Тригонометрийн цуваа ба тэдгээрийн шинж чанарууд. Нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлсэн тооны цуврал

Тригонометрийн цуврал тодорхойлолт. /(x) функц дээр тодорхойлогдсон хязгааргүй тооХэрэв x D бүрийн хувьд нөхцөл хангагдах T Ф 0 тоо байвал D-г үечилсэн гэж нэрлэдэг. Эдгээр тоонуудаас хамгийн бага T-ийг f(x) функцийн үе гэнэ. Жишээ 1. Бүх х-д нөхцөл хангагдах T = 2* φ O тоо байгаа тул интервал дээр тодорхойлогдсон функц нь үечилсэн байна. Тиймээс, нүгэл үйл ажиллагаа x нь T = 2zh үетэй. Жишээ 2. функцэд мөн адил хамаарна. Тоонуудын D олонлог дээр тодорхойлогдсон функц нь үе үе байдаг, учир нь T Ф 0 тоо байдаг, тухайлбал T = нь x 6 D-ийн хувьд Тодорхойлолттой болно. Функциональ хүрээтөрөл ao FOURIER SERIES Тригонометрийн цуврал Ортогональ байдал тригонометрийн системФурье тригонометрийн цуваа Фурьегийн цуваа дахь функц задрахад хангалттай нөхцөлийг гэнэ. тригонометрийн цуврал, мөн a0, a„, bn (n = 1, 2,...) тогтмолуудыг тригонометрийн цувааны (1) коэффициент гэнэ. Тригонометрийн цувралын (1) хэсэгчилсэн нийлбэр 5n(g) нь тригонометрийн систем гэж нэрлэгддэг функцүүдийн системийн шугаман функцүүдийн хослолууд юм. Энэ цувааны гишүүд нь 2π үетэй үечилсэн функцууд тул (I) цуваа нийлэх тохиолдолд түүний S(x) нийлбэр нь T = 2π үетэй үечилсэн функц болно: Тодорхойлолт. T = 2n үетэй үечилсэн f(x) функцийг тригонометрийн цуваа (1) болгон өргөжүүлбэл нийлбэр нь /(x) функцтэй тэнцүү нийлсэн тригонометрийн цуваа олно гэсэн үг. . Тригонометрийн системийн ортогональ байдал Тодорхойлолт. [a, 6] интервал дээр үргэлжилсэн f(x) ба d(x) функцийг нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ интервал дээр ортогональ гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтоос хойш. [a, b] интервал дээр интегралдах хязгаарлагдмал буюу хязгааргүй функцүүдийн системийг гэнэ. ортогональ систем[a, 6) интервал дээр m Φ n төрлийн тоонуудын хувьд тэгш байдлын теорем 1. Тригонометрийн систем нь интервал дээр ортогональ байна Аливаа n Φ 0 бүхэл тооны хувьд бид ашиглах мэдэгдэж байгаа томъёонуудямар ч натурал m ба n, m Ф n-ийн тригонометрийг бид олно: Эцэст нь дурын бүхэл тооны томьёоны тусламжтайгаар бид тригонометрийн Фурье цувралыг олж авна. Тригонометрийн цуваа (1) -ийн коэффициентийг тооцоолох даалгаврыг өөртөө тавьцгаая. функц Теорем 2. Бүх x утгуудад тэгш байдал биелэх ба тэгш байдлын баруун талд байгаа цуваа [-3z, x] интервал дээр жигд нийлнэ. Дараа нь дараах томъёонууд хүчинтэй байна. жигд нэгдэл(1) цуврал нь f(x) функцийн тасралтгүй байдал, улмаар интегралч байдлыг илэрхийлнэ. Тиймээс тэгш байдал (2) утга учиртай. Түүнчлэн (1) цувралыг нэр томъёогоор нэгтгэж болно. n = 0-ийн хувьд (2) томъёоны эхнийх нь дагалддаг. Одоо (1) тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлье. cos функц mi, энд m нь дурын натурал тоо: Цуврал (3) нь (1) цуврал шиг жигд нийлдэг. Тиймээс үүнийг гишүүнээр нь нэгтгэж болно, n = m-ийн хувьд олж авсан нэгээс бусад баруун талын бүх интеграл нь тригонометрийн системийн ортогональ байдлаас шалтгаалан тэгтэй тэнцүү байна. Иймд хаанаас Үүний нэгэн адил тэгш байдлын (1) хоёр талыг sinmx-ээр үржүүлж, -m-ээс m хүртэл интегралдвал бид хаанаас гарна: дурын байг. үечилсэн функц 2* үеийн f(x), *] интервал дээр интегралдах боломжтой. Үүнийг зарим нэг нийлсэн тригонометрийн цувааны нийлбэрээр илэрхийлж болох эсэх нь урьдаас тодорхойгүй байна. Гэхдээ (2) томъёог ашиглан a„ ба bn тогтмолуудыг тооцоолох боломжтой. Тодорхойлолт. Тригонометрийн цуваа, oq, an, b„ коэффициентүүд нь FOURIER ЦУВРАЛ Тригонометрийн цуврал Тригонометрийн системийн ортогональ байдал Ф(x) функцээр тодорхойлогддог oq, an, b„ коэффициентүүд Функцийг Фурье болгон задлах хангалттай нөхцөлүүд цувралуудыг f(x) функцийн тригонометрийн Фурьегийн цуваа гэж нэрлэдэг ба эдгээр томъёогоор тодорхойлогддог a„ , bnt коэффициентүүдийг /(x) функцийн Фурьегийн коэффициентүүд гэнэ. [-тр, -к] интервал дээр интегралдах f(x) функц бүрийг түүний Фурье цуваатай холбож болно, өөрөөр хэлбэл. тригонометрийн цуваа, коэффициентийг (2) томъёогоор тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч хэрэв бид f(x) функцээс [--i*, m] интервал дээр интегралчлагдахаас өөр зүйл шаардахгүй бол ерөнхийд нь авч үзвэл сүүлчийн хамаарал дахь захидал харилцааны тэмдгийг тэнцүү тэмдгээр сольж болохгүй. Сэтгэгдэл. Зөвхөн (-*, n\) интервал дээр тодорхойлогддог /(x) функцийг тригонометрийн цуваа болгон өргөжүүлэх шаардлагатай байдаг, тиймээс үечилсэн биш. Фурье коэффициентийн (2) томъёонд интегралуудыг тооцоолсон байдаг. интервал *], тэгвэл ийм функцийн хувьд бид мөн тригонометрийн Фурье цувааг бичиж болно. Үүний зэрэгцээ, хэрэв бид бүх Ox тэнхлэгийн дагуу f(x) функцийг үе үе үргэлжлүүлбэл бид F(x), үечилсэн функцийг олж авна. 2n үетэй, (-ir, l) интервал дээр /(x)-тай давхцаж байна: Энэ F(x) функцийг /(x) функцийн үечилсэн өргөтгөл гэж нэрлэдэг. Мөн F(x) функц байхгүй хоёрдмол утгагүй тодорхойлолт x = ±n, ±3r, ±5tr,... цэгүүдэд F(x) функцийн Фурье цуваа /(x) функцийн Фурьегийн цуваатай ижил байна. Нэмж дурдахад, хэрэв /(x) функцийн Фурьегийн цуваа түүнд нийлдэг бол түүний нийлбэр нь үечилсэн функц болохын хувьд |-jt, n\ сегментээс /(x) функцийн үечилсэн үргэлжлэлийг өгдөг. Үхрийн тэнхлэг. Энэ утгаараа (-i-, jt|) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн Фурье цувралын тухай ярих нь үечилсэн үргэлжлэл болох F(x) функцийн Фурье цувралын тухай ярихтай адил юм. f(x) функцийн бүх тэнхлэгийг Ox дээр авч үзэх нь Үе үеийн функцүүдийн хувьд Фурье цувааг нэгтгэх шалгуурыг томъёолоход хангалттай. хангалттай үзүүлэлтФурье цувралын нэгдэл, өөрөөр хэлбэл бид нөхцөлийг томъёолдог өгөгдсөн функц, үүний доор үүнээс баригдсан Фурье цуврал нийлдэг бөгөөд бид энэ цувралын нийлбэр хэрхэн ажиллахыг олж мэдэх болно. Доор өгөгдсөн хэсэгчилсэн монотон функцүүдийн ангилал нэлээд өргөн боловч Фурье цувралын нийлдэг функцууд тэдгээрээр дуусдаггүй гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Тодорхойлолт. f(x) функцийг [a, 6] сегмент дээр хэсэгчлэн монотон гэж нэрлэдэг, хэрэв энэ сегментийг хязгаарлагдмал тооны цэгүүдээр интервалд хувааж, тус бүр дээр f(x) нь монотон байна, өөрөөр хэлбэл. эсвэл буурахгүй эсвэл нэмэгдэхгүй (1-р зургийг үз). Жишээ 1. Функц нь (-oo,oo) интервал дээр хэсэгчлэн монотон байна, учир нь энэ интервалыг (-co, 0) ба (0, +oo) гэсэн хоёр интервалд хувааж, эхнийх нь багасдаг (ба) тиймээс өсөхгүй), харин хоёр дахь нь нэмэгддэг (тиймээс буурахгүй). Жишээ 2. Функц нь [-zg, jt| сегмент дээр хэсэгчлэн монотон байна, учир нь энэ сегментийг эхнийх нь cos i нь -I-ээс +1 хүртэл өсөж, хоёр дахь нь -ээс буурдаг хоёр интервалд хувааж болно. Теорем 3. Хэсэгчилсэн монотон ба (a, b] интервал дээр хязгаарлагдсан f(x) функц нь зөвхөн эхний төрлийн тасархайн цэгүүдтэй байж болно. Жишээлбэл, f(x) функцийн тасалдалын цэг байцгаая. ) Дараа нь хязгаарлагдмал функц f(x) ба монотон байдлаас шалтгаалан c цэгийн хоёр талд хязгаарлагдмал нэг талт хязгаарууд байдаг бөгөөд энэ нь c цэг нь эхний төрлийн тасалдал гэсэн үг юм (Зураг 2). Теорем 4. 2м үетэй үечилсэн функц нь [-m, m/ интервал дээр хязгаарлагдмал бол түүний Фурье цуваа нь энэ интервалын х цэг бүрт нийлдэг. Энэ цувралын тэгш байдал хангагдсан: Prmmer3. (-*,*) интервал дээр тэгшитгэлээр (Зураг 3) тодорхойлогдсон 2jt үеийн /(z) функц нь теоремын нөхцлийг хангаж байна. Тиймээс үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно. Бид үүний Фурье коэффициентийг олдог: Энэ функцийн Фурье цуваа нь хэлбэртэй байна Жишээ 4. Функцийг интервал дээр Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүл (Зураг 4) Энэ функцтеоремын нөхцөлийг хангаж байна. Фурьегийн коэффициентүүдийг олцгооё. Нэмэлт шинж чанарыг ашиглах тодорхой интеграл, бид ФУРЬЕР ЦУВАЛ Тригонометрийн цуваатай байх болно Тригонометрийн системийн ортогональ байдал Тригонометрийн Фурьегийн цуврал Фурьегийн цуврал дахь функцийг задлах хангалттай нөхцөлүүд Иймээс Фурье цуврал нь дараах хэлбэртэй байна: Хэсгийн төгсгөлд (-i, ir] , өөрөөр хэлбэл эхний төрлийн тасалдал болох x = -x ба x = x цэгүүдэд бид Тэмдэглэл байх болно Хэрэв бид олсон Фурье цувралд x = 0-г оруулбал бид үүнээс гарна.

Шинжлэх ухаан, технологийн хувьд бид ихэвчлэн үе үе үзэгдэлтэй тулгардаг, жишээлбэл. тодорхой хугацааны дараа дахин үрждэг хүмүүс Т, үе гэж нэрлэдэг. Тогтмол функцүүдийн хамгийн энгийн нь (тогтмолоос бусад) нь синусоид хэмжигдэхүүн юм. Шиг(x+ ), гармоник хэлбэлзэл, харьцаагаар үетэй холбоотой “давтамж” байгаа тохиолдолд: . Ийм энгийн үечилсэн функцүүдээс илүү нарийн төвөгтэй функцуудыг үүсгэж болно. Ижил давтамжийн синусоид хэмжигдэхүүнийг нэмснээр ижил давтамжтай синусоид хэмжигдэхүүн үүсдэг тул бүрэлдэхүүн хэсгийн синусоид хэмжигдэхүүнүүд өөр өөр давтамжтай байх ёстой. Хэрэв та маягтын хэд хэдэн хэмжээг нэмбэл

Жишээлбэл, бид энд гурван синусоид хэмжигдэхүүнийг нэмж оруулав: . Энэ функцийн графикийг харцгаая

Энэ график нь синусын долгионоос эрс ялгаатай. Мөн дотор илүү их хэмжээгээрЭнэ нь энэ төрлийн нөхцлөөс бүрдсэн хязгааргүй цувралын нийлбэрт тохиолддог. Асуултыг тавьцгаая: энэ үе үе үе байж болох уу? Тэцсийн буюу хамгийн багадаа нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлнэ хязгааргүй тоосинусоид хэмжигдэхүүнүүд? Том хэмжээний функцтэй холбоотойгоор энэ асуултыг эерэгээр хариулж болох юм, гэхдээ энэ нь бид ийм нэр томъёоны хязгааргүй дарааллыг бүхэлд нь хамарсан тохиолдолд л болно. Геометрийн хувьд энэ нь үечилсэн функцийн графикийг синусоидуудын цувааг давхарлаж гаргана гэсэн үг юм. Хэрэв бид тус бүрийг авч үзвэл синусоид утгазарим гармоник шиг хэлбэлзлийн хөдөлгөөн, тэгвэл энэ нь функцээр тодорхойлогддог нарийн төвөгтэй хэлбэлзэл эсвэл зүгээр л түүний гармоник (эхний, хоёр дахь гэх мэт) гэж хэлж болно. Тогтмол функцийг гармоник болгон задлах үйл явцыг гэнэ гармоник шинжилгээ.

Ийм өргөтгөлүүд нь зөвхөн тодорхой хязгаарлагдмал интервалд заасан, ямар ч хэлбэлзлийн үзэгдлээс үүсдэггүй функцийг судлахад ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг гэдгийг анхаарах нь чухал юм.

Тодорхойлолт.Тригонометрийн цуврал нь дараах хэлбэрийн цуваа юм.

Эсвэл (1).

Бодит тоотригонометрийн цувралын коэффициент гэж нэрлэдэг. Энэ цувралыг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Хэрэв дээр дурдсан төрлийн цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр нь 2p үетэй үечилсэн функц болно.

Тодорхойлолт.Тригонометрийн цувралын Фурье коэффициентийг дараах байдлаар нэрлэнэ. (2)

(3)

(4)

Тодорхойлолт.Функцийн хувьд ойролцоох Фурье f(x)коэффициентүүд нь Фурье коэффициентүүд болох тригонометрийн цуваа гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв функцийн Фурье цуваа f(x)үүнтэй тасралтгүй байдлын бүх цэгүүдэд нийлдэг бол бид функц гэж хэлнэ f(x)Фурье цуврал болж өргөжсөн.

Теорем.(Дирихлетийн теорем) Хэрэв функц нь 2p үетэй ба интервал дээр тасралтгүй эсвэл эцсийн тооЭхний төрлийн тасалдалтай цэгүүд нь сегментийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааж болох тул тэдгээрийн дотор функц нь монотон байх болно, дараа нь функцийн Фурье цуврал бүх утгуудад нийлдэг. X, мөн функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд түүний нийлбэр S(x)тэнцүү, тасалдлын цэгүүдэд түүний нийлбэр тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. зүүн ба баруун талын хязгаарын утгын арифметик дундаж.

Энэ тохиолдолд функцийн Фурье цуврал f(x)функцийн тасралтгүй байдлын интервалд хамаарах аливаа сегмент дээр жигд нийлдэг.

Энэ теоремын нөхцлийг хангасан функцийг сегмент дээр хэсэгчилсэн гөлгөр гэж нэрлэдэг.

Фурье цуврал дахь функцийг өргөтгөх жишээг авч үзье.

Жишээ 1. Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл f(x)=1-x, сарын тэмдэгтэй 2хба сегмент дээр өгөгдсөн.

Шийдэл. Энэ функцийг зурцгаая

Энэ функц нь сегмент дээр, өөрөөр хэлбэл нэг хугацааны урттай сегмент дээр үргэлжилдэг тул үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, энэ сегментийн цэг бүрт нэгтгэж болно. (2) томъёог ашиглан бид энэ цувралын коэффициентийг олно: .

Интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор хэрэглэж, (3) ба (4) томъёоноос тус тус олъё:

Коэффициентийг (1) томъёонд орлуулснаар бид олж авна эсвэл .

Энэ тэгш байдал нь цэгээс бусад бүх цэгүүдэд (графикуудыг холбосон цэгүүдэд) хамаарна. Эдгээр цэг бүрт цувралын нийлбэр нь баруун ба зүүн талын хязгаарын утгуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Функцийг задлах алгоритмыг танилцуулъяФурье цувралд.

Ерөнхий журамАсуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Олон нумын косинус ба синусаар, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн цуваа

эсвэл дотор нарийн төвөгтэй хэлбэр

Хаана a k,б кэсвэл үүний дагуу c kдуудсан T.r. коэффициент
Анх удаа T. r. Л.Эйлерээс олдсон (L. Euler, 1744). Тэр задралд орсон

Бүгд Р. 18-р зуун Мөрний чөлөөт чичиргээний асуудлыг судлахтай холбогдуулан функцийг тодорхойлох боломжийн талаар асуулт гарч ирэв. эхлэх байрлалмөр, нийлбэр хэлбэрээр T. r. Энэ асуудал нь тухайн үеийн шилдэг шинжээчид болох Д.Бернулли, Ж.Д'Аламберт, Ж.Лагранж, Л.Эйлер (Л.Эу1ер) нарын дунд хэдэн арван жил үргэлжилсэн ширүүн маргаан үүсгэсэн. Функцийн тухай ойлголтын агуулгатай холбоотой маргаан. Тухайн үед функцууд нь ихэвчлэн аналитик функцуудтай холбоотой байдаг. даалгавар, энэ нь зөвхөн аналитик эсвэл хэсэгчилсэн байдлаар авч үзэхэд хүргэсэн аналитик функцууд. Эндээс харахад график нь дур зоргоороо байдаг функцэд энэ функцийг илэрхийлэх TR байгуулах шаардлагатай болсон. Гэхдээ эдгээр маргааны ач холбогдол нь илүү их юм. Үнэн хэрэгтээ тэд үндсэндээ олон асуудалтай холбогдуулан ярилцсан эсвэл үүссэн чухал ойлголтуудболон математикийн санаанууд. ерөнхий шинжилгээ - Тейлорын цуврал болон аналитик функцүүдийн төлөөлөл. функцүүдийн үргэлжлэл, дивергент цуваа, хязгаар, тэгшитгэлийн төгсгөлгүй систем, олон гишүүнт функцийг ашиглах гэх мэт.
Мөн ирээдүйд, энэ эхний үетэй адил онол tr. математикийн шинэ санааны эх сурвалж болсон. Фурье интеграл, бараг үечилсэн функц, ерөнхий ортогональ цуваа, хийсвэр. T. r.-ийн судалгаа. олонлогын онолыг бий болгох эхлэлийн цэг болсон. T.r. функцийг илэрхийлэх, судлах хүчирхэг хэрэгсэл юм.
18-р зууны математикчдын дунд маргаан үүсгэсэн асуултыг 1807 онд Ж.Фурье шийдэж, термодинамикийн коэффициентийг тооцоолох томъёог зааж өгсөн. (1) байх ёстой. f(x) функцийг илэрхийлнэ:

дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигласан. Формула (2)-ыг Фурье томьёо гэж нэрлэдэг, гэхдээ тэдгээр нь өмнө нь А.Клайрот (1754), Л.Эйлер (1777)-д нэр томъёоны интегралчлалын тусламжтайгаар хүрч ирсэн. T.r. (1), коэффициентийг (2) томъёогоор тодорхойлно. f функцийн Фурье цуврал ба тоонууд a k, b k- Фурье коэффициентүүд.
Хүлээн авсан үр дүнгийн шинж чанар нь функцийг цувралаар хэрхэн дүрслэх, (2) томъёонд заасан интегралыг хэрхэн ойлгохоос хамаарна. Орчин үеийн онол T.r. Лебесгийн интеграл гарч ирсний дараа олж авсан.
T. r-ийн онол. онол гэсэн хоёр том хэсэгт хувааж болно Фурье цуврал, Үүнд (1) цуваа нь тодорхой функцийн Фурьегийн цуваа бөгөөд ийм таамаглал хийгдээгүй ерөнхий термодинамикийн онол юм. Ерөнхий термодинамикийн онолд олж авсан гол үр дүнг доор харуулав. (энэ тохиолдолд олонлогууд болон функцүүдийн хэмжигдэхүүнийг Лебесгийн дагуу ойлгодог).
Эхний системчилсэн Эдгээр цувралууд нь Фурьегийн цуврал гэж таамаглаагүй TR-ийн судалгаа нь В.Риманы (W. Riemann, 1853) диссертаци байв. Тиймээс ерөнхий T. r-ийн онол. дуудсан заримдаа Риманы онол T. r.
Дурын TR-ийн шинж чанарыг судлах. (1) тэг рүү чиглэсэн коэффициентүүдтэй тасралтгүй функц F(x) , Энэ нь жигд нийлсэн цувааны нийлбэр юм

(1) цувралыг давхар гишүүнээр нь нэгтгэсний дараа олж авсан. Хэрэв цуврал (1) нь тодорхой x цэг дээр s тоонд нийлдэг бол энэ цэг дээр байгаа бөгөөд s-тэй тэнцүү хоёр дахь тэгш хэмтэй байна. F функцууд:

дараа нь энэ нь хүчин зүйлсээр үүсгэгдсэн цувралын (1) нийлбэрт хүргэдэг дуудсан Риманы нийлбэрийн арга. F функцийг ашиглан Риманы нутагшуулах зарчмыг томъёолсон бөгөөд үүний дагуу x цэг дээрх (1) цувралын үйлдэл нь зөвхөн энэ цэгийн дур зоргоороо жижиг хөрш дэх F функцийн төлөв байдлаас хамаарна.
Хэрэв T. r. эерэг хэмжигдэхүүн дээр нийлдэг, дараа нь түүний коэффициентүүд тэг болох хандлагатай байдаг (Кантор-Лебесг). TR-ийн тэг коэффициентийг эрэлхийлж байна. мөн хоёр дахь ангиллын олонлог дээр ойртож байгаагаас үүдэлтэй (В. Янг, В. Янг, 1909).
Нэг нь төвлөрсөн асуудлуудерөнхий онолууд T. r. нь TR-ийн дурын функцийг төлөөлөх асуудал юм. Абел-Пуассон ба Риманы аргаар нэгтгэсэн Т.Р.-ийн функцүүдийн дүрслэлийн талаархи Н.Н.Лузин (1915)-ийн үр дүнг бэхжүүлж, Д.Е.Меншов (1940) функцийг илэрхийлэх хамгийн чухал тохиолдолтой холбоотой дараах теоремыг нотолсон (1940). f гэж T.r гэж ойлгодог. руу е(x) бараг хаа сайгүй. Бараг хаа сайгүй хэмжигдэх, хязгаарлагдмал байдаг f функц бүрийн хувьд бараг бүх газарт нийлдэг шугаман тэгшитгэл байдаг (Меньшовын теорем). Хэдийгээр f нь интегралдах боломжтой байсан ч гэсэн ерөнхийдөө f функцийн Фурье цувааг ийм цуврал болгон авах боломжгүй, учир нь хаа сайгүй хуваагддаг Фурьегийн цуваа байдаг.
Дээрх Меньшовын теорем нь дараахь зүйлийг тодруулах боломжийг олгодог: хэрэв f функц нь бараг бүх газарт хэмжигдэхүйц бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг бол ийм зүйл байдаг. бараг хаа сайгүй бөгөөд j функцийн нэр томьёогоор ялгасан Фурье цуваа бараг хаа сайгүй f(x)-д нийлдэг (N.K. Bari, 1952).
Меньшовын теоремын бараг хаа сайгүй f функцийн хязгаарлагдмал байдлын нөхцөлийг орхих боломжтой эсэх нь тодорхойгүй (1984). Ялангуяа, энэ нь тодорхойгүй байна (1984) T. r. бараг хаа сайгүй нийлдэг
Тиймээс эерэг хэмжүүрийн багц дээр хязгааргүй утгыг авах боломжтой функцуудыг төлөөлөх асуудлыг илүү сул шаардлагаар сольсон тохиолдолд авч үзсэн болно. Хязгааргүй утгыг авч болох функцүүдэд хэмжигдэхүүнийг нэгтгэхийг дараах байдлаар тодорхойлно: хэсэгчилсэн нийлбэр T. p. s n(x) f(x) функцэд хэмжигдэхүүнээр нийлдэг. . хэрэв хаана fn(x)бараг хаа сайгүй / (x)-д нийлэх ба дараалал нь хэмжигдэхүүнээрээ тэг болж нийлдэг. Энэхүү томъёололд функцийг төлөөлөх асуудлыг бүрэн шийдсэн: хэмжигдэхүйц функц бүрийн хувьд хэмжигдэхүүнээр нийлдэг TR байдаг (D. E. Menshov, 1948).
Олон тооны судалгааг TR-ийн өвөрмөц байдлын асуудалд зориулжээ: хоёр өөр TR нь ижил функцэд хуваагдаж чадах эсэх; өөр томъёололд: хэрэв T. r. тэг рүү нийлдэг бол цувралын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг үү. Энд бид тодорхой олонлогоос гадуур бүх цэгүүд эсвэл бүх цэгүүдэд нэгдэхийг хэлж болно. Эдгээр асуултын хариулт нь үндсэндээ тухайн багцын шинж чанараас шалтгаална, үүнээс гадна нийлэлтийг тооцдоггүй.
Дараахь нэр томъёо бий болсон. Олон нэрс олон хүний ​​өвөрмөц байдалэсвэл U-багц, хэрэв T. r-ийн нийлбэрээс. олонлогийн цэгүүдийг эс тооцвол хаа сайгүй тэг болно Э,Энэ цувралын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна. Үгүй бол Йеназ. М багц.
Г.Канторын харуулсан (Г.Кантор, 1872), түүнчлэн аливаа хязгаарлагдмал олонлогууд нь U олонлогууд юм. Дурын нэг нь бас U-set (W. Jung, 1909). Нөгөө талаас эерэг хэмжүүрийн багц бүр нь М багц юм.
М хэмжүүрийн олонлог байдгийг Д.Е.Меньшов (1916) тогтоосон бөгөөд тэрээр эдгээр шинж чанаруудыг агуулсан төгс багцын анхны жишээг бүтээжээ. Энэ үр дүн нь өвөрмөц байдлын асуудалд чухал ач холбогдолтой юм. Тэг хэмжигдэхүүний M-иж бүрдэл байдгаас үзэхэд гурвалжин цувааны функцуудыг бараг хаа сайгүй нийлж байгаа байдлаар дүрслэх үед эдгээр цуваанууд тодорхой өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.
Төгс иж бүрдэл нь U хэлбэрийн багц байж болно (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Өвөрмөц байдлын асуудалд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг нарийн шинж чанаруудхэмжүүрийн багц тэг. Ерөнхий асуулт 0 хэмжүүрийн багцыг ангилах тухай М-болон U багц (1984) нээлттэй хэвээр байна. Тэр ч байтугай шийдэгдэхгүй байна төгс иж бүрдэл.
Дараахь асуудал нь өвөрмөц байдлын асуудалтай холбоотой юм. Хэрэв T. r. функцэд нийлдэг тэгвэл энэ цуваа функцийн Фурье цуврал байх ёстой /. Хэрэв f Риманы интеграл болох ба цуваа бүх цэг дээр f(x)-д нийлдэг бол энэ асуултад П.Дю Бойс-Реймонд (1877) эерэг хариулт өгсөн. III-ийн үр дүнгээс. Ж.Ла Валли Пуссин (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) тоолж болох олон тооны цэгээс бусад газар хаа сайгүй цуваа нийлж, нийлбэр нь төгсгөлтэй байх тохиолдолд ч хариулт эерэг байна гэж үздэг.
Хэрэв цуваа нь тодорхой x 0 цэгт туйлын нийлдэг бол энэ цувааны нийлэх цэгүүд, түүнчлэн түүний үнэмлэхүй нийлэх цэгүүд нь x 0 цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлана. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
дагуу Дэнжой - Лузин теорем TR-ийн үнэмлэхүй нэгдлээс. (1) эерэг хэмжүүрийн багц дээр цуваа нийлдэг Тиймээс үнэмлэхүй нэгдэлмөр (1) бүгдэд зориулагдсан X.Хоёрдахь ангиллын багцууд, мөн тэг хэмжигдэхүүний тодорхой багцууд мөн ийм шинж чанартай байдаг.
Энэхүү тойм нь зөвхөн нэг хэмжээст TR-г хамарна. (1). Ерөнхий T. r-тэй холбоотой тусдаа үр дүн байдаг. хэд хэдэн хувьсагчаас. Энд ихэнх тохиолдолд асуудлын байгалийн томъёоллыг олох шаардлагатай хэвээр байна.

Гэрэл.: Бари Н.К., Тригонометрийн цуврал, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрийн цуврал, транс. Англи хэлнээс, 1-2-р боть, М., 1965; Лузин Н.Н., Интеграл ба тригонометрийн цуврал, М.-Л., 1951; Риман Б., Соч., орчуулга. Германаас, M.-L., 1948, х. 225-61.
С.А.Теляковский.

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. I. M. Виноградов. 1977-1985 он.

Бусад толь бичгүүдээс "ТРИГОНОМЕТРИЙН ЦУВРАЛ" гэж юу болохыг харна уу.

a0, a1, b1, a2, b2 ... коэффициентүүд нь x хувьсагчаас хамаардаггүй хэлбэрийн цуваа ... Том нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд тригонометрийн цуваа нь хэлбэрийн аль ч цуваа юм: Тригонометрийн цувааг функцийн Фурье цуваа гэж нэрлэдэг бөгөөд коэффициентүүд нь дараах байдлаар тодорхойлогддог... Wikipedia

(1) хэлбэрийн функциональ цуваа, өөрөөр хэлбэл олон нумын синус ба косинусын дагуу байрлах цуваа. Ихэнхдээ T.r. нийлмэл хэлбэрээр бичигдсэн an, bn эсвэл cn тоонуудыг T коэффициент гэнэ.… … Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

a0, a1, b1, a2, b2, ... коэффициентүүд нь x хувьсагчаас хамаарахгүй хэлбэрийн цуваа. * * * ТРИГОНОМЕТРИЙН ЦУВРАЛ ТРИГОНОМЕТРИЙН ЦУВРАЛ, a0, a1, b1, a2, b2 ... коэффициентүүд нь х ... хувьсагчаас хамаарахгүй хэлбэрийн цуваа. нэвтэрхий толь бичиг

Дурын функцийн тригонометрийн Фурье цувааны дүрслэл (1) цуваа хэлбэрээр эсвэл ашиглах нарийн төвөгтэй оруулга, цуврал хэлбэрээр: . Агуулга... Википедиа

хязгааргүй тригонометрийн Фурье цуврал- - Харилцаа холбооны сэдэв, үндсэн ойлголтууд EN Фурье цуврал ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Танилцуулга

Бид Фурье цувралын илэрхийллүүдийг тригонометрийн болон нийлмэл хэлбэрээр авч үзэхээс гадна Фурьегийн цувааг нэгтгэх Дирихлегийн нөхцлийг анхаарч үзэх болно. Нэмж дурдахад бид спектрийн шинжилгээний онолтой танилцахад ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг дохионы спектрийн сөрөг давтамж гэх мэт ойлголтын тайлбарыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Тогтмол дохио. Тригонометрийн Фурье цуврал

Жишээ болгон 1-р зурагт c хугацаатай давтагдсан тэгш өнцөгт импульсийн дарааллыг үзүүлэв.

Зураг 1. Үелэх дараалал

Тэгш өнцөгт импульс

Хичээлээс математик шинжилгээтригонометрийн функцүүдийн систем гэдгийг мэддэг

Фурье цувааг нэгтгэх Дирихлегийн нөхцлүүд нь сегмент дээр үечилсэн дохиог зааж өгөхийг шаарддаг бөгөөд дараах нөхцлүүдийг хангана.

Жишээлбэл, үечилсэн функц функц нь Дирихлегийн нөхцлийг хангахгүй Хоёрдахь төрлийн тасалдалтай бөгөөд төгсгөлгүй утгыг авна, энд дурын бүхэл тоо байна. Тиймээс функц Фурье цуваагаар төлөөлөх боломжгүй. Та мөн функцийн жишээг өгч болно , энэ нь хязгаарлагдмал боловч тэг рүү ойртох тусам хязгааргүй тооны экстремум цэгүүдтэй тул Дирихлегийн нөхцлийг хангахгүй. Функцийн график Зураг 2-т үзүүлэв.

Зураг 2. Функцийн график :

A - хоёр давталтын хугацаа; б - ойролцоо

Зураг 2а нь функцийн хоёр давталтын үеийг харуулж байна , мөн Зураг 2б-д - ойролцоох талбай. Эндээс харахад тэг рүү ойртох тусам хэлбэлзлийн давтамж нь хязгааргүй ихсэх ба ийм функцийг Фурье цуваагаар дүрслэх боломжгүй, учир нь энэ нь хэсэгчилсэн монотон биш юм.

Практикт хязгааргүй гүйдэл эсвэл хүчдэлийн утгатай дохио байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. -тай ажилладаг хязгааргүй тоотөрлийн экстремум бас дотор хэрэглээний асуудлуудуулзахгүй. Бүх бодит үечилсэн дохио нь Дирихлегийн нөхцлийг хангадаг бөгөөд дараах хэлбэрийн хязгааргүй тригонометрийн Фурье цувралаар дүрслэгдэж болно.

(2) илэрхийлэлд коэффициент нь үечилсэн дохионы тогтмол бүрэлдэхүүнийг тодорхойлдог.

Дохио тасралтгүй байх бүх цэгүүдэд Фурье цуваа (2) өгөгдсөн дохионы утгуудад, эхний төрлийн тасалдалтай цэгүүдэд дундаж утга руу нийлдэг. таслах цэгийн баруун талд тус тус.

Хязгааргүй нийлбэрийн оронд зөвхөн эхний гишүүдийг агуулсан тайрсан Фурье цувралыг ашиглах нь дохионы ойролцоо дүрслэлд хүргэдэг болохыг математик шинжилгээний явцад мэддэг.

Зураг 3. Таслагдсан Фурье цуврал ашиглан дохионы ойролцоолсон байдал:

A - тэгш өнцөгт импульс; б - хөрөөний шүдний дохио

Нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Фурье цуврал

Иймд үечилсэн дохиог эерэг давтамжийн коэффициент бүхий давтамжаар эргэлддэг тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг ба комплекс экспоненциалуудын нийлбэрээр, сөрөг давтамжид эргэлддэг комплекс экспоненциалуудын хувьд төлөөлж болно.

Эерэг давтамжтай эргэлдэх цогц экспоненциалуудын коэффициентийг авч үзье.

(6) ба (7) илэрхийллүүд нь давхцаж байгаа тул тогтмол бүрэлдэхүүнийг тэг давтамжтай комплекс экспоненциалаар бичиж болно.

Тиймээс (6)-(8)-ыг харгалзан (5) хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэл индексжүүлсэн тохиолдолд нэг нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Илэрхийлэл (9) нь нийлмэл хэлбэртэй Фурье цуврал юм. Нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Фурье цувралын коэффициентүүд нь цувралын коэффициентуудтай холбоотой байдаг тригонометрийн хэлбэр, мөн эерэг ба сөрөг давтамжийн аль алинд нь тодорхойлогддог. Давтамжийн тэмдэглэгээний доод тэмдэг нь салангид гармоникийн тоог, сөрөг давтамжтай харгалзах сөрөг дэд бичээсийг заана.

(2) илэрхийллээс харахад бодит дохионы хувьд цувралын (2) коэффициентүүд бас бодит байна. Гэсэн хэдий ч (9) нь бодит дохиог эерэг ба сөрөг давтамжтай холбоотой цогц коньюгат коэффициентүүдийн багцтай холбодог.

Нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Фурье цувралын зарим тайлбар

Нэгдүгээрт, нарийн төвөгтэй экспонентуудтай ажиллах нь ихэнх тохиолдолд тригонометрийн функцтэй ажиллахаас илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл илтгэгчийг үржүүлэх, хуваахдаа илтгэгчийг нэмэх (хасах) нь хангалттай байдаг бол тригонометрийн функцийг үржүүлэх, хуваах томъёо нь илүү төвөгтэй байдаг.

Экспоненциалуудыг, бүр нарийн төвөгтэй ч гэсэн ялгах, нэгтгэх нь илүү хялбар байдаг тригонометрийн функцууд, энэ нь дифференциал ба интеграцчлалын явцад байнга өөрчлөгддөг (синус нь косинус болж хувирдаг ба эсрэгээр).

Хэрэв дохио нь үечилсэн бөгөөд бодит байвал тригонометрийн Фурье цуврал (2) илүү тодорхой харагдаж байна, учир нь бүх тэлэлтийн коэффициентууд , бодит хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч хүн ихэвчлэн нарийн төвөгтэй үечилсэн дохиотой тулгардаг (жишээлбэл, модуляцлах, демодуляци хийх үед нарийн төвөгтэй дугтуйны квадрат дүрслэлийг ашигладаг). Энэ тохиолдолд тригонометрийн Фурье цувралыг ашиглах үед бүх коэффициент ба өргөтгөлүүд (2) нь төвөгтэй болж, Фурьегийн цувралыг комплекс хэлбэрээр (9) ашиглах үед бодит болон нийлмэл оролтын дохионы хувьд ижил тэлэлтийн коэффициентийг ашиглана. .

Эцэст нь (9) дээр гарч ирсэн сөрөг давтамжийн тайлбар дээр анхаарлаа хандуулах шаардлагатай байна. Энэ асуулт ихэвчлэн үл ойлголцол үүсгэдэг. IN Өдөр тутмын амьдралБид сөрөг давтамжтай тулгардаггүй. Жишээлбэл, бид хэзээ ч радиогоо сөрөг давтамжтай тааруулдаггүй. Механикаас дараах зүйрлэлийг авч үзье. Тодорхой давтамжтайгаар чөлөөтэй хэлбэлздэг механик пүршний дүүжин байх болтугай. Савлуур сөрөг давтамжтай хэлбэлзэж чадах уу? Мэдээж үгүй. Сөрөг давтамжаар цацдаг радио станц байдаггүйтэй адил савлуурын хэлбэлзлийн давтамж сөрөг байж болохгүй. Гэхдээ пүршний дүүжин нь нэг хэмжээст биет юм (дүүжин нь нэг шулуун шугамын дагуу хэлбэлздэг).

Бид механикийн өөр нэг зүйрлэлийг өгч болно: давтамжтай эргэдэг дугуй. Дугуй нь савлуураас ялгаатай нь эргэлддэг, i.e. дугуйны гадаргуу дээрх цэг нь хавтгайд хөдөлдөг бөгөөд нэг шулуун шугамын дагуу зүгээр л хэлбэлздэггүй. Тиймээс дугуйны эргэлтийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд эргэлтийн хурдыг тохируулах нь хангалтгүй, учир нь эргэлтийн чиглэлийг тохируулах шаардлагатай байдаг. Чухам ийм учраас бид давтамжийн тэмдгийг ашиглаж болно.

Тэгэхээр дугуй нь цагийн зүүний эсрэг давтамжтай рад/с эргэдэг бол дугуй эерэг давтамжтай, цагийн зүүний дагуу эргэдэг бол эргэлтийн давтамж сөрөг байна гэж үздэг. Тиймээс эргүүлэх командын хувьд сөрөг давтамж нь утгагүй байхаа больж, эргэлтийн чиглэлийг заадаг.

Одоо бидний ойлгох ёстой хамгийн чухал зүйл. Нэг хэмжээст объектын чичиргээ (жишээлбэл, хаврын дүүжин)-ийг Зураг 4-т үзүүлсэн хоёр векторын эргэлтийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Зураг 4. Пүршний дүүжингийн хэлбэлзэл

Хоёр векторын эргэлтийн нийлбэрээр

дээр нарийн төвөгтэй хавтгай

Савлуур нь нийлмэл хавтгайн бодит тэнхлэгийн дагуу давтамжтайгаар хэлбэлздэг гармоник хууль. Савлуурын хөдөлгөөнийг хэвтээ вектор хэлбэрээр үзүүлэв. Дээд вектор нь нийлмэл хавтгай дээр эерэг давтамжтай (цагийн зүүний эсрэг), доод вектор нь сөрөг давтамжтай (цагийн зүүний дагуу) эргэлддэг. Зураг 4-т тригонометрийн хичээлээс сайн мэддэг хамаарлыг тодорхой харуулсан болно.

Тиймээс Фурьегийн цуваа (9) цогц хэлбэрийн нэг хэмжээст дохиог эерэг ба сөрөг давтамжтайгаар эргэлддэг цогц хавтгай дээрх векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлдэг. Үүний зэрэгцээ, бодит дохионы хувьд (9)-ийн дагуу сөрөг давтамжийн тэлэлтийн коэффициент нь эерэг давтамжийн харгалзах коэффициентүүдтэй нарийн төвөгтэй коньюгат болохыг анхаарна уу. Нарийн төвөгтэй дохионы хувьд коэффициентүүдийн энэ шинж чанар нь бас төвөгтэй байдаг тул биелдэггүй.

Тогтмол дохионы спектр

Тогтмол дохиог зөвхөн тогтмол давтамжийн сүлжээнд дараалан байрлуулдаг тул үечилсэн дохионы спектр нь шугаман (дискрет) байна.

Зураг 5. Тогтмол дарааллын спектр

Тэгш өнцөгт импульс:

A - далайцын спектр; b - фазын спектр

5-р зурагт тэгш өнцөгт импульсийн үечилсэн дарааллын далайц ба фазын спектрийн жишээг үзүүлэв (1-р зургийг үз), импульсийн үргэлжлэх хугацаа c ба импульсийн далайц В.

Анхны бодит дохионы далайцын спектр нь тэг давтамжтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, фазын спектр нь тэгш хэмийн эсрэг байна. Үүний зэрэгцээ фазын спектрийн утгууд ба гэдгийг бид тэмдэглэж байна нийлмэл хавтгайд ижил цэгтэй тохирч байна.

Багасгасан дохионы тэлэлтийн бүх коэффициентүүд нь зөвхөн бодитой, фазын спектр нь тодорхой байна гэж бид дүгнэж болно. сөрөг коэффициентүүдтэй тохирч байна.

Далайцын спектрийн хэмжээс нь дохионы хэмжээстэй давхцаж байгааг анхаарна уу. Хэрэв энэ нь вольтоор хэмжигдэх хүчдэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлсон бол спектрийн гармоникийн далайц нь вольтын хэмжээтэй байх болно.

дүгнэлт

Бид Фурье цувааны илэрхийллийн талаар дэлгэрэнгүй авч үзээд бодит ба нийлмэл үечилсэн дохиог эерэг ба сөрөг давтамжтай цогц экспоненциалын цуваагаар төлөөлдөг болохыг харуулсан. Энэ тохиолдолд тэлэлтийн коэффициентүүд нь нарийн төвөгтэй бөгөөд үечилсэн дохионы далайц ба фазын спектрийг тодорхойлдог.

IN дараагийн хэсэгБид үечилсэн дохионы спектрийн шинж чанарыг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

DSPL номын сан дахь програм хангамжийн хэрэгжилт