Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын сегментийг трапецын дунд шугам гэж нэрлэдэг. Хэрхэн олох талаар дунд шугамтрапец болон энэ зургийн бусад элементүүдтэй хэрхэн холбоотой болохыг бид доор тайлбарлах болно.
Төв шугамын теорем
Транпецийг зурцгаая, үүнд МЭ - илүү том суурь,МЭӨ- жижиг суурь, EF - дунд шугам. AD суурийг D цэгээс цааш сунгацгаая.BF шулууныг зураад AD суурийн үргэлжлэлтэй О цэгт огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлнэ.∆BCF ба ∆DFO гурвалжнуудыг авч үзье. Өнцөг ∟BCF = ∟DFO босоо. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, учир нь VS // ХК. Иймд гурвалжнууд ∆BCF = ∆DFO. Тиймээс талууд BF = FO байна.
Одоо ∆ABO ба ∆EBF-ийг авч үзье. ∟АВО нь гурвалжинд нийтлэг байдаг. Нөхцөлөөр BE/AB = ½, BF/BO = ½, учир нь ∆BCF = ∆DFO. Тиймээс ABO ба EFB гурвалжин нь ижил төстэй байна. Эндээс талуудын харьцаа EF/AO = ½, түүнчлэн бусад талуудын харьцаа.
Бид EF = ½ AO-г олно. Зураг дээр AO = AD + DO байгааг харуулж байна. DO = BC талуудын хувьд тэнцүү гурвалжин, энэ нь AO = AD + BC гэсэн үг юм. Эндээс EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Тэдгээр. трапецын дунд шугамын урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Трапецын дунд шугам нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байх уу?
Ийм байна гэж бодъё онцгой тохиолдол, үед EF ≠ ½ (AD + BC). Тэгвэл BC ≠ DO, тиймээс ∆BCF ≠ ∆DCF болно. Гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь тэдгээрийн хооронд хоёр ижил өнцөг, талууд байдаг. Тиймээс теорем нь бүх нөхцөлд үнэн байдаг.
Дунд шугамын асуудал
Манай трапецын ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 см, диагональ АС нь хажуу тийш перпендикуляр гэж бодъё. EF трапецын дунд шугамыг ол.
Хэрэв ∟A = 90° бол ∟B = 90°, энэ нь ∆ABC тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90°, тиймээс ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45° байна. 
Хэрэв ∆ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг нь 45°-тай тэнцүү бол түүний хөл нь тэнцүү байна: AB = BC = 2 см.
Гипотенуз AC = √(AB² + BC²) = √8 см.
∆ACD-г авч үзье. Нөхцөл байдлын дагуу ∟ACD = 90°. ∟CAD = ∟BCA = 45° трапецын параллель суурийн хөндлөн огтлолоор үүссэн өнцөг. Тиймээс хөл AC = CD = √8.
Гипотенуз AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.
Трапецын дунд шугам EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.
Трапецын дунд шугам нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү байнаүндэслэл. Энэ нь трапецын талуудын дунд цэгүүдийг холбодог бөгөөд суурьтай үргэлж параллель байдаг.
Хэрэв трапецын суурь нь a ба b-тэй тэнцүү бол дунд шугам m тэнцүү байна m=(a+b)/2.
Хэрэв трапецын талбай мэдэгдэж байгаа бол дунд шугамыг олж болноба өөр аргаар трапецын S талбайг h трапецын өндөрт хуваана.
Тэр бол, трапецын дунд шугам м=С/цаг
Трапецын дунд шугамын уртыг олох олон арга бий. Аргын сонголт нь анхны өгөгдлөөс хамаарна.
Энд трапецын дунд шугамын уртын томъёо:
Трапецын дунд шугамыг олохын тулд та таван томьёоны аль нэгийг ашиглаж болно (би тэдгээрийг бичихгүй, учир нь тэдгээр нь бусад хариултанд байгаа) гэхдээ энэ нь зөвхөн бидэнд хэрэгтэй анхны өгөгдлийн утгууд юм. мэдэгдэж байна.
Практикт мэдээлэл дутмаг байгаа үед бид олон асуудлыг шийдэх ёстой зөв хэмжээодоо ч олох хэрэгтэй.
Ийм сонголтууд энд байна
бүх зүйлийг томъёоны дагуу авчрах алхам алхмаар шийдэл;
бусад томъёог ашиглан шаардлагатай тэгшитгэлийг зохиож, шийдвэрлэх.
Бидэнд хэрэгтэй томьёо ашиглан трапецын дунд хэсгийн уртыг олногеометрийн болон хэрэглээний талаархи бусад мэдлэгийн тусламжтайгаар алгебрийн тэгшитгэл:
Бид тэгш өнцөгт трапецтай, диагональ нь зөв өнцгөөр огтлолцдог, өндөр нь 9 см.
Бид зураг зурж, энэ асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг харж байна (хангалттай мэдээлэл байхгүй)
Тиймээс бид бага зэрэг хялбарчилж, диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжуулан өндрийг зурах болно.
Энэ бол хурдан шийдэлд хүргэдэг эхний чухал алхам юм.
хоёр үл мэдэгдэх өндрийг зааж өгье, бидэнд хэрэгтэйг нь харах болно тэгш өнцөгт гурвалжинталуудтай XТэгээд цагт
мөн бид үүнийг амархан олох болно үндэслэлийн нийлбэртрапецууд
тэнцүү байна 2х+2у
Зөвхөн одоо бид томъёог хаана хэрэглэж болно
мөн тэнцүү байна x+yмөн асуудлын нөхцлийн дагуу энэ нь тэнцүү өндөртэй урт юм 9 см.
Одоо бид хэд хэдэн оноо авчирлаа тэгш өнцөгт трапец, диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог
ийм трапецуудад
дунд шугам нь үргэлж өндөртэй тэнцүү байна
талбай нь үргэлж өндрийн квадраттай тэнцүү байна.
Трапецын дунд шугам нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.
Хэрэв та дараах томъёог ашиглавал трапецын дунд шугамыг олоход хялбар байдаг.
m = (a + b)/2
m - трапецын дунд шугамын урт;
a, b трапецын суурийн урт.
Тэгэхээр, трапецын дунд шугамын урт нь суурийн уртын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Трапецын дунд шугамын томъёоны үндсэн томъёо: Трапецын дунд шугамын урт нь a ба b суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна: MN=(a+b)2 Энэ томьёоны баталгаа нь Гурвалжны дунд шугамын томьёо. Үүний дараа трапецын дунд шугамын томьёог авч үзэх болно амархан нотлогдсон.
Трапецын дунд шугамыг олохын тулд суурийн утгыг мэдэх хэрэгтэй.
Бид эдгээр утгыг олсны дараа, эсвэл магадгүй тэдгээр нь бидэнд мэдэгдэж байсан бол бид эдгээр тоонуудыг нэгтгэж, тэдгээрийг хоёр хэсэгт хуваана.
Ийм л зүйл болно трапецын дунд шугам.
Сургуулийн геометрийн хичээлүүдийг санаж байгаагаар трапецын дунд шугамын уртыг олохын тулд суурийн уртыг нэмж, хоёр хуваах хэрэгтэй. Тиймээс трапецын дунд шугамын урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Энэ нийтлэлд трапецын талаархи өөр нэг сонголтыг танд зориулж хийсэн болно. Нөхцөл байдал нь түүний дунд шугамтай ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг. Даалгаврын төрлөөс авсан нээлттэй банк ердийн даалгавар. Хэрэв та хүсвэл, та өөрийн гэсэн шинэчилж болно онолын мэдлэг. Блог нь нөхцөл байдалтай холбоотой ажлуудыг аль хэдийн хэлэлцсэн. Дунд шугамын талаар товчхон:
Трапецын дунд шугам нь хажуугийн талуудын дунд цэгүүдийг холбодог. Энэ нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.
Асуудлыг шийдэхийн өмнө онолын жишээг авч үзье.
ABCD трапец өгөгдсөн. Дунд шугамтай огтлолцсон диагональ АС нь K цэг, диагональ BD цэгүүд L. KL хэрчмийг батал. хагастай тэнцүүсуурь ялгаа.
Эхлээд трапецын дунд шугам нь төгсгөлүүд нь суурин дээр байрлах аливаа сегментийг хоёр хуваадаг болохыг тэмдэглэе. Энэ дүгнэлт нь өөрийгөө харуулж байна. Суурийн хоёр цэгийг холбосон сегмент нь энэ трапецийг бусад хоёр хэсэгт хуваана гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь сегмент болох нь харагдаж байна суурьтай зэрэгцээтрапец болон нөгөө талдаа хажуугийн дундуур дамжин өнгөрөх нь түүний дундуур дамжих болно.
Энэ нь мөн Фалесийн теорем дээр үндэслэсэн болно.
Хэрэв хоёр шулуун шугамын аль нэг дээр бид хэд хэдэн зураас зурна тэнцүү сегментүүдба тэдгээрийн төгсгөлүүдээр хоёр дахь шугамыг огтолж буй параллель шугамыг зурж, дараа нь хоёр дахь шугам дээрх тэнцүү хэсгүүдийг таслана.
Өөрөөр хэлбэл, онд энэ тохиолдолд K нь АС-ийн дунд, L нь BD-ийн дунд байна. Тиймээс EK нь дунд шугам юм ABC гурвалжин, LF нь DCB гурвалжны дунд шугам юм. Гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанарын дагуу:
Одоо бид KL сегментийг үндсэн хэлбэрээр илэрхийлж болно:
Батлагдсан!
Энэ жишээг тодорхой шалтгаанаар өгөв. Даалгавруудад бие даасан шийдвэряг ийм даалгавар байдаг. Зөвхөн диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь дунд шугам дээр байрладаг гэж хэлдэггүй. Даалгавруудыг авч үзье:
27819. Суурь нь 30 ба 16 бол трапецын дунд шугамыг ол.
Бид томъёогоор тооцоолно:
27820. Трапецын дунд шугам 28, бага суурь нь 18. Трапецын том суурийг ол.
Илүү том суурийг илэрхийлье:
Тиймээс:
27836. Оройноос унасан перпендикуляр мохоо өнцөг 10 ба 4 урттай хэсгүүдэд хуваагдана.Трапецын дунд шугамыг ол.
Дунд шугамыг олохын тулд та суурийг мэдэх хэрэгтэй. AB суурийг олоход хялбар: 10+4=14. DC-г олъё.
Хоёр дахь перпендикуляр DF-ийг байгуулъя:
AF, FE болон EB сегментүүд нь 4, 6, 4-тэй тэнцүү байх болно. Яагаад?
Адил өнцөгт трапецын хувьд том суурь руу буулгасан перпендикуляр нь түүнийг гурван сегмент болгон хуваадаг. Тэдний хоёр нь хөлийг нь таслав зөв гурвалжин, хоорондоо тэнцүү байна. Гурав дахь сегмент нь жижиг суурьтай тэнцүү байна, учир нь заасан өндрийг барихад тэгш өнцөгт үүсч, тэгш өнцөгтийн эсрэг талууд тэнцүү байна. Энэ даалгаварт:
Тиймээс DC=6. Бид тооцоолно:
27839. Трапецын суурь нь 2:3 харьцаатай, дунд шугам нь 5. Жижиг суурийг ол.
Пропорциональ х коэффициентийг танилцуулъя. Дараа нь AB=3x, DC=2x. Бид бичиж болно:
Тиймээс бага суурь нь 2∙2=4 байна.
27840. Адил өнцөгт трапецын периметр нь 80, дунд шугам нь хажуу талтай тэнцүү байна. Хай талтрапецууд.
Нөхцөлд үндэслэн бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
Хэрэв бид дунд шугамыг x утгаар тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг аль хэдийн дараах байдлаар бичиж болно.
27841. Трапецын дунд шугам 7, нэг суурь нь нөгөөгөөсөө 4-өөр их байна Трапецын том суурийг ол.
Жижиг суурийг (DC) x гэж тэмдэглэе, тэгвэл том (AB) нь x+4-тэй тэнцүү болно. Бид үүнийг бичиж болно
Бид жижиг суурь нь тавын эхэн үед том нь 9-тэй тэнцүү байгааг олж мэдсэн.
27842. Трапецын дунд шугам нь 12. Диагональуудын нэг нь түүнийг хоёр хэрчим болгон хуваасны ялгаа нь 2. Трапецын том суурийг ол.
Хэрэв бид EO сегментийг тооцоолвол трапецын том суурийг хялбархан олох боломжтой. Энэ нь ADB гурвалжны дунд шугам бөгөөд AB=2∙EO.
Бидэнд юу байгаа вэ? Дунд шугам нь 12-той тэнцүү, EO, OF сегментүүдийн ялгаа нь 2-той тэнцүү гэж хэлдэг. Бид хоёр тэгшитгэл бичээд системийг шийдэж болно.
Энэ тохиолдолд та тооцоололгүйгээр 5 ба 7 гэсэн хос тоог сонгох боломжтой нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч системийг шийдье:
Тэгэхээр EO=12–5=7. Тиймээс том суурь нь AB=2∙EO=14-тэй тэнцүү байна.
27844. Хоёр талт трапецын диагональууд перпендикуляр байна. Трапецын өндөр 12. Дунд шугамыг ол.
Адил өнцөгт трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр зурсан өндөр нь тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрладаг бөгөөд трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваадаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. тэгш өнцөгт трапецууд, өөрөөр хэлбэл, энэ өндрийн суурь нь хагасаар хуваагдана.
Дунд шугамыг тооцоолохын тулд бид шалтгааныг олох хэрэгтэй юм шиг санагдаж байна. Энд жижиг мухар үүснэ... Энэ тохиолдолд өндрийг мэдэхийн тулд суурийг хэрхэн тооцоолох вэ? Арга ч үгүй! Тогтмол өндөртэй, диагональ нь 90 градусын өнцөгт огтлолцдог ийм трапецууд олон байдаг. Би юу хийх хэрэгтэй вэ?
Трапецын дунд шугамын томъёог хар. Эцсийн эцэст бид шалтгааныг нь мэдэх шаардлагагүй, тэдгээрийн нийлбэрийг (эсвэл хагасыг) мэдэх нь хангалттай юм. Бид үүнийг хийж чадна.
Диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог тул EF өндөртэй тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжнууд үүсдэг.
Дээрхээс үзэхэд FO=DF=FC, OE=AE=EB байна. Одоо DF ба AE сегментээр илэрхийлсэн өндөр нь хэдтэй тэнцүү болохыг бичье.
Тэгэхээр дунд шугам нь 12 байна.
*Ерөнхийдөө энэ бол таны ойлгож байгаагаар даалгавар юм сэтгэцийн тооллого. Гэхдээ танилцуулсан гэдэгт итгэлтэй байна дэлгэрэнгүй тайлбаршаардлагатай. Гэх мэтчилэн... Зургийг харвал (барилга барих явцад диагональ хоорондын өнцөг ажиглагдаж байвал) FO=DF=FC, OE=AE=EB тэгш байдал шууд л нүдэнд тусна.
Прототипүүд нь трапец хэлбэрийн даалгавруудын төрлийг багтаасан болно. Энэ нь торонд цаасан дээр баригдсан бөгөөд та дунд шугамыг олох хэрэгтэй торны тал нь ихэвчлэн 1-тэй тэнцүү байдаг боловч энэ нь өөр утгатай байж болно;
27848. Трапецын дунд шугамыг ол A B C D, хэрэв дөрвөлжин нүдний талууд нь 1-тэй тэнцүү бол.
Энэ нь энгийн бөгөөд бид суурийг нүдээр тооцоолж, томъёог ашиглана: (2+4)/2=3
Хэрэв суурь нь үүрний тор руу өнцгөөр баригдсан бол хоёр арга бий. Жишээлбэл!
