Ялгаварлан гадуурхагч нь 0 байхад хэрхэн шийдэх вэ. Үргэлж сэтгэл санаатай байх

Шийдвэрлэх явцад квадрат тэгшитгэл ихэвчлэн гарч ирдэг янз бүрийн даалгаварфизик, математик. Энэ нийтлэлд бид эдгээр тэгш байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно бүх нийтийн арга замаар"Ялгаварлан гадуурхагчаар". Олж авсан мэдлэгээ ашиглах жишээг мөн нийтлэлд өгсөн болно.

Бид ямар тэгшитгэлийн тухай ярих вэ?

Доорх зурагт x нь үл мэдэгдэх хувьсагч болох томьёог харуулж байна латин тэмдэгтүүд a, b, c нь мэдэгдэж буй зарим тоог илэрхийлнэ.

Эдгээр тэмдэг бүрийг коэффициент гэж нэрлэдэг. Таны харж байгаагаар х квадрат хувьсагчийн өмнө "a" тоо гарч ирнэ. Энэ дээд зэрэгөгөгдсөн илэрхийлэл тул үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Түүний өөр нэрийг ихэвчлэн ашигладаг: хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл. Өөрийнхөө үнэ цэнэ квадрат коэффициент(хувьсагчийн квадраттай хамт зогсох), b нь шугаман коэффициент (энэ нь эхний зэрэглэлд хүрсэн хувьсагчийн хажууд байрладаг), эцэст нь c тоо чөлөөт гишүүн.

Дээрх зурагт үзүүлсэн тэгшитгэлийн төрөл нь ерөнхий сонгодог квадрат илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна b ба c коэффициентүүд тэг байж болох хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлүүд байдаг.

Асуудалтай тэгш байдлыг шийдэх даалгавар тавигдсан бол энэ нь x хувьсагчийн ийм утгыг хангахуйц олох шаардлагатай гэсэн үг юм. Энд та хамгийн түрүүнд дараах зүйлийг санаж байх хэрэгтэй: X-ийн дээд зэрэг нь 2 тул энэ төрөлилэрхийлэл нь 2-оос илүү шийдэлтэй байж болохгүй. Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед түүнийг хангах x-ийн 2 утга олдвол x-ийн оронд 3-р тоо байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно гэсэн үг юм. Математик дахь тэгшитгэлийн шийдлүүдийг түүний үндэс гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд тэдгээрийн талаархи зарим онолын мэдлэгийг шаарддаг. IN сургуулийн курсалгебр 4-ийг авч үзье янз бүрийн аргашийдлүүд. Тэднийг жагсаацгаая:

• хүчин зүйлчлэлийг ашиглах;
• төгс квадратын томъёог ашиглах;
• харгалзах квадрат функцийн графикийг хэрэглэх замаар;
• дискриминантын тэгшитгэлийг ашиглан.

Эхний аргын давуу тал нь түүний энгийн байдал юм, гэхдээ үүнийг бүх тэгшитгэлд ашиглах боломжгүй; Хоёрдахь арга нь бүх нийтийнх боловч зарим талаараа төвөгтэй байдаг. Гурав дахь арга нь тодорхой байдлаараа ялгагдана, гэхдээ энэ нь үргэлж тохиромжтой, хэрэглэхэд хялбар байдаггүй. Эцэст нь, дискриминант тэгшитгэлийг ашиглах нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн үндсийг олох бүх нийтийн бөгөөд нэлээд энгийн арга юм. Тиймээс, энэ нийтлэлд бид зөвхөн үүнийг авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах томъёо

-руу хандъя ерөнхий дүр төрх квадрат тэгшитгэл. Үүнийг бичье: a*x²+ b*x + c =0. Үүнийг "ялгаварлагчаар" шийдвэрлэх аргыг ашиглахын өмнө та тэгш байдлыг бичмэл хэлбэрт нь оруулах хэрэгтэй. Энэ нь гурван гишүүнээс бүрдэх ёстой (эсвэл b эсвэл c нь 0 бол түүнээс бага).

Жишээ нь: x²-9*x+8 = -5*x+7*x² гэсэн илэрхийлэл байвал эхлээд түүний бүх гишүүнийг тэгш байдлын нэг тал руу шилжүүлж, х хувьсагчийг агуулсан нөхцөлүүдийг нэмэх хэрэгтэй. ижил эрх мэдэл.

IN энэ тохиолдолдЭнэ үйлдэл нь дараах илэрхийлэлд хүргэнэ: -6*x²-4*x+8=0, энэ нь 6*x²+4*x-8=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү (энд бид зүүн ба баруун талыг үржүүлсэн. тэгш байдал -1).

Дээрх жишээнд a = 6, b=4, c=-8 байна. Харгалзаж буй тэгш байдлын бүх нөхцөлийг үргэлж нэгтгэн нэгтгэдэг тул "-" тэмдэг гарч ирвэл энэ тохиолдолд c тоотой адил харгалзах коэффициент нь сөрөг байна гэсэн үг юм.

Энэ цэгийг судалж үзээд квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах боломжтой томьёо руу шилжье. Доорх зурган дээр үзүүлсэн шиг харагдаж байна.

Энэ илэрхийллээс харахад энэ нь хоёр үндэс авах боломжийг олгодог ("±" тэмдэгт анхаарлаа хандуулаарай). Үүнийг хийхийн тулд b, c, a коэффициентүүдийг орлуулахад хангалттай.

Ялгаварлагчийн тухай ойлголт

Өмнөх догол мөрөнд хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог томьёог өгсөн. Үүнд радикал илэрхийлэлийг дискриминант гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл D = b²-4*a*c.

Томъёоны энэ хэсгийг яагаад онцолсон, тэр ч байтугай онцолсон юм зохих нэр? Дискриминант нь тэгшитгэлийн бүх гурван коэффициентийг нэг илэрхийлэл болгон холбосон явдал юм. Сүүлийн баримтЭнэ нь үндэсийн талаархи мэдээллийг бүрэн агуулдаг гэсэн үг бөгөөд үүнийг дараах жагсаалтад илэрхийлж болно.

1. D>0: тэгш байдал 2 байна янз бүрийн шийдэл, аль аль нь бодит тоо.
2. D=0: Тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай бөгөөд энэ нь бодит тоо юм.

Дискриминант тодорхойлох даалгавар

Ялгаварлагчийг хэрхэн олох талаар энгийн жишээ хэлье. Дараах тэгш байдлыг өгье: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Үүнийг авчирцгаая стандарт харагдах байдал, бид дараахийг авна: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, үүнээс бид тэгшитгэлд хүрнэ: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Энд a=-2, b=2, c=-11 байна.

Одоо та ялгаварлагчийн хувьд дээрх томъёог ашиглаж болно: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Үүссэн тоо нь даалгаврын хариулт юм. Учир нь жишээн дээр ялгаварлагч тэгээс бага, тэгвэл энэ квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж хэлж болно. Үүний шийдэл нь зөвхөн нарийн төвөгтэй төрлийн тоонууд байх болно.

Ялгаварлагчаар дамжуулан тэгш бус байдлын жишээ

-3*x²-6*x+c = 0 тэгшитгэлийг өгвөл арай өөр төрлийн асуудлыг шийдье. D>0 байх c-ийн утгыг олох шаардлагатай.

Энэ тохиолдолд 3 коэффициентийн 2 нь л мэдэгдэж байгаа тул ялгаварлагчийн тодорхой утгыг тооцоолох боломжгүй, гэхдээ эерэг байна. Тэгш бус байдлыг бүрдүүлэхдээ бид сүүлчийн баримтыг ашигладаг: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Үүссэн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь үр дүнд хүргэнэ: c>-3.

Үр дүнгийн тоог шалгацгаая. Үүний тулд бид 2 тохиолдлын хувьд D-г тооцоолно: c=-2 ба c=-4. -2 тоо нь олж авсан үр дүнг хангаж байна (-2>-3), харгалзах ялгаварлагч нь дараах утгатай болно: D = 12>0. Хариуд нь -4 тоо нь тэгш бус байдлыг хангахгүй (-4. Тиймээс -3-аас их c тоо нь нөхцөлийг хангана.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Зөвхөн дискриминантыг олох төдийгүй тэгшитгэлийг шийдэх асуудлыг танилцуулъя. -2*x²+7-9*x = 0 тэгш байдлын язгуурыг олох шаардлагатай.

Энэ жишээнд ялгаварлагч нь байна дараагийн утга: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тэгвэл тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар тодорхойлно: x = (9±√137)/(-4). Энэ тодорхой утгуудүндэс, хэрэв та үндсийг ойролцоогоор тооцоолвол x = -5.176 ба x = 0.676 гэсэн тоонуудыг авна.

Геометрийн асуудал

Бид зөвхөн ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолох чадвараас гадна ур чадвар ашиглах шаардлагатай асуудлыг шийдэх болно хийсвэр сэтгэлгээмөн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн бичих талаархи мэдлэг.

Боб 5х4 метрийн хөнжилтэй байсан. Хүү бүхэл бүтэн периметрийн дагуу үзэсгэлэнтэй даавуугаар тасралтгүй тууз оёхыг хүссэн. Хэрэв бид Бобыг 10 м² даавуутай гэдгийг мэдвэл энэ тууз хэр зузаан байх вэ?

Туузыг x м зузаантай болго, тэгвэл хөнжилний урт талын дагуух даавууны талбай (5+2*x)*x байх ба 2 урт тал байгаа тул бидэнд: 2*x байна. *(5+2*x). Богино тал дээр оёсон даавууны талбай нь 4 * x байх болно, учир нь эдгээр хоёр тал байгаа тул бид 8 * x утгыг авна. Хөнжлийн урт нь энэ тоогоор нэмэгдсэн тул урт талд 2*x утгыг нэмсэн болохыг анхаарна уу. Хөнжилд оёсон даавууны нийт талбай нь 10 м² байна. Тиймээс бид тэгшитгэлийг авна: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Энэ жишээний хувьд дискриминант нь тэнцүү байна: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Түүний үндэс нь 22. Томьёог ашиглан бид шаардлагатай язгууруудыг олно: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Мэдээжийн хэрэг, хоёр язгуураас зөвхөн 0.5 тоо нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжтой.

Тиймээс Бобын хөнжилдөө оёж буй даавууны тууз нь 50 см өргөн болно.

Жишээлбэл, \(3x^2+2x-7\) гурвалсан гишүүний хувьд дискриминант нь \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)-тэй тэнцүү байх болно. Гурвалсан \(x^2-5x+11\) хувьд \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) тэнцүү байх болно.

Дискриминантыг \(D\) үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг. Мөн дискриминантын утгаараа та график нь ойролцоогоор ямар харагдахыг ойлгох боломжтой (доороос харна уу).

Дискриминант ба тэгшитгэлийн үндэс

Дискриминант утга нь квадрат тэгшитгэлийн тоог харуулна.
- хэрэв \(D\) эерэг байвал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно;
- хэрэв \(D\) тэгтэй тэнцүү бол - зөвхөн нэг үндэс байна;
- хэрэв \(D\) сөрөг байвал үндэс байхгүй.

Үүнийг заах шаардлагагүй, зүгээр л ялгаварлагчаас (өөрөөр хэлбэл, \(\sqrt(D)\) тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох томъёонд орсон гэдгийг мэдэж байж ийм дүгнэлтэд хүрэх нь тийм ч хэцүү биш юм. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ба \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Тохиолдол бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Хэрэв ялгаварлагч эерэг байвал

Энэ тохиолдолд түүний үндэс нь зарим юм эерэг тоо, энэ нь \(x_(1)\) ба \(x_(2)\) нь өөр өөр утгатай болно, учир нь эхний томъёонд \(\sqrt(D)\) нэмэгдэж, хоёрдугаарт хасагдана. Мөн бид хоёр өөр үндэстэй.

Жишээ : \(x^2+2x-3=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл :

Хариулах : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол

Мөн ялгаварлагч бол хэдэн үндэс байх болно тэгтэй тэнцүү? Шалтгаан авч үзье.

Үндэс томьёо дараах байдалтай байна: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ба \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол түүний үндэс нь мөн тэг болно. Дараа нь ийм болж байна:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн язгуурын утгууд давхцах болно, учир нь тэг нэмэх эсвэл хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй.

Жишээ : \(x^2-4x+4=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл :

Хариулах : \(x=2\)

Квадрат тэгшитгэлийг 8-р ангид судалдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь зайлшгүй шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a, b, c коэффициентүүд нь дурын тоо, мөн a ≠ 0.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Яг нэг үндэстэй байх;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ бол чухал ялгааязгуур нь үргэлж байдаг, өвөрмөц байдаг шугаман тэгшитгэлээс квадрат тэгшитгэлүүд. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье. Дараа нь дискриминант нь D = b 2 − 4ac тоо болно.

Та энэ томъёог цээжээр мэдэх хэрэгтэй. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох боломжтой. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн итгэдэг тул тэдгээрийн шинж тэмдгүүдийн тоог огт илэрхийлдэггүй. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичээд ялгагчийг олъё.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шинжилдэг.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Хамгийн сүүлд үлдсэн тэгшитгэл нь:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэг - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжоо хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та үүнийг ойлговол хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ шилжье. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Хэрэв та томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнх тохиолдолд томъёонд сөрөг коэффициентийг орлуулах үед алдаа гардаг. Дахин хэлэхэд, дээр дурдсан техник нь туслах болно: томъёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг бичээрэй - тун удахгүй та алдаанаасаа салах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээ нь:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэр томъёоны аль нэг нь дутуу байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: тэд ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b = c = 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 = 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг язгууртай нь ойлгомжтой: x = 0.

Үлдсэн тохиолдлуудыг авч үзье. b = 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметикээс хойш квадрат язгуур-аас л байдаг сөрөг бус тоо, сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн (−c /a) ≥ 0-д утга учиртай. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдал хангагдсан бол хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c /a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар дискриминант шаардлагагүй байсан - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд байхгүй. нарийн төвөгтэй тооцоолол. Үнэн хэрэгтээ (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2 утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв энэ нь сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд, эдгээр тэгшитгэлийн заримыг харцгаая.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5х 2 + 30 = 0;
3. 4х 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Ялгаварлан гадуурхах нь олон утгатай нэр томъёо юм. Энэ нийтлэлд бид өгөгдсөн олон гишүүнт хүчинтэй шийдэлтэй эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог олон гишүүнтийн ялгаварлагчийн тухай ярих болно. Квадрат олон гишүүнтийн томъёог сургуулийн алгебр, анализын хичээлээс олж болно. Ялгаварлагчийг хэрхэн олох вэ? Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд юу хэрэгтэй вэ?

Хоёрдахь зэрэглэлийн квадрат олон гишүүнт буюу тэгшитгэл гэж нэрлэдэг i * w ^ 2 + j * w + k нь 0-тэй тэнцүү, энд "i" ба "j" нь эхний ба хоёр дахь коэффициент, "k" нь тогтмол бөгөөд заримдаа "хасах гишүүн" гэж нэрлэдэг бөгөөд "w" хувьсагч юм. Үүний үндэс нь хувьсагчийн таних тэмдэг болж хувирах бүх утгууд байх болно. Ийм тэгш байдлыг i, (w - w1) ба (w - w2) үржвэрээр 0-тэй тэнцүү гэж дахин бичиж болно. Энэ тохиолдолд "i" коэффициент тэг болохгүй бол функц нь дээр байх нь ойлгомжтой. x нь w1 эсвэл w2 утгыг авсан тохиолдолд л зүүн тал нь тэг болно. Эдгээр утгууд нь олон гишүүнтийг тэг болгосны үр дүн юм.

Хувьсагчийн утгыг олохын тулд квадрат олон гишүүнттэг болж, туслах байгууламжийг ашиглаж, түүний коэффициент дээр барьж, ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Энэ дизайныг томъёогоор тооцоолсон D тэнцүү j * j - 4 * i * k. Яагаад үүнийг ашигладаг вэ?

1. Тэнд байгаа юу гэж тэр хэлэв хүчинтэй үр дүн.
2. Тэр тэднийг тооцоолоход тусалдаг.

Энэ утга нь жинхэнэ үндэс байгааг хэрхэн харуулж байна вэ?

• Хэрэв энэ нь эерэг байвал бид бүс нутагт хоёр үндэс олж болно бодит тоо.
• Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол шийдэл хоёулаа ижил байна. Бодит тооны талбараас гарсан цорын ганц шийдэл гэж бид хэлж чадна.
• Дискриминант нь тэгээс бага бол олон гишүүнт жинхэнэ үндэсгүй болно.

Материалыг бэхлэх тооцооны сонголтууд

(7 * w^2; 3 * w; 1) нийлбэрийн хувьд 0-тэй тэнцүү байнаБид D-ийг 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 томъёогоор тооцоолж, бид -19-ийг авна. Тэгээс доош ялгах утга нь бодит мөрөнд үр дүн байхгүй байгааг харуулж байна.

Хэрэв бид 2 * w^2 - 3 * w + 1-ийг 0-тэй тэнцүү гэж үзвэл, дараа нь D нь (4; 2; 1) тоонуудын үржвэрийг (-3) квадратаар тооцож, 9 - 8, өөрөөр хэлбэл 1-тэй тэнцүү байна. Эерэг утгабодит шугам дээр хоёр үр дүн байна гэж хэлсэн.

Хэрэв бид нийлбэрийг (w ^ 2; 2 * w; 1) аваад 0-тэй тэнцүүлвэл, D нь тоонуудын үржвэрийг хоёр квадратаас хасч (4; 1; 1) тооцоолно. Энэ илэрхийлэл нь 4 - 4 хүртэл хялбарчилж, тэг болно. Үр дүн нь адилхан байгаа нь харагдаж байна. Хэрэв та анхааралтай ажиглавал энэ томъёо, тэгвэл энэ нь тодорхой болно " төгс дөрвөлжин" Энэ нь тэгш байдлыг (w + 1) ^ 2 = 0 хэлбэрээр дахин бичиж болно гэсэн үг юм. Энэ бодлогын үр дүн нь "-1" болох нь тодорхой болсон. D нь 0 байх тохиолдолд, зүүн талТэнцвэрийг "нийлбэрийн квадрат" томъёог ашиглан үргэлж нурааж болно.

Үндэсийг тооцоолоход дискриминант ашиглах

Энэхүү туслах барилга нь бодит шийдлүүдийн тоог харуулахаас гадна тэдгээрийг олоход тусалдаг. Ерөнхий томъёоХоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийн тооцоо нь:

w = (-j +/- d) / (2 * i), энд d нь 1/2-ийн хүчийг ялгах утга юм.

Дириминант тэгээс доош байвал d нь төсөөлөл, үр дүн нь төсөөлөлтэй байна гэж үзье.

D нь тэг, тэгвэл d-тэй тэнцүү D нь 1/2-ын чадал нь мөн тэг болно. Шийдэл: -j / (2 * i). 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0-ийг дахин авч үзвэл -2 / (2 * 1) = -1-тэй тэнцэх үр дүнг олно.

D > 0, дараа нь d - гэж бодъё. бодит тоо, энд хариулт нь хоёр хэсэгт хуваагдана: w1 = (-j + d) / (2 * i) ба w2 = (-j - d) / (2 * i). Хоёр үр дүн хүчинтэй байх болно. 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0-ийг харцгаая. Энд дискриминант ба d нь нэг юм. Эндээс харахад w1 нь (3 + 1) (2 * 2) эсвэл 1-д хуваагдсан, w2 нь (3 - 1) нь 2 * 2 эсвэл 1/2-т хуваагдсантай тэнцүү байна.

Тэгшитгэлийн үр дүн квадрат илэрхийлэлтэг хүртэл алгоритмын дагуу тооцоолно.

1. Тоо хэмжээг тодорхойлох хүчинтэй шийдлүүд.
2. Тооцоолол d = D ^ (1/2).
3. (-j +/- d) / (2 * i) томъёоны дагуу үр дүнг олох.
4. Баталгаажуулахын тулд олж авсан үр дүнг анхны тэгш байдалд орлуулах.

Зарим онцгой тохиолдлууд

Коэффициентээс хамааран шийдлийг бага зэрэг хялбаршуулж болно. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв хувьсагчийн хоёр дахь зэрэглэлийн коэффициент нь тэг байвал шугаман тэгшитгэлийг олж авна. Хувьсагчийн нэгдүгээр зэрэглэлийн коэффициент нь тэг байвал хоёр сонголт хийх боломжтой.

1. чөлөөт гишүүн сөрөг байх үед олон гишүүнт квадратын зөрүү болж өргөжсөн;
2. эерэг тогтмолын хувьд бодит шийдэл олдохгүй.

Хэрэв чөлөөт гишүүн нь тэг бол үндэс нь (0; -j) болно.

Гэхдээ шийдлийг олоход хялбар болгодог бусад онцгой тохиолдлууд байдаг.

Хоёрдугаар зэргийн бууруулсан тэгшитгэл

Өгөгдсөнийг гэж нэрлэдэгийм квадрат гурвалжин, энд тэргүүлэх гишүүний өмнөх коэффициент нэг байна. Энэ нөхцөл байдлын хувьд язгуурын нийлбэр нь хувьсагчийн нэгдүгээр зэрэглэлийн коэффициентийг -1-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байх ба үржвэр нь тогтмол "k"-тэй тохирч байна гэсэн Виетийн теорем хэрэглэгдэх болно.

Иймд w1 + w2 тэнцүү -j ба w1 * w2 эхний коэффициент нь нэг бол k. Энэ дүрслэл зөв эсэхийг шалгахын тулд эхний томъёоноос w2 = -j - w1-ийг илэрхийлж, w1 * (-j - w1) = k гэсэн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж болно. Үр дүн нь w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0 анхны тэгш байдал юм.

Анхаарах нь чухал, i * w ^ 2 + j * w + k = 0 нь "i" -д хуваагдах замаар хүрч болно. Үр дүн нь: w^2 + j1 * w + k1 = 0, энд j1 нь j/i, k1 нь k/i-тэй тэнцүү байна.

Аль хэдийн шийдэгдсэн 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0-ийг w1 = 1 ба w2 = 1/2 гэсэн үр дүнгээр харцгаая. Бид үүнийг хагасаар хуваах хэрэгтэй, үр дүнд нь w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Олдсон үр дүнгийн хувьд теоремын нөхцөл үнэн эсэхийг шалгая: 1 + 1/2 = 3/ 2 ба 1*1/2 = 1/2.

Хоёрдахь хүчин зүйл ч гэсэн

Хэрэв хувьсагчийн нэгдүгээр зэрэгт (j) хүчин зүйл 2-т хуваагддаг бол, дараа нь томьёог хялбарчилж, D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k дискриминантын дөрөвний нэгээр дамжуулан шийдлийг хайх боломжтой болно. Энэ нь w = (-j +/- d/2) / i болж хувирна, энд d/2 = D/4 нь 1/2-ийн чадалтай байна.

Хэрэв i = 1, j коэффициент нь тэгш байвал шийдэл нь w хувьсагчийн коэффициентийн -1 ба хагасын үржвэр бөгөөд энэ хагасын квадратын язгуурыг нэмэх/хасаж, тогтмол "k"-ийг хассан үржвэр болно. Томъёо: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Илүү өндөр ялгаварлан гадуурхах дараалал

Дээр дурдсан хоёр дахь зэрэглэлийн гурвалсан дискриминант нь хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг онцгой тохиолдол. Ерөнхий тохиолдолд олон гишүүнтийн дискриминант нь байна энэ олон гишүүнтийн язгуурын ялгаврын квадратыг үржүүлсэн. Тиймээс тэгтэй тэнцэх дискриминант нь дор хаяж хоёр олон шийдэл байгааг илтгэнэ.

i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0 гэж үзье.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * м^2 + 18 * i * ж * к * м.

Дискриминант тэгээс хэтэрсэн гэж бодъё. Энэ нь бодит тооны мужид гурван үндэс байна гэсэн үг юм. Тэг үед олон шийдэл байдаг. Хэрэв Д< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают сөрөг утгаквадрат болгох үед, мөн түүнчлэн нэг үндэс нь бодит юм.

Видео

Бидний видео нь ялгаварлан гадуурхалтыг тооцоолох талаар дэлгэрэнгүй ярих болно.

Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.