Математикийн шинжлэх ухаан. Хувьсагчийн математикийн үе

Судалгаанд хамрагдаж буй объектуудын оновчтой шинж чанаруудыг аксиом хэлбэрээр томъёолсон эсвэл харгалзах объектын тодорхойлолтод жагсаасан болно. математикийн объектууд. Дараа нь логик дүгнэлтийн хатуу дүрмийн дагуу эдгээр шинж чанаруудаас бусад үнэн шинж чанарууд (теоремууд) гарч ирдэг. Энэхүү онол нь хамтдаа судалж буй объектын математик загварыг бүрдүүлдэг. Тиймээс, эхэндээ орон зайн болон тоон харилцаанд үндэслэн математик нь илүү хийсвэр харилцааг хүлээн авдаг бөгөөд үүнийг судлах нь бас сэдэв юм. орчин үеийн математик.

Уламжлал ёсоор математик нь математикийн дотоод бүтцэд гүнзгий дүн шинжилгээ хийдэг онолын болон бусад шинжлэх ухаан, инженерийн салбаруудад загвараа өгдөг хэрэглээний гэж хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь математиктэй хиллэдэг байр суурь эзэлдэг. Ялангуяа албан ёсны логикийг философийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг болон нэг хэсэг гэж үзэж болно математикийн шинжлэх ухаан; механик - физик, математик хоёулаа; компьютерийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологиба алгоритм нь инженерийн болон математикийн шинжлэх ухаан гэх мэт аль алинд нь хамааралтай. Уран зохиолд олон зүйлийг санал болгосон. өөр өөр тодорхойлолтуудматематик (харна уу).

Этимологи

"Математик" гэдэг үг нь эртний Грекээс гаралтай. μάθημα (математик) гэсэн үг сурч байна, мэдлэг, шинжлэх ухаан, гэх мэт-Грек. μαθηματικός (математик), анхдагч утгатай хүлээн авах чадвартай, амжилттай, дараа нь судлахад хамаатай, дараа нь математиктай холбоотой. Ялангуяа, μαθηματικὴ τέχνη (математикийн техник), Латинаар Ардын математик, гэсэн үг математикийн урлаг.

Тодорхойлолт

Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжүүрийг авч үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжигдэхүүнийг хайж буй бусад зүйл эсэх нь огт чухал биш юм. Тиймээс зарим нь байх ёстой ерөнхий шинжлэх ухаан, ямар нэгэн тодорхой сэдвийг судлахгүйгээр дараалал, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг гадаад биш, харин аль хэдийн ашиглагдаж эхэлсэн Universal Mathematics хэмээх хуучин нэр гэж нэрлэх ёстой.

IN Зөвлөлтийн үеА.Н. Колмогоровын өгсөн TSB-ийн тодорхойлолтыг сонгодог гэж үзсэн:

Математик ... бодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн шинжлэх ухаан.

Математикийн мөн чанарыг одоо ... объектуудын хоорондын харилцааны тухай сургаал болгон танилцуулж байна, тэдгээрийн тухай тэдгээрийг тодорхойлсон зарим шинж чанаруудаас өөр юу ч мэдэгддэггүй - яг аксиомын хувьд онолын үндэс болсон шинж чанарууд ... багц хийсвэр хэлбэрүүд- математикийн бүтэц.

Орчин үеийн хэд хэдэн тодорхойлолтыг өгье.

Орчин үеийн онолын ("цэвэр") математик нь математик бүтэц, янз бүрийн систем, үйл явцын математик инвариантуудын шинжлэх ухаан юм.

Математик бол стандарт (каноник) хэлбэрт оруулж болох загваруудыг тооцоолох боломжийг олгодог шинжлэх ухаан юм. Албан ёсны хувиргалтын аргаар аналитик загвар (шинжилгээ)-ийн шийдлийг олох шинжлэх ухаан.

Математикийн хэсгүүд

1. Математик яаж эрдэм шинжилгээний сахилга бат гэж хуваагддаг Оросын Холбооны УлсЕБС-д суралцаж, үндсэн хичээлээр бүрдүүлсэн математикийн бага ангид:

• энгийн геометр: планиметр ба стереометр
• онол үндсэн функцуудба шинжилгээний элементүүд

4. Америкийн Математикийн Нийгэмлэг (AMS) математикийн салбаруудыг ангилах өөрийн гэсэн стандартыг боловсруулсан. Үүнийг Математикийн хичээлийн ангилал гэж нэрлэдэг. Энэ стандартыг үе үе шинэчилдэг. Одоогийн хувилбар нь MSC 2010. Өмнөх хувилбар нь MSC 2000.

Тэмдэглэл

Математик нь маш олон янзын, нэлээд төвөгтэй бүтэцтэй холбоотой байдаг тул тэмдэглэгээний систем нь бас маш нарийн төвөгтэй байдаг. Орчин үеийн системТомъёоны бүртгэлийг Европын алгебрийн уламжлал, түүнчлэн математик анализ (функц, дериватив гэх мэт) үндсэн дээр бий болгосон. Эрт дээр үеэс геометр нь харааны (геометрийн) дүрслэлийг ашиглаж ирсэн. Орчин үеийн математикийн хувьд цогцолбор график системүүдтэмдэглэгээ (коммутатив диаграм гэх мэт), график дээр суурилсан тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Товч түүх

Математикийн хөгжил нь бичих, тоо бичих чадвараас хамаардаг. Эртний хүмүүс газар дээр зураас зурах, модон дээр маажих зэргээр хэмжигдэхүүнийг анх илэрхийлдэг байсан байх. Эртний Инкүүд өөр ямар ч бичгийн системгүй байсан тул тоон өгөгдлийг ашиглаж, хадгалдаг байв нарийн төвөгтэй системолсны зангилаа, кипу гэж нэрлэгддэг. Олон янзын тооны системүүд байсан. Дундад хаант улсын египетчүүдийн бүтээсэн Ахмес папирусаас тоонуудын анхны мэдэгдэж байсан бичлэгүүд олджээ. Индусын соёл иргэншил тэг гэсэн ойлголтыг агуулсан орчин үеийн аравтын тооллын системийг боловсруулсан.

Түүхийн хувьд математикийн үндсэн салбарууд нь арилжааны салбарт тооцоолол хийх, газар нутгийг хэмжих, одон орны үзэгдлийг урьдчилан таамаглах, дараа нь шинэ асуудлуудыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй юм. бие махбодийн асуудал. Эдгээр салбар бүр нь бүтэц, орон зай, өөрчлөлтийг судлахаас бүрддэг математикийн өргөн хүрээний хөгжилд томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг.

Математикийн философи

Зорилго, арга

Математик нь төсөөлөл, хамгийн тохиромжтой объект, тэдгээрийн хоорондын харилцааг судалдаг албан ёсны хэл. IN ерөнхий тохиолдол математикийн ойлголтуудба теоремууд нь физик ертөнцийн ямар нэгэн зүйлтэй тохирч байх албагүй. Гол ажилМатематикийн хэрэглээний салбар - судалж буй сэдэвт хангалттай тохирох математик загварыг бий болгох бодит объект. Онолын математикчийн даалгавар бол энэ зорилгод хүрэхийн тулд хангалттай олон тооны тохиромжтой хэрэгслийг өгөх явдал юм.

Математикийн агуулгыг систем гэж тодорхойлж болно математик загваруудболон тэдгээрийг бий болгох хэрэгсэл. Объектын загвар нь түүний бүх шинж чанарыг харгалздаггүй, зөвхөн судлах зорилгоор хамгийн шаардлагатай (идеал) зүйлийг л харгалздаг. Жишээлбэл, суралцах физик шинж чанарулбар шар, бид түүний өнгө, амтыг хийсвэрлэн авч, (төгс нарийвчлалтай биш ч гэсэн) бөмбөг шиг төсөөлж чадна. Хэрэв бид хоёр ба гурвыг нэмбэл хэдэн жүрж авахыг ойлгох шаардлагатай бол хэлбэрээс нь хийсвэрлэж, загварт зөвхөн нэг шинж чанар - тоо хэмжээ үлдээж болно. Хийсвэрлэл, доторх объектуудын хоорондын холболтыг бий болгох ерөнхий үзэл- математикийн бүтээлч байдлын үндсэн чиглэлүүдийн нэг.

Хийсвэрлэлийн хажуугаар өөр нэг чиглэл бол ерөнхий ойлголт юм. Жишээлбэл, "орон зай" гэсэн ойлголтыг n хэмжээст орон зайд нэгтгэх. " Сансар бол математикийн шинэ бүтээл юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь математикийн нарийн төвөгтэй үзэгдлийг ойлгоход тусалдаг маш ухаалаг шинэ бүтээл юм».

Математик доторх объектуудыг судлах нь дүрмээр бол аксиоматик аргыг ашиглан явагддаг: эхлээд судалж буй объектуудад үндсэн ойлголт, аксиомуудын жагсаалтыг гаргаж, дараа нь дүгнэлтийн дүрмийг ашиглан аксиомуудаас утга учиртай теоремуудыг гаргаж авдаг. математик загвар бий болгох.

Үндэслэл

Математикийн мөн чанар, үндэс суурь нь Платоны үеэс л яригдаж ирсэн. 20-р зуунаас хойш математикийн хатуу нотолгоо гэж үзэх ёстой зүйлийн талаар харьцангуй санал нэгдэж байсан ч математикт угаасаа үнэн гэж үздэг зүйлийн талаар санал нэгдээгүй байна. Энэ нь аксиоматик болон математикийн салбаруудын харилцан уялдаа холбоо, нотлох баримтад хэрэглэгдэх логик системийг сонгоход санал зөрөлдөхөд хүргэдэг.

Эргэлзээтэй байдлаас гадна энэ асуудалд дараахь хандлагууд мэдэгдэж байна.

Олонлогийн онолын хандлага

Математикийн бүх объектыг олонлогийн онолын хүрээнд авч үзэхийг санал болгож байна, ихэнхдээ Зермело-Френкелийн аксиоматиктай (хэдийгээр үүнтэй тэнцэх бусад олон зүйл байдаг). Энэ хандлагыг 20-р зууны дунд үеэс давамгайлсан гэж үздэг боловч бодит байдал дээр ихэнх математикийн бүтээлүүд өөрсдийн мэдэгдлийг олонлогийн онолын хэл рүү хөрвүүлэхийг зорьдоггүй, харин математикийн зарим салбарт тогтсон үзэл баримтлал, баримтаар ажилладаг. Тиймээс хэрэв олонлогийн онолд зөрчил илэрсэн бол энэ нь ихэнх үр дүнг хүчингүй болгоход хүргэхгүй.

Логикизм

Энэ арга нь математикийн объектуудыг хатуу бичихийг шаарддаг. Зөвхөн тусгай заль мэхийг ашиглан олонлогийн онолд зайлсхийсэн олон парадоксууд зарчмын хувьд боломжгүй болж хувирдаг.

Формализм

Энэ арга нь сонгодог логик дээр суурилсан албан ёсны системийг судлах явдал юм.

Зөн совингийн үзэл

Зөн совингийн үзэл баримтлал нь математик нь зөн совингийн логик дээр суурилдаг гэж үздэг бөгөөд энэ нь нотлох арга хэрэгслээр илүү хязгаарлагдмал байдаг (гэхдээ илүү найдвартай гэж үздэг). Зөн совингийн үзэл баримтлал нь зөрчилдөөнтэй нотолгоог үгүйсгэдэг, олон конструктив бус нотлох баримтууд боломжгүй болж, олонлогийн онолын олон асуудал утгагүй (албан ёсны бус) болдог.

Бүтээлч математик

Конструктивтік математик нь конструктив бүтцийг судалдаг зөн совинтой ойролцоо математикийн хөдөлгөөн юм. тодруулах] . Бүтээлч байдлын шалгуурын дагуу - " оршин байна гэдэг нь баригдах гэсэн үг" Бүтээлч байдлын шалгуур нь тогтвортой байдлын шалгуураас илүү хүчтэй шаардлага юм.

Үндсэн сэдвүүд

Тоонууд

"Тоо" гэсэн ойлголт нь анх натурал тоог хэлдэг. Дараа нь энэ нь бүхэл тоо, рациональ, бодит, комплекс болон бусад тоонуудад аажмаар өргөжсөн.

Өөрчлөлтүүд

Дискрет математик

Мэдлэгийн ангиллын систем дэх кодууд

Онлайн үйлчилгээ

Байдаг их тооматематик тооцооллын үйлчилгээ үзүүлдэг сайтууд. Тэдний ихэнх нь англиар ярьдаг. Орос хэлээр ярьдаг хүмүүсийн дунд бид математик асуулгын үйлчилгээг тэмдэглэж болно хайлтын системНигма.

Мөн үзнэ үү

Тэмдэглэл

1. Britannica нэвтэрхий толь бичиг
2. Вебстерийн онлайн толь бичиг
3. Бүлэг 2. Математик нь шинжлэх ухааны хэл. Сибирийн нээлттэй их сургууль. 2012 оны 2-р сарын 2-ны өдөр эх сурвалжаас архивлагдсан. 2010 оны 10-р сарын 5-нд авсан.
4. Эртний Грекийн том толь бичиг (αω)
5. XI-XVII зууны орос хэлний толь бичиг. Дугаар 9 / Ч. ed. Ф.П.Филин. - М.: Шинжлэх ухаан, 1982. - P. 41.
6. Декарт Р.Оюун санааг удирдах дүрэм. М.-Л.: Соцэггиз, 1936 он.
7. Харна уу: Математик TSB
8. Маркс К., Энгельс Ф.Эссэ. 2-р хэвлэл. T. 20. P. 37.
9. Бурбаки Н.Математикийн архитектур. Математикийн түүхийн эссэ / Орчуулга I. G. Башмакова, ред. К.А.Рыбникова. М.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. Казиев В.М.Математикийн танилцуулга
11. Мухин О.И.Системийн загварчлал Заавар. Перм: RCI PSTU.
12. Херман Вейл // Клейн М.. - М.: Мир, 1984. - P. 16.
13. муж боловсролын стандартилүү өндөр мэргэжлийн боловсрол. Мэргэжил 01.01.00. "Математик". Мэргэшсэн байдал - математикч. Москва, 2000 (О. Б. Лупановын удирдлаган дор эмхэтгэсэн)
14. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яамны 2009 оны 2-р сарын 25-ны өдрийн 59 тоот тушаалаар батлагдсан шинжлэх ухааны ажилчдын мэргэшлийн нэршил.
15. UDC 51 Математик
16. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементүүд шугаман алгебрТэгээд аналитик геометр. М.: Наука, 1988. P. 44.
17. Н.И. Кондаков. Логик толь бичиг-лавлах ном. М.: Наука, 1975. P. 259.
18. Г.И. Рузавин. Математикийн мэдлэгийн мөн чанарын тухай. М.: 1968 он.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Жишээ нь: http://mathworld.wolfram.com

Уран зохиол

• //
• // Брокхаус ба Эфроны нэвтэрхий толь бичиг: 86 боть (82 боть, 4 нэмэлт). - Санкт-Петербург. , 1890-1907.
• Математик нэвтэрхий толь (5 боть), 1980-аад он. // EqWorld дээрх математикийн ерөнхий болон тусгай лавлах номууд
• Кондаков Н.И.Логик толь бичиг-лавлах ном. М .: Наука, 1975.
• Математикийн шинжлэх ухаан ба тэдгээрийн хэрэглээний нэвтэрхий толь (Герман) 1899-1934 он. (19-р зууны уран зохиолын хамгийн том судалгаа)

• G. Korn, T. Korn.Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага М., 1973 он.

• Клейн М.Математик. Итгэл алдагдах. - М.: Мир, 1984.
• Клейн М.Математик. Үнэнийг хайх. М .: Мир, 1988.
• Клейн Ф.Анхан шатны математикийг дээд талаас нь харвал.

• I боть. Арифметик. Алгебр. Анализ М.: Наука, 1987. 432 х.
• II боть. Геометр М.: Наука, 1987. 416 х.

• Courant R., G. Robbins.Математик гэж юу вэ? 3-р хэвлэл, илч. болон нэмэлт - М.: 2001. 568 х.
• Писаревский Б.М., Харин В.Т.Математик, математикч болон бусад зүйлсийн талаар. - М .: Бином. Мэдлэгийн лаборатори, 2012. - 302 х.
• Пуанкаре А.Шинжлэх ухаан, арга (Орос) (Франц)

Энэ шинжлэх ухаан нэлээд эрт, бараг соёл иргэншлийн эхэн үед үүссэн ч өнөө үед математик гэж юу вэ гэсэн асуултад тодорхой хариулт алга байна. Цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ нь баяжиж, улам бүр тогтож, хүрээлэн буй ертөнцийн хууль тогтоомж болгон шинэчлэгдэж байна.

Математикийн практикийн олон талт холбоо өргөжиж, өөрчлөгдсөний ачаар хүн төрөлхтөнд байгалийн тодорхой хуулиудыг нээж, ашиглах онцгой боломжийг олгож байна. IN одоогийн цагэнэ бол үнэхээр технологи, шинжлэх ухааны хүчирхэг, хүчирхэг хөдөлгүүр юм.

Олон хүмүүс үүнийг сонирхож байгаа ч энэ асуултад хариулахад амаргүй. Мэдээжийн хэрэг, хүн бүр өөрийн хариултыг өгөх боломжтой бөгөөд энэ нь тэдний түвшингээс хамаарна математикийн мэдлэг. Оюутны хувьд ахлах сургуульЭнэ нь арифметик, алгебр, геометр, шинжилгээний зарчмуудын ерөнхий нэр юм. Оюутны хувьд техникийн их сургуульЭнэ бол хэдэн арван тусдаа хэсгээс бүрдсэн шинжлэх ухаан юм.

Орчин үеийн математик хөгжихийн хэрээр шинэ мэдээллээр байнга баяжуулж байдаг тул ийм хэсгүүдийн тоо цаг хугацааны явцад байнга нэмэгдэж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Жаахан хүүхдийн хувьд энэ шинжлэх ухаан нь тоолох чадварт оршдог. Гэсэн хэдий ч бидний бүх амьдрал математикийн янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй салшгүй холбоотой байдаг.

Математик гэж юу вэ гэсэн тодорхойлолттой адил энэ шинжлэх ухааны сэдвийн талаар нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн тодорхой тодорхойлолт байдаггүй. Өмнө нь ийм асуудлыг шийдэх арга нь хэмжигдэхүүн буюу тоог хэмжих явдал гэж үздэг байсан. Гэвч хэсэг хугацааны дараа математикийн тодорхойлолт нь хязгааргүй хэмжигдэхүүнийг судалдаг гэж бий болсон.

Орчин үеийн ертөнц математикийг математик бүтцийн шинжлэх ухаан гэж үздэг. Энэ нэр томъёобүлгээс танилцуулсан Францын математикчид, дэлхийд танигдсанБурбаки нэрээр.

Энэ шинжлэх ухаан бол дур зоргоороо сэтгэлгээний бүтээл биш юм. Энэ нь объектив ертөнцийг зарим талаараа хийсвэр байдлаар харуулдаг. Түүний судалгаа нь үзэгдлээс шууд хийсвэрлэх замаар олж авсан ойлголт дээр суурилдаг бодит ертөнцмөн үүнээс гадна өмнөх хийсвэрлэлүүдээс.

Ийм хийсвэрлэл бий болсон нь бодит байдалтай нягт холбоотой. Түүнээс гадна, аль нэгийг нь шийдсэний дараа математикийн асуудалтүүний үр дүнг бүртгэж, дараа нь янз бүрийн үзэгдэлд хэрэглэнэ. физик шинж чанарбие биенээсээ эрс ялгаатай.

Жишээлбэл, математикийг судлах нь ихэвчлэн шийдвэрлэхэд хүргэдэг тодорхой ажлууд: бактерийн өсөлт, атмосферийн даралт хэрхэн өөрчлөгдөх, эсвэл цацраг идэвхт задралын хурдыг хэрхэн тодорхойлох. Энэ тохиолдолд эдгээр бүх асуудлын шийдэл нь нэг зүйл дээр ирдэг. дифференциал тэгшитгэл.

Ийм хийсвэр байдал нь зөвхөн ойлгоход төдийгүй насанд хүрсэн хүнд, тэр ч байтугай оюутанд мэдрэхэд нэлээд хэцүү байдаг. Ийм учраас математикийн хичээлийг хүн бүрт хүртээмжтэй болгох нь маш чухал юм. Энэ нь тайлбарлахад хялбар байдлаа алдалгүйгээр өвөрмөц байдал ба хийсвэрлэл, зөн совин, хатуу ширүүн байдлын тэнцвэрийг хадгалахыг шаарддаг. нарийн төвөгтэй ойлголтууд.

Мэдээжийн хэрэг, өнөөдөр математик гэж юу болох талаар ойлголтгүй хүнийг олоход хэцүү байдаг. Гэхдээ дүрмээр бол олон хүмүүс үүнийг зүгээр л арифметик гэж андуурч, тоонууд болон тэдгээрийн тусламжтайгаар үржүүлэх, хуваах гэх мэт тодорхой үйлдлүүдийг судлах шаардлагатай байдаг.

Гэхдээ хэрэв та илүү гүнзгийрвэл энэ шинжлэх ухаан, үнэндээ энэ ойлголт нь илүү өргөн хүрээтэй гэдгийг та ойлгож болно. Эцсийн эцэст, математик бол ертөнцийг дүрслэх, түүний зарим хэсгийг бусадтай хослуулах өвөрмөц арга юм. IN математикийн тэмдэгтүүд, Орчлон ертөнцийг дүрслэхдээ тоонуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг.

Гэхдээ энэ бол тусдаа асуулт юм. Ийм үйл явц нь тэвчээр, хүсэл, анхаарал шаарддаг. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч төвөгтэй биш юм. “Тооны мэдрэхүй” нь төрөлхийн чадвартай болох нь батлагдсан тул математикийн хичээлд хүн бүр онц байх нь түгээмэл байдаг.

Харамсалтай нь аксиом, теорем, томьёо цээжлэх нь ямар ч үр дүн өгөхгүй. Хамгийн гол нь математикийн онолын мөн чанар, түүний хууль тогтоомжийг ойлгох явдал юм. БА онцгой анхааралхийсэн мэдэгдлүүдээс дүгнэлт хийх чадварыг шаарддаг.

Математик маш эрт дээр үеэс үүссэн. Тэр хүн жимс цуглуулж, жимс ухаж, загас барьж, бүгдийг нь өвлийн улиралд хадгалдаг байв. Хэр их хоол хүнс хадгалагддагийг ойлгохын тулд хүн тоолох аргыг зохион бүтээжээ. Ингэж л математик үүсч эхэлсэн.

Дараа нь хүн газар тариалан эрхэлж эхлэв. Газар хэмжих, байшин барих, цаг хугацааг хэмжих шаардлагатай байв.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бодит ертөнцийн тоон харьцааг ашиглах шаардлагатай болсон. Хэр их ургац хураасан, барилгын талбайн хэмжээ, эсвэл тодорхой тооны тод одтой тэнгэрийн талбай хэр том болохыг тодорхойл.

Үүнээс гадна хүн хэлбэр дүрсийг тодорхойлж эхлэв: дугуй нар, дөрвөлжин хайрцаг, зууван нуур, эдгээр объектууд орон зайд хэрхэн байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, хүн бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэрийг сонирхож эхэлсэн.

Тиймээс үзэл баримтлал математикбодит ертөнцийн орон зайн хэлбэр, тоон харьцааны шинжлэх ухаан гэж тодорхойлж болно.

Одоогийн байдлаар математикгүйгээр хийж чадах нэг ч мэргэжил байхгүй. “Математикийн хаан” гэгддэг Германы алдарт математикч Карл Фридрих Гаусс нэгэнтээ:

“Математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан, арифметик бол математикийн хатан хаан”.

"Арифметик" гэдэг үг нь Грекийн "арифмос" - "тоо" гэсэн үгнээс гаралтай.

Тиймээс, арифметиктоо, тэдгээрийн үйлдлийг судалдаг математикийн салбар юм.

IN бага сургуульТэд хамгийн түрүүнд арифметик судалдаг.

Энэ шинжлэх ухаан хэрхэн хөгжсөн бэ, энэ асуултыг судалж үзье.

Математикийн төрсөн үе

Математикийн мэдлэг хуримтлуулах гол үе бол МЭӨ 5-р зууны өмнөх үе гэж тооцогддог.

Математикийн саналуудыг баталж эхэлсэн анхны хүн - эртний Грекийн сэтгэгч, МЭӨ 7-р зуунд амьдарч байсан, таамаглал нь 625 - 545. Энэ философич дорно дахины орнуудаар аялсан. Уламжлал ёсоор тэрээр Египетийн тахилч нар болон Вавилоны халдейчуудтай хамт суралцсан гэж ярьдаг.

Милетийн Фалес анхан шатны геометрийн анхны ойлголтуудыг Египетээс Грек рүү авчирсан: диаметр гэж юу вэ, гурвалжинг юу тодорхойлдог гэх мэт. Тэр таамаглаж байсан нар хиртэлт, инженерийн байгууламжийг төлөвлөх.

Энэ хугацаанд арифметик аажмаар хөгжиж, одон орон, геометр хөгжсөн. Алгебр, тригонометр гэж төрсөн.

Анхан шатны математикийн үе

Энэ үе нь МЭӨ VI үеэс эхэлдэг. Одоо математик нь онол, нотолгоотой шинжлэх ухаан болон гарч ирж байна. Тооны онол, хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн хэмжилтийн тухай сургаал гарч ирэв.

Ихэнх алдартай математикчЭнэ бол Евклид. Тэрээр МЭӨ 3-р зуунд амьдарч байжээ. Энэ хүн манайд хүрч ирсэн математикийн анхны онолын зохиолын зохиогч юм.

Евклидийн бүтээлүүдэд Евклидийн геометр гэж нэрлэгддэг үндэс суурийг өгсөн байдаг - эдгээр нь үндсэн ойлголтууд дээр тулгуурласан аксиомууд юм.

үед анхан шатны математиктоон онол, түүнчлэн хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн хэмжилтийн тухай сургаал үүссэн. Анх удаа сөрөг ба иррационал тоо.

Энэ хугацааны төгсгөлд алгебрыг шууд тоолол болгон бий болгох нь ажиглагдаж байна. Арабчуудын дунд "алгебр" шинжлэх ухаан өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухаан мэт гарч ирдэг. Араб хэлнээс орчуулсан "алгебр" гэдэг нь "сэргээх", өөрөөр хэлбэл шилжүүлэх гэсэн утгатай сөрөг утгуудтэгшитгэлийн нөгөө тал руу.

Хувьсагчийн математикийн үе

Энэ үеийг үндэслэгч нь МЭ 17-р зуунд амьдарч байсан Рене Декарт гэж тооцогддог. Декарт зохиол бүтээлдээ хувьсах хэмжигдэхүүн гэсэн ойлголтыг анхлан нэвтрүүлсэн.

Үүний ачаар эрдэмтэд судалгаа хийхээс татгалзаж байна тогтмол утгуудхувьсагчдын хоорондын хамаарлыг судлахад болон математик тайлбархөдөлгөөнүүд.

Энэ үеийг Фридрих Энгельс хамгийн тод дүрсэлсэн бөгөөд тэрээр өөрийн зохиолууддаа дараахь зүйлийг бичжээ.

“Математикийн эргэлтийн цэг нь декарт хувьсагч байсан. Үүний ачаар хөдөлгөөн, улмаар диалектик математикт орж ирсэн бөгөөд үүний ачаар дифференциал ба интеграл тооцоо нэн даруй зайлшгүй шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь шууд бий болж, ерөнхийдөө бүрэн гүйцэд хийгдсэн бөгөөд Ньютон, Лейбниц нарын зохион бүтээгээгүй юм."

Орчин үеийн математикийн үе

20 цагт XIX жилзууны Николай Иванович Лобачевский Евклидийн бус геометр гэж нэрлэгддэг үндэслэгч болжээ.

Энэ мөчөөс эхлэн орчин үеийн математикийн хамгийн чухал салбаруудын хөгжил эхэлдэг. Магадлалын онол, олонлогын онол, математик статистик гэх мэт.

Эдгээр бүх нээлт, судалгаанууд хамгийн өргөн хэрэглээг олж авдаг өөр өөр газар нутагшинжлэх ухаан.

Мөн одоогийн байдлаар математикийн шинжлэх ухаан эрчимтэй хөгжиж, математикийн сэдэв өргөжиж, түүний дотор шинэ хэлбэр, харилцаа холбоо, шинэ теоремууд нотлогдож, суурь ойлголтууд гүнзгийрч байна.

МАТЕМАТИК - бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэр, тоон харьцааны шинжлэх ухаан; Грек үг(математик) нь "мэдлэг", "шинжлэх ухаан" гэсэн утгатай грек (матема) гэсэн үгнээс гаралтай.

Математик нь эрт дээр үед хүмүүсийн практик хэрэгцээнээс үүссэн. Түүний агуулга, шинж чанар нь түүхийн туршид өөрчлөгдсөн бөгөөд одоо ч өөрчлөгдсөөр байна. Эерэг бүхэл тооны үндсэн сэдвийн ойлголтуудаас, түүнчлэн шугамын сегментийн тухай ойлголтоос хамгийн богино зайХоёр цэгийн хооронд математик хийсвэр шинжлэх ухаан болохоосоо өмнө урт удаан хөгжлийн замыг туулсан тодорхой аргуудсудалгаа.

Орон зайн хэлбэрийн талаарх орчин үеийн ойлголт маш өргөн хүрээтэй. Үүнд гурван хэмжээст орон зайн геометрийн объектууд (шулуун шугам, тойрог, гурвалжин, конус, цилиндр, бөмбөг гэх мэт) зэрэг олон тооны ерөнхий ойлголтууд - олон хэмжээст ба хязгааргүй хэмжээст орон зайн тухай ойлголтууд, түүнчлэн геометрийн объектууд орно. тэд болон бусад олон. Үүний нэгэн адил тоон харьцааг зөвхөн эерэг бүхэл тоогоор илэрхийлээд зогсохгүй рационал тоо, гэхдээ бас тусламжтайгаар нийлмэл тоо, векторууд, функцуудгэх мэт. Шинжлэх ухаан, технологийн хөгжил нь математикийг орон зайн хэлбэр, тоон харилцааны талаархи санаагаа тасралтгүй өргөжүүлэхэд хүргэдэг.

Математикийн ойлголтууд нь тодорхой үзэгдэл, объектуудаас хийсвэрлэгдсэн; -аас хийсвэрлэсний үр дүнд тэдгээрийг олж авдаг чанарын онцлог, тодорхой энэ тойргийнүзэгдэл ба объектууд. Энэ нөхцөл байдал нь математикийн хэрэглээний хувьд маш чухал юм. 2-ын тоо нь ямар нэгэн тодорхой сэдвийн агуулгатай салшгүй холбоотой биш юм. Энэ нь хоёр алим, хоёр ном, хоёр бодол санааг илэрхийлж болно. Энэ нь эдгээр болон бусад тоо томшгүй олон объектод адилхан сайн ханддаг. Яг адилхан геометрийн шинж чанаруудбөмбөг нь шил, ган эсвэл стеаринаар хийгдсэн тул өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, объектын шинж чанараас хийсвэрлэх нь энэ объектын тухай, түүний материаллаг шинж чанаруудын талаархи бидний мэдлэгийг бууруулж байна. Үүний зэрэгцээ, энэ нь яг ийм анхаарал сарниулах явдал юм онцгой шинж чанаруудбие даасан объектууд нь үзэл баримтлалд нийтлэг байдлыг өгдөг, болгодог ашиглах боломжтойматериаллаг байгалийн хамгийн олон янзын үзэгдлүүдэд математик. Тиймээс байгалийн үзэгдэл, техникийн болон эдийн засаг, нийгмийн үйл явцыг тайлбарлахад математикийн ижил хуулиуд, ижил математикийн аппаратыг хангалттай ашиглаж болно.

Үзэл баримтлалын хийсвэр байдал нь тийм биш юм онцгой шинж чанарматематик; аливаа шинжлэх ухааны болон ерөнхий ойлголтуудтодорхой зүйлийн шинж чанараас хийсвэрлэх элементийг өөртөө агуулдаг. Гэхдээ математикт хийсвэрлэх үйл явц нь өмнөхөөсөө илүү байдаг байгалийн шинжлэх ухаан; Математикийн хувьд янз бүрийн түвшинд хийсвэрлэх үйл явцыг өргөн ашигладаг. Тиймээ, үзэл баримтлал бүлгүүдтоонуудын цуглуулгын зарим шинж чанараас хийсвэрлэх замаар үүссэн ба бусад хийсвэр ойлголтууд. Математик нь мөн түүний үр дүнг олж авах арга замаар тодорхойлогддог. Хэрэв байгалийн эрдэмтэн өөрийн байр сууриа батлахын тулд туршлагаас байнга ханддаг бол математикч зөвхөн логик үндэслэлээр үр дүнгээ нотолж өгдөг. Математикийн хувьд логик нотолгоо шаардагдахаас нааш нэг ч үр дүнг нотлогдсон гэж үзэх боломжгүй бөгөөд энэ нь тусгай туршилтууд энэ үр дүнг баталгаажуулсан ч гэсэн юм. Үүний зэрэгцээ үнэн математикийн онолуудмөн дадлагын шалгалтыг давдаг, гэхдээ энэ шалгалт онцгой дүр: математикийн үндсэн ойлголтууд нь практикийн тодорхой хэрэгцээ шаардлагаас урт хугацааны талстжилтын үр дүнд бий болдог; логикийн дүрмийг өөрөө байгаль дахь үйл явцын урсгалыг олон мянган жилийн турш ажигласны дараа л боловсруулсан; Математикийн теоремыг томъёолох, бодлого боловсруулах нь практикийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй. Математик нь практик хэрэгцээ шаардлагаас үүссэн бөгөөд түүний практиктай уялдаа холбоо нь цаг хугацааны явцад улам бүр олон янз, гүнзгий болж байв.

Зарчмын хувьд математикийг ямар ч төрлийн хөдөлгөөн, олон янзын үзэгдлийг судлахад ашиглаж болно. Үнэндээ түүний үүрэг янз бүрийн бүс нутагшинжлэх ухааны болон практик үйл ажиллагааадилхан биш. хөгжилд математикийн үүрэг орчин үеийн физик, хими, технологийн олон салбар, ерөнхийдөө эдгээр үзэгдлүүдийг судлахдаа чанарын онцлог шинж чанараас нь мэдэгдэхүйц хийсвэрлэх нь тэдэнд агуулагдах тоон болон орон зайн зүй тогтлыг маш нарийн ойлгох боломжийг олгодог. Учир нь жишээ - математикселестиел биетүүдийн хөдөлгөөнийг бодит шинж чанараас нь мэдэгдэхүйц хийсвэрлэлд үндэслэн судлах (жишээлбэл, биетүүдийг авч үздэг). материаллаг цэгүүд), удирдан чиглүүлж, тэдний жинхэнэ хөдөлгөөнтэй маш сайн давхцахад хүргэдэг. Үүний үндсэн дээр зөвхөн урьдчилан тооцоолох боломжгүй юм селестиел үзэгдлүүд(хиртэлт, гаригуудын байрлал гэх мэт), гэхдээ урьд өмнө ажиглагдаж байгаагүй гаригуудын оршин тогтнохыг урьдчилан таамаглахын тулд тооцоолсон хөдөлгөөнөөс жинхэнэ хөдөлгөөний хазайлтаар (1930 онд Плутон, 1846 онд Нептунийг нээсэн). Эдийн засаг, биологи, анагаах ухаан зэрэг шинжлэх ухаанд математик нь жижиг боловч чухал байр суурийг эзэлдэг. Эдгээр шинжлэх ухаанд судлагдсан үзэгдлүүдийн чанарын өвөрмөц байдал нь маш их бөгөөд тэдгээрийн урсгалын мөн чанарт маш хүчтэй нөлөөлдөг тул математик шинжилгээ нь зөвхөн туслах үүрэг гүйцэтгэдэг. Нийгэм, биологийн шинжлэх ухааны хувьд онцгой ач холбогдолтой юм математик статистик.Математик өөрөө мөн байгалийн шинжлэх ухаан, технологи, эдийн засгийн шаардлагын нөлөөн дор хөгждөг. Тиймээ сүүлийн жилүүдэдПрактик хэрэгцээнд үндэслэн хэд хэдэн математикийн салбарууд үүссэн. мэдээллийн онол, тоглоомын онолгэх мэт.

Юм үзэгдлийн талаарх мэдлэгийн нэг шатнаас дараагийн, илүү үнэн зөв рүү шилжих нь математикт шинэ шаардлага тавьж, шинэ үзэл баримтлал, судалгааны шинэ аргыг бий болгоход хүргэдэг нь ойлгомжтой. Ийнхүү одон орон судлалын шаардлагууд нь цэвэр дүрслэх мэдлэгээс нарийн мэдлэг рүү шилжсэн нь үндсэн ойлголтуудыг бий болгоход хүргэсэн. тригонометр: МЭӨ 2-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэн Гиппарх орчин үеийн синусын хүснэгтэд тохирох хөвчний хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн; 1-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэд Менелаус, 2-р зуунд Клавдий Птолемей нар үндэс суурийг тавьжээ. бөмбөрцөг тригонометр.Үйлдвэрлэл, навигаци, их буу гэх мэт хөгжлөөс үүдэлтэй хөдөлгөөнийг судлах сонирхол нэмэгдсэн нь 17-р зуунд үзэл баримтлалыг бий болгоход хүргэсэн. математик шинжилгээ, шинэ математикийн хөгжил. Өргөн тархсан хэрэгжилт математик аргууд 18-19-р зуунд байгалийн үзэгдлүүдийг судлах (ялангуяа одон орон, физик), технологийн хөгжил (ялангуяа механик инженерчлэл) нь хурдацтай хөгжилд хүргэсэн. онолын механикба онолууд дифференциал тэгшитгэл.Санаа хөгжүүлэх молекулын бүтэцбодис нь хурдацтай хөгжлийг бий болгосон магадлалын онол. Одоогийн байдлаар бид олон жишээн дээр шинэ чиглэлүүд гарч ирснийг ажиглаж болно. математикийн судалгаа. Амжилтуудыг онцгой ач холбогдолтой гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстой тооцооллын математик болон математикийн олон салбар дахь компьютерийн технологи, тэдгээрийн хийсэн өөрчлөлтүүд.

Түүхэн тойм зураг. Математикийн түүхэнд чанарын хувьд мэдэгдэхүйц ялгаатай дөрвөн үеийг тодорхойлж болно. Дараагийн үе бүр өмнөх үеийнх нь хүрээнд хөгжиж байсан тул шинэ санаанууд дөнгөж гарч ирж байсан бөгөөд математикийн өөрөө ч, түүний хэрэглээнд ч чиглүүлж амжаагүй байсан нэлээд чухал шилжилтийн үе шатууд байсан тул эдгээр үеийг нарийвчлан хуваахад хэцүү байдаг.

1) Математик бие даасан хүн болж төрсөн үе шинжлэх ухааны сахилга бат; энэ үеийн эхлэл түүхийн гүнд алдагдсан; МЭӨ 6-5 зууны үе хүртэл үргэлжилсэн. д.

2) Анхан шатны математикийн үе, тогтмол хэмжигдэхүүний математик; Энэ нь ойролцоогоор 17-р зууны эцэс хүртэл үргэлжилсэн бөгөөд энэ нь шинэ, "дээд" математикийн хөгжил нэлээд урагшилсан юм.

3) Математикийн үе хувьсагч; Математик анализыг бий болгох, хөгжүүлэх, тэдгээрийн хөдөлгөөн, хөгжлийн үйл явцыг судлах замаар тодорхойлогддог.

4) Орчин үеийн математикийн үе; ухамсартай, системтэй судалдаг онцлогтой боломжит төрлүүдтоон хамаарал ба орон зайн хэлбэрүүд. Геометр нь зөвхөн бодит байдлыг судалдаггүй гурван хэмжээст орон зай, гэхдээ бас үүнтэй төстэй орон зайн хэлбэрүүд. IN математик шинжилгээ-аас хамаарахгүй хувьсагчдыг авч үздэг тоон аргумент, гэхдээ бас зарим шугамаас (функц) үзэл баримтлалд хүргэдэг функциональ байдалТэгээд оператор. Алгебрдурын шинж чанартай элементүүд дээр алгебрийн үйлдлийн онол болж хувирав. Зөвхөн эдгээр үйлдлүүдийг хийх боломжтой байсан бол. Энэ үеийн эхлэлийг 19-р зууны 1-р хагаст зүй ёсоор тооцож болно.

IN Эртний ертөнц математик мэдээлэланх санваартнууд болон төрийн албан хаагчдын мэдлэгийн салшгүй хэсэг болгон оруулсан. Энэхүү мэдээллийн хангамжийг аль хэдийн тайлагдсан шавар Вавилоны хавтан, Египетийн бичээсүүдээс харж болно. математикийн папирус,харьцангуй том байсан. Эртний Грекийн эрдэмтэн Пифагороос мянган жилийн өмнө Месопотамид Пифагорын онол мэдэгдээд зогсохгүй бүхэл талтай бүх тэгш өнцөгт гурвалжныг олох асуудлыг шийдэж байсан баримт байдаг. Гэсэн хэдий ч тэр үеийн баримт бичгийн дийлэнх нь хамгийн энгийн зүйлийг үйлдвэрлэх дүрмийн цуглуулга юм арифметик үйлдлүүд, түүнчлэн биеийн дүрс, эзлэхүүний талбайг тооцоолоход зориулагдсан. Ширээнүүд бас хадгалагдан үлдсэн төрөл бүрийнЭдгээр тооцоог хөнгөвчлөх. Бүх гарын авлагад дүрмийг томъёолоогүй боловч тайлбарласан болно байнгын жишээ. Математикийг тогтсон албан ёсны шинжлэх ухаан болгон хувиргах дедуктив аргаонд бүтээн байгуулалт хийгдсэн Эртний Грек. Тэнд математикийн бүтээлч байдал нэргүй байхаа больсон. Практик арифметик ба геометрЭртний Грекд өндөр хөгжилтэй байсан. Грекийн геометрийн эхлэл нь Египетээс анхан шатны мэдлэгийг авчирсан Милетийн Фалес (МЭӨ 7-р зууны сүүл - МЭӨ 6-р зууны эхэн) нэртэй холбоотой юм. Самосын Пифагорын сургуульд (МЭӨ 6-р зуун) тоон хуваагдах чадварыг судалж, хамгийн энгийн прогрессийг нэгтгэн дүгнэж, төгс тоог судалж, авч үзсэн. янз бүрийн төрөлдундаж (арифметик дундаж, геометрийн дундаж, гармоник дундаж), дахин олдсон Пифагорын тоо(тал байж болох бүхэл тоонуудын гурвалсан тоо зөв гурвалжин). МЭӨ 5-6-р зуунд. Эртний алдартай асуудлууд гарч ирэв - тойргийг квадрат болгох, өнцгийг гурвалжин хуваах, шоо хоёр дахин нэмэгдүүлэх, анхны иррационал тоонууд бий болсон. Геометрийн анхны системчилсэн сурах бичгийг Хиосын Гиппократ (МЭӨ 5-р зууны 2-р хагас) гэж нэрлэдэг. Платоник сургуулийн томоохон амжилт нь оролдлоготой холбоотой юм оновчтой тайлбарОрчлон ертөнц дэх материйн бүтэц, - бүгдийг хайх ердийн олон талт. МЭӨ 5-4-р зууны хил дээр. Демокрит атомын үзэл баримтлалд үндэслэн биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлох аргыг санал болгосон. Энэ аргыг хязгааргүй жижиг аргын прототип гэж үзэж болно. МЭӨ 4-р зуунд. Книдын Евдокс пропорцын онолыг боловсруулсан. МЭӨ 3-р зуун бол математикийн бүтээлч байдлын хамгийн эрчимтэй үе юм. (Александрийн эрин гэж нэрлэгддэг 1-р зуун). МЭӨ 3-р зуунд. Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус, Эратосфен зэрэг математикчид ажиллаж байсан; хожим – Херон (МЭ 1-р зуун) Диофант (3-р зуун). Евклид элементүүддээ геометрийн салбарын ололт амжилтыг цуглуулж, эцсийн логик засвар хийсэн; Үүний зэрэгцээ тэрээр тооны онолын үндэс суурийг тавьсан. Архимедийн геометрийн гол ололт нь янз бүрийн талбай, эзэлхүүнийг тодорхойлох явдал байв. Диофант голчлон тэгшитгэлийн шийдлийг оновчтойгоор судалжээ эерэг тоонууд. 3-р зууны сүүлчээс Грекийн математикийн уналт эхэлсэн.

Математик нь эртний Хятад, Энэтхэгт томоохон хөгжилд хүрсэн. Хятадын математикчид тооцоолох өндөр технологи, ерөнхий мэдлэгийг хөгжүүлэх сонирхолтой байдаг алгебрийн аргууд. МЭӨ 2-1-р зуунд. “Математикчид есөн номонд” бичигдсэн. Энэ нь ижил олборлох техникийг агуулдаг квадрат язгуур-д заасан байдаг орчин үеийн сургууль: шугаман системийг шийдвэрлэх арга алгебрийн тэгшитгэл, Пифагорын теоремын арифметик томъёолол.

5-12-р зуунд цэцэглэн хөгжсөн Энэтхэгийн математик нь орчин үеийн аравтын тоололыг ашигласан бөгөөд өгөгдсөн зэрэглэлийн нэгж байхгүй, Диофантаас илүү өргөн хүрээтэй алгебрийн хөгжлийн гавьяаг илтгэх үүднээс тэг гэж үздэг. зөвхөн эерэг рационал тоонууд төдийгүй сөрөг ба иррационал тоонуудтай ажилладаг.

Арабын байлдан дагуулалд хүргэсэн Төв Азируу Иберийн хойг 9-15-р зууны үеийн эрдэмтэд ашигласан Араб. 9-р зуунд Төв Азийн эрдэмтэн аль-Хорезми алгебрийг анх тайлбарлав бие даасан шинжлэх ухаан. Энэ хугацаанд олон геометрийн асуудлуудалгебрийн томъёоллыг хүлээн авсан. Сирийн аль-Баттани танилцуулав тригонометрийн функцуудсинус, тангенс ба котангенсыг Самаркандын эрдэмтэн аль-Каши (15-р зуун) авч үзсэн аравтын бутархайсистемтэй танилцуулга хийж, Ньютоны хоёр гишүүний томъёог томъёолсон.

Үндсэндээ шинэ үеМатематикийн хөгжилд 17-р зуунд хөдөлгөөн, өөрчлөлтийн санаа математикт тодорхой нэвтэрч эхэлсэн. Хувьсагч ба тэдгээрийн хоорондын холболтыг авч үзэх нь функц, дериватив, интеграл гэсэн ойлголтыг бий болгосон. Дифференциал тооцоо, Интеграл тооцоо, математикийн шинэ салбар үүсэхэд - математикийн шинжилгээ.

18-р зууны сүүлчээс 19-р зууны эхэн үе хүртэл математикийн хөгжилд хэд хэдэн мэдэгдэхүйц шинэ шинж чанарууд ажиглагдсан. Тэдгээрийн хамгийн онцлог нь математикийн үндэслэлд хэд хэдэн асуудлыг шүүмжлэлтэй хянан үзэх сонирхол байв. Хязгааргүй тоонуудын талаарх тодорхой бус санаанууд нь хязгаарын тухай ойлголттой холбоотой нарийн томъёололоор солигдсон.

19-р зууны алгебрийн шинжлэх ухаанд алгебрийн тэгшитгэлийг радикалаар шийдвэрлэх боломжийн тухай асуудлыг тодорхой болгосон (Норвегийн эрдэмтэн Н.Абель, Францын эрдэмтэн Э.Галуа).

19, 20-р зуунд тоон аргуудматематикчид бие даасан салбар болох тооцооллын математик болон хөгжиж байна. Шинэ чухал програмууд компьютерийн технологи 19-20-р зуунд хөгжсөн салбарыг олсон математик - математиклогик.

Материалыг математикийн багш О.В.Лещенко бэлтгэсэн.