Бичсэн ба төв өнцгийн тухай ойлголт

Эхлээд ойлголтыг танилцуулъя төв өнцөг.

Тайлбар 1

Үүнийг анхаарна уу градусын хэмжүүртөв өнцөг нь түүний тулгуурласан нумын градусын хэмжүүртэй тэнцүү байна.

Одоо бичээстэй өнцгийн тухай ойлголтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 2

Орой нь тойрог дээр хэвтэж, талууд нь ижил тойрогтой огтлолцох өнцгийг бичээстэй өнцөг гэнэ (Зураг 2).

Зураг 2. Бичигдсэн өнцөг

Бичсэн өнцгийн теорем

Теорем 1

Бичигдсэн өнцгийн хэмжүүр нь түүний тулгуурласан нумын хэмжүүрийн хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа.

$O$ цэг дээр төвтэй тойрог өгье. $ACB$ бичээстэй өнцгийг тэмдэглэе (Зураг 2). Дараах гурван тохиолдол байж болно.

• Рэй $CO$ өнцгийн аль ч талтай давхцаж байна. Энэ нь $CB$ тал байг (Зураг 3).

Зураг 3.

Энэ тохиолдолд $AB$ нум нь $(180)^(()^\circ )$-аас бага тул төв өнцөг $AOB$ байна. нумантай тэнцүү$AB$. $AO=OC=r$ тул $AOC$ гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна. Энэ нь $CAO$ ба $ACO$ үндсэн өнцөгүүд хоорондоо тэнцүү байна гэсэн үг. Гурвалжны гадаад өнцгийн тухай теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

• Цацрагт $CO$ хуваагдана дотоод буланхоёр өнцгөөр. Тойрог $D$ цэгээр огтолцгооё (Зураг 4).

Зураг 4.

Бид авдаг

• Ray $CO$ нь дотоод өнцгийг хоёр өнцөгт хуваадаггүй бөгөөд түүний аль ч талтай давхцдаггүй (Зураг 5).

Зураг 5.

$ACD$ ба $DCB$ өнцгүүдийг тусад нь авч үзье. 1-р зүйлд нотлогдсоны дагуу бид олж авна

Бид авдаг

Теорем нь батлагдсан.

өгье үр дагаварэнэ теоремоос.

Үр дүн 1:Нэг нуман дээр тулгуурласан бичээстэй өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

Үр дүн 2:Диаметрт багтсан бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Дунд түвшний

Тойрог ба бичээстэй өнцөг. Харааны хөтөч (2019)

Үндсэн нэр томъёо.

Та тойрогтой холбоотой бүх нэрийг хэр сайн санаж байна вэ? Ямар ч тохиолдолд бид танд сануулъя - зургуудыг хараарай - мэдлэгээ сэргээгээрэй.

За, юуны түрүүнд - Тойргийн төв нь тойрог дээрх бүх цэгүүдийн хоорондох зай нь ижил цэг юм.

Хоёрдугаарт - радиус - төв ба тойрог дээрх цэгийг холбосон шугамын хэсэг.

Маш олон радиусууд байдаг (тойрог дээр хэдэн цэг байгаа бол), гэхдээ Бүх радиус ижил урттай байна.

Заримдаа богинохон радиустэд үүнийг яг дууддаг сегментийн урт"Төв нь тойрог дээрх цэг бөгөөд сегмент нь өөрөө биш".

Тэгээд юу болох нь энд байна Хэрэв та тойрог дээрх хоёр цэгийг холбовол? Бас сегмент үү?

Тиймээс энэ сегментийг нэрлэдэг "хкорд".

Радиусын хувьд голч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, төвийг дайран өнгөрөх сегментийн урт юм. Дашрамд хэлэхэд диаметр ба радиус хэрхэн хамааралтай вэ? Анхааралтай хар. Мэдээжийн хэрэг радиус хагастай тэнцүүдиаметр

Аккордуудаас гадна бас байдаг секантууд.

Хамгийн энгийн зүйлийг санаж байна уу?

Төвийн өнцөг нь хоёр радиусын хоорондох өнцөг юм.

Тэгээд одоо - бичээстэй өнцөг

Бичсэн өнцөг - тойрог дээрх цэг дээр огтлолцох хоёр хөвчний хоорондох өнцөг.

Энэ тохиолдолд тэд бичээстэй өнцөг нь нуман (эсвэл хөвч) дээр байрладаг гэж хэлдэг.

Зургийг харна уу:

Нуман ба өнцгийн хэмжилт.

Тойрог. Нуман ба өнцгийг градус, радианаар хэмждэг. Нэгдүгээрт, градусын тухай. Өнцгийн хувьд ямар ч асуудал байхгүй - та нумыг градусаар хэрхэн хэмжих талаар сурах хэрэгтэй.

Зэрэглэлийн хэмжүүр (нумын хэмжээ) нь харгалзах төв өнцгийн утга (градусаар) юм

Энд "тохиромжтой" гэдэг үг ямар утгатай вэ? Анхааралтай харцгаая:

Та хоёр нум, хоёр төв өнцгийг харж байна уу? За, энэ нь илүү том нумантай тохирч байна илүү том өнцөг(мөн энэ нь том байх нь зүгээр юм), жижиг нум нь жижиг өнцөгтэй тохирч байна.

Тиймээс бид тохиролцсон: нуман нь харгалзах төвийн өнцөгтэй ижил тооны градусыг агуулна.

Тэгээд одоо аймшигтай зүйлийн тухай - радианы тухай!

Энэ “радиан” ямар араатан бэ?

Төсөөлөөд үз: Радиан бол өнцгийг хэмжих арга юм... радиус!

Радианы өнцөг нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.

Дараа нь асуулт гарч ирнэ - шулуун өнцөгт хэдэн радиан байдаг вэ?

Өөрөөр хэлбэл: хагас тойрогт хэдэн радиус "таарах" вэ? Эсвэл өөр аргаар: хагас тойргийн урт нь хэдэн удаа вэ? радиусаас их?

Эрдэмтэд энэ асуултыг Эртний Грекд дахин тавьжээ.

Тиймээс тэд удаан хайсны эцэст тойргийн радиустай харьцуулсан харьцааг "хүний" тоо гэх мэтээр илэрхийлэхийг хүсэхгүй байгааг олж мэдэв.

Энэ хандлагыг язгуураар илэрхийлэх ч боломжгүй. Өөрөөр хэлбэл, хагас тойрог нь радиусаас дахин эсвэл дахин том гэж хэлэх боломжгүй юм! Хүмүүс үүнийг анх удаа олж мэдсэн нь ямар гайхалтай байсныг та төсөөлж байна уу?! Хагас тойргийн уртыг радиустай харьцуулахын тулд "хэвийн" тоонууд хангалтгүй байв. Би захидал оруулах ёстой байсан.

Тэгэхээр, - энэ нь хагас тойргийн уртыг радиустай харьцуулсан харьцааг илэрхийлсэн тоо юм.

Одоо бид асуултанд хариулж чадна: шулуун өнцөгт хэдэн радиан байдаг вэ? Энэ нь радианыг агуулдаг. Учир нь тойргийн тал нь радиусаас хэд дахин том байдаг.

Олон зууны туршид эртний (мөн тийм ч эртний биш) хүмүүс (!) илүү нарийвчлалтай тооцоолохыг хичээсэн нууцлаг тоо, үүнийг (наад зах нь ойролцоогоор) "энгийн" тоогоор илэрхийлэх нь дээр. Одоо бид үнэхээр залхуу байна - завгүй өдрийн дараах хоёр шинж тэмдэг бидэнд хангалттай, бид дассан

Бодоод үз дээ, энэ нь жишээлбэл, нэг радиустай тойргийн урт нь ойролцоогоор тэнцүү гэсэн үг боловч яг энэ уртыг "хүний" тоогоор бичих боломжгүй юм - танд үсэг хэрэгтэй. Тэгээд энэ тойрог тэнцүү байх болно. Мэдээжийн хэрэг, радиусын тойрог тэнцүү байна.

Радиан руу буцаж орцгооё.

Шулуун өнцөг нь радиануудыг агуулна гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн.

Бидэнд байгаа зүйл:

Энэ нь би баяртай байна, өөрөөр хэлбэл би баяртай байна гэсэн үг юм. Үүнтэй адилаар хамгийн алдартай өнцөг бүхий хавтанг олж авдаг.

Бичсэн болон төв өнцгийн утгуудын хоорондын хамаарал.

Гайхалтай баримт бий:

Бичсэн өнцөг нь харгалзах төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна.

Зураг дээр энэ мэдэгдэл хэрхэн харагдаж байгааг хараарай. "Харгалзах" төв өнцөг нь төгсгөлүүд нь бичээстэй өнцгийн төгсгөлүүдтэй давхцаж, орой нь төвд байрладаг өнцөг юм. Үүний зэрэгцээ "харгалзах" төв өнцөг нь бичээстэй өнцөгтэй ижил хөвчийг () "харах" ёстой.

Яагаад ийм байна вэ? Эхлээд үүнийг олж мэдье энгийн тохиолдол. Нэг хөвчийг голоор нь дамжуулаарай. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог, тийм ээ?

Энд юу болдог вэ? Ингээд авч үзье. Эцсийн эцэст энэ нь isosceles ба радиус юм. Тиймээс, (тэдгээрийг шошгосон).

Одоо харцгаая. Энэ бол гадна талын булан юм! Гаднах булан гэдгийг санаарай нийлбэртэй тэнцүү байнаүүнтэй зэргэлдээгүй дотоод хоёрыг бичээд:

Энэ нь! Гэнэтийн нөлөө. Гэхдээ бичээсийн хувьд төв өнцөг бас байдаг.

Энэ нь энэ тохиолдолд тэд төв өнцөг нь бичээстэй өнцгөөс хоёр дахин их болохыг нотолсон гэсэн үг юм. Гэхдээ хэтэрхий их өвдөж байна онцгой тохиолдол: Хөвч үргэлж голоор шууд дамждаггүй гэдэг үнэн биз дээ? Гэхдээ зүгээр, одоо энэ тохиолдол бидэнд маш их тус болно. Хараарай: хоёр дахь тохиолдол: төвийг дотор нь хэвтүүлнэ.

Үүнийг хийцгээе: диаметрийг зур. Тэгээд ... бид эхний тохиолдолд аль хэдийн дүн шинжилгээ хийсэн хоёр зургийг харж байна. Тиймээс бидэнд энэ нь аль хэдийн бий

Энэ нь (зураг дээр, a) гэсэн үг юм.

За, би үлдсэн сүүлчийн тохиолдол: булангийн гадна төв.

Бид ижил зүйлийг хийдэг: голчийг цэгээр нь зур. Бүх зүйл адилхан, гэхдээ нийлбэрийн оронд ялгаа байдаг.

Ингээд л болоо!

Одоо үндсэн ба маш хоёрыг бүрдүүлье чухал үр дагаварбичээстэй өнцөг нь төвийн өнцгийн хагас юм гэсэн мэдэгдлээс.

Дүгнэлт 1

Нэг нуман дээр суурилсан бүх бичээстэй өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

Бид харуулж байна:

Нэг нуман дээр үндэслэсэн тоо томшгүй олон тооны бичээстэй өнцөгүүд байдаг (бидэнд энэ нум байгаа), тэдгээр нь огт өөр харагдаж магадгүй, гэхдээ бүгд ижил төв өнцөгтэй () бөгөөд энэ нь эдгээр бүх бичээстэй өнцөгүүд хоорондоо тэнцүү гэсэн үг юм.

Дүгнэлт 2

Диаметрт хамаарах өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Хараач: аль өнцөгт төвлөрдөг вэ?

Мэдээж, . Гэхдээ тэр тэнцүү! За, тиймээс (түүнчлэн өөр олон бичээстэй өнцөгүүд дээр тулгуурласан) ба тэнцүү байна.

Хоёр хөвч ба секантын хоорондох өнцөг

Гэхдээ бидний сонирхож буй өнцөг нь бичээсгүй, төвлөрсөн биш, жишээ нь дараах байдалтай байвал яах вэ?

эсвэл ийм үү?

Үүнийг ямар нэгэн төв өнцгөөр илэрхийлэх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болох нь харагдаж байна. Хараач: бид сонирхож байна.

a) (гадна булан болгон). Гэхдээ - бичээстэй, нуман дээр тулгуурладаг -. - бичээстэй, нуман дээр тулгуурласан - .

Гоо сайхны хувьд тэд:

Хөвчний хоорондох өнцөг нь энэ өнцөгт бэхлэгдсэн нумын өнцгийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Тэд үүнийг товчхон бичихийн тулд бичдэг, гэхдээ мэдээжийн хэрэг, энэ томъёог ашиглахдаа төв өнцгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй

б) Одоо - "гадаа"! Энэ яаж байж болох вэ? Тийм ээ, бараг адилхан! Зөвхөн одоо (бид үл хөдлөх хөрөнгийг дахин хэрэглэнэ гадаад буланУчир нь). Яг одоо.

Энэ нь ... гэсэн үг юм. Тэмдэглэл, үг хэллэгт гоо үзэсгэлэн, товчлолыг оруулцгаая:

Секантын хоорондох өнцөг нь энэ өнцгөөр бэхлэгдсэн нумануудын өнцгийн утгын зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

За, одоо та тойрогтой холбоотой өнцгийн талаархи бүх үндсэн мэдлэгээр зэвсэглэсэн байна. Үргэлжлүүл, сорилтуудыг даван туул!

ТОЙРОГ БА ИНИНАЛЬДСАН ӨНЦӨГ. ДУНД ТҮВШИН

Таван настай хүүхэд хүртэл тойрог гэж юу байдгийг мэддэг биз дээ? Математикчид урьдын адил энэ талаар бүдүүлэг тодорхойлолттой байдаг, гэхдээ бид үүнийг өгөхгүй (харна уу), харин тойрогтой холбоотой цэг, шугам, өнцгийг юу гэж нэрлэдэгийг санацгаая.

Чухал нөхцөлүүд

За, юуны түрүүнд:

Хоёрдугаарт:

Өөр нэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн илэрхийлэл байдаг: "Хөвч нумыг агшаадаг." Энд зураг дээр, жишээлбэл, хөвч нь нумын дэд хэсэг юм. Хэрэв хөвч гэнэт төвөөр дамжин өнгөрвөл ийм байна тусгай нэр: "диаметр".

Дашрамд хэлэхэд диаметр ба радиус хэрхэн хамааралтай вэ? Анхааралтай хар. Мэдээжийн хэрэг

Одоо - булангийн нэрс.

Байгалийн, тийм үү? Өнцгийн талууд нь төвөөс сунадаг - энэ нь өнцөг нь төв гэсэн үг юм.

Эндээс заримдаа хүндрэл гардаг. Анхаар - Тойрог дотор ямар ч өнцгийг бичээгүй,гэхдээ зөвхөн орой нь тойрог дээр "сууж" байдаг.

Зурган дээрх ялгааг харцгаая:

Өөр нэг арга бол тэд ингэж хэлдэг:

Энд нэг төвөгтэй зүйл бий. "Харгалзах" эсвэл "өөрийн" төв өнцөг гэж юу вэ? Зөвхөн тойргийн төв хэсэгт оройтой өнцөг, нумын төгсгөлд байгаа төгсгөлүүд үү? Үнэхээр биш. Зургийг хар.

Гэсэн хэдий ч тэдний нэг нь булан шиг харагдахгүй байна - энэ нь илүү том юм. Гэхдээ гурвалжин илүү олон өнцөгтэй байж болохгүй, гэхдээ тойрог нь сайн байж болно! Тиймээс: жижиг AB нум нь жижиг өнцөгт (улбар шар), том нум нь том хэмжээтэй тохирч байна. Яг л тийм биз дээ?

Бичсэн болон төв өнцгийн хэмжээ хоорондын хамаарал

Энэ маш чухал мэдэгдлийг санаарай:

Сурах бичигт тэд энэ баримтыг дараах байдлаар бичих дуртай байдаг.

Төв өнцгөөр найруулга нь илүү хялбар байдаг нь үнэн биш гэж үү?

Гэсэн хэдий ч хоёр томъёоны хоорондох захидал харилцааг олж, зурган дээрээс "харгалзах" төв өнцөг болон бичээстэй өнцөг "байдаг" нумыг олж сурцгаая.

Хараач: энд тойрог ба бичээстэй өнцөг байна:

Түүний "харгалзах" төв өнцөг хаана байна вэ?

Дахин харцгаая:

Дүрэм гэж юу вэ?

Гэхдээ! Энэ тохиолдолд бичээстэй болон төв өнцөг нь нумыг нэг талаас нь "харах" нь чухал юм. Энд жишээ нь:

Хачирхалтай нь, цэнхэр! Учир нь нуман урт, тойргийн хагасаас илүү урт! Тиймээс хэзээ ч бүү андуур!

Бичсэн өнцгийн "хагас" байдлаас ямар үр дагавар гарах вэ?

Гэхдээ жишээ нь:

Диаметрээр багассан өнцөг

Математикчид ижил зүйлийн талаар ярих дуртай байдгийг та аль хэдийн анзаарсан байх. өөр үгээр? Тэдэнд яагаад энэ хэрэгтэй байна вэ? Та харж байна уу, математикийн хэл хэдийгээр албан ёсны боловч амьд, тиймээс үүнтэй адил юм энгийн хэл, би үүнийг илүү тохиромжтой байдлаар хэлэхийг хүсч байна. "Нум дээр тулгуурласан өнцөг" гэж юу болохыг бид аль хэдийн үзсэн. Үүнтэй ижил зургийг "өнцөг хөвч дээр тогтдог" гэж төсөөлөөд үз дээ. Аль нь вэ? Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, энэ нумыг чангалж байгаа хүнд!

Хэзээ нумаас илүү хөвч дээр найдах нь илүү тохиромжтой вэ?

За, ялангуяа энэ хөвч нь диаметртэй үед.

Ийм нөхцөл байдалд гайхалтай энгийн, үзэсгэлэнтэй, хэрэгтэй мэдэгдэл байдаг!

Хараач: энд тойрог, диаметр, түүн дээр тулгуурласан өнцөг байна.

ТОЙРОГ БА ИНИНАЛЬДСАН ӨНЦӨГ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

1. Үндсэн ойлголтууд.

3. Нуман ба өнцгийн хэмжилт.

Радианы өнцөг нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.

Энэ нь хагас тойргийн уртыг түүний радиустай харьцуулсан тоо юм.

Радиусын тойрог нь тэнцүү байна.

4. Бичсэн болон төв өнцгийн утгуудын хоорондын хамаарал.

Төв өнцөгорой нь тойргийн төвд байрлах өнцөг юм.
Бичсэн өнцөг- орой нь тойрог дээр байрладаг, талууд нь огтлолцдог өнцөг.

Зураг дээр төв ба бичээстэй өнцөг, тэдгээрийн хамгийн чухал шинж чанаруудыг харуулав.

Тэгэхээр, төв өнцгийн хэмжээ нь түүний тулгуурласан нумын өнцгийн хэмжээтэй тэнцүү байна. Энэ нь 90 градусын төв өнцөг нь 90 ° -тай тэнцэх нуман дээр, өөрөөр хэлбэл тойрог дээр тулгуурлана гэсэн үг юм. 60 ° -тай тэнцүү төв өнцөг нь 60 градусын нуман дээр, өөрөөр хэлбэл тойргийн зургаа дахь хэсэгт байрладаг.

Бичсэн өнцгийн хэмжээ нь ижил нуман дээр суурилсан төв өнцгөөс хоёр дахин бага байна.

Мөн асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд "хөрс" гэсэн ойлголт хэрэгтэй болно.

Тэнцүү төв өнцгүүд нь ижил хөвчийг агуулдаг.

1. Тойргийн диаметртэй тэнцэх бичээстэй өнцөг хэд вэ? Хариултаа градусаар өгнө үү.

Диаметрээр хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.

2. Төвийн өнцөг нь ижил дугуй нумын дагуух хурц бичээстэй өнцгөөс 36° их байна. Бичсэн өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

Төвийн өнцгийг x-тэй тэнцүү, ижил нумаар татсан бичээстэй өнцгийг y-тэй тэнцүү болго.

x = 2y гэдгийг бид мэднэ.
Тиймээс 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Тойргийн радиус нь 1-тэй тэнцүү. Хөвчний дагуух мохоо бичээстэй өнцгийн утгыг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

AB хөвчийг -тэй тэнцүү болго. Энэ хөвчний дагуух мохоо бичээстэй өнцгийг α гэж тэмдэглэнэ.
AOB гурвалжинд AO ба OB талууд нь 1-тэй, AB тал нь -тэй тэнцүү байна. Бид ийм гурвалжинтай аль хэдийн тааралдсан. Мэдээжийн хэрэг, AOB гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл AOB өнцөг нь 90 ° байна.
Дараа нь ACB нум нь 90 °, AKB нум нь 360 ° - 90 ° = 270 ° -тай тэнцүү байна.
α бичээстэй өнцөг нь AKB нуман дээр тулгуурласан бөгөөд хагастай тэнцүү байна өнцгийн хэмжэээнэ нумын, өөрөөр хэлбэл 135 °.

Хариулт: 135.

4. AB хөвч нь тойргийг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд градусын утга нь 5:7 харьцаатай байна. Тойргийн жижиг нуманд хамаарах С цэгээс энэ хөвч ямар өнцгөөр харагдах вэ? Хариултаа градусаар өгнө үү.

Энэ даалгаварт гол зүйл бол нөхцөл байдлыг зөв зурах, ойлгох явдал юм. "С цэгээс хөвч ямар өнцгөөр харагдаж байна вэ?" Гэсэн асуултыг та хэрхэн ойлгож байна вэ?
Та С цэг дээр сууж байгаа бөгөөд AB хөвч дээр болж буй бүх зүйлийг харах хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. AB аккорд нь кино театрын дэлгэц юм шиг байна :-)
Мэдээжийн хэрэг та ACB өнцгийг олох хэрэгтэй.
AB хөвч тойргийг хуваах хоёр нумын нийлбэр нь 360°-тай тэнцүү байна.
5x + 7x = 360 °
Тиймээс x = 30 °, дараа нь бичээстэй ACB өнцөг нь 210 ° -тай тэнцүү нуман дээр тулгуурладаг.
Бичсэн өнцгийн хэмжээ нь түүний тулгуурласан нумын өнцгийн хагастай тэнцүү бөгөөд энэ нь ACB өнцөг нь 105 ° -тай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Ихэнхдээ математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх үйл явц нь үндсэн тодорхойлолт, томьёо, теоремуудыг давтах, тэр дундаа "Тойрог дахь төв ба бичээстэй өнцөг" сэдвээр эхэлдэг. Дүрмээр бол, энэ хэсэгоноос хойш планиметрийг судалж эхэлсэн ахлах сургууль. Олон оюутнууд давтах хэрэгцээтэй тулгардаг нь гайхах зүйл биш юм үндсэн ойлголтууд"Тойргийн төв өнцөг" сэдэвт теоремууд. Шийдлийн алгоритмыг ойлгосон ижил төстэй даалгаварууд, сургуулийн сурагчид улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн үр дүнд үндэслэн өрсөлдөх чадвартай оноо авах боломжтой болно.

Баталгаажуулалтын шалгалтанд хэрхэн амархан, үр дүнтэй бэлтгэх вэ?

Ганц бие тэнцэхээсээ өмнө суралцаж байна улсын шалгалт, олон ахлах ангийн сурагчид олох асуудалтай тулгардаг шаардлагатай мэдээлэл"Тойрог доторх төв ба бичээстэй өнцөг" сэдвээр. Үргэлж биш сургуулийн сурах бичиггар дээр авах боломжтой. Интернетээс томъёо хайх нь заримдаа маш их цаг зарцуулдаг.

Манай баг танд ур чадвараа "шахаж", геометрийн планиметр гэх мэт хэцүү хэсэгт мэдлэгээ дээшлүүлэхэд туслах болно. боловсролын портал. "Школково" ахлах сургуулийн сурагчид болон тэдний багш нарт улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх үйл явцыг бий болгох шинэ аргыг санал болгож байна. Бүгд суурь материалМанай мэргэжилтнүүд дээд зэргээр танилцуулсан хүртээмжтэй хэлбэр. Оюутнууд “Онолын үндэслэл” хэсгийн мэдээллийг уншсаны дараа тойргийн төв өнцөг ямар шинж чанартай, түүний утгыг хэрхэн олох гэх мэтийг мэдэж авна.

Дараа нь олж авсан мэдлэг, дадлагын ур чадвараа нэгтгэхийн тулд зохих дасгалуудыг хийхийг зөвлөж байна. "Каталог" хэсэгт тойрогт дүрслэгдсэн өнцгийн хэмжээ болон бусад параметрүүдийг олох даалгаврын том сонголтыг үзүүлэв. Дасгал бүрийн хувьд манай мэргэжилтнүүд нарийвчилсан шийдлийг бичиж, зөв ​​хариултыг зааж өгсөн. Сайт дээрх ажлуудын жагсаалтыг байнга нэмж, шинэчилж байдаг.

Ахлах сургуулийн сурагчид ОХУ-ын аль ч бүсээс онлайнаар төвийн өнцгийн хэмжээ, тойргийн нумын уртыг олох дасгал хийж, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж болно.

Шаардлагатай бол дуусгасан даалгаврыг дараа нь буцааж, шийдлийн зарчмыг дахин шинжлэхийн тулд "Дуртай" хэсэгт хадгалж болно.

Энэ нийтлэлд би ашигладаг асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар танд хэлэх болно.

Эхлээд, ердийнхөөрөө, -д асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд мэдэх шаардлагатай тодорхойлолт, теоремуудыг эргэн санацгаая.

1.Бичсэн өнцөгорой нь тойрог дээр байрлах ба талууд нь тойрогтой огтлолцох өнцөг юм.

2.Төв өнцөгорой нь тойргийн төвтэй давхцах өнцөг юм.

Дугуй нумын градусын утгадээр тулгуурласан төв өнцгийн хэмжээгээр хэмждэг.

IN энэ тохиолдолдАС нумын градусын утга нь AOS өнцгийн утгатай тэнцүү байна.

3. Хэрэв бичээстэй ба төв өнцөг нь нэг нуман дээр тулгуурлавал бичээстэй өнцөг нь төвийн өнцгийн хагастай тэнцүү байна:

4. Нэг нуман дээр тулгуурласан бүх бичээстэй өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

5. Диаметрт хамаарах бичээстэй өнцөг нь 90 ° байна:

Хэд хэдэн асуудлыг шийдье.

1. Даалгавар B7 (No 27887)

Нэг нуман дээр тулгуурласан төв өнцгийн утгыг олъё.

Мэдээжийн хэрэг, AOS өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү, тиймээс өнцөг ABC тэнцүү байна 45°

Хариулт: 45 °

2. Даалгавар B7 (No 27888)

ABC өнцгийн хэмжээг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

Мэдээжийн хэрэг, AOC өнцөг нь 270 °, дараа нь ABC өнцөг нь 135 ° байна.

Хариулт: 135 °

3. Даалгавар B7 (№ 27890)

ABC өнцөгт багтсан тойргийн АС нумын градусын утгыг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

АС нуман дээр тулгуурласан төв өнцгийн утгыг олъё:

AOS өнцгийн хэмжээ нь 45 °, тиймээс AC нумын хэмжүүр нь 45 ° байна.

Хариулт: 45 °.

4. Даалгавар B7 (№ 27885)

Хэрэв бичээстэй АХБ ба DAE өнцгүүд нь градусын утгууд нь тэнцүү бөгөөд тус тустай дугуй нуман дээр тулгуурлавал ACB өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

ADB өнцөг нь AB нуман дээр тулгуурладаг тул AOB төв өнцгийн утга нь 118 °, BDA өнцөг нь 59 °, зэргэлдээх ADC өнцөг нь 180 ° -59 ° = 121 ° -тай тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил DOE өнцөг нь 38 °, харгалзах бичээстэй DAE өнцөг нь 19 ° байна.

ADC гурвалжинг авч үзье:

Гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

ACB өнцөг нь 180°- (121°+19°)=40°-тай тэнцүү байна.

Хариулт: 40 °

5. Даалгавар B7 (No 27872)

ABCD AB, BC, CD ба AD дөрвөн өнцөгтийн талууд нь градусын утгууд нь , , ба -тай тэнцүү байх тойргийн нумуудыг агуулна. Энэ дөрвөлжингийн В өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

B өнцөг нь ADC нуман дээр тулгуурладаг бөгөөд түүний утга нь AD ба CD нумын утгуудын нийлбэртэй тэнцүү буюу 71°+145°=216° байна.

В бичээстэй өнцөг нь ADC нумын хагастай тэнцүү буюу 108° байна.

Хариулт: 108 °

6. Даалгавар B7 (No 27873)

Тойрог дээр байрлах A, B, C, D цэгүүд нь энэ тойргийг 4: 2: 3: 6 харьцаатай AB, BC, CD, AD дөрвөн нуманд хуваана. ABCD дөрвөн өнцөгтийн А өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

(өмнөх даалгаврын зургийг үзнэ үү)

Бид нумануудын хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг өгсөн тул бид х нэгж элементийг оруулав. Дараа нь нуман бүрийн хэмжээг дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Бүх нумууд нь тойрог үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн нийлбэр нь 360 ° байна.

4x+2x+3x+6x=360°, тэгэхээр x=24°.

А өнцгийг BC ба CD нумууд дэмждэг бөгөөд тэдгээр нь нийлээд 5x=120°-ийн утгатай.

Тиймээс А өнцөг нь 60 ° байна

Хариулт: 60 °

7. Даалгавар B7 (No 27874)

Дөрвөн өнцөгт ABCDтойрог хэлбэрээр бичсэн. Булан ABC-тэй тэнцүү, өнцөг CAD