Сайн байцгаана уу эрхэм Аргемона их сургуулийн оюутнууд! Функц ба интегралын ид шидийн тухай ээлжит лекцэнд тавтай морил.
Өнөөдөр бид гиперболын тухай ярих болно. Энгийнээр эхэлцгээе. Хамгийн энгийн гиперболын төрөл нь:
Энэ функц нь стандарт хэлбэрийн шулуун шугамаас ялгаатай нь онцгой шинж чанартай байдаг. Бидний мэдэж байгаагаар бутархайн хуваагч нь тэг байж болохгүй, учир нь та тэгээр хувааж болохгүй.
x ≠ 0
Эндээс бид тодорхойлолтын муж нь 0 цэгээс бусад бүхэл тооны шулуун байна гэж дүгнэж байна: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Хэрэв x баруун талаасаа 0-д чиглэж байвал (энэ маягаар бичсэн: x->0+), i.e. маш, маш жижиг болох боловч эерэг хэвээр байвал y нь маш, маш том эерэг (y->+∞) болно.
Хэрвээ x зүүн талаасаа 0 рүү чиглэж байвал (x->0-), i.e. үнэмлэхүй утгаараа маш, маш бага болж, харин сөрөг хэвээр байвал y нь мөн сөрөг байх боловч үнэмлэхүй утгаараа маш их (y->-∞) болно.
Хэрэв x нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай бол (x->+∞), i.e. маш том эерэг тоо болж, дараа нь y нь улам бүр бага эерэг тоо болно, өөрөөр хэлбэл. 0 байх хандлагатай байх ба үргэлж эерэг хэвээр байх болно (y->0+).
Хэрвээ x нь хасах хязгааргүй (x->-∞) хандлагатай бол i.e. модулийн хувьд том, гэхдээ сөрөг тоо бол y нь үргэлж сөрөг тоо байх боловч модулийн хувьд бага (y->0-).
Y нь x шиг 0 утгыг авч чадахгүй. Энэ нь зөвхөн тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс утгуудын багц нь тодорхойлолтын домэйнтэй ижил байна: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Эдгээр бодол дээр үндэслэн бид функцийн графикийг бүдүүвчээр зурж болно
Гипербола нь хоёр хэсгээс бүрддэг болохыг харж болно: нэг нь координатын 1-р өнцөгт байрладаг бөгөөд x ба y утгууд эерэг, хоёр дахь хэсэг нь координатын гурав дахь өнцөгт байрладаг бөгөөд x ба y утгууд байдаг. сөрөг байна.
Хэрэв бид -∞-аас +∞ руу шилжвэл бидний функц 0-ээс -∞ болж буурч, огцом үсрэлт (-∞-аас +∞) болж, функцийн хоёр дахь салбар эхэлдэг бөгөөд энэ нь мөн буурдаг. харин +∞-аас 0. Өөрөөр хэлбэл, энэ гипербол буурч байна.
Хэрэв та функцийг бага зэрэг өөрчилвөл: хасах ид шидийг ашигла,
(1")
Энэ бол функц юм гайхамшигтайгаарсолбицлын 1, 3-р улирлаас 2, 4-р улирал руу шилжиж, нэмэгдэнэ.
функц гэдгийг танд сануулъя нэмэгдэж байна, хэрэв x 1 ба x 2 гэсэн хоёр утгын хувьд x 1 байна<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Мөн функц нь байх болно буурч байна, хэрэв x-ийн ижил утгуудын хувьд f(x 1) > f(x 2) байвал.
Гиперболын мөчрүүд тэнхлэгт ойртож байгаа боловч хэзээ ч огтлолцохгүй. Функцийн график ойртож байгаа мөртлөө огтлолцохгүй мөрүүдийг дуудна асимптотэнэ функц.
Бидний (1) функцийн хувьд асимптотууд нь x=0 (OY тэнхлэг, босоо асимптот) ба y=0 (OX тэнхлэг, хэвтээ асимптот) шулуун шугамууд юм.
Одоо хамгийн энгийн гиперболыг бага зэрэг төвөгтэй болгож, функцийн графикт юу тохиолдохыг харцгаая.
(2)
Бид хуваагч дээр "a" тогтмолыг нэмсэн. Хуваагчид тоог x-д нэр томъёо болгон нэмэх нь "гиперболын бүтцийг" бүхэлд нь (босоо асимптотын хамт) (-a) байрлалыг баруун тийш, хэрэв а сөрөг тоо бол (-a) байрлалыг зүүн тийш шилжүүлнэ гэсэн үг юм. хэрэв - эерэг тоо.
Зүүн график дээр сөрөг тогтмолыг x дээр нэмсэн (a<0, значит, -a>0), энэ нь графикийг баруун тийш шилжүүлэхэд хүргэдэг бөгөөд баруун график дээр эерэг тогтмол (a>0) байдаг бөгөөд үүнээс болж график зүүн тийш шилждэг.
"Гипербол бүтэц" -ийг дээш эсвэл доош шилжүүлэхэд ямар ид шид нөлөөлж болох вэ? Бутархайд тогтмол гишүүнийг нэмэх.
(3)
Одоо бидний бүх функц (салбар ба хэвтээ асимптот хоёулаа) b нь эерэг тоо бол b байрлал дээшлэх ба b нь сөрөг тоо бол b байрлалаар доошилно.
Асимптотууд гиперболын дагуу хөдөлдөг болохыг анхаарна уу, i.e. гипербол (түүний хоёр салаа) болон түүний асимптотуудыг хоёуланг нь зүүн, баруун, дээш, доошоо жигд хөдөлдөг салшгүй бүтэц гэж үзэх ёстой. Зөвхөн тоо нэмснээр функцийг бүхэлд нь ямар ч чиглэлд хөдөлгөх боломжтой бол энэ нь маш таатай мэдрэмж юм. Та маш амархан эзэмшиж, өөрийн үзэмжээр зөв чиглэлд чиглүүлж чадах ид шид гэж юу вэ?
Дашрамд хэлэхэд, та ямар ч функцын хөдөлгөөнийг ингэж хянах боломжтой. Дараагийн хичээлүүдэд бид энэ ур чадварыг нэгтгэх болно.
Чамаас асуухаас өмнө гэрийн даалгавар, Би энэ функцэд таны анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна
(4)
Гиперболын доод салбар нь 3-р координатын өнцгөөс дээш - хоёр дахь, y-ийн утга эерэг байх өнцөг рүү шилждэг, өөрөөр хэлбэл. энэ салбар нь OX тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тусгагдсан байдаг. Одоо бид тэгш функцтэй боллоо.
Юу хийдэг вэ" жигд функц"? Функцийг дуудаж байна бүр, нөхцөл хангагдсан бол: f(-x)=f(x)
Функцийг дууддаг хачин, нөхцөл хангагдсан бол: f(-x)=-f(x)
Манай тохиолдолд
(5)
Тэгш функц бүр нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. графикийн зураг бүхий илгэн цаасыг OY тэнхлэгийн дагуу нугалж болох бөгөөд графикийн хоёр хэсэг нь хоорондоо яг таарч байна.
Бидний харж байгаагаар энэ функц нь хэвтээ ба босоо гэсэн хоёр асимптоттой. Дээр дурдсан функцүүдээс ялгаатай нь энэ функц нэг талаараа нэмэгдэж, нөгөө талаар буурч байна.
Одоо энэ графикийг тогтмол нэмэх замаар зохицуулахыг оролдъё.
(6)
Тогтмолыг “x” дээр томьёо болгон нэмснээр график бүхэлдээ (босоо асимптотын хамт) хэвтээ асимптотын дагуу (энэ тогтмолын тэмдгээс хамаарч зүүн эсвэл баруун тийш) хэвтээ чиглэлд шилжихэд хүргэдэг гэдгийг санаарай.
(7)
Бутархайд b тогтмолыг гишүүн болгон нэмбэл график дээш эсвэл доош хөдөлнө. Энэ бол маш энгийн!
Одоо энэ ид шидийг өөрөө туршиж үзээрэй.
Гэрийн даалгавар 1.
Хүн бүр туршилт хийхдээ хоёр функцийг ашигладаг: (3) ба (7).
a=таны LD-ийн эхний цифр
b=Таны LD-ийн хоёр дахь цифр
Хичээл дээр хэлсэнчлэн хамгийн энгийн гиперболоос эхлээд өөрийн тогтмол тоонуудыг аажмаар нэмж оруулан эдгээр функцүүдийн ид шидийг олж мэдэхийг хичээгээрэй. Та функцийн эцсийн хэлбэр (3) дээр үндэслэн функцийг (7) загварчилж болно. Тодорхойлолтын домэйн, утгын багц, асимптотуудыг заана уу. Функц хэрхэн ажилладаг вэ: буурах, нэмэгдэх. Тэгш - сондгой. Ер нь хичээл дээр хийсэн судалгаатай ижил судалгаа хийхийг хичээ. Магадгүй та миний ярихаа мартсан өөр зүйлийг олж мэдэх болно.
Дашрамд хэлэхэд, хамгийн энгийн гиперболын (1) хоёр салаа нь 2 ба 4-р биссектрист тэгш хэмтэй байдаг. координат өнцөг. Одоо гипербола энэ тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж эхэлсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Ашиглаж болох ийм гоё дүрс авъя.
Даалгавар 2. Би үүнийг хаана ашиглаж болох вэ? энэ тоо? (4) функцийг түүний тэгш хэмийн тэнхлэгтэй харьцуулахад эргүүлэх дүрсийг зурж, ийм дүрс хаана хэрэглэгдэх боломжтой талаар бодож үзээрэй.
Өнгөрсөн хичээлийн төгсгөлд бид цоорсон цэгтэй шулуун шугамыг хэрхэн олж авсныг санаж байна уу? Тэгээд хамгийн сүүлийнх нь энд байна даалгавар 3.
Энэ функцийн графикийг байгуул:
(8)
a, b коэффициентүүд 1-р даалгавартай ижил байна.
c=Таны LD-ийн гурав дахь орон, хэрэв таны LD хоёр оронтой бол a-b.
Бага зэрэг сануулга: эхлээд тоонуудыг орлуулсны дараа олж авсан бутархайг хялбарчлах ёстой бөгөөд дараа нь та энгийн гиперболыг авах болно, үүнийг бүтээх хэрэгтэй, гэхдээ эцэст нь та анхны илэрхийллийн тодорхойлолтын домэйныг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчийг хамгийн их анхаарч үзээрэй ашигтай нөөцУчир нь
Энд юу бичихийг ойлгохын тулд урвуу хамаарал гэж юу болох, юунд хэрэглэгддэгийг сайн мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та урвуу харилцааны талаар бүгдийг мэддэг гэдэгтээ итгэлтэй байвал тавтай морил. Хэрэв тийм биш бол та "" сэдвийг унших хэрэгтэй.
Мөн зарим зүйл байдаг тул эхлээд хэрхэн барих талаар сурахыг зөвлөж байна ерөнхий зарчимквадрат ба урвуу хамаарлыг зурах.
Бяцхан шалгалтаар эхэлцгээе:
Урвуу пропорциональ гэж юу вэ?
Тодорхойлсон функц ямар харагддаг вэ? урвуу хамааралВ ерөнхий үзэл(томъёо)?
Ийм функцийн графикийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Функцийн графикт ямар коэффициентүүд нөлөөлдөг вэ?
Хэрэв та эдгээр асуултад шууд хариулж чадсан бол үргэлжлүүлэн уншаарай. Хэрэв ядаж нэг асуулт хүндрэл учруулсан бол хаягаар очно уу.
Тэгэхээр та урвуу хамаарлыг хэрхэн зохицуулах, түүний графикийг шинжлэх, цэгээр график байгуулах арга барилыг аль хэдийн мэддэг болсон.
За, тэгээд л та ямар ч гиперболыг хэрхэн бүтээхийг сурсан.
Тоо бүр графикийг зүгээр л нэг чиглэлд шилжүүлдэг тул гипербол байгуулах дүрэм нь параболынхоос арай хялбар болсон гэдгийг би бас тэмдэглэж байна. Мөн коэффициентүүд нь хоорондоо хамааралгүй байдаг.
Урвуу хамаарлын графикийг байгуулах. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
1. Тодорхойлолт
Урвуу хамаарлыг дүрсэлсэн функц нь хаана гэсэн хэлбэрийн функц юм.
Урвуу график нь гипербол юм.
2. Коэффициент, ба.
Хариуцсан Графикийн "хавтгай байдал" ба чиглэл: энэ коэффициент том байх тусам гипербола нь гарал үүслээсээ хол байх тул бага эгц "эргэдэг" (зураг харна уу). Коэффициентийн тэмдэг нь графикийн аль хэсэгт байрлахад нөлөөлдөг.
- if, мөн доош шилжүүлэх if.
Тиймээс энэ нь хэвтээ асимптот.
3. Функцийн график байгуулах дүрэм:
0) Коэффициентийг тодорхойлох, ба.
1) Бид функцийн графикийг бүтээдэг (эхлээд 3-4 цэг, баруун салбарыг ашиглан, дараа нь зүүн мөчрийг тэгш хэмтэй зурна).
2) Графикийг баруун тийш шилжүүлнэ. Гэхдээ график биш харин тэнхлэгийг хөдөлгөх нь илүү хялбар байдаг тул тэнхлэгийг хөдөлгөх нь илүү хялбар байдаг зүүн тийш хөдөлнө.
3) Графикийг дээш шилжүүлэх ёстой. Гэхдээ график биш харин тэнхлэгийг хөдөлгөх нь илүү хялбар байдаг тул тэнхлэгийг хөдөлгөх нь илүү хялбар байдаг доошоо шилжих.
4) Бид хуучин тэнхлэгүүдийг (1-р цэгт бидний тэнхлэг болж байсан шулуун шугамууд) тасархай шугамаар үлдээдэг. Эдгээр нь одоо зөвхөн босоо болон хэвтээ асимптотууд юм.
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө?
Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа элсэх.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...
Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.
Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.
Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.
Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.
Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!
Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.
Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Яаж? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
- Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль
Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.
Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.
Тэгээд эцэст нь ...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!
Гипербола нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэгээс хол зайны зөрүү болох фокус нь тогтмол утгатай бөгөөд -тэй тэнцүү байна.
Зуувантай адилаар бид голомтыг цэгүүдэд байрлуулна , (1-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 1
Энэ нь зурагнаас харж болно, тохиолдол болон гарчиг = "Rendered by QuickLaTeX.com)." height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}
Гурвалжинд хоёр талын ялгаа нь гурав дахь талаас бага байдаг нь мэдэгдэж байгаа тул жишээлбэл, бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёр талыг талбай руу аваачиж, цаашдын өөрчлөлтүүдийн дараа бид дараахь зүйлийг олж мэдье.
Хаана. Гиперболын тэгшитгэл (1) байна каноник гиперболын тэгшитгэл.
Гипербола нь тэгш хэмтэй байна координатын тэнхлэгүүд, тиймээс эллипсийн хувьд эхний улиралд түүний графикийг зурахад хангалттай бөгөөд үүнд:
Эхний улирлын утгын хүрээ.
Бид гиперболын оройн аль нэгтэй байх үед. Хоёр дахь оргил. Хэрэв бол (1) -ээс жинхэнэ үндэс байхгүй болно. Тэд үүнийг хэлдэг бөгөөд энэ нь гиперболын төсөөллийн орой юм. Энэ харьцаанаас харахад хангалттай том үнэ цэнэхамгийн ойр тэгш байдлын газар байна title=" QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}
Гиперболын хэлбэр ба шинж чанар
Гиперболын хэлбэр, байршлыг (1) тэгшитгэлийг авч үзье.
- Хувьсагч ба тэгшитгэлд (1) хос зэрэглэлд орсон. Тиймээс хэрэв цэг нь гиперболд хамаарах бол цэгүүд нь бас гиперболд хамаарна. Энэ нь зураг нь тэнхлэгүүд болон цэгүүдтэй тэгш хэмтэй байна гэсэн үг бөгөөд үүнийг гиперболын төв гэж нэрлэдэг.
- Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олъё. (1) тэгшитгэлийг орлуулснаар бид гипербол тэнхлэгийг цэгээр огтолж байгааг олж мэднэ. Үүнийг хийснээр бид шийдэлгүй тэгшитгэлийг олж авна. Энэ нь гипербол тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй гэсэн үг юм. Цэгүүдийг гиперболын орой гэж нэрлэдэг. = ба хэрчмийг гиперболын бодит тэнхлэг, хэрчмийг гиперболын төсөөллийн тэнхлэг гэнэ. Тоонуудыг гиперболын бодит ба төсөөллийн хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэнхлэгүүдийн үүсгэсэн тэгш өнцөгтийг гиперболын үндсэн тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.
- (1) тэгшитгэлээс харахад , өөрөөр хэлбэл . Энэ нь гиперболын бүх цэгүүд нь шугамын баруун талд (гиперболын баруун салбар) болон шугамын зүүн талд (гиперболын зүүн салбар) байрладаг гэсэн үг юм.
- Эхний улиралд гиперболын цэгийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл, тиймээс . 0-ээс хойш" title=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="QuickLaTeX.com-аас үзүүлсэн" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}
Гиперболын асимптотууд
Гиперболын хоёр асимптот байдаг. Гиперболын салбар дахь асимптотыг эхний улиралд олоод дараа нь тэгш хэмийг ашиглая. Эхний улирлын цэгийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. Энэ тохиолдолд, , тэгвэл асимптот нь: , хаана байна
Энэ нь шулуун шугам нь функцийн асимптот гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш хэмийн улмаас гиперболын асимптотууд нь шулуун шугамууд юм.
Тогтсон шинж чанаруудыг ашиглан бид эхний улиралд байрлах гиперболын салбарыг барьж, тэгш хэмийг ашиглана.
Цагаан будаа. 2
тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, гиперболыг тэгшитгэлээр тодорхойлно. Энэхүү гипербол нь координатын өнцгийн биссектрис болох асимптотуудыг агуулдаг.
Гипербол байгуулахтай холбоотой асуудлын жишээ
Жишээ 1
Даалгавар
Гиперболын асимптотуудын тэнхлэг, орой, голомт, хазгай, тэгшитгэлийг ол. Гипербол ба түүний асимптотуудыг байгуул.
Шийдэл
Гиперболын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулъя.
Харьцуулж байна өгөгдсөн тэгшитгэлканоник (1)-ийн тусламжтайгаар бид , , -ийг олно. Оргил, фокус болон . Хачирхалтай байдал; асптотууд; Бид параболыг барьж байна. (3-р зургийг үз)
Гиперболын тэгшитгэлийг бичнэ үү.
Шийдэл
Асимптот тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичснээр бид гиперболын хагас тэнхлэгийн харьцааг олно. Асуудлын нөхцлийн дагуу үүнийг дагадаг. Тиймээс асуудлыг тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжүүлэв.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
хаана. Одоо бид оллоо.
Тиймээс гипербол нь дараах тэгшитгэлтэй байна.
Хариулах
.Гипербола ба түүний каноник тэгшитгэлшинэчлэгдсэн: 2017 оны 6-р сарын 17-нд: Шинжлэх ухааны нийтлэл.Ru
Тодорхойлолт 7.2.Хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол байх хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлалыг гэнэ. гипербол.
Тайлбар 7.2.Зайны ялгааны талаар ярихад энэ нь үүнийг хэлнэ илүү их зайбага нь хасагдана. Энэ нь үнэн хэрэгтээ гиперболын хувьд түүний аль нэг цэгээс хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны зөрүүний модуль тогтмол байна гэсэн үг юм. #
Гиперболын тодорхойлолт нь тодорхойлолттой төстэй юм эллипс. Тэдгээрийн цорын ганц ялгаа нь гиперболын хувьд тогтмол цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол, эллипсийн хувьд ижил зайны нийлбэр юм. Тиймээс эдгээр муруйнууд нь шинж чанар болон ашигласан нэр томъёоны хувьд нийтлэг зүйлтэй байх нь зүйн хэрэг юм.
Гиперболын тодорхойлолт дахь тогтмол цэгүүдийг (тэдгээрийг F 1 ба F 2 гэж тэмдэглэе) гэж нэрлэдэг. гиперболын заль мэх. Тэдний хоорондох зайг (үүнийг 2c гэж нэрлэе) гэж нэрлэдэг фокусын урт, ба гиперболын дурын M цэгийг голомтууд нь холбосон F 1 M ба F 2 M хэрчмүүд байна. фокусын радиус.
Гиперболын төрлийг фокусын уртаар бүрэн тодорхойлно |F 1 F 2 | = 2c ба тогтмол 2a-ийн утга, тэнцүү зөрүүфокусын радиус ба түүний хавтгай дээрх байрлал - F 1 ба F 2 фокусын байрлал.
Гиперболын тодорхойлолтоос харахад энэ нь зуйван шиг голомтоор дайран өнгөрч буй шугам, түүнчлэн F 1 F 2 сегментийг хагасаар хувааж, перпендикуляр шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна. (Зураг 7.7). Эдгээр тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн эхнийх нь гэж нэрлэгддэг гиперболын бодит тэнхлэг, хоёр дахь нь - түүнийх төсөөллийн тэнхлэг. Тогтмол үнэ цэнэба гиперболыг тодорхойлоход оролцохыг нэрлэдэг гиперболын бодит хагас тэнхлэг.
Гиперболын голомтуудыг холбосон F 1 F 2 сегментийн дунд цэг нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн огтлолцол дээр байрладаг тул гиперболын тэгш хэмийн төв бөгөөд үүнийг энгийнээр нэрлэдэг. гиперболын төв.
Гиперболын хувьд бодит тэнхлэг 2а нь фокусын зай 2c-ээс ихгүй байх ёстой, учир нь F 1 MF 2 гурвалжны хувьд (7.7-р зургийг үз) тэгш бус байдал ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. a = c тэгш байдал нь зөвхөн M цэг дээр байрладаг бодит тэнхлэг F 1 F 2 интервалын гаднах гиперболын тэгш хэм. Энэ доройтсон хэргийг хэрэгсэхгүй болгосноор бид цаашид a
Гиперболын тэгшитгэл. F 1 ба F 2 цэгүүд ба бодит тэнхлэг 2a дээр голомттой хавтгай дээрх тодорхой гиперболыг авч үзье. 2c нь фокусын урт, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Тайлбар 7.2-д зааснаар гипербол нь M(x; y) цэгүүдээс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн хувьд | |F 1 M| - - |F 2 М| | = 2a. Сонгоцгооё тэгш өнцөгт координатын системГиперболын төв нь байхаар окси гарал үүсэл, мөн дээр төвлөрч байсан x тэнхлэг(Зураг 7.8). Харж байгаа гиперболын ийм координатын системийг нэрлэнэ каноник, мөн харгалзах хувьсагчид байна каноник.
Каноник координатын системд гиперболын голомтууд байдаг координатууд F 1 (c; 0) ба F 2 (-c; 0). Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан ||F 1 M| нөхцөлийг бичнэ - |F 2 M|| = 2a координатаар |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a, энд (x; y) нь M цэгийн координатууд. Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд модулийн тэмдгээс салцгаая: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a, хоёр дахь радикалыг шилжүүлнэ баруун талдөрвөлжин: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + y 2) + 4a 2. Хялбаршуулсаны дараа бид -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2) буюу
√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)
Энд ε = s/a. Хоёр дахь удаагаа дөрвөлжин болгоод дахин авчиръя ижил төстэй гишүүд: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2, эсвэл ε = c/a тэгшитгэлийг харгалзан b 2 = c 2 - a 2 гэж үзвэл,
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7.8)
b > 0 утгыг дуудна гиперболын төсөөллийн хагас тэнхлэг.
Тиймээс бид F 1 (c; 0) ба F 2 (-c; 0) фокусууд ба бодит хагас тэнхлэг бүхий гиперболын аль ч цэг (7.8) тэгшитгэлийг хангадаг болохыг бид тогтоосон. Гэхдээ гиперболын гаднах цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангахгүй байгааг харуулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид өгөгдсөн F 1 ба F 2 голомт бүхий бүх гиперболын гэр бүлийг авч үзье. Гиперболын энэ гэр бүл нь нийтлэг тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байдаг. Геометрийн үүднээс авч үзвэл хавтгайн цэг бүр (F1F2 интервалаас гадна тэгш хэмийн бодит тэнхлэг дээр байрлах цэгүүд ба тэгш хэмийн төсөөллийн тэнхлэг дээр байрлах цэгүүдээс бусад) гэр бүлийн зарим гиперболд хамаарах бөгөөд зөвхөн нэг, цэгээс F 1 ба F 2 голомт хүртэлх зайны зөрүү нь гиперболоос гипербол болж өөрчлөгддөг тул. M(x; y) цэгийн координатууд (7.8) тэгшитгэлийг хангаж, цэг өөрөө бодит хагас тэнхлэгийн ямар нэг ã утгатай гэр бүлийн гиперболд хамаарагдана. Дараа нь бидний нотолж байгаагаар түүний координатууд тэгшитгэлийг хангаж байна 
Үүний үр дүнд хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем
дор хаяж нэг шийдэлтэй. Шууд баталгаажуулалтаар бид ã ≠ a-ийн хувьд энэ боломжгүй гэдэгт итгэлтэй байна. Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, x-г эхний тэгшитгэлээс хасвал:
хувиргасны дараа бид тэгшитгэлийг авна
ã ≠ a-д шийдэл байхгүй, учир нь . Тэгэхээр (7.8) нь бодит хагас тэнхлэг a > 0, төсөөлөлтэй хагас тэнхлэгтэй b = √(c 2 - a 2) > 0 гиперболын тэгшитгэл юм. Үүнийг гэнэ. каноник гиперболын тэгшитгэл.
Гиперболын нэг төрөл.Түүний хэлбэрийн хувьд гипербола (7.8) нь эллипсээс эрс ялгаатай. Гиперболд хоёр тэгш хэмийн тэнхлэг байгаа эсэхийг харгалзан үзвэл түүний каноник координатын системийн эхний улиралд байрлах хэсгийг байгуулахад хангалттай. Эхний улиралд, i.e. x ≥ 0, y ≥ 0-ийн хувьд каноник гиперболын тэгшитгэл y-тэй холбоотой цорын ганц шийдэгдэнэ:
y = b/a √(x 2 - a 2). (7.9)
Энэ y(x) функцийг судалснаар дараах үр дүн гарна.
Функцийн тодорхойлолтын муж нь (x: x ≥ a) бөгөөд энэ тодорхойлолтын мужид дараах байдлаар тасралтгүй байна. нарийн төвөгтэй функц, мөн x = a цэг дээр баруун талдаа тасралтгүй байна. Функцийн цорын ганц тэг нь x = a цэг юм.
y(x) функцийн деривативыг олъё: y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). Эндээс x > a функцийн хувьд монотон өсдөг гэж дүгнэж байна. Үүнээс гадна, 
, энэ нь функцийн графикийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох х = a цэг дээр босоо шүргэгч байна гэсэн үг. y(x) функц нь x > a хувьд хоёрдахь дериватив y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 байх ба энэ дериватив сөрөг байна. Иймд функцийн график дээшээ гүдгэр, тэнд гулзайлтын цэг байхгүй.
Заасан функц нь байна ташуу асимптот, энэ нь хоёр хязгаарлалт байдгаас үүдэлтэй:
Налуу асимптотыг y = (b/a)x тэгшитгэлээр тодорхойлно.
Функцийг судлах (7.9) нь түүний графикийг (Зураг 7.9) байгуулах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь эхний улиралд агуулагдах гиперболын (7.8) хэсэгтэй давхцдаг.
Гипербола нь тэнхлэгийнхээ дагуу тэгш хэмтэй байдаг тул муруй бүхэлдээ Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 7.10. Гипербола нь өөр өөр газарт байрлах тэгш хэмтэй хоёр мөчрөөс бүрдэнэ
түүний төсөөллийн тэгш хэмийн тэнхлэгээс талууд. Эдгээр салбарууд нь хоёр талдаа хязгаарлагдахгүй бөгөөд y = ±(b/a)x шулуун шугамууд нь гиперболын баруун ба зүүн мөчрүүдийн нэгэн зэрэг асимптотууд юм.
Гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь бодит тэнхлэгүүд гиперболыг огтолж байгаагаараа ялгаатай байдаг бол төсөөллийн тэнхлэгүүд нь голомтоос ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал учраас огтлолцдоггүй (тийм учраас үүнийг төсөөлөл гэж нэрлэдэг). Бодит тэгш хэмийн тэнхлэгийн гиперболтой огтлолцох хоёр цэгийг гиперболын орой гэж нэрлэдэг (Зураг 7.10-ын A(a; 0) ба B(-a; 0) цэгүүд).
Бодит (2а) ба төсөөллийн (2b) тэнхлэгүүдийн дагуу гиперболыг барих нь эх үүсвэрийн төвтэй тэгш өнцөгт, 2a ба 2b талууд нь гиперболын тэгш хэмийн бодит ба төсөөллийн тэнхлэгүүдтэй параллель байх ёстой. Зураг 7.11). Гиперболын асимптотууд нь энэ тэгш өнцөгтийн диагональуудын үргэлжлэл бөгөөд гиперболын оройнууд нь тэгш хэмийн бодит тэнхлэгтэй тэгш өнцөгтийн талуудын огтлолцох цэгүүд юм. Тэгш өнцөгт ба түүний хавтгай дээрх байрлал нь гиперболын хэлбэр, байрлалыг онцгойлон тодорхойлдог болохыг анхаарна уу. Тэгш өнцөгтийн талуудын харьцаа b/a нь гиперболын шахалтын зэргийг тодорхойлдог боловч энэ параметрийн оронд гиперболын хазгай байдлыг ихэвчлэн ашигладаг. Гиперболын хазгай байдалтүүний фокусын уртыг бодит тэнхлэгт харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг. Хачирхалтай байдлыг ε гэж тэмдэглэнэ. (7.8) тэгшитгэлээр тодорхойлсон гиперболын хувьд ε = c/a. гэдгийг анхаарна уу эллипсийн хазгайхагас интервалаас утгыг авч болно)
