Математикийн хүлээлт 0-тэй тэнцүү байж чадах уу. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс

– шинээр төрсөн 10 хүүхдийн дундах хөвгүүдийн тоо.

Энэ тоо урьдаас тодорхойгүй байгаа нь туйлын тодорхой бөгөөд дараагийн төрсөн арван хүүхдэд дараахь зүйлс орно.

Эсвэл хөвгүүд - нэг бөгөөд цорын ганцжагсаасан сонголтуудаас.

Мөн хэлбэрээ хадгалахын тулд бага зэрэг биеийн тамирын боловсрол:

- урт харайлтын зай (зарим нэгжээр).

Спортын мастер ч гэсэн таамаглаж чадахгүй :)

Гэсэн хэдий ч таны таамаглал?

2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн – хүлээн авна Бүгд тоон утгуудзарим төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалаас.

Анхаарна уу : В боловсролын уран зохиолалдартай товчлолууд DSV болон NSV

Эхлээд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд дүн шинжилгээ хийцгээе, дараа нь - тасралтгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

- Энэ захидал харилцааЭнэ хэмжигдэхүүний боломжит утга ба тэдгээрийн магадлалын хооронд. Ихэнх тохиолдолд хуулийг хүснэгтэд бичдэг.

Энэ нэр томъёог нэлээд олон удаа ашигладаг эгнээ хуваарилалт, гэхдээ зарим тохиолдолд энэ нь хоёрдмол утгатай сонсогддог тул би "хууль"-ыг баримтлах болно.

Тэгээд одоо Маш чухал цэг : санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хойш Заавалхүлээн зөвшөөрөх болно үнэт зүйлсийн нэг, дараа нь харгалзах үйл явдлууд үүснэ бүтэн бүлэгба тэдгээрийн тохиолдох магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

эсвэл хураангуй хэлбэрээр бичсэн бол:

Жишээлбэл, ган дээр өнхрөх онооны магадлалын тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Сэтгэгдэл байхгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн "сайн" бүхэл тоон утгыг авах боломжтой гэсэн сэтгэгдэлтэй байж магадгүй юм. Төөрөгдлийг арилгацгаая - тэд юу ч байж болно:

Жишээ 1

Зарим тоглоом байдаг дараагийн хуульялалтын хуваарилалт:

...чи ийм даалгаврыг удаан хугацаанд мөрөөдөж байсан байх :) Би чамд нэг нууц хэлье - би ч гэсэн. Ялангуяа би ажиллаж дууссаны дараа талбайн онол.

Шийдэл: учир нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн зөвхөн нэгийг нь авч болно гурван утгатай, дараа нь харгалзах үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг , энэ нь тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэсэн үг:

"Партизан"-ыг илчлэх нь:

- Тиймээс ердийн нэгжийг хожих магадлал 0.4 байна.

Хяналт: энэ нь бидэнд итгэлтэй байх ёстой зүйл юм.

Хариулах:

Хуваарилалтын хуулиа өөрөө гаргах шаардлагатай болсон тохиолдол цөөнгүй гардаг. Үүний тулд тэд ашигладаг магадлалын сонгодог тодорхойлолт, үйл явдлын магадлалын үржүүлэх/нэмэх теоремуудболон бусад чипс tervera:

Жишээ 2

Хайрцагт 50 сугалааны тасалбар байгаа бөгөөд тэдгээрийн 12 нь хожиж, 2 нь тус бүр 1000 рубль, үлдсэн нь тус бүр 100 рубль хождог. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар нэг тасалбар авсан бол хожлын хэмжээ - санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл: Таны анзаарсанчлан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудыг ихэвчлэн оруулдаг өсөх дарааллаар. Тиймээс бид хамгийн бага ялалт, тухайлбал рублиэр эхэлдэг.

Нийтдээ 50 ийм тасалбар байдаг - 12 = 38, дагуу сонгодог тодорхойлолт:
– санамсаргүй байдлаар сугалсан тасалбар хожигдох магадлал.

Бусад тохиолдолд бүх зүйл энгийн байдаг. Рубль хожих магадлал нь:

Шалгах: - энэ бол онцгой юм сайхан мөчийм даалгавар!

Хариулах: хожлын хуваарилалтын хүссэн хууль:

Дараагийн даалгавар бие даасан шийдвэр:

Жишээ 3

Буудагчийн бай онох магадлал нь . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга - 2 удаагийн цохилтын дараа.

...Чамайг санасан гэдгийг чинь мэдэж байсан :) санацгаая үржүүлэх, нэмэх теоремууд. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн дүрсэлсэн боловч бодит байдал дээр зөвхөн заримыг нь мэдэх нь ашигтай (заримдаа илүү ашигтай) байж болно. тоон шинж чанар .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Ярьж байна энгийн хэлээр, Энэ дундаж хүлээгдэж буй утгатуршилтыг олон удаа давтан хийх үед. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлал бүхий утгыг авцгаая тус тус. Тэгвэл энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт тэнцүү байна бүтээгдэхүүний нийлбэртүүний бүх утгыг харгалзах магадлалд:

эсвэл нурсан:

Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг тооцоолъё - үхэр дээр эргэлдэж буй онооны тоог:

Одоо таамагласан тоглоомоо санацгаая:

Асуулт гарч ирнэ: энэ тоглоомыг тоглох нь ашигтай юу? ... хэнд ямар сэтгэгдэл байна вэ? Тиймээс та үүнийг "өөрийн" гэж хэлж болохгүй! Гэхдээ энэ асуултыг математикийн хүлээлтийг тооцоолох замаар амархан хариулж болно, үндсэндээ - жигнэсэн дундажялах магадлалаар:

Тиймээс энэ тоглоомын математикийн хүлээлт алдаж байна.

Өөрийн сэтгэгдэлд бүү итгэ - тоонд итгээрэй!

Тийм ээ, энд та 10, бүр 20-30 удаа дараалан ялах боломжтой, гэхдээ урт хугацаанд зайлшгүй сүйрэл биднийг хүлээж байна. Тэгээд би чамд ийм тоглоом тоглохыг зөвлөхгүй ээ :) За, магадгүй зөвхөн зугаа цэнгэлийн төлөө.

Дээр дурдсан бүхнээс үзэхэд математикийн хүлээлт нь САНАМРЫН утга байхаа больсон.

Бүтээлч даалгаварУчир нь бие даасан судалгаа:

Жишээ 4

Ноён X Европын рулет тоглодог дараагийн систем: "улаан" дээр 100 рубль байнга бооцоо тавьдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн - түүний ялалтын тархалтын хуулийг зур. Ялалтын математикийн хүлээлтийг тооцоолж, хамгийн ойрын копейк хүртэл дугуйл. Хэдэн дунджаарТоглогч мөрий тавьсан зуу бүртээ хожигдох уу?

Лавлагаа : Европын рулет нь 18 улаан, 18 хар, 1 ногоон сектор ("тэг") агуулдаг. Хэрэв "улаан" гарч ирвэл тоглогч хоёр дахин бооцоо төлнө, эс тэгвээс энэ нь казиногийн орлогод орно.

Та өөрийн магадлалын хүснэгтийг үүсгэж болох өөр олон рулет системүүд байдаг. Гэхдээ энэ нь бидэнд хуваарилалтын хууль, хүснэгт шаардлагагүй үед тохиолддог, учир нь тоглогчийн математикийн хүлээлт яг адилхан байх нь тодорхой болсон. Системээс системд өөрчлөгддөг цорын ганц зүйл

Санамсаргүй хувьсагчдыг түгээлтийн хуулиас гадна мөн дүрсэлж болно тоон шинж чанар .

Математикийн хүлээлтСанамсаргүй хэмжигдэхүүний M (x)-ийг дундаж утга гэнэ.

Хүлээлтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг томъёогоор тооцоолно

Хаана – санамсаргүй хувьсагчийн утгууд, х би -тэдний магадлал.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.

1. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна

2. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхой k тоогоор үржүүлбэл математикийн хүлээлт ижил тоогоор үржигдэнэ.

М (кх) = км (х)

3. Хэмжээний математикийн хүлээлт санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэдний математикийн хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд x 1, x 2, … x n, бүтээгдэхүүний математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

M (x 1, x 2, … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Жишээ 11-ээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолъё.

M(x) = = .

Жишээ 12. x 1, x 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг хуваарилалтын хуулиар тодорхойлъё.

x 1 Хүснэгт 2

x 2 Хүснэгт 3

M (x 1) ба M (x 2) -ийг тооцоолъё.

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

М (х 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэдгээр нь тэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн тархалтын шинж чанар нь өөр өөр байдаг. Хэрэв x 1 утгууд нь математикийн хүлээлтээс бага зэрэг ялгаатай бол x 2 утгууд нь их хэмжээгээрнь тэдний математикийн хүлээлтээс ялгаатай бөгөөд ийм хазайлтын магадлал бага биш юм. Эдгээр жишээнүүдээс харахад дундаж утгаас ямар хазайлт үүсч байгааг тодорхойлох боломжгүй, бага, том аль алинд нь. том тал. Тиймээс адилхан дундажЖилийн хоёр нутагт орох хур тунадасыг харгалзан үзэхэд эдгээр газар тариалангийн ажилд адилхан таатай байна гэж хэлж болохгүй. Дундажтай төстэй цалиншүүх боломжгүй тодорхой таталцалөндөр, бага цалинтай ажилчид. Тиймээс тоон шинж чанарыг танилцуулж байна - тархалт D(x) , Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх зэргийг тодорхойлдог.

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперсийг дараах томъёогоор тооцоолно.

D(x)= = (3)

Тархалтын тодорхойлолтоос D (x) 0 байна.

Тархалтын шинж чанарууд:

1. Тогтмол хэмжигдэхүүний дисперс нь тэг байна

2. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхой k тоогоор үржүүлбэл дисперсийг энэ тооны квадратаар үржүүлнэ.

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. X 1 , x 2 , … x n хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Жишээ 11-ээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

Математикийн хүлээлт M (x) = 1. Тиймээс (3) томъёоны дагуу бид:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Хэрэв та 3-р шинж чанарыг ашиглавал хэлбэлзлийг тооцоолоход хялбар болохыг анхаарна уу:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Энэ томьёог ашиглан 12-р жишээн дээрх x 1 , x 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийг тооцоолъё. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт тэг байна.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

Яаж илүү ойр үнэ цэнэтархалт тэг байх тусам санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт дундаж утгатай харьцуулахад бага байна.

Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг стандарт хазайлт. Санамсаргүй хувьсах горим x дискрет төрөл MdХамгийн их магадлалтай санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг гэнэ.

Санамсаргүй хувьсах горим x тасралтгүй төрөл Md, дуудсан бодит тоо, хамгийн их магадлалын нягтын тархалтын цэг гэж тодорхойлсон f(x).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан x тасралтгүй төрөл Mnтэгшитгэлийг хангасан бодит тоо юм

X -4 6 10
р 0.2 0.3 0.5

Шийдэл: Математикийн хүлээлт нь X-ийн бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

Үүнийг өөрөө шийдэх жишээ (та тооцоолуур ашиглаж болно).
Тархалтын хуулиар тодорхойлсон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол:

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

Математикийн хүлээлт нь дараах шинж чанартай байдаг.

Property 1. Математикийн хүлээлт тогтмол утгахамгийн тогтмолтой тэнцүү: M(C)=C.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Тогтмол үржүүлэгчматематикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно: M(СХ)=СМ(Х).

Өмч 3. Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Өмч 4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Бодлого 189. X ба Y-ийн математик хүлээлт мэдэгдэж байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн Z-ийн математик хүлээлтийг ол: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Шийдэл: Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан (нийлбэрийн математик хүлээлт нь нөхцлийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү; тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс хасаж болно) бид M(Z)-ийг олж авна. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); б) X-M(X) хазайлтын математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байна.

191. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь гурван боломжит утгыг авна: x1= 4 p1 = 0.5 магадлалтай; xЗ = 6 магадлал P2 = 0.3, x3 магадлал p3. M(X)=8 гэдгийг мэдвэл: x3 ба p3-ийг ол.

192. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн боломжит утгуудын жагсаалтыг өгөв: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1, энэ утгын математик хүлээлт ба түүний квадрат нь мөн мэдэгдэж байна: M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. xi-ийн боломжит утгуудад харгалзах p1, p2, p3 магадлалыг ол

194. 10 хэсгээс бүрдэх багц нь стандартын бус гурван хэсгийг агуулна. Хоёр хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол - сонгосон хоёрын дундах стандарт бус хэсгүүдийн тоог ол.

196. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олоорой. Ийм таван шидэлтийн тоо X- шоо, тус бүрт нэг цэг нь хоёр шоо дээр гарч ирнэ, хэрэв нийт тоошидэлт нь хоринтой тэнцүү байна.

Математикийн хүлээлт. Математикийн хүлээлтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, хост эцсийн тооүнэт зүйлс Xбимагадлал бүхий rби, хэмжээг дараах байдлаар нэрлэнэ.

Математикийн хүлээлттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xутгуудын үржвэрийн интеграл гэж нэрлэдэг Xмагадлалын тархалтын нягт дээр е(x):

(6б)

Буруу интеграл (6 б) нь туйлын нийлдэг гэж үздэг (өөрөөр хэлбэл тэд математикийн хүлээлт гэж хэлдэг. М(X) байхгүй). Математикийн хүлээлтийг тодорхойлдог дундаж утгасанамсаргүй хувьсагч X. Түүний хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй давхцдаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

Тархалт. Зөрчилсанамсаргүй хувьсагч Xдугаар гэж нэрлэдэг:

Зөрчил нь тараах шинж чанарсанамсаргүй хувьсагчийн утгууд Xтүүний дундаж утгатай харьцуулахад М(X). Вариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хэмжээтэй тэнцүү байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперс (8) ба математикийн хүлээлт (5) ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд (6) гэсэн тодорхойлолтод үндэслэн бид дисперсийн ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг олж авна.

(9)

Энд м = М(X).

Тархалтын шинж чанарууд:

Стандарт хазайлт:

(11)

Дундаж хэмжигдэхүүнээс хойш квадрат хазайлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй адил бөгөөд энэ нь дисперсээс илүү тархалтын хэмжүүр болгон ихэвчлэн ашиглагддаг.

Түгээлтийн мөчүүд. Математикийн хүлээлт ба тархалтын тухай ойлголтууд нь илүү олон зүйлийн онцгой тохиолдол юм ерөнхий ойлголтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарын хувьд - түгээлтийн мөчүүд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын моментуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний зарим энгийн функцүүдийн математик хүлээлт болгон танилцуулсан. Тиймээс, захиалгын мөч кцэгтэй харьцуулахад X 0-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг М(X–X 0 )к. Гарал үүслийн талаархи мөчүүд X= 0 гэж нэрлэдэг анхны мөчүүд болон дараахыг тодорхойлсон:

(12)

Эхний эрэмбийн эхний момент нь авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв юм.

(13)

Түгээлтийн төвийн тухай мөчүүд X= мгэж нэрлэдэг төв цэгүүдболон дараахыг тодорхойлсон:

(14)

(7)-аас үзэхэд эхний эрэмбийн төв мөч үргэлж байдаг тэгтэй тэнцүү:

Төв моментууд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын гарал үүслээс хамаардаггүй, учир нь өөр тийш шилжих үед тогтмол утга ХАМТтүүний түгээлтийн төв ижил утгаар шилждэг ХАМТ, мөн төвөөс хазайлт өөрчлөгдөхгүй: X – м = (X – ХАМТ) – (м – ХАМТ).
Одоо энэ нь тодорхой боллоо тархалт- Энэ хоёр дахь захиалгын төв мөч:

Тэгш бус байдал. Гурав дахь захиалгын төв мөч:

(17)

үнэлгээ хийх үүрэгтэй хуваарилалтын тэгш бус байдал. Хэрэв тархалт нь цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байвал X= м, дараа нь гуравдахь эрэмбийн төв мөч нь тэгтэй тэнцүү байх болно (сондгой эрэмбийн бүх төв мөчүүд шиг). Тиймээс, хэрэв гурав дахь эрэмбийн төв момент тэгээс ялгаатай бол тархалт нь тэгш хэмтэй байж чадахгүй. Тэгш бус байдлын хэмжээг хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн ашиглан үнэлдэг тэгш бус байдлын коэффициент:

(18)

Тэгш бус байдлын коэффициент (18) тэмдэг нь баруун эсвэл зүүн талын тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Түгээлтийн тэгш бус байдлын төрлүүд.

Илүүдэл. Дөрөв дэх эрэмбийн төв мөч:

(19)

гэж нэрлэгддэгийг үнэлэхэд үйлчилдэг илүүдэл, энэ нь муруйтай харьцуулахад тархалтын төвийн ойролцоо тархалтын муруйн эгц (цовой) зэргийг тодорхойлдог. хэвийн тархалт. Хэвийн тархалтын хувьд куртоз гэж авсан утга нь:

(20)

Зураг дээр. 3 нь тархалтын муруйн жишээг харуулж байна өөр өөр утгатайилүүдэл. Хэвийн хуваарилалтын хувьд Э= 0. Хэвийн хэмжээнээс их оргилтой муруй нь эерэг, хавтгай оройтой нь сөрөг муруйтай байна.

Цагаан будаа. 3. Янз бүрийн түвшний эгц (куртоз) бүхий тархалтын муруй.

Инженерийн хэрэглээний өндөр эрэмбийн моментууд математик статистикихэвчлэн ашигладаггүй.

Загвар салангидсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. Загвар тасралтгүйсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын нягт хамгийн их байх үед түүний утга юм (Зураг 2). Хэрэв тархалтын муруй хамгийн ихдээ нэг байвал тархалтыг дуудна нэг загвартай. Хэрэв тархалтын муруй нь нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг дуудна multimodal. Заримдаа муруй нь хамгийн их биш харин хамгийн багатай тархалт байдаг. Ийм хуваарилалтыг гэж нэрлэдэг эсрэг горим. IN ерөнхий тохиолдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Онцгой тохиолдолд, төлөө модаль, өөрөөр хэлбэл горимтой, тэгш хэмтэй тархалттай бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд сүүлийнх нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.

Медиан санамсаргүй хувьсагч X- энэ бол түүний утга юм Meh, тэгш байдал хангагдсан: i.e. санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалтай Xбага эсвэл илүү байх болно Meh. Геометрийн хувьд дундажнь тархалтын муруйн доорх талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм (Зураг 2). Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан, горим, математикийн хүлээлт ижил байна.

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд: математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлт. Тэдний шинж чанар, жишээ.

Тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд тавьсан асуултанд хариулахын тулд судалж буй утгын зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхойлолт 7.1.Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

М(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй бол үр дүнгийн цуваа туйлын нийлдэг.

Тайлбар 1.Математикийн хүлээлтийг заримдаа гэж нэрлэдэг жигнэсэн дундаж, учир нь энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна их тоотуршилтууд.

Тайлбар 2.Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос үзэхэд түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна.

Тайлбар 3.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус(тогтмол. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ч мөн адил гэдгийг бид дараа нь харах болно.

Жишээ 1. Математикийг олъёсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хүлээж байна X- 10 хэсгээс сонгогдсон гурваас стандарт эд ангиудын тоо, түүний дотор 2 гэмтэлтэй. -д зориулж түгээлтийн цуврал үүсгэцгээе X. Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна X 1, 2, 3 утгыг авч болно. Дараа нь

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл X- Төрийн сүлд анх гарч ирэхээс өмнөх зоос шидсэн тоо. Энэ утгыг авч болно хязгааргүй тооутгууд (боломжтой утгуудын багц нь олонлог юм натурал тоонууд). Түүний түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

+ (тооцоолохдоо хязгааргүй буурах нийлбэрийн томъёо геометрийн прогресс: , хаана ).

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд.

1) Тогтмолын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:

М(ХАМТ) = ХАМТ.(7.2)

Баталгаа. Хэрэв бид авч үзвэл ХАМТзөвхөн нэг утгыг авах дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ХАМТмагадлалаар r= 1, тэгвэл М(ХАМТ) = ХАМТ?1 = ХАМТ.

2) Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.

М(CX) = CM(X). (7.3)

Баталгаа. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтүгээлтийн цувралаар өгөгдсөн

Дараа нь М(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = ХАМТ(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p r p) = CM(X).

Тодорхойлолт 7.2.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь хуваарилалтын хууль нь нөгөө нь ямар үнэ цэнийг авсанаас хамаарахгүй бол. Үгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай.

Тодорхойлолт 7.3.За дуудъя бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр XТэгээд Ю санамсаргүй хувьсагч XY, боломжит утгууд нь бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна Xбүх боломжит утгуудын хувьд Ю, харгалзах магадлал нь хүчин зүйлсийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

М(XY) = М(X)М(Ю). (7.4)

Баталгаа. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид зөвхөн тухайн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг XТэгээд Юзөвхөн хоёр боломжит утгыг авна:

Тиймээс, М(XY) = x 1 y 1 ?х 1 g 1 + x 2 y 1 ?х 2 g 1 + x 1 y 2 ?х 1 g 2 + x 2 y 2 ?х 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 х 1 + x 2 х 2) + + y 2 g 2 (x 1 х 1 + x 2 х 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 х 1 + x 2 х 2) = М(X)?М(Ю).

Тайлбар 1.Бид энэ өмчийг мөн адил нотолж чадна илүүхүчин зүйлсийн боломжит утгууд.

Тайлбар 2. 3-р шинж чанар нь математикийн индукцаар батлагдсан дурын тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн хувьд үнэн юм.

Тодорхойлолт 7.4.Тодорхойлъё санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр XТэгээд Ю санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X+Y, боломжит утгууд нь боломжит утга бүрийн нийлбэртэй тэнцүү байна Xхүн бүртэй боломжит утга Ю; Ийм нийлбэрийн магадлал нь нэр томъёоны магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна (хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд - нэг гишүүний магадлалын үржвэрүүд) нөхцөлт магадлалхоёр дахь).

4) Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (хамааралтай эсвэл бие даасан) нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

М (X+Y) = М (X) + М (Ю). (7.5)

Баталгаа.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дахин авч үзье. мөрөөр өгөгдсөнөмчийн нотолгоонд өгөгдсөн хуваарилалтууд 3. Дараа нь боломжит утгууд X+Yбайна X 1 + цагт 1 , X 1 + цагт 2 , X 2 + цагт 1 , X 2 + цагт 2. Тэдний магадлалыг тус тус гэж тэмдэглэе r 11 , r 12 , r 21 ба r 22. Бид олох болно М(X+Ю) = (x 1 + y 1)х 11 + (x 1 + y 2)х 12 + (x 2 + y 1)х 21 + (x 2 + y 2)х 22 =

= x 1 (х 11 + х 12) + x 2 (х 21 + х 22) + y 1 (х 11 + х 21) + y 2 (х 12 + х 22).

Үүнийг баталцгаая r 11 + r 22 = r 1. Үнэхээр үйл явдал X+Yүнэт зүйлсийг авах болно X 1 + цагт 1 эсвэл X 1 + цагт 2 ба магадлал нь r 11 + rгэсэн үйл явдалтай 22 давхцаж байна X = X 1 (түүний магадлал нь r 1). Үүнтэй адилаар нотлогдсон х 21 + х 22 = r 2 , х 11 + х 21 = g 1 , х 12 + х 22 = g 2. гэсэн үг,

М(X+Y) = x 1 х 1 + x 2 х 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = М (X) + М (Ю).

Сэтгэгдэл. 4-р шинж чанараас харахад дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь нэр томъёоны математикийн хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ. Таван шоо шидэх үед авсан онооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.

Нэг шоо шидэх үед хэдэн оноо авах тухай математикийн хүлээлтийг олцгооё.

М(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ижил тоо нь ямар ч шоо дээр өнхрүүлсэн онооны тооны математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Тиймээс өмч хөрөнгөөр ​​4 М(X)=

Тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан байдлын талаархи ойлголттой байхын тулд зөвхөн түүний математик хүлээлтийг мэдэх нь хангалтгүй юм. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье: XТэгээд Ю, маягтын тархалтын цувралаар тодорхойлогдсон

Бид олох болно М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Ю) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Таны харж байгаагаар хоёр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт тэнцүү, гэхдээ хэрэв ХМ(X) санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг маш сайн дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь түүний хамгийн боломжит утга (мөн үлдсэн утга нь 50-аас тийм ч их ялгаатай биш), дараа нь утгууд Ю-аас ихээхэн хасагдсан М(Ю). Тиймээс, математикийн хүлээлттэй зэрэгцэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга түүнээс хэр их хазайж байгааг мэдэх нь зүйтэй юм. Энэ үзүүлэлтийг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг.

Тодорхойлолт 7.5.Тархалт (тархалт)Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний математик хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт юм.

Д(X) = М (X-M(X))². (7.6)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олъё X(сонгосон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоо) энэ лекцийн 1-р жишээнд. Математикийн хүлээлтээс боломжит утга бүрийн квадрат хазайлтыг тооцоолъё.

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Тиймээс,

Тайлбар 1.Тархалтыг тодорхойлохдоо дундаж утгаас хазайлтыг бус харин түүний квадратыг үнэлдэг. Энэ нь янз бүрийн шинж тэмдгүүдийн хазайлт нь бие биенээ цуцлахгүйн тулд хийгддэг.

Тайлбар 2.Тархалтын тодорхойлолтоос харахад энэ хэмжигдэхүүн нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг.

Тайлбар 3.Тооцоолоход илүү тохиромжтой дисперсийг тооцоолох томъёо байдаг бөгөөд түүний хүчинтэй байдал нь дараах теоремоор нотлогддог.

Теорем 7.1.Д(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)

Баталгаа.

Юу ашиглаж байна М(X) нь тогтмол утга бөгөөд математикийн хүлээлтийн шинж чанаруудыг бид (7.6) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Д(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =

= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

Жишээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийг тооцоолъё XТэгээд ЮЭнэ хэсгийн эхэнд хэлэлцсэн. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М(Ю) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Тэгэхээр хоёр дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь эхнийхээс хэдэн мянга дахин их байна. Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулийг мэдэхгүй ч гэсэн мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэялгаа нь бид үүнийг хэлж чадна Xматематикийн хүлээлтээс бага зэрэг хазайдаг, харин for ЮЭнэ хазайлт нь нэлээд ач холбогдолтой юм.

Тархалтын шинж чанарууд.

1) Тогтмол утгын хэлбэлзэл ХАМТтэгтэй тэнцүү:

Д (C) = 0. (7.8)

Баталгаа. Д(C) = М((С-М(C))²) = М((С-С)²) = М(0) = 0.

2) Тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар тараах тэмдгээс гаргаж болно.

Д(CX) = C² Д(X). (7.9)

Баталгаа. Д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(C²( X-M(X))²) =

= C² Д(X).

3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X+Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.10)

Баталгаа. Д(X+Y) = М(X² + 2 XY + Ю²) - ( М(X) + М(Ю))² = М(X²) + 2 М(X)М(Ю) +

+ М(Ю²) - М²( X) - 2М(X)М(Ю) - М²( Ю) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Ю²) - М²( Ю)) = Д(X) + Д(Ю).

Дүгнэлт 1.Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 2.Тогтмол болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй тэнцүү байна.

4) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөрүүний дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X-Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.11)

Баталгаа. Д(X-Y) = Д(X) + Д(-Ю) = Д(X) + (-1)² Д(Ю) = Д(X) + Д(X).

Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажаас квадрат хазайлтын дундаж утгыг өгдөг; хазайлтыг өөрөө үнэлэхийн тулд стандарт хазайлт гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглана.

Тодорхойлолт 7.6.Стандарт хазайлтσ санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xдуудсан квадрат язгууртархалтаас:

Жишээ. Өмнөх жишээнд дундаж үзүүлэлтүүд стандарт хазайлт XТэгээд Ютус тус тэнцүү байна