Утасны дугаарыг залгах үед захиалагч 4 оронтой тоог мартсан байна. Энгийн үйл явдлын орон зайг бий болгохгүйгээр магадлалыг тооцоолох

Уг саванд янз бүрийн хэмжээтэй таван бөмбөг байна. Ижил бөмбөлөг байхгүй нь мэдэгдэж байгаа бол бүх бөмбөгийг өсөх дарааллаар зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Нийт тооболомжтой үндсэн үр дүнтуршлага нь таван элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү бөгөөд үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо нэгтэй тэнцүү байна.

Шаардлагатай магадлал:

.

Асуудал 17.

Захиалагч утасны дугаараа залгаж байхдаа сүүлийн хоёр цифрээ мартаж, өөр гэдгийг нь санаж, азаар залгав. Тэр зөв дугаар хийсэн байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Туршилтын боломжит үр дүнгийн нийт тоо нь 10-аас 2 хүртэлх байршлын тоотой тэнцүү байна, i.e. . Үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо нэгтэй тэнцүү байна.

Шаардлагатай магадлал:

.

Асуудал 18.

Ширээний шургуулганд 15 дэвтэр байгаа бөгөөд тэдгээрийн 8 нь дөрвөлжин хэлбэртэй, бид санамсаргүй байдлаар гурван дэвтэр авсан. Авсан гурван дэвтэр бүгд өндөр чанартай байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Энд дараалал нь үүрэг гүйцэтгэдэггүй тул бүх боломжит үр дүнгийн нийт тоо нь 15-аас 3-ын хослолын тоотой тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл таатай үйл явдлын тоо нь 8-ын хослолын тоотой тэнцүү байх болно. 3.

Шаардлагатай магадлал:

.

Асуудал 19.

Тус бүлэгт 15 сурагч байдгаас 8 нь онц сурдаг. 6 оюутныг санамсаргүй байдлаар дуудсан (жагсаалтын дагуу). Дуудсан сурагчдын 4 нь онц сурлагатан болох магадлалыг ол.

Шийдэл. Энд байгаа туршилтын боломжит үр дүнгийн тоо нь 15-аас 6-р хослолын тоотой тэнцүү байна.

Онц сурдаг 4 оюутан байхад 2 нь үгүй ​​бол хослолыг бид таатай гэж үздэг. Онц сурдаг 8 сурагчаас 4 онц сурлагатанг янз бүрээр шалгаруулж болдог бол үлдсэн 6-4 = 2 (онц сурлагатан биш) 15-8 = 7 сурагчаас өөр өөр хэлбэрээр шалгаруулдаг.

Хэрэв дөрвөн онц сурлагатан болгонд бид хосуудын нэгийг нэмнэ

Онц сурлагатан биш оюутнууд бид 6 хүний ​​"таатай" бүлгүүдийг авах болно. Тэдний тоо m =-тэй тэнцүү байна.

Шаардлагатай магадлал:

Асуудал 20.

Паскал Шевалье де Маратай захидал харилцааныхаа хамгийн эхний бэрхшээл бол хэргийг үнэн зөв тоолох явдал байв. Энэ нь гурван шоо шидсэн тоглоомын тухай байсан бөгөөд тоглогчдын нэг нь шидэгдсэн талуудын нийлбэр нь 10-аас дээш, нөгөө нь 10-аас бага эсвэл тэнцүү байх болно гэж бооцоо тавьдаг. Үүнийг хийхэд хялбар байдаг. Хоёр тоглогчийн боломж тэнцүү байгааг хараарай. Гэхдээ хүндрэл нь энэ байв. Өвчтөний нягтлан бодох бүртгэл маш их байдаг их тооТоглоомууд Chevalier de Marais-д 10-аас дээш бооцоо тавьсан хүмүүс 12 оноотой харьцуулахад 11-ээр хождог болохыг харуулсан. Гэсэн хэдий ч Mere 11 оноог зургаан өөр аргаар (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3) авах боломжтой гэж үзсэн. ), мөн 12 оноог зургаан аргаар (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4) авах боломжтой. Паскалийн хариулт маш энгийн: 6-4-1 хослол нь энгийн биш, харин зургаа дахин болно, учир нь хэрэв шоо дугаарлагдсан бол эсвэл гурван шоо тус бүрийг ялгахын тулд өөр өөр өнгөөр ​​​​ялгах боломжтой бол 6-ийн утгыг авах боломжтой. гурван шоо тус бүр дээр , үлдсэн хоёр шоо тус бүр дээр 4 байх ба энэ нь аль хэдийн зургаан хослол хийсэн. Үүний эсрэгээр, 5-5-1 гэх мэт хослолыг зөвхөн гурван өөр аргаар, 4-4-4 гэх мэт хослолыг зөвхөн нэг аргаар хийж болно.

Тиймээс, хэрэв та мэдэхийг хүсч байвал бодит тоо янз бүрийн аргаар 11 авах эсвэл 12 оноо авах, дараа нь эдгээр тохиолдол бүрийн хувьд та хослолд тохирох зургаан тооны нийлбэрийг нэмэх хэрэгтэй.

Харин 12 онооны хувьд бидэнд байна

Эндээс бид дунджаар 11 оноо 27 удаа, 25 удаа 12 оноо авдаг гэж дүгнэсэн бөгөөд энэ үр дүн нь Шевалье де Мерегийн ажиглалттай бүрэн нийцэж байна.

Жишээ 4.Утасны дугаарыг залгах үед захиалагч нэг оронтой тоог мартаж, санамсаргүй байдлаар залгасан байна. Зөв дугаар залгасан байх магадлалыг ол.

Шийдэл.-ээр тэмдэглэе Аүйл явдал - шаардлагатай дугаарыг залгасан. Захиалагч 10 оронтой аль нэгийг нь залгах боломжтой. Иймд боломжит анхан шатны үр дүнгийн нийт тоо нь 10. Эдгээр үр дүн нь адилхан боломжтой (тоо санамсаргүй байдлаар бичсэн) ба хэлбэр бүтэн бүлэг(дор хаяж нэг цифр залгах нь гарцаагүй), өөрөөр хэлбэл. Ганцхан дугаар л хэрэгтэй. Тиймээс арга хэмжээний хувьд А А .

Жишээ 5.Утасны дугаарыг залгах үед захиалагч сүүлийн хоёр цифрээ мартсан бөгөөд зөвхөн өөр гэдгийг нь санаж, санамсаргүй байдлаар залгасан. Ийм магадлалыг ол танд хэрэгтэй тоонууд.

Шийдэл.-ээр тэмдэглэе INүйл явдал - шаардлагатай хоёр дугаарыг залгасан. Та цуглуулж чадах маш олон хос байна өөр өөр тоо, 2-оор 10 оронтой тоогоор хичнээн байршуулалт хийж болох вэ, өөрөөр хэлбэл . Иймд адил боломжтой анхан шатны үр дүнгийн нийт тоо нь . Хоёр тооны нэг л хослол хэрэгтэй. Тиймээс арга хэмжээний хувьд АЗөвхөн нэг л үр дүн нь таатай байна. Шаардлагатай магадлал нь тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тооны харьцаатай тэнцүү байна Абүх үндсэн үр дүнгийн тоонд: .

Жишээ 6. 10 хэсгээс бүрдсэн багцад 7 стандарт байдаг. Санамсаргүй байдлаар авсан зургаан хэсгээс яг 4 стандарт байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Үйл явдал болъё А– авсан 6 хэсгээс яг 4 нь стандарт. Боломжит энгийн тестийн үр дүнгийн нийт тоо нь 10-аас 6 хэсгийг гаргаж авах арга замын тоо, өөрөөр хэлбэл 6-ын 10 элементийн хослолын тоотой тэнцүү байна (). Үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог тоолъё А: 7 стандарт хэсгээс янз бүрийн аргаар 4 стандарт эд анги авч болно. Энэ тохиолдолд үлдсэн 6-4=2 хэсэг нь стандартын бус байх ёстой. Тэдгээрийг 10-7=3 стандартын бус хэсгээс янз бүрийн аргаар авч болно. Тиймээс таатай үр дүнгийн тоо . Шаардлагатай магадлал нь тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тооны харьцаатай тэнцүү байна А, бүх үндсэн үр дүнгийн тоо хүртэл.

Утасны дугаарыг залгах үед захиалагч сүүлийн хоёр цифрээ мартсан бөгөөд зөвхөн эдгээр цифрүүд өөр гэдгийг санаж, санамсаргүй байдлаар залгасан. Шаардлагатай дугаарууд залгагдсан байх магадлалыг ол.

Даалгавар №2

Үргэлжилсэн дифференциал функц өгөгдсөн санамсаргүй хувьсагч X:

Хай интеграл функц F(x)

Даалгавар №3

Уг саванд 3 цагаан, 3 хар бөмбөлөг байна. Нэг бөмбөгийг савнаас хоёр удаа солихгүйгээр гаргаж авдаг. Гарах магадлалыг ол цагаан бөмбөгхоёр дахь шүүх хурал дээр (В үйл явдал) хэрэв хар бөмбөгийг эхний туршилтаар татсан бол (А үйл явдал).

Даалгавар No4

10 хэсэг бүхий 3 хайрцаг байна. Эхний хайрцагт 8, хоёр дахь хайрцагт 7, гурав дахь 9 стандарт хэсэг байна. Хайрцаг бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Эдгээр арилгасан гурван хэсэг бүгд стандарт болж хувирах магадлалыг ол.

Даалгавар №5
Гурван буугаар буудах үед бай онох магадлал дараах байдалтай байна. = 0,8; = 0,7; = 0.9. Бүх буунаас дор хаяж нэг цохилт өгөх магадлалыг ол (А үйл явдал).

Даалгавар №6

Хоёр багц хэсэг байдаг. Эхний багцын хэсэг нь стандарт байх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.9 байна. Санамсаргүй байдлаар (санамсаргүй байдлаар авсан олонлогоос) авсан хэсэг нь стандарт байх магадлалыг ол.

Даалгавар №7

Оюутны эрх олгох спортын тэмцээнд оролцохоор хичээлийн 1-р бүлгээс 4, 2-р бүлгээс 6, 3-р бүлгээс 5 оюутан тус тус хуваарилагдсан. Нэг, хоёр, гуравдугаар бүлгийн оюутныг хүрээлэнгийн багт оруулах магадлал 0.9-тэй тэнцүү байна; 0.7 ба 0.8. Тэмцээний үр дүнд санамсаргүй түүврээр сонгогдсон оюутан шигшээ багт шалгарчээ. Энэ оюутан аль бүлэгт багтах магадлалтай вэ?

Даалгавар №8

Нэг өдрийн цахилгааны хэрэглээ тогтоосон нормоос хэтрэхгүй байх магадлал 0.75 байна. Ойрын 6 хоногт 4 хоногийн цахилгааны хэрэглээ нормоос хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Даалгавар №9

Туршилт бүрт энэ үйл явдал тохиолдох магадлал 0.2 байвал 400 туршилтанд А үйл явдал яг 80 удаа тохиолдох магадлалыг ол.

Даалгавар №10

Буудагч нэг сумаар байг онох магадлал 0.75 байна. 100 удаагийн цохилтоор бай оногдох магадлалыг ол: a) 70-аас багагүй, 80-аас ихгүй удаа; б) 70-аас илүүгүй удаа.

Даалгавар №11

Худалдаачин 24 барааны дээжийг шалгадаг. Дээж тус бүрийг худалдахад тохиромжтой гэж үзэх магадлал 0.6 байна. Худалдаачин борлуулахад тохиромжтой гэж үзсэн хамгийн их магадлалтай тооны дээжийг ол.

400-д тохиолдох үйл явдлын магадлал бие даасан туршилтууд 0.8-тай тэнцүү. Нэгийг нь ол эерэг тоо E, тэгэхээр магадлал нь 0.9876 үнэмлэхүй үнэ цэнэүйл явдлын харьцангуй давтамжийн 0.8 магадлалаас хазайх нь E-ээс хэтрээгүй.

Даалгавар №13

Зоосыг 5 удаа шиддэг. "Сүлд" гарч ирэх магадлалыг ол:

а) хоёроос бага удаа;

б) дор хаяж хоёр удаа.

Даалгавар №14

Эхний саванд 10 бөмбөлөг байдаг бөгөөд тэдгээрийн 8 нь цагаан; Хоёр дахь саванд 20 бөмбөлөг байгаагийн 4 нь цагаан өнгөтэй байна. Урд бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг, дараа нь эдгээр хоёр бөмбөгнөөс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалж авна. Цагаан бөмбөг татагдах магадлалыг ол.

Даалгавар №15

Туршилт бүрт 0.4-тэй тэнцэхүйц үйл явдал тохиолдох магадлал бүхий хичнээн бие даасан туршилт хийх ёстой бөгөөд ингэснээр эдгээр туршилтуудын үйл явдлын хамгийн их магадлалтай тоо 25-тай тэнцүү байх ёстой вэ?

Даалгавар №16

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

Олно: дисперс D(X), дундаж стандарт хазайлт(X) ба тархалтын олон өнцөгт байгуулна.

Даалгавар №17

Сурах бичиг 100 мянган хувь хэвлэгджээ. Сурах бичиг буруу хавсаргасан байх магадлал 0.0001. Гүйлгээнд яг 5 согогтой ном байх магадлалыг ол.

Даалгавар №18

Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын жагсаалтыг өгсөн болно. бас мэддэг математикийн хүлээлтЭнэ хэмжээ ба түүний квадратууд:

M(X)=2.3 ба M(X )=5,9.

Харгалзах магадлалыг ол боломжит утгууд X.

Даалгавар №19

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг интеграл функцээр тодорхойлно

Туршилтын үр дүнд X-ийн утга (-1;1) интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол.

Даалгавар №20
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулиар тодорхойлно

Интеграл функцийг олоод түүний графикийг зур.

Даалгавар №21

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X өгөгдсөн дифференциал функц
интервалд (0; π/3); f(x)=0 интервалаас гадуур. X интервалд хамаарах утгыг авах магадлалыг ол.
)

Даалгавар №22

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

Хай төв цэгүүднэг, хоёр, гурав, дөрөв дэх захиалга

Даалгавар №23

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X - хоёр шоо дээрх тэгш тооны цэгийн тохиолдлын тоогоор хоёр гишүүнт хуулийг бич.

Даалгавар №24

Тархалтын хуулиар тодорхойлсон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Туршилт бүрт a үйл явдал тохиолдох магадлал ½ байна. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан 100 бие даасан туршилт хийвэл А үзэгдлийн X тохиолдлын тоо 40-60 хооронд байх магадлалыг тооцоол.

Даалгавар №27

Гистограмм бүтээх харьцангуй давтамжууд By өгөгдсөн хуваарилалтдээж

Дээжийг давтамжийн тархалт гэж тодорхойлсон

Даалгавар №29

Баригдсан зориулалттай интервалын цувралтооцоолох итгэлийн интервалγ=0.99 ба t=2.861 үед

Даалгавар №30

Дээжийг давтамжийн тархалт гэж тодорхойлсон