Эквивалент матрицууд. Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдвэрлэх

Эквивалент матрицууд

Дээр дурдсанчлан s эрэмбийн матрицын минор нь сонгосон s мөр, баганын огтлолцол дээр байрлах анхны матрицын элементүүдээс үүссэн матрицын тодорхойлогч юм.

Тодорхойлолт. mn эрэмбийн матрицад r эрэмбийн минорыг биш бол үндсэн гэж нэрлэдэг тэгтэй тэнцүү, мөн r+1 ба түүнээс дээш эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү эсвэл огт байхгүй, i.e. r нь m эсвэл n-ийн жижиг хэмжээтэй таарч байна.

Минорын суурь суурь тавигддаг матрицын багана, мөрүүдийг мөн суурь гэж нэрлэдэг.

Матриц нь ижил дараалалтай хэд хэдэн өөр үндсэн суурьтай байж болно.

Тодорхойлолт. Матрицын суурь минорын дарааллыг матрицын зэрэг гэж нэрлэдэг ба Rg A гэж тэмдэглэнэ.

Маш чухал өмчэнгийн матрицын хувиргалт нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөхгүй байх явдал юм.

Тодорхойлолт. Элемент хувирлын үр дүнд олж авсан матрицуудыг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Тэнцүү матрицууд ба эквивалент матрицууд нь огт өөр ойлголт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Теорем. Хамгийн том тооматриц дахь шугаман бие даасан баганууд нь шугаман бие даасан мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Учир нь энгийн хувиргалт нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөхгүй бол матрицын зэрэглэлийг олох үйл явцыг ихээхэн хялбаршуулж болно.

Жишээ. Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно уу.

2. Жишээ: Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно.

Хэрэв анхдагч хувиргалтыг ашиглан анхныхтай тэнцэх матрицыг олох боломжгүй, гэхдээ арай бага хэмжээтэй бол матрицын зэрэглэлийг олох нь хамгийн дээд эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг тооцоолох замаар эхлэх ёстой. Дээрх жишээнд эдгээр нь 3-р эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс юм. Хэрэв тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол матрицын зэрэглэл нь энэ бага зэргийн эрэмбтэй тэнцүү байна.

Минорын суурь дээрх теорем.

Теорем. Дурын А матрицын багана (мөр) бүр нь суурь минор байрлах багана (мөр)-ийн шугаман хослол юм.

Тиймээс зэрэглэл дурын матриц A нь тэнцүү байна хамгийн их тооматриц дахь шугаман бие даасан мөрүүд (баганууд).

Хэрэв А нь дөрвөлжин матриц бөгөөд det A = 0 бол баганын ядаж нэг нь үлдсэн баганын шугаман хослол болно. Мөрний хувьд ч мөн адил. Энэ мэдэгдлийг үл хөдлөх хөрөнгөөс гаргаж байна шугаман хамааралтодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдвэрлэх

Дээр дурдсанчлан, матрицын аргаба Крамерын арга нь зөвхөн тэдгээр системд хамаарна шугаман тэгшитгэл, үүнд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Дараа нь шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг авч үзье.

Тодорхойлолт. n үл мэдэгдэх m тэгшитгэлийн систем ерөнхий үзэлдараах байдлаар бичигдсэн байна.

aij нь коэффициент, bi нь тогтмол. Системийн шийдлүүд нь n тоо бөгөөд тэдгээр нь системд орлуулснаар тэгшитгэл бүрийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Тодорхойлолт. Хэрэв систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Хэрэв системд нэг шийдэл байхгүй бол түүнийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Хэрэв систем нь зөвхөн нэг шийдэлтэй бол тодорхойгүй, хэд хэдэн шийдэлтэй бол тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьд матриц

A = нь системийн матриц ба матриц гэж нэрлэгддэг

A*= нь системийн өргөтгөсөн матриц гэж нэрлэгддэг

Тодорхойлолт. Хэрэв b1, b2, …,bm = 0 бол системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. нэгэн төрлийн системүргэлж хамтарсан, учир нь үргэлж тэг шийдэлтэй байдаг.

Анхан шатны системийн өөрчлөлтүүд

Анхан шатны өөрчлөлтөд дараахь зүйлс орно.

1) Нэг тэгшитгэлийн хоёр талд нөгөөгийн харгалзах хэсгүүдийг нэмж, тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлнэ.

2) Тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах.

3) Бүх x-ийн таних тэмдэг болох тэгшитгэлийг системээс хасах.

Кронекер-Капели теорем (системийн тууштай байдлын нөхцөл).

(Германы математикч Леопольд Кронекер (1823-1891))

Теорем: Системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал систем тогтвортой байна (дор хаяж нэг шийдэлтэй).

Мэдээжийн хэрэг, системийг (1) хэлбэрээр бичиж болно.

Энэ бүлгийн эхний гурван догол мөр нь олон гишүүнт матрицуудын эквивалентийн тухай сургаалд зориулагдсан болно. Үүний үндсэн дээр бид дараагийн гурван догол мөрөнд энгийн хуваагч нарын аналитик онолыг, өөрөөр хэлбэл тогтмол (цөөн нэрлэсэн) квадрат матрицыг багасгах онолыг бүтээнэ. хэвийн хэлбэр. Бүлгийн сүүлийн хоёр догол мөрөнд хувиргах матрицыг бүтээх хоёр аргыг өгсөн болно.

§ 1. Олон гишүүнт матрицын элементар хувиргалт

Тодорхойлолт 1. Олон гишүүнт матриц эсвэл -матриц нь тэгш өнцөгт матриц бөгөөд элементүүд нь олон гишүүнт байдаг:

Энд олон гишүүнтийн хамгийн их зэрэглэл байна.

Бид олон гишүүнт матрицыг матрицын олон гишүүнт хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл матрицын коэффициент бүхий олон гишүүнт хэлбэрээр төлөөлж болно:

Олон гишүүнт матриц дээрх дараах энгийн үйлдлүүдийг авч үзье.

1. Зарим, жишээ нь th мөрийг тоогоор үржүүлэх.

2. Өмнө нь дурын олон гишүүнт үржүүлсэн заримыг, жишээ нь th, өөр нэг мөрөнд, жишээ нь th, мөрийг нэмэх.

3. Дурын хоёр мөрийг, жишээ нь th болон th мөрийг солино.

Уншигчийг 1, 2, 3 үйлдлүүд нь зүүн талд байгаа олон гишүүнт матрицыг дараах байдлаар үржүүлэхтэй тэнцүү эсэхийг шалгахыг урьж байна. квадрат матрицуудзахиалга:

(1)

өөрөөр хэлбэл 1, 2, 3-р үйлдлүүдийг хэрэгжүүлсний үр дүнд матрицыг , , матрицууд болгон хувиргадаг. Иймд 1, 2, 3 төрлийн үйлдлүүдийг зүүн энгийн үйлдлүүд гэнэ.

Олон гишүүнт матриц дээрх зөв энгийн үйлдлүүд нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог (эдгээр үйлдлүүд нь олон гишүүнт матрицын мөрүүд дээр биш, харин баганууд дээр хийгддэг) болон харгалзах матрицууд (захиалгаар):

Зөв энгийн үйлдлийг хэрэглэсний үр дүнд матрицыг баруун талд нь харгалзах матрицаар үржүүлнэ.

Бид төрлийн (эсвэл ижил төрлийн) матрицуудыг энгийн матрицууд гэж нэрлэх болно.

Тодорхойлогч аливаа энгийн матрицхамаарахгүй бөгөөд тэгээс ялгаатай. Тиймээс зүүн (баруун) энгийн үйлдэл бүрийн хувьд байдаг урвуу ажиллагаа, энэ нь мөн зүүн (баруун тус тус) үндсэн үйлдэл юм.

Тодорхойлолт 2. Хоёр олон гишүүнт матрицыг 1) зүүн талын эквивалент, 2) баруун талын эквивалент, 3) нэг нь нөгөөгөөсөө 1) зүүн талын элементар үйлдлүүд, 2) баруун элементар үйлдлүүд, 3) зүүн ба зөв үндсэн үйлдлүүд.

Матрицад харгалзах зүүн энгийн үйлдлүүдийг ашиглан матрицыг олж ав. Дараа нь

. (2).

Бүтээгдэхүүнээр тэмдэглэснээр бид тэгш байдлыг (2) хэлбэрээр бичнэ

, (3)

Энд матриц тус бүрийн адил тэгээс өөр тогтмол тодорхойлогч байна.

Тогтмол тэгээс өөр тодорхойлогчтой квадрат матриц бүрийг энгийн матрицуудын үржвэр болгон төлөөлж болохыг дараагийн хэсэгт бид батлах болно. Иймээс (3) тэгш байдал нь (2) тэнцүү байх тул матрицын зүүн эквивалентийг илэрхийлнэ.

Зөв тэнцүү байх тохиолдолд олон гишүүнт матрицуудмөн тэгш байдлын (3) оронд бид тэгш эрхтэй байх болно

, (3")

ба (хоёр талын) тэнцүү байх тохиолдолд - тэгш байдал

Энд дахин ба тэгээс ялгаатай ба бие даасан тодорхойлогчтой матрицууд байна.

Тиймээс 2-р тодорхойлолтыг ижил төстэй тодорхойлолтоор сольж болно.

Тодорхойлолт 2". Хоёр тэгш өнцөгт матрицыг 1) зүүн эквивалент, 2) баруун эквивалент, 3) тэнцүү гэж нэрлэдэг.

1) , 2) , 3) ,

Энд ба нь тогтмол ба тэгээс өөр тодорхойлогчтой олон гишүүнт квадрат матрицууд.

Бид дээр дурдсан бүх ойлголтыг дараах чухал жишээн дээр харуулав.

Шугаман нэгэн төрлийн системийг авч үзье дифференциал тэгшитгэл-Тогтмол коэффициент бүхий үл мэдэгдэх аргумент функцтэй-р дараалал:

(4)

Шинэ үл мэдэгдэх функцийн Mu тэгшитгэл; Хоёрдахь энгийн үйлдэл нь үл мэдэгдэх шинэ функцийг нэвтрүүлэх гэсэн үг юм (-ын оронд); Гурав дахь үйлдэл нь ба (жишээ нь: ).

Бидний ойрын зорилго бол аливаа матрицыг заримд нь багасгаж болохыг батлах явдал юм стандарт төрлүүд. Энэ замд эквивалент матрицуудын хэл хэрэгтэй.

Байг. Бид матрицыг матрицтай l_эквивалент (n_эквивалент эсвэл эквивалент) гэж хэлж, матрицыг матрицаас авах боломжтой бол (эсвэл) тэмдэглэнэ. хязгаарлагдмал тоомөр (багана эсвэл мөр, багана тус тус) энгийн хувиргалт. l_эквивалент ба n_эквивалент матрицууд эквивалент гэдэг нь тодорхой байна.

Эхлээд бид ямар ч матрицыг багасгаж болохыг харуулах болно тусгай төрөл, багасгасан гэж нэрлэдэг.

Байг. Энэ матрицын тэгээс бусад мөр нь 1-тэй тэнцүү элементийг агуулж байгаа бөгөөд баганын бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд багасгасан хэлбэртэй байна. Шугамын тэмдэглэгдсэн нэг элементийг бид энэ шугамын тэргүүлэх элемент гэж нэрлээд тойрог дотор оруулна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв энэ матрицад маягтын багана байгаа бол матрицын мөр нь багасгасан хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, дараах матрицад

мөр нь дараах хэлбэртэй байна, оноос хойш. Энэ жишээн дээр нэг элемент нь шугамын тэргүүлэх элемент болж байгааг анхаарч үзье. Цаашид хэрэв өгөгдсөн төрлийн мөрөнд тэргүүлэх шинж чанартай хэд хэдэн элемент байвал бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь дурын аргаар сонгоно.

Хэрэв матриц нь тэг биш мөр бүр нь багасгасан хэлбэртэй байвал түүнийг багасгасан хэлбэртэй гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, матриц

дараах хэлбэртэй байна.

Санал 1.3 Аливаа матрицын хувьд багасгасан хэлбэрийн эквивалент матриц байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв матриц нь (1.1) хэлбэртэй байвал үндсэн хувиргалт хийсний дараа

Бид матрицыг авдаг

Үүнд мөр нь дараах хэлбэртэй байна.

Хоёрдугаарт, хэрэв матриц дахь мөрийг багасгасан бол энгийн хувиргалтуудыг (1.20) хийсний дараа матрицын мөр багасна. Үнэхээр өгөгдсөнөөс хойш ийм багана байдаг

гэхдээ дараа нь, улмаар хувиргалтыг хийсний дараа (1.20) багана өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. . Тиймээс мөр нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо матрицын тэг биш мөр бүрийг дээрх байдлаар ээлжлэн хувиргаснаар бид хязгаарлагдмал тооны алхмын дараа багасгасан хэлбэрийн матрицыг олж авах нь тодорхой байна. Матрицыг авахын тулд зөвхөн эгнээний элементар хувиргалтыг ашигласан тул энэ нь матрицтай l_эквивалент байна. >

Жишээ 7. l_матрицтай тэнцэх, багасгасан хэлбэрийн матрицыг байгуул.

Болъё РТэгээд Схоёр вектор орон зайхэмжээсүүд nТэгээд мтоон талбар дээр тус тус К, мөн зөвшөөрөх Ашугаман зураглалын оператор РВ С. Оператор матриц хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг олж мэдье Аорон зай дахь суурийг өөрчлөх үед РВ С.

Орон зайд дурын суурийг сонгоцгооё РВ Сболон тус тус тэмдэглэнэ. Дараа нь (шугаман операторуудыг үзнэ үү) векторын тэгш байдал

матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна

Хаана XТэгээд цагтвекторууд xТэгээд y, үндсэн болон тус тусад нь координатын багана хэлбэрээр үзүүлэв.

Одоо бид орон зайд сонголт хийцгээе РТэгээд Сбусад суурь Тэгээд . Шинэ суурьт вектор тэгш байдал (1) нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирно

Дараа нь (3) ба (4) -ийг харгалзан үзвэл бид байна

Тодорхойлолт 1. Хоёр тэгш өнцөгт матрицуудА ба Б ижил хэмжээтэйХоёр дөрвөлжин ганц биш матриц байгаа бол үүнийг эквивалент гэнэ ПТэгээд Ттэгш байдал хадгалагдана

гэдгийг анхаарна уу А- захиалгын матриц m×n, Тэр ПТэгээд Тквадрат дарааллын матрицууд мТэгээд n, тус тус.

(6)-аас нэг шугаман операторт харгалзах хоёр матриц гарч ирнэ Аорон зай дахь суурийн янз бүрийн сонголтуудад зориулагдсан РТэгээд Сбие биетэйгээ тэнцүү байна. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Хэрэв А матриц оператортой тохирч байвал А, болон матриц Бматрицтай тэнцүү байна А, дараа нь энэ нь ижил шугаман оператортой тохирч байна Абусад баазуудын хувьд РТэгээд С.

Хоёр матриц ямар нөхцөлд тэнцүү болохыг олж мэдье.

Теорем. Ижил хэмжээтэй хоёр матриц тэнцүү байхын тулд тэдгээр нь ижил зэрэглэлтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаа. Хэрэгцээ. Матрицыг дөрвөлжин ганц биш матрицаар үржүүлэх нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөх боломжгүй тул (7) -аас бид дараах байдалтай байна:

Хангалттай байдал. Шугаман оператор өгье А, орон зайг төлөөлдөг РВ Смөн энэ операторыг матрицаар хариулъя Ахэмжээ m×nдахь сууринд Рболон дотор С, тус тус. -ээр тэмдэглэе rтоо шугаман байна бие даасан векторууддундаас Ае 1 , Ае 2 ,..., Аеn. Эхнийх нь шугаман бие даасан байг rвекторууд Ае 1 , Ае 2 ,..., Аеr. Дараа нь бусад нь n-rвекторуудыг эдгээр вектороор шугаман байдлаар илэрхийлнэ.

Сансар огторгуйн шинэ суурийг тодорхойлъё Р:

Эдгээр векторуудыг зарим вектороор нэмж оруулъя суурь болгох С.

Дараа нь операторын матриц Ашинэ баазуудад , (9) ба (10)-д заасны дагуу дараахь хэлбэртэй байна.

матрицын хаана байна Э" - тэд үндсэн диагональ дээр зогсож байна rнэгж, үлдсэн элементүүд нь тэг байна.

Матрицуудаас хойш АТэгээд Э" ижил оператортой таарна А, тэгвэл тэдгээр нь бие биетэйгээ тэнцүү байна. Дээр бид эквивалент матрицууд ижил зэрэгтэй байдаг тул анхны матрицын зэрэглэлийг харуулсан. Атэнцүү байна r.

Дээрхээс харахад дур зоргоороо юм m×nзэрэглэлийн матриц rматрицтай тэнцүү байна Э"- захиалга m×n. Гэхдээ Э" - хэмжээсийг зааж өгснөөр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог m×nматриц ба түүний зэрэглэл r. Тиймээс бүх тэгш өнцөгт матрицууд эрэмбийн m×nболон зэрэглэл rижил матрицтай тэнцүү байна Э" ба, тиймээс, бие биетэйгээ тэнцүү байна.■

Матрицын хамгийн энгийн хэлбэр шугаман оператор.

Матрицууд АТэгээд Бдан бус матрицууд байвал эквивалент гэж нэрлэдэг QТэгээд Т, Юу А=QBT.

Теорем 6.1. Хэрэв матрицууд тэнцүү бол тэдгээрийн зэрэглэлүүд тэнцүү байна.

Баталгаа. Бүтээгдэхүүний зэрэглэл нь хүчин зүйлийн зэрэглэлээс хэтрэхгүй тул . Түүнээс хойш. Хоёр тэгш бус байдлыг нэгтгэснээр бид шаардлагатай мэдэгдлийг олж авна.

Теорем 6.2. Матрицын мөр, багана бүхий элементийн хувиргалтууд Аблок хэлбэрээр багасгаж болно, энд дарааллын нэгж матриц байна к, 0 нь харгалзах хэмжээтэй тэг матриц юм.

Баталгаа.Матрицыг багасгах алгоритмыг танилцуулъя Аруу заасан төрөл. Баганын дугаарыг заана дөрвөлжин хаалт, мөрийн дугааруудыг хаалтанд бичнэ.

1. Тавьцгаая r=1.

2. Хэрэв дараа нь бид 4-р алхам руу, үгүй ​​бол 3-р алхам руу орно.

3. Мөрнүүдээр хувиргалтыг хийцгээе , Хаана би=r+1,…,м, ба баганатай , Хаана j=r+1,…,n, Мөн . Нэмэгдүүлье r 1 рүү буцаад 2-р алхам руу буцна уу.

4. Хэрэв, at би=r+1,…,м, j=r+1,…,n, тэгвэл дуусна. Үгүй бол бид олох болно би,j>r, Юу . Мөр, багануудыг дахин цэгцлээд 2-р алхам руу буцъя.

Мэдээжийн хэрэг, алгоритм нь эквивалент матрицуудын дарааллыг бий болгох бөгөөд сүүлчийнх нь шаардлагатай хэлбэртэй байна.

Теорем 6.3. Матрицууд АТэгээд Бзэрэглэл нь тэнцүү байх тохиолдолд ижил хэмжээтэй тэнцүү байна.

Баталгаа.Хэрэв матрицууд тэнцүү бол тэдгээрийн зэрэглэлүүд тэнцүү байна (Теорем 6.1). Матрицуудын зэрэглэлүүд тэнцүү байг. Дараа нь тийм ганц биш матрицууд байдаг , Хаана r=rgA=rgB(Теорем 6.2). Тиймээс, , болон матрицууд АТэгээд Б- тэнцүү байна.

Энэ догол мөрний үр дүн нь танд олох боломжийг олгоно хамгийн энгийн хэлбэршугаман операторын матрицууд ба шугаман операторын матриц нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байх зайн суурь.