10. ТОЙРОГНЫ МУРАЙЛАЛ

Тойрог нь жигд муруйдаг тул хамгийн энгийн муруй шугам юм.

R радиустай тойргийн дагуух М цэгийн хөдөлгөөнийг авч үзье (Зураг 15). M 1 ба M 2 цэгийн M хоёр байрлал дахь шүргэгчийн хоорондох Δτ өнцөг нь төв юм

OM 1 ба OM 2 радиусуудын хооронд ny өнцөг M 1 OM 2 байх тул Δτ = R S радианууд.

Δτ S= R S= R1 .

S → 0 гэж үзвэл тойргийн муруйлт нь тэнцүү гэж хэлж болно харилцанбүх цэгийн радиус: k = R 1.

A 1 цэг дээрх муруйлт (Зураг 16).

11. ХОЁРДУГААР ЗЭРГИЙН МҮРГЭН ШУГАМ

Одоогийн координатын хувьд хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн алгебрийн муруйг хоёрдугаар эрэмбийн муруй гэнэ.

Хоёр хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Энэ нь тэгшитгэлийг тодорхойлдог эллипс төрөл– эллипс эсвэл (тодорхой тохиолдолд) тойрог.

Хэрэв бид A = 1 a 2 гэж үзвэл

тэгшитгэл

муруйг тодорхойлдог гиперболын төрөл– гипербол буюу огтлолцсон хос шугам.

Хэрэв бид A = 0,B = 0,C = 1,D = − P,E = 0,F = 0 гэж тавьбал тэгшитгэл гарна.

y2 = 2 Px,

муруйг тодорхойлох параболик төрөл– парабол, хос зэрэгцээ шугам (тодорхой тохиолдолд давхцах) эсвэл төсөөллийн цэгүүдийн багц.

Ингээд авч үзье илүү олон өмчхоёр дахь эрэмбийн муруй.

11.1. ЭЛЛИПС

Зууван гэж нэрлэдэгБитүү хавтгай муруй шугам, тэдгээрийн цэг бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг (фокус) хүртэлх зайны нийлбэр нь голомтуудын хоорондох зайнаас их тогтмол утга юм.

Хавтгайд F A ба F B (фокус) гэсэн хоёр цэгийг бие биенээсээ 2c зайд өгье (Зураг 17).

Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол хавтгайн ямар ч Е цэг нь эллипст хамаарна

EF A +EF B = 2a,

хаана 2а - өгөгдсөн урт(зуувангийн гол тэнхлэгийн хэмжээ). Хэрэв F A ба F B голомтууд давхцаж байвал

EFA = EFB = a.

Үр дүн нь нэг цэгээс ижил зайд байгаа цэгүүдийн багц, өөрөөр хэлбэл тойрог ( хувийн үзэмжэллипс).

Эллипсийн каноник тэгшитгэл:

AB ба CD сегментүүдийг холбодог эсрэг талын оройнууд 2a ба 2b-тэй тэнцүү эллипсүүдийг тус тус дуудна гол ба бага тэнхлэгүүдэллипс.

Тойрог нь тогтмол муруйлтын радиустай хавтгай муруй юм. Тэдгээр. Тойргийн радиус нь тойргийн муруйлтын радиус юм.

R env = ρ (542.2)

Бид тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг доороос авч үзэх болно.

Нуман муруйлт

Аливаа нум нь тойргийн нэг хэсэг юм. Үүний дагуу нумын радиус радиустай тэнцүү байнатойрог:

Зураг 542.1. Arc - тойргийн хэсэг

Зураг 542.1-д бид нумыг харж байна AB, харуулав улбар шар, энэ нь радиустай тойргийн нэг хэсэг юм Р . Түүнээс гадна бид өнцгийг харж байна α , цэгүүдэд радиусаар үүсгэгддэг АТэгээд IN, өнцөгтэй тэнцүүшүргэгч хоорондын (зөвлөсөн нил ягаан) эдгээр цэгүүдийн тойрог руу.

Эдгээр загварууд нь анхандаа тойрог харагдахгүй, зөвхөн нуман хэлбэртэй байсан ч нумын радиусыг тодорхойлж, тойргийн төвийг олох боломжтой болгодог.

Нуман муруйлт гэсэн ойлголтыг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Нумын муруйлт нь нумын эхэн ба төгсгөлд зурсан шүргэгч хоорондын өнцгийг нумын урттай харьцуулсан харьцаа юм.

Тэдгээр. нумын уртыг мэдэх м болон өнцөг α Шүргэгчийн хооронд бид нумын муруйлтыг тодорхойлж болно.

k d α/м (542.3)

Нумын урт нь радиусуудын хоорондох өнцөг эсвэл нумын төгсгөлд шүргэгч хоорондын өнцөгөөс хамаардаг тул:

м= Р α (542.4)

Дараа нь нумын уртын утгыг тэгшитгэлд (542.3) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

k d α/м = α /Р α = 1/R (542.1.2)

Анхаарна уу: Шүргэгчийн хоорондох өнцгийг радианаар биш градусаар хэмжихдээ нумын уртын тэгшитгэл өөр хэлбэртэй байна.

м = ПР α /180 (542.4.1)

гэхдээ энэ нь асуудлын мөн чанарыг өөрчлөхгүй. Энэ тэмдэглэгээ нь бид тойргийн нэг хэсгийг харж байна гэсэн үг юм. Тэгэхээр хэзээ α = 360° нум нь тойрог болж хувирна

м = П R360/180 = 2 П R = л env. (542.4.2)

Түүгээр ч барахгүй радиануудын тухай санаа нь зөв өнцгөөс хамаарч энэ томъёонд суурилдаг 90 ° = П/2 , өргөтгөсөн 180 ° =П гэх мэт.

Бас нэг зүйл сонирхолтой өмчнумууд: Хэрэв та цэгүүдийг холбосон бол АТэгээд INшулуун шугам, дараа нь энэ шугам ба шүргэгч хоорондын өнцөг тэнцүү байх болно α /2 , шулуун шугам нь өөрөө цэгүүдийн хоорондох зай юм АТэгээд IN. Хэрэв нумыг хавтгайд зөв байрлуулсан бол жишээлбэл 542.2-р зурагт үзүүлсэн шиг:

Зураг 542.2. Гарал үүслийн нум.

тэгвэл цэгүүдийн хоорондох зай нь проекц болно л тэнхлэг тус бүрт нумууд X . Мөн нум ба тэнхлэгийн хоорондох хамгийн их зай X - энэ бол нуман сум юм h .

Шулуун шугамын муруйлтын радиус

Аливаа шулуун шугамыг, тэр ч байтугай хязгааргүй уртыг тойргийн хязгааргүй жижиг хэсэг гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл. нум шиг. Үүний дагуу ийм тойргийн радиусыг ямар нэгжээр хэмжихийг төсөөлөхөд хэцүү байдаг.

Тиймээс шулуун шугамыг ихэвчлэн хязгааргүй муруй гэж нэрлэдэг том радиус:

ρ p.l. = ∞ (542.5)

k p.l = 1/∞ = 0 (542.6)

Шулуун шугам ба тойрогт ижил төстэй хандлагууд гарч ирдэг шийдэгдээгүй парадоксыг би "Геометрийн үндэс, тав дахь элементийн тодорхойлолт" өгүүлэлд дурдсан. Энд би зүгээр л та шулуун шугамаар зурж болно гэдгийг нэмж хэлье хязгааргүй олонлогхавтгай ба эдгээр хавтгайн аль нэгэнд шулуун шугамын муруйлтын радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү байх болно. Энэ тохиолдолд тойрог дундуур хоёрыг харилцан зурах боломжтой перпендикуляр хавтгайнууд, тэдгээрийн аль нэгэнд нь тойрог нь тойрог, нөгөө нь - төгсгөлтэй урттай шулуун шугам байх болно. Тийм ч учраас

аль нэг хавтгайд хязгааргүй том муруйлтын радиустай бүх шугамыг хавтгай гэж үзнэ

Эхлэгчдэд энэ удаад муруйлт ба радиусын тодорхойлолттой холбоотой хэд хэдэн парадокс байна:

1. (542.1) тэгшитгэлээс бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

к х = 1 (542.7)

Үүний дагуу шулуун шугамын хувьд:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Тэдгээр. Хэрэв бид тэгийг хязгааргүй олон удаа авбал нэгийг нь хусах болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь илүү хөгжилтэй байх болно.

2. Шулуун шугам нь хязгааргүй том радиустай нум бол ийм нумын төгсгөлд татсан шүргэгч шулуун шугамтай давхцаж, шүргэгчийн үүсгэсэн өнцөг нь тэгтэй тэнцүү байна.

Энэ нь нумын төгсгөлд зурсан радиусууд - шулуун шугамууд нь зэрэгцээ шугамууд бөгөөд огтлолцож чадахгүй гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ, тодорхойлолтоор бол эдгээр нь тойргийн төв болох хэзээ нэгэн цагт заавал нэгдэх ёстой радиусууд юм.

Зэрэгцээ шугамууд огтлолцох ёсгүй, гэхдээ хаа нэгтээ хязгааргүй огтлолцсон хэвээр байна.

Олон математикчид энэ парадоксыг шийдвэрлэх гэж оролдсон боловч Евклидийн геометрийн хүрээнд хүлээн зөвшөөрөгдсөн тайлбартодорхойлолтууд энэ парадоксБид зөвшөөрөхгүй.

Иймэрхүү зүйлс.

Нэг цэгийн муруйлтын радиус

Цэг бол геометрийн хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн төвөгтэй элемент юм. Зарим нь цэгийг хэмжээсгүй гэж үздэг тул цэгийн муруйлт эсвэл муруйлтын радиусыг тодорхойлох боломжгүй байдаг. Бусад хүмүүс, ялангуяа Евклид цэг нь ямар ч хэсэггүй гэж үздэг бөгөөд цэгийн хэмжээсүүд нь бүрэн тодорхой бус байдаг. Цэг нь геометрийн анхдагч, хуваагдашгүй элемент бөгөөд авч үзэж буй бусад элементүүдтэй харьцуулахад хэмжээсүүд нь үл тоомсорлодог гэдэгт би итгэдэг. Энэ тохиолдолд оноо хүчинтэй байх болно дараах тэгшитгэлүүдмуруйлт ба муруйлтын радиус:

ρ t. = 0 (542.8)

k t = 1/0 = ∞ (542.9)

Сургуулийн эхний жилээс л биднийг 0-д хуваах боломжгүй, бүр үүнийг бүрдүүлсэн гэж заасан байдаг. үйлдлийн системТооцоологч нь "тэгээр хуваах боломжгүй" гэж бичдэг, гэхдээ тэгээр хуваах боломжтой бөгөөд хуваалтын үр дүн үргэлж хязгааргүй байх болно.

Шулуун шугамын нэгэн адил бид (542.5.2) томъёогоор илэрхийлсэн парадоксик үр дүнтэй байна. Гэсэн хэдий ч цэгийг тогтмол муруйлтын радиустай хавтгай муруй гэж ангилж болно.

Анхаарна уу: Миний бодлоор дээр дурдсан парадоксуудын ихэнх нь "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг буруу тайлбарласнаас үүдэлтэй. Ямар нэгэн зүйл шиг хязгааргүй байдал үнэмлэхүй үнэ цэнэхязгааргүй тул ямар ч байдлаар хэмжих боломжгүй. Түүгээр ч барахгүй, хязгааргүй байдал нь бүр тогтмол биш, харин хувьсах хэмжигдэхүүн. Жишээлбэл, туяа нь тодорхой цэгээс эхлэлтэй шулуун шугам юм. Цацрагийн урт нь хязгааргүй том байж болно. Түүгээр ч барахгүй шулуун шугам нь төгсгөлгүй урт байж болох бөгөөд эхлэл ч, төгсгөл ч байдаггүй. Нэг талаараа хязгааргүй урт туяа нь хязгааргүй урт шулуун шугамаас 2 дахин богино юм шиг харагдаж байна. Нөгөө талаас, тэдгээрийн урт нь хязгааргүй тул тэнцүү байна.

Энэ байдлаас гарах гарц бол "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг харьцангуй гэж хүлээн зөвшөөрөх явдал юм. Жишээлбэл, шулуун шугамын муруйлт нь муруйлтын радиустай харьцуулахад маш бага байдаг. Эсвэл шулуун шугамын муруйлтын радиус нь муруйлттай зүйрлэшгүй их байдаг. Үүнтэй төстэй тайлбарууд нь шулуун шугамын муруйлт, зарим нь байхыг зөвшөөрдөг эцсийн үнэ цэнэшулуун шугамын муруйлтын радиус ба бусад. Асуудлыг бодитойгоор авч үзэх энэхүү харилцааны арга барил, ашигладаг арга барилыг би гэж нэрлэх болно үнэмлэхүй ойлголтууд- идеал болгосон. Гэсэн хэдий ч шууд харилцааЭнэ нь энэ нийтлэлийн сэдэвтэй ямар ч холбоогүй юм. Хавтгай муруйг үргэлжлүүлэн авч үзье.

Тойрог ба шулуун шугам хоёулаа тогтмол муруй радиустай хавтгай муруй юм. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын муруйлтын радиус нь үргэлж мэдэгддэг, учир нь энэ нь хязгааргүйтэй тэнцүү бөгөөд тойргийн хувьд та Пифагорын теоремыг ашиглан радиусыг үргэлж тодорхойлж болно. Тиймээс, тодорхой тохиолдолд тойргийн төв нь авч үзэж буй хавтгайн координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал (u = 0; v = 0 - тойргийн төвийн координат), дараа нь:

Зураг 541.4. Тойргийн радиус нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузтай адил юм.

Тэгээд дотор ерөнхий тохиолдол, тойргийн төвийн координатууд нь гарал үүсэлтэй давхцахгүй байх үед:

Зураг 542.3. Төв нь гарал үүсэлтэй давхцдаггүй тойрог.

R 2 = (x - u) 2 + (y - v) 2 (542.10)

Гэхдээ амьдралд ихэвчлэн муруйлт радиус нь тийм биш муруйтай тулгардаг тогтмол. Түүнээс гадна энэ радиус нь хэмжилтийн хоёр хавтгайд өөр өөр байж болно. Гэсэн хэдий ч бид геометр, алгебрийн талаар одоог хүртэл гүнзгийрээгүй бөгөөд тодорхой цэг дээр хавтгай муруйны радиусыг хэрхэн тодорхойлох талаар цаашид авч үзэх болно.

Янз бүрийн муруйлтын радиустай хавтгай муруй

Гипербол, парабол, синусоид гэх мэт янз бүрийн радиустай хавтгай муруйнуудын олон жишээ байдаг. Ийм муруйн муруйлтын радиусыг тодорхойлох нь дараахь онолын үндэслэл дээр суурилдаг.

1. Аливаа тойргийг нумын багц гэж үзэж болно.

2. Тойрог бүрдүүлж буй нумын тоо хязгааргүй байх хандлагатай бол, үүний дагуу ийм нумын урт тэг болох хандлагатай байна (m → 0).

3. Хэрэв бид маш богино нумын уртыг тойргийн функцын өсөлт гэж тэмдэглэвэл ( м = Δ л), тэгвэл муруйлтын тэгшитгэл (542.3) дараах хэлбэрийг авна.

(542.3.1)

4. Тэгвэл өөрчлөгдөж буй радиустай аливаа хавтгай муруйг хязгааргүйд чиглэсэн тогтмол радиустай нумуудын багц гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл дүрсэлсэн ямар ч муруй дотор параметрийн тэгшитгэл, та нумыг маш богино урттай, нэг цэг рүү чиглүүлсэн ч гэсэн үргэлж сонгож, тухайн цэгийн муруйлт болон муруйлтын радиусыг тодорхойлж болно.

Энэ нь ийм тохиолдолд муруйлтын радиусыг тодорхойлох хамгийн зөв арга бол ашиглах явдал юм гэсэн үг юм дифференциал тооцоо. Ерөнхийдөө үүнийг хийхийн тулд та тойргийн радиусын тэгшитгэлийг (542.10) функцийн аргументаас хоёр удаа ялгах хэрэгтэй. X дараа нь гаргаж авна квадрат язгууролж авсан үр дүнгээс. Үүний үр дүнд ( бүрэн гаралтБи энд тэгшитгэлийг танилцуулахгүй, учир нь нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдсэнбүртгэл, ялангуяа сонирхсон хүмүүст лавлах болон бусад сайтууд байдаг) бид хүлээн авах болно дараах томъёомуруйлтын радиусыг тодорхойлохын тулд:

(542.11)

Үүний дагуу авч үзэж буй цэг дээрх хавтгай муруйны муруйлт нь дараахтай тэнцүү байна.

(542.12)

Тодорхой тохиолдолд, шүргэгч хоорондын өнцгийн тангенс - функцын эхний дериватив нь харьцангуй бага утгатай байх үед, жишээлбэл, tan2 ° = 0.035, тус тус (tg2 °) 2 = 0.0012, дараа нь нөлөө Эхний деривативын нийлбэр ба муруйлтын нэгдлийн кубыг үл тоомсорлож болно (хүлээгчийн утгын бутархайг нэг болгон бууруулсан) дараа нь:

k = y" = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Тэдгээр. Албан ёсоор ийм тохиолдолд муруйлтыг шүргэгч хоорондын налуу өнцгийн нумын урттай харьцуулсан харьцаа гэж тооцдоггүй, харин өндөрт тохирсон тодорхой утгыг тооцдог. h Зураг 542.2.

Хоёрдахь деривативын энэ шинж чанарыг маш идэвхтэй ашигладаг, ялангуяа барилгын бүтцийн элементүүдийн хазайлтыг тодорхойлоход хялбаршуулдаг.

Ажлын зорилго: гэрлийн интерференцийн үзэгдэлтэй танилцах, Ньютоны интерференцийн цагиргийг ашиглан линзний муруйлтын радиусыг тодорхойлох.

Тоног төхөөрөмж: микроскоп, гэрэлтүүлэгч, линз.

ОНОЛЫН ТАНИЛЦУУЛГА

Интерференц гэдэг нь хэлбэлзэл олшрох, сулрах талбарууд гарч ирэх когерент долгион нэмэгдэх үзэгдэл юм. Хөндлөнгийн үед энерги нь сулрах бүсээс олшруулалтын бүс рүү дахин хуваарилагдана. Энэ тохиолдолд харанхуй, цайвар судлууд дэлгэц дээр гарч ирнэ. Тогтвортой интерференцийн хэв маягийг зөвхөн когерент долгион нэмэх үед л ажиглаж болно. Эдгээр нь ажиглалтын цэг дээр фазын зөрүү тогтмол хэвээр байгаа долгионууд бөгөөд хөндлөн гэрлийн долгионы хувьд долгионы гэрлийн векторуудын хэлбэлзлийн чиглэлүүд зэрэгцээ байх ёстой.

Хоёр гэрлийн чийдэн зэрэг уялдаа холбоогүй эх үүсвэрийн гэрэл нь тогтмол интерференцийн хэв маягийг үүсгэдэггүй. Хэзээ нэгэн цагт долгионы хоёр галт тэрэг гарч ирсэн ч гэсэн өөр өөр атомууд, бие биенээ бэхжүүлж, дараа нь ойролцоогоор 10 -8 секундын дараа бусад хүмүүсээр солигдож, бие биенээ сулруулж болно. Үүний үр дүнд дэлгэц дээрх гэрлийн эрч хүч хурдан бөгөөд эмх замбараагүй өөрчлөгдөж, нүд нь ойлголтын инерцийн улмаас жигд гэрэлтүүлгийг ажигладаг.

Гэрлийн цацрагийг тусгал эсвэл хугарлын аргаар хоёр цацрагт хуваах замаар когерент долгион үүсдэг. Дараа нь тус бүр өөрийн замаар тархаж буй эдгээр долгионууд дахин уулзаж, саад болно. Когерент долгионы хэлбэлзлийг нэмэгдүүлэх нөхцөл нь ажиглалтын цэг дээрх гэрлийн векторуудын хэлбэлзлийн чиглэлүүдийн давхцал юм. Хэрэв хэлбэлзлийн фазын зөрүү 2-ын үржвэр бол энэ нь тохиолдох болно храдиан: Д j = 2кп.Хэрэв гэрлийн векторуудын хэлбэлзлийн чиглэлүүд эсрэгээрээ, фазын зөрүү нь сондгой тооны p радиантай үржвэр байвал хэлбэлзлийн хамгийн их сулрал болно: D j = ( 2k+ 1)х.Энд руу– бүхэл тоо, ихэвчлэн төгс бус монохромат гэрлийн хувьд жижиг, руу= 0,1,2,3 гэх мэт.

Сансар огторгуйн аль нэг цэгт хоёр уулзацгаая когерент долгионууд, тэгшитгэлүүд нь хэлбэртэй байна

Энд w– мөчлөгийн давтамж, хоёр долгионы хувьд адилхан. Косинусын аргументыг хэлбэлзлийн үе шат гэж нэрлэдэг. Өөр өөр зайг туулсан хоёр долгионы хэлбэлзлийн фазын ялгаа л 1 ба л 2 инч өөр өөр орчинөөр өөр долгионы урттай л 1 ба л 2 нь тэнцүү байх болно: . Интерференцийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд янз бүрийн орчинд гэрэл ижил хурдаар тархдаг гэж үздэг. тэнцүү хурдвакуум дахь гэрэл: -тай=3 10 8 м/с. Гэхдээ ажиглалтын цэг дэх тархалтын хугацаа, үе шат өөрчлөгдөхгүйн тулд түүний замыг удаа дараа нэмэгдүүлдэг. Энд В- орчин дахь гэрлийн хурд. Энэ бол төсөөллийн зай юм бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнахугарлын илтгэгчийн геометрийн замыг оптик зам гэж нэрлэдэг L = ln.Үүний дагуу ижил давтамжтай гэж үздэг nдолгионы урт дахин нэмэгдсэн λ = λ 1 n 1 = λ 2 n 2 ба вакуум дахь долгионы урттай тэнцүү болсон.

Долгионы фазын зөрүүний тэгшитгэл (1)-д интерференцийн үед долгионы олшрох, сулрах нөхцөлийг орлуулж, хэрэв ялгаа байвал долгионууд бие биенээ нэмэгдүүлнэ. оптик замуудтэгш тооны хагас долгионы уртын үржвэр бөгөөд хэрэв энэ нь сондгой тооны хагас долгионы урттай тэнцүү бол суларна.

хамгийн их: л 2 n 2 –л 1 n 1 = kl(2), мин: л 2 n 2 - л 1 n 1 = ( 2k + 1)л/ 2. (3)

Оптик зам нь гэрлийн тусгалын нөхцлөөс хамаарна. Хэрэв гэрэл нь оптик нягтралтай орчноос туссан бол, хамт том үзүүлэлтхугарал, дараа нь туссан долгионд фаз өөрчлөгдөнө храдиан. Энэ нь энэ цацрагийн оптик зам долгионы уртын хагасаар нэмэгдсэнтэй тохирч байна. л/2.

Ингээд авч үзье онцгой тохиолдолхөндлөнгийн үзэгдлүүд - Ньютоны цагираг үүсэх. Интерференцийн цагиргийг ажиглахын тулд хавтгай-гүдгэр линз том радиусШилэн хавтан дээр гүдгэр талыг нь байрлуулсан гадаргуугийн муруйлт нь зэрэгцээ гэрлийн туяагаар гэрэлтдэг. Агаарын шаантагны гадаргуугаас гэрэл тусах үед 1 ба 2-р уялдаа холбоотой туяа үүсдэг. доод гадаргуулинз ба шилэн хавтан (Зураг 1).

1 ба 2-р ойсон цацрагуудын зам дахь оптик ялгаа нь 2-р цацрагийг цэг дээр 1-р цацрагт хуваасны дараа үүсдэг. А, зайг хоёр удаа туулдаг глинз ба хавтангийн хооронд байх ба хавтангаас тусгахад долгионы уртыг хагас алддаг. Хагалах цэгээс 1 замыг туяа Аурд тал руу ABтэгтэй тэнцүү. Оптик замын ялгаа нь тэнцүү байх болно

. (4)

Хэрэв оптик замын ялгаа нь хамгийн бага нөхцлийг хангаж байвал агаарын ялгаа ижил зузаантай бүх цэгүүдэд хамгийн бага гэрэлтүүлэг байх бөгөөд эдгээр цэгүүд нь харанхуй цагираг үүсгэдэг. IN монохромат гэрэлхөндлөнгийн загвар нь харанхуй, цайвар цагираг шиг харагдах бөгөөд цагаан өнгөтэй - цахилдаг. Бөгжний төв хэсэгт харанхуй толбо байх болно, учир нь энд завсарын зузаан тэг болж, оптик замын ялгаа D байна. Л® л/ 2, энэ нь хамгийн бага нөхцөлтэй тохирч байна. Бид ойсон туяа (4)-ийн оптик замын зөрүүг хамгийн бага нөхцөлтэй тэнцүүлэх замаар агаарын цоорхойны зузааныг, жишээлбэл харанхуй цагирагуудыг тодорхойлно. , хаана.

Бид цагиргуудын радиусын томъёог олж авдаг. Гурвалжны Пифагорын теоремын дагуу OAS(Зураг 1) r 2 = Р 2 – (R-d) 2 = 2Rd+d 2. Цоорхой нь маш их зузаантай тул радиусаас багалинзний муруйлт ,d<< R, дараа нь жижиг утгыг үл тоомсорлодог г 2, бид авдаг r 2 @ 2Rd,эсвэл . Энд харанхуй цагиргуудын цоорхойн зузааныг орлуулж, гэрэл туссан харанхуй цагирагуудын радиусын томъёог олж авна.

. (5)

Энэ тэгшитгэлийг линзний мэдэгдэж буй муруйлтын радиусаас долгионы урт, эсвэл эсрэгээр нь мэдэгдэж буй долгионы уртаас линзний муруйлтын радиусыг хэмжихэд ашиглаж болно.

Ньютоны цагирагуудын туршилтын ажиглалтыг микроскоп ашиглан хийдэг. Гэрэлтүүлгийн чийдэнгийн гэрлийн хэвтээ туяа яг 45 градусын өнцөгт байрлах хуваах хавтан дээр унадаг. Гэрлийн урсгалын нэг хэсэг нь линз-шилэн хавтангийн системд тусч, агаарын цоорхойноос ойж, микроскопоор дамжуулан ажиглагчийн нүд рүү ордог. Улаан гэрлийг хуваах хавтан нь мөн гэрлийн шүүлтүүр юм. λ = 0.67 мкм. Ажиглагдсан цагирагуудын радиусыг жижиг хэсгүүдэд хуваах масштабаар хэмжиж, микроскопын 0.041 мм/хуваа өсгөх коэффициентоор үржүүлж жинхэнэ утга руу нь бууруулна.

АЖЛЫГ ХИЙЖ БАЙНА

1. Гэрэлтүүлгийн трансформаторыг 220 В-ын сүлжээнд холбон, нүдний шилийг хөдөлгөж, масштабыг төвлөрүүл. Линз эзэмшигчийг микроскопын тайзан дээр байрлуулна. Хавчаарыг хөдөлгөхөд та линзний доор байгаа цаасны бүдгэрсэн дүрсийг олж болно. Цаасан ширхэгт анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд микроскопын хоолойг хөдөлгө.

2. Микроскопын тайзны дагуу линзтэй эзэмшигчийг жигд хөдөлгөж, Ньютоны цагирагуудын зургийг аваарай. Нэмэлт анхаарал. Ньютоны цагиргуудын төвийг масштабын дээрх загалмайн ойролцоо байрлуул.

3. Диаметрийг хэмжих Дмасштабын жижиг хэсгүүдэд дор хаяж таван харанхуй цагираг. Бөгжний баруун ба зүүн ирмэгийн координатын зөрүүгээр диаметрийг тодорхойл. D = Y баруун - Y зүүн. Эсвэл цагирагны ирмэгүүдийн хоорондох жижиг хуваагдлын тоог тоол. Үр дүнг хүснэгтэд тэмдэглэ.

Гэрлээ унтраа.

4. Тооцоолол хийх. Бөгжний радиусыг жижиг хэсгүүдэд хуваана r = D/ 2 ба тэдгээрийн утгыг микроскопын томруулах хүчин зүйлээр үржүүлнэ ХАМТ= 0.041 мм/див., тэдгээрийг миллиметр болгон хөрвүүлнэ. Бөгжний радиусуудын квадратыг тодорхойл. Үр дүнг хүснэгтэд тэмдэглэ.

5. Цагирагуудын радиусуудын квадрат нь тэдгээрийн тооноос хамаарах хамаарлыг зур r 2 (Хэнд).Графикийн хэмжээ дор хаяж хагас хуудас байна. Онолын хувьд энэ хамаарал нь шууд пропорциональ байдаг тул цэгүүдийн ойролцоо шулуун шугам зур. r 2 =клР) налуутай lR.

6. График аргаар линзний муруйлтын радиусын дундаж утгыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд туршилтын шугам дээр гипотенуз дээрх шиг тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна (Зураг 3). Оройн координатаар А, Бболон долгионы урт λ = 0.67 мкм нь муруйлтын радиусын дундаж утгыг тодорхойлно

. (6)

7. Радиусын хэмжилтийн санамсаргүй алдааг тооцоол

. (7)

8. Үр дүнг тэмдэглэ R = ± г Р, Р= 0.9. Дүгнэлт хийх.

ТЕСТИЙН АСУУЛТ

1. Гэрлийн долгионы интерференц, уялдаа холбоо гэсэн үзэгдлийг тодорхойлно уу.

2. Интерференцийн үед хэлбэлзэл олшрох, сулрах нөхцөлийг бичнэ үү. Оптик замыг тодорхойлох.

3. Ньютоны цагираг үүсэхийг тайлбарла.

4. Ойсон гэрлийн харанхуй цагирагийн радиусын томъёог гарга.

5. Цагаан гэрлээр гэрэлтүүлэхэд Ньютоны цагираг ямар харагддагийг тайлбарлана уу? Бөгжний дотор болон гадна тал нь ямар өнгөтэй вэ?

6. Хэрэв бөгжний оронд интерференцийн захын хэлбэр нь эллипс шиг харагдаж байвал энэ үзэгдлийн шалтгаан юу байж болох вэ?

Хөндлөнгийн хүрээ тэнцүү зузаантайнимгэн хальсан дээр, өөрөөр хэлбэл. хальсны зузааны тогтмол утгад тохирсон бараан эсвэл цайвар судлууд ( г), хавтангийн тэгш гадаргуу ба линзний гүдгэр бөмбөрцөг гадаргуутай бие биентэйгээ харьцах агаарын зайд ажиглагдаж болно (5-р зургийг үз).

Энэ тохиолдолд агаарын цоорхойн зузаан нь линзний төвөөс ирмэг хүртэл аажмаар нэмэгддэг. Хэвийн (гадаргуутай перпендикуляр) гэрлийн тусгалын үед ижил зузаантай судал нь төвлөрсөн тойрог хэлбэртэй байдаг. Ньютоны цагиргууд.

Хэрэв линз дээр монохромат гэрлийн туяа унах юм бол агаарын цоорхойн дээд ба доод хилээс туссан гэрлийн долгионууд бие биендээ саад болдог.

Дээрх жишээнээс ялгаатай нь гэрлийн долгион нь тухайн цэг дээр тусдаг IN 4-р зурагт үзүүлсэн шиг шилэн агаар биш харин агаарын шилний интерфейсээс λ / 2 нэр томъёонд нэмсэн Л 1 ба томъёо (19) нь эхний хэсэгт дараах хэлбэртэй байна.

∆ = Л 1 -Л 2 = (AB + BC + λ/ 2) - МЭ = 2d + λ /2

Өөрөөр хэлбэл, оптик замын ялгаа нь энэ тохиолдолд агаарын цоорхойн зузаанаас хоёр дахин их байна ( 2d) (агаарын хугарлын илтгэгч n=1).

Үүний үр дүнд бид:

∆ = 2d + λ/2. (23)

Зураг 5. Тохиолдлын схем Зураг 6. Деформацийн тооцоо

Ньютон цагираг линз

Харанхуй цагиргууд нь оптик замын ялгаа нь сондгой тооны хагас долгионтой тэнцүү байх үед үүсдэг (16-г үз):

∆ = 2d + λ /2 = (2м + 1) λ /2, (24)

тэдгээр. цоорхойн зузаантай

г = м λ /2, (25)

Энд m= 0,1,2,3... - бөгжний дугаар.

Харанхуй цагирагийн радиус ( r м) гурвалжингаас тодорхойлогдоно AOC(5-р зургийг үз)

r м 2 = Р 2 - (Р- г,) 2 = 2-р–d 2 , (26)

Хаана Р-линзний муруйлтын радиус. Цагираг гарч ирэх цэг дэх агаарын цоорхойн хэмжээг бага гэж үзвэл (жишээ нь. г «Р) гэж бичиж болно:

r м 2 = 2-р. (27)

Энэ томъёоноос харахад линзний муруйлтын радиусыг Ньютоны цагирагийн радиус болон цагираг гарч ирэх цэг дэх агаарын цоорхойн хэмжээг хэмжих замаар олж болно. Ньютоны цагирагуудын радиусыг хэмжих масштабтай микроскоп ашиглан хэмжиж болно. Цоорхойн хэмжээг хэмжихгүй байхын тулд (Дашрамд дурдахад, үүнийг туршилтаар хэрхэн хийх нь тодорхойгүй байна) та харанхуй цагираг үүсэхэд хөндлөнгийн нөхцөлийг ашиглаж болно (24).

Дараа нь линзний муруйлтын радиусыг Ньютоны цагирагийн радиус, ашигласан гэрлийн долгионы урт, хэмжиж буй цагирагийн тоогоор илэрхийлж болно.

r м 2 = Rmλ (28)

Муруйн радиусыг тодорхойлохын тулд (28) томъёог ашиглах нь алдаа гарахад хүргэж болзошгүй, учир нь линз ба шилэн хавтангийн хүрэлцэх цэг дээр гэрлийн долгионы урттай харьцуулахуйц хэмжээтэй линзний хэв гажилт үүсэх боломжтой тул 5-р зураг (26, 27, 28-р томьёог үзнэ үү) дээр үндэслэсэн дүгнэлтийг ашиглах нь буруу байх болно. .

Агаарын завсарын туршилтаар ажиглагдсан утга нь шилэн хавтан ба линзний хэв гажилтын хэмжээгээр 5-р зурагт авсан онолын утгаас бага байж болно ( δ ) (6-р зургийг үз). Тиймээс бодит туршилтанд (27) томъёонд агаарын завсарын зузаан ( г) агаарын завсарын зузаан ба линз ба шилэн хавтангийн хэв гажилтын нийлбэрийг орлуулах шаардлагатай ( d+δХаранхуй цагираг (24) үүсэх нөхцөл нь зөвхөн цоорхойн зузаанаар тодорхойлогддог гэдгийг харгалзан бид Ньютоны цагирагуудын радиусыг линзний муруйлтын радиустай холбосон дараах томъёог олж авна.

r м 2 = Rmλ + 2Rδ (29)

Ньютоны цагирагийн радиусын оронд түүний диаметрийг хэмжих нь туршилтаар илүү тохиромжтой. Д м).Энэ тохиолдолд (29) томъёо дараах байдлаар харагдана.

Д м 2 = 4Rmλ + 8Rδ, (30)

(30)-аас Ньютоны цагирагийн диаметрийн квадрат нь тодорхой байна. Д м 2 ) бөгжний серийн дугаартай пропорциональ ( м).Хэрэв та хамаарлыг зурвал Д м 2 = f(м),туршилтын цэгүүд нэг шулуун дээр байх ёстой бөгөөд энэ шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенс ( α ) тэнцүү байх болно 4Rλ .Иймээс линзний муруйлтын радиусыг олохын тулд хамаарлын график ашиглах шаардлагатай. Д м 2 = f(м),олох

, (31)

R=tanα/4λ(32)

Деформацийн улмаас линзний төвд дугуй харанхуй толбо ажиглагдаж, агаарын завсарын тэг зузаантай тохирч байна. Төвийн харанхуй толбоны диаметрийг хэмжих замаар (Ньютоны цагираг, түүний дугаар м = 0 ), та дараах томъёог ашиглан линзний хэв гажилтын хэмжээг олж болно.

δ = Д 0 2 /8Р(33)

Заавар

Хамгийн нийтлэг асуудал бол өгөгдсөн хугацаанд шидсэн биений траекторын муруйлтын радиустай холбоотой байдаг. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөний траекторийг координатын тэнхлэгүүд дээрх тэгшитгэлээр тодорхойлно: x = f(t), y = f(t), энд t нь радиусыг олох шаардлагатай хугацаа юм. Тооцоолол нь аn = V²/R томъёоны хэрэглээнд тулгуурлана. Энд R радиусыг a харьцаа болон биеийн агшин зуурын V хурдны харьцаагаар тодорхойлно. Эдгээр утгыг мэдсэний дараа та шаардлагатай R бүрэлдэхүүн хэсгийг хялбархан олох боломжтой.

Зөвхөн диаметрийг мэддэг бол томъёо нь "R = D/2" шиг харагдах болно.

Хэрэв урт бол тойрогтодорхойгүй, гэхдээ тодорхой уртын тухай өгөгдөл байгаа бол томъёо нь "R = (h^2*4 + L^2)/8*h" шиг харагдах болно, h нь сегментийн өндөр ( хөвчний дундаас заасан нумын хамгийн цухуйсан хэсэг хүртэлх зай), L нь сегментийн урт (энэ нь хөвчний урт биш) хоёр цэгийг холбосон хэсэг юм тойрог.

Анхаарна уу

"Тойрог" ба "тойрог" гэсэн ойлголтуудыг ялгах шаардлагатай. Тойрог бол хавтгайн нэг хэсэг бөгөөд энэ нь эргээд тодорхой радиустай тойргоор хязгаарлагддаг. Радиусыг олохын тулд тойргийн талбайг мэдэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь "R = (S/π)^1/2" байх бөгөөд S нь талбай юм. Талбайг тооцоолохын тулд та радиусыг мэдэх хэрэгтэй ("S = πr^2").

Агшин зуур олохын тулд хурджигд хөдөлгөөнөөр биеийн туулсан зайг түүнийг туулах хугацаанд хуваана. Хэрэв хөдөлгөөн жигд бус байвал хурдатгалын утгыг олж, тооцоол хурдцаг мөч бүрт. Чөлөөт уналтанд, агшин зуур хурдхүндийн хүчний хурдатгал ба цаг хугацаанаас хамаарна. Шуурхай хурдхурд хэмжигч эсвэл радараар хэмжиж болно.

Танд хэрэгтэй болно

• Агшин зуурын хурдыг тодорхойлохын тулд радар, хурд хэмжигч, секунд хэмжигч, соронзон хэмжүүр эсвэл зай хэмжигч, акселерометр авна.

Заавар

Нэг жигд хөдөлгөөнөөр агшин зуурын хурдыг тодорхойлох Хэрэв бие жигд хөдөлж байвал соронзон хэмжүүр эсвэл зай хэмжигч ашиглан зайг метрээр хэмжиж, үүссэн утгыг энэ сегментийг хамарсан секундын хугацааны интервалд хуваана. Секундомер ашиглан цагийг хэмжинэ. Үүний дараа дундажийг ол хурд, замын уртыг явахад зарцуулсан хугацаанд хуваах (v=S/t). Хөдөлгөөн нь жигд байдаг тул дундаж хурдагшин зуурын хурд байх болно.

Тэгш бус хөдөлгөөний үед агшин зуурын хурдыг тодорхойлох жигд бус хөдөлгөөний үндсэн төрөл нь жигд хурдасгасан хөдөлгөөн юм. Акселерометр эсвэл өөр аргыг ашиглан хурдатгалын утгыг хэмжинэ. Үүний дараа эхний үсгийг мэддэг хурдхөдөлгөөн, үүн дээр биеийн хөдөлгөөнд байх үед хурдатгалын үржвэрийг нэмнэ. Үр дүн нь тухайн үеийн агшин зуурын хурдны утга байх болно. (v=v0+a t). Тооцооллыг хийхдээ хэрэв бие нь түүний хэмжээг бууруулдаг гэдгийг санаарай хурд(тоормос), дараа нь хурдатгалын утга сөрөг байх болно. Хөдөлгөөн нь тайван байдлаас эхэлдэг бол эхний хурдтэгтэй тэнцүү.

Чөлөөт уналтын үеийн агшин зуурын хурдыг тодорхойлох Чөлөөт унаж буй биеийн агшин зуурын хурдыг тодорхойлохын тулд уналтын хугацааг чөлөөт уналтын хурдатгалаар (9.81 м/с²) үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд тооцоог v = g t ашиглан хийнэ. Эхлээд үүнийг анхаарна уу хурдбие нь тэг байна. Хэрэв бие нь мэдэгдэж байгаа бол энэ өндрөөс унах агшин зуурын хурдыг тодорхойлохын тулд түүний метр дэх утгыг 19.62 тоогоор үржүүлж, гарсан тооноос нэг квадратыг гаргаж авна.

Хурд хэмжигч эсвэл радарын тусламжтайгаар агшин зуурын хурдыг тодорхойлох Хэрэв хөдөлгөөнт бие нь хурд хэмжигчээр тоноглогдсон бол () бол түүний масштаб эсвэл цахим дэлгэц дээр агшин зуурын хурд тасралтгүй гарч ирнэ. хурдтухайн цаг мөчид. Биеийг тогтсон цэгээс () ажиглах үед түүнд радарын дохио илгээвэл түүний дэлгэц дээр агшин зуурын дохио гарч ирнэ. хурдтухайн цаг мөчид бие.

Сэдвийн талаархи видео

Зарим физик объектын (машин, дугуйчин, рулет бөмбөг) хөдөлгөөнийг судлахын тулд түүний зарим цэгийн хөдөлгөөнийг судлахад хангалттай. Хөдөлгөөнийг судлахад бүх цэгүүд зарим муруй шугамыг дүрсэлдэг.

Заавар

Муруй нь шингэн, хий, гэрэл, гүйдлийн шугамын хөдөлгөөнийг дүрсэлж чадна гэдгийг мэдэж аваарай. Тодорхой цэг дэх хавтгай муруйны муруйлтын радиус нь тухайн цэг дэх шүргэгч юм. Зарим тохиолдолд муруйг зааж, муруйлтыг -аар тооцдог. Үүний дагуу муруйлтын радиусыг олж мэдэхийн тулд тодорхой цэгт шүргэгч тойргийн радиусыг олж мэдэх шаардлагатай.

Муруйн хавтгай дээрх А цэгийг тодорхойлж, түүний ойролцоох өөр В цэгийг авч, А ба В цэгүүдийг дайран өнгөрч буй муруй руу шүргэгчийг байгуул.

Баригдсан шүргэгчтэй перпендикуляр А ба В цэгүүдээр шугамыг зурж, тэдгээрийг огтлолцох хүртэл сунгана. Перпендикуляруудын огтлолцох цэгийг О гэж тэмдэглэнэ үү. О цэг нь энэ цэг дэх шүргэгч тойргийн төв юм. Энэ нь OA нь тойргийн радиус гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. Энэ цэг дээрх муруйлт А.

Хэрэв бид огторгуйн цэгийн хувьд хоёр перпендикуляр чиглэлд муруйлтыг тодорхойлох юм бол эдгээр муруйлтыг үндсэн гэж нэрлэнэ. Үндсэн муруйлтын чиглэл нь заавал 900 байх ёстой. Тооцооллын хувьд гол муруйлтын нийлбэрийн хагастай тэнцэх дундаж муруйлт ба тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү Гауссын муруйлтыг ихэвчлэн ашигладаг. Мөн муруйн муруйлт бий. Энэ нь муруйлтын радиусын эсрэг тал юм.

Хурдатгал нь цэгийн хөдөлгөөнд чухал хүчин зүйл болдог. Замын муруйлт нь хурдатгалд шууд нөлөөлдөг. Тогтмол хурдтай муруй дагуу хөдөлж эхлэх үед хурдатгал үүсдэг. Зөвхөн хурд өөрчлөгдөөд зогсохгүй түүний чиглэл, мөн төв рүү чиглэсэн хурдатгал үүсдэг. Тэдгээр. бодит байдал дээр цэг нь тухайн цаг мөчид хүрч буй тойргийн дагуу хөдөлж эхэлдэг.

Биеийг тойрог хэлбэрээр хөдөлгөх үед хэвийн хурдатгал үүсдэг. Түүнээс гадна энэ хөдөлгөөн жигд байж болно. Энэ хурдатгалын мөн чанар нь тойрог дотор хөдөлж буй бие нь хурдны чиглэлийг байнга өөрчилдөгтэй холбоотой, учир нь шугаман хурд нь тойргийн цэг бүрт тангенциал чиглэгддэг.

Танд хэрэгтэй болно

• хурд хэмжигч эсвэл радар, секунд хэмжигч, зай хэмжигч.

Заавар

Хурд хэмжигч эсвэл радар ашиглан биеийн шугаман хурдыг хэмжинэ. Түүний радиусыг хэмжихийн тулд хүрээ хэмжигч ашиглана уу. Тойрог дотор хөдөлж буй биеийг олохын тулд тухайн үеийн хурдны утгыг авч, квадрат болгож, хөдөлгөөний траекторийн тойргийн радиуст хуваана: a=v²/R.

Эрастотенес эртний дэлхийн хамгийн алдартай номын сан болох Александрийн номын санг удаан хугацаанд удирдаж байсан. Тэрээр манай гарагийн хэмжээг тооцоолохын зэрэгцээ хэд хэдэн чухал шинэ бүтээл, нээлтүүдийг хийсэн. Тэрээр анхны тоог тодорхойлох энгийн аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг одоо "Эрасстофенийн шигшүүр" гэж нэрлэдэг.

Тэрээр "дэлхийн газрын зураг" зурж, тэр үед эртний Грекчүүдэд мэдэгдэж байсан дэлхийн бүх хэсгийг харуулсан. Газрын зураг нь тухайн үедээ хамгийн шилдэг нь гэж тооцогддог байв. Тэрээр уртраг, өргөргийн систем, өндөр жилүүдийг багтаасан хуанли боловсруулсан. Эртний одон орон судлаачид тэнгэр дэх оддын харагдах хөдөлгөөнийг харуулах, урьдчилан таамаглахад ашигладаг механик төхөөрөмж болох armillary sphere-ийг зохион бүтээжээ. Мөн тэрээр 675 одыг багтаасан оддын каталогийг эмхэтгэсэн.

Эх сурвалжууд:

• Грекийн эрдэмтэн Киренийн Эратосфен дэлхийн хамгийн анхны радиусыг тооцоолжээ
• Эратосфен "Дэлхийн тойргийн тооцоо"
• Эратосфен