Кибернетик эдийн засагчдад зориулсан англи хэлний сурах бичиг. Эдийн засгийн нэр томьёоны товч толь бичиг

Таны зорилго:тэгш бус байдлыг нотлох аргуудыг мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байх.

Практик хэсэг

Тэгш бус байдлын баталгааны тухай ойлголт . Зарим тэгш бус байдал үнэн болдог тоон тэгш бус байдалхүн бүрийн өмнө хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэхувьсагч эсвэл өгөгдсөн хувьсагчийн утгын багц дээр. Жишээлбэл, тэгш бус байдал А 2 ³0, ( А–б) 2 ³ 0 , а 2 + б 2 + в 2 " ³ 0 нь аль ч тохиолдолд үнэн юм бодит үнэ цэнэхувьсагч ба тэгш бус байдал ³ 0 – аливаа бодит сөрөг бус утгуудын хувьд А.Заримдаа тэгш бус байдлыг нотлох асуудал гарч ирдэг.

Тэгш бус байдлыг нотлох нь үүнийг харуулах гэсэн үг юм энэ тэгш бус байдалхувьсагчийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд эсвэл эдгээр хувьсагчдын өгөгдсөн багц утгын хувьд жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болж хувирдаг.

Тэгш бус байдлыг батлах аргууд.Үүнийг анхаарна уу ерөнхий аргатэгш бус байдлын нотолгоо байхгүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн заримыг нь зааж өгч болно.

1. Тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талуудын ялгааны тэмдгийг тооцоолох арга.Тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талуудын хоорондох ялгааг гаргаж, хувьсагчдын авч үзсэн утгуудын хувьд энэ ялгаа эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг тогтооно (хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд энэ ялгаа нь бус эсэхийг тогтоох шаардлагатай. сөрөг эсвэл эерэг биш).

Жишээ 1. Аливаа бодит тоонуудын хувьд АТэгээд бтэгш бус байдал бий

а 2 +б 2³ 2 ab. (1)

Баталгаа. Тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талын ялгааг гаргая.

а 2 +б 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a–b) 2 .

Аль ч квадратаас хойш бодит тоосөрөг бус тоо бол ( a–b) 2 ³ 0 гэсэн үг а 2 +б 2³ 2 abямар ч бодит тоонуудын хувьд АТэгээд б.(1)-д байгаа тэгш байдал нь зөвхөн, зөвхөн тохиолдолд л үүсдэг a = b.

Жишээ 2. Хэрэв гэдгийг батал А³ 0 ба б³ 0, дараа нь ³ , i.e. сөрөг бус бодит тоонуудын арифметик дундаж АТэгээд бтэдний геометрийн дундажаас багагүй.

Баталгаа. Хэрэв А³ 0 ба б³ 0, тэгвэл

³ 0. Тэгэхээр, ³ .

2. Дедуктив аргатэгш бус байдлын нотолгоо.Энэ аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: хэд хэдэн хувиргалтыг ашиглан шаардлагатай тэгш бус байдлыг зарим мэдэгдэж байгаа (лавлагаа) тэгш бус байдлаас гаргаж авдаг. Жишээлбэл, дараахь тэгш бус байдлыг ишлэл болгон ашиглаж болно. ААливаад 2 ³ 0 аÎ Р ; (a–b) 2 ³ 0 аль нэг нь АТэгээд бÎ Р ; (А 2 + б 2) ³ 2 abямар ч хувьд а, бÎ Р ; ³ цагт А ³ 0, б ³ 0.

Жишээ 3. Дурын бодит тоонуудын хувьд үүнийг батал АТэгээд бтэгш бус байдал байна

А 2 + б 2 + -тай 2³ ab + bc + ac.

Баталгаа. Жинхэнэ тэгш бус байдлаас ( a–b) 2 ³ 0, ( б – в) 2 ³ 0 ба ( в – а) 2 ³ 0 үүнийг дагадаг А 2 + б 2³ 2 ab, б 2 + в 2³ 2 МЭӨ, в 2 + а 2³ 2 ac.Гурван тэгш бус байдлыг гишүүнээр нь нэмээд шинийн хоёр талыг 2-т хувааснаар бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авна.

Анхны тэгш бус байдлыг эхний аргыг ашиглан баталж болно. Үнэндээ, А 2 + б 2 + -тай 2 –ab – bc – ac = 0,5(2А 2 + 2б 2 + 2-тай 2 – 2ab - 2МЭӨ - 2ac) = = 0,5((a–b) 2 + (a–c) 2 + (б–в) 2)³ 0.

Хоорондын ялгаа А 2 + б 2 + -тай 2 ба ab + bc + acтэгээс их буюу тэнцүү гэсэн үг А 2 + б 2 + -тай 2³ ab + bc + ac(тэгш байдал нь зөвхөн, хэрэв байгаа бол үнэн юм a = b = c).

3. Тэгш бус байдлыг нотлох үнэлгээний арга.

Жишээ 4. Тэгш бус байдлыг батал

+ + + … + >

Баталгаа. Тэгш бус байдлын зүүн талд 100 гишүүн байгаа бөгөөд тус бүр нь багагүй байна. Энэ тохиолдолд тэд ингэж хэлдэг зүүн талтэгш бус байдлыг доороос дараах байдлаар тооцоолж болно.

+ + + … + > = 100 = .

4. Бүрэн индукцийн арга.Аргын мөн чанар нь асуудлын нөхцөл байдлыг бүхэлд нь хамарсан бүх онцгой тохиолдлуудыг авч үзэх явдал юм.

Жишээ 5. Хэрэв гэдгийг батал x > ï цагтï , Тэр x > y.

Баталгаа. Хоёр боломжит тохиолдол байдаг:

A) цагт³ 0 ; тэгвэл цагтï = у,болон нөхцөлөөр x >ï цагтï . гэсэн үг, x > y;

б) цагт< 0; тэгвэл цагтï > yболон нөхцөлөөр x >ï цагтï гэсэн үг x > y.

Практик хэсэг

Даалгавар 0. Ав хоосон хуудасцаас болон түүн дээр доор өгөгдсөн бүх аман дасгалын хариултыг бич. Дараа нь хариултаа төгсгөлд байгаа хариулт эсвэл хураангуй зааврын дагуу шалгана уу боловсролын элемент"Таны туслах" хэсэгт.

Амны дасгалууд

1. Хоёр тэнцүү бус тооны квадратуудын нийлбэр ба тэдгээрийн давхар үржвэрийг харьцуул.

2. Тэгш бус байдлыг батал:

A) ;

б) ;

V) ;

3. Энэ нь мэдэгдэж байна. Үүнийг батлах.

4. Энэ нь мэдэгдэж байна. Үүнийг батлах.

Даалгавар 1.Илүү юу вэ:

a) 2 + 11 эсвэл 9; d) + эсвэл;

б) эсвэл +; e) - эсвэл;

в) + эсвэл 2; e) + 2 эсвэл +?

Даалгавар 2.Үүнийг ямар ч бодитойгоор нотол xтэгш бус байдал байна:

а) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4 x;

б) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); e) ³ 2 x;

V) ( x– 2) 2 > x(x– 4); e) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

Даалгавар 3.Үүнийг батлах:

A) x 3 + 1³ x 2 + x,Хэрэв x³ –1;

б) x 3 + 1 фунт x 2 + x,Хэрэв x£ -1 .

Даалгавар 4.Үүнийг нотлох а ³ 0, б³ 0, -тай³ 0, г³ 0, тэгвэл

(а 2 + б 2)(в 2 + г 2) ³ ( ac + бд) 2 .

Даалгавар 5.Тусгаарлах замаар тэгш бус байдлыг нотлох төгс дөрвөлжин:

A) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

б) x 2 + y 2 + 2³2( x+y);

в) 10 x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

G) x 2 – xy + y 2 ³ 0 ;

г) x 2 + y 2 + z 2 + 3³ 2( x + y + z);

д) ( x+л)( x - 2y +л) + y 2 ³ 0 .

Даалгавар 6.Үүнийг батлах:

A) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

б) x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2цагт + 1 > 0;

в) 3 x 2 + y 2 + 8x+ 4у - 2xy + 22 ³ 0;

G) x 2 + 2xy+ 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Даалгавар 7.Үүнийг нотлох n³ к³ 1, тэгвэл к(n–k+ 1) ³ n.

Даалгавар 8. 4 бол гэдгийг батал А + 2б= 1, тэгвэл а 2 + б 2³ .

Үнэт зүйлсийг тодорхойлох АТэгээд б,Энэ үед тэгш байдал үүсдэг.

Даалгавар 9.Тэгш бус байдлыг батлах:

A) X 3 + цагт 3³ X 2 цагт + xy 2 цагт x³ 0 ба y ³ 0;

б) X 4 + цагт 4³ X 3 цагт + xy 3 аль нэг нь xТэгээд цагт;

V) X 5 + цагт 5³ X 4 цагт + xy 4 цагт x³ 0 ба y ³ 0;

G) x n + у н ³ x n-1 жил + xy n-1 цагт x³ 0 ба y ³ 0.

Тэгш бус байдлыг батлах аргууд.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Эквивалент тэгш бус байдал.

Интервалын арга. Тэгш бус байдлын системүүд.

Тэгш бус байдлын баталгаа. Баталгаажуулах хэд хэдэн арга байдагтэгш бус байдал. Бид тэгш бус байдлын жишээг ашиглан тэдгээрийг авч үзэх болно.

Хаана a - эерэг тоо.

1). Мэдэгдэж байгаа эсвэл өмнө нь батлагдсан тэгш бус байдлыг ашиглах.

а, бид авах: а 2 + 1 < 2 а, өөрөөр хэлбэл

а 2 + 1 – 2 а < 0 , эсвэл ( а– 1 ) 2 < 0, Энэ нь үнэн биш юм. (Яагаад?).

Үүний үр дүнд гарсан зөрчилдөөн нь үнэн зөвийг нотолж байна

Асууж буй тэгш бус байдал.

4). Тодорхойгүй тэгш бус байдлын арга.

Тэгш бус байдлыг гэж нэрлэдэг тодорхойгүйхэрэв түүнд тэмдэг байгаа бол\/ эсвэл /\,

тэдгээр. Бид аль замыг мэдэхгүй үедЭнэ тэмдгийг эргүүлэх хэрэгтэй

шударга тэгш бус байдлыг олж авах.

Үүнтэй ижил дүрэм энд хамаарнаба энгийн тэгш бус байдлын хамт.

Тодорхойгүй тэгш бус байдлыг авч үзье.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлэха, бид авах: а 2 + 1 \/ 2 а, өөрөөр хэлбэл

А 2 + 1 – 2 а \/ 0 , эсвэл ( а– 1) 2 \/ 0 , гэхдээ энд бид хэрхэн эргэхээ аль хэдийн мэддэг болсон

Зөв тэгш бус байдлыг авахын тулд \/ гарын үсэг зурна уу (Яаж?). Эргүүлж байна

IN зөв чиглэлдтэгш бус байдлын бүх гинжин хэлхээний дагуу доороос дээш, бид
Бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авна.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Ижил үл мэдэгдэхийг агуулсан хоёр тэгш бус байдлыг нэрлэнэ тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь эдгээр үл мэдэгдэх утгуудын хувьд хүчинтэй байвал. Хоёр тэгш бус байдлын системийн эквивалентийн хувьд ижил тодорхойлолтыг ашигладаг. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь тэгш бус байдалтай тэнцэх нэг тэгш бус байдлаас нөгөөд шилжих үйл явц юм. Энэ зорилгоор тэдгээрийг ашигладаг тэгш бус байдлын үндсэн шинж чанарууд(см.). Нэмж дурдахад аливаа илэрхийллийг өгөгдсөнтэй ижил илэрхийллээр сольж болно. Тэгш бус байдал байж болно алгебрийн(агуулсан зөвхөн олон гишүүнт) Мөн трансцендентал(жишээ нь логарифм эсвэлтригонометр). Бид энд нэг маш чухал аргыг авч үзэх болно.шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг алгебрийнтэгш бус байдал

Интервалын арга. Тэгш бус байдлыг шийдэх: ( x – 3)( x – 5) < 2( x – 3). Энд бид тэгш бус байдлын хоёр талыг хувааж болохгүй ((x – 3), Учир нь бид энэ хоёртын тэмдгийг мэдэхгүй байна (энэ нь үл мэдэгдэх зүйлийг агуулдаг x ). Тиймээс бид дахин товлох болноЗүүн талд байгаа тэгш бус байдлын бүх нөхцөл:

(x – 3)( x – 5) – 2( x – 3) < 0 ,

үүнийг хүчин зүйлээр тооцъё:

(x – 3)( x – 5 – 2) < 0 ,

тэгээд бид авдаг: ( x – 3)( x – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x= 3 ба x = 7 - энэ илэрхийллийн үндэс. Тиймээс бүх тооны мөрийг эдгээрт хуваанадараах гурван интервалд үндэслэнэ.

Интервалд I(x < 3 ) хүчин зүйлүүд хоёулаа сөрөг байдаг тул тэдгээрийн ажил эерэгээр; Винтервал II (3 < x< 7 ) эхний үржүүлэгч(x– 3 ) эерэг, хоёр дахь нь ( x - 7 ) сөрөг, тиймээс тэдний ажил сөрөг; интервалдIII(x> 7) хоёр хүчин зүйл нь эерэг, тиймээс тэдний бас ажил эерэгээр. Одоо зөвхөн бүтээгдэхүүнээ сонгох интервалыг сонгох л үлдлээ сөрөг. Энэ бол интервал юмIIТиймээс тэгш бус байдлын шийдэл: 3 < x< 7. Сүүлийн илэрхийлэл- гэж нэрлэгддэг давхар тэгш бус байдал. Энэ нь тийм гэсэн үгx 3-аас их, 7-оос бага аль аль нь байх ёстой.

ЖИШЭЭ Дараах тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийд.

(x – 1)(x – 2)(x – 3) … (x –100) > 0 .

Шийдэл тэгш бус байдлын зүүн талын үндэс нь тодорхой байна: 1, 2, 3, …, 100.

Тэд эвдэрдэг тооны тэнхлэг 101 интервалд:

Зүүн талд байгаа хаалтны тооноос хойш бүр(тэнцүү 100), дараа нь

At x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение

Эерэг. Үндэс дамжин өнгөрөхөд өөрчлөлт гардаг

Ажлын тэмдэг. Тиймээс дараагийн интервалаар дотор нь

Аль бүтээгдэхүүн эерэг байвал (2, 3), дараа нь (4, 5) байх болно.

Дараа нь (6, 7), ... , (98, 99) тэгээд эцэст нь, x >100.

Тиймээс энэ тэгш бус байдал нь дараахь шийдэлтэй байна.

x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.

Тэгэхээр, алгебрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, Би бүгдийг нь хөдөлгөх хэрэгтэй байназүүн талын гишүүд (эсвэлбаруун тал) болон шийдвэрлэххаргалзах тэгшитгэл.Дараа нь олсон үндсийг тооны тэнхлэг дээр зурах; үр дүнд нь тодорхой тооны интервалд хуваагддаг. Шийдлийн сүүлчийн шатанд эдгээр интервал тус бүрийн дотор олон гишүүнт ямар тэмдэг байгааг тодорхойлж, шийдэж буй тэгш бус байдлын тэмдгийн дагуу шаардлагатай интервалуудыг сонгох хэрэгтэй.

Ихэнх трансцендент тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах замаар алгебрийн тэгш бус байдал болж буурдаг гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг шинэ үл мэдэгдэх зүйлийн талаар шийдэх ёстой бөгөөд дараа нь урвуу орлуулалтаар анхны тэгш бус байдлын шийдлийг олох хэрэгтэй.

Тэгш бус байдлын системүүд. Тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн тулд тэдгээрийг тус бүрээр нь шийдэж, шийдлүүдийг нь нэгтгэх шаардлагатай. Энэ хослол нь хүргэдэг хоёрын нэг боломжит тохиолдлууд: системд шийдэл байгаа эсвэл үгүй.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлын системийг шийд:

Эхний тэгш бус байдлын шийдэл.x < 4 ; а второго: x > 6.

Тиймээс энэ тэгш бус байдлын системд шийдэл байхгүй.

(Яагаад?)

Жишээ 2. Тэгш бус байдлын системийг шийд:

Шийдэл: Эхний тэгш бус байдал нь өмнөх шигээ:x < 4; но решение

Энэ жишээн дээрх хоёр дахь тэгш бус байдал:x > 1.

Тиймээс тэгш бус байдлын системийн шийдэл: 1< x < 4.

Боловсролын байгууллага: Комсомольск-на-Амур хотын 1-р лицей хотын боловсролын байгууллага

Дарга: Будлянская Наталья Леонидовна

Та оролцохыг хүсвэл агуу амьдрал, дараа нь боломж байгаа цагт толгойгоо математикийн хичээлээр дүүргэ. Дараа нь тэр таны бүх ажилд маш их туслалцаа үзүүлэх болно. (М.И. Калинин)

Тэгш бус байдлын зүүн талыг сөрөг бус нөхцлийн нийлбэр (баруун тал нь 0) адилтгал ашиглан дүрслэх.

Жишээ 1. Ямар ч xϵR-ийн хувьд үүнийг батал

Баталгаа . 1 арга зам.

Арга 2.

квадрат функцийн хувьд

Энэ нь аливаа бодит байдлын хувьд түүний эерэг гэсэн үг юм X.

Жишээ 2. Дурын x ба у-ийн хувьд үүнийг батал

Баталгаа.

Жишээ 3. Үүнийг нотол

Баталгаа.

Жишээ 4. Аль ч a ба b хувьд үүнийг батал

Баталгаа.

2. Эсрэг арга

Энэ аргыг ашиглах сайн жишээ энд байна.

a, b ϵ R гэдгийг батал.

Баталгаа.

Ингэж бодъё.

Гэхдээ энэ нь бидний таамаг буруу гэдгийг тодорхой нотолж байна.

C.T.D.

Жишээ 5.Дурын A, B, C тоонуудын хувьд дараах тэгш бус байдал үнэн болохыг батал.

Баталгаа.Мэдээжийн хэрэг, сөрөг бус байдлын хувьд энэ тэгш бус байдлыг тогтооход хангалттай А, БТэгээд ХАМТ,учир нь бид дараах харилцаатай байх болно.

, Энэ нь анхны тэгш бус байдлын үндэслэл юм .

Одоо ийм сөрөг биш тоонууд байгаасай А, БТэгээд ХАМТ, үүний хувьд тэгш бус байдал хэрэгжинэ

, энэ нь ямар ч бодит байдалд боломжгүй юм А, БТэгээд ХАМТ. Дээр дурдсан таамаглалыг үгүйсгэж байгаа нь судалж буй анхны тэгш бус байдалаар нотлогддог.

Квадрат гурвалсан гишүүний шинж чанарыг ашиглах

Арга нь хэрэв квадрат гурвалжны сөрөг бус шинж чанарт суурилдаг

Тэгээд.

Жишээ 6. Үүнийг нотол

Баталгаа.

Болъё a=2, 2>0

=>

Жишээ 7. Аливаа бодит x ба y-ийн хувьд тэгш бус байдал биелэхийг батал

Баталгаа. Тэгш бус байдлын зүүн талыг квадрат гурвалжин гэж үзье X:

, a>0, D

D= => P(x)>0Тэгээд

аливаа бодит үнэ цэнийн хувьд үнэн XТэгээд у.

Жишээ 8. Үүнийг нотол

x ба y-ийн аливаа бодит утгуудын хувьд.

Баталгаа. Болъё ,

Энэ нь ямар ч бодитой гэсэн үг юм цагтба тэгш бус байдал

ямар ч бодит байдалд сэтгэл хангалуун байдаг XТэгээд у.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга эсвэл орлуулах арга

Жишээ 9. x, y, z сөрөг бус тоонуудын хувьд үүнийг батал

Баталгаа. Зөв тэгш бус байдлыг ашиглана,

.

Бид судалж буй тэгш бус байдлыг олж авдаг

Функцийн шинж чанарыг ашиглах.

Жишээ 10. Тэгш бус байдлыг баталъя

ямар ч a ба b.

Баталгаа. 2 тохиолдлыг авч үзье:

• Хэрэв a=b бол үнэн

Түүнчлэн a=b=0 үед л тэгш байдал бий болно.

2) Хэрэв

, R дээр =>

()* ()>0, энэ нь тэгш бус байдлыг баталж байна

Жишээ 11. Үүнийг хэнд ч баталцгаая

Баталгаа.

дээр Р.

Хэрэв тоонуудын тэмдгүүд давхцаж байгаа бол судалж буй зөрүү эерэг байна =>

Математик индукцийн аргын хэрэглээ

Энэ аргыг натурал тоонуудын тэгш бус байдлыг батлахад ашигладаг.

Жишээ 12. Дурын nϵN-ийн хувьд үүнийг батал

• Хэзээ хэлсэн үг үнэн эсэхийг шалгая

- (баруун)

2) Хэзээ гэсэн мэдэгдлийн үнэнийг төсөөл

(k>1)

3) n=k+1 үед уг мэдэгдлийн үнэнийг баталъя.

Харьцуулъя, тэгээд:

Бидэнд:

Дүгнэлт: мэдэгдэл нь хэний ч хувьд үнэн юм nϵN.

Гайхалтай тэгш бус байдлыг ашиглах

• Дундаж теорем (Кошигийн тэгш бус байдал)

• Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал

• Бернуллигийн тэгш бус байдал

Бүртгэгдсэн тэгш бус байдал бүрийг тусад нь авч үзье.

Дундаж утгын теоремын хэрэглээ (Коши тэгш бус байдал)

Хэд хэдэн сөрөг бус тооны арифметик дундаж нь геометрийн дунджаас их буюу тэнцүү байна

, Хаана

Тэнцүү тэмдэг нь зөвхөн ийм тохиолдолд л хүрнэ

Энэ теоремын онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

• n=2 гэж үзье

• n=2, a>0 гэж үзье

• n=3 гэж үзье

Жишээ 13. Бүх сөрөг бус a,b,c-д тэгш бус байдал биелнэ гэдгийг батал

Баталгаа.

Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал

Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал нь аливаад; харьцаа хүчинтэй байна

Батлагдсан тэгш бус байдал нь геометрийн тайлбартай байдаг. n=2,3-ын хувьд хавтгай ба орон зай дахь хоёр векторын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн уртын үржвэрээс хэтрэхгүй гэдгийг сайн мэддэг баримтыг илэрхийлж байна. n=2-ын хувьд тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байна. n=3-ын хувьд бид авна

Жишээ 14.

Баталгаа. Судалж буй тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичье.

Энэ бол Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлын онцгой тохиолдол тул энэ нь мэдээжийн үнэн тэгш бус байдал юм.

Жишээ 15. Дурын a,b,c ϵ R-ийн хувьд дараах тэгш бус байдал явагдана гэдгийг батал.

Баталгаа. Энэ тэгш бус байдлыг хэлбэрээр бичихэд хангалттай

мөн Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлыг харна уу.

Бернуллигийн тэгш бус байдал

Бернуллигийн тэгш бус байдал нь хэрэв x>-1 бол n-ийн бүх натурал утгуудын хувьд дараахь тэгш бус байдал хамаарна.

Тэгш бус байдлыг маягтын илэрхийлэлд ашиглаж болно

Нэмж дурдахад, маш том бүлэг тэгш бус байдлыг Бернуллийн теоремыг ашиглан хялбархан баталж болно.

Жишээ 16.

Баталгаа. тавих x=0.5 баБернуллигийн теоремыг ашиглан илэрхийлэх

Бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авдаг.

Жишээ 17. Дурын n ϵ N хувьд үүнийг батал

Баталгаа.

шаардлагатай бол Бернуллийн теоремоор.

Дэвид Гилбертээс түүний нэгнийх нь талаар асуув хуучин оюутнууд. “Өө, тийм үү?” гэж Гильберт “Тэр математикийн хувьд дэндүү бага төсөөлөлтэй байсан.

MOU Гришино-Слободская дунд сургууль

Модуль програм

"Тэгш бус байдлыг батлах аргууд"

сонгон суралцах хичээлийн нэг хэсэг болгон

"Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард"

10-11-р ангийн сурагчдад зориулсан

Эмхэтгэсэн:

математикийн багш

Панкова Е.Ю

Тайлбар тэмдэглэл

“Математикийг тавтологийн шинжлэх ухаан гэж нэрлэдэг: өөрөөр хэлбэл математикчдыг объектууд өөртэйгөө тэнцүү гэдгийг батлахад цаг зарцуулдаг гэж хэлдэг. Энэ мэдэгдэл нь хоёр шалтгааны улмаас маш буруу юм. Нэгдүгээрт, математик хэдийгээр угаасаа байдаг шинжлэх ухааны хэл, шинжлэх ухаан биш; харин ч урлаг гэж хэлж болно. ХоёрдугаартМатематикийн гол үр дүн нь тэгш бус байдлаас илүүтэйгээр тэгш бус байдлаар илэрхийлэгддэг."

Математикчдын практик ажилд тэгш бус байдлыг байнга ашигладаг. Тэдгээрийг "тэгш хэмтэй" дүрсүүдийн хэд хэдэн сонирхолтой, чухал экстремаль шинж чанаруудыг олж авахад ашигладаг: дөрвөлжин, шоо, тэгш талт гурвалжин, мөн давталтын процессуудын нийлэлтийг нотлох, зарим хязгаарыг тооцоолоход ашигладаг. Байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн асуудалд тэгш бус байдлын үүрэг чухал байдаг.

Тэгш бус байдлыг нотлох асуудал нь уламжлалт асуудлуудаас хамгийн хэцүү, сонирхолтой нь юм. Тэгш бус байдлыг нотлохын тулд математикийг сэтгэл хөдөлгөм хичээл болгодог жинхэнэ ухаан, бүтээлч байдал шаардлагатай.

Нотолгоо заах нь сурагчдын дедуктив-математик сэтгэлгээ, ерөнхий сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлэхэд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг. Сургуулийн хүүхдүүдэд тэгш бус байдлыг бие даан нотлохыг хэрхэн заах вэ? Хариулт нь: гагцхүү нотлох баримтын олон техник, аргуудыг авч үзэн, тэдгээрийг байнга хэрэглэх замаар л.

Тэгш бус байдлыг нотлоход ашигладаг санаанууд нь тэгш бус байдлын адил олон янз байдаг. Тодорхой нөхцөл байдалд ерөнхий аргууд нь ихэвчлэн муухай шийдэлд хүргэдэг. Гэхдээ хэдхэн сургуулийн сурагчид хэд хэдэн "үндсэн" тэгш бус байдлыг тодорхой бус байдлаар нэгтгэж чаддаг. Түүнээс гадна, тодорхой тохиолдол бүрт сурагч ерөнхий аргаар олж авсан шийдлээс илүү сайн шийдлийг хайхад юу ч саад болохгүй. Ийм учраас тэгш бус байдлын нотолгоог ихэвчлэн урлагийн салбарт шилжүүлдэг. Аливаа урлагийн нэгэн адил энд техникийн аргууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хүрээ маш өргөн бөгөөд тэдгээрийг бүгдийг нь эзэмшихэд маш хэцүү байдаг ч багш бүр өөрт байгаа математик хэрэгслийг өргөжүүлэхийг хичээх ёстой.

Энэ модулийг 10-11-р ангийн сурагчдад ашиглахыг зөвлөж байна. Тэгш бус байдлыг нотлох бүх боломжит аргуудыг энд авч үзээгүй (хувьсагчийг орлуулах, үүсмэлийг ашиглан тэгш бус байдлыг нотлох арга, судалгаа, ерөнхий дүгнэлт хийх арга, эрэмбэлэх аргачлалыг тусгаагүй). Хичээлийн энэ модуль нь оюутнуудын сонирхлыг төрүүлж, мөн хичээлийн эхний хэсгийг амжилттай эзэмшсэний үндсэн дээр та бусад аргуудыг хоёрдугаар шатанд (жишээлбэл, 11-р ангид) авч үзэхийг санал болгож болно.

"Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард"

"Тэгш бус байдлыг батлах аргууд"

Хичээл 1. Танилцуулга.

Тэгш бус байдлыг нотлох нь анхан шатны математикийн сонирхолтой бөгөөд сорилттой сэдэв юм. Тэгш бус байдлыг нотлох асуудалд нэгдсэн арга барил байхгүй байгаа нь тэгш бус байдлыг нотлоход тохиромжтой хэд хэдэн арга техникийг хайхад хүргэдэг. тодорхой төрөл. Энэхүү сонгон суралцах хичээл нь тэгш бус байдлыг нотлох дараах аргуудыг хамарна.

Давталт:

Зарим шинж чанарыг нотлох.

Сонгодог тэгш бус байдал:

1)
(Коши тэгш бус байдал)

2)

3)

4)

Түүхэн мэдээлэл:

Тэгш бус байдал (1) нь Францын математикч Огюст Кошигийн нэрээр нэрлэгдсэн. Тоо
дуудсан арифметик дундаж a ба b тоо;

тоо
дуудсан геометрийн дундаж a ба b тоо. Ийнхүү тэгш бус байдал гэдэг нь хоёр эерэг тооны арифметик дундаж нь геометрийн дунджаас багагүй байна гэсэн үг юм.

Нэмж хэлэхэд:

Тэгш бус байдал бүхий хэд хэдэн математикийн софизмуудыг авч үзье.

Математикийн ухаан- гайхалтай мэдэгдэл, нотолгоо нь үл үзэгдэх, заримдаа нэлээд нарийн алдааг нуудаг.

Софизм гэдэг нь зөвхөн зөв мэт санагдах боловч заавал нэг юмуу өөр алдаа агуулсан үндэслэлээр олж авсан худал үр дүн юм.

Жишээ:

Дөрөв нь арван хоёроос дээш байна

Хичээл 2. Тодорхойлолт дээр үндэслэсэн тэгш бус байдлын баталгаа.

Энэ аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: F(x,y,z)>S(x,y,z) тэгш бус байдлын үнэн зөвийг тогтоохын тулд F(x,y,z)-S( x,y,z) ба эерэг болохыг батална. Энэ аргыг ашиглан квадрат, нийлбэр эсвэл зөрүүний шоо, нийлбэр эсвэл зөрүүний бүрэн бус квадратыг тусгаарладаг. Энэ нь ялгааны шинж тэмдгийг тодорхойлоход тусална.

Жишээ. (x+y)(x+y+2cosx)+2 тэгш бус байдлыг батал 2sin 2 x

Нотолгоо:

(x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx) ялгааг авч үзье. ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Тэгш бус байдлыг батлах:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2х-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Хичээл 3. Математикийн индукцийн арга.

Үүнд тэгш бус байдлыг нотлох үед натурал тоонуудихэвчлэн математикийн индукцийн аргыг ашигладаг. Арга нь дараах байдалтай байна.

1) n=1 бол теоремын үнэнийг шалгах;

2) бид теоремыг зарим n=k-ийн хувьд үнэн гэж үзэх ба энэ таамаглал дээр үндэслэн n=k+1-ийн хувьд теоремын үнэнийг нотлох;

3) эхний хоёр алхам болон математикийн индукцийн зарчимд үндэслэн бид аливаа n-ийн хувьд теорем үнэн гэж дүгнэж байна.

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг нотлох

Нотолгоо:

1) n=2-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн:

2) n=k-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байг i.e.
(*)

Тэгш бус байдал нь n=k+1 хувьд үнэн болохыг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл.
.
Тэгш бус байдлын (*) хоёр талыг үржүүлье

3) 1-р зүйл ба 2-р зүйлээс бид аливаа n-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн гэж дүгнэв.

Тэгш бус байдлыг батлах:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Анги болон гэртээ хийх даалгавар

Хичээл 4. Сонгодог тэгш бус байдлын хэрэглээ.

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг батлах:

Нотолгоо:

Энэ аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: хэд хэдэн хувиргалтыг ашиглан зарим сонгодог тэгш бус байдлыг ашиглан шаардлагатай тэгш бус байдлыг гаргаж авдаг. гэх мэттэгш бус байдлыг дэмжих
.

бид ашигладаг

Энэ тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт оруулъя.

, Дараа нь
Энэ тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт оруулъя.

Тэгш бус байдлыг батлах:

Гэхдээ =

2)
1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq (тэгш бус байдлыг нотлоход ашигладаг)

(баримт бичгийн тэгш бус байдлыг ашигласан)

4)
3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (тэгш бус байдлыг нотлоход ашигладаг)

(докийн хувьд тэгш бус байдлыг ашигладаг).

Хичээл 5. График арга.

График аргаар тэгш бус байдлын баталгаа нь дараах байдалтай байна: хэрэв бид f(x)>g(x)(f(x)) тэгш бус байдлыг баталвал.

1) y=f(x) ба y=g(x) функцуудын графикийг байгуулах;

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг батлах:

2) y=f(x) функцийн график y=g(x) функцын график дээр (доор) байрласан бол нотлогдсон тэгш бус байдал үнэн байна.
cosx

Нотолгоо:

,x0

y=cosx ба функцуудын графикуудыг байгуулъя

Графикаас харахад x0 дээр y=cosx функцийн график y= функцийн график дээр байрлаж байгаа нь тодорхой байна.

Тэгш бус байдлыг батлах:

1)

5)

Анги болон гэртээ хийх даалгавар.

Хичээл 6. Эсрэг арга

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг батлах:

Нотолгоо:

Энэ аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: F(x,y,z) S(x,y,z)(1) тэгш бус байдлын үнэнийг батлах хэрэгтэй. Тэд эсрэгээр нь, өөрөөр хэлбэл, дор хаяж нэг хувьсагчийн хувьд F(x,y,z) S(x,y,z) (2) тэгш бус байдал үнэн гэж үздэг. Тэгш бус байдлын шинж чанарыг ашиглан тэгш бус байдлын хувиргалтыг (2) гүйцэтгэдэг. Хэрэв эдгээр хувиргалтын үр дүнд хуурамч тэгш бус байдал үүссэн бол энэ нь тэгш бус байдал (2) үнэн гэсэн таамаглал буруу, тиймээс тэгш бус байдал (1) үнэн гэсэн үг юм.

Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл.
Тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгож, үүнээс ийг олцгооё

ба цааш нь

. Гэхдээ энэ нь Кошигийн тэгш бус байдалтай зөрчилдөж байна. Энэ нь бидний таамаглал буруу, өөрөөр хэлбэл анги болон гэрт хийх даалгавар нь үнэн гэсэн үг юм.

Хичээл 9. Хичээл - оюутнуудын мэдлэгийг хянах. Энэ хичээлийг хосоор нь хийж болноанги бүлгээр. Хичээлийн төгсгөлд оюутан бүрийг үнэлэх ёстой. Энэ бол энэ сургалтын кредит хэлбэр юм. Учир нь энэ сэдвээр туршилт хийхийг зөвлөдөггүй Тайлбарт дурдсанчлан тэгш бус байдлын нотолгоо нь урлагийн салбарт хамаарна. Эхлээд оюутнуудаас санал болгож буй тэгш бус байдлыг батлах аргыг тодорхойлохыг хүснэ. Оюутнууд бэрхшээлтэй тулгарвал багш нь оновчтой аргыг хэлж, энэ нь мэдээж тэдний үнэлгээнд нөлөөлнө гэдгийг бүлэгт анхааруулдаг.

Хосоор ажиллах.

Даалгаврын жишээ.

________________________________________________________________

Тэгш бус байдлыг батлах:

1.
(математик индукцийн арга)

2.
(тодорхойлолтоор)

Модуль. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдалпараметрүүдтэй. ... шинж чанар, томъёолол ба нотлох баримттеорем, томьёо гарган авах... хамгийн энгийн тэгш бус байдал. 7. Хэрхэн ашиглахаа мэддэг байх аргаинтервал...