн эрдэмтэд тэд геометрийн мэдлэгийг хатуу барих асуудлыг анх тавьж, анхны ойролцоо байдлаар шийдсэн гэж үздэг. Асуудлыг Платон (МЭӨ 428-348) тавьсан. Аристотель (МЭӨ 384-322) - хамгийн агуу философич, үндэслэгч албан ёсны логик– геометрийг зөвхөн логикийн дүрэмд тулгуурлан нэг нэгнээсээ нөгөөг нь дагаж мөрддөг гинжин хэлхээ хэлбэрээр геометрийг бий болгох санааг тодорхой томъёололд хамааруулдаг. Грекийн олон эрдэмтэд (Гиппократ, Федиус) энэ асуудлыг шийдэхийг оролдсон.

Евклид (МЭӨ 330-275) - эртний хамгийн том геометр, Платоны сургуулийг төгссөн, Египетэд (Александри хотод) амьдарч байжээ. Түүний эмхэтгэсэн "Зарчмууд" нь эдгээр дээр гүйцэтгэсэн геометрийн зарчмуудыг системтэй танилцуулж өгдөг. шинжлэх ухааны түвшинОлон зууны турш геометрийн хичээл нь түүний бүтээл дээр тулгуурладаг байсан. “Зарчмууд” нь 13 номоос (бүлэг) бүрдэнэ.

I-VI - планиметр;

VII-IX – геометрийн дүрслэлийн арифметик;

X - харьцуулшгүй сегментүүд;

ХI-ХII - стереометр.

Элементүүдэд геометрийн мэддэг бүх мэдээллийг оруулаагүй болно. Жишээлбэл, эдгээр номонд онол ороогүй болно конус хэсгүүд, дээд эрэмбийн муруй.

Ном бүр түүн дээр гарч буй ойлголтуудын тодорхойлолтоос эхэлдэг. Жишээлбэл, I дэвтэрт 23 тодорхойлолт байдаг. Эхний дөрвөн ойлголтын тодорхойлолтыг энд оруулав.

1 Цэг нь ямар ч хэсэггүй зүйлийг хэлнэ.

2 Шугам нь өргөнгүй урт юм.

3 Шугамын хил хязгаар нь цэг юм.

Евклид нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн саналуудыг өгч, тэдгээрийг постулат болон аксиомд хуваадаг. Тэрээр таван постулат, долоон аксиомтой. Тэдгээрийн заримыг энд дурдъя:

IV Тэгээд бүх тэгш өнцөгтүүд тэнцүү байна.

V Тиймээс шулуун шугам нь бусад хоёр шулуун шугамтай огтлолцохдоо тэдгээрийн нийлбэр нь хоёр шулуунаас бага байх дотоод нэг талт өнцөг үүсгэх үед эдгээр шулуун шугамууд нь энэ нийлбэр бага байх тал дээр огтлолцдог. хоёр шулуун шугамаас илүү.

Аксиомууд

Би тус тусдаа гурав дахь нь хоорондоо тэнцүү байна.

II Мөн тэнцүү гэж нэмэх юм бол бид тэнцүү болно.

VII Мөн хосолсон нь тэнцүү байна.

Евклид постулат ба аксиомын ялгааг заагаагүй. Одоо ч үгүй эцсийн шийдвэрэнэ асуулт.

Евклид геометрийн онолыг Грекийн эрдэмтэд, ялангуяа Аристотель шаардсанаар тайлбарлав. Теоремуудыг дараагийнх бүр нь зөвхөн өмнөх хувилбаруудын үндсэн дээр нотлогддог байхаар зохион байгуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, Евклид геометрийн онолыг хөгжүүлдэг хатуу логик арга замаар.Энэ бол Евклидийн шинжлэх ухаанд оруулсан түүхэн гавьяа юм.

Евклидийн "Элементүүд" нь математик болон бүх хүн төрөлхтний соёлын түүхэнд асар их үүрэг гүйцэтгэсэн. Эдгээр номууд нь 1482 оноос хойш дэлхийн бүх томоохон хэл рүү орчуулагдсан бөгөөд 500 орчим хэвлэлд гарсан.

Евклидийн системийн сул талууд.Орчин үеийн математикийн үүднээс авч үзвэл элементүүдийн танилцуулгыг төгс бус гэж үзэх ёстой. Энэ системийн гол сул талуудыг нэрлэе.

1) олон ухагдахуунууд нь эргээд тодорхойлогдох ёстой (жишээлбэл, 1-р бүлгийн 1-4-т өргөн, урт, хил гэсэн ойлголтуудыг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийг мөн тодорхойлсон байх ёстой);

2) аксиом ба постулатын жагсаалт нь геометрийг хатуу логик аргаар бүтээхэд хангалтгүй. Жишээлбэл, энэ жагсаалтад дарааллын аксиом агуулаагүй бөгөөд үүнгүйгээр геометрийн олон теоремуудыг батлах боломжгүй; Гаусс энэ нөхцөл байдалд анхаарлаа хандуулсныг тэмдэглэе. Энэ жагсаалтад хөдөлгөөн (хослол) гэсэн ойлголт, хөдөлгөөний шинж чанаруудын тодорхойлолт байхгүй, i.e. хөдөлгөөний аксиомууд. Жагсаалтад сегментийн урт, дүрсийн талбай, биетүүдийн объектыг хэмжих онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг Архимедийн аксиом (тасралтгүй байдлын хоёр аксиомын нэг) дутмаг байна. Үүнийг Евклидийн үеийн Архимед анзаарсан гэдгийг анхаарна уу;

3) IV постулат нь илт илүүц бөгөөд үүнийг теоремоор баталж болно. Тав дахь постулатыг онцгойлон авч үзье. Элементүүдийн 1-р номонд эхний 28 санааг тав дахь постулатыг эс тооцвол нотлогдсон. Аксиом, постулатуудын жагсаалтыг багасгах оролдлого, ялангуяа V постулатыг теорем гэж батлах оролдлого нь Евклидийн үеэс хойш хийгдсэн. Прокл (МЭ 5-р зуун), Омар Хайям (1048-1123), Уоллис (17-р зуун), Сакери, Ламберт (18-р зуун), Лежендре (1752-1833) нар мөн V постулатыг теорем гэж батлахыг оролдсон. Тэдний нотлох баримтууд алдаатай байсан ч энэ нь үүнд хүргэсэн эерэг үр дүн- өөр хоёр геометрийн төрөлт (Риман, Лобачевский).

Евклидийн бус геометрийн системүүд.нээсэн Н.Лобачевский (1792-1856). шинэ геометр– Лобачевскийн геометр нь мөн В. постулатыг батлах оролдлогоор эхэлсэн.

Николай Иванович зөрчилдөөнийг олж авахын тулд өөрийн системийг "Зарчмууд" хүртэл боловсруулсан. Тэр үүнийг хүлээж аваагүй боловч 1826 онд тэрээр зөв дүгнэлт хийжээ: Евклидийн геометрээс өөр геометр байдаг.

Өнгөц харахад энэ дүгнэлт нь хангалттай үндэслэлгүй мэт санагдаж магадгүй: магадгүй үүнийг цааш нь хөгжүүлснээр зөрчилдөөн гарч ирж магадгүй юм. Гэхдээ ижил асуулт Евклидийн геометрт хамаарна. Өөрөөр хэлбэл, логик тууштай байдлын асуудалтай тулгарах үед геометрийн аль аль нь тэнцүү байна. Цаашдын судалгаагаар нэг геометрийн тууштай байдал нь нөгөө геометрийн тууштай байдлыг илэрхийлдэг болохыг харуулсан. логик системүүдийн тэгш байдал байдаг.

Лобачевский өөр геометр байдаг гэж дүгнэсэн анхны боловч цорын ганц хүн биш юм. Гаусс (1777-1855) энэ санааг аль 1816 онд хувийн захидалдаа илэрхийлсэн боловч албан ёсны хэвлэлд мэдэгдэл хийгээгүй.

Лобачевскийн үр дүнг нийтлэснээс хойш гурван жилийн дараа (1829 онд), өөрөөр хэлбэл. 1832 онд Унгарын Ж.Боляйн (1802-1860) бүтээл хэвлэгдэн гарсан бөгөөд тэрээр 1823 онд өөр геометрийн оршин тогтнох тухай дүгнэлтэд хүрсэн боловч Лобачевскийг бодвол хожуу, бага хөгжсөн хэлбэрээр нийтлэв. Тиймээс энэ геометр нь Лобачевскийн нэрийг авсан нь шударга юм.

Лобачевскийн геометрийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрөхөд Лобачевскийн дараа геометрийн ажил ихээхэн тус болсон. 1868 онд Италийн математикч Э.Бельтрами (1825-1900) Лобачевскийн геометр нь байнгын сөрөг муруйлттай (псевдосфер гэж нэрлэгддэг) гадаргуу дээр тогтдог болохыг баталжээ. Белтрамигийн тайлбар дээр үндэслэсэн Лобачевскийн геометрийн тууштай байдлын нотлох баримтын сул тал нь Д.Хилберт (1862-1943) харуулсанчлан бүрэн гадаргуушинж чанаргүй байнгын сөрөг муруйлт. Тиймээс тогтмол сөрөг муруйлттай гадаргуу дээр хавтгай Лобачевскийн геометрийн зөвхөн нэг хэсгийг л тайлбарлаж болно. Энэ дутагдлыг А.Пуанкаре (1854-1912), Ф.Клейн (1849-1925) нар арилгасан.

Лобачевскийн геометрийн тууштай байдлын нотолгоо нь нэгэн зэрэг тав дахь постулатын бусдаас хараат бус байдлын нотолгоо байв. Үнэн хэрэгтээ, хараат байдлын хувьд Лобачевскийн геометр нь хоорондоо зөрчилдсөн байх болно, учир нь энэ нь бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр мэдэгдлийг агуулсан болно.

Евклидийн геометрийн цаашдын судалгаа нь Евклидийн аксиом ба постулатын системийн бүрэн бус байдлыг харуулсан. Евклидийн аксиоматикийн судалгааг 1899 онд Гильберт хийж дуусгасан.

Хилбертийн аксиоматик нь таван бүлгээс бүрдэнэ.

Холболтын аксиомууд (харьяалах);

Захиалгын аксиомууд;

Тохиромжтой байдлын аксиомууд (тэгш байдал, давхцал);

Тасралтгүй байдлын аксиомууд;

Параллелизмын аксиом.

Эдгээр аксиомууд нь (нийтдээ 20 байдаг) цэг, шулуун, хавтгай гэсэн гурван төрлийн объект, түүнчлэн тэдгээрийн хоорондох "харьяалах", "хооронд орших", "тохирох" гэсэн гурван харилцааг илэрхийлдэг. Цэг, шугам, хавтгай, харилцааны тодорхой утгыг заагаагүй болно. Тэдгээрийг аксиомоор дамжуулан шууд бусаар тодорхойлдог. Үүний ачаар Хилбертийн аксиомууд дээр суурилсан геометр нь янз бүрийн тодорхой хэрэгжилтийг хийх боломжийг олгодог.

Жагсаалтад орсон аксиомууд дээр баригдсан геометрийн системийг нэрлэдэг Евклидийн геометр,Учир нь энэ нь Евклидийн элементүүдэд тайлбарласан геометртэй давхцдаг.

Евклидээс бусад геометрийн системийг нэрлэдэг Евклидийн бус геометр.Харьцангуйн ерөнхий онолын дагуу сансар огторгуйд аль нь ч, нөгөө нь ч туйлын үнэн зөв байдаггүй, харин жижиг масштабаар (дэлхийн хэмжээсүүд бас нэлээд "жижиг" байдаг) орон зайг дүрслэхэд тохиромжтой байдаг. Евклидийн томъёог практикт ашиглаж байгаа шалтгаан нь тэдний энгийн байдал юм.

Хилберт өөрийн аксиомын системийг иж бүрэн судалж үзээд арифметик нь зөрчилдөөнгүй бол (өөрөөр хэлбэл бодитой буюу гадаад нийцтэй байдал нь нотлогдвол) тууштай байдгийг харуулсан. Тэрээр геометрийг батлахын тулд геометрийн олон зуун жилийн судалгааг дуусгасан. Энэ бүтээлийг өндрөөр үнэлж, 1903 онд Лобачевскийн шагнал хүртжээ.

Евклидийн геометрийн орчин үеийн аксиоматик танилцуулгад Гильбертийн аксиомуудыг үргэлж ашигладаггүй: геометрийн сурах бичгүүдийг энэ аксиомын системийн янз бүрийн өөрчлөлтүүд дээр бүтээдэг.

20-р зуунд Лобачевскийн геометр нь зөвхөн биш гэдгийг олж мэдсэн чухалхийсвэр математикийн хувьд боломжит геометрийн нэг болохоос гадна математикийн хэрэглээтэй шууд холбоотой. Орон зай, цаг хугацааны хоорондын хамаарлыг А.Эйнштейн болон бусад эрдэмтэд нээсэн нь тогтоогдсон тусгай онолхарьцангуйн онол нь Лобачевскийн геометртэй шууд холбоотой.

Энэ онолын бусад бүх мэдэгдлийг цэвэр логик аргаар гаргаж авах ёстой аксиом эсвэл постулатын тодорхой заалтууд дээр үндэслэсэн онолыг бий болгох арга.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

Аксиоматик арга

грек хэлнээс аксиома - хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь) - онолын бусад бүх мэдэгдлүүдийг логикоор гаргаж авсан заалтуудыг априори үндэслэл болгон хүлээн зөвшөөрдөг шинжлэх ухааны онолыг бий болгох арга. Онолуудыг бүрэн аксиоматжуулах боломжгүй (K. Gödel, 1931).

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

Аксиоматик арга

грек хэлнээс axi?ma - хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь) - хүлээн зөвшөөрөгдсөн (эсвэл өмнө нь батлагдсан) анхны байр суурь (аксиом ба постулат) дээр үндэслэн онолыг бий болгох арга, үүнээс бусад мэдлэгийг нотлох баримтаар логикоор олж авдаг. Дедукцийн хэрэглээ болох аксиоматик арга нь Р.Декартын сургаалд гүн ухааны тайлбарыг хүлээн авсан. Нэг хэмжээгээр аксиоматик аргыг ашигласан төрөл бүрийн шинжлэх ухаан- философи (Б.Спиноза), социологи (Г.Вико), биологи (Ж.Вүүдгер) гэх мэт. Гэсэн хэдий ч түүний хэрэглээний гол чиглэл нь математик, симбол логик, түүнчлэн физикийн хэд хэдэн салбар хэвээр байна. (механик, термодинамик, электродинамик гэх мэт).

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

Шинжлэх ухааны онолыг бий болгох арга нь тодорхой эхний заалтууд (аксиомууд) эсвэл постулатууд дээр үндэслэсэн бөгөөд энэ онолын бусад бүх мэдэгдлүүдийг нотлох замаар цэвэр логикоор гаргаж авах ёстой. Аксиоматик аргад суурилсан шинжлэх ухааны бүтээн байгуулалтыг ихэвчлэн дедуктив гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг Эртний Грекд геометрийг бүтээхэд ашиглаж эхэлсэн. Энэ нь байгууллагын хувьд хамгийн амжилттай хэрэгждэг математикийн мэдлэг, Мэдлэгийн асар их жин нь оюун санааны бүтээлч, бүтээлч үйл ажиллагаанд хамаардаг. Байгалийн ухаан, нийгэм, хүмүүнлэг, инженерчлэл, технологийн салбарт энэ арга нь бусад танин мэдэхүйн аргуудтай харьцуулахад дэд байр суурийг эзэлдэг.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

Шинжлэх ухааны (ялангуяа онолын) мэдлэгийг зохион байгуулах арга бөгөөд түүний мөн чанар нь тодорхой сэдвийн талаархи бүх үнэн мэдэгдлүүдийн дотроос бусад бүх үнэн мэдэгдлүүд (теорем ба ганц үнэн мэдэгдлүүд) гарч ирдэг ийм дэд олонлогийг (аксиом) тусгаарлах явдал юм. ) логикоор дагаж мөрдөх болно. Эртний Грекд (МЭӨ VII - IV зуун) геометрийн бүтээн байгуулалтыг эхлүүлсэн шинжлэх ухааны мэдлэгийн аксиоматик барилгын идеал нь мэдлэгт асар их жинтэй байдаг математикийн мэдлэгийн системийг зохион байгуулахад хамгийн тохиромжтой байв. Зөвхөн эмпирик-хийсвэрлэх үйл ажиллагааны шалтгаанаас гадна оюун санааны бүтээлч, бүтээлч үйл ажиллагаа. Байгалийн ухаан, нийгэм, хүмүүнлэгийн ухаан, инженерийн шинжлэх ухаанд мэдлэгийг зохион байгуулах аксиоматик арга нь танин мэдэхүйн зохион байгуулалтын бусад хэлбэрүүдтэй харьцуулахад дэд байр суурийг эзэлдэг. (Нотлох, хасалт, онол, аргыг үзнэ үү).

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

шинжлэх ухааныг бий болгох арга Энэ шинжлэх ухааны бусад бүх мэдэгдлийг (теорем) логикоор гаргаж авах ёстой аксиом буюу постулатууд дээр үндэслэсэн онол. нотлох замаар. А.м-ыг томилов. шинжлэх ухааны мэдлэгийг батлах дур зоргоороо байдлыг хязгаарлахаас бүрддэг. шүүлтүүд нь өгөгдсөн онолын үнэн юм. А.М.-д суурилсан шинжлэх ухааны бүтээн байгуулалт. ихэвчлэн дедуктив гэж нэрлэдэг (Хасах хэсгийг үзнэ үү). Дедуктив онолын бүх ухагдахууныг (тогтмол тооны анхны ойлголтуудаас бусад) өмнө нь танилцуулсан ойлголтуудаар илэрхийлсэн (эсвэл тайлбарласан) тодорхойлолтоор дамжуулан танилцуулдаг. А.М.-ийн шинж чанартай дедуктив нотлох баримтыг нэг хэмжээгээр олон тоогоор ашигладаг. шинжлэх ухаан Гэхдээ системтэйгээр оролдсон ч гэсэн A.m-ийн өргөдөл. философи (Спиноза), социологи (Вико), улс төрийн эдийн засаг (Родбертус-Ягезов), биологи (Вүүдгер) болон бусад шинжлэх ухаанд, ч. бүс нутаг түүний хэрэглээ нь математик, бэлгэдэл хэвээр байна. логик, түүнчлэн физикийн тодорхой салбарууд (механик, термодинамик, электродинамик гэх мэт). А.м-ийн хэрэглээний анхны жишээнүүдийн нэг. yavl. Евклидийн элементүүд (МЭӨ 300 он). Б.Н.Махутов

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

Онолын зарим заалтыг анхдагч зүйл болгон сонгож, бусад бүх заалтыг нь цэвэр логик аргаар, нотлох баримтаар гаргаж авсан шинжлэх ухааны онолыг бий болгох арга. Аксиомын үндсэн дээр батлагдсан мэдэгдлийг теорем гэж нэрлэдэг.

A. m. нь объект, тэдгээрийн хоорондын харилцааг тодорхойлох тусгай арга юм (аксиоматик тодорхойлолтыг үзнэ үү). AM нь математик, логик, түүнчлэн физик, биологи гэх мэт зарим салбаруудад ашиглагддаг.

Эрт дээр үед үүссэн бөгөөд 330-320 онд гарч ирсэн Евклидийн элементүүдийн ачаар асар их алдар нэрийг олж авсан. МЭӨ д. Гэсэн хэдий ч Евклид өөрийн "аксиом ба постулатууд"-даа өөрийн ашиглаж байсан геометрийн объектуудын бүх шинж чанарыг тодорхойлж чадаагүй; түүний нотлох баримтыг олон тооны зураг дагалдуулсан. Евклидийн геометрийн “далд” таамаглалыг зөвхөн орчин үед л Д.Гильберт (1862-1943) нээсэн бөгөөд тэрээр аксиоматик онолыг түүний элементүүд (тэмдэг) хоорондын хамаарлыг тогтоодог албан ёсны онол гэж үзэж, түүнд нийцэх аливаа объектын багцыг дүрсэлсэн байдаг. . Өнөө үед аксиоматик онолыг аксиомоос теорем гаргах логик арга хэрэгслийн нарийн тодорхойлолтыг агуулсан албан ёсны систем болгон томъёолдог. Ийм онолын нотолгоо нь томъёоны дараалал бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь аксиом буюу өмнөх томъёоллуудаас хүлээн зөвшөөрөгдсөн дүгнэлтийн дүрмийн дагуу дарааллаар олж авсан болно.

Аксиоматик албан ёсны систем нь аксиомын системийн тууштай байдал, бүрэн бүтэн байдал, бие даасан байдал гэх мэт шаардлагад захирагддаг.

А.М. нь шинжлэх ухааны мэдлэгийг бий болгох аргуудын зөвхөн нэг юм. Энэ нь аксиоматжсан үндсэн онолыг өндөр түвшинд хөгжүүлэхийг шаарддаг тул хязгаарлагдмал хэрэглээтэй.

Нэрт математикч, логикч К.Годелийн харуулсанчлан шинжлэх ухааны нэлээд баялаг онолууд (жишээлбэл, натурал тооны арифметик) бүрэн аксиоматжуулалтыг зөвшөөрдөггүй. Энэ нь A.M-ийн хязгаарлалтыг харуулж байна. шинжлэх ухааны мэдлэгийг бүрэн албан ёсны болгох боломжгүй (Годелийн теоремыг үзнэ үү).

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

шинжлэх ухааныг бий болгох арга Энэ онолын бусад бүх мэдэгдлийг зөвхөн логикоор гаргаж авах ёстой аксиом буюу постулатууд дээр үндэслэсэн онол. нотлох баримтаар дамжуулан. AM-ийн үндсэн дээр шинжлэх ухааны бүтээн байгуулалтыг ихэвчлэн нэрлэдэг. хасагдах (суутгалыг үзнэ үү). Дедуктив онолын бүх ухагдахууныг (тогтмол тооны анхны ойлголтуудаас бусад) өмнө нь танилцуулсан ойлголтуудаар илэрхийлсэн тодорхойлолтоор дамжуулан танилцуулдаг. Нэг хэмжээгээр, AM-ийн шинж чанар болох дедуктив нотлох баримтыг олон тоогоор ашигладаг. шинжлэх ухаан, гэхдээ ch. түүний хэрэглээний талбар нь математик, логик, түүнчлэн физикийн тодорхой салбарууд юм.

AM-ийн санааг анх Др. Грек (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Орчин үеийн хувьд AM-ийн хөгжлийн үе шат нь Хильбертийн дэвшүүлсэн албан ёсны AM-ийн үзэл баримтлалаар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь логикийг үнэн зөв тайлбарлах үүрэгтэй. аксиомоос теорем гаргах арга хэрэгсэл. Үндсэн Хилбертийн санаа бол шинжлэх ухааны хэлийг бүрэн албан ёсны болгох явдал бөгөөд түүний шүүлтүүд нь зөвхөн тодорхой тодорхой тайлбартайгаар утгыг олж авдаг тэмдгүүдийн дараалал (томьёо) гэж үздэг. Аксиомуудаас теоремуудыг гаргаж авахын тулд (мөн ерөнхийдөө зарим томъёог бусдаас) тусгай томьёо гаргадаг. дүгнэлт гаргах дүрэм. Ийм онолын нотолгоо (тооцоо, эсвэл албан ёсны систем) нь томъёоны тодорхой дараалал бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь аксиом эсвэл тодорхой шалгуурын дагуу дарааллын өмнөх томьёогоос олж авсан болно. дүгнэлт хийх дүрэм. Ийм албан ёсны нотолгооноос ялгаатай нь албан ёсны тогтолцооны шинж чанарыг бүхэлд нь судалдаг. мета онолын тусламжтайгаар. Үндсэн аксиоматикт тавигдах шаардлага албан ёсны системүүд - аксиомуудын тууштай байдал, бүрэн байдал, бие даасан байдал. Хилбертийн хөтөлбөр нь бүхэл бүтэн сонгодог зохиолын тууштай байдал, бүрэн бүтэн байдлыг нотлох боломжтой гэж үзсэн. математик ерөнхийдөө боломжгүй зүйл болсон. 1931 онд Годел хангалттай хөгжсөн шинжлэх ухааныг бүрэн аксиоматжуулах боломжгүйг нотолсон. онолууд (жишээлбэл, натурал тоонуудын арифметик) нь A. m-ийн хязгаарлалтыг харуулсан. AM-ийн зарчмуудыг зөн совин, бүтээлч хандлагыг дэмжигчид шүүмжилсэн. Математик, логик дахь формализм, Онолыг мөн үзнэ үү.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

Шинжлэх ухааны онолыг дедуктив аргаар бий болгох аргуудын нэг бөгөөд үүнд: 1) тодорхой онолын (аксиом) тодорхой багц саналыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг; 2) эдгээр онолын хүрээнд тэдгээрт багтсан ойлголтууд тодорхой тодорхойлогдоогүй; 3) өгөгдсөн онолын тодорхойлолт, дүгнэлтийн дүрмүүд нь тогтмол бөгөөд энэ нь онолд шинэ нэр томъёо (үзэл баримтлал) нэвтрүүлэх, бусдаас зарим саналыг логикоор гаргаж авах боломжийг олгодог; 4) энэ онолын бусад бүх саналууд (теорем) нь (3) үндсэн дээр (1)-ээс гаралтай. A. m-ийн талаархи анхны санаанууд Эртний үед үүссэн. Грек (Элеатик, Платон. Аристотель, Евклид). Дараа нь философи, шинжлэх ухааны янз бүрийн хэсгүүдийн аксиоматик танилцуулгыг өгөхийг оролдсон (Спиноза, Ньютон гэх мэт) Эдгээр судалгаанууд нь тодорхой онолын (мөн зөвхөн нэг) утга учиртай аксиоматик бүтээн байгуулалтаар тодорхойлогддог байсан бол гол анхаарлаа хандуулсан. Зөн совингийн тодорхой аксиомуудыг тодорхойлох, сонгоход 19-р зуунаас математик, математик логикийн үндэслэлийн асуудлууд эрчимтэй хөгжиж байгаатай холбогдуулан аксиоматик онолыг албан ёсны (мөн 20-р зууны үеэс) авч үзэх болсон. -20-р зууны 30-аад он - албан ёсны систем болгон, түүний элементүүд (тэмдэг) хоорондын харилцааг тогтоож, түүнд нийцсэн аливаа объектын багцыг дүрсэлсэн. Үүний зэрэгцээ гол Системийн тууштай байдал, түүний бүрэн бүтэн байдал, аксиомын системийн бие даасан байдал гэх мэтийг тогтооход анхаарлаа хандуулж эхэлсэн. Тэмдгийн системийг тэдгээрт агуулагдаж болох агуулгаас үл хамааран авч үзэх боломжтой, эсвэл авах боломжтой. Үүнийг харгалзан синтакс ба семантик системүүдийг ялгаж салгадаг (зөвхөн сүүлийнх нь шинжлэх ухааны мэдлэгийг өөрөө илэрхийлдэг) Энэ ялгаа нь үндсэн ойлголтыг боловсруулах шаардлагатай болсон. Тэдэнд тавигдах шаардлагууд нь синтакс ба семантик гэсэн хоёр түвшинд (синтакс ба утгын уялдаа, бүрэн байдал, аксиомуудын бие даасан байдал гэх мэт) Албан ёсны аксиоматик системүүдийн дүн шинжилгээ нь тэдгээрийн үндсэн хязгаарлалтыг бий болгоход хүргэсэн бөгөөд тэдгээрийн гол нь бүрэн аксиоматжуулалт хийх боломжгүй юм. Шинжлэх ухааны мэдлэгийг бүрэн албан ёсны болгох боломжгүй гэсэн үг болох Годелийн шинжлэх ухааны онолоор нотлогдсон хангалттай хөгжсөн системүүдийн (жишээлбэл, натурал тоонуудын арифметик) нь шинжлэх ухааны мэдлэгийг бий болгох аргуудын зөвхөн нэг нь боловч үүнийг шинжлэх ухааны хэрэгсэл болгон ашиглах явдал юм нээлт маш хязгаарлагдмал. Аксиоматизаци нь ихэвчлэн онолыг агуулгаараа хангалттай боловсруулсны дараа хийгддэг бөгөөд үүнийг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэх, ялангуяа сүүлийн 30-40 жилийн хугацаанд бүх үр дагаврыг хатуу гаргаж авах зорилготой юм Зөвхөн математикийн хичээлүүдийг төдийгүй физик, биологи, сэтгэл судлал, эдийн засаг, хэл шинжлэл гэх мэт зарим салбарыг, түүний дотор шинжлэх ухааны мэдлэгийн бүтэц, динамикийн онолуудыг аксиоматжуулахад анхаарлаа хандуулсан. Байгалийн шинжлэх ухааныг (ерөнхийдөө аливаа математикийн бус) мэдлэгийг судлахдаа математикийн аргууд нь таамаглал-дедуктив аргын хэлбэрээр гарч ирдэг (мөн албан ёсны хэлбэрийг үзнэ үү)

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

Грек аксиома - чухал ач холбогдолтой, хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь) - зарим үнэн мэдэгдлийг анхны байрлал (аксиом) болгон сонгосон онолыг бий болгох арга бөгөөд үүнээс энэ онолын үлдсэн үнэн мэдэгдлийг (теорем) логикоор гаргаж, нотолсон болно. А.М.-ийн шинжлэх ухааны ач холбогдол. Аристотель зөвтгөсөн бөгөөд тэрээр анх удаа бүх үнэн мэдэгдлийг үндсэн ("зарчмууд") болон нотлох шаардлагатай ("нотлох боломжтой") гэж хуваажээ. Түүний хөгжилд A.M. гурван үе шатыг туулсан. Эхний шатанд A.M. утга учиртай байсан тул аксиомуудыг илэрхий байдлын үндсэн дээр хүлээн зөвшөөрсөн. Ийм дедуктив онолын барилгын жишээ бол Евклидийн элементүүд юм. Хоёр дахь шатанд Д.Хилберт А.М.-ийн өргөдөл гаргах албан ёсны шалгуурыг танилцуулав. - аксиомын системийн тууштай байдал, бие даасан байдал, бүрэн байдлын шаардлага. Гурав дахь шатанд A.M. албан ёсны болж байна. Үүний дагуу "аксиом" гэсэн ойлголт өөрчлөгдсөн. Хэрэв хөгжлийн эхний үе шатанд A.M. энэ нь зөвхөн нотлох баримтын эхлэлийн цэг төдийгүй илэрхий байдгаараа нотлох шаардлагагүй үнэн байр суурь гэж ойлгогдож байсан бол одоогийн байдлаар аксиом нь онолын зайлшгүй элемент болгон нотлогдсон бөгөөд сүүлчийнх нь баталгаа гэж үзэж байна. барилгын эхлэлийн цэг болох түүний аксиоматик суурийг батлахын зэрэгцээ . A.M.-ийн үндсэн ба танилцуулга мэдэгдлүүдээс гадна. Тусгай дүгнэлтийн дүрмийн түвшин мөн ялгарч эхлэв. Тиймээс, өгөгдсөн онолын бүх үнэн мэдэгдлийн багц болох аксиом ба теоремын зэрэгцээ дүгнэлт хийх дүрмийн аксиом ба теоремуудыг томъёолсон болно - метааксиом ба метатеорем. 1931 онд К.Годель аливаа албан ёсны тогтолцооны үндсэн бүрэн бус байдлын тухай теоремыг нотолсон, учир нь энэ нь нотлогдохгүй, няцаашгүй аль аль нь шийдэгдэх боломжгүй саналуудыг агуулдаг. Түүнд тавигдсан хязгаарлалтыг харгалзан AM-ийг гипотетик-дедуктив аргын хамт (заримдаа "хагас аксиоматик" гэж тайлбарладаг) боловсруулсан албан ёсны (зөвхөн бодит бус) онолыг бий болгох гол аргуудын нэг гэж үздэг. болон математикийн таамаглалын арга. Таамаглал-дедуктив арга нь A.M.-ээс ялгаатай нь нэг дедуктив системийн хүрээнд сул таамаглалыг илүү хүчтэйгээс гаргаж авсан таамаглалуудын шатлалыг бий болгоход оршино, энд таамаглалын хүч нь эмпирик үндэслэлээс холдох тусам нэмэгддэг. шинжлэх ухааны. Энэ нь A.M-ийн хязгаарлалтын хүчийг сулруулах боломжийг олгодог: онолын анхны заалтуудад хатуу заагаагүй нэмэлт таамаглалыг нэвтрүүлэх боломжоос шалтгаалан аксиоматик системийн хаалттай байдлыг даван туулах; Бодит байдлын зохион байгуулалтын янз бүрийн түвшний хийсвэр объектуудыг нэвтрүүлэх, өөрөөр хэлбэл. "бүх ертөнцөд" аксиоматик хүчинтэй байх хязгаарлалтыг арилгах; аксиомуудын тэгш байдлын шаардлагыг хасах. Нөгөөтэйгүүр, судлагдаагүй үзэгдлүүдтэй холбоотой математикийн таамаглалыг бий болгох дүрэмд анхаарлаа хандуулдаг математикийн таамаглалын аргаас ялгаатай нь А.М.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

АКСИОМАТИЙН АРГА

Онол бүтээх арга, үүний дагуу нотлох баримтад зөвхөн аксиом, тэдгээрээс өмнө нь гаргаж авсан мэдэгдлийг ашиглахыг зөвшөөрдөг. Аксиоматик аргыг ашиглах шалтгаан нь өөр байж болох бөгөөд энэ нь ихэвчлэн аксиомуудыг зөвхөн томъёололоор нь төдийгүй арга зүйн (прагматик) статусаар нь ялгахад хүргэдэг. Жишээлбэл, аксиом нь мэдэгдлийн статустай, эсвэл таамаглалын статустай эсвэл нэр томъёоны хүссэн хэрэглээний талаархи хэл шинжлэлийн конвенцийн статустай байж болно. Заримдаа статусын энэ ялгаа нь аксиомуудын нэрэнд тусгагдсан байдаг (эмпирик онолын орчин үеийн аксиомуудад бүх аксиомуудын дунд хэл шинжлэлийн конвенцуудыг илэрхийлдэг утгын постулатуудыг ихэвчлэн ялгадаг бөгөөд эртний Грекчүүд геометрийн аксиомуудыг ерөнхий ойлголт, постулатууд гэж үздэг байсан. эхнийх нь тайлбарлаж, хоёр дахь нь баригдаж байна). Ерөнхийдөө аксиомын төлөв байдлыг харгалзан үзэх нь заавал байх ёстой, учир нь жишээлбэл, аксиомын томъёолол, семантикийг өөрчлөхгүйгээр аксиомын онолын агуулгыг өөрчлөх боломжтой, гэхдээ зөвхөн статусыг нь өөрчлөх, тунхаглах гэх мэт. тэдгээрийн нэг нь утгын шинэ постулат юм. Аксиоматик аргыг анх Евклид "Элементүүд" номондоо харуулсан боловч аксиом, постулат, тодорхойлолт гэсэн ойлголтуудыг Аристотель аль хэдийн авч үзсэн байдаг. Ялангуяа аксиомыг шаардлагатай бол тайлбарлах нь түүнд буцаж ирдэг нийтлэг зарчимнотлох баримт. Аксиомыг тодорхой үнэн гэж ойлгох нь хожим хөгжиж, Порт-Роялын сургуулийн логик гарч ирснээр үндэс суурь болж, зохиогчдын хувьд нотлох баримт нь тодорхой үнэнийг шууд (цэвэр эргэцүүлэн бодох, эсвэл зөн совингоор) ухамсарлах сэтгэлийн онцгой чадварыг илэрхийлдэг. ). Дашрамд дурдахад, Кант Евклидийн геометрийн априори нийлэг шинж чанарт итгэх итгэл нь аксиомыг хэл шинжлэлийн зүй тогтол, таамаглал гэж үздэггүй энэ уламжлалаас хамаардаг. Евклидийн бус геометрийн нээлт (Гаусс, Лобачевский, Боляй); шинэ тооны систем, тэдгээрийн бүхэл бүлгүүдийн хийсвэр алгебр дахь дүр төрх (жишээлбэл, /-adic тоо); бүлгүүд гэх мэт хувьсах бүтэц бий болсон; Эцэст нь "аль геометр нь үнэн бэ?" гэх мэт асуултуудын хэлэлцүүлэг. - Энэ бүхэн нь эртнийхтэй харьцуулахад аксиомын хоёр шинэ статусыг олж мэдэхэд хувь нэмэр оруулсан: аксиомууд нь тайлбар (боломжийн ертөнцийн боломжит ангиуд) ба аксиомууд нь тодорхой мэдэгдэл биш харин таамаглал юм. Ийнхүү суурь нь бүрдсэн орчин үеийн ойлголтаксиоматик арга. Аксиоматик аргын энэхүү хөгжил нь Евклидийн "Зарчмууд" -ыг 19-р зууны математикийн хамгийн өндөр ололтод суурилсан геометрийн шинэ аксиоматик болох Д.Хилбертийн "Геометрийн үндэс"-тэй харьцуулах үед илүү тодорхой харагдаж байна. Мөн зууны төгсгөлд Ж.Пиано натурал тооны аксиоматикийг өгсөн. Цаашилбал, парадоксуудыг олсны дараа олонлогын онолыг хадгалахын тулд аксиоматик аргыг ашигласан. Үүний зэрэгцээ аксиоматик аргыг логикт нэгтгэсэн. Хильберт сонгодог саналын логикийн аксиом, дүгнэлтийн дүрмийг, П.Бернейс предикатуудын логикийг томъёолжээ. Өнөө үед аксиоматик даалгавар нь шинэ логик, шинэ алгебрийн ойлголтыг тодорхойлох стандарт арга юм. Сүүлийн хэдэн арван жилд онолын загварууд хөгжихийн хэрээр аксиоматик аргыг загвар онолын аргаар бараг зайлшгүй нөхөх болсон.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

аксиоматик арга

АКСИОМАТИЙН АРГА (Грекийн аксиомагаас) - хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь - шинжлэх ухааны онолыг бий болгох арга бөгөөд зөвхөн аксиом, постулат, тэдгээрээс өмнө нь гаргаж авсан мэдэгдлийг нотлоход ашигладаг. Үүнийг анх Евклид "Элементүүд" номондоо тодорхой харуулсан боловч аксиом ба постулат гэсэн ойлголтуудыг Аристотель аль хэдийн дурдсан байдаг. Эртний Грекчүүдийн дунд аксиом нь маш тодорхой томъёолсон санал байсан бөгөөд энэ нь батлагдаагүй бөгөөд бусад нотолгооны үндэс болгон ашигладаг байв. Постулат гэдэг нь ямар нэгэн бүтээн байгуулалт хийх боломжийн талаархи мэдэгдэл юм. Иймээс “Бүхэл нь хэсгээс их” гэдэг нь аксиом, “Өгөгдсөн радиустай цэгээс тойрог дүрсэлж болно” гэдэг нь постулат юм. Дараа нь аксиомын тухай ойлголт нь постулат гэсэн ойлголтыг шингээсэн, учир нь дүрслэх чадвар ба конструктив байдлын тухай ойлголтууд биелээгүй байсан (аксиом нь дүрсэлсэн, постулат бий болгодог). Эллиний геометрийн бараг бүх аксиомууд маш тодорхой бөгөөд амжилттай томъёолсон тул эргэлзээ төрүүлээгүй. Гэсэн хэдий ч Евклидийн нэг заалт, тухайлбал, "Шугамнаас гадуур орших цэгээр дамжуулан өгөгдсөн цэгтэй параллель шугамыг зөвхөн нэг зурж болно" гэсэн үгтэй дүйцэх тав дахь постулат нь эхнээсээ эргэлзээтэй байсан. Түүгээр ч зогсохгүй Евклидээс өмнө Эллинчууд бүх гурван боломжит таамаглалыг судалж үзсэн: 1) нэг параллель шугам зурах боломжгүй, 2) нэгээс олон зурах боломжтой, 3) зөвхөн нэг зэрэгцээ шугам зурах боломжтой; гэхдээ Евклид зориуд нэг томъёоллыг сонгосон, учир нь зөвхөн энэ тохиолдолд дөрвөлжин ба дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын тухай ойлголт бий болсон. Дараа нь өөр хувилбар байгаа эсэхийг мартаж, тав дахь постулатыг батлахыг олон удаа оролдсон. 17-р зуун хүртэл. A. m. бага зэрэг хөгжсөн. Евклид, Архимед нар статик ба оптикийн аксиомуудыг томъёолсон бөгөөд хожим нь тайлбар, канончлолын ерөнхий хандлагатай холбогдуулан судалгааг орчуулсан, эсвэл хамгийн сайндаа хуучин аксиомын системд дүн шинжилгээ хийсэн. Шинэ математик нь AM-аас татгалзаж эхэлсэн бөгөөд хязгааргүй жижиг тоонуудын дүн шинжилгээ нь албан бус онол болж хөгжсөн нь гайхах зүйл биш юм. "Бүхэл бүтэн хэсэг нь хэсгээс бага" аксиомын эргэлзээтэй байдлыг Кузагийн Николас ба түүний дараа Галилео нар хязгааргүй агрегатуудын хувьд бүхэл хэсэг нь изоморф байж болно гэдгийг харуулсан тул ойлгосон. Гэвч энэ нээлт нь Христийн шашинтай (хязгааргүй Бурханы янз бүрийн гипостазын үзэл баримтлалтай) дэндүү сайн тохирч байсан тул дутуу үнэлэв. Цаашилбал, Спинозагийн геометрийн, цэвэр оновчтой аргыг ашиглан ёс зүй, метафизикийн тогтолцоог бий болгох оролдлого бүтэлгүйтсэн нь одоо байгаа AM-ыг хүмүүнлэгийн үзэл баримтлалд ашиглах боломжгүй болохыг харуулсан. А-руу буцах. 19-р зуунд болсон. Энэ нь Евклидийн бус геометр (Евклидийн өмнө мэдэгдэж байсан, гэхдээ дараа нь бүрмөсөн мартагдсан зүйлийг дахин нээсэн) болон хийсвэр алгебр гэсэн хоёр нээлт дээр тулгуурласан. Евклидийн бус геометрийн хувьд (Гаусс, Лобачевский, Боляй) тавдугаар постулатын үгүйсгэлүүдийн аль нэг нь, тухайлбал, шугамын гадна байрлах цэгээр дамжуулан өгөгдсөнтэй параллель хоёр шулуун шугам зурж болно гэдгийг харуулсан. геометрийн бусад аксиомуудтай. Тиймээс "цорын ганц үнэн" орон зайг дүрслэхийн тулд бүтээсэн аксиом, постулатууд нь янз бүрийн орон зайн бүхэл бүтэн ангиллыг тодорхойлдог. Хийсвэр алгебрийн хувьд шинэ тооны системүүд гарч ирсэн бөгөөд үүнд тэдгээрийн бүхэл бүлгүүд (жишээ нь, p-adic тоо) болон бүлгүүд гэх мэт хувьсах бүтэц бий болсон. Хувьсах бүтцийн шинж чанарыг аксиом ашиглан дүрслэх нь зүй ёсны хэрэг байсан ч одоо хэн ч өөрсдийн нотлох баримтыг шаардаагүй, харин тэдгээрийг математикийн объектын ангиллыг дүрслэх арга гэж үзэх болсон. Жишээлбэл, хагас бүлгийг нэг аксиомоор тодорхойлно - үржүүлэх холбоо: a° (б ов) = (а о б)О ХАМТ.Геометрийн хувьд сонгодог аксиомуудын талаар шүүмжлэлтэй дахин эргэцүүлэн бодох цаг болжээ. Э.Паш Евклид “Хэрвээ шулуун гурвалжны аль нэг талыг огтолж байвал нөгөөг нь ч мөн огтолно” гэсэн түүний дүрсэлсэн шиг зөн совингийн хувьд ойлгомжтой өөр постулатын хараагүй гэдгийг харуулсан. Гурвалжны тэгш байдлын шалгууруудын аль нэгийг аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстой, эс тэгвээс бусад аксиомуудаас дүрсийг шилжүүлэх боломж гарахгүй тул нотлох баримтын хатуу байдал алдагдах болно гэдгийг харуулсан. "Бүхэл нь хэсэгээс бага" аксиомыг шинэ математикийн үүднээс утгагүй гэж үзэн, тоон үзүүлэлтүүдийн хоорондын хамаарлын тухай хэд хэдэн заалтаар сольсон. Эцэст нь Д.Хилберт 19-р зууны математикийн хамгийн өндөр ололтод тулгуурлан геометрийн шинэ аксиоматикийг томъёолжээ. Эллин болон түүнээс хойшхи үед тооны тухай ойлголтыг аксиомат байдлаар тайлбарлаагүй. Зөвхөн 19-р зууны төгсгөлд. Г.Пиано (Итали) натурал тооны аксиоматикийг өгсөн. Пиано, Хилберт нарын аксиоматик нь дээд эрэмбийн нэг зарчмыг агуулдаг бөгөөд энэ нь тогтсон ойлголтуудын тухай биш, харин дурын ойлголтууд эсвэл нэгтгэлүүдийн тухай өгүүлдэг. Жишээлбэл, арифметикийн хувьд энэ нь математикийн индукцийн зарчим юм. Дээд зэрэглэлийн зарчмуудгүйгээр стандарт математикийн бүтцийг хоёрдмол утгагүй тайлбарлах боломжгүй юм. А.М-г аврах ажиллагаанд ашигласан олонлогын онолтүүнтэй холбоотой олсны дараа парадоксууд.Аврах ажиллагааг өөрөө хамгийн сайн аргаар хийсэнгүй - нөхөөсөөр парадигмууд.Математикт шаардлагатай бүтцийг бий болгож, парадокс руу хөтөлдөггүй мэт санагдсан олонлогын онолын зарчмуудыг аксиом гэж хүлээн зөвшөөрсөн. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн AM-ыг логикоор ерөнхийлсөн. Д.Гильберт сонгодог бүтээлийн аксиом, дүгнэлтийн дүрмийг тодорхой томъёолсон саналын логик,болон П.Бернайс - предикат логик.Өнөө үед аксиоматик даалгавар нь шинэ логик, шинэ алгебрийн үзэл баримтлалыг тодорхойлох стандарт арга юм. Орчин үеийн математикийн аргууд нь уламжлалт аргуудаас ялгаатай нь зөвхөн аксиом төдийгүй хэл, логикийн хувьд тайлбарлаж буй онол, системийн дүгнэлтийн дүрмийг тодорхой зааж өгдөг. Шинэчлэгдсэн, хүчирхэгжүүлсэн AM нь мэдлэгийн шинэ салбарт хүчирхэг зэвсэг болсон танин мэдэхүйн шинжлэх ухаанболон математик хэл шинжлэл. Энэ нь семантик асуудлыг синтаксийн түвшинд хүртэл бууруулах боломжийг олгодог бөгөөд ингэснээр тэдгээрийг шийдвэрлэхэд тусална. Сүүлийн хэдэн арван жилд загварын онол хөгжихийн хэрээр AM нь загвар онолын аргуудаар зайлшгүй нөхөгдөх болсон. Аксиоматик системийг боловсруулахдаа түүний загваруудын нийлбэрийг дүрслэх шаардлагатай. Аксиомын системийн хамгийн бага шаардлагатай үндэслэл нь тухайн загварын ангиллын хувьд түүний зөв, бүрэн бүтэн байдал юм. Гэхдээ програмын хувьд ийм албан ёсны үндэслэл хангалттай биш бөгөөд энэ нь бий болгосон системийн утга учир, түүний илэрхийлэх чадварыг харуулах шаардлагатай. Математик логикийн математикийн гол хязгаарлалт нь дээд эрэмбийн логик нь албан бус бөгөөд бүрэн бус байдаг бөгөөд үүнгүйгээр стандарт математик бүтцийг дүрслэх боломжгүй юм. Тиймээс, тодорхой тоон тооцоолол байгаа газруудад AM-ийг бүрэн математикийн хэлэнд хэрэглэх боломжгүй. Ийм газруудад зөвхөн бүрэн бус, үл нийцэх, хэсэгчилсэн буюу утга учиртай гэж нэрлэгддэг аксиоматжуулалт боломжтой. Үзэл баримтлалыг албан ёсны болгохгүй байх нь хачирхалтай нь эдгээр ойлголтуудад AM хэрэглэхэд саад болохгүй. Гэсэн хэдий ч тогтмол орчинд ажиллахдаа илүү үр дүнтэй албан ёсны загвар руу шилжих нь зүйтэй юм. Энэ тохиолдолд формализмын эерэг шинж чанар нь ихэнхдээ бодит нөхцөл байдалтай нийцэхгүй байх явдал юм. Формализм нь үзэл баримтлалын агуулгад бүрэн нийцэж чадахгүй, гэхдээ эдгээр зөрчилдөөн нь нуугдмал байвал тухайн нөхцөл байдал нь ашиглахад тохиромжтой байхаа больсон ч, тэр ч байтугай ашиглахад тохиромжгүй нөхцөл байдалд ч формализмыг үргэлжлүүлэн ашигладаг. хамгийн эхлэл. Хэсэгчилсэн албан ёсны хувьд ижил төстэй аюулууд байдаг. Би бол Н. Непейвода

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

Хотын боловсролын байгууллага.

Вознесенскийн дунд сургууль.

Математикийн тухай хураангуй

"Аксиоматик ба аксиоматик арга" сэдвээр

7-р ангийн сурагч Евгений Викторович Каер.

Дарга Пузикова N.V.

-тай. Вознесенка, 2007 он

аксиоматик арга, түүний хэрэглээг судлах янз бүрийн бүс нутагмэдлэг.

· Аксиоматик гэж юу болохыг олж мэд.

· Геометрийн аксиоматик аргын хэрэглээг авч үзье

· Аксиоматик аргыг хэрэглэж сур.

1. Танилцуулга. Аксиоматик гэж юу вэ.

2. Аксиоматик арга бол шинжлэх ухааны хамгийн чухал арга юм.

3. Геометрийн аксиоматик арга.

4. Эрдэм шинжилгээний ажил. Шатрын тэмцээнд аксиоматик аргыг ашиглах.

6. Уран зохиол.

1. Танилцуулга. Аксиоматик гэж юу вэ.

Аксиом гэдэг нь аливаа зүйлийн шинж чанарын талаархи зарим мэдэгдлийг эхлэлийн цэг болгон хүлээн зөвшөөрч, үүний үндсэн дээр теоремуудыг цаашид нотолж, ерөнхийдөө бүхэл бүтэн онолыг бий болгодог.

Аксиоматик бол тодорхой шинжлэх ухааны аксиомын систем юм. Жишээлбэл, анхан шатны геометрийн аксиоматик нь хоёр арав орчим аксиом агуулдаг. тооны талбарын аксиоматик-9 аксиом. Тэдэнтэй хамт амин чухал үүрэгорчин үеийн математикт бүлгийн аксиоматик, метрийн аксиоматик ба вектор орон зайгэх мэт.

ЗХУ-ын математикч С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров нар гавьяат. аксиоматик тайлбармагадлалын онол. Орчин үеийн математикийн бусад олон арван чиглэлүүд аксиоматик үндсэн дээр хөгжиж байна, жишээлбэл. аксиомын харгалзах систем дээр үндэслэсэн.

2. Аксиоматик арга бол шинжлэх ухааны хамгийн чухал арга юм

Аксиоматик арга бол ертөнцийг танин мэдэх шинжлэх ухааны чухал хэрэгсэл юм. Орчин үеийн математик, онолын механик, хэд хэдэн хэсгүүдийн ихэнх самбарууд орчин үеийн физикаксиоматик арга дээр суурилдаг. Математикийн хувьд аксиоматик арга нь шинжлэх ухааны онолыг бүрэн, логик уялдаатай бүтээх боломжийг олгодог. Аксиомат аргаар бүтээгдсэн математикийн онол нь байгалийн шинжлэх ухаанд олон хэрэглээг олдог нь чухал ач холбогдолтой юм.

Аливаа мэдлэгийн талбарыг аксиоматик байгуулах орчин үеийн үзэл бодол нь дараах байдалтай байна.

1. Анхны (тодорхойгүй) ойлголтуудыг жагсаасан;

2. Анхны ойлголтуудын хоорондын зарим холбоо, харилцааг тогтоосон аксиомуудын жагсаалтыг зааж өгсөн;

3. Тодорхойлолтын тусламжтайгаар цаашдын ойлголтуудыг танилцуулна;

4. Аксиомд агуулагдаж буй анхны баримтууд дээр үндэслэн заримыг ашиглан дүгнэлт хийж, нотолсон болно. логик систем нэмэлт баримтууд- теоремууд.

Анхны ойлголт, аксиомуудыг туршлагаас авсан. Иймээс аксиоматик онолоор гаргасан дараагийн бүх баримтууд нь аксиомын үндсэн дээр цэвэр таамаглал, дедуктив аргаар олж авсан ч гэсэн тодорхой байна. ойр холболтамьдралтай бөгөөд хэрэглэж болно практик үйл ажиллагаахүн.

Аксиомын тогтолцоонд тавигдах хамгийн чухал шаардлага бол түүний тууштай байдал бөгөөд үүнийг дараах байдлаар ойлгож болно: эдгээр аксиомуудаас хичнээн теорем гаргаж авсан ч тэдгээрийн дотор хоорондоо зөрчилддөг хоёр теорем байхгүй болно. Эсрэг аксиоматик нь утга учиртай онолыг бий болгох үндэс суурь болж чадахгүй.

Нэг буюу өөр аксиоматик онолыг боловсруулсны дараа бид давтан үндэслэлгүйгээр түүний дүгнэлт нь авч үзэж буй аксиомууд үнэн байх тохиолдол бүрт үнэн болохыг баталж чадна. Тиймээс аксиоматик арга нь бүхэл тоонуудыг аксиомат байдлаар авах боломжийг олгодог боловсруулсан онолуудмэдлэгийн янз бүрийн салбарт ашиглах. Энэ бол аксиоматик аргын хүч чадал юм.

3. Геометрийн аксиоматик арга

Геометрийг судлахдаа бид хэд хэдэн аксиом дээр тулгуурласан. Аксиомууд нь анхдагч гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн геометрийн үндсэн зарчмууд гэдгийг санацгаая. Үндсэн ойлголт гэж нэрлэгддэг зүйлсийн хамт тэдгээр нь геометрийг бий болгох үндэс суурийг бүрдүүлдэг. Бидний анх танилцсан үндсэн ойлголт бол цэг ба шугамын тухай ойлголтууд байв. Үндсэн ойлголтуудын тодорхойлолтыг өгөөгүй бөгөөд тэдгээрийн шинж чанарыг аксиомоор илэрхийлдэг. Үндсэн ойлголт, аксиомуудыг ашиглан бид шинэ ухагдахуунуудын тодорхойлолтыг өгч, теоремуудыг томъёолж, нотолж, улмаар геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарыг судалдаг.

Жишээлбэл, параллель шугамын аксиомыг авч үзье.

Өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун л өнгөрдөг.

Аксиомуудаас шууд үүсэлтэй мэдэгдлийг үр дагавар гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ шугамын аксиомоос зарим үр дүнг авч үзье.

1. Хэрэв шулуун хоёр зэрэгцээ шулууны аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно.

2. Гурав дахь шулуунтай параллель хоёр шулуун байвал зэрэгцээ байна.

4. Эрдэм шинжилгээний ажил. Шатрын тэмцээнд аксиоматик аргыг ашиглах.

Аксиоматик аргыг хэрхэн ашигладаг талаар илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлахын тулд бид жишээ өгдөг. Хэд хэдэн сургуулийн сурагчид хялбаршуулсан схемийн дагуу шатрын тэмцээн зохион байгуулахаар шийдсэн гэж үзье: тус бүр нь бусад оролцогчдын аль нэгтэй яг дөрвөн тоглоом тоглох ёстой (мөн цагаан эсвэл хар хэсгүүдээр - тэмцээний хуваарийг гаргахын тулд танд хэрэгтэй). оюутнуудын тэмцээнд тавьсан шаардлагыг аксиом хэлбэрээр томъёолох. Үүнийг хийхийн тулд "тоглогч", "тоглоом", "тоглоом дахь тоглогчийн оролцоо" гэсэн гурван анхны (тодорхойгүй) ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай байв. Дөрвөн аксиом байдаг:

Аксиом 1. Тоглогчдын тоо сондгой.

Аксиом 2. Тоглогч бүр дөрвөн тоглоом тоглодог .

Аксиом 3. Тоглоом бүрт хоёр тоглогч оролцдог .

Аксиом 4. Хоёр тоглогч бүрт хоёулаа оролцдог хамгийн ихдээ нэг тоглоом байдаг.

Эдгээр аксиомуудаас хэд хэдэн теоремуудыг гаргаж болно.

Теорем 1. Тоглогчдын тоо дор хаяж тав байна .

Баталгаа.Тэгээс хойш тэгш тоо, дараа нь аксиом 1-ээр тоглогчдын тоо тэгтэй тэнцүү биш, i.e. наад зах нь нэг тоглогч А байна. Аксиом 2-ын дагуу энэ тоглогч дөрвөн тоглолтонд оролцдог бөгөөд эдгээр тоглоом бүрт А-аас гадна өөр тоглогч оролцдог (аксиом 3). B, C, D, E нь эдгээр тоглоомд оролцож буй А-аас өөр тоглогч байг. Аксиом 4-ийн дагуу бүх зүйл тоглогчид B, C, D, Eялгаатай (жишээлбэл, B = C байсан бол A, B = C тоглогчид оролцдог хоёр тоглоом байх болно. Тиймээс бид A, B, C гэсэн таван тоглогчийг аль хэдийн олсон байна). , Д, Э. Харин дараа нь Axiom 1-ийн дагуу тоглогчдын тоо таваас багагүй байна.

Теорем.2 . Бүх тоглогчдын тоглолтын тоо тэгш байна .

q бол тодорхой тоглоом, бид шинэ ойлголтыг танилцуулж байна - (q,A) - тоглогчийн гүйцэтгэл.

Баталгаа. Тоглолт бүр нь тоглогчдын хоёр тоглолтыг өгдөг (q, A), (q, B), (3-р аксиомын дагуу), бүх гүйцэтгэлийн тоо 2n, энд n нь тоглогчдын тоо (A 4). Тиймээс, бүх тоглогчийн харагдах тоо нь 2-ын үржвэр, i.e. бүр.

Теорем 3. Тэмцээний ялалтын тоо нь тоглогчдын тооноос хэтрэхгүй.

Баталгаа. Болъё n- тоглогчдын тоо, тэгвэл 2х- тоглогчдын тоглолтын тоо (A), n- тоглосон тоглоомын тоо (A3). Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1. Бүх тоглоом ялагч, хожигдолтой байсан. Дараа нь ялалтын тоо нь тоглолтын тоотой тэнцүү байх болно, i.e. х.

2. Зарим тоглолтууд тэнцээгээр дууссан, ийм тоглолтууд байг руу.Дараа нь үлдсэн хэсэгт p - kтоглолтонд ялагч тодорсон, i.e. хожлын тоо нь тоглоомын тооноос хэтрэхгүй. Теорем нь батлагдсан.

Уран зохиолыг уншсаны дараа аксиом гэж юу болох, аксиоматик арга гэж юу болох, геометрт хэрхэн хэрэглэгдэх талаар олж мэдсэн. Аксиоматик аргыг судалсны дараа би үүнийг шатрын тэмцээнийг судлахдаа ашигласан.

Уран зохиол.

Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг

/ Comp. E-68 A.P. Савин.- М .: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1989.

Геометр, 7-9: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага / L.S. Атанасян нар Боловсрол, 2004.