Олон гишүүнтийг үржүүлэх. Фурье хувиргалтыг ашиглан олон гишүүнтүүдийг хурдан үржүүлэхэд хялбар байдаг

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Хичээлийн зорилго:(Танилцуулга. Слайд 2)

Боловсролын:

олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх дүрмийг гаргах;
энэ дүрмийг хэрэгжүүлэх чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын:

анхаарлыг хөгжүүлэх;
сэдвийн талаархи мэдлэгийг шинжлэх, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх;
сэтгэцийн тоолох чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын:

цэвэр цэмцгэр байдлын боловсрол;
тухайн сэдвээр тогтвортой сонирхлыг бий болгох.

Хичээлийн төрөл: Шинэ мэдлэгийг судлах, эхлээд нэгтгэх хичээл.

Хичээлийн явц

I. Аман ажил(Танилцуулга. Слайд 3)

Үржүүлэх үйлдлийг хий.

a) a (x - y);

b) 2p (3 - q);

в) –2х (х – 4);

d) 4y(y 3 + 0.25);

e) – 0.5 с 2 (c 3 + 2);

д) –5х (3х 2 – 4);

g) 2a 4 (a 3 – 0.5);

h) –q 7 (q 3 – q 5).

II. Шинэ материалын тайлбар (Танилцуулга. Слайд 4)

Тайлбарыг сурах бичигт байгаа материалын дагуу хэд хэдэн үе шаттайгаар явуулдаг.

1. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх дүрмийг гаргаж, слайд (эсвэл самбар) дээр үзүүлнэ үү:

2. Үүссэн дүрмийг томъёолж, хэд хэдэн суралцагчаас үүнийг давтахыг хүс.

3. Дүрмийг хэрэглэх жишээнд дүн шинжилгээ хийх.

Түүнээс хойш энэ сэдэвЭнэ нь оюутнуудад шинэ зүйл тул хоёр олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийг шууд хэрэглэх хэд хэдэн энгийн жишээг өгөхийг зөвлөж байна. Дараах хичээлүүдэд энэ дүрмийг хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг авч үзэх нь дээр.

Жишээ 1.(Танилцуулга. Слайд 5) Олон гишүүнт (3a – 2b) олон гишүүнт (2a + 3b)-аар үржүүлнэ.

Шийдэл: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6б 2.

Жишээ 2.(Танилцуулга. Слайд 6) Илэрхийлэлийг хялбарчлах: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).

Шийдэл: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.

Жишээ 3.(Танилцуулга. Слайд 7) Үүнийг хэнд ч баталцгаая байгалийн үнэ цэнэ n илэрхийллийн утга (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 нь 3-ын үржвэр юм.

Шийдэл: (p + 1)(p + 2) – (3p – 1)(p + 3) + 5p(p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 – 3p 2 – 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).

III. Чадвар, ур чадварыг бий болгох (Танилцуулга. Слайд 8)

Хичээлийн үеэр та олон гишүүнт олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийг сурсан эсэхийг шалгахын тулд аль болох олон сурагчид судалгаа хийх хэрэгтэй. Тиймээс даалгавар бүрийг гүйцэтгэхийн тулд гурван сурагчийг нэг дор самбарт дуудаж болно.

1. № 677, № 678.

Эдгээр олон гишүүнт үржүүлэх бодлогод хүчин зүйл бүр шугаман байна. Оюутнууд холбогдох дүрмийн хэрэгжилтийн үнэн зөвийг хянаж, тэмдгүүдэд алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм.

2. № 680.

Оюутнууд олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийг хэрэглэхээс гадна хүч чадлын шинж чанарыг санах ёстой тул эдгээр даалгавар нь арай илүү хэцүү байдаг.

в) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;

e) 56p 3 – 51p 2 + 10p.

3. № 682 (а, в).

a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;

в) (3а – 1) 2 = (3а – 1) (3а – 1) = 9а 2 – 3а – 3а – 1 = 9а 2 – 6а + 1.

IV. Хичээлийн хураангуй (Танилцуулга. Слайд 9)

– Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр хэрхэн үржүүлэх вэ?

– Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх дүрмийг томъёол.

– Олон гишүүнтийг үржүүлснээр олж авсан нэр томъёо ямар тэмдэгтэй байх вэ?

a) (x + y) (a - b);

б) (n – м) (p – q)?

В. Гэрийн даалгавар: (Танилцуулга. Слайд 10)

№ 679; № 681; No 682 (b, d).

Ашигласан сурах бичиг болон сургалтын хэрэглэгдэхүүн: (Танилцуулга. Слайд 11)

"Алгебр 7" сурах бичиг. Ю.Н.Миндюк, К.И.Суворова, С.А.Теляковский. Москвагийн "Гэгээрэл" 2010 он.
Рурукин А.Н., Лупенко Г.В., Масленникова И.А. Хичээлд суурилсан хөгжүүлэлталгебрийн хичээлээр: 7-р анги.

Ашигласан загвар.

Хэрэв тоонууд нь өөр үсгээр тэмдэглэгдсэн бол зөвхөн бүтээгдэхүүнийг зааж өгч болно; Жишээлбэл, бид a тоог b тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй - бид үүнийг a ∙ b эсвэл ab гэж тэмдэглэж болно, гэхдээ энэ үржүүлгийг ямар нэгэн байдлаар гүйцэтгэх тухай асуудал байхгүй. Гэсэн хэдий ч, бид мономиалуудтай харьцахдаа 1) коэффициентүүд байгаа эсэх, 2) эдгээр мономиалууд нь ижил үсгээр тэмдэглэгдсэн хүчин зүйлсийг багтааж болох тул мономиалуудыг үржүүлэх талаар ярих боломжтой болно; Олон гишүүнтийн хувьд энэ боломж бүр ч өргөн байдаг. Хамгийн энгийнээс эхлээд үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх боломжтой хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

1. Эрх мэдлийг үржүүлэх ижил үндэслэлээр . Жишээлбэл, 3 ∙ a 5 байх шаардлагатай. Экспонентацын утгыг мэдэж, ижил зүйлийг илүү дэлгэрэнгүй бичье.

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Үүнийг хараад дэлгэрэнгүй оруулга, бид 8 дахин үржвэртэй a, товчоор хэлбэл 8 гэж бичсэнийг бид харж байна. Тэгэхээр 3 ∙ a 5 = a 8 болно.

b 42 ∙ b 28 шаардлагатай байг. Бид эхлээд b хүчин зүйлийг 42 удаа, дараа нь дахин b хүчин зүйлийг 28 удаа бичих хэрэгтэй болно - ерөнхийдөө b хүчин зүйлийг 70 удаа авах болно. өөрөөр хэлбэл b 70. Тэгэхээр b 42 ∙ b 28 = b 70 болно. Эндээс харахад ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд зэрэглэлийн суурь өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлдэж, хүчнүүдийн илтгэгч нэмэгдэх болно. Хэрэв бид 8 ∙ a-тай бол a хүчин зүйл нь 1-ийн илтгэгчийг ("a") илэрхийлдэг - тиймээс 8 ∙ a = a 9 гэдгийг санах хэрэгтэй.

Жишээ нь: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3х – 1) 4 ∙ (3х – 1) = (3х – 1) 5 гэх мэт.

Заримдаа та илтгэгчийг үсгээр тэмдэглэсэн хүчнүүдтэй харьцах хэрэгтэй болдог, жишээлбэл, xn (x нь n-ийн зэрэг). Ийм хэллэгтэй харьцаж хэвших хэрэгтэй. Энд жишээнүүд байна:

Эдгээр жишээнүүдийн заримыг тайлбарлая: b n – 3 ∙ b 5 та b суурийг өөрчлөхгүй, илтгэгчийг нэмэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Мэдээжийн хэрэг. , Та ийм нэмэлтүүдийг толгойдоо хурдан хийж сурах ёстой.

Өөр нэг жишээ: x n + 2 ∙ x n – 2, – суурь х-г хэвээр үлдээж, илтгэгчийг нэмж, өөрөөр хэлбэл (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n болно.

Та одоо дээр дурдсан дарааллыг ижил суурьтай хүчийг хэрхэн үржүүлэхийг тэгш байдлаар илэрхийлж болно.

a m ∙ a n = a m + n

2. Мономиалыг мономиалаар үржүүлэх.Жишээлбэл, 3a²b³c ∙ 4ab²d² шаардлагатай байг. Энд нэг үржүүлгийг цэгээр зааж байгааг бид харж байна, гэхдээ ижил үржүүлэх тэмдэг нь 3 ба a² хооронд, a² ба b³ хооронд, b³ ба c хооронд, 4 ба а хооронд, а ба b² хооронд, b² ба хооронд байна гэдгийг бид мэднэ. d². Тиймээс бид эндээс 8 хүчин зүйлийн үржвэрийг харж, тэдгээрийг дурын бүлэгт дурын дарааллаар үржүүлж болно. Ижил суурьтай коэффициент ба хүч ойролцоо байхаар тэдгээрийг дахин зохион байгуулъя.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Дараа нь бид ижил суурьтай 1) коэффициент ба 2) хүчийг үржүүлж, 12a³b5cd² болно.

Тиймээс, мономиалыг мономиалаар үржүүлэхдээ бид ижил суурьтай коэффициент ба хүчийг үржүүлж болох боловч үлдсэн хүчин зүйлсийг өөрчлөхгүйгээр дахин бичих хэрэгтэй.

Илүү олон жишээ:

3. Олон гишүүнтийг мономиалаар үржүүлэх.Та эхлээд зарим олон гишүүнт, жишээлбэл, a – b – c + d, эерэг бүхэл тоогоор, жишээлбэл, +3 үржүүлэх хэрэгтэй гэж бодъё. Эерэг тоонууд нь арифметик тоотой ижил гэж тооцогддог тул энэ нь (a – b – c + d) ∙ 3, өөрөөр хэлбэл a – b – c + d гишүүнчлэлийг 3 удаа авах, эсвэл

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

өөрөөр хэлбэл, үр дүнд нь олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг 3-аар (эсвэл +3) үржүүлэх шаардлагатай болсон.

Үүнээс үүдэн:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг (+3) хуваах шаардлагатай байв. Мөн ерөнхийдөө бид дараахь зүйлийг олж авна.

гэх мэт.

Одоо бид (a - b - c + d) -ийг үржүүлэх хэрэгтэй эерэг бутархайжишээлбэл, + хүртэл. Энэ нь үржүүлж байгаатай адил юм арифметик бутархай, энэ нь (a – b – c + d) -аас хэсгийг авах гэсэн үг юм. Энэ олон гишүүнтийн тавны нэгийг авахад амархан: та (a - b - c + d) 5-д хуваах хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг хэрхэн хийхээ аль хэдийн мэдэж байгаа бөгөөд бид олж авна. . Үр дүнг 3 удаа давтах буюу 3-аар үржүүлэхэд үлддэг, i.e.

Үүний үр дүнд бид олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг + эсвэл үржүүлэх шаардлагатай байгааг бид харж байна.

Одоо бид (a - b - c + d) -ийг үржүүлэх хэрэгтэй сөрөг тоо, бүхэл тоо эсвэл бутархай,

өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг --ээр үржүүлэх шаардлагатай.

Иймд m тоо ямар ч байсан (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + дм байна.

Мономиаль бүр нь тоо учраас энд олон гишүүнтийг мономиалаар хэрхэн үржүүлэх тухай заалтыг харж байна - бид олон гишүүнт гишүүн бүрийг энэ мономиалаар үржүүлэх ёстой.

4. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх. (a + b + c) ∙ (d + e) байг. d ба e нь тоонуудыг илэрхийлдэг тул (d + e) дурын нэг тоог илэрхийлнэ.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(бид үүнийг ингэж тайлбарлаж болно: бид d + e-г түр зуур мономиал болгон авах эрхтэй).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

Үүний үр дүнд та гишүүдийн дарааллыг өөрчилж болно.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө гишүүний гишүүн бүрээр үржүүлэх шаардлагатай. Эхний олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг эхлээд хоёр дахь гишүүний эхний гишүүнээр (+d), дараа нь хоёр дахь гишүүний хоёр дахь гишүүнээр (+-ээр) үржүүлэх нь тохиромжтой (энэ зорилгоор олж авсан нэр томъёоны дарааллыг дээр дурдсан болно) д), хэрэв нэг байсан бол гурав дахь гэх мэт .d.; Үүний дараа та дүр бүтээх хэрэгтэй ижил төстэй гишүүд.

Эдгээр жишээнүүдэд биномийг биномоор үржүүлсэн; дуран бүрд нэр томьёо нь хоёр гишүүнд нийтлэг үсгийн бууралтын хувиар байрлана. Ийм үржүүлэлтийг толгойдоо хийж, эцсийн үр дүнг даруй бичихэд хялбар байдаг.

Эхний хоёр гишүүний тэргүүлэх гишүүнийг хоёр дахь гишүүн, жишээлбэл 4x²-ийг 3x-аар үржүүлснээр бид 12x³ бүтээгдэхүүний тэргүүлэх гишүүнийг олж авна - үүнтэй төстэй зүйл байхгүй нь ойлгомжтой. Дараа нь бид 1-ээс бага x үсгийн зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл x²-тэй үржүүлгийн үр дүнг хайж байна. Эхний хүчин зүйлийн 2-р гишүүнийг 2-р гишүүний 1-р гишүүнээр үржүүлж, эхний хүчин зүйлийн 1-р гишүүнийг 2-р гишүүний 2-р гишүүнээр үржүүлснээр ийм нэр томъёо олддог болохыг бид хялбархан харж болно (хэмжээний доод талд байгаа хаалтууд). жишээ нь үүнийг харуулж байна). Эдгээр үржүүлгийг толгой дээрээ хийх, мөн эдгээр хоёр ижил төстэй нэр томъёог багасгах (дараа нь -19x² гэсэн нэр томъёог авна) нь тийм ч хэцүү биш юм. Дараа нь бид 1-ээс бага зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 1-р зэрэглэлийн x үсэг агуулсан дараагийн гишүүнийг зөвхөн хоёр дахь гишүүнийг хоёр дахь гишүүнээр үржүүлснээр олж авах бөгөөд үүнтэй төстэй зүйл байхгүй болохыг бид анзаарч байна.

Өөр нэг жишээ: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Дараах жишээнүүдийг толгойдоо ажиллуулахад хялбар байдаг.

Тэргүүлэх нэр томъёог тэргүүлэх нэр томъёогоор үржүүлэх замаар олж авсан бөгөөд үүнтэй ижил төстэй нэр томъёо байхгүй бөгөөд энэ нь = 2a³; Дараа нь бид аль үржүүлгийн үр дүнд a²-тэй нөхцөл гарахыг хайж олох болно - 1-р гишүүн (a²) -ийг 2-р (–5) болон хоёр дахь гишүүн (–3a) -ийг 1-ээр (2a) үржүүлэх - үүнийг доор хаалтанд зааж өгсөн болно. ; Эдгээр үржүүлгийг хийж, үүссэн нөхцөлүүдийг нэг болгон нэгтгэснээр бид -11a²-г авна. Дараа нь бид аль үржүүлгийн үр дүнд эхний зэрэгтэй нэр томъёо гарахыг хайж олох болно - эдгээр үржүүлгийг дээд талд нь хаалтанд тэмдэглэв. Тэдгээрийг бөглөж, үүссэн нөхцөлүүдийг нэгтгэснээр бид +11a-г авна. Эцэст нь хэлэхэд, нэг олон гишүүнтийн бага гишүүн (–2)-ийг нөгөөгийн бага гишүүн (–5)-аар үржүүлснээр a-г огт агуулаагүй бүтээгдэхүүний хамгийн бага гишүүн (+10) олддог болохыг бид тэмдэглэж байна.

Өөр нэг жишээ: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Өмнөх бүх жишээнүүдээс бид бас олж авдаг ерөнхий үр дүн: бүтээгдэхүүний тэргүүлэх нэр томъёо нь хүчин зүйлсийн тэргүүлэх нөхцлүүдийг үржүүлэх замаар үргэлж олддог бөгөөд түүнтэй ижил төстэй нэр томъёо байж болохгүй; Мөн хүчин зүйлсийн доод эрэмбийн нөхцлүүдийг үржүүлснээр бүтээгдэхүүний хамгийн бага гишүүнийг олж авдаг бөгөөд үүнтэй ижил төстэй нэр томъёо байж болохгүй.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлснээр олж авсан үлдсэн нэр томъёо нь ижил төстэй байж болох бөгөөд эдгээр бүх нэр томъёо нь харилцан устаж үгүй болж, зөвхөн ахмад болон хамгийн залуу нь үлддэг.

Энд жишээнүүд байна:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (бид зөвхөн үр дүнг бичнэ)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 гэх мэт.

Эдгээр үр дүн нь анхаарал татахуйц бөгөөд санахад хэрэгтэй.

Дараах үржүүлгийн тохиолдол онцгой чухал юм.

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
эсвэл (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
эсвэл (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 гэх мэт.

Эдгээр бүх жишээн дээр арифметикт хэрэглэхэд бид хоёр тооны нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэртэй байх ба үр дүн нь эдгээр тоонуудын квадратуудын зөрүү юм.

Хэрэв бид харвал ижил төстэй тохиолдол, дараа нь дээр дурдсанчлан үржүүлэх ажлыг нарийвчлан хийх шаардлагагүй, гэхдээ та үр дүнг шууд бичиж болно.

Жишээлбэл, (3a + 1) ∙ (3a - 1). Энд арифметикийн үүднээс авч үзвэл эхний хүчин зүйл нь хоёр тооны нийлбэр юм: эхний тоо нь 3a, хоёр дахь нь 1, хоёр дахь хүчин зүйл нь ижил тооны зөрүү юм; Тиймээс үр дүн нь: эхний тооны квадрат (жишээ нь 3a ∙ 3a = 9a²) хоёр дахь тооны квадратыг (1 ∙ 1 = 1) хасна, өөрөөр хэлбэл.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Мөн

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 гэх мэт.

Тиймээс санацгаая

(a + b) (a - b) = a² - b²

өөрөөр хэлбэл хоёр тооны нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэр нь эдгээр тоонуудын квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

дунд янз бүрийн илэрхийлэлалгебрт авч үздэг , чухал газармономиалуудын нийлбэрийг эзэлнэ. Ийм илэрхийллийн жишээ энд байна:
$5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Мономитуудын нийлбэрийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт доторх нэр томъёог олон гишүүнт гишүүн гэж нэрлэдэг. Мономитийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзээд нэг гишүүнтийг мөн олон гишүүнт гэж ангилдаг.

Жишээлбэл, олон гишүүнт
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 $
хялбаршуулж болно.

Бүх нэр томъёог стандарт хэлбэрийн мономиал хэлбэрээр илэрхийлье.
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Үүссэн олон гишүүнтэд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Үр дүн нь олон гишүүнт бөгөөд бүх нэр томъёо нь стандарт хэлбэрийн мономиалууд бөгөөд тэдгээрийн дотор ижил төстэй зүйл байдаггүй. Ийм олон гишүүнтийг нэрлэдэг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт.

Учир нь олон гишүүнтийн зэрэгжишиг хэлбэрийн хувьд гишүүдийнхээ бүрэн эрхийг дээд зэргээр авдаг. Тиймээс $12a^2b - 7b$ хоёр гишүүн гурав дахь зэрэгтэй, гурвалсан $2b^2 -7b + 6$ хоёр дахь зэрэгтэй байна.

Ихэвчлэн нэг хувьсагч агуулсан стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн гишүүнчлэлийн нэр томъёог түүний зэрэглэлийн илтгэгчийн буурах дарааллаар байрлуулдаг. Жишээ нь:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Хэд хэдэн олон гишүүнтийн нийлбэрийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно.

Заримдаа олон гишүүнтийн гишүүдийг бүлэг болгон хувааж, бүлэг бүрийг хаалтанд оруулах шаардлагатай болдог. Хаалт нь нээх хаалтны урвуу хувирал учраас үүнийг томъёолоход хялбар байдаг хаалт нээх дүрэм:

Хэрэв хаалтны өмнө "+" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог ижил тэмдгээр бичнэ.

Хэрэв хаалтны өмнө "-" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог эсрэг тэмдгээр бичнэ.

Мономиаль ба олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ашиглах замаар хуваарилах өмчүржүүлгийг олон гишүүнт, мономиал ба олон гишүүнтийн үржвэр болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно. Жишээ нь:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Нэг гишүүнт ба олон гишүүнтийн үржвэр нь энэ мономиал ба олон гишүүнтийн гишүүн бүрийн үржвэрүүдийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Энэ үр дүнг ихэвчлэн дүрмээр томъёолдог.

Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг гишүүнийг олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлэх ёстой.

Бид энэ дүрмийг нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд хэд хэдэн удаа ашигласан.

Олон гишүүнтийн бүтээгдэхүүн. Хоёр олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ерөнхийдөө хоёр олон гишүүнтийн үржвэр нь нэг олон гишүүнт гишүүн, нөгөө гишүүний гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Ихэвчлэн дараах дүрмийг ашигладаг.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө гишүүнийх нь гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай.

Үржүүлэх товчилсон томъёо. Нийлбэрийн квадратууд, квадратуудын ялгаа ба ялгаа

Зарим илэрхийлэлтэй алгебрийн хувиргалтбусдаас илүү олон удаа тулгардаг. Магадгүй хамгийн нийтлэг илэрхийлэл нь $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ ба $a^2 - b^2 $, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийн квадрат, нийлбэрийн квадрат квадратуудын ялгаа ба ялгаа. Нэрсийг та анзаарсан уу тодорхойлсон илэрхийллүүддуусаагүй мэт жишээ нь $(a + b)^2 $ нь мэдээжийн хэрэг зөвхөн нийлбэрийн квадрат биш, харин a, b-ийн нийлбэрийн квадрат юм. Гэсэн хэдий ч, a ба b-ийн нийлбэрийн квадрат нь дүрмээр бол a, b үсэгний оронд янз бүрийн, заримдаа нэлээд төвөгтэй илэрхийллийг агуулдаг;

$(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ хэллэгийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах (хялбаршуулах) боломжтой, үнэндээ та олон гишүүнтийг үржүүлэхэд ийм даалгавартай тулгарсан; :
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Үүссэн таних тэмдгийг санаж, завсрын тооцоололгүйгээр хэрэглэх нь ашигтай байдаг. Товч үг хэллэг нь үүнд тусална.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - нийлбэрийн квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнаквадрат болон бүтээгдэхүүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - зөрүүний квадрат нь хоёр дахин нэмэгдсэн үржвэргүй квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - квадратуудын зөрүү нь зөрүү ба нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эдгээр гурван таних тэмдэг нь өөрчлөлтийн үед зүүн хэсгийг баруун тийш, харин эсрэгээр баруун хэсгийг зүүн хэсгүүдээр солих боломжийг олгодог. Хамгийн хэцүү зүйл бол харгалзах илэрхийллийг харж, тэдгээрт a, b хувьсагчийг хэрхэн сольж байгааг ойлгох явдал юм. Үржүүлэхийн товчилсон томъёог ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Олон гишүүнттэй хийх үйлдлүүдийн нэг нь олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх явдал юм. Энэ нийтлэлд бид ийм үржүүлгийн дүрмийг авч үзэж, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах болно.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх дүрэм

a + b ба хоёр олон гишүүнтийг тодорхойлъё c + dмөн тэдгээрийн үржүүлэлтийг гүйцэтгэнэ.

Юуны өмнө бид анхны олон гишүүнтүүдийн үржвэрийг бичнэ: бид олон гишүүнтүүдийг хаалтанд өмнө нь хавсаргаж, тэдгээрийн хооронд үржүүлэх тэмдгийг тавьдаг. Бид авах: (a + b) (c + d). Одоо хүчин зүйлийг тэмдэглэе (c+d)Яаж x, тэгвэл илэрхийлэл нь дараах байдлаар харагдах болно. (a + b) x, энэ нь үндсэндээ олон гишүүнт ба мономиалын үржвэр юм. Үржүүлэлтийг хийцгээе: (a + b) x = a x + b x, дараа нь буцааж солино X(c + d) дээр: a · (c + d) + b · (c + d) . Олон гишүүнтийг мономиалаар үржүүлэх дүрмийг дахин ашигласнаар бид илэрхийллийг дараах байдлаар хувиргана. a · c + a · d + b · c + b · d. Дүгнэж хэлэхэд: өгөгдсөн олон гишүүнтүүдийн үржвэр a+bТэгээд c + dтэгш эрхтэй нийцэж байна (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

Бидний дээр дурдсан үндэслэл нь дараахь чухал дүгнэлтийг хийх боломжийг олгодог.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлсний үр дүн нь олон гишүүнт юм. Энэ мэдэгдэл нь үржүүлэх боломжтой олон гишүүнтэд үнэн юм.
Олон гишүүнтийн үржвэр нь нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэрийг нөгөө гишүүнчлэлийн үржвэр юм. агуулсан олон гишүүнтүүдийг үржүүлэхэд бид хаана дүгнэж болох вэ мТэгээд nгишүүд үүний дагуу гишүүдийн бүтээгдэхүүний заасан нийлбэр бүрдэнэ м ннөхцөл.

Одоо бид олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийг томъёолж болно.

Тодорхойлолт 1

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг өөр олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнгийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх жишээ

IN практик шийдэлОлон гишүүнтийн үржвэрийг олох асуудлыг хэд хэдэн дараалсан үйлдэлд задалдаг.

үржүүлсэн олон гишүүнтийн үржвэрийг бүртгэх (олон гишүүнийг хаалтанд хийж, тэдгээрийн хооронд үржүүлэх тэмдгийг бичнэ);
Эхний олон гишүүнт гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэрийг хоёр дахь гишүүн бүрээр байгуулах. Үүний тулд эхний олон гишүүнтийн эхний гишүүнийг хоёр дахь олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр, дараа нь эхний олон гишүүнтийн хоёр дахь гишүүнийг хоёр дахь олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлэх гэх мэт;
боломжтой бол гарсан нийлбэрийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичнэ.

Жишээ 1

Олон гишүүнт өгөгдсөн: 2 − 3 xТэгээд x 2 − 7 x + 1

Шийдэл

Анхны олон гишүүнтүүдийн үржвэрийг бичье. Бид авах: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1).

Дараагийн алхам бол олон гишүүнт гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэрийг эмхэтгэх явдал юм 2 − 3 xолон гишүүнтийн гишүүн бүрийн хувьд x 2 − 7 x + 1. Илүү нарийвчлан авч үзье: эхний олон гишүүнтийн эхний гишүүнийг (тоо 2) хоёр дахь олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлбэл: 2 x 2, 2 (− 7 x) ба 2 1. Дараа нь бид эхний олон гишүүнтийн хоёр дахь гишүүнийг хоёр дахь олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлээд: − 3 x x 2, − 3 x (− 7 x) ба − 3 x 1. Бид үүссэн бүх илэрхийлэлийг нийлбэр болгон цуглуулдаг. 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1.

Аливаа нэр томъёоны үржвэрийг алдсан эсэхийг шалгацгаая: үүнийг хийхийн тулд бид бичсэн нийлбэр дэх нөхцлийн тоог дахин тооцоолж, 6-г авна. Анхны олон гишүүнтүүд 2 ба 3 гишүүнчлэлээс бүрдэх ба нийт 6 гишүүнийг өгдөг учраас энэ нь үнэн юм.

Сүүлийн алхам бол бүртгэгдсэн нийлбэрийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах явдал юм. 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Товчхондоо тайлбаргүйгээр шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

(2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3

Хариулт: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3.

Анхны олон гишүүнтүүдийг өгсөн тохиолдолд үүнийг тодруулцгаая стандарт бус хэлбэр, тэдний ажлыг олохын өмнө тэдгээрийг стандарт хэлбэрт оруулахыг зөвлөж байна. Үр дүн нь мэдээжийн хэрэг ижил байх болно, гэхдээ шийдэл нь илүү тохиромжтой, богино байх болно.

Жишээ 2

Өгөгдсөн олон гишүүнт 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x ба x y − 1. Та тэдний ажлыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

Өгөгдсөн олон гишүүнтүүдийн нэг нь стандарт бус хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. Үүнийг стандарт хэлбэрт оруулах замаар засъя:

1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 y + 3 x

Одоо шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг олцгооё:

5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Хариулт:- 5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Эцэст нь гурав ба түүнээс дээш олон гишүүнтийг үржүүлэх шаардлагатай нөхцөл байдлыг тодруулцгаая. Энэ тохиолдолд үржвэрийг олох нь олон гишүүнтийг хоёроор дараалан үржүүлэхэд хүргэдэг: i.e. Нэгдүгээрт, эхний хоёр олон гишүүнтийг үржүүлнэ; олж авсан үр дүнг гурав дахь олон гишүүнтээр үржүүлнэ; энэ үржүүлгийн үр дүн нь дөрөв дэх олон гишүүнт гэх мэт.

Жишээ 3

Олон гишүүнт өгөгдсөн: x 2 + x · y − 1 , x + y ба 2 · y − 3 . Та тэдний ажлыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

Ажлаа тэмдэглэе: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3).

Эхний хоёр олон гишүүнтийг үржүүлбэл бид: (x 2 + x y − 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y − 1 x − 1 · y = = x 3 + 2 · x 2 болно. · y + x · y 2 − x − y .

Ажлын анхны бичлэг нь дараах хэлбэртэй байна. (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3).

Энэ үржүүлгийн үр дүнг олъё:

(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3) = = x 3 2 y + x 3 (− 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3) ) + x y 2 2 y + + x y 2 (− 3) − x 2 y − x (− 3) − y · 2 · y − y · (− 3) = = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - − 3 x x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y

Хариулт:

(x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = 2 x 3 y − 3 x 3 + 4 x 2 y 2 − 6 x 2 y + + 2 x y 3 − 3 x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Олон гишүүнтийн үржвэрийг тооцох дүрэм.

Олон гишүүнтийн үржвэрийг авч үзэхийн тулд эхлээд нэг гишүүнийг олон гишүүнтээр хэрхэн үржүүлэхийг санацгаая.

Мономит ба олон гишүүнтийн үржвэрийг дараах байдлаар олно.

моном ба олон гишүүнтийн үржвэр бүтнэ.
Хаалт нээгдэнэ.
тоонууд нь ижил тоогоор бүлэглэгддэг хувьсагч найзнайзтайгаа.
тоонуудыг үржүүлж, харгалзах ижил хувьсагчдын хүчийг нэмнэ.

Одоо жишээн дээр хоёр олон гишүүнтийг үржүүлэхийг авч үзье.

Жишээ 1

$x-y+z$ олон гишүүнтийг $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$ олон гишүүнтээр үржүүлье.

Эхлээд олон гишүүнтийн үржвэрийг бичье.

\[\зүүн(x-y+z\баруун)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]

Дараах орлуулалтыг хийцгээе. $x-y+z=t$ байвал бид дараахыг авна.

Бид мономиал ба олон гишүүнтийн үржвэрийг олж авсан. Дээр дурдсан дүрмийг ашиглан үүнийг олъё.

Хаалтуудыг өргөжүүлье:

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе:

\[(\зүүн(x-y+z\баруун)xy)^5+(\зүүн(x-y+z\баруун)y)^6-(\зүүн(x-y+z\баруун)xz) ^5\]

IN энэ илэрхийлэлБид мономиал ба олон гишүүнтийн гурван бүтээгдэхүүн байгааг харж байна. Дээрх дүрмийг ашиглан тэдгээрийг тусад нь олъё:

\[(\зүүн(x-y+z\баруун)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy) )^6+z(xy)^5\] \[(\зүүн(x-y+z\баруун)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\зүүн(x-y+z\баруун)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]

Илэрхийлэлээ дахин бичье:

\[\left((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]

Хаалтуудыг нээцгээе. Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол хаалтанд байгаа тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, харин хаалтны өмнө хасах тэмдэг байвал эсрэгээр өөрчлөгдөнө гэдгийг сануулъя. . Бид авдаг

\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]

Бид олон гишүүнт авсан. Үүнийг стандарт хэлбэрт оруулах л үлдлээ. Нийтдээ хариулт нь:

\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]

Хүлээн авсан үр дүнг сайтар харвал бид олж авна дараагийн дүрэмолон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх:

Дүрэм: Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд эхний олон гишүүнт гишүүн бүрийг хоёр дахь олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж, гарсан үржвэрүүдийг нэмж, олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай.

Жишээ 2

$2x+y$ ба $x^2+2y+3$ үржүүлнэ.

Бүтээгдэхүүнээ бичье:

\[\зүүн(2x+y\баруун)(x^2+2y+3)\]

\[\зүүн(2х+у\баруун)\зүүн(x^2+2y+3\баруун)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Үүссэн олон гишүүнт байгаа гэдгийг бид харж байна стандарт харагдах байдал, дараа нь үржүүлэх ажил дуусна.