Заавар

Орлуулах арга Нэг хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулна уу. Та өөрийн үзэмжээр ямар ч хувьсагчийг илэрхийлж болно. Жишээлбэл, хоёр дахь тэгшитгэлээс y-г илэрхийлнэ үү:
x-y=2 => y=x-2 Дараа нь бүх зүйлийг эхний тэгшитгэлд орлуулна:
2x+(x-2)=10 "x"-гүй бүгдийг шилжүүл баруун талболон тооцоолох:
2x+x=10+2
3x=12 Дараа нь x-ийг авахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг 3-т хуваана.
x=4. Тэгэхээр та "x"-г оллоо. "y. Үүнийг хийхийн тулд "y"-г илэрхийлсэн тэгшитгэлдээ "x"-ийг орлуулна уу.
y=x-2=4-2=2
y=2.

Шалгах. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн утгыг тэгшитгэлд орлуулна уу.
2*4+2=10
4-2=2
Үл мэдэгдэх зүйлсийг зөв олсон!

Тэгшитгэлийг нэмэх, хасах арга. Ямар ч хувьсагчаас шууд сал. Манай тохиолдолд үүнийг “y.
"y" дээр "+" тэмдэг, хоёрдугаарт "-" тэмдэг байгаа тул та нэмэх үйлдлийг хийж болно, жишээлбэл. зүүн талзүүн талд нь нэмээд баруун талд нь баруун талд нэмнэ:
2x+y+(x-y)=10+2Хөрвүүлэх:
2x+y+x-y=10+2
3х=12
x=4 Дурын тэгшитгэлд “x”-г орлуулж “y”-г ол.
2*4+y=10
8+y=10
у=10-8
y=21-р аргаар та тэдгээрийг зөв олсон болохыг харж болно.

Хэрэв тодорхой тодорхойлогдсон хувьсагч байхгүй бол тэгшитгэлийг бага зэрэг өөрчлөх шаардлагатай.
Эхний тэгшитгэлд бид "2x" байна, хоёр дахь нь бид зүгээр л "x" байна. Нэмэх явцад x-ийг багасгахын тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлнэ.
x-y=2
2x-2y=4 Дараа нь эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасна:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол нээсний дараа эсрэгээр нь өөрчлөхийг анхаарна уу.
2х+у-2х+2у=6
3у=6
дурын тэгшитгэлээс илэрхийлэх замаар y=2x-ийг олох, өөрөөр хэлбэл.
x=4

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 2: Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ

Тэгшитгэл, ерөнхий хэлбэрээр ax+bу+c=0 хэлбэрээр бичигдсэнийг хоёртой шугаман тэгшитгэл гэнэ хувьсагч. Энэ тэгшитгэл нь өөрөө агуулдаг хязгааргүй олонлогшийдлүүд, тиймээс асуудалд энэ нь үргэлж ямар нэг зүйлээр нэмэгддэг - өөр тэгшитгэл эсвэл хязгаарлах нөхцлүүд. Бодлогын нөхцлөөс хамааран шугаман тэгшитгэлийг хоёроор шийд хувьсагчёстой янз бүрийн аргаар.

Танд хэрэгтэй болно

- хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл;
- хоёр дахь тэгшитгэл эсвэл нэмэлт нөхцөл.

Заавар

Хэрэв хоёр систем өгсөн бол шугаман тэгшитгэл, дараах байдлаар шийднэ. Коэффициент байгаа тэгшитгэлүүдээс аль нэгийг нь сонгоно уу хувьсагчбага ба хувьсагчийн аль нэгийг илэрхийлнэ, жишээлбэл, x. Дараа нь y-г агуулсан энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Үүссэн тэгшитгэлд зөвхөн нэг хувьсагч y байх бөгөөд y-тэй бүх хэсгийг зүүн тийш, харин баруун тийш нь суллана. y-г олоод анхны тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж х-г ол.

Хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга бий. Тэгшитгэлийн аль нэгийг тоогоор үржүүлснээр x гэх мэт аль нэг хувьсагчийн коэффициент хоёр тэгшитгэлд ижил байна. Дараа нь тэгшитгэлийн аль нэгийг нөгөөгөөсөө хас (хэрэв баруун гар тал нь 0-тэй тэнцүү биш бол баруун гар талыг нь ижил аргаар хасахаа санаарай). Та x хувьсагч алга болж, зөвхөн нэг у хувьсагч үлдэж байгааг харах болно. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, y-ийн олсон утгыг анхны тэгшитгэлийн аль нэгээр нь орлуулаарай. x ол.

Хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх гурав дахь арга бол график юм. Координатын системийг зурж, системд тэгшитгэл нь өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын графикийг зур. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлд дурын хоёр х утгыг орлуулж, харгалзах у-г олоорой - эдгээр нь шугамд хамаарах цэгүүдийн координат болно. Координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцлыг олох хамгийн тохиромжтой арга бол x=0 ба y=0 утгуудыг орлуулах явдал юм. Эдгээр хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд нь даалгавар байх болно.

Хэрэв асуудлын нөхцөлд зөвхөн нэг шугаман тэгшитгэл байгаа бол танд шийдлийг олох нэмэлт нөхцөл өгөгдсөн болно. Эдгээр нөхцлийг олохын тулд асуудлыг анхааралтай уншина уу. Хэрэв хувьсагч x ба y нь зай, хурд, жинг заадаг - x≥0 ба y≥0 хязгаарыг чөлөөтэй тохируулаарай. Энэ нь x эсвэл y алимны тоо гэх мэтийг нуух бүрэн боломжтой юм. - тэгвэл утгууд нь зөвхөн байж болно. Хэрэв х нь хүүгийн нас бол тэр эцгээсээ ахимаг байж болохгүй нь тодорхой тул асуудлын нөхцөлд үүнийг зааж өгнө үү.

Эх сурвалжууд:

Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх

Өөрөө тэгшитгэлгуравтай үл мэдэгдэхолон шийдэлтэй байдаг тул ихэнхдээ үүнийг хоёр өөр тэгшитгэл эсвэл нөхцлөөр нөхдөг. Анхны өгөгдөл ямар байхаас хамаарч шийдвэрийн явц ихээхэн хамаарна.

Танд хэрэгтэй болно

- гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем.

Заавар

Гурван системийн хоёр нь гурван үл мэдэгдэх хоёрын хоёр нь л байвал зарим хувьсагчийг бусдынх нь хувьд илэрхийлж, дараах байдлаар орлуулахыг хичээ. тэгшитгэлгуравтай үл мэдэгдэх. Энэ тохиолдолд таны зорилго бол үүнийг хэвийн болгох явдал юм тэгшитгэлүл мэдэгдэх хүнтэй. Хэрэв энэ нь байвал дараагийн шийдэл нь маш энгийн - олсон утгыг бусад тэгшитгэлд орлуулж, бусад үл мэдэгдэх бүх зүйлийг ол.

Зарим тэгшитгэлийн системийг нэг тэгшитгэлээс нөгөө тэгшитгэлээр хасаж болно. Хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг нэгэн зэрэг хүчингүй болгохын тулд нэг буюу хувьсагчийг үржүүлэх боломжтой эсэхийг харна уу. Хэрэв ийм боломж байгаа бол үүнийг ашигла, дараагийн шийдэл нь хэцүү биш байх болно; Тоогоор үржүүлэхдээ зүүн болон баруун талыг хоёуланг нь үржүүлэх ёстой гэдгийг санаарай. Үүний нэгэн адил тэгшитгэлийг хасахдаа баруун гар талыг нь хасах ёстой гэдгийг санах хэрэгтэй.

Хэрэв өмнөх аргууд тус болохгүй бол хэрэглээрэй ерөнхий байдлаарГуравтай дурын тэгшитгэлийн шийд үл мэдэгдэх. Үүний тулд тэгшитгэлүүдийг a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 хэлбэрээр дахин бичнэ. Одоо x (A), үл мэдэгдэх матриц (X) болон чөлөөт хувьсагчийн (B) матрицын коэффициентийн матрицыг үүсгэ. Коэффициентийн матрицыг үл мэдэгдэх матрицаар үржүүлснээр та матриц, матрицыг авна гэдгийг анхаарна уу. чөлөөт гишүүд, өөрөөр хэлбэл A*X=B.

Эхний олоод А матрицыг (-1) зэрэглэлээр олоод байх ёсгүйг анхаарна уу тэгтэй тэнцүү. Үүний дараа үүссэн матрицыг В матрицаар үржүүлснээр та бүх утгыг харуулсан хүссэн X матрицыг авах болно.

Та мөн Крамерын аргыг ашиглан гурван тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох боломжтой. Үүний тулд системийн матрицад тохирох гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч ∆-ийг ол. Дараа нь ∆1, ∆2 ба ∆3 гэсэн гурван тодорхойлогчийг дараалан олж, харгалзах баганын утгуудын оронд чөлөөт нэр томъёоны утгыг орлуулна. Одоо х: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆-г ол.

Эх сурвалжууд:

Гурван үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн шийдэл

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь хэцүү бөгөөд сэтгэл хөдөлгөм юм. Яаж илүү төвөгтэй систем, үүнийг шийдэх нь илүү сонирхолтой юм. Ихэнхдээ математикт байдаг ахлах сургуульХоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системүүд байдаг, гэхдээ дотор дээд математикилүү олон хувьсагч байж болно. Системийг хэд хэдэн аргыг ашиглан шийдэж болно.

Заавар

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга бол орлуулалт юм. Үүнийг хийхийн тулд та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлж, хоёр дахь хувьсагчаар орлуулах хэрэгтэй тэгшитгэлсистемүүд, ингэснээр тэргүүлдэг тэгшитгэлнэг хувьсагч руу. Жишээлбэл, дараах тэгшитгэлийг өгөв: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Хоёрдахь илэрхийлэлээс хувьсагчийн аль нэгийг илэрхийлэхэд тохиромжтой, бусад бүх зүйлийг илэрхийллийн баруун талд шилжүүлж, коэффициентийн тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй: x = 3-y.

Хаалтуудыг нээ: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 гэсэн илэрхийлэлд y утгыг орлуулна: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Эхний илэрхийлэлд бүх нэр томъёо нь 2, та хаалтанд 2-ыг тавьж болно хуваарилах өмчүржүүлэх: 2*(2x-y-3)=0. Одоо илэрхийллийн хоёр хэсгийг энэ тоогоор багасгаж, дараа нь y гэж илэрхийлж болно, учир нь түүний модулийн коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна: -y = 3-2x эсвэл y = 2x-3.

Эхний тохиолдол шиг бид орлуулдаг энэ илэрхийлэлхоёрдугаарт тэгшитгэл 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 гэсэн утгыг илэрхийлнэ. y=2x -3;y=4-3=1.

y-ийн коэффициент нь утгын хувьд ижил боловч тэмдгээр ялгаатай байгааг бид харж байна, тиймээс бид эдгээр тэгшитгэлийг нэмбэл у-аас бүрэн ангижрах болно: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2; системийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд x-ийн утгыг орлуулж, y=1-ийг авна.

Сэдвийн талаархи видео

Биквадрат тэгшитгэлтөлөөлдөг тэгшитгэлдөрөв дэх зэрэг, ерөнхий үзэлЭнэ нь ax^4 + bx^2 + c = 0 илэрхийллээр илэрхийлэгдэнэ. Үүний шийдэл нь үл мэдэгдэхийг орлуулах аргыг ашиглахад үндэслэсэн болно. IN энэ тохиолдолд x^2 өөр хувьсагчаар солигдоно. Тиймээс үр дүн нь ердийн дөрвөлжин юм тэгшитгэл, үүнийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Заавар

Квадратыг шийд тэгшитгэл, орлуулалтын үр дүнд бий болсон. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд томъёоны дагуу утгыг тооцоолно: D = b^2? 4ac. Энэ тохиолдолд a, b, c хувьсагч нь бидний тэгшитгэлийн коэффициент юм.

Үндэс олох биквадрат тэгшитгэл. Үүнийг хийхийн тулд олж авсан уусмалуудын квадрат язгуурыг авна. Хэрэв нэг шийдэл байсан бол эерэг ба хоёр байх болно сөрөг утгаквадрат язгуур. Хэрэв хоёр шийдэл байсан бол биквадрат тэгшитгэл дөрвөн үндэстэй болно.

Сэдвийн талаархи видео

Нэг сонгодог аргуудШугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь Гауссын арга юм. Энэ нь оршдог тууштай хасахтэгшитгэлийн системийг ашиглах үед хувьсагч энгийн өөрчлөлтүүднь алхам алхмаар системд хөрвүүлэгдсэн бөгөөд үүнээс бүх хувьсагчийг сүүлчийнхээс нь дараалан олдог.

Заавар

Нэгдүгээрт, бүх үл мэдэгдэх зүйлс хатуу байх үед тэгшитгэлийн системийг ийм хэлбэрт оруул тодорхой дарааллаар. Жишээ нь, бүх үл мэдэгдэх X үсэг мөр болгонд хамгийн түрүүнд гарч ирнэ, бүх Y нь X-ийн дараа, бүх Z нь Y-ийн дараа орж ирнэ гэх мэт. Тэгшитгэл бүрийн баруун талд үл мэдэгдэх зүйл байх ёсгүй. Үл мэдэгдэх бүрийн өмнөх коэффициентүүд, мөн тэгшитгэл бүрийн баруун талд байгаа коэффициентүүдийг оюун ухаанаар тодорхойлно.

Хариу үлдээсэн Зочин

Нэгтэй шоонөхцөл байдал зохисгүй энгийн. Магадлалыг P=m/n томъёогоор олдог гэдгийг сануулъя
П
=
м
n
, хаана n
n
- бүгд адилхан боломжтой тоо үндсэн үр дүнүхэх эсвэл шоо шидэх туршилт, м
м
- үйл явдлыг дэмжсэн үр дүнгийн тоо.

Жишээ 1: Зуурмагийг нэг удаа шиддэг. Энэ нь болсон байх магадлал хэд вэ тэгш тоонүдний шил?

Маягт нь шоо (тэдгээр нь мөн адил хэмжигдэхүүн гэж хэлдэг, өөрөөр хэлбэл бүх талдаа тэгш магадлалтайгаар буудаг) шоо нь 6 нүүртэй (1-ээс 6 хүртэлх тооны цэгүүдтэй, ихэвчлэн заадаг). оноогоор), дараа нь Мөн нийт тоо n=6 асуудлын үр дүн
n
=
6
. 2, 4 эсвэл 6 оноотой тал (зөвхөн тэгш тоо) гарч ирвэл ийм тал m=3 байна;
м
=
3
. Тэгвэл шаардлагатай магадлал нь P=3/6=1/2=0.5 байна
П
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Жишээ 2. Шууд шидсэн. Хамгийн багадаа 5 оноо өнхрөх магадлалыг ол.

Бид өмнөх жишээн дээрхтэй ижил аргаар тайлбарлаж байна. Шороог шидэх үед гарч болох ижил үр дүнгийн нийт тоо n=6
n
=
6
, "хамгийн багадаа 5 оноо өнхрүүлсэн", өөрөөр хэлбэл "5 эсвэл 6 оноо өнхрүүлсэн" гэсэн нөхцөл нь 2 үр дүнгээр хангагдсан, m=2
м
=
2
. Шаардлагатай магадлал нь P=2/6=1/3=0.333
П
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Би илүү олон жишээ өгөхийг ч ойлгохгүй байна, бүх зүйл илүү сонирхолтой, төвөгтэй болох хоёр шоо руу шилжье.

Хоёр шоо

Хэзээ бид ярьж байна 2 шоо өнхрүүлэхтэй холбоотой асуудлуудын хувьд онооны хүснэгт ашиглах нь маш тохиромжтой. Бид хэвтээ байдлаар эхний шоо дээр унасан онооны тоог, хоёр дахь шоо дээр унасан онооны тоог босоо байдлаар зурдаг. Ийм зүйлийг авцгаая (би үүнийг ихэвчлэн Excel дээр хийдэг, та доорх файлыг татаж авах боломжтой):

2 шоо өнхрүүлэх онооны хүснэгт
Хүснэгтийн нүднүүдэд юу байна гэж та асууж байна уу? Энэ нь бид ямар асуудлыг шийдэхээс хамаарна. Онооны нийлбэрийн тухай даалгавар байх болно - бид тэнд нийлбэрийг бичнэ, зөрүүний талаар - бид зөрүүг бичнэ гэх мэт. Эхэлцгээе?

Жишээ 3: 2 шоо нэгэн зэрэг шиддэг. Нийт 5 онооноос бага байх магадлалыг ол.

Эхлээд туршилтын үр дүнгийн нийт тоог харцгаая. Бид нэг үхэл хаяхад бүх зүйл тодорхой байсан, 6 тал - 6 үр дүн. Энд аль хэдийн хоёр шоо байгаа тул үр дүнг (x,y) хэлбэрийн дараалсан хос тоогоор илэрхийлж болно.
x
,
y
, хаана x
x
- эхний өлгүүрт хэдэн оноо өнхрүүлсэн (1-ээс 6 хүртэл), у
y
- хоёр дахь шоо дээр хэдэн оноо эргэлдсэн бэ (1-ээс 6 хүртэл). Ийм хос тоо n=6⋅6=36 байх нь ойлгомжтой
n
=
6
⋅
6
=
36
(үр дүнгийн хүснэгтийн яг 36 нүд нь тэдгээртэй тохирч байна).

Одоо хүснэгтийг бөглөх цаг болжээ. Нүд бүрт бид эхний болон хоёр дахь шоо дээр өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийг оруулаад дараах зургийг авна.

2 шоо шидэх үед авсан онооны нийлбэрийн хүснэгт
Одоо энэ хүснэгт нь "нийт 5-аас бага оноо гарах" үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог олоход тусална. Үүнийг хийхийн тулд бид нийлбэрийн утга 5-аас бага (өөрөөр хэлбэл 2, 3 эсвэл 4) байгаа нүдний тоог тоолно. Ойлгомжтой болгохын тулд эдгээр нүднүүдийг будъя, m=6 байх болно
м
=
6
:

2 шоо шидэх үед 5-аас бага оноо авсан хүснэгт
Тэгвэл магадлал нь: P=6/36=1/6
П
=
6
36
=
1
6
.

Жишээ 4. Хоёр шоо шидэв. Цэгийн тооны үржвэр 3-т хуваагдах магадлалыг ол.

Бид эхний болон хоёр дахь шоо дээр өнхрүүлсэн онооны үр дүнгийн хүснэгтийг үүсгэдэг. Бид 3-ын үржвэртэй тоонуудыг нэн даруй онцолж байна:

2 шоо шидэх үед онооны үржвэрийн хүснэгт
Үр дүнгийн нийт тоо n=36 гэдгийг бичих л үлдлээ
n
=
36
(өмнөх жишээг харна уу, учир шалтгаан нь ижил байна) ба таатай үр дүнгийн тоо (дээрх хүснэгтийн сүүдэрлэсэн эсийн тоо) m=20
м
=
20
. Тэгвэл үйл явдлын магадлал P=20/36=5/9-тэй тэнцүү болно
П
=
20
36
=
5
9
.

Таны харж байгаагаар ийм төрлийн асуудлыг зохих бэлтгэлтэйгээр (дахиад хэд хэдэн асуудлыг авч үзье) хурдан бөгөөд энгийн байдлаар шийдэж болно. Төрөл бүрийн хувьд өөр хүснэгтээр дахин нэг даалгавар хийцгээе (бүх хүснэгтийг хуудасны доод хэсэгт татаж авах боломжтой).

Жишээ 5: Шууд хоёр удаа шиддэг. Эхний болон хоёр дахь шоо дээрх онооны зөрүү 2-оос 5 хүртэл байх магадлалыг ол.

Цэгийн ялгааны хүснэгтийг бичээд, ялгаа нь 2-5-ын хооронд байх нүднүүдийг тодруулцгаая.

2 шоо шидэх үед онооны зөрүүний хүснэгт
Тэгэхээр ижил боломжтой анхан шатны үр дүнгийн нийт тоо n=36 байна
n
=
36
, ба таатай үр дүнгийн тоо (дээрх хүснэгтийн сүүдэрлэсэн эсийн тоо) m=10
м
=
10
. Тэгвэл үйл явдлын магадлал P=10/36=5/18-тэй тэнцүү болно
П
=
10
36
=
5
18
.

Тэгэхээр, бид 2 шоо хаях тухай ярьж байгаа тохиолдолд болон энгийн үйл явдал, та хүснэгт барьж, шаардлагатай нүднүүдийг сонгоод тоог 36-д хуваах хэрэгтэй, энэ нь магадлал болно. Онооны тооны нийлбэр, үржвэр, зөрүүтэй холбоотой асуудлуудаас гадна зөрүүний модуль, хамгийн бага, хамгийн олон тооны зурсан оноотой холбоотой асуудлууд байдаг (та Excel файлаас тохирох хүснэгтүүдийг олох болно).

Бүх даалгаварт B6 асаалттай магадлалын онол, -д толилуулж байна Ажлын банкийг нээнэ үү, та олох хэрэгтэй магадлалаливаа үйл явдал.

Та зөвхөн нэгийг мэдэх хэрэгтэй томъёо, үүнийг тооцоолоход ашигладаг магадлал:

Энэ томъёонд p - үйл явдлын магадлал,

к- хэлээр бидний "сэтгэл ханамжтай" үйл явдлын тоо магадлалын онолтэднийг дууддаг таатай үр дүн.

n-бүхний тоо боломжит үйл явдлууд, эсвэл бүх боломжит үр дүнгийн тоо.

Мэдээжийн хэрэг, боломжит бүх үйл явдлын тоо нь таатай үр дүнгийн тооноос их байх болно магадлалнь 1-ээс бага буюу тэнцүү утга юм.

Хэрэв магадлалүйл явдал 1-тэй тэнцүү, энэ нь гэсэн үг энэ үйл явдалгарцаагүй тохиолдох болно. Ийм үйл явдал гэж нэрлэдэг найдвартай. Жишээлбэл, ням гарагаас хойш даваа гараг болно гэдэг харамсалтай нь найдвартай үйл явдалба магадлал нь 1.

Асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн том бэрхшээл нь k ба n тоог олоход л гардаг.

Мэдээжийн хэрэг, аливаа асуудлыг шийдвэрлэх үед, асуудлыг шийдвэрлэх үед магадлалын онолТа юу өгсөн, юу олох хэрэгтэйг зөв ойлгохын тулд нөхцөлийг анхааралтай унших хэрэгтэй.

Асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье -аас Банк нээхзориулсан даалгавар .

Жишээ 1. IN санамсаргүй туршилтхоёр шоо шидэв. Нийт 8 оноо байх магадлалыг ол. Үр дүнг зуутын нэг хүртэл дугуйруулна уу.

Эхний шоо нэг оноо өнхрүүлээрэй, дараа нь хоёр дахь үхэх 6 өөр сонголт өнхрүүлж болно. Ингээд эхний үхэр нь 6 өөр нүүртэй тул өөр өөр сонголтуудын нийт тоо 6х6=36 байна.

Гэхдээ бид бүх зүйлд сэтгэл хангалуун бус байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу сугалсан онооны нийлбэр нь 8-тай тэнцүү байх ёстой.Таатай үр дүнгийн хүснэгтийг байгуулъя.

Бидэнд тохирсон үр дүнгийн тоо 5 байгааг харж байна.

Ингээд нийт 8 оноо гарч ирэх магадлал 5/36=0,13(8) байна.

Дахин нэг удаа бид асуудлын асуултыг уншсан: үр дүн нь зуутын нэг хүртэл дугуйрсан байх ёстой.

Санаж үзье дугуйлах дүрэм.

Бид хамгийн ойрын зуу хүртэл дугуйлах хэрэгтэй. Хэрэв зуутын дараа дараагийн байранд (өөрөөр хэлбэл мянганы байранд) 5-аас их буюу тэнцүү тоо байвал зуутын тоонд 5-аас бага бол 1-ийг нэмнэ; дараа нь зуутын эгнээнд байгаа тоо өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.

Манай тохиолдолд мянгатын тоо 8 байгаа тул зуутын эгнээнд байгаа 3-ын тоог 1-ээр нэмэгдүүлнэ.

Тэгэхээр p=5/36 ≈0.14

Хариулт: 0.14

Жишээ 2. Гимнастикийн аварга шалгаруулах тэмцээнд ОХУ-аас 8, АНУ-аас 7, БНХАУ-аас 20 тамирчин оролцож байна. Гимнастикчдын тоглолтын дарааллыг сугалаагаар тогтоодог. Хамгийн түрүүнд өрсөлдөх тамирчин Хятадаас байх магадлалыг ол.

Энэ асуудлын хувьд боломжит үр дүнгийн тоо 20 байна - энэ бол бүх тамирчдын тоо юм.

Тааламжтай үр дүнгийн тоог олцгооё. Энэ нь Хятадаас ирсэн эмэгтэй тамирчдын тоотой тэнцэж байгаа юм.

Тиймээс,

Хариулт: 0.25

Жишээ 3: Дунджаар 1000 цэцэрлэгийн насос зарагдсанаас 5 нь гоожиж байна. Удирдлагад санамсаргүй байдлаар сонгосон нэг насос гоожихгүй байх магадлалыг ол.

Энэ асуудалд n=1000 байна.

Бид гоождоггүй шахуургыг сонирхож байна. Тэдний тоо 1000-5=995 байна. Тэдгээр.

Магадлалын онолын өөр нэг түгээмэл асуудал бол (зоос шидэх асуудалтай хамт) юм шоо шидэх асуудал.

Ихэвчлэн даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: нэг буюу хэд хэдэн шоо шиддэг (ихэвчлэн 2, ихэвчлэн 3). Та онооны тоо 4, эсвэл онооны нийлбэр нь 10, эсвэл онооны үржвэр нь 2-т хуваагдах, эсвэл онооны тоо 3-аар ялгаатай гэх мэт магадлалыг олох хэрэгтэй.

Шийдвэрлэх үндсэн арга ижил төстэй даалгаварууд- сонгодог магадлалын томъёог ашиглах, бид доорх жишээн дээр дүн шинжилгээ хийх болно.

Шийдлийн аргуудтай танилцсаны дараа та 2 шоо шидэх маш ашигтай шийдлийг (хүснэгт болон жишээнүүдийн хамт) татаж авах боломжтой.

Нэг шоо

Нэг шоогоор нөхцөл байдал зохисгүй энгийн. Магадлал нь $P=m/n$ томьёогоор олддог гэдгийг сануулъя, энд $n$ нь шоо эсвэл шоо шидэх туршилтын адил боломжтой бүх энгийн үр дүнгийн тоо, $m$ нь тоо юм. үйл явдалд тустай үр дүнгээс.

Жишээ 1. Үхлийг нэг удаа шиддэг. Тэгш тооны оноо өнхрөх магадлал хэд вэ?

Үхдэл нь шоо учраас (тэд бас хэлдэг шударга шоо, өөрөөр хэлбэл, шоо тэнцвэртэй тул бүх талдаа ижил магадлалтай газардах), шоо нь 6 талтай (1-ээс 6 хүртэлх тооны оноотой, ихэвчлэн оноодог), дараа нь шоо дахь үр дүнгийн нийт тоо. асуудал $n=6$. 2, 4 эсвэл 6 оноотой тал (зөвхөн нэг нь ч гэсэн) гарч ирвэл ийм талууд $m=3$ байна; Тэгвэл хүссэн магадлал нь $P=3/6=1/2=0.5$-тэй тэнцүү байна.

Жишээ 2. Шоо шидэж байна. Хамгийн багадаа 5 оноо өнхрөх магадлалыг ол.

Бид өмнөх жишээн дээрхтэй ижил аргаар тайлбарлаж байна. Талийгаач шидэх үед ижил боломжтой үр дүнгийн нийт тоо нь $n=6$ бөгөөд "хамгийн багадаа 5 оноо авсан", өөрөөр хэлбэл "5 эсвэл 6 оноо авсан" гэсэн нөхцөлийг 2 үр дүн, $m-ээр хангана. =2$. Шаардлагатай магадлал нь $P=2/6=1/3=0.333$.

Би илүү олон жишээ өгөхийг ч ойлгохгүй байна, бүх зүйл илүү сонирхолтой, төвөгтэй болох хоёр шоо руу шилжье.

Хоёр шоо

2 шоо өнхрүүлэхтэй холбоотой асуудлын хувьд үүнийг ашиглахад маш тохиромжтой онооны хүснэгт. Бид хэвтээ байдлаар эхний шоо дээр унасан онооны тоог, хоёр дахь шоо дээр унасан онооны тоог босоо байдлаар зурдаг. Ийм зүйлийг авцгаая (би үүнийг ихэвчлэн Excel дээр хийдэг, та файлыг татаж авах боломжтой):

Хүснэгтийн нүднүүдэд юу байна гэж та асууж байна уу? Энэ нь бид ямар асуудлыг шийдэхээс хамаарна. Онооны нийлбэрийн тухай даалгавар байх болно - бид тэнд нийлбэрийг бичнэ, зөрүүний талаар - бид зөрүүг бичнэ гэх мэт. Эхэлцгээе?

Жишээ 3. 2 шоо нэгэн зэрэг шиддэг. Нийт 5 онооноос бага байх магадлалыг ол.

Эхлээд туршилтын үр дүнгийн нийт тоог харцгаая. Бид нэг үхэл хаяхад бүх зүйл тодорхой байсан, 6 тал - 6 үр дүн. Энд аль хэдийн хоёр шоо байгаа тул үр дүнг $(x,y)$ хэлбэрийн эрэмбэлэгдсэн хос тоогоор илэрхийлж болно, $x$ нь эхний шоонд хэдэн оноо унасныг (1-ээс 6 хүртэл), $ y$ нь хоёр дахь шоо дээр хэдэн оноо унасныг илэрхийлнэ (1-ээс 6 хүртэл). Ийм хос тоонуудын нийт тоо нь $n=6\cdot 6=36$ байх нь ойлгомжтой (мөн тэдгээр нь үр дүнгийн хүснэгтийн яг 36 нүдтэй тохирч байна).

Одоо энэ хүснэгт нь "нийт 5-аас бага оноо гарах" үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог олоход тусална. Үүнийг хийхийн тулд бид нийлбэрийн утга 5-аас бага (өөрөөр хэлбэл 2, 3 эсвэл 4) байгаа нүдний тоог тоолно. Тодорхой болгохын тулд эдгээр нүднүүдийг өнгөөр болговол $m=6$ байна:

Дараа нь магадлал нь тэнцүү байна: $P=6/36=1/6$.

Жишээ 4. Хоёр шоо шидэв. Цэгийн тооны үржвэр 3-т хуваагдах магадлалыг ол.

Үр дүнгийн нийт тоо нь $n=36$ (өмнөх жишээг харна уу, үндэслэл нь ижил), харин таатай үр дүнгийн тоо (дээрх хүснэгтийн сүүдэрлэсэн нүднүүдийн тоо) гэдгийг бичих л үлдлээ. $м=20$. Тэгвэл үйл явдлын магадлал $P=20/36=5/9$-тэй тэнцүү болно.

Жишээ 5. Шоог хоёр удаа шиддэг. Эхний болон хоёр дахь шоо дээрх онооны зөрүү 2-оос 5 хүртэл байх магадлалыг ол.

Цэгийн ялгааны хүснэгтийг бичээд, ялгаа нь 2-5-ын хооронд байх нүднүүдийг тодруулцгаая.

Тэгэхээр, адил боломжтой энгийн үр дүнгийн нийт тоо $n=36$, харин таатай үр дүнгийн тоо (дээрх хүснэгтэд байгаа сүүдэртэй нүднүүдийн тоо) $m=10$ байна. Тэгвэл үйл явдлын магадлал $P=10/36=5/18$-тэй тэнцүү болно.

Тиймээс, бид 2 шоо хаях, энгийн үйл явдлын тухай ярьж байгаа тохиолдолд та хүснэгт барьж, дотор нь шаардлагатай нүднүүдийг сонгоод тоог 36-д хуваах хэрэгтэй бол энэ нь магадлал болно. Онооны тооны нийлбэр, үржвэр, зөрүүтэй холбоотой асуудлуудаас гадна зөрүүний модуль, хамгийн бага, хамгийн олон тооны зурсан оноотой холбоотой асуудлууд байдаг (та тохирох хүснэгтүүдийг эндээс олох болно).

Шоо болон шоотой холбоотой бусад асуудлууд

Мэдээжийн хэрэг, асуудал нь дээр дурдсан шоо хаяхтай холбоотой хоёр ангиллын асуудлуудаар хязгаарлагдахгүй (тэдгээр нь асуудлын ном, сургалтын гарын авлагад хамгийн олон удаа тааралддаг), бусад зүйл байдаг. Ойролцоогоор шийдлийн аргын талаар олон янз байдал, ойлголттой болохын тулд бид өөр гурван зүйлийг шинжлэх болно ердийн жишээнүүд: 3 шоо шидэх, нөхцөлт магадлал, Бернуллигийн томьёо.

Жишээ 6. 3 шоо шиддэг. Нийт 15 оноо байх магадлалыг ол.

3 шооны хувьд хүснэгтийг бага гаргадаг, учир нь танд 6 ширхэг (дээрх шиг нэг биш) хэрэгтэй тул шаардлагатай хослолуудыг хайж олоход л болно.

Туршилтын нийт үр дүнгийн тоог олцгооё. Үр дүнг $(x,y,z)$ хэлбэрийн тоонуудын дараалсан гурвалсан хэлбэрээр илэрхийлж болно, $x$ нь эхний үхэлд хэдэн оноо унасан (1-ээс 6 хүртэл), $y$ нь хэдэн оноо унасан байна. хоёр дахь үхэл дээр (1-ээс 6 хүртэл), $ z $ - гурав дахь үхэл дээр хэдэн оноо эргэлддэг (1-ээс 6 хүртэл). Ийм гурвалсан тооны нийт тоо нь $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ байх нь ойлгомжтой.

Одоо нийт 15 оноо өгөх үр дүнг сонгоцгооё.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Бид $m=3+6+1=10$ үр дүнг авсан. Хүссэн магадлал нь $P=10/216=0.046$ байна.

Жишээ 7. 2 шоо шиддэг. Нийт онооны тоо тэгш байх нөхцөлд эхний өлгүүр 4 онооноос илүүгүй өнхрөх магадлалыг ол.

Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол өмнөх шигээ хүснэгтийг дахин ашиглах явдал юм (бүх зүйл тодорхой болно). Бид онооны нийлбэрийн хүснэгтийг бичиж, зөвхөн тэгш утгатай нүднүүдийг сонгоно.

Туршилтын нөхцлийн дагуу бид 36 биш, харин $n=18$ үр дүн гарна (онооны нийлбэр тэгш байх үед).

Одоо эдгээр эсүүдээсЗөвхөн "эхний өлгүүрт 4 онооноос илүүгүй өнхрөх" үйл явдалд тохирохыг нь сонгоцгооё, өөрөөр хэлбэл хүснэгтийн эхний 4 эгнээний нүднүүдэд (улбар шараар тодруулсан) $m= байх болно. 12 доллар.

Шаардлагатай магадлал $P=12/18=2/3.$

Үүнтэй ижил даалгавар байж болно өөрөөр шийднэнөхцөлт магадлалын томъёог ашиглан. Үйл явдлуудыг оруулцгаая:
A = Онооны тооны нийлбэр тэгш байна
B = Эхний өлгүүрт 4-өөс илүү оноо өнхрөхгүй
AB = Онооны тооны нийлбэр нь тэгш бөгөөд эхний өлгүүрт 4-өөс илүүгүй оноо өнхрүүлэв
Дараа нь хүссэн магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Магадлалыг олох. Үр дүнгийн нийт тоо $n=36$, А үйл явдлын хувьд таатай үр дүнгийн тоо (дээрх хүснэгтийг харна уу) $m(A)=18$, AB үйл явдлын хувьд - $m(AB)=12$ байна. Бид дараахыг авна: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P) (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Хариултууд нь адилхан байв.

Жишээ 8. Шоог 4 удаа шиддэг. Тэгш тооны цэгүүд яг 3 удаа гарч ирэх магадлалыг ол.

Шоо байсан тохиолдолд хэд хэдэн удаа шиддэг, мөн үйл явдал нь нийлбэр, бүтээгдэхүүн гэх мэт зүйл биш юм. салшгүй шинж чанарууд, гэхдээ зөвхөн тухай дуслын тоотодорхой төрлийн хувьд та үүнийг магадлалыг тооцоолоход ашиглаж болно

Асуудал 1.4 - 1.6

Асуудлын нөхцөл 1.4

Асуудлын "шийдлийн" алдааг заана уу: хоёр шоо шидсэн; зурсан онооны нийлбэр 3 байх магадлалыг ол (А үйл явдал). "Шийдэл". Туршилтын хоёр боломжит үр дүн байдаг: авсан онооны нийлбэр нь 3, авсан онооны нийлбэр нь 3-тай тэнцүү биш. А үйл явдал нэг үр дүнгээр давуу талтай, нийт үр дүнгийн тоо хоёр байна. Тиймээс хүссэн магадлал нь P(A) = 1/2-тэй тэнцүү байна.

Асуудлын шийдэл 1.4

Энэхүү "шийдэл"-ийн алдаа нь тухайн үр дүнд хүрэх нь адилхан боломжгүй юм. Зөв шийдвэр: Адилхан боломжит үр дүнгийн нийт тоо тэнцүү байна (нэг өлгүүрт эргэлдэж буй оноо бүрийг өөр өлгүүрт өнхрүүлсэн бүх тооны оноотой нэгтгэж болно). Эдгээр үр дүнгийн дотроос зөвхөн хоёр үр дүн нь тухайн үйл явдлыг дэмждэг: (1; 2) ба (2; 1). Энэ нь шаардлагатай магадлал гэсэн үг юм

Хариулт:

Асуудлын нөхцөл 1.5

Хоёр шоо шидэв. Дараах үйл явдлын магадлалыг ол: а) зурсан онооны нийлбэр нь долоо; б) зурсан онооны нийлбэр нь найм, зөрүү нь дөрөв; в) тэдгээрийн зөрүү дөрөв байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол зурсан онооны нийлбэр нь найм; г) өнхрүүлсэн цэгүүдийн нийлбэр нь тав, бүтээгдэхүүн нь дөрөв байна.

Асуудлын шийдэл 1.5

a) Эхний үхлийн зургаан сонголт, хоёрдугаарт зургаа. Нийт сонголтууд: (бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу). 7-той тэнцэх нийлбэрийн сонголтууд: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - нийт зургаан сонголт. гэсэн үг,

б) Зөвхөн хоёр тохиромжтой сонголтууд: (6.2) ба (2.6). гэсэн үг,

в) Зөвхөн хоёр тохиромжтой сонголт байна: (2,6), (6,2). Гэхдээ нийтдээ боломжит сонголтууд 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). гэсэн үг, .

d) 5-тай тэнцэх нийлбэрийн хувьд дараах сонголтууд тохиромжтой: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Бүтээгдэхүүн нь зөвхөн хоёр сонголтын хувьд 4 байна. Дараа нь

Хариулт: a) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; d) 1/18

Асуудлын нөхцөл 1.6

Бүх ирмэг нь өнгөтэй байдаг шоо мянган шоо болгон хөрөөддөг ижил хэмжээтэй, дараа нь сайтар холино. Азаар зурсан шоо нь өнгөтэй нүүртэй байх магадлалыг ол: a) нэг; б) хоёр; в) гурав.

Асуудлын шийдэл 1.6

Нийт 1000 шоо үүссэн. Гурван өнгийн нүүртэй шоо: 8 (эдгээр нь булангийн шоо). Хоёр өнгийн нүүртэй: 96 (ирмэг бүр дээр 8 шоо бүхий шоо 12 ирмэг байдаг тул). Өнгөт ирмэгтэй шоо: 384 (6 нүүртэй, нүүр бүрт 64 шоо байдаг тул). Олдсон хэмжигдэхүүн бүрийг 1000-д хуваахад л үлдлээ.

Хариулт: a) 0.384; b) 0.096 c) 0.008