Сонирхсон сэдвээр онол. Математикийн OGE болон USE-д бэлтгэхэд эзлэх хувьтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх

Хувьтай холбоотой үгийн бодлогыг зөв, хурдан шийдвэрлэх чадвар нь зөвхөн хүссэн оюутнуудад шаардлагатай биш юм Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнүндсэн математикийн эсвэл профайлын түвшин, гэхдээ бүх насанд хүрэгчдэд ийм даалгавар байнга тулгардаг тул өдөр тутмын амьдрал. Үнийн өсөлт, гэр бүлийн төсвийг төлөвлөх, хөрөнгө оруулалтын ашигтай хөрөнгө оруулалт болон бусад олон асуудлыг эдгээр ур чадваргүйгээр шийдэж чадахгүй. Баталгаажуулалтын шалгалт өгөхөөр бэлдэж байхдаа хувьтай холбоотой асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар давтах ёстой: Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тэдгээрийг үндсэн болон тусгай түвшний аль алинд нь олдог.

Санах хэрэгтэй

Хувь гэдэг нь тооны \(\frac(1)(100)\) хэсэг юм. Бүхэлд нь хамаарах аливаа зүйлийн хувийг илэрхийлнэ. Бичсэн тэмдэг нь \(\%\) юм. "Хувиар" сэдвээр улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ Москва болон ОХУ-ын бусад хэсэгт сургуулийн сурагчид дараахь томъёог санах хэрэгтэй.

Хэрхэн хэрэглэх вэ?

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын хувьтай энгийн даалгаврыг шийдвэрлэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. Өгөгдсөн тоог \(100\) -д хуваа.
2. Үүссэн утгыг олох шаардлагатай \(\%\)-ийн хэмжээгээр үржүүлнэ.

Жишээлбэл, \(300\) тооноос \(10\%\)-г тооцоолохын тулд \(300:100=3\) хуваах замаар \(1\) хувийг олох хэрэгтэй. Мөн өмнөх үйлдлээс олж авсан тоо нь \(3\cdot10=30\) . Хариулт: \(30\).

Эдгээр нь хамгийн энгийн ажил юм. Улсын нэгдсэн шалгалтанд хамрагдсан 11-р ангийн сурагчид хувьтай холбоотой нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай тулгардаг. Дүрмээр бол тэд банкны хадгаламж эсвэл төлбөрийг хэлнэ. Та "Онолын мэдээлэл" хэсэгт очиж тэдгээрийг хэрэглэх томъёо, дүрмүүдтэй танилцах боломжтой. Эндээс та үндсэн тодорхойлолтуудыг давтахаас гадна банкны зээлийн хүүтэй холбоотой нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх хувилбарууд, мөн алгебрийн бусад хэсгүүдийн дасгалуудтай танилцах боломжтой.

Мөн "Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын текстийн бодлого" видеог үзнэ үү.
Үгийн асуудал нь зөвхөн хөдөлгөөн, ажлын даалгавар биш юм. Мөн хувь хэмжээ, уусмал, хайлш, хольц, тойрог хэлбэрээр хөдөлж, дундаж хурдыг олох даалгаварууд байдаг. Бид тэдний талаар танд хэлэх болно.

Хувьтай холбоотой асуудлуудаас эхэлье. Бид 1-р даалгавар дээр энэ сэдвийг аль хэдийн олж мэдсэн. Ялангуяа тэд томъёолсон чухал дүрэм: бид харьцуулах үнэ цэнэ гэж авдаг.

Бид бас ашигтай томъёог гаргаж авсан:

Хэрэв бид утгыг хувиар нэмэгдүүлбэл .
хэрэв утгыг хувиар бууруулвал бид .
хэрэв утгыг хувиар өсгөж, дараа нь бууруулвал бид .

Хэрэв бид утгыг хувиар хоёр дахин өсгөвөл бид авна
хэрэв утгыг хувиар хоёр дахин бууруулсан бол бид авна

Асуудлыг шийдэхийн тулд тэдгээрийг ашиглацгаая.

Жилд хотын хороололд амьдардаг хүмүүс байсан. Жилд шинэ байшин баригдсаны үр дүнд оршин суугчдын тоо өмнөх оныхтой харьцуулахад нэмэгдэж, жилээр нэмэгджээ. Жилд хэдэн хүн улиралд амьдарч эхэлсэн бэ?

Нөхцөлөөр бол жилийн дотор оршин суугчдын тоо 1-ээр нэмэгдэж, өөрөөр хэлбэл хүнтэй тэнцэх болсон.

Мөн онд оршин суугчдын тоо өссөн байна , одоо жилтэй харьцуулахад. Жилийн дараа тус хороололд илүү олон оршин суугчид амьдардаг болохыг бид олж мэдсэн.

Дараахь асуудлыг санал болгов туршилтын улсын нэгдсэн шалгалт 12-р сард математикийн чиглэлээр. Энэ нь энгийн, гэхдээ цөөхөн хүн үүнийг эзэмшсэн.

Даваа гаригт тус компанийн хувьцаа тодорхой хувиар өссөн бол мягмар гарагт мөн адил хувиар буурсан байна. Үүний үр дүнд тэд Даваа гарагт арилжаа нээгдэж байснаас хямд болсон. Даваа гарагт компанийн хувьцаа хэдэн хувиар өссөн бэ?

Өнгөц харахад нөхцөл байдалд алдаа байгаа юм шиг, хувьцааны үнэ огт өөрчлөгдөх ёсгүй. Эцсийн эцэст тэд үнэ нь өсч, үнэ нь ижил хувиар буурсан байна! Гэхдээ яарах хэрэггүй. Даваа гарагийн арилжааны нээлтийн үеэр хувьцаа нь рублийн үнэтэй байсан гэж бодъё. Даваа гарагийн орой гэхэд тэд үнэ нь өсч, үнэд хүрч эхлэв. Одоо энэ үнэ цэнийг гэж авч, мягмар гарагийн орой гэхэд хувьцааны үнэ энэ үнээр буурсан байна. Мэдээллийг хүснэгтэд цуглуулъя:

Нөхцөлийн дагуу хувьцаанууд эцэст нь .

Бид үүнийг ойлгодог

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье (эцсийн эцэст тийм биш тэгтэй тэнцүү) мөн зүүн талд товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэнэ.

Асуудлын утгын дагуу эерэг утгатай байна.
Бид үүнийг ойлгодог.

Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр өмнөх үнээсээ ижил хувиар буурдаг. Хоёр жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн хувиар буурч байсныг тодорхойл.

Энэ асуудлыг мөн өгүүллийн эхэнд өгсөн томъёоны аль нэгийг ашиглан шийддэг. Хөргөгч нь рублийн үнэтэй. -ээр үнэ нь хоёр дахин буурч, одоо энэ нь тэнцэж байна

Дөрвөн цамц нь хүрэмнээс хямд байна. Таван цамц хүрэмнээс хэдэн хувиар илүү үнэтэй вэ?

Цамцны үнэ хүрэмний үнэтэй тэнцүү байг. Ердийнх шигээ бид харьцуулсан үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл хүрэмний үнийг зуун хувь гэж үздэг. Дараа нь дөрвөн цамцны үнэ нь хүрэмний үнэтэй тэнцэнэ, өөрөөр хэлбэл
.

Нэг цамцны үнэ хэд дахин бага байна:
,
мөн таван цамцны үнэ:

Бидний авсан зүйл бол хүрэмнээс илүү үнэтэй таван цамц байв.

Хариулт: .

Гэр бүл нь эхнэр, нөхөр, тэдний оюутан охиноос бүрддэг. Хэрэв нөхрийн цалин хоёр дахин нэмэгдвэл гэр бүлийн нийт орлого . Хэрэв охины тэтгэлгийг хоёр дахин бууруулбал гэр бүлийн нийт орлого . Эхнэрийн цалин гэр бүлийн нийт орлогын хэдэн хувийг эзэлж байна вэ?

Хүснэгт зурцгаая. Бид асуудалд дурьдсан нөхцөл байдлыг ("хэрэв нөхрийн цалин нэмэгдсэн бол, охины тэтгэлэг буурсан бол ...") "нөхцөл байдал", "нөхцөл байдал" гэж нэрлэх болно.

Тэгшитгэлийн системийг бичихэд л үлддэг.

Гэхдээ бид юу харж байна вэ? Хоёр тэгшитгэл, гурван үл мэдэгдэх! Бид тэдгээрийг тусад нь олох боломжгүй. Үнэн, бидэнд энэ хэрэггүй. Эхний тэгшитгэлийг авч, нийлбэрийг хоёр талаас нь хасах нь дээр. Бид авах:

Энэ нь нөхрийн цалин нь гэр бүлийн нийт орлогын нэг хэсэг гэсэн үг юм.

Хоёрдахь тэгшитгэлд бид илэрхийллийг хоёр талаас нь хасч, хялбаршуулж, олж авна

Энэ нь охины тэтгэлэг нь гэр бүлийн нийт орлогод суурилдаг гэсэн үг юм. Тэгвэл эхнэрийн цалин нийт орлогоо бүрдүүлнэ.

Хариулт: .

Дараагийн төрөласуудлууд - шийдэл, хольц, хайлштай холбоотой асуудлууд. Тэд зөвхөн математик төдийгүй химийн хичээлд ч олддог. -ийн талаар бид танд хэлэх болно энгийн аргаартэдний шийдвэр.

литр агуулсан саванд - хувь усан уусмалзарим бодис, литр ус нэмсэн. Үүссэн уусмалын концентраци хэдэн хувьтай байна вэ?

Шийдвэрт ижил төстэй даалгаваруудзураг тусална. Уусмалтай савыг бүдүүвчээр дүрсэлцгээе - доторх бодис, ус нь хоорондоо холилдохгүй, харин коктейль шиг бие биенээсээ тусгаарлагдсан мэт. Мөн савнууд нь хэдэн литр, хэдэн хувийг агуулдаг болохыг бичье. Үүссэн уусмалын концентрацийг тэмдэглэе.

Эхний саванд литр бодис агуулагдаж байсан. Хоёрдахь сав нь зөвхөн устай байв. Энэ нь гурав дахь сав нь эхнийхтэй ижил тооны литр бодис агуулдаг гэсэн үг юм.

.

Бид тодорхой нэг бодисын тодорхой хэмжээний - хувийн уусмалыг энэ бодисын ижил хэмжээний - хувийн уусмалтай хольсон. Үүссэн уусмалын концентраци хэдэн хувьтай байна вэ?

Эхний уусмалын масс нь тэнцүү байна. Хоёр дахь масс нь ижил байна. Үүний үр дүнд бид масстай уусмалыг олж авсан. Зураг зурцгаая.

Бид авах:

Хариулт: .

Усан үзэм нь чийг, үзэм нь чийгийг агуулдаг. Нэг килограмм үзэм үйлдвэрлэхэд хэдэн килограмм усан үзэм шаардлагатай вэ?

Анхаар! Хэрэв та "бүтээгдэхүүний тухай" асуудалтай тулгарвал, тухайлбал усан үзэмээр үзэм, гүйлснээс чангаанз, талхнаас жигнэмэг эсвэл сүүгээр хийсэн зуслангийн бяслаг гэх мэт асуудал тулгарвал энэ нь үнэндээ шийдлийн асуудал гэдгийг мэдэж аваарай. Мөн бид усан үзэмийг уусмал болгон дүрсэлж болно. Энэ нь ус ба "хуурай бодис" агуулдаг. "Хуурай бодис" нь цогцолбортой химийн найрлага, амт, өнгө, үнэрээр нь бид усан үзэм, төмс биш гэдгийг ойлгож чадна. Усан үзэмээс ус уурших үед үзэм үүсдэг. Үүний зэрэгцээ "хуурай бодисын" хэмжээ тогтмол хэвээр байна. Усан үзэм нь устай байсан бөгөөд энэ нь "хуурай бодис" байсан гэсэн үг юм. Үзэм нь ус ба "хуурай бодис" агуулдаг. Нэг кг усан үзэмээс нэг кг үзэм гарга. Дараа нь

-аас

Тэгшитгэл хийцгээе:

тэгээд бид олох болно.

Хариулт: .

Хоёр хайлш байдаг. Эхний хайлш нь никель, хоёр дахь нь никель агуулдаг. Эдгээр хоёр хайлшаас никель агуулсан кг жинтэй гурав дахь хайлшийг гаргаж авсан. Эхний хайлшийн масс хоёр дахь хайлшийн массаас хэдэн кг бага вэ?

Эхний хайлшийн массыг х, хоёр дахь хайлшийн массыг у гэж үзье. Үүний үр дүнд масстай хайлш гарч ирэв.

Үүнийг бичээд үзье энгийн системтэгшитгэл:

Эхний тэгшитгэл нь үүссэн хайлшийн масс, хоёр дахь нь никелийн масс юм.

Шийдвэрлэснээр бид үүнийг олж авдаг.

Хариулт: .

Хүчлийн -хувь ба -хувийн уусмалыг хольж кг нэмнэ цэвэр ус, бид хүчлийн -%-ийн уусмалыг олж авсан. Хэрэв кг усны оронд ижил хүчлийн кг - хувийн уусмал нэмбэл бид хүчлийн - хувийн уусмал авах болно. Хольцыг авахын тулд хэдэн кг -%-ийн уусмал ашигласан бэ?

Эхний уусмалын масс нь хоёр дахь уусмалын масстай тэнцүү байна. Үүссэн уусмалын масс нь тэнцүү байна. Хүчиллэгийн хэмжээг хоёр тэгшитгэл бичье.

Бид үүссэн системийг шийддэг. Бутархайтай харьцуулахад бүхэл тооны коэффициенттэй ажиллах нь илүү тохиромжтой тул тэгшитгэлийн хоёр талыг нэн даруй үржүүлье. Хаалтуудыг нээцгээе.

Хариулт: .

Дугуй хөдөлгөөний асуудал олон оюутнуудад хэцүү байсан. Тэдгээрийг бараг ижил аргаар шийддэг энгийн даалгаваруудхөдөлгөөний хувьд. Тэд мөн томъёог ашигладаг. Гэхдээ бид танд хэлэх нэг заль мэх бий.

Нэг цэгээс дугуй замНэг дугуйчин гарч ирээд хэдэн минутын дараа мотоцикльчин түүнийг дагаж явав. Замд гараад хэдхэн минутын дараа тэрээр дугуйчинг анх удаа гүйцэж, түүнээс хэдхэн минутын дараа хоёр дахь удаагаа гүйцэв. Маршрутын урт км бол мотоциклийн хурдыг ол. Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү.

Эхлээд хурдыг км/цагаар олох ёстой тул минутыг цаг болгон хөрвүүлье. Бид оролцогчдын хурдыг ба гэж тэмдэглэдэг. Мотоцикльчин анх удаагаа дугуйчинг хэдхэн минутын дараа буюу гараанаас нэг цагийн дараа гүйцэж түрүүлэв. Энэ хүртэл дугуйчин зам дээр хэдэн минут, өөрөөр хэлбэл нэг цаг явсан.

Энэ өгөгдлийг хүснэгтэд бичье:

Хоёулаа ижил зайг туулсан, өөрөөр хэлбэл.

Дараа нь мотоцикльчин дугуйчны хажуугаар хоёр дахь удаагаа өнгөрөв. Энэ нь хэдхэн минутын дараа, өөрөөр хэлбэл эхний гүйцэж түрүүлэхээс нэг цагийн дараа болсон.

Хоёр дахь хүснэгтийг зурцгаая.

Мөн тэд ямар зайг туулсан бэ? Мотоцикльчин дугуйчинг гүйцэж түрүүлэв. Энэ нь тэр дахин нэг тойрог давсан гэсэн үг. Энэ бол энэ ажлын нууц юм. Нэг тойрог бол замын урт, энэ нь км-тэй тэнцүү юм. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг авна.

Үүссэн системийг шийдье.

Бид үүнийг ойлгодог. Хариуд нь бид мотоциклийн хурдыг бичдэг.

Хариулт: .

Гартай цаг нь хэдэн минутыг харуулдаг. Хэдэн минутын дотор минутын гардөрөв дэх удаагаа цагтай зэрэгцүүлэх үү?

Энэ магадгүй хамгийн их хэцүү даалгавар-аас Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтууд. Мэдээжийн хэрэг, энгийн шийдэл байдаг - гараараа цаг авч, гар нь нэг цагийн дотор дөрөв дэх удаагаа яг таарч байгаа эсэхийг шалгаарай.
Хэрэв байгаа бол яах вэ электрон цагтэгээд та туршилтаар асуудлыг шийдэж чадахгүй байна уу?

Нэг цагийн дотор минутын гар нэг тойрог, цагийн зүү нэг тойрог явдаг. Тэдний хурдыг (цагт тойрог) ба (цагт тойрог) гэж үзье. Эхлэх - .. Минутын зүү анх удаа цагийн зүүг гүйцэх цагийг олъё.

Минутын гар дахиад нэг тойрог явах тул тэгшитгэл нь:

Үүнийг шийдсэний дараа бид тэр цагийг авдаг. Тиймээс, гар нь нэг цагийн дараа анх удаа жигдрэх болно. Хэсэг хугацааны дараа тэд хоёр дахь удаагаа тэнцүү болгоорой. Минутын гар хол явах болно, мөн цагийн зүү, минутын зүү нэг тойрог илүү аялна. Тэгшитгэлийг бичье:

Үүнийг шийдсэний дараа бид тэр цагийг авдаг. Тиймээс нэг цагийн дараа гар хоёр дахь удаагаа, нэг цагийн дараа гурав дахь удаагаа, нэг цагийн дараа дөрөв дэх удаагаа тэгшлэнэ.

Энэ нь хэрэв эхлэл .-д байсан бол дөрөв дэх удаагаа сумнууд хоорондоо зэрэгцэнэ гэсэн үг
цаг.

Хариулт нь "туршилтын" шийдэлтэй бүрэн нийцэж байна! :-)

Математикийн шалгалтанд танаас дундаж хурдыг олохыг хүсэх болно. Дундаж хурд нь хурдны арифметик дундажтай тэнцүү биш гэдгийг санаарай. Энэ нь тусгай томъёогоор олддог:

,
дундаж хурд хаана байна, - нийтлэг зам, - нийт хугацаа.

Хэрэв замын хоёр хэсэг байсан бол

Аялагч дарвуулт завиар дунджаар км/цагийн хурдтайгаар далайг гатлав. Тэрээр спортын онгоцоор км/цагийн хурдтайгаар буцаж ниссэн. Аялагчийн бүх аяллын дундаж хурдыг ол. Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү.

Аялагч ямар зайг туулсаныг бид мэдэхгүй. Гагцхүү тийшээ буцах замд энэ зай ижил байсныг бид мэднэ. Энгийн байх үүднээс энэ зайг (нэг далай) гэж авъя. Дараа нь аялагч дарвуулт онгоцонд явсан хугацаа нь , нислэгт зарцуулсан хугацаа нь тэнцүү байна. Нийт хугацаатэнцүү байна.
Дундаж хурдкм/цагтай тэнцүү.

Хариулт: .

13-р асуудлын тэгшитгэлийн системийг хурдан шийдвэрлэхэд туслах өөр нэг үр дүнтэй аргыг үзүүлье.

Андрей, Паша нар хэдэн цагийн дотор хашааг будна. Паша, Володя хоёр ижил хашааг нэг цагийн дотор, Володя, Андрей хоёр нэг цагийн дотор зурдаг. Хөвгүүд хамтдаа хашаагаа будахад хэдэн цаг зарцуулах вэ?

Бид ажил, бүтээмжийн асуудлыг аль хэдийн шийдсэн. Дүрэм журам нь адилхан. Ганц ялгаа нь энд гурван хүн ажилладаг, мөн гурван хувьсагч байх болно. Андрейгийн бүтээмж, Пашагийн бүтээмж, Володягийн бүтээмж байх болтугай. Бид хашааг, өөрөөр хэлбэл ажлын хэмжээг авах болно, учир нь бид түүний хэмжээсийн талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Андрей, Паша хоёр хэдэн цагийн дотор хашааг будсан. Бид хэзээ гэдгийг санаж байна хамтран ажиллахүзүүлбэрүүд нэмэгддэг. Тэгшитгэлийг бичье:

Үүний нэгэн адил,

Дараа нь


.

Та тус тусад нь хайж болно, гэхдээ бүх гурван тэгшитгэлийг нэмэх нь дээр. Бид үүнийг ойлгодог

Энэ нь Андрей, Паша, Володя нар хамтран ажилласнаар нэг цагийн дотор хашааны наймны нэгийг буддаг гэсэн үг юм. Тэд хэдэн цагийн дотор хашааг бүхэлд нь будна.

"Энгийн ба нийлмэл хүү »

Сэдвийн хамаарал.

Хувь хүний ​​​​хувьд ойлголт, хувийн тооцоо хийх чадвар нь одоогоор хүн бүрт зайлшгүй шаардлагатай. ашигласан утгаЭнэ сэдэв нь маш том бөгөөд бидний амьдралын санхүү, хүн ам зүй, байгаль орчин, социологи болон бусад салбарт нөлөөлдөг.

Энэхүү материал нь энэ жил 11-р ангид суралцаж буй бүх хүмүүст хамааралтай болно.

Математикийн CIM-ийн эмхэтгэлд шууд оролцдог Ященко 10-р сард манай семинарт ирэхдээ 19-р даалгаврын бүх загваруудыг энд байрлуулна гэж хэлсэн. задгай сав, даалгавар шинэ учраас.

Миний тийм ч хүчтэй биш ангийн даалгавар шийдэгдэж байгаа бөгөөд үүнд зориулж бэлтгэл хийх боломжтой.

Бяцхан онол ...

"Сонирхол".

Даалгавар 1

а) Сонирхлыг юу гэж нэрлэдэг вэ? (Хувь нь тооны зууны нэг юм.)

б) 1% гэж юу гэж заасан бэ? ( 1%? = 0,01 )

в) Зуун жингийн 1%-ийг юу гэж нэрлэдэг вэ? (кг. ) Тоолуур уу? (харна уу) га уу? (ар эсвэл зуун)

d) 1% хүү гэж юу вэ өгсөн дугаарА? (Өгөгдсөн a тооны хувь нь 0.01 a тоо, өөрөөр хэлбэл. 1% (a) = 0.01*a)

e) Өгөгдсөн a тооны p% -ийг хэрхэн тодорхойлох вэ? (0.01 p a тоог ол, өөрөөр хэлбэл.р% = 0.01*р*а)

е) Аравтын бутархайг хэрхэн хувь болгон хувиргах вэ? ( 100-аар үржүүлнэ ). Хувиараа аравтын бутархай болгох талаар юу хэлэх вэ? (зуугаар хуваах, өөрөөр хэлбэл. 0.01-ээр үржүүлнэ)

g) Тооны хувийг хэрхэн олох вэ? (Хэсэг олохын тулд x тооноос хувиар, та энэ хэсгийг тоонд хувааж, 100-аар үржүүлэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. a(%)=(w/x)*100)

e) Тоо хувийг хувиар нь яаж олох вэ?(Хэрэв x-ийн% нь b-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг бол x-ийг томъёогоор олж болно x = (v/a)*100)

Даалгавар 2

Эдгээр аравтын бутархайг хувиар илэрхийлнэ үү:

A) 1; 0.5; 0.763; 1.7; 256.

б) Процентийг аравтын бутархайгаар илэрхийлнэ: 2%; 12%; 12.5%; 0.1%; 200%.

Даалгавар 3

Тооны %-ийг ол:

в) 1200 тооны 0.1%?(1,2)

г) 2-ын тооны 15%? (0.30)

Даалгавар 4

Хувь хэмжээгээр нь тоог ол:

д) Уут хэдэн центнер жинтэй вэ? нунтагласан элсэн чихэр, хэрэв 13% нь 6.5 кг бол.?(50 кг. = 0.5 в.)

в) 10-ын хэдэн хувь нь 9 вэ?

Хариултууд: a) 9%, б) 0.09%, в) 90%;

г) 900%?.

Энгийн ба нийлмэл хүү

Эдгээр нэр томъёог ихэвчлэн банк, санхүүгийн ажилд ашигладаг.

Банкууд тодорхой хүүтэй мөнгө (хадгаламж) татдаг. Зээлийн хүүгээс хамаараад орлого тооцдог.

Практикт хүүгийн орлогыг үнэлэх хоёр аргыг ашигладаг - энгийн ба нийлмэл хүү.

Энгийн хүү хэрэглэх үед орлогыг хөрөнгө оруулалтын хугацаанаас үл хамааран оруулсан хөрөнгийн анхны дүнгээс тооцдог. Санхүүгийн гүйлгээнд энгийн хүүг голчлон богино хугацааны санхүүгийн гүйлгээнд ашигладаг. Зарим хэмжигдэхүүнийг аажмаар өөрчлөхийг зөвшөөрнө үү. Түүгээр ч барахгүй, тэр болгонд нь өөрчлөлт ордогтодорхой тооэнэ үнэ цэнийн хувь дээр эхний шат. Тэднийг ингэж тооцдог

энгийн сонирхол.Нийлмэл хүү хэрэглэх үед хуримтлагдсан хүүг дараагийн хуримтлалын хугацааны эцэст хадгаламжид нэмнэ. Түүгээр ч зогсохгүй түүний өөрчлөлт нь энэ утгын үнэ цэнийн тодорхой хувийг эзэлдэгөмнөх үе шатанд. Энэ тохиолдолд бид "нийлмэл хүү

” (өөрөөр хэлбэл “хүүгийн хүү” тооцооллыг ашигладаг)

Анхны дүн болон хүлээн авсан хүүг хамтад нь хуримтлагдсан (хуримтлагдсан) дүн гэж нэрлэдэг.

Хүснэгт 1. Энгийн болон нийлмэл хүүг ашиглан хуримтлагдсан дүн.

Энгийн болон нийлмэл хүүгийн томъёо.

I. Тодорхой A утга нь n дахин (n жил) ба цаг тутамд p% -иар өсгөг.

Бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна: А 0 – А хэмжигдэхүүний анхны утга;

r – тогтмол тоо хэмжээхувь;

а хүүгийн түвшин; a=р/100 = 0.01*р

А н – n удаа хуримтлагдсан дүн (n-р жилийн эцэс гэхэд) - энгийн хүүгийн томъёоны дагуу;

S n - n удаа хуримтлагдсан дүн (n-р жилийн эцэс гэхэд) - нийлмэл хүүгийн томъёогоор.

Дараа нь түүний утга А 1 энгийн хүүгийн хувьд эхний өсөлтийн дараа (эхний жилийн эцэс гэхэд) дараах томъёогоор тооцоолно: А 1 = A 0 + A 0 * (0.01p) = A 0 (1 + (0.01p) = A 0 (1 + p)

Хоёр дахь шатны төгсгөлд А 2 = A 1 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).

Гурав дахь шатны төгсгөлд А 3 = A 2 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).

Дараа нь энгийн хүүгийн хувьд жилийн дүн нь дараахтай тэнцүү байна.

A n = A 0 (1 + 0.01р*n) эсвэл A n = A 0 (1 + ?* n) (1)

Нийлмэл хүүгийн хувьд энэ нь өөр харагдаж байна:

Хэмжээг нь S гэж үзье 0 n дахин (n жил) ба тэр болгонд p%-иар нэмэгддэг.

Дараа нь түүний утга учир S 1 Эхний өсөлтийн дараа (эхний жилийн эцэс гэхэд) нийлмэл хүүг дараахь томъёогоор тооцоолно.

S1 = S0 + S0 (0.01r) = S0 * (1 + 0.01r) = S0 * (1 +?).

Хоёрдугаар шатны төгсгөлд С 2 = S 1 + S 1 (0.01р) = S 1 * (1 + 0.01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.

Гуравдугаар шатны төгсгөлд С 3 = S 2 + S 2 (0.01r) = S 2 * (1 +0.01r) = S 0 (1 +0.01r) 2 *(1 +0.01r)=S 0 (1 +0, 01р) 3 = S 0 (1 + a) 3.

Дараа нь нийлмэл хүүгийн хувьд жилийн дүн нь дараахтай тэнцүү байна.

S n = S 0 (1 + 0.01р) n эсвэл S n = S 0 (1 + a ) n (2)

Жишээ 1.

Банк нь 50 мянган рублийн хугацаатай хадгаламж нээсэн. 12% 3 жилийн хугацаатай. Хэрэв хүүгийн хуримтлуулсан дүнг тооцоолно уу:

а) энгийн; б) цогцолбор.

Шийдэл 1.

Энгийн хүүгийн томъёог ашиглах

Sn=(1+3*0.12)*50,000 = 68,000 урэх. (68,000 рубль)

Энгийн хүүгийн томъёог ашиглах

Sn=(1+0.12) 3 *50,000 = 70,246 рубль. (70246 руб.)

Нийлмэл хүүгийн томъёо нь дөрвөн хэмжигдэхүүнийг холбодог: анхны хадгаламж, хуримтлагдсан дүн ( ирээдүйн үнэ цэнэхадгаламж), жилийн хүү, хугацаа жилээр. Тиймээс, гурван хэмжигдэхүүнийг мэдсэнээр та дөрөв дэхийг нь олох боломжтой.

S n = S 0 * (1+0.01р) n

P хувийн тоог тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)

Анхны хадгаламжийг олох үйл ажиллагаа S 0 , хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол n жилийн дараа энэ нь нийлбэр байх ёстой S n , хөнгөлөлт гэж нэрлэдэг:

S 0 = S n * (1 + 0.01р) –n (2.2)

Хичнээн жилийн хувь нэмэр С 0 S утгад хүрэхийн тулд банкинд жилийн p% -тай байх ёстой n.

n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0.01р) (2.3)

Банкны практикт хүүг жилд нэгээс илүү удаа хуримтлуулж болно. Энэ тохиолдолд банкны хүүг ихэвчлэн жилийн нөхцөлөөр тогтоодог. Нийлмэл хүүгийн томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.

S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)

энд t нь жилд дахин хүүгийн хөрөнгө оруулалт хийх тоо.

Жишээ 2.

Банк нь 50 мянган рублийн хугацаатай хадгаламж нээсэн. 12% 3 жилийн хугацаатай. Хэрэв хүүг улирал тутам тооцож байгаа бол хуримтлагдсан дүнг тооцоол.

Шийдэл 2.

n=3

t = 4 (жилд - 4 улирал)

Нийлмэл хүүгийн томъёог ашиглах

S 3 = (1+0.12/4) 3*4 *50000 = 1.03 12 *50000 = 71288 урэх. Төлөөлөгч 71,288 рубль

1 ба 2-р жишээнээс харахад хуримтлагдсан дүн илүү хурдан өсөх тусам хүү нь ихэвчлэн хуримтлагддаг.

Үе шат бүрт S-ийн утгын өсөлт өөр өөр байх үед (2) томъёоны ерөнхий дүгнэлтийг үзүүлье. СО , S-ийн анхны утга, эхний шатны төгсгөлд p-ээр өөрчлөгдөнө 1 %, секундын төгсгөлд p 2 %, гурав дахь шатны төгсгөлд х 3 % гэх мэт. n-р шатны төгсгөлд S-ийн утгыг томъёогоор тодорхойлно

S n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )...(1 + 0.01р n ) (4)

Жишээ 3.

Худалдааны бааз нь үйлдвэрлэгчээс багц бараа худалдаж аваад дэлгүүрт бөөний үнээр хүргэсэн нь 30% -иар өндөр байна. илүү үнэүйлдвэрлэгч. Дэлгүүр нь бүтээгдэхүүний жижиглэнгийн үнийг бөөний үнээс 20 хувиар өндөр тогтоожээ. Хямдралын үеэр тус дэлгүүр энэ үнийг 10 хувиар бууруулсан байна. Худалдан авагч 140 рублийн үнээр бараа худалдаж авсан бол үйлдвэрлэгчийн үнээс хэдэн рубль илүү төлсөн бэ? 40 копейк

Шийдэл 3.

Анхны үнийг S руб., дараа нь (4) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S 0 *1.3*1.2*0.9 = S 0 *1.404 = 140.4

S 0 = 140.4: 1.404 = 100 (руб.)

Сүүлийн болон анхны үнийн зөрүүг ол

140.4 – 100 = 40.4 Хариулт. 40.4 рубль.

Шийдэл бүхий асуудлын жишээ

Сонголт 1

Даалгавар 1. ШТС-ын эзэн бензиний үнийг 10 хувиар нэмсэн. Үйлчлүүлэгчдийн тоо эрс багассаныг анзаарсан тэрээр үнийг 10 хувиар буулгав. Үүний дараа бензиний анхны үнэ хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ? (өссөн эсвэл буурсан, хэдэн хувиар?)

Шийдэл: S 0 гэж үзье -эхлэх үнэ, S 2 – эцсийн үнэ, x – өөрчлөлтийн хүссэн тоо, энд x = (1 - S 2 /S 0 )*100% (*)

Дараа нь S томъёоны дагуу n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )***(1 + 0.01р n ) (4), бид авна.

S 2 = S 0 (1 + 0.01*10 )(1 - 0.01*10) = S 0 *1.1*0.9 = 0.99*S 0.

S 2 = 0.99*S 0; 0.99 = 99%, S утга 2 Энэ нь анхны зардлын 99% бөгөөд энэ нь 100% бага - 99% = 1% гэсэн үг юм.

Эсвэл (*) томъёог ашиглан бид дараахийг авна: x = (1 - 0.99)*100% = 1%.

Хариулт: 1%-иар буурсан.

Даалгавар 2. Тус үйлдвэр жилийн хугацаанд үйлдвэрлэлийнхээ хэмжээг ижил хувиар хоёр дахин нэмэгдүүлсэн. Оны эхэнд сард 600 нэр төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж байсан бол оны эцсээр сард 726 нэр төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж эхэлсэн нь мэдэгдэж байгаа бол энэ тоог ол.

Шийдэл: S 0 гэж үзье -эхлэх үнэ, S 2 – эцсийн үнэ, p – хүүгийн тогтмол хэмжээ.

(2.1) томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг олж авна: p = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.

Хариулт: 10%

Даалгавар 3. Компьютерийн тоног төхөөрөмжийн үнийг 44 хувиар нэмэгдүүлсэн. Үүний дараа хоёр удаа дараалан ижил хувиар бууруулсны үр дүнд компьютерийн үнэ анхны үнээсээ 19 хувиар хямд болжээ. Тэр болгондоо хэдэн хувиар үнээ бууруулсан бэ?

Шийдэл: Томъёо (4) ашиглан бид тэгшитгэлийг байгуулна

S 3 = S 0 (1 + 0.01*44)(1 - 0.01r)(1 - 0.01r) = S0 *1.44*(1 - 0.01r) 2 = S0 * (1-0.01*19). Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид 2 язгуурыг авна: 175 ба 25, 175 нь асуудлын нөхцөлд тохирохгүй байна. Тиймээс p = 25%.

Хариулт: 25%

Даалгавар 4. Үнийн өсөлтийн оновчтой горимыг тодорхойлохын тулд тус компани 1-р сарын 1-ээс эхлэн хоёр дэлгүүрт нэг бүтээгдэхүүний үнийг хоёр аргаар нэмэгдүүлэхээр шийдсэн. Нэг дэлгүүрт - сар бүрийн эхэнд (2-р сараас эхлэн) 2%, нөгөөд - хоёр сар тутамд, гурав дахь сарын эхэнд (3-р сараас эхлэн) ижил тооны хувиар, зургаан сарын дараа (7-р сарын 1) үнэ дахин ижил болсон. Хоёрдугаар дэлгүүрт хоёр сар тутамд бүтээгдэхүүний үнийг хэдэн хувиар нэмэх вэ?

Шийдэл: S 0 гэж үзье -эхлэх үнэ,p - тогтмол хувь.

Дараа нь 6 сарын дараа (зургаагаар 2% өссөний дараа) эхний дэлгүүрт бүтээгдэхүүний үнэ S-тэй тэнцэнэ. 0 (1 + 0,01*2) 6 , мөн хоёр дахь дэлгүүрт (р% -иар гурван удаа өссөний дараа) бүтээгдэхүүний үнэ S-тэй тэнцүү байх болно 0 (1 + 0.01r) 3 . Бид S тэгшитгэлийг авна 0 (1 + 0.01*2) 6 = S 0 (1 + 0.01р) 3 . Үүнийг шийдэж, бид олж авна

(1 + 0.01*2) 2 = (1 + 0.01r); 1.02 2 = (1 + 0.01r); p = 4.04

Хариулт: 4.04%

Сонголт 2.

Даалгавар 1. Машин хурдны зам дагуу тодорхой хурдтай явж байсан. -руу гарч байна хөдөөгийн зам, тэр хурдыг 20% бууруулж, дараа нь эгц авирах хэсэгт хурдыг 30% бууруулсан. Энэ шинэ хурд нь анхныхаасаа хэдэн хувиар бага вэ?

Шийдэл: V 0 гэж үзье - анхны хурд;V - хоёрын дараа олж авсан шинэ хурд янз бүрийн өөрчлөлтүүд, p – шаардлагатай хүүгийн хэмжээ.

Дараа нь (4) томъёог ашиглан бид V тэгшитгэлийг байгуулна 0 (1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V 0 (1 - 0.01r). Үүнийг шийдэж бид V-г авна 0 *0.8*0.7 = V 0 (1 - 0.01r); p = 44

Хариулт: 44%

Даалгавар 2. Өрөөний температурт ус өдөрт 3% ууршдаг гэж үзье. 100 литрээс 2 хоногийн дараа хэдэн литр ус үлдэх вэ? Хэр их ус уурших вэ?

Шийдэл: n=2; p=3%; S 0 = 100л. Дараа нь (2) томъёоны дагуу бид авна

S 2 = S 0 (1 - 0.01p) 2 = 100*(1-0.01*3) 2 = 100*0.97 2 = 94.09; S 0 – S 2 = 100 - 94.09 = 5.91

Хариулт: 94.09л.; 5.91л.

Даалгавар 3. 2 жилийн өмнө банкинд байршуулсан хадгаламж 11,449 рубльд хүрсэн. Жилийн 7 хувийн хүүтэй анхны шимтгэл ямар байсан бэ? Ашиг нь юу вэ?

Шийдэл: n=2; p=7%; S2 = 11449; S0 =?

(2.2) томъёонд S 0 = S n * (1 + 0.01р) –n Эдгээр утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

S 0 = 11449* (1 + 0.01*7) –2 = 11449/ (1.07) 2 =11449/ 1.1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Хариулт: 10,000 рубль; 1449 рубль.

Даалгавар 4. Сберкасса нь хадгаламжийн дүнгийн 3% -ийг жил бүр хуримтлуулдаг. Хэдэн жилийн дараа энэ хэмжээ хоёр дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл: p=3%; S 0 - анхны дүн; n=?

Тэгшитгэл хийцгээе: 2*S 0 = S 0 (1 + 0.01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0.03) n ; 2 = 1.03 n n=log 1.03 2; n ?23.

Бие даасан ажил

1-р түвшин. Сэргээн босгосны дараа үйлдвэр үйлдвэрлэлийн гарцыг 10%, тоног төхөөрөмжийг сольсны дараа дахин 30% -иар нэмэгдүүлсэн. Анхны бүтээгдэхүүн хэдэн хувиар өссөн бэ?

(Хариулт: 43%)

2-р түвшин. 50 гэсэн тоо ижил хувиар гурав дахин нэмэгдэж, дараа нь мөн тооны хувиар буурсан. Үр дүн нь 69.12. Энэ тоог хэдэн хувиар нэмээд дараа нь бууруулсан бэ?

(Хариулт: 20%)

3-р түвшин. Банк жил бүр хадгаламжийн үнийн дүнгийн 7 хувийг авдаг. Хай хамгийн бага тоожил, энэ хугацаанд хувь нэмэр 20 гаруй хувиар өсдөг.

(Хариулт: 3 жил)

№1. Хадгаламжийн банк нь хадгаламжийн жилийн 5.5% -ийг жил бүр хуримтлуулдаг. Хадгаламж эзэмшигч 150 мянган рубль банкинд байршуулсан. 2 жилийн дараа хадгаламжийн хэмжээ хэд байх вэ?

(Хариулт: 166,953.75 рубль)

№3. Банк нь хадгаламжийн хоёр сонголтыг санал болгодог

1) жилийн эцэст хуримтлагдсан хүүгийн хамт 120%;

2) улирал бүрийн эцэст хуримтлагдсан хүүгийн хамт 100%.

Нэг жилийн хугацаанд хадгаламж байршуулах илүү ашигтай хувилбарыг тодорхойлох.

Шийдэл.

Жилийн туршид нэмэгдсэн дүн нь илүү их байх хувилбар нь илүү ашигтай гэж тооцогддог. Сонголтуудыг үнэлэхийн тулд бид 100 рубльтэй тэнцэх анхны дүнг авна.

Эхний хувилбарын дагуу хуримтлагдсан дүн нь (1+1.2)*100 рубльтэй тэнцэх болно. = 220 рубль.

Хоёр дахь хувилбарын дагуу хүүг улирал бүр тооцдог. Эхний улирлын эцэст хуримтлагдсан дүн нь (1+1.0/4)*100 рубль байна. = 125 рубль.

2-р улирлын эцэст (1+1.0/4) 2 * 100 рубль. = 156 рубль.

Жилийн хуримтлагдсан дүн (1+1.0/4) 4 * 100 рубль. = 244 рубль.

Тооцооллын дагуу хоёр дахь хувилбар нь илүү ашигтай (244 > 220). Зөвхөн нийлмэл хүү ашигласан тохиолдолд л үнэн.

Математикийн 2015 оны улсын нэгдсэн шалгалтын 19-р даалгаврын прототипүүдийн сонголт.

19. 2012 оны 12-р сарын 31-нд Екатерина жилийн 15 хувийн хүүтэй 850,000 рубль банкнаас зээлсэн. Зээлийн эргэн төлөлтийн хуваарь нь: 12-р сарын 31-ний өдөр дараа жилбанк өрийн үлдсэн дүнгээс хүү тооцдог (өөрөөр хэлбэл өрийг 15% -иар нэмэгдүүлсэн), дараа нь Екатерина түүнийг банкинд шилжүүлдэг. тодорхой хэмжээжилийн төлбөр. Кэтрин жилийн гурван тэнцүү төлбөрт өрийг төлөхийн тулд жилийн төлбөрийн хэмжээ хэд байх ёстой вэ?

19. Банк залуу гэр бүлд жилийн 20 хувийн хүүтэй, орон сууц худалдан авах зээл олгодог.

Зээлийн эргэн төлөлтийн схем нь дараах байдалтай байна: банкнаас зээл олгосноос хойш яг нэг жилийн дараа

өрийн үлдсэн дүнгээс хүү тооцдог (өөрөөр хэлбэл өрийг 20% -иар нэмэгдүүлдэг),

дараа нь энэ гэр бүл дараа жилийн хугацаанд банк руу тодорхой хэмжээний мөнгө шилжүүлдэг

(тогтмол) жилийн төлбөрийн хэмжээ. Ивановын гэр бүл эргэн төлөхөөр төлөвлөж байна

4 жилийн хугацаатай тэнцүү төлбөртэй зээл. Тэр тэдэнд хэр их мөнгө өгч чадах вэ?

банк, хэрэв Ивановууд жил бүр 810,000 зээлээ төлөх боломжтой бол

рубль үү?

19. 8 литрийн багтаамжтай колбонд 32% хүчилтөрөгч агуулсан азот ба хүчилтөрөгчийн холимог байдаг. Тодорхой хэмжээний хольцыг колбоноос гаргаж, ижил хэмжээний азот нэмсэн; дараа нь тэд дахин анхныхтай ижил хэмжээний шинэ хольц гаргаж, ижил хэмжээний азот нэмэв. Үүний үр дүнд хольц дахь хүчилтөрөгчийн хувь 12.5% ​​байв. Нэг удаад хэдэн литр хольц гарсан бэ?

19. Банкинд 10 хувийн хүүтэй хадгаламж хийсэн. Жилийн дараа хадгаламжийн эзэн данснаасаа 2000 рубль гаргаж, жилийн дараа дахин 2000 рубль байршуулжээ. Гэсэн хэдий ч эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд ордын анхны хөрөнгө оруулалтаас хойш гурван жилийн дараа тэрээр төлөвлөснөөс бага хэмжээний мөнгө авсан (хэрэв ордтой завсрын гүйлгээ хийгдээгүй бол). Эцэст нь хөрөнгө оруулагч төлөвлөсөн хэмжээнээс хэдэн рубль дутуу авсан бэ?

19. Сарын ажлын эхний өдөр хэд хэдэн трактор үйлдвэрийн угсралтын шугамаас өнхрөв. Дараагийн ажлын өдөр бүр тэдний үйлдвэрлэл өдөрт 3 трактороор нэмэгдэж, 55 тракторын сарын төлөвлөгөөг хугацаанаас өмнө, бүхэл бүтэн өдрийн дотор биелүүлэв. Үүний дараа өдөрт 11 трактор үйлдвэрлэдэг болсон. Тухайн сард ажлын 26 өдөртэй, төлөвлөсөн ажил 3-аас доошгүй, 10-аас дээшгүй үргэлжилсэн нь мэдэгдэж байгаа бол ажлын эхний өдөр хэдэн трактор үйлдвэрлэсэн, сарын төлөвлөгөө хэдэн хувиар давж биелснийг тодорхойл. өдрүүд.

19. Гуравдугаар сарын 8-нд Леня Голубков эхнэр Ритадаа шинэ үслэг дээл худалдаж авахын тулд банкнаас 53,680 рубль 4 жилийн хугацаатай жилийн 20 хувийн хүүтэй зээл авчээ. Зээлийн эргэн төлөлтийн схем нь дараах байдалтай байна: дараа жилийн 3-р сарын 8-ны өглөө банк өрийн үлдсэн дүнгээс хүү тооцдог (өөрөөр хэлбэл өрийг 20% -иар нэмэгдүүлдэг), мөн орой нь өдөр Леня жилийн төлбөрийн тодорхой хэмжээг банкинд шилжүүлдэг (энэ дүн нь бүх дөрвөн жилийн хугацаанд ижил байна). Энэ дөрвөн жилийн хугацаанд Леня Голубков банкинд зээлсэн 53,680 рублийн хэдэн төгрөгийг төлөх ёстой вэ?

19. Семён Кузнецов бүх хадгаламжаа Наврода банкин дахь хадгаламжийн дансанд 500 хувийн хүүтэй хөрөнгө оруулалт хийхээр төлөвлөж, нэг жилийн дараа А рубль гаргана гэж найдаж байв. Гэсэн хэдий ч Навроде банкны уналт нь түүний төлөвлөгөөг өөрчилж, яаруу үйлдэл хийхээс сэргийлэв. Үүний үр дүнд ноён Кузнецов мөнгөний нэг хэсгийг хотын нэгдүгээр банкинд, үлдсэнийг нь гоймонгийн саванд хийжээ. Жилийн дараа Нэгдүгээр хотын захиргаа төлбөрийн хувийг хоёр, хагас дахин нэмэгдүүлж, ноён Кузнецов ордыг дахин нэг жил үлдээхээр шийджээ. Үүний үр дүнд Нэгдүгээр хотын захиргаанд хүлээн авсан дүн байсанМөн рубль. Хэрэв Семён лаазтай гоймонд "хөрөнгө оруулалт хийсэн" бол хотын нэгдүгээр банк эхний жилд ямар хүү хуримтлуулсан болохыг тодорхойл.Мөн рубль.

19. Банк нь харилцагчдынхаа хөрөнгийн 30%-ийг 1 жилийн хугацаанд алт олборлох үйлдвэрийн хувьцаанд, үлдсэн 70%-ийг худалдааны цогцолбор барих ажилд оруулахаар төлөвлөж байна. Нөхцөл байдлаас шалтгаалан эхний төсөл нь банкинд жилийн 32% -иас 37%, хоёр дахь төсөл нь жилийн 22% -иас 27% хүртэл ашиг авчрах боломжтой. Жилийн эцэст банк нь харилцагчдад мөнгөө буцааж өгч, жилийн 10% -иас 20% хүртэл урьдчилан тогтоосон хүүгийн хүүг төлөх үүрэгтэй. Банк авах боломжтой хувьцаа худалдан авах, худалдааны цогцолбор барихад оруулсан нийт хөрөнгө оруулалтаас жилд хэдэн хувиар хамгийн бага, хамгийн их цэвэр ашиг гарахыг тодорхойл.

Хувь нь тооны зууны нэг юм.

Хувь хэмжээг $%$ тэмдгээр илэрхийлнэ.

Маягт дахь хувийг илэрхийлэх аравтын, та утгыг $100$-д хуваах хэрэгтэй.

$35%={35}/{100}=0.35$.

Тооны хувийг олохын тулд танд хэрэгтэй өгсөн дугаар$100$-д хувааж, хувиар үржүүлнэ.

$a=(а⋅n)/(100)$-ийн $n%$

Шулуун өнцгийн $5%$ бол өнцөг хэдэн градустай байх вэ?

Шулуун өнцөг нь $180°$ байна.

Үүний $(180°⋅5)/(100)=9°$-д $180°$-ын $5%$-ийг олцгооё.

Хариулт: $9°$.

Тоогоор нь олохын тулд заасан хувь, та өгөгдсөн тоог хуваах хэрэгтэй заасан утгахувь, үр дүнг 100 доллараар үржүүлнэ.

$20%$ нь $80$ байх тоог ол.

Бид $20%$ нь $80$ байх тоог дараах байдлаар оллоо.

${80⋅100}/{20}=400$.

Хариулт: 400 доллар.

Хөнгөлөлттэй ажлууд

Хөнгөлөлт гэдэг нь бүтээгдэхүүн, үйлчилгээний үнийг бууруулах явдал юм. Ихэнх тохиолдолд хөнгөлөлтийг хувиар илэрхийлдэг.

Хөнгөлөлтийг харгалзан бүтээгдэхүүний үнийг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. 100%$-аас хөнгөлөлтийн хувийг хас.
2. Үүний үр дүнд бүтээгдэхүүний нийт өртөгт эзлэх хувийг ол.

Өвлийн хүрэм 4500 рублийн үнэтэй. Улирлын хямдрал$20%$ байна. Хөнгөлөлтийг тооцож хүрэм авахдаа хэдэн төгрөг төлөх ёстой вэ?

Хөнгөлөлттэй хүрэмний үнэ анхны зардлын хэдэн хувийг эзлэхийг олж мэдье.

4500$ рублийн 80%$ хэдэн доллар болохыг тооцоод үзье. Тооны хувийг олохын тулд өгөгдсөн тоог 100$-д хувааж, хувийн утгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

$(4500·80)/(100)=$3600 - хөнгөлөлтийг тооцсон хүрэмний үнэ.

Хадгаламж, зээл, урамшууллын даалгавар

Жилийн ханшийг харгалзан мөнгөний хэмжээг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. Хадгаламжийн жилийн хувийг 100%$ дээр нэмнэ үү.
2. Анхны мөнгөн дүнгээс гарах хувийг ол.

Үйлчлүүлэгч банкинд жилийн 12%-ийн 150,000 рубль байршуулсан. Тэр жилд хэдэн төгрөг гаргаж чадах вэ?

$100%+12%=112%$ гэдэг нь үйлчлүүлэгчийн нэг жилийн дараа авсан мөнгөний анхны дүнтэй харьцуулахад эзлэх хувь юм.

150,000 доллар рублийн 112% долларыг олцгооё.

$(112⋅150000)/(100)=$168000 рубль.

Хариулт: 168,000 доллар.

Зарим хувийн асуудалд пропорцийг ашиглахад тохиромжтой, жишээлбэл:

Нэг уут төмс 200 рублийн үнэтэй. Үнэ нэмэгдсэний дараа 250 доллар рубль болж эхлэв. Нэг уут төмсний үнэ хэдэн хувиар нэмэгдсэн бэ?

Бүтээгдэхүүний анхны өртгийг $100%$ гэж авъя (үнэ нэмэгдсэний дараах өртгийг үүнтэй харьцуулах болно):

$x%$-ийг хуучин үнийн дүнтэй харьцуулахад шинэ үнийн хувь хэмжээ гэж үзье.

Эдгээр өгөгдлөөр бид пропорцийг бүрдүүлж, шийдэх болно.

$(100%)/(x%)=(200)/(250)$.

Пропорцын туйлын нөхцлүүдийн үржвэр нь пропорцын дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.

$200⋅х=100⋅250$.

$х=(100⋅250)/(200)=125%$.

Нэг уут төмсний шинэ үнэ анхны үнэтэй харьцуулахад $125% байна.

Үнэ $125%-100%=25%$-р өссөн байна.

Хариулт: 25 доллар.

Математикийн ажлын дэвтэр нь 65 доллар рублийн үнэтэй. 8%$-ийн хөнгөлөлттэй үнээр оюутан 450 доллараар хэдэн дэвтэр авах боломжтой вэ?

Хөнгөлөлтийг харгалзан дэвтрийн үнийн хэдэн хувийг олъё:

$65$ рублийн $92%$-ийг олоод $1$ нөүтбүүкийн үнийг хямдруулъя:

${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$

Бид бутархай тооны дэвтэр худалдаж авах боломжгүй; найман дэвтэр авахад хангалттай мөнгө байхгүй тул оюутан зөвхөн $7 $ дэвтэр худалдаж авах боломжтой.

Хариулт: 7 доллар.

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд та нэр томъёог мэддэг байх хэрэгтэй "нийлмэл хүү", энэ нь ихэвчлэн хадгаламж, зээл гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай байдаг. Энгийн үгээр хэлбэл, "нийлмэл хүү" нь хүүгийн нийлмэл хүүгийн үед үүсдэг. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Бид $X$ рублийг банкинд жилд $N%$-аар байршуулсан гэж бодъё. Тэгээд тэр мөнгөө банкинд нэг биш хоёр жил орхисон. Энэ нь эхний жилийн эцэст бид $X + X*(N/100) = X(1+(N/100))$ рублийг авч болно гэсэн үг, гэхдээ бид тэдгээрийг авахгүй, харин тэднийг үлдээнэ гэсэн үг юм. хоёр дахь жил. Одоо хоёр дахь жилдээ $N%$-ийн "шинэ" хандивын хэмжээ $X$ байхаа больсон, харин $X(1+(N/100))$ рубль болж байна. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь жилдээ хүү, түүний дотор эхний жилд хуримтлагдсан хүүг тооцно. Нийт хоёр дахь жилийн эцэст бид $X(1+(N/100)) + X(1+(N/100))*(N/100) = X(1+(N/) авах боломжтой болно. 100))(1+ (N/100)) = X(1+(N/100))^2$.
Хэрэв бид хоёр биш, харин $Y$ жилийн хугацаатай хадгаламж хийсэн бол эцэст нь $X(1+(N/100))^Y$ рубль авах болно.

“Сайн багш аливаа ажлыг эцэс хүртэл дуусгаж болохгүй гэдгийг ойлгох ёстой. Тэр энэ үзлийг шавь нартаа суулгаж өгөх ёстой.”
Д.Поля.

Танилцуулга.

Би онцгой анхаарал хандуулдаг үгийн асуудлуудпрактикт ихэвчлэн олддог хувь дээр элсэлтийн шалгалтуудВ эдийн засгийн их дээд сургуулиуд, гэхдээ сургуульд хангалттай анхаарал хандуулдаггүй. Хувь хэмжээг тооцоолох чадвар нь мэдээжийн хэрэг математикийн хамгийн чухал чадваруудын нэг юм. Гэсэн хэдий ч зөвхөн сургуулиа удаан төгссөн хүмүүс ашиг сонирхлоос айдаг хүмүүс биш юм. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ч гэсэн хувьтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх чадвар 20% -иас хэтрэхгүй байна. Энэ нь зөвхөн энэ төрлийн асуудлыг шийдэх ёстойг харуулж байна бага ангиудЭнэ сэдвийг хаана судалж байгаа, гэхдээ сургуулийн бүх жилийн туршид.

1. Хувиар тооцсон бодлого бодохдоо дараах үндсэн томъёог ашиглана.

a-ийн 1% нь a-тай тэнцүү.

a тооны p% нь a-тай тэнцүү байна.

Хэрэв тодорхой a тоо нь х-ийн p% гэдгийг мэддэг бол пропорцоос х-г олж болно

А− р%

X − 100%,

үүнээс x=a.

a, b, a тоонууд байг

b тоо нь а тооноос 100% их байна.

a тоо b тооноос 100% бага.

2. Нийлмэл хүүгийн томъёо.

Хэрэв хадгаламж нь мөнгөн нэгжийн дүнг агуулж байвал банк жилийн p% хураамж авдаг бол n жилийн дараа хадгаламжийн дүн

амөнгөний нэгж

3. Хувиар хамаарах бодлого.

Даалгавар 1.

Ухаалаг хүмүүс үзэсгэлэнтэй хүмүүсээс 45% -иар бага; Ухаалаг хүмүүсийн 36% нь үзэсгэлэнтэй төрхтэй байдаг. Сайхан хүмүүсийн дунд ухаантай хүмүүс хэдэн хувьтай байдаг вэ?

Шийдэл: x-г үзэсгэлэнтэй хүмүүсийн тоо, дараа нь ухаалаг хүмүүсийн тоо:

x − 0.45x = 0.55x.

Ухаалаг хүмүүсийн 36% нь үзэсгэлэнтэй хүмүүс байдаг тул ухаалаг, нэгэн зэрэг үзэсгэлэнтэй хүмүүсийн тоо:

0.36 ·0.55x= 0.198x.

Пропорцийг гаргацгаая:

Эндээс бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт: 19,8%

Оюутнууд бодит амьдралтай ойртсон хувь хэмжээг агуулсан үгийн бодлого бодох сонирхолтой байдаг. Асуудлыг асуудлын номноос биш, харин сонины хуудаснаас шууд гаргах нь онцгой "хөгжил" юм. Энд математикийн ашиггүй байдлын тухай бодол байдаггүй. Тэгээд ч эдийн засгийн хямрал нүүрлэсэнтэй холбогдуулан сонины хуудсанд “сонирхлын сэтгүүл зүй” жинхэнэ утгаараа цэцэглэн хөгжиж байна.

Даалгавар 2.

Аялал жуулчлалын үнэ аль хэдийн нэмэгдсэн: жишээлбэл, Франц руу хийх аялал - 20%. Өмнө нь Франц руу хийх аялал хэдэн хувиар хямд байсныг хэлэх боломжтой юу?

Шийдэл: x хуучин үнэ, n шинэ үнэ байг.

1) Эхний пропорцийг хийцгээе:

Бид n=1.2x-ийг авна.

2) Хоёр дахь пропорцийг хийцгээе:

x − (100-a%)

(100-a) 1.2x = 100x

Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг авна: a ≈17%.

Хариулт: 17%.

4. Нийлмэл хүүгийн томьёог ашиглах.

Даалгавар 3.

Банкны дансанд 10 мянган рубль хийсэн. Мөнгө нэг жил хэвтсэний дараа данснаас 1 мянган рубль гарсан. Жилийн дараа дансанд 11 мянган рубль байсан. Банк жилд хэдэн хувийн шимтгэл авахыг тодорхойл.

Шийдэл:Банк жилийн p% хураамж ав.

1) Банкны дансанд жилийн р% -иар байршуулсан 10,000 рублийн хэмжээ жилийн дараа энэ хэмжээгээр нэмэгдэх болно.

2) 1000 рубль данснаас гарахад энэ нь тэнд үлдэх болно 9000+100 рубльүрэх.

3) Өөр нэг жилийн дараа хүүгийн хуримтлалаас болж сүүлийн үнэ цэнэ нь үнэ цэнэд нэмэгдэх болно

Нөхцөлөөр энэ утга нь 11000-тай тэнцүү байна:

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхэд бид: =10, =−200 - сөрөг язгуур тохиромжгүй болно.

Хариулт: 10%

Даалгавар 4. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2015)

Банк тодорхой хэмжээний мөнгийг тодорхой хувиар авдаг байсан. Жилийн дараа хуримтлагдсан мөнгөний дөрөвний нэгийг данснаас татан авсан. Гэтэл банк жилийн хүүгээ нэмсэн 40% -иар. Ирэх оны эцэс гэхэд хуримтлагдсан дүн 1.44 дахинанхны хөрөнгө оруулалтаас давсан. Шинэ APR хувь хэд вэ?

Шийдэл:Хадгаламжийн хэмжээнээс хамаарч байдал өөрчлөгдөхгүй. Үүнийг банкинд хийцгээе 4 рубль (хуваасан 4 ). Жилийн дараа дансанд байгаа мөнгө яг нэмэгдэх болно p удаамөн тэнцүү болно (4х)рубль

Үүнийг хувааж үзье 4 эд анги, бид тэднийг гэртээ аваачих болно (p)рубль, бид үүнийг банкинд үлдээх болно (3p)рубль

Ирэх оны эцэс гэхэд банк агуулж байсан нь мэдэгдэж байна 4 1.44 = 5.76рубль Тэгэхээр тоо (3p)тоо болж хувирав (5,76) . Хэдэн удаа нэмэгдсэн бэ?

Ийнхүү хоёр дахь өсөлтийн коэффициент олдлоо ксав.

Сонирхолтой нь хоёр коэффициентийн үржвэр нь тэнцүү байна 1,92 :

Энэ нь хоёр дахь коэффициент асаалттай байх нөхцөлөөс хамаарна 0,4 эхнийхээс илүү.

Таслалаас салж, орлуулъя t = 10r:

Ийм тэгшитгэлээс 12-ыг авахад хялбар байдаг.

Тэгэхээр p = 1.2, k = 1.6.

Хадгаламжийн хэмжээ эхний удаад 1.2 дахин, хоёр дахь удаагаа 1.6 дахин өссөн байна.

100% байсан, 160% болсон. Жилийн шинэ хувь нь 160%-100% = 60% байна.

Хариулт: 60%.

Даалгавар 5. (Улсын нэгдсэн шалгалт-2015)

Банкинд байршуулсан дүн 3900 мянган рублийн доор 50% жилд. Хадгаламжийн эхний дөрвөн жил бүрийн эцэст хүүг тооцсоны дараа хадгаламж эзэмшигч нь дансанд ижил тогтмол хэмжээний нэмэлт хадгаламж хийсэн. Тав дахь жилийн эцэс гэхэд хүү тооцож үзээд ийм болсон

Хадгаламжийн хэмжээ эхнийхтэй харьцуулахад нэг хувиар өссөн 725% .

Хөрөнгө оруулагч жилдээ хэдэн төгрөгийн хадгаламж нэмсэн бэ?

Шийдэл:Хадгаламжид хөрөнгө оруулагч жил бүр х рубль нэмж оруулъя.

50% жилд гэдэг нь хадгаламж эзэмшигчийн дансанд байгаа мөнгө жил бүр 1.5 дахин нэмэгддэг гэсэн үг. Хөрөнгө оруулагч анхны мөнгөндөө юу ч нэмээгүй бол жилийн дараа л болно 3900·1.5, хоёр жилийн дараа - 3900·1.52гэх мэт.

Дөрвөн нэмэгдэл бүгд хэчнээн их орлого авчирсныг тооцоод үзье.

x∙1.5 4 + x∙1.5 3 + x∙1.5 2 + x∙1.5

Үүнийг хийхийн тулд гаргаж авцгаая Xхаалтны гадна талд байгаа геометр прогрессийн нийлбэрийг тооцоол b = 1.5Тэгээд q = 1.5.

Хадгаламжийн хэмжээ анхныхтай харьцуулахад нэг хувиар өссөн нь мэдэгдэж байна 725% .