Үзэл баримтлал зөв гурвалжин
Эхлээд дурын гурвалжин гэдэг ойлголтыг авч үзье.
Тодорхойлолт 1
Бид үүнийг гурвалжин гэж нэрлэх болно геометрийн дүрс, энэ нь өөр хоорондоо сегментээр холбогдсон гурван цэгээс бүрддэг (Зураг 1).
Тодорхойлолт 2
1-р тодорхойлолтын хүрээнд бид цэгүүдийг гурвалжны орой гэж нэрлэнэ.
Тодорхойлолт 3
1-р тодорхойлолтын хүрээнд сегментүүдийг гурвалжны талууд гэж нэрлэнэ.
Аливаа гурвалжин нь 3 орой, мөн гурван талтай байх нь ойлгомжтой.
Одоо тэгш өнцөгт гурвалжин гэдэг ойлголтыг шууд танилцуулъя.
Тодорхойлолт 4
Гурвалжны аль нэг өнцөг нь $90^\circ$-тэй тэнцүү бол бид гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж нэрлэнэ.
Энэ тохиолдолд зөв өнцгөөр зэргэлдээ байгаа талуудыг хөл, гурав дахь талыг гипотенуз гэж нэрлэнэ (Зураг 2).
Аливаа гурвалжны нэгэн адил тэгш өнцөгтийн хувьд дараах теорем хэрэгжинэ.
Теорем 1
Дурын өнцгийн нийлбэр дурын гурвалжин$180^\circ$-тай тэнцэнэ.
Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд
Тэгш өнцөгт гурвалжны үндсэн шинж чанарыг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Теорем 2
Хурц булангууддурын тэгш өнцөгт гурвалжинд нийт нь $90^\circ$ байна.
Баталгаа.
Гурвалжны хурц өнцгийг $α$ ба $β$ гэж тэмдэглэе. Дараа нь бидний гурвалжин тэгш өнцөгт тул 1-р теоремоор бид олж авна
$α+β+90^\circ=180^\circ$
$α+β=90^\circ$
Теорем нь батлагдсан.
Теорем 3
Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хөл нь $30^\circ$-тэй тэнцэх хурц өнцгийн эсрэг байвал ийм хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна.
Баталгаа.
$∠A=90^\circ$, $∠B=30^\circ$ гэсэн $DAB$ тэгш өнцөгт гурвалжинг өгье. Үүн дээр $ABC$ гурвалжинг нэмье, энэ нь болно гурвалжинтай тэнцүү$DAB$ (Зураг 3).
$∠A=90^\circ$ ба $∠B=30^\circ$ тул 1-р теоремоор бид олж авна.
$∠D=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$
Үүний нэгэн адил, $∠C=60^\circ$.
Мөн бид $∠B=∠DBA+∠CBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$ гэдгийг харж байна.
Бид $DBC$ гурвалжин тэнцүү талт болохыг олж мэдсэн тул $DC=AB$. Энэ нь $DA=AC$, дараа нь $DA=\frac(1)(2) AB$ гэсэн үг.
Теорем нь батлагдсан.
Эсрэг теорем бас үнэн:
Теорем 4
Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү бол түүний эсрэг талын өнцөг $30^\circ$-тэй тэнцүү байна.
Баталгаа.
$∠A=90^\circ$ ба $DA=\frac(1)(2) AB$ гэсэн тэгш өнцөгт $DAB$ гурвалжинг өгье. Зураг 3-т үзүүлсэн шиг $DAB$ гурвалжинтай тэнцүү байх $ABC$ гурвалжинг үүн дээр нэмье.
$DA=\frac(1)(2) AB$, $DA=AC$ тул бид $DC=DB=CB$-ийг авна.
Бид $DBC$ гурвалжин нь тэгш талтай тул түүний бүх өнцөг $60^\circ$-тэй тэнцүү байна. Энэ нь анхны гурвалжинд $∠B=30^\circ$ байна гэсэн үг.
Теорем нь батлагдсан.
Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж тэмдэг
Одоо тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэгддэг теоремуудыг танилцуулъя. Бид энэ зүйлийн хүрээнд тэдний нотлох баримтыг авч үзэхгүй.
Теорем 5
Хэрэв хоёр тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүд хосоороо тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд мөн адил тэнцүү байна.
Теорем 6
Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл, түүнчлэн түүний хажуугийн хурц өнцөг нь өөр тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл ба түүнтэй зэргэлдээх хурц өнцөгтэй тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд мөн тэнцүү байх болно.
Танд хэд хэдэн даалгавар байна - нөхцөл нь тэгш өнцөгт гурвалжинг агуулна. Нөхцөл нь өнцгийг тооцоолох тухай өгүүлдэгөндөр ба биссектрисын хооронд, медиан ба биссектрис, өндөр ба медианаас зурсан зөв өнцөг.
Энэ бүлгийн даалгаварууд багтсан болно Улсын нэгдсэн шалгалтын бүрэлдэхүүнматематикт. Бодлого нь тийм ч хэцүү биш, танд зөвхөн гурвалжны өнцгийн нийлбэр, тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанаруудын талаархи мэдлэг, бага зэрэг логик хэрэгтэй. Тийм ээ! Нэг анхааруулга байдаг - гипотенуз руу татсан медианы тухай ярьдаг асуудлууд нь нэг шинж чанарыг мэдэх шаардлагатай бөгөөд онол боломжтой. Эхэлцгээе!
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь нөгөөгөөсөө 4 дахин том байна. Илүү том хурц өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Тэгш өнцөгт гурвалжны бага хурц өнцгийг үүгээр тэмдэглэеx. Дараа нь илүү том хурц өнцөг өгөгдсөн гурвалжин 4-тэй тэнцүү байх болноX.
Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу түүний хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90 градустай тэнцүү байна. Эндээс бид x + 4x = 90 o тэгшитгэлийг олж авна.
Бид тооцоолж, бид 5x = 90 o, x = 18 o авна.
Тиймээс илүү том өнцөг 18 o ∙ 4 = 72 o-тэй тэнцүү байх болно
Хариулт: 72
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг 32 градус байна. Энэ болон гурвалжны зөв өнцгүүдийн биссектрисаар үүсгэсэн хурц өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Бид COD өнцгийг олох хэрэгтэй. Нөхцөлөөр бол CE ба AD нь биссектриса (өнцгийг хагасаар хуваадаг) гэдгийг мэддэг. Энэ нь CAD өнцөг нь 32 °, ACO өнцөг нь 45 ° байна гэсэн үг юм. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэрийн теоремыг ашиглан бид AOC өнцгийг, дараа нь COD өнцгийг олж болно. Тиймээс гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° гэдгийг мэддэг
AOC ба COD өнцөг нь зэргэлдээ, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн нийлбэр нь 180 байнаО . Тиймээс хүссэн өнцөг (эдгээр биссектрисын хоорондох хурц өнцөг) нь 61 градус байна.
Хариулт: 61
*Хэрэв орвол ижил төстэй даалгаваруудХэрэв та шийдлийн явцыг нэн даруй олж харахгүй байгаа бол эхний ээлжинд нөхцөл байдалд үндэслэн олж болох элементүүдийг хайж олоорой. Дараа нь олсон утгыг ашиглана уу.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн биссектрисын хоорондох хурц өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Нөхцөл байдалд C өнцөг зөв байхаас өөр хэмжигдэхүүнийг бидэнд өгөөгүй. Энэ нь тэдгээрийг оруулах, өөрөөр хэлбэл оруулах шаардлагатай байгааг харуулж байна энэ тохиолдолдбид өнцгийг хувьсагчаар тэмдэглээд дараа нь тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд болон өнцгийн нийлбэр теоремыг ашиглаж болно.
CAD өнцгийг гэж тэмдэглэе X. Дараа нь CBA өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү байх болно. X.
AOB гурвалжинг авч үзье:
Бид AOB өнцгийг олж болно:
Энэ нь биссектрисын хоорондох хурц өнцөг нь 45 ° -тай тэнцүү байна гэсэн үг юм зэргэлдээ булан 135 о.
Таны харж байгаагаар нөхцөл дэх тоон утгууд үргэлж шаардлагатай байдаггүй. Шинж чанаруудыг мэдэж, логикийг асаахад хангалттай бөгөөд асуудал шийдэгдэх болно.
Хариулт: 45
Тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцөгтийн оройгоос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцөг нь 21 градус байна. Энэ гурвалжны хамгийн жижиг өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
CDH гурвалжинд бид хоёр өнцгийг мэддэг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр теоремыг ашиглан бид CDH өнцгийг олно. Энэ нь:
Одоо бид CDB гурвалжин дахь В өнцгийг олж болно. CD нь биссектриса учир BCD өнцөг нь 45 байнаО , бид CDB өнцгийг олсон.
Тэгэхээр B өнцөг нь 180 байна o –45 o –69 o =66 o. Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу: түүний хурц өнцгийн нийлбэр нь 90 градус байна.
Тиймээс нөгөө хурц өнцөг нь 24-тэй тэнцүү байх болноО .
Хариулт: 24
Тэгш өнцгийн оройгоос зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса ба медиан хоорондын өнцөг 14 градус байна. Энэ гурвалжны хамгийн жижиг өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Бидэнд 14-тэй тэнцүү MCD өнцгийг өгсөнО . Бид DCB өнцгийг бас мэднэ, энэ нь 45-тай тэнцүү байнаО , CD нь биссектрис учраас. Бид MCB өнцгийг олох боломжтой: 14 o + 45 o = 59 o.
Өмнө дурьдсанчлан, баруун өнцгөөс гипотенуз хүртэл зурсан тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваадаг бөгөөд энэ тохиолдолд AMC ба BMC. -д байгаа нь мэдэгдэж байна тэгш өнцөгт гурвалжинСуурийн өнцөг нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл MBC өнцөг өнцөгтэй тэнцүүМБЗ. Тиймээс,
Өөрөөр хэлбэл, жижиг өнцөг нь 31 o байна.
Хариулт: 31
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь нөгөөгөөсөө 32° их байна. Илүү том хурц өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
IN гурвалжин ABCөнцөг C 90°, CH - өндөр, А өнцөг 34°-тай тэнцүү . BCH өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Гурвалжинд ABC CД- медиан, өнцөг А.С.Б 90°, өнцөгтэй тэнцүү IN 58 o-тай тэнцүү. Өнцгийг ол А.С.Д. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 29° ба 61° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
4. Нөхцөлд өнцгийн тоон утгыг өгөөгүй бодлогод тэдгээрийг хувьсагч(ууд)-аар тэмдэглээд дараа нь өөрт мэдэгдэж буй шинж чанаруудыг ашиглана.
5. Хэрэв та шийдлийг хэрхэн бүтээхийг олж харахгүй байгаа бөгөөд үндэслэлийн логик хэлхээг шууд олж харахгүй байгаа бол нөхцөл дэх өгөгдөл дээр үндэслэн юу олж болохыг хайж олоорой. Шинэ үнэт зүйлстэй болмогц тэдгээрийг ашиглахдаа юу олж болохыг хараарай.
Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 29° ба 61° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа 29 o 61 o градусаар өгнө үү Нөхцөлийн дагуу ASV = 90 o; CD - биссектрис ACD = BCD = 45 o 45 o ASN - тэгш өнцөгт. ASN = 90 o – 29 o = 61 o 61 o Шаардлагатай DCH = 61 o – 45 o = 16 o 16 o Уусмалын 2-р арга: VSN – тэгш өнцөгт. BCH = 90 o – 61 o = 29 o 29 o Шаардлагатай DCH = 45 o – 29 o = 16 o Хариулт: B6 даалгаврын загвар (27770)
ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о In pr" title=" Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 86 o ба 4 o байна. Тэгш өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултыг 86 o CD – тэгш өнцөгт ABC-ийн зөв өнцгийн биссектриса > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V баруун" class="link_thumb"> 5 !}Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 86° ба 4° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа 86 o градусаар бичнэ үү CD нь ABC тэгш өнцөгтийн зөв өнцгийн биссектрис юм. > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о Тэгш өнцөгт ACH-д: ACH = 90 o – 4 o = 86 o 86 o Шаардлагатай DCH = 86 o – 45 o = 41 o Хариулт: Даалгавар B6 (47625) PROTOTYPE PROTOTYPE 27 ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о pr "> ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о Тэгш өнцөгт ACH-д: AСН = 90 o – 4 o = 86 o 86 o Шаардлагатай DCH = 86 o – 45 o = 41 o Хариулт : 41 1.2 Даалгавар B6 (47625) PROTOTYPE 27770 PROTOTYPE 27770 "> ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о In pr" title = " Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 86 o ба 4-ийг ол. тэгш өнцөгтийн оройгоос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцөг 86 o хэмээр хариулна уу CD нь тэгш өнцөгт ABC > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V зөв өнцгийн биссектриса."> title="Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 86° ба 4° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа 86 o градусаар өгнө үү CD нь ABC тэгш өнцөгтийн зөв өнцгийн биссектрис юм. > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V баруун"> !}
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 69° ба 21° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа 21 o градусаар өг. Тэгш өнцөгт BCH-д: BCH = 90 o – 69 o = 21 o 69 o 21 o CD нь ABC тэгш өнцөгтийн зөв өнцгийн биссектрис юм. 45 o Шаардлагатай тогтмол гүйдэл Н = 45 о – 21 о = 24 о Хариулт: Даалгавар B6 (47659) PROTOTYPE PROTOTYPE 27770
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 53° ба 37° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа 53 o 37 градусаар өг o Тэгш өнцөгт ASN-д: ASN = 90 o – 37 o = 53 o Санаж байгаарай: Тэгш өнцөгт гурвалжны зөв өнцгийн оройноос доош буулгасан өндөр нь гурвалжинг ижил төстэй хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана. CD нь ABC тэгш өнцөгтийн зөв өнцгийн биссектриса юм. 45 o Шаардлагатай тогтмол гүйдэл Н = 53 о – 45 о = 8 о Хариулт: 8 8о8о ASN VSN 1.4 Даалгавар B6 (47665) PROTOTYPE 27770 PROTOTYPE 27770
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 67° ба 23° байна. Зөв өнцгийн оройноос татсан өндөр ба биссектрисын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа 67 o 23 o градусаар өгнө үү Онолын мэдээлэлСанамж Шийдэл 45 o ADC = 112 o; CDH = 68 o Тэгш өнцөгт DCH-д: DCH = 90 – 68 = 22 o Хариулт: o 1.5 Даалгавар B6 (47635) PROTOTYPE 27770 PROTOTYPE 27770
