Онол санамсаргүй үйл явц зүй тогтлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан гэж нэрлэдэг санамсаргүй үзэгдэлТэдний хөгжлийн динамик байдалд.
Санамсаргүй үйл явцын онол (бусад нэр томъёонд - онол санамсаргүй функцууд) нь магадлалын онолын харьцангуй шинэ салбар бөгөөд ялангуяа онд хурдацтай хөгжиж байна сүүлийн хэдэн арван жилпрактик хэрэглээний цар хүрээ байнга өргөжиж байгаатай холбогдуулан.
Эргэн тойрон дахь ертөнцийн үзэгдлийг судлахдаа бид үйл явцыг урьдчилан таамаглах боломжгүй үйл явцтай байнга тулгардаг. Энэхүү тодорхойгүй байдал (урьдчилан таамаглах боломжгүй) нь үйл явцын явцад нөлөөлж буй санамсаргүй хүчин зүйлсийн нөлөөнөөс үүсдэг. Ийм үйл явцын хэд хэдэн жишээг өгье.
1. Цахилгаан сүлжээн дэх нэрлэсэн тогтмол ба 220 В-той тэнцэх хүчдэл нь сүлжээнд холбогдсон төхөөрөмжийн тоо, төрөл, тэдгээрийн ажиллах момент зэрэг санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөн дор нэрлэсэн утгын орчимд хэлбэлзэж, цаг хугацааны явцад үнэн хэрэгтээ өөрчлөгддөг. асаах, унтраах гэх мэт.
2. Хотын (эсвэл бүс нутгийн) хүн ам нь төрөлт, нас баралт, шилжилт хөдөлгөөн гэх мэт хүчин зүйлсийн нөлөөгөөр санамсаргүй (урьдчилан таамаглах боломжгүй) байдлаар цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг.
3. Голын (эсвэл усан сан дахь) усны түвшин цаг агаарын байдал, хур тунадасны хэмжээ, цас хайлах, усалгааны ажлын эрчмээс хамаарч цаг хугацааны явцад санамсаргүй өөрчлөгддөг.
4. Микроскопын харах талбарт броуны хөдөлгөөнд орж буй бөөмс нь шингэний молекулуудтай мөргөлдсөний үр дүнд байрлалаа санамсаргүй байдлаар өөрчилдөг.
5. Сансарт хөөргөх шаардлагатай сансрын пуужингийн нислэг байна. Энэ мөчВ өгсөн онооөгөгдсөн чиглэлтэй орон зай ба үнэмлэхүй үнэ цэнэхурдны вектор. Пуужингийн бодит хөдөлгөөн нь агаар мандлын үймээн самуун, түлшний нэг төрлийн бус байдал, боловсруулах командын алдаа гэх мэт санамсаргүй хүчин зүйлсийн улмаас тооцоолсонтой давхцдаггүй.
6. Ашиглалтын явцад компьютер нь төлөвөөс төлөв рүү санамсаргүй байдлаар шилжиж болно, жишээ нь:
S 1- зөв ажиллах;
S 2- эвдрэл гарсан боловч илрээгүй;
S 3- эвдрэл илэрсэн бөгөөд түүний эх үүсвэрийг хайж байна;
S 4- засвар хийж байгаа гэх мэт.
Компьютерийн цахилгаан хангамжийн сүлжээнд хүчдэлийн хэлбэлзэл, доголдол зэрэг санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөн дор төлөвөөс төлөвт шилжих шилжилт явагдана. бие даасан элементүүд, эвдрэлийг илрүүлэх мөч, тэдгээрийг арилгах хугацаа гэх мэт.
Хатуухан хэлэхэд байгальд бүрэн санамсаргүй, нарийн тодорхойлогдсон үйл явц гэж байдаггүй, гэхдээ санамсаргүй хүчин зүйлүүд маш бага нөлөөлдөг тул үзэгдлийг судлахдаа үл тоомсорлож болох үйл явц байдаг (жишээ нь: гаригийн хувьсгалын үйл явц). Нар). Гэхдээ санамсаргүй байдал гол үүрэг гүйцэтгэдэг процессууд бас байдаг (жишээ нь: дээр дурдсан бөөмийн Брауны хөдөлгөөний үйл явц). Хоёрын хооронд онцгой тохиолдолсанамсаргүй байдал их бага үүрэг гүйцэтгэдэг үйл явцын бүхэл бүтэн спектр байдаг. Үйл явцын санамсаргүй байдлыг харгалзан үзэх эсэх (эсвэл тооцохгүй байх) нь юунаас хамаарна практик асуудалбид шийдэж байна. Жишээлбэл, хоёр цэгийн хооронд нисэх онгоцны хуваарь гаргахдаа тэдгээрийн траекторийг шулуун, хөдөлгөөнийг жигд гэж үзэж болно; Хэрэв агаарын хөлгийн нислэгийг удирдах автомат нисгэгчийг зохион бүтээх асуудал шийдэгдэж байгаа бол ижил таамаглал хамаарахгүй.
Санамсаргүй функцүүдийн онолыг (санамсаргүй үйл явц) ашиглахыг шаарддаг хоёр үндсэн төрлийн асуудлыг ялгаж салгаж болно.
Шууд даалгавар (шинжилгээ):тодорхой төхөөрөмжийн параметрүүд ба түүний магадлалын шинж чанаруудфункцийн (дохио, үйл явц) "оролт" дээр ирэх (математикийн хүлээлт, хамаарлын функц, тархалтын хууль); төхөөрөмжийн "гаралт" дээрх шинж чанарыг тодорхойлох шаардлагатай (тэдгээрийг төхөөрөмжийн ажиллагааны "чанар" -ыг үнэлэхэд ашигладаг).
Урвуу асуудал (синтез):"оролт" ба "гаралтын" функцүүдийн магадлалын шинж чанарыг тодорхойлсон; өгөгдсөн оролтын функцийг ийм болгон хувиргах оновчтой төхөөрөмжийг (түүний параметрүүдийг олох) зохион бүтээх шаардлагатай гаралтын функцөгөгдсөн шинж чанаруудтай. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд санамсаргүй функцүүдийн аппаратаас гадна сонирхол татахуйц болон бусад салбаруудыг шаарддаг.
1. Санамсаргүй функцийн тухай ойлголт, стохастик процессууд
Олон үзэгдлийг судлахдаа туршилтын явцад тодорхой хугацаанд өөрчлөгддөг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг системтэйгээр шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Ийм үзэгдлийн жишээг бид 6.2-р зүйлд аль хэдийн үзсэн. болон 9.2. Пуассоны тархалтын хуультай холбоотой.
Ийм r.v-ийн жишээнүүд. Үүнд: химийн урвалын үед цацраг идэвхт бодисын задрал, хөндлөнгийн нөлөөгөөр радио хүлээн авагчийн гаралтын дохио, тасалбар авах дарааллын урт. Хөл бөмбөг, зайлшгүй шаардлагатай барааны худалдааны систем дэх үнийн хэлбэлзэл, хичээлийн улирлын оюутны ачаалал, бөөмийн замнал Брауны хөдөлгөөн, сонгуулийн үйл явцад нэр дэвшигчдийн рейтинг, утасны станцад ирсэн дуудлагын тоо гэх мэт.
Туршилтын явцад (ажиглалт, туршилт) өөрчлөгддөг ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэрлэдэг санамсаргүй үйл явц (Санамсаргүй функцууд). Одоогийн байдлаар технологи, шинжлэх ухааны хэд хэдэн салбарууд (физик статистик, тархалтын процесс, химийн урвалын процесс гэх мэт) магадлалын онолын хувьд сонгодог магадлалын онолын хүрээнд тохирохгүй шинэ зорилтуудыг тавьж байна. Тухайн үед хүний үйл ажиллагааны олон салбарууд үйл явц, өөрөөр хэлбэл цаг хугацааны явцад тохиолддог үзэгдлийг судлах сонирхолтой байв. Тэд магадлалын онолын шинжлэх ухаанаас санамсаргүй үйл явц гэж нэрлэгддэг ерөнхий онолыг боловсруулахыг шаардсан. Өөрөөр хэлбэл, нэг буюу хэд хэдэн тасралтгүй өөрчлөгддөг цаг хугацааны параметрээс хамаарч санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлах онолыг хөгжүүлэх. Санамсаргүй үйл явцын онолыг бий болгох хэрэгцээг харуулсан ийм асуудлын жишээг өгье.
Аливаа хий, шингэний молекулын хөдөлгөөнийг дагахыг хүсч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ молекул дотор санамсаргүй мөчүүдцаг хугацаа бусад молекулуудтай мөргөлдөж хурд болон байрлалаа өөрчилдөг. Молекулын төлөв байдал цаг мөч бүрт санамсаргүй өөрчлөлтөд өртдөг нь ойлгомжтой. Тэдний судалгааны хувьд байгалийн олон үзэгдлүүд нь тодорхой тооны үзэгдлүүд (молекулууд, үнийн өөрчлөлт, радио дохионы ирэлт гэх мэт) нэг буюу өөр байрлалыг өөрчлөх магадлалыг тооцоолох чадварыг шаарддаг. Эдгээр болон бусад олон асуултын хариултыг санамсаргүй үйл явцын статистик онол, эсвэл үүнийг түгээмэл гэж нэрлэдэг. стохастик үйл явцын онол ». Физик, хими, одон орон, эдийн засаг, генетик гэх мэт салбарт ижил төстэй асуудлууд гарч ирдэг нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, химийн урвалын үйл явцыг судлахад дараахь зүй ёсны асуулт гарч ирдэг.
Молекулын аль хэсэг нь аль хэдийн урвалд орсон бэ?
Энэ хариу үйлдэл нь цаг хугацааны явцад хэрхэн үүсдэг вэ?
Урвал хэзээ бараг дуусах вэ?
Олон тооны үзэгдлүүд зарчмын дагуу явагддаг цацраг идэвхт задрал. Энэ үзэгдлийн мөн чанар нь цацраг идэвхт бодисын атомууд шууд задарч, өөр химийн элементийн атом болж хувирдаг явдал юм. Атом бүрийн задрал нь тэсрэлт шиг хурдан бөгөөд өндөр хурдтайгаар тодорхой хэмжээний энерги ялгардаг. Дүрмээр бол олон тооны ажиглалтаас харахад ажиглагчийн хувьд янз бүрийн атомын задрал санамсаргүй үед тохиолддог. Түүгээр ч барахгүй эдгээр цаг мөчүүдийн байршил нь магадлалын онолын утгаараа бие биенээсээ хамаардаггүй. Цацраг идэвхт задралын үйл явцыг судлахын тулд тодорхой хугацааны туршид тодорхой тооны атомууд задрах магадлал ямар байхыг тодорхойлох шаардлагатай вэ? Албан ёсоор, хэрэв та зөвхөн ийм үзэгдлийн математик дүр төрхийг тодруулахыг оролдвол ийм үзэгдлийн үр дүнд хүргэдэг математикийн асуудлын энгийн шийдлийг олж чадна.
Шулуун замаар явах бөөмсийн асуудлыг авч үзсэний үндсэн дээр эрдэмтэд Планк, Фоккер нар диффузийн онолын дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн олж авсан талаар товч дурдъя.
Цэг дэх цаг хугацааны агшинд бөөмсийг байг 
, хормын дотор 
санамсаргүй цохилтыг мэдэрдэг бөгөөд үүний үр дүнд энэ нь магадлалын дагуу хөдөлдөг 
хэмжээгээр 
баруун тийш, магадлалаар 
мөн хэмжээгээр 
Зүүн талд нь.
-ээр тэмдэглэе 
бөөмс үүсэх магадлал 
тухайн мөчид цочрол үүсэх болно 
жирэмсэн 
(Тэгш тооны шоктой үед үнэ цэнэ нь тодорхой байна 
зөвхөн тэгш тооны алхмуудтай тэнцүү байж болно 
, Тэгээд хэзээ 
сондгой - зөвхөн сондгой тооалхам 
. Хэрэв өнгөрвөл 
баруун тийш бөөмийн хийсэн алхамуудын тоог заана (дараа нь 
Энэ нь бөөмийн зүүн тийш хийсэн алхмын тоо), Бернуллигийн томъёоны дагуу энэ магадлал нь тэнцүү байна.
Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь хоорондоо тэнцүү байдлаар хамааралтай болох нь тодорхой байна 
Та функцийг шууд шалгаж болно 
ялгавартай тэгшитгэлийг хангана
анхны нөхцөлтэй 
болон цагт 
. Асуудлын физик шинж чанар нь параметрийн харьцааны тодорхой байгалийн хязгаарлалтыг хүлээн зөвшөөрөхөд хүргэдэг 
. Дараа нь авч үзэх шаардлагатай зарим нөхцлийг дагаж мөрдөхгүй байх нь хязгаарлагдмал хугацаанд нэгтэй тэнцүү магадлал бүхий бөөмийг хязгааргүйд хүргэж болзошгүй юм. Энэ боломжийг үгүйсгэхийн тулд бид параметрүүдийг ногдуулдаг дараах нөхцөлүүдцагт 
үнэ цэнэ хаана байна 
илэрхийлдэг хурд
гүйдэл, А 
тархалтын коэффициент.
Тэгш байдлын хоёр талаас (1) тоо хэмжээг хасъя 
, бид авдаг
функц гэж үзье 
-аар ялгах боломжтой 
хоёр удаа, нэг удаа 
. Тэгвэл бидэнд байна
Үүссэн тэгшитгэлийг (3)-д орлуулсны дараа бид байна
Эндээс хязгаар руу шилжинэ 
мөн нөхцөл (2) дээр үндэслэн бид эцэст нь олж авдаг
(4)
Тиймээс бид тархалтын онол гэж нэрлэгддэг алдартай тэгшитгэлийг олж авлаа Фоккер-Планкийн тэгшитгэл.
Стохастик үйл явцын ерөнхий онолын эхлэлийг A.N-ийн үндсэн бүтээлүүдэд тавьсан. Колмогоров, А.Я. 30-аад оны эхээр Хинчин. A.N-ийн нийтлэлд. Колмогоров "Магадлалын онолын аналитик аргуудын тухай" нь стохастик үйл явцын онолын үндэс суурийг системтэй, нарийн зохион байгуулалттай өгсөн. үр дагаваргүйгээрэсвэл Марковын төрлийн үйл явц гэж байнга хэлдэг. Хинчиний хэд хэдэн бүтээлд хөдөлгөөнгүй үйл явц гэж нэрлэгддэг онолыг бий болгосон.
Ийнхүү санамсаргүй үзэгдлийг динамикаар нь судалдаг математикийн салбар
хөгжил гэж нэрлэдэг санамсаргүй үйл явцын онол(санамсаргүй функцууд). Үүний аргуудыг ихэвчлэн ашигладаг: автомат удирдлагын онол, аж ахуйн нэгж, фермийн санхүүгийн үйл ажиллагаанд дүн шинжилгээ хийх, төлөвлөх, шаардлагатай мэдээллийг боловсруулах, дамжуулах (радио төхөөрөмж, хиймэл дагуулын холбоо гэх мэт), эдийн засагт. ба онолын хувьд. дараалал.
Санамсаргүй үйл явцын (SP) онолын үндсэн ойлголтуудыг товч авч үзье.
Хэрэв утга тус бүр 
, Хаана 
r.v-тэй захидал харилцаанд оруулсан бодит тоонуудын тодорхой багцыг илэрхийлнэ. 
, дараа нь тэд зураг авалт дээр ингэж хэлдэг 
санамсаргүй функц (s.f.) өгөгдсөн 
. Үүний тулд санамсаргүй үйл явц 
, ялангуяа хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой. Параметр байгаа тохиолдолд 
цаг хугацааны параметр гэж тайлбарлавал санамсаргүй функцийг дуудна санамсаргүй үйл явц, өөрөөр хэлбэл. санамсаргүй үйл явц r.v-ийн гэр бүлийг дуудсан. 
параметрээс хамаарна 
мөн ижил орон зайд тодорхойлогдсон энгийн үйл явдлууд 
Томилогдсон 
эсвэл 
Хэрэв санамсаргүй функцын төрлийг мэддэг бол санамсаргүй үйл явцыг томьёо (аналитик тэмдэглэгээ) хэлбэрээр зааж өгч болно. Жишээлбэл, s.f. нь r.p., энд санамсаргүй хэмжигдэхүүн 
Байгаа жигд хуваарилалт. Тогтмол утгын хувьд 
, s.p. 
,дараа нь s.p. s.v-д хандсан. 
санамсаргүй үйл явцын хөндлөн огтлол гэж нэрлэдэг.
Хэрэгжилтэсвэл замналсанамсаргүй үйл явц 
дуудсан санамсаргүй бусцаг хугацааны функц 
тогтмол үед 
, өөрөөр хэлбэл туршилтын үр дүнд s.p. хүлээн зөвшөөрдөг тодорхой төрөл
, s.p-ийн хэрэгжилтийн явцад. гэж тэмдэглэсэн 
,
Энд доод тэмдэгтүүд тестийн дугаарыг заана.
Зураг 59-д гурван хэрэгжилтийг харуулав 
санамсаргүй үйл явц 
;
Тэд сануулж байна гурван төрөлтодорхой механик үйл явц дахь синусоид хэлбэлзлийн үзэгдлүүд, ийм хэрэгжилт (траектор) бүр нь энгийн функц юм 
Зураг 59 (Бичсэн).
Энэ жишээнд r.v. 
гурван туршилтанд тус тус гурван утгыг авсан: 1, 2, 0.5, i.e. Хамтарсан үйлдвэрийн гурван хэрэгжилтийг дурдсан байна:. Бүх гурван функц нь санамсаргүй биш юм. Хэрэв энэ жишээнд бид цаг хугацааны агшинг засах юм бол, at 
, дараа нь бид хэсгийг авна: 
- санамсаргүй хэмжигдэхүүн эсвэл at 
,-санамсаргүй хувьсагч. гэж нэрлэгддэг гэдгийг анхаарна уу санамсаргүй үйл явцын нэг хэмжээст тархалтын хууль 
биш s.p-ийн дэлгэрэнгүй тайлбар.Санамсаргүй үйл явц
өөр өөр утгатай бүх хэсгүүдийн нийлбэрийг илэрхийлнэ 
Тиймээс үүнийг бүрэн тайлбарлахын тулд процессын хөндлөн огтлолын хамтарсан хуваарилалтын функцийг авч үзэх хэрэгтэй.
s.p-ийн хязгаарлагдмал хэмжээст тархалтын хууль гэж нэрлэгддэг. хормын дотор 
. Өөрөөр хэлбэл, олон хэмжээст r.v.s үүсдэг.
Тиймээс s.p гэсэн ойлголт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголтыг эдгээр хувьсагчдын хязгааргүй багц байгаа үед шууд ерөнхийд нь хэлнэ.
Оршил
Санамсаргүй үйл явцын онол (санамсаргүй функц) нь хэсэг юм математикийн шинжлэх ухаан, тэдгээрийн хөгжлийн динамик дахь санамсаргүй үзэгдлийн зүй тогтлыг судлах.
Одоогоор байгаа олон тооныдарааллын онол, түүний математик талыг хөгжүүлэхэд шууд зориулагдсан уран зохиол, түүнчлэн янз бүрийн талбаруудтүүний хэрэглээ - цэрэг, эмнэлгийн, тээвэр, худалдаа, нисэх гэх мэт.
Дарааллын онол нь магадлалын онол, математик статистик дээр суурилдаг. Дарааллын онолын анхны хөгжил нь Данийн эрдэмтэн А.К.-ийн нэртэй холбоотой юм. Эрланг (1878-1929), телефон станцын дизайн, ашиглалтын чиглэлээр хийсэн бүтээлээрээ.
Дарааллын онол нь нэгэн төрлийн үйл явдлууд олон удаа давтагддаг үйлдвэрлэл, үйлчилгээ, удирдлагын тогтолцооны үйл явц, тухайлбал, хэрэглээний үйлчилгээний аж ахуйн нэгжүүдэд дүн шинжилгээ хийдэг хэрэглээний математикийн салбар юм; мэдээлэл хүлээн авах, боловсруулах, дамжуулах системд; автомат үйлдвэрлэлийн шугам гэх мэт Энэ онолыг хөгжүүлэхэд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан Оросын математикчидБАС БИ. Хичин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Wentzel нар.
Дарааллын онолын сэдэв нь эдгээр үйл явцыг удирдах хамгийн сайн арга замыг олохын тулд хүсэлтийн урсгалын шинж чанар, үйлчилгээний сувгийн тоо, бие даасан сувгийн гүйцэтгэл, үр дүнтэй үйлчилгээний хоорондын хамаарлыг тогтоох явдал юм. Дарааллын онолын асуудлууд нь оновчлолын шинж чанартай бөгөөд эцэст нь үүнд хамаарна эдийн засгийн талТодорхойлолтоор бол үйлчилгээний хүлээлт, үйлчилгээний цаг хугацаа, нөөцийн алдагдал, үйлчилгээний сувгийн зогсолтоос үүсэх нийт зардлыг хамгийн бага байлгах системийн сонголт.
IN арилжааны үйл ажиллагаадарааллын онолын хэрэглээ нь хүссэн тархалтыг хараахан олж чадаагүй байна.
Энэ нь голчлон даалгаврыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй, арилжааны үйл ажиллагааны агуулгыг гүнзгий ойлгох хэрэгцээ, түүнчлэн арилжааны үйл ажиллагаанд гарч болзошгүй үр дагаврыг тооцоолох боломжийг олгодог найдвартай, үнэн зөв хэрэгслүүдтэй холбоотой юм. удирдлагын шийдвэрүүд.
1. Санамсаргүй үйл явцын тодорхойлолт, түүний шинж чанар
Санамсаргүй процесс X(t) нь t аргументын дурын утгын хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох процесс юм.
Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй үйл явц нь туршилтын үр дүнд урьдаас тодорхойгүй тодорхой хэлбэрийг авах боломжтой функц юм. Тогтмол t = to-ийн хувьд X(to) нь энгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн, i.e. цаг хугацааны санамсаргүй үйл явцын хөндлөн огтлол to.
Санамсаргүй үйл явцын хэрэгжилт X (t, w) нь санамсаргүй бус функц x(t) бөгөөд туршилтын үр дүнд X(t) санамсаргүй үйл явц хувирдаг (тогтмол w-ийн хувьд), i.e. санамсаргүй үйл явцын авсан тодорхой хэлбэр X(t), түүний замнал.
Тиймээс санамсаргүй үйл явц X (t, w) шинж чанаруудыг нэгтгэдэг санамсаргүй хувьсагчболон функцууд. Хэрэв бид t аргументын утгыг засах юм бол санамсаргүй үйл явц нь w-ийг засах юм бол энгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болж хувирдаг бол тест бүрийн үр дүнд энэ нь ердийн санамсаргүй функц болж хувирдаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй адил санамсаргүй үйл явцыг дүрсэлж болно тоон шинж чанар.
Санамсаргүй үйл явцын математик хүлээлт X(t) нь санамсаргүй бус функц a x (t), хувьсагчийн аль ч утгын хувьд t нь санамсаргүй үйл явцын харгалзах хэсгийн математик хүлээлттэй тэнцүү байна X(t), i.e. сүх (t) = М.
Санамсаргүй үйл явцын дисперс X(t) нь санамсаргүй бус функц юм. Д x (t), t хувьсагчийн дурын утгын хувьд хэлбэлзэлтэй тэнцүүсанамсаргүй үйл явцын харгалзах хэсэг X(t), i.e. Dx (t) = D.
Стандарт хэлбэлзэл санамсаргүй үйл явц X(t) гэж нэрлэдэг арифметик утгатүүний дисперсийн квадрат язгуур, өөрөөр хэлбэл.
Санамсаргүй үйл явцын математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит хэрэгжилтийн дундаж замыг тодорхойлдог бөгөөд түүний тархалт буюу стандарт хазайлт нь дундаж замналтай харьцуулахад хэрэгжилтийн тархалтыг тодорхойлдог.
Санамсаргүй үйл явцын корреляцийн функц X(t) нь санамсаргүй бус функц юм
t1 ба t гэсэн хоёр хувьсагч 2t1 ба t2 хос хувьсагч бүрийн хувьд харгалзах X(t1) ба X(t) хэсгүүдийн ковариацтай тэнцүү байна. 2) санамсаргүй үйл явц.
Хэвийн болгосон корреляцийн функцсанамсаргүй үйл явц X(t) функц гэж нэрлэдэг
Санамсаргүй үйл явцыг тухайн системийн төлөвүүд жигд эсвэл огцом өөрчлөгддөг эсэх, эдгээр төлөвүүдийн олонлог нь хязгаарлагдмал (тоологдох) эсвэл хязгааргүй байх гэх мэтээр ангилж болно. Санамсаргүй үйл явцын дунд онцгой газарМарковын санамсаргүй процесст хамаарна. Гэхдээ эхлээд дарааллын онолын үндсэн ойлголтуудтай танилцъя
2. Үндсэн ойлголтууд дарааллын онол
Практикт ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэхэд дахин ашиглахад зориулагдсан системүүд ихэвчлэн тулгардаг. Үүссэн процессуудыг үйлчилгээний процесс гэж нэрлэдэг ба системийг дарааллын систем (QS) гэж нэрлэдэг. Ийм системийн жишээ бол телефон утасны систем, засварын газар, компьютерийн цогцолбор, билетийн касс, дэлгүүр, үсчин гэх мэт.
SMO бүр нь дараахь зүйлсээс бүрдэнэ тодорхой тооБид үйлчилгээний суваг гэж нэрлэх үйлчилгээний нэгжүүд (төхөөрөмж, төхөөрөмж, цэг, станц). Сувгууд нь холбооны шугам, үйл ажиллагааны цэг, тооцоолох машинууд, худалдагч гэх мэт Сувгуудын тоогоор CMO нь нэг суваг болон олон сувагт хуваагдана.
Програмыг QS нь ихэвчлэн тогтмол бус, санамсаргүй байдлаар хүлээн авдаг бөгөөд энэ нь хэрэглээний санамсаргүй урсгал гэж нэрлэгддэг (шаардлага) үүсгэдэг. Програмын үйлчилгээ, ерөнхийдөө, бас хэсэг хугацаанд үргэлжилж байна. санамсаргүй цаг. Аппликешнүүдийн урсгал болон үйлчилгээний цаг хугацааны санамсаргүй шинж чанар нь QS жигд бус ачаалалтай болоход хүргэдэг: зарим хугацаанд маш олон тооны програмууд хуримтлагддаг (тэд дараалалд ордог эсвэл QS-г ашиглахгүй орхидог), бусад үед QS нь ачаалал багатай эсвэл сул зогсолттой ажилладаг.
Дарааллын онолын сэдэв нь математик загваруудыг холбох явдал юм өгөгдсөн нөхцөл QS-ийн үйл ажиллагаа (сувгуудын тоо, тэдгээрийн бүтээмж, хүсэлтийн урсгалын шинж чанар гэх мэт) QS-ийн гүйцэтгэлийн үзүүлэлтүүд, түүний хүсэлтийн урсгалыг даван туулах чадварыг тодорхойлсон.
Дараахь үзүүлэлтүүдийг QS-ийн гүйцэтгэлийн үзүүлэлт болгон ашигладаг: нэгж хугацаанд үйлчилгээ үзүүлсэн хэрэглээний дундаж тоо; дараалалд байгаа програмуудын дундаж тоо; үйлчилгээний хүлээх дундаж хугацаа; хүлээхгүйгээр үйлчилгээ үзүүлэхээс татгалзах боломж; дараалалд байгаа програмуудын тоо тодорхой утгаас хэтрэх магадлал гэх мэт.
QS нь доголдолтой QS болон хүлээлттэй (дараалал) QS гэсэн хоёр үндсэн төрөлд (анги) хуваагддаг. Татгалзсан QS-д бүх суваг завгүй байх үед хүлээн авсан өргөдөл нь татгалзсан хариу хүлээн авч, QS-ээс гарч, цаашдын үйлчилгээний үйл явцад оролцдоггүй (жишээлбэл, утасны яриабүх сувгууд завгүй байгаа үед татгалзсан хариу хүлээн авч QS-г үйлчилгээгүй орхидог). Хүлээгдэж буй QS-д бүх сувгууд завгүй байх үед ирсэн хүсэлт гарахгүй, харин үйлчилгээний дараалалд ордог.
Хүлээгдэж буй QS нь хуваагдана янз бүрийн төрөлдараалал хэрхэн зохион байгуулагдсанаас хамааран: хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй дарааллын урттай, хамт хязгаарлагдмал хугацаахүлээлт гэх мэт.
3. Марковын санамсаргүй үйл явцын тухай ойлголт
QS процесс нь санамсаргүй үйл явц юм.
Хэрэв түүний S1, S2, S3... боломжит төлөвүүдийг урьдчилан жагсааж, системийн төлөвөөс төлөв рүү шилжих шилжилт шууд (үсрэлтээр) явагддаг бол процессыг салангид төлөвтэй процесс гэнэ. Процессыг процесс гэж нэрлэдэг тасралтгүй хугацаа, хэрэв системийн төлөвөөс төлөв рүү шилжих боломжит мөчүүд нь урьдчилан тогтоогдоогүй, санамсаргүй байвал.
QS үйлдлийн процесс нь салангид төлөвтэй, тасралтгүй үргэлжлэх хугацаатай санамсаргүй процесс юм. Энэ нь зарим үйл явдал тохиолдох үед (жишээлбэл, шинэ хүсэлт ирэх, үйлчилгээ дуусах гэх мэт) QS-ийн төлөв гэнэт өөрчлөгддөг гэсэн үг юм.
Математик анализХэрэв энэ ажлын процесс Марковиан бол QS-ийн ажил ихээхэн хялбаршсан болно. Санамсаргүй процессыг Марков буюу санамсаргүй процесс гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв үйл явцын магадлалын шинж чанар нь тухайн үеийн төлөв байдлаас ирээдүйд хамаарах бөгөөд систем хэзээ, хэрхэн үүссэнээс үл хамаарна. энэ муж.
Жишээ Марковын үйл явц: систем S - такси тоолуур. t мөчид системийн төлөв байдал нь энэ мөч хүртэл машин туулсан километрийн тоогоор (аравны хэдэн километр) тодорхойлогддог. Тоолуур нь яг одоо "So"-г харуулах болтугай. Одоогийн байдлаар t> тоологч руу энэ эсвэл өөр хэдэн километрийг харуулах магадлал (илүү нарийвчлалтай, харгалзах рублийн тоо) S1 нь So-аас хамаардаг боловч тоолуурын заалтууд ямар үед өөрчлөгдсөнөөс хамаарахгүй. мөч хүртэл.
Олон процессыг ойролцоогоор Марковиан гэж үзэж болно. Жишээлбэл, шатар тоглох үйл явц; S систем нь шатрын хэсэг юм. Системийн төлөв байдал нь тухайн мөчид самбар дээр үлдсэн дайсны хэсгүүдийн тоогоор тодорхойлогддог. Одоогийн байдлаар t> материаллаг давуу тал нь өрсөлдөгчдийн аль нэгний талд байх магадлал нь үндсэндээ тухайн үеийн систем ямар төлөвт байгаагаас хамаарна, харин хэрэм хэзээ, ямар дарааллаар алга болсоноос хамаарна. board to moment to.
Зарим тохиолдолд авч үзэж буй үйл явцын өмнөх түүхийг үл тоомсорлож, Марковын загварыг судлахад ашиглаж болно.
Салангид төлөв бүхий санамсаргүй үйл явцыг шинжлэхдээ геометрийн схемийг ашиглах нь тохиромжтой байдаг - төлөвийн график гэж нэрлэгддэг. Ерөнхийдөө системийн төлөвүүдийг тэгш өнцөгтүүд (тойрог), төлөвөөс төлөв рүү шилжих шилжилтийг сумаар (баримтлагдсан нумууд) дүрсэлсэн байдаг. холбох мужууд.
QS-д урсаж буй салангид төлөв, тасралтгүй хугацаа бүхий Марковын санамсаргүй үйл явцын математикийн тодорхойлолтын аль нэгтэй танилцъя. чухал ойлголтуудмагадлалын онол - үйл явдлын урсгалын тухай ойлголт.
. Үйл явдлын урсгалууд
Үйл явдлын урсгалыг цаг хугацааны санамсаргүй мөчид ар араасаа дагах нэгэн төрлийн үйл явдлуудын дараалал гэж ойлгодог (жишээ нь: утасны станц, компьютерийн эвдрэлийн урсгал, хэрэглэгчийн урсгал гэх мэт).
Урсгал нь X эрчимээр тодорхойлогддог - үйл явдлын давтамж эсвэл нэгж хугацаанд QS-д орж буй үйл явдлын дундаж тоо.
Хэрэв үйл явдлууд тодорхой цаг хугацааны интервалаар бие биенээ дагадаг бол үйл явдлын урсгалыг тогтмол гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, угсрах шугам дээрх бүтээгдэхүүний урсгал ( тогтмол хурдхөдөлгөөн) тогтмол байдаг.
Магадлалын шинж чанар нь цаг хугацаанаас хамаарахгүй бол үйл явдлын урсгалыг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй урсгалын эрчм нь тогтмол утга юм: Жишээлбэл, хотын өргөн чөлөөн дэх автомашины урсгал өдрийн цагаар хөдөлгөөнгүй байдаг ч энэ урсгалыг тухайн үед хөдөлгөөнгүй гэж үзэж болно. тодорхой хугацааөдрүүд, жишээ нь, ачаалал ихтэй цагаар. Энэ тохиолдолд цаг хугацааны нэгжид (жишээлбэл, минут тутамд) өнгөрөх автомашины бодит тоо мэдэгдэхүйц ялгаатай байж болох ч тэдний дундаж тоо тогтмол бөгөөд цаг хугацаанаас хамаарахгүй.
Хэрэв T1 ба T2 давхцаагүй хоёр хугацааны хувьд тэдгээрийн аль нэгэнд тохиолдох үйл явдлын тоо бусад дээр тохиолдох үйл явдлын тооноос хамаарахгүй бол үйл явдлын урсгалыг сөрөг нөлөөгүй урсгал гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, метронд орж буй зорчигчдын урсгал нь бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй. Худалдан авалт хийснээр лангуунаас гарч буй үйлчлүүлэгчдийн урсгал аль хэдийн үр дагавартай байдаг (хэрэв хувь хүний хэрэглэгчийн хоорондох хугацааны интервал нь тус бүрийн үйлчилгээний хамгийн бага хугацаанаас бага байж чадахгүй бол).
Хэрэв магадлал бол үйл явдлын урсгалыг энгийн гэж нэрлэдэг At жижиг (анхан шатны) хугацааны интервалд хоёр ба түүнээс дээш үйл явдал тохиолдох нь харьцангуй бага юм. -тайнэг үйл явдал тохиолдох магадлал. Өөрөөр хэлбэл, үйл явдлууд бүлгээрээ бус дангаараа гарч байвал үйл явдлын урсгал нь ердийн зүйл юм. Жишээлбэл, нэг буудал руу ойртож буй галт тэрэгний урсгал энгийн боловч вагоны урсгал нь энгийн биш юм.
Үйл явдлын урсгал гэж нэрлэгддэг хамгийн энгийн(эсвэл суурин Пуассон), хэрэв энэ нь нэгэн зэрэг хөдөлгөөнгүй, энгийн бөгөөд сөрөг нөлөөгүй бол. "Хамгийн энгийн" гэсэн нэр нь хамгийн энгийн урсгалтай QS нь хамгийн энгийн байдагтай холбон тайлбарладаг. математик тайлбар. Тогтмол урсгал нь хамгийн энгийн зүйл биш, учир нь энэ нь үр дагавартай байдаг: ийм урсгалд үйл явдал тохиолдох мөчүүдийг хатуу тогтоодог.
Хязгаар нь хамгийн энгийн урсгал нь магадлалын онолын адил санамсаргүй үйл явцын онолд үүсдэг. хэвийн тархалтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн хязгаар болгон олж авсан: ногдуулах үед (суперпозиция) хангалттай. их тоо n бие даасан, суурин ба ердийн урсгал (эрчимийн хувьд өөр хоорондоо Аi (i = 1.2...п) харьцуулах боломжтой) үр дүн нь X эрчимтэй хамгийн энгийнд ойр урсгал, хэмжээтэй тэнцүү байнаирж буй урсгалын эрчим, тухайлбал:
Бином хуульхуваарилалт:
параметрүүдтэй
Дуран тархалт нь параметртэй Пуассон тархалт руу чиглэдэг
Үүний төлөө хүлээгдэж буй үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний дисперстэй тэнцүү байна:
Ялангуяа t хугацаанд (t = 0) ямар ч үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал тэнцүү байна
Магадлалын нягт буюу тархалтын функцээр өгөгдсөн тархалт нь экспоненциал юм. Тиймээс, хамгийн энгийн урсгалын хоёр хөрш дурын үйл явдлын хоорондох хугацааны интервал нь экспоненциал тархалттай бөгөөд математикийн хүлээлт нь дундажтай тэнцүү байна. квадрат хазайлтсанамсаргүй хувьсагч:
урсгалын эрчмийн дагуу эсрэгээр
Хамгийн чухал өмчэкспоненциал тархалт (зөвхөн экспоненциал тархалтад байдаг) дараах байдалтай байна: хэрэв экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдсан хугацаа аль хэдийн t хугацаанд үргэлжилсэн бол энэ нь үлдсэн хэсгийн тархалтын хуульд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. интервал (T - t): энэ нь T интервалын тархалтын хуультай ижил байх болно.
Өөрөөр хэлбэл, экспоненциал тархалттай урсгалын дараалсан хоёр хөрш үйл явдлын хоорондох T хугацааны интервалд энэ интервал хэр удаан явагдсан талаарх мэдээлэл нь үлдсэн хэсгийн тархалтын хуульд нөлөөлөхгүй. Энэ өмч жагсаалын хуульЭнэ нь үндсэндээ "дараа үр дагаваргүй" гэсэн өөр нэг томъёолол бөгөөд хамгийн энгийн урсгалын гол шинж чанар юм.
Эрчимтэй хамгийн энгийн урсгалын хувьд At энгийн (жижиг) хугацааны интервалд дор хаяж нэг урсгалын үйл явдал тохиолдох магадлал дараахтай тэнцүү байна.
(Энэхүү ойролцоо томьёо нь функцийг зөвхөн At-ийн хүчин чадлаар тэлэх эхний хоёр гишүүнээр солих замаар олж авсан томъёо нь жижиг At байх тусам илүү нарийвчлалтай болно).
5. Колмогоровын тэгшитгэл. Мужийн магадлалыг хязгаарлах
Холбогдох үйл явцын төлөвийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. даалгавар руу. Системийн Si төлөвөөс Sj хүртэлх бүх шилжилт нь эрчимтэй үйл явдлын энгийн урсгалын нөлөөн дор явагдана гэж бид таамаглах болно. (би , j = 0, 1, 2,3); Ийнхүү систем S0 төлөвөөс шилжинэ S1 нь эхний зангилааны эвдрэлийн урсгалын нөлөөн дор, S0 төлөвөөс S1 рүү урвуу шилжилт нь эхний зангилааны "засварыг дуусгах" урсгалын нөлөөн дор явагдана.
Сумнууд дээр тэмдэглэгдсэн эрчимжилт бүхий системийн төлөв байдлын графикийг шошготой гэж нэрлэнэ (дээрх зургийг үз). Харгалзан үзэж буй S систем нь дөрөвтэй боломжит мужууд: S0 , S1 S2, S3. i-р төлөвийн магадлал нь t мөчид систем Si төлөвт байх pi(t) магадлал юм. Мэдээжийн хэрэг, ямар ч үед t бүх мужуудын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна:
t үеийн системийг авч үзээд At жижиг интервалыг тавиад t+At үеийн систем S0 төлөвт байх po (t + At) магадлалыг олъё. Үүнд хүрч байна янз бүрийн арга замууд.
1.po (t) магадлал бүхий t мөч дэх систем S0 төлөвт байсан боловч At цагийн туршид үүнийг орхисонгүй.
Хамгийн энгийн эрчимтэй нийт урсгалыг ашиглан системийг энэ төлөвөөс гаргаж болно (асуудлын зураг дээрх графикийг харна уу). , магадлал нь ойролцоогоор тэнцүү байна
Мөн систем S0 төлөвөөс гарахгүй байх магадлал нь тэнцүү байна . Магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу систем нь S0 төлөвт байх ба At хугацааны туршид түүнийг орхихгүй байх магадлал тэнцүү байна.
p1 (t) (эсвэл p2 (t)) магадлалтай t мөчид систем S1 эсвэл S2 төлөвт байсан ба At хугацааны туршид төлөвт шилжсэн.
Урсгалын эрчим систем ойролцоогоор тэнцүү байх магадлалтай So төлөвт орно . Системийн төлөв байдалд байх магадлал нь энэ аргын дагуу (эсвэл )
Магадлалын нэмэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
At хязгаарт хүрч байна 0 (ойролцоогоор тэнцүү яг болно), бид тэгшитгэлийн зүүн талд деривативыг олж авна (энгийн байх үүднээс үүнийг тэмдэглэе):
Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. үл мэдэгдэх функц өөрөө болон түүний нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг агуулсан тэгшитгэл.
S системийн бусад төлөвтэй ижил төстэй үндэслэлээр бид системийг олж авах боломжтой дифференциал тэгшитгэлКолмогоров муж улсын магадлалын хувьд:
Колмогоровын тэгшитгэл зохиох дүрмийг томъёолъё. Тэдгээрийн зүүн талд i-р төлөвийн магадлалын дериватив байна. Баруун талд нь бүх муж улсын магадлалын үржвэрийн нийлбэр (сумнууд нь тухайн төлөв рүү очдог) ба үйл явдлын харгалзах урсгалын эрчмээс системийг гадагшлуулах бүх урсгалын нийт эрчмийг хассан байна. энэ муж, өгөгдсөн магадлалаар үржүүлсэн (i-р төлөв
Дээр дурдсан системд бие даасан нэг тэгшитгэл бага байна нийт тоотэгшитгэл. Тиймээс системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийг нэмэх шаардлагатай
Дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхийд нь шийдэх онцлог нь эхний нөхцөл гэж нэрлэгддэг нөхцөлийг тохируулах шаардлагатай байдаг. энэ тохиолдолд- системийн төлөвийн магадлал эхлэх мөч t = 0. Тиймээс, жишээлбэл, эхний үед удирдлага хоёулаа зөв ажиллаж, систем төлөв байдалд байсан тохиолдолд тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь зүйн хэрэг юм. цагт анхны нөхцөл
Колмогоровын тэгшитгэлүүд нь төлөв байдлын бүх магадлалыг цаг хугацааны функцээр олох боломжтой болгодог. Тусгай сонирхолсистемийн магадлалыг илэрхийлнэ p би (t) хязгаарлах хөдөлгөөнгүй горимд, i.e. цагт , тэдгээрийг муж улсын хязгаарлах (эцсийн) магадлал гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй үйл явцын онолд хэрэв системийн төлөв байдлын тоо хязгаарлагдмал бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс боломжтой байдаг нь батлагдсан. эцсийн тооалхмууд) дараа нь өөр муж руу оч ахиу магадлалбайдаг.
Si төлөвийн ахиу магадлал нь тодорхой утгатай: энэ нь дундажийг харуулж байна харьцангуй цаг хугацаасистем энэ байдалд хэвээр байна. Жишээлбэл, хэрэв улсын ахиу магадлал So, i.e. p0=0.5, энэ нь систем дунджаар S0 төлөвт байх хугацааны хагасыг хэлнэ.
Хязгаарлах магадлал тогтмол тул Колмогоровын тэгшитгэл дэх деривативуудыг тэг утгаараа орлуулснаар шугаман системийг олж авна. алгебрийн тэгшитгэл, суурин горимыг тайлбарлах.
Үхэл ба нөхөн үржихүйн үйл явц
Дарааллын онолд санамсаргүй үйл явцын тусгай анги өргөн тархсан байдаг - гэж нэрлэгддэг үхэл ба нөхөн үржихүйн үйл явц.Энэ нэр нь тоотой холбоотой биологийн асуудлуудэнэ үйл явц хаана үйлчилдэг математик загварбиологийн популяцийн тооны өөрчлөлт.
S системийн төлөв байдлын дараалсан багцыг авч үзье 0, S1, S2,…, Sk. Шилжилтийг аль ч мужаас зөвхөн зэргэлдээ тоотой мужуудад хийж болно, жишээлбэл. Sk-1 төлөвөөс төлөвт эсвэл S k+11 төлөвт шилжих боломжтой .
Ийм тэгшитгэл зохиох дүрмийн дагуу (Колмогоровын тэгшитгэл) бид дараахь зүйлийг олж авна: S0 төлөвийн хувьд
Дүгнэлт
Энэхүү хураангуй нь санамсаргүй дарааллын үйл явцын онолын системийн элементүүд болох санамсаргүй үйл явц, үйлчилгээ, үйлчилгээний систем, дарааллын систем гэсэн ойлголтуудыг илчилдэг.
Лавлагаа
санамсаргүй масс Марковиан Колмогоров
1. Н.Ш. Кремер "Магадлалын онол ба математикийн статистик» Эв нэгдэл, Москва, 2003 он
Багшлах
Сэдвийг судлахад тусламж хэрэгтэй байна уу?
Манай мэргэжилтнүүд таны сонирхсон сэдвээр зөвлөгөө өгөх эсвэл сургалтын үйлчилгээ үзүүлэх болно.
Өргөдлөө илгээнэ үүзөвлөгөө авах боломжийн талаар олж мэдэхийн тулд яг одоо сэдвийг зааж өгч байна.
