Тогтмол санамсаргүй үйл явц. Хөдөлгөөнгүй үйл явц

Тогтмол санамсаргүй үйл явц

санамсаргүй үйл явцын чухал тусгай анги (Харна уу Санамсаргүй үйл явц), Байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбаруудад магадлалын онолыг ашиглахад ихэвчлэн олддог. Санамсаргүй үйл явц X(т) бүгдийг нь хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг магадлалын шинж чанаруудцаг хугацааны явцад өөрчлөгдөхгүй т(жишээ нь, тоо хэмжээний магадлалын тархалт X(т) хүн бүрийн өмнө тнэг бөгөөд адилхан, гэхдээ хамтарсан хуваарилалтхэмжигдэхүүнүүдийн магадлал X(t 1) Мөн X(t 2) зөвхөн тухайн хугацааны үргэлжлэх хугацаанаас хамаарна t 2 -t 1,өөрөөр хэлбэл хос хэмжигдэхүүний хуваарилалт (X(t 1), X(t 2)} Тэгээд ( X(t 1 + s), X(t 2 + с)) аль ч тохиолдолд ижил байна t 1, t 2Тэгээд сТэгээд Т.г.).

S. s-ийн схем. p бодит үзэгдэл, эмх замбараагүй хэлбэлзэл дагалддаг. Жишээлбэл, долгионы гүйдэл эсвэл хүчдэл цахилгаан хэлхээ(цахилгаан "дуу чимээ") гэж үзэж болно S. s. гэх мэт, хэрэв энэ хэлхээ нь хөдөлгөөнгүй горимд байгаа бол, өөрөөр хэлбэл, түүний бүх макроскоп шинж чанар, гүйдэл гүйх бүх нөхцөл нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөхгүй бол; Турбулент урсгалын цэг дэх хурдны импульс нь s.s. p., хэрэв тэдгээр нь өөрчлөгдөхгүй бол ерөнхий нөхцөл, авч үзэж буй урсгалыг бий болгох (өөрөөр хэлбэл урсгал нь тогтвортой) гэх мэт. Эдгээр болон бусад жишээнүүд S. s. Физик (ялангуяа гео ба астрофизик), механик, технологид олдсон зүйлс нь нарны системийн салбарын судалгааг хөгжүүлэхэд түлхэц болсон. х.; Үүний зэрэгцээ нийгмийн тогтолцооны тухай ойлголтын зарим ерөнхий ойлголтууд бас чухал ач холбогдолтой болсон. (жишээ нь, хөдөлгөөнгүй өсөлттэй санамсаргүй үйл явцын тухай ойлголт тушаал өгсөн, ерөнхийлсөн S. s. ба нэгэн төрлийн санамсаргүй талбар).

IN математикийн онол S. s. Гол үүрэг нь процессын утгын магадлалын тархалтын мөчүүд юм X(т), хамгийн энгийн нь тоон шинж чанарэдгээр хуваарилалт. Эхний хоёр захиалгын мөчүүд нь онцгой чухал юм: S. s-ийн дундаж утга. зүйл Е X(т)= м -математикийн хүлээлтсанамсаргүй хувьсагч X(т) Мөн корреляцийн функц S. s. зүйл Е X(t 1) X(t 2)= Б(t 2 -t 1) - бүтээгдэхүүний математик хүлээлт X(t 1)X(t 2) (хэмжигдэхүүнүүдийн зөрүүгээр энгийнээр илэрхийлнэ X(т) ба хоорондын хамаарлын коэффициент X(t 1) Мөн X(t 2); см. Корреляци). Олонд математикийн судалгаа, S. s-д зориулсан. гэх мэт ерөнхийдөө зөвхөн шинж чанараараа бүрэн тодорхойлогддог шинж чанаруудыг л судалдаг мба B (τ) (гэгдэх корреляцийн онол S. s. х.). Үүнтэй холбогдуулан санамсаргүй үйл явц X(т), тогтмол дундаж утгатай байх E X(т)= мба корреляцийн функц B ( т 2 , t 1) = Э X(t 1) X(t 2), зөвхөн хамаарна t 2 - t 1,ихэвчлэн S. s гэж нэрлэдэг. p.c. өргөн утгаараа(мөн илүү тодорхой санамсаргүй үйл явц, бүх шинж чанар нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй, энэ тохиолдолд нарийн утгаараа санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг).

Нийгмийн шинжлэх ухааны математикийн онолд чухал байр суурь эзэлдэг. санамсаргүй үйл явцын өргөтгөл дээр суурилсан судалгаанууд эзэлж байна X(т) ба түүний хамаарлын функц B ( t 2 -t 1) = (τ) -д Фурье интеграл, эсвэл Фурье - Стиелтьес (харна уу. Фурье интеграл). Энд гол үүрэг нь Хинчиний теорем бөгөөд үүний дагуу системийн корреляцийн функц юм. х. X(т) хэлбэрээр үргэлж төлөөлж болно

Хаана Ф(λ) - монотон буурахгүй функц λ (мөн баруун талд байгаа интеграл нь Стиельтьесийн интеграл); хэрвээ B (τ) нь |τ|→∞ шиг хангалттай хурдан буурвал (хэрэглээнд ихэвчлэн тохиолддог. X(т) нь үнэндээ ялгаа гэж ойлгогддог X(т) - м), Дараа нь (1)-ийн баруун талын интеграл нь ердийн Фурье интеграл болж хувирна:

Хаана е(λ) = F'(λ) - сөрөг бус функц. Чиг үүрэг Ф(λ) S. s-ийн спектрийн функц гэж нэрлэдэг. х. X(т), функц Ф(λ) [(2) тэгш байдал хангагдсан тохиолдолд] - түүний спектрийн нягт. Энэ нь мөн Хинчиний теоремоос энэ үйл явц өөрөө юм X(т) хүлээн зөвшөөрч байна Спектрийн задралтөрлийн

Хаана З(λ) - нь хамааралгүй өсөлттэй санамсаргүй функц бөгөөд баруун талын интеграл нь интеграл нийлбэрийн харгалзах дарааллын дундаж квадрат хязгаар гэж ойлгогдоно. Задаргаа (3) нь системийн аливаа системийг авч үзэх үндэслэлийг өгдөг. х. X(т) хамааралгүй-ийн суперпозиция хэлбэрээр гармоник чичиргээсанамсаргүй далайц ба фаз бүхий өөр өөр давтамж; нэгэн зэрэг спектрийн функц Ф(λ) ба спектрийн нягт е(λ) тархалтыг тодорхойлно дундаж эрчим хүчорсон X(т) давтамжийн спектрийн дагуу гармоник хэлбэлзэл λ (тиймээс, in хэрэглээний судалгаафункц е(λ) нь ихэвчлэн нарны аймгийн энергийн спектр эсвэл эрчим хүчний спектр гэж нэрлэгддэг. х. X(т)).

S. s-ийн үзэл баримтлалыг тодорхойлох. зүйл, түүнтэй холбоотой математикийн анхны үр дүнг олж авах нь Е.Е.Слуцкийн гавьяа юм (Харна уу. Слуцкий) ба 20-иод оны сүүлч, 30-аад оны эхэн үе. 20-р зуун Ирээдүйд чухал ажил S. s-ийн онолын дагуу. зүйлсийг А.Я гүйцэтгэсэн. Хичин th , А.Н. Колмогоров th , Г. Крамером , Н. Винером гэх мэт.

Лит.:Слуцкий Е.Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А.Я., Хөдөлгөөнгүй байдлын корреляцийн онол стохастик үйл явц, "Амжилт математикийн шинжлэх ухаан", 1938, c. 5, хуудас 42-51; Розанов Ю., Стационар санамсаргүй процесс, М., 1963; Прохоров Ю., Розанов Ю., Магадлалын онол. (Үндсэн ойлголтууд. Хязгаарын теоремууд. Санамсаргүй үйл явц), 2-р хэвлэл, М., 1973; Гихман И., Скороход А.В., Санамсаргүй үйл явцын онол, 1-р боть, М., 1971; Hennan E., Multivariate Time Series, trans. Англи хэлнээс, М., 1974.

A. M. Яглом.

Том Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдээс "Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц" гэж юу болохыг харна уу.

Бүх цаг мөчүүдэд тодорхойлогдсон санамсаргүй үйл явц, стохастик. бүтээгдэхүүний шинж чанар нь эхлэх цэгийн сонголтоос хамаардаггүй. лавлагаа момент (өөрөөр хэлбэл солих үед өөрчлөгддөггүй. Илүү нарийвчлалтай хэлбэл, энэ нь t1,...,tn... ... гэсэн үг юм. Физик нэвтэрхий толь бичиг

Тодорхойлолт [ | ]

Хаана T (\displaystyle T)дурын олонлог гэж нэрлэдэг санамсаргүй функц .

Нэр томьёо [ | ]

Энэ ангилал нь хатуу биш юм. Ялангуяа "санамсаргүй үйл явц" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн "санамсаргүй функц" гэсэн нэр томъёоны үнэмлэхүй синоним болгон ашигладаг.

Ангилал [ | ]

• Санамсаргүй үйл явц X (t) (\displaystyle X(t))процесс гэж нэрлэдэг цаг хугацааны хувьд салангид, хэрэв үүссэн систем нь зөвхөн цаг хугацааны агшинд төлөвөө өөрчилдөг бол t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots), тоо нь хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болно. Санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг тасралтгүй цаг хугацааны үйл явц, хэрэв төлөвөөс муж руу шилжих шилжилт ямар ч үед тохиолдож болно.
• Санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг -тай процесс тасралтгүй төлөвүүд , санамсаргүй үйл явцын утга тасралтгүй байвал санамсаргүй хувьсагч. Санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг салангид төлөвтэй санамсаргүй үйл явц, хэрэв санамсаргүй үйл явцын утга нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн байвал:
• Санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг суурин, хэрэв бүх олон хэмжээст тархалтын хуулиуд нь зөвхөн хамаарна харьцангуй байрлалцаг хугацааны мөчүүд t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), гэхдээ эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгууд дээр биш. Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй үйл явц нь цаг хугацааны явцад түүний магадлалын хэв маяг тогтмол байвал түүнийг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг. Үгүй бол үүнийг дууддаг суурин бус.
• Санамсаргүй функц гэж нэрлэдэг өргөн утгаараа хөдөлгөөнгүй, хэрэв түүний математикийн хүлээлт ба дисперс тогтмол бөгөөд ACF нь зөвхөн ординатыг авсан хугацааны моментуудын ялгаанаас хамаарна. санамсаргүй функц. Үзэл баримтлалыг А.Я.Хинчин гаргасан.
• Санамсаргүй үйл явцыг хөдөлгөөнгүй өсөлттэй процесс гэж нэрлэдэг тодорхой захиалга, хэрэв ийм өсөлтийн магадлалын загварууд цаг хугацааны явцад тогтмол байвал. Яглом ийм үйл явцыг авч үзсэн.
• Хэрэв санамсаргүй функцийн ординатууд нь хэвийн тархалтын хуульд захирагдаж байвал функцийг өөрөө дуудна хэвийн.
• Санамсаргүй функцууд, тэдгээрийн ординатуудын тархалтын хууль нь ирээдүйд үйл явцын ординатын утгаар бүрэн тодорхойлогддог. одоогийн мөчөмнөх үеийн процессын ординатын утгаас хамаарахгүй цаг хугацаа гэж нэрлэдэг Марковиан.
• Санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг бие даасан өсөлт бүхий үйл явц, хэрэв ямар нэгэн багцын хувьд t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), Хаана n > 2 (\displaystyle n>2), А t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots), (X t n − X t n − 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1))))хамтын бие даасан.
• Хэрэв хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын моментийн функцийг тодорхойлохдоо статистикийн чуулга дээр дундажлах үйлдлийг цаг хугацааны дундажаар сольж болох юм бол ийм хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг. эргодик .
• Санамсаргүй үйл явцын дотроос импульсив санамсаргүй үйл явцыг ялгадаг.

Санамсаргүй үйл явцын замнал[ | ]

Санамсаргүй үйл явцыг өгье ( X t ) t ∈ T (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\in T)). Дараа нь бэхэлсэн бүрийн хувьд t ∈ T (\displaystyle t\in T) X t (\displaystyle X_(t))- санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг хөндлөн огтлол. Хэрэв үндсэн үр дүн нь тогтсон бол ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega ), Тэр X t: T → R (\displaystyle X_(t)\хоёр цэг T\to \mathbb (R) )- детерминистик параметрийн функц t (\displaystyle t). Энэ функцийг нэрлэдэг замналэсвэл хэрэгжилтсанамсаргүй функц ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)).

Тогтмол санамсаргүй үйл явц

магадлалын онолыг байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарт хэрэглэхэд ихэвчлэн олддог санамсаргүй үйл явцын чухал тусгай анги. Санамсаргүй үйл явц X (t) нь түүний бүх магадлалын шинж чанарууд нь t хугацаанд өөрчлөгддөггүй бол хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг (жишээ нь, бүх t-ийн хувьд X (t) утгын магадлалын тархалт ижил, харин t-ийн хамтарсан магадлалын тархалт ижил байна. X утгууд (t

зөвхөн t2≈t1 хугацааны интервалын үргэлжлэх хугацаанаас хамаарна, өөрөөр хэлбэл хос хэмжигдэхүүнүүдийн тархалт (X (t1), X (t2)) ба (X (t1 + s), X (t2 + s)) нь ижил байна. дурын t1, t2 ба s гэх мэт).

S. s-ийн схем. Энэ нь эмх замбараагүй хэлбэлзэл дагалддаг олон бодит үзэгдлийг сайн ойролцоо дүрсэлсэн байдаг. Жишээлбэл, цахилгаан хэлхээн дэх гүйдэл эсвэл хүчдэлийн импульсийг (цахилгаан "дуу чимээ") S. s гэж үзэж болно. гэх мэт, хэрэв энэ хэлхээ нь хөдөлгөөнгүй горимд байгаа бол, өөрөөр хэлбэл, түүний бүх макроскоп шинж чанар, гүйдэл гүйх бүх нөхцөл нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөхгүй бол; Турбулент урсгалын цэг дэх хурдны импульс нь s.s. гэх мэт, хэрэв авч үзэж буй урсгалыг үүсгэгч ерөнхий нөхцөл өөрчлөгдөхгүй бол (өөрөөр хэлбэл урсгал нь тогтвортой) гэх мэт. Эдгээр болон бусад жишээнүүд S. s. Физик (ялангуяа гео ба астрофизик), механик, технологид олдсон зүйлс нь нарны системийн салбарын судалгааг хөгжүүлэхэд түлхэц болсон. х.; Үүний зэрэгцээ нийгмийн тогтолцооны тухай ойлголтын зарим ерөнхий ойлголтууд бас чухал ач холбогдолтой болсон. (жишээ нь, өгөгдсөн эрэмбийн хөдөлгөөнгүй өсөлттэй санамсаргүй үйл явц, ерөнхий санамсаргүй үйл явц, нэгэн төрлийн санамсаргүй талбарын тухай ойлголтууд).

Математикийн онолд S. s. Эдгээр тархалтын хамгийн энгийн тоон шинж чанар болох X (t) процессын утгуудын магадлалын тархалтын мөчүүд гол үүрэг гүйцэтгэдэг. Эхний хоёр захиалгын мөчүүд нь онцгой чухал юм: S. s-ийн дундаж утга. зүйл EX (t) = m ≈ санамсаргүй хэмжигдэхүүн X (t) болон корреляцийн функц S. s-ийн математик хүлээлт. х EX (t1) X (t2)= B (t2≈t1) ≈ X (t1) X (t2) бүтээгдэхүүний математик хүлээлт (Х (t) ба утгуудын хэлбэлзлээр энгийнээр илэрхийлэгдэнэ. X (t1) ба X ( t2) хоорондын хамаарлын коэффициент; Нийгмийн тогтолцоонд зориулсан математикийн олон судалгаанд. гэх мэт ерөнхийдөө зөвхөн m ба B(t) шинж чанараар бүрэн тодорхойлогддог шинж чанаруудыг л судалдаг (нийгмийн сүлжээний корреляцийн онол гэж нэрлэдэг). Үүнтэй холбогдуулан зөвхөн t2 ≈ t1-ээс хамаарах тогтмол дундаж утга EX (t) = m ба B (t2, t1) = EX (t1) X (t2) хамаарлын функцтэй X (t) санамсаргүй процессууд нь ихэвчлэн C. With гэж нэрлэдэг. өргөн утгаараа (мөн бүх шинж чанар нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй илүү тодорхой санамсаргүй үйл явцыг нарийн утгаараа санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэдэг).

Нийгмийн шинжлэх ухааны математикийн онолд чухал байр суурь эзэлдэг. Санамсаргүй үйл явц X (t) болон түүний хамаарлын функц B (t2 ≈t1) = B (t)-ийг Фурье интеграл буюу Фурье ≈ Стиелтжес болгон өргөтгөх (Фурье интегралыг үзнэ үү) дээр суурилсан судалгаанууд талбайг эзэлдэг. Энд гол үүрэг нь Хинчиний теорем бөгөөд үүний дагуу системийн корреляцийн функц юм. X (t) зүйлийг үргэлж хэлбэрээр илэрхийлж болно

Энд F (l) ≈ монотон буурахгүй функц l (баруун талд байгаа интеграл ≈ нь Стиелтьесийн интеграл); хэрвээ B (t) хангалттай хурдан буурвал |t|╝¥ (энэ нь X (t)-ээр бид X (t) ≈ m ялгааг илэрхийлж байгаа тохиолдолд энэ нь ихэвчлэн хэрэглэгдэхүүнд тохиолддог), баруун талын интеграл. (1) ердийн Фурье интеграл болж хувирна:

Энд f (l) = F▓(l) ≈ сөрөг бус функц. F(l) функцийг s.s-ийн спектрийн функц гэж нэрлэдэг. X (t) зүйл ба F (l) функц нь [(2) тэгш байдал хангагдсан тохиолдолд] ≈ түүний спектрийн нягт. Мөн Хинчиний теоремоос X (t) процесс өөрөө хэлбэрийн спектрийн задралыг хүлээн зөвшөөрдөг гэсэн үг.

Энд Z (l) ≈ хамааралгүй өсөлттэй санамсаргүй функц ба баруун талын интеграл нь интеграл нийлбэрийн харгалзах дарааллын дундаж квадрат хязгаар гэж ойлгогдоно. Задаргаа (3) нь системийн аливаа системийг авч үзэх үндэслэлийг өгдөг. зүйл X (t) санамсаргүй далайц ба фазын өөр хоорондоо хамааралгүй өөр өөр давтамжийн гармоник хэлбэлзлийн суперпозиция гэж; энэ тохиолдолд спектрийн функц F (l) ба спектрийн нягт f (l) нь X (t) -д багтсан гармоник хэлбэлзлийн дундаж энергийн l давтамжийн спектрийн тархалтыг тодорхойлно (иймээс хэрэглээний судалгаанд f функцийг тодорхойлно. (l) нь ихэвчлэн эрчим хүчний спектр эсвэл S. s (t)) гэж нэрлэгддэг.

S. s-ийн үзэл баримтлалыг тодорхойлох. үүнтэй холбоотой математикийн анхны үр дүнг олж авах нь 20-иод оны сүүлч, 30-аад оны эхэн үеэс эхтэй Е.Е.Слуцкийн гавьяа юм. 20-р зуун Дараа нь нийгмийн тогтолцооны онолын талаархи чухал бүтээлүүд. зүйлсийг А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров, Г.Крамер, Н.Винер болон бусад хүмүүс гүйцэтгэсэн.

Лит.: Слуцкий Е.Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А.Я., Тогтворгүй стохастик үйл явцын хамаарлын онол, “Математикийн шинжлэх ухааны дэвшил”, 1938, зуун. 5, х 42≈51; Розанов Ю., Стационар санамсаргүй процесс, М., 1963; Прохоров Ю., Розанов Ю., Магадлалын онол. (Үндсэн ойлголт. Хязгаарын теорем. Санамсаргүй үйл явц), 2-р хэвлэл, М., 1973; Гихман I. I., Skorokhod A. V., Санамсаргүй үйл явцын онол, 1-р боть, М., 1971; Hennan E., Multivariate Time Series, trans. Англи хэлнээс, М., 1974.