Систем шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх - эдгээр нь бүгдийг нь олох шаардлагатай хоёр ба түүнээс дээш шугаман тэгшитгэл юм ерөнхий шийдлүүд. Бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно. Ерөнхий үзэл бодолХоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг доорх зурагт үзүүлэв.

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Энд x ба y нь үл мэдэгдэх хувьсагч, a1,a2,b1,b2,c1,c2 зарим нь бодит тоо. Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь хос тоо (x,y) бөгөөд хэрэв бид эдгээр тоог системийн тэгшитгэлд орлуулж үзвэл системийн тэгшитгэл бүр жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудын нэг болох нэмэх аргыг авч үзье.

Нэмэх аргаар шийдвэрлэх алгоритм

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх алгоритм.

1. Шаардлагатай бол by эквивалент хувиргалтхоёр тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх хувьсагчийн аль нэгийн коэффициентийг тэнцүүлэх.

2. Үүссэн тэгшитгэлүүдийг нэмэх, хасах замаар нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийг ол

3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг үл мэдэгдэхтэй шийдэж, нэг хувьсагчийг ол.

4. Үүссэн илэрхийллийг системийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж, энэ тэгшитгэлийг шийдэж, хоёр дахь хувьсагчийг гарга.

5. Уусмалыг шалгана уу.

Нэмэх аргыг ашиглан шийдлийн жишээ

Илүү тодорхой болгохын тулд нэмэх аргыг ашиглан шийдье дараах системХоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл:

(3*x + 2*y = 10;
(5*х + 3*у = 12;

Хувьсагчдын аль нь ч ижил коэффициентгүй тул бид y хувьсагчийн коэффициентүүдийг тэнцүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг гурав, хоёр дахь тэгшитгэлийг хоёроор үржүүлнэ.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Бид авдаг Дараахь тэгшитгэлийн систем:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Одоо бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасна. Бид толилуулж байна ижил төстэй нэр томъёомөн үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийд.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Бид үүссэн утгыг анхны системийнхээ эхний тэгшитгэлд орлуулж, үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ.

(3*(-6) + 2*у =10;
(2*y=28; у =14;

Үр дүн нь x=6 ба y=14 хос тоо юм. Бид шалгаж байна. Сэлгээ хийцгээе.

(3*x + 2*y = 10;
(5*х + 3*у = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Таны харж байгаагаар бид хоёр жинхэнэ тэгш байдлыг олж авлаа зөв шийдвэр.

Үүнийг ашиглаж байна математикийн програмОрлуулах арга ба нэмэх аргыг ашиглан хоёр хувьсагчийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Хөтөлбөр нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгдөг төдийгүй бас өгдөг нарийвчилсан шийдэлОрлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдлийн алхамуудын тайлбартай.

Энэ програмахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй байж болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?гэрийн даалгавар

Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно. Ингэснээр та өөрийн сургалт болон/эсвэл сургалтаа явуулах боломжтой.дүү нар

эсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт. Тэгшитгэл оруулах үедта хаалт ашиглаж болно
. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно.

Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай. Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2Та тэгшитгэлд зөвхөн бүхэл тоог ашиглахаас гадна бас ашиглаж болно

бутархай тоо
аравтын бутархай ба энгийн бутархай хэлбэрээр. Аравтын бутархай оруулах дүрэм.Бүхэл ба бутархай хэсэгВ
аравтын бутархай

цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна. Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.Орохдоо /
тоон бутархайТоолуурыг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. &

Бүхэл бүтэн хэсэг
бутархайгаас амперсандаар тусгаарлагдсан:
Жишээ.

Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2
Тэгшитгэлийн системийг шийдэх
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга

Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;
2) гарсан илэрхийллийг энэ хувьсагчийн оронд системийн өөр тэгшитгэлд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг олж авна.
$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд х-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга - нэмэх аргыг авч үзье. Энэ аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх, мөн орлуулах аргыг ашиглан шийдвэрлэх үед бид өгөгдсөн системээс өөр, тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулсан эквивалент систем рүү шилждэг.

Нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициентүүд нь эсрэг тоо болохын тулд хүчин зүйлийг сонгох;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нэмбэл 3х=33 гэсэн нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольъё. Системээ авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38\) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38\). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдийг нэмэх замаар олсон: \(x=11; y=-9\) эсвэл \((11;-9)\)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эхний системийн тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

1. Орлуулах арга: системийн аль ч тэгшитгэлээс бид нэг үл мэдэгдэхийг нөгөөгөөр илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг цагтдамжуулан Xба үүнийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системээ авч үзье анхныхтай дүйцэхүйц.

Авсаны дараа ижил төстэй гишүүдсистем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олно: . Энэ утгыг тэгшитгэлд орлуулах цагт = 2 - 2X, бид авдаг цагт= 3. Тиймээс энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

2. Арга алгебрийн нэмэлт : Хоёр тэгшитгэл нэмснээр нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна.

Даалгавар.Системийн тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.Хоёр дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-оор үржүүлснээр бид системийг олж авна анхныхтай дүйцэхүйц. Энэ системийн хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид системд хүрнэ

Ижил төстэй нэр томъёог оруулсны дараа энэ систем нь дараах хэлбэртэй болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог. Энэ утгыг 3-р тэгшитгэлд орлуул X + 4цагт= 5, бид авна , хаана. Тиймээс энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

3. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга: бид системд дахин давтагдах илэрхийлэлүүдийг хайж байгаа бөгөөд үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар системийн харагдах байдлыг хялбарчлах болно.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Үүнийг бичээд үзье энэ системөөрөөр:

Болъё x + y = у, xy = v.Дараа нь бид системийг авдаг

Үүнийг орлуулах аргыг ашиглан шийдье. Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг удамжуулан vба үүнийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системээ авч үзье тэдгээр.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог v 1 = 2, v 2 = 3.

Эдгээр утгыг тэгшитгэлд орлуулах у = 5 - v, бид авдаг у 1 = 3,
у 2 = 2. Дараа нь бид хоёр системтэй болно

Эхний системийг шийдэж, бид хоёр хос тоо (1; 2), (2; 1) авна. Хоёр дахь систем нь ямар ч шийдэлгүй.

Бие даасан ажилд зориулсан дасгалууд

1. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн график аргаас илүү найдвартай.

Орлуулах арга

Бид энэ аргыг 7-р ангид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигласан. 7-р ангид боловсруулсан алгоритм нь x ба y хоёр хувьсагчтай дурын хоёр тэгшитгэлийн системийг (заавал шугаман биш) шийдвэрлэхэд тохиромжтой (мэдээжийн хэрэг, хувьсагчдыг бусад үсгээр тэмдэглэж болно, энэ нь хамаагүй). Үнэн хэрэгтээ бид энэ алгоритмыг өмнөх догол мөрөнд асуудал гаргах үед ашигласан хоёр оронтой тоохүргэсэн математик загвар, энэ нь тэгшитгэлийн систем юм. Бид дээрх тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдсэн (§ 4-ийн жишээ 1-ийг үзнэ үү).

х, у хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед орлуулах аргыг ашиглах алгоритм.

1. Системийн нэг тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийл.
2. Ү-ийн оронд үүссэн илэрхийллийг системийн өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг x-ийн хувьд шийд.
4. Гурав дахь алхамд олдсон тэгшитгэлийн язгуур тус бүрийг эхний алхамд олж авсан y-ээс x гэсэн илэрхийлэлд х-ийн оронд ээлжлэн орлуулна.
5. Хариултыг гурав, дөрөв дэх алхамд олдсон хос утгын (x; y) хэлбэрээр бичнэ үү.

4) X = 5 - 3 томъёонд y-ийн олсон утгуудыг нэг нэгээр нь орлуулна. Хэрэв тэгвэл
5) Өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийн хос (2; 1) ба шийдлүүд.

Хариулт: (2; 1);

Алгебрийн нэмэх арга

Энэ аргыг орлуулалтын аргын нэгэн адил шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж байсан 7-р ангийн алгебрийн хичээлээс мэддэг болсон. Дараах жишээг ашиглан аргын мөн чанарыг эргэн санацгаая.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Системийн эхний тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг 3-аар үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлийг өөрчлөхгүй орхиё.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлээс хас.

Анхны системийн хоёр тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар нэмсний үр дүнд өгөгдсөн системийн нэг ба хоёр дахь тэгшитгэлээс хялбар тэгшитгэл гарч ирэв. Энэхүү энгийн тэгшитгэлээр бид өгөгдсөн системийн дурын тэгшитгэлийг, жишээлбэл, хоёр дахь тэгшитгэлийг орлуулах эрхтэй. Дараа нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийг илүү энгийн системээр солино.

Энэ системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдэж болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид системийн эхний тэгшитгэлд y-ийн оронд энэ илэрхийлэлийг олно

Олдсон x утгуудыг томъёонд орлуулах хэвээр байна

Хэрэв x = 2 бол

Тиймээс бид системийн хоёр шийдлийг олсон:

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга

Та 8-р ангийн алгебрийн хичээлээр нэг хувьсагчтай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх аргачлалтай танилцсан. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх энэ аргын мөн чанар нь ижил боловч техникийн үүднээс авч үзвэл бид дараах жишээн дээр авч үзэх зарим шинж чанарууд байдаг.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Шинэ хувьсагчийг оруулъя. Дараа нь системийн эхний тэгшитгэлийг дахин бичиж болно энгийн хэлбэрээр: t хувьсагчийн хувьд энэ тэгшитгэлийг шийдье:

Эдгээр хоёр утга нь нөхцөлийг хангаж байгаа тул үндэс юм рационал тэгшитгэл t хувьсагчтай. Гэхдээ энэ нь бид x = 2y гэдгийг хаанаас олох вэ, эсвэл гэсэн үг юм
Тиймээс бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг ашиглан гадаад төрхөөрөө нэлээд төвөгтэй байсан системийн эхний тэгшитгэлийг хоёр энгийн тэгшитгэл болгон "давхаргаж" чадсан.

x = 2 y; у - 2х.

Дараа нь яах вэ? Тэгээд дараа нь хоёр хүн бүр хүлээн авсан энгийн тэгшитгэлүүдБидний санаж амжаагүй байгаа x 2 - y 2 = 3 тэгшитгэлтэй системд нэг нэгээр нь авч үзэх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, асуудал нь тэгшитгэлийн хоёр системийг шийдвэрлэхэд ирдэг.

Бид эхний систем, хоёр дахь системийн шийдлийг хайж, хариултанд бүх хос утгыг оруулах хэрэгтэй. Эхний тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Орлуулах аргыг ашиглая, ялангуяа энд бүх зүйл бэлэн байгаа тул: системийн хоёр дахь тэгшитгэлд x-ийн оронд 2y илэрхийлэлийг орлъё. Бид авдаг

x = 2y тул бид тус тусад нь x 1 = 2, x 2 = 2-ыг олно. Ийнхүү өгөгдсөн системийн хоёр шийд гарна: (2; 1) ба (-2; -1). Хоёр дахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Орлуулах аргыг дахин ашиглая: системийн хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 2x илэрхийллийг орлуулна. Бид авдаг

Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм. Тиймээс хариултанд зөвхөн эхний системийн шийдлүүдийг оруулах шаардлагатай.

Хариулт: (2; 1); (-2;-1).

Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг хоёр хувилбарт ашигладаг. Эхний сонголт: нэг шинэ хувьсагчийг системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд нэвтрүүлж ашигладаг. 3-р жишээнд яг ийм зүйл тохиолдсон. Хоёр дахь хувилбар: системийн хоёр тэгшитгэлд хоёр шинэ хувьсагчийг нэгэн зэрэг нэвтрүүлж ашигладаг. Энэ нь жишээ 4-т байх болно.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Хоёр шинэ хувьсагчийг танилцуулъя:

Тэгвэл үүнийг анхаарч үзье

Энэ нь танд дахин бичих боломжийг олгоно өгөгдсөн системилүү энгийн хэлбэрээр, гэхдээ харьцангуй шинэ хувьсагч a, b:

a = 1 тул a + 6 = 2 тэгшитгэлээс бид олно: 1 + 6 = 2; 6=1. Тиймээс, a ба b хувьсагчийн талаар бид нэг шийдлийг олж авлаа:

Х ба у хувьсагч руу буцаж очоод тэгшитгэлийн системийг олж авна

Энэ системийг шийдэхийн тулд алгебрийн нэмэх аргыг хэрэглэцгээе.

Түүнээс хойш 2x + y = 3 тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг оллоо.
Тиймээс, x ба y хувьсагчдын хувьд бид нэг шийдлийг олж авсан:

Энэ догол мөрийг товч боловч нэлээд ноцтой онолын яриагаар дуусгая. Та аль хэдийн шийдвэрлэх туршлага хуримтлуулсан байна өөр өөр тэгшитгэлүүд: шугаман, квадрат, оновчтой, иррациональ. Тэгшитгэлийг шийдэх гол санаа нь нэг тэгшитгэлээс нөгөөд аажмаар шилжих, илүү энгийн, гэхдээ өгөгдсөнтэй тэнцэх явдал гэдгийг та мэднэ. Өмнөх догол мөрөнд бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн эквивалент гэсэн ойлголтыг танилцуулсан. Энэ ойлголтыг тэгшитгэлийн системд бас ашигладаг.

Тодорхойлолт.

Х ба у хувьсагчтай тэгшитгэлийн хоёр системийг ижил шийдтэй эсвэл хоёр систем нь шийдэлгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Энэ хэсэгт бидний авч үзсэн гурван арга (орлуулах, алгебрийн нэмэх, шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх) нь эквивалентийн үүднээс туйлын зөв юм. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр аргуудыг ашиглан бид нэг тэгшитгэлийн системийг өөр, илүү энгийн боловч анхны системтэй тэнцэх системээр сольдог.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга

Орлуулах арга, алгебрийн нэмэх, шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх гэх мэт нийтлэг бөгөөд найдвартай аргаар тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид аль хэдийн сурсан. Одоо өмнөх хичээл дээр аль хэдийн судалж байсан аргыг санацгаая. Энэ нь таны мэддэг зүйлээ давтъя график аргашийдлүүд.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга графикаартус бүрийн график байгуулахыг илэрхийлнэ тодорхой тэгшитгэл, энэ системд багтсан бөгөөд нэгд нь байдаг координатын хавтгай, мөн түүнчлэн эдгээр графикуудын цэгүүдийн огтлолцлыг олох шаардлагатай газрууд. Энэ тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд энэ цэгийн координатууд (x; y) байна.

Үүний тулд үүнийг санах хэрэгтэй график системтэгшитгэл нь нэг цорын ганц зөв шийдэлтэй байх хандлагатай байдаг, эсвэл хязгааргүй олонлогшийдэл, эсвэл огт шийдэлгүй.

Одоо эдгээр шийдэл бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье. Тиймээс тэгшитгэлийн систем байж болно цорын ганц шийдэлсистемийн тэгшитгэлийн график болох шугамууд огтлолцсон тохиолдолд. Хэрэв эдгээр шугамууд параллель байвал ийм тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй болно. Хэрэв системийн тэгшитгэлийн шууд графикууд давхцаж байвал ийм систем нь олон шийдлийг олох боломжийг олгодог.

За, одоо 2 үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг график аргаар шийдвэрлэх алгоритмыг харцгаая.

Эхлээд бид 1-р тэгшитгэлийн графикийг байгуулна;
Хоёрдахь алхам нь хоёр дахь тэгшитгэлтэй холбоотой графикийг бүтээх явдал юм;
Гуравдугаарт, бид графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй.
Үүний үр дүнд бид огтлолцлын цэг бүрийн координатыг олж авдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл болно.

Энэ аргыг жишээ ашиглан илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. Бидэнд шийдэх ёстой тэгшитгэлийн системийг өгсөн.

Тэгшитгэл шийдвэрлэх

1. Эхлээд бид энэ тэгшитгэлийн графикийг байгуулна: x2+y2=9.

Гэхдээ энэ тэгшитгэлийн график нь эхэн дээрээ төвтэй тойрог байх бөгөөд түүний радиус нь гуравтай тэнцүү байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

2. Бидний дараагийн алхам бол y = x – 3 гэх мэт тэгшитгэлийн графикийг зурах явдал юм.

Энэ тохиолдолд бид шулуун шугам барьж (0;−3) ба (3;0) цэгүүдийг олох ёстой.

3. Бид юу авснаа харцгаая. Шулуун шугам нь тойрогтой А ба В хоёр цэг дээр огтлолцож байгааг бид харж байна.

Одоо бид эдгээр цэгүүдийн координатыг хайж байна. (3;0) координатууд нь А цэгтэй, координатууд (0;−3) нь В цэгтэй тохирч байгааг бид харж байна.

Үүний үр дүнд бид юу авах вэ?

Шугаман тойрогтой огтлолцох үед олж авсан (3;0) ба (0;−3) тоонууд нь системийн хоёр тэгшитгэлийн яг шийдэл юм. Үүнээс үзэхэд эдгээр тоо нь энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм.

Өөрөөр хэлбэл, энэ шийдлийн хариулт нь тоонууд юм: (3;0) ба (0;−3).

Энэ видеогоор би тэгшитгэлийн системд зориулсан цуврал хичээлүүдийг эхлүүлж байна. Өнөөдөр бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх талаар ярих болно нэмэх арга- энэ бол хамгийн томуудын нэг юм энгийн аргууд, гэхдээ тэр үед хамгийн үр дүнтэй нэг юм.

Нэмэх арга нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ гурван энгийналхамууд:

1. Системийг хараад тэгшитгэл бүрт ижил (эсвэл эсрэг) коэффициент бүхий хувьсагчийг сонгох;
2. Гүйцэтгэх алгебрийн хасах(Тийм эсрэг тоо- тэгшитгэлийг бие биенээсээ нэмэх) дараа нь ижил төстэй нэр томъёог авчрах;
3. Хоёр дахь алхамын дараа олж авсан шинэ тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол гаралт дээр бид нэг тэгшитгэлийг авах болно нэг хувьсагчтай- Үүнийг шийдвэрлэхэд хэцүү биш байх болно. Дараа нь олсон үндсийг анхны системд орлуулж, эцсийн хариултыг авах л үлдлээ.

Гэсэн хэдий ч практик дээр бүх зүйл тийм ч хялбар биш юм. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий:

• Нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэх нь бүх мөрөнд тэнцүү/эсрэг коэффициент бүхий хувьсагчийг агуулсан байх ёстой гэсэн үг юм. Хэрэв энэ шаардлагыг хангаагүй бол яах вэ?
• Үргэлж биш, заасан аргаар тэгшитгэлийг нэмж/хасах замаар бид амархан шийдэж болохуйц сайхан бүтэцтэй болно. Тооцооллыг ямар нэгэн байдлаар хялбарчилж, тооцоог хурдасгах боломжтой юу?

Эдгээр асуултын хариултыг авахын тулд, мөн олон оюутнуудын чадаагүй байгаа хэд хэдэн нэмэлт нарийн ширийн зүйлийг ойлгохын тулд миний видео хичээлийг үзээрэй.

Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн системд зориулсан цуврал лекцүүдийг эхлүүлж байна. Мөн бид тэдгээрийн хамгийн энгийнээс, тухайлбал хоёр тэгшитгэл, хоёр хувьсагч агуулсан зүйлсээс эхэлнэ. Тэд тус бүр нь шугаман байх болно.

Системүүд нь 7-р ангийн материал боловч энэ хичээл нь энэ сэдвээр мэдлэгээ сайжруулахыг хүсдэг ахлах ангийн сурагчдад бас хэрэг болно.

Ерөнхийдөө ийм системийг шийдэх хоёр арга байдаг:

1. Нэмэх арга;
2. Нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх арга.

Өнөөдөр бид эхний аргыг авч үзэх болно - бид хасах, нэмэх аргыг ашиглах болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд та дараах баримтыг ойлгох хэрэгтэй: хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлтэй бол та тэдгээрийн аль нэгийг нь авч, бие биедээ нэмж болно. Тэд гишүүнээр нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. “Х”-д “Х”-ийг нэмээд төсөөтэйг нь өгөөд, “Y”-тэй “Y”-ийг дахин адилхан, тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа зүйлийг мөн хооронд нь нэмж, ижил төстэйг нь мөн тэнд өгнө. .

Ийм заль мэхний үр дүн нь шинэ тэгшитгэл байх бөгөөд хэрэв энэ нь үндэстэй бол тэдгээр нь гарцаагүй язгууруудын дунд байх болно. анхны тэгшитгэл. Тиймээс бидний даалгавар бол хасах буюу нэмэхийг $x$ эсвэл $y$-ийн аль нэг нь алга болох байдлаар хийх явдал юм.

Үүнд хэрхэн хүрэх, ямар хэрэгсэл ашиглах вэ - бид одоо энэ талаар ярих болно.

Нэмэлтийг ашиглан хялбар асуудлыг шийдвэрлэх

Тиймээс бид хоёр энгийн илэрхийллийн жишээг ашиглан нэмэх аргыг ашиглаж сурдаг.

Даалгавар №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(зохицуулах) \баруун.\]

$y$ нь эхний тэгшитгэлд $-4$, хоёрдугаарт $+4$ гэсэн коэффициенттэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр нь хоорондоо эсрэгээрээ байдаг тул хэрэв бид тэдгээрийг нэгтгэвэл "тоглоомууд" харилцан устах болно гэж үзэх нь логик юм. Үүнийг нэмээд аваарай:

Хамгийн энгийн барилгын ажлыг шийдье:

Гайхалтай, бид "x"-ийг олсон. Үүнийг бид одоо яах ёстой вэ? Бид үүнийг ямар ч тэгшитгэлд орлуулах эрхтэй. Эхнийх нь орлуулъя:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \баруун) \баруун.\]

Хариулт: $\left(2;-3 \right)$.

Асуудал №2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энд байгаа нөхцөл байдал нь зөвхөн "X"-тэй төстэй юм. Тэдгээрийг нэмье:

Бидэнд хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл байгаа тул үүнийг шийдье:

Одоо $x$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(-3;3 \right)$.

Чухал цэгүүд

Тиймээс бид нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн хоёр энгийн системийг шийдсэн. Дахин гол цэгүүд:

1. Хэрэв нэг хувьсагчийн хувьд эсрэг коэффициент байгаа бол тэгшитгэлд байгаа бүх хувьсагчдыг нэмэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нэг нь устгагдах болно.
2. Бид системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олсон хувьсагчийг орлуулж, хоёр дахьыг нь олно.
3. Эцсийн хариу бичлэгийг янз бүрийн хэлбэрээр танилцуулж болно. Жишээ нь: $x=...,y=...$, эсвэл цэгүүдийн координат хэлбэрээр - $\left(...;... \right)$. Хоёр дахь сонголт нь илүү тохиромжтой. Анхаарах ёстой гол зүйл бол эхний координат нь $ x $, хоёр дахь нь $ y $ юм.
4. Хариултыг цэгийн координат хэлбэрээр бичих дүрэм үргэлж хэрэгждэггүй. Жишээлбэл, хувьсагч нь $x$ ба $y$ биш, жишээлбэл, $a$ ба $b$ үед үүнийг ашиглах боломжгүй.

Дараах асуудлуудад коэффициентүүд нь эсрэгээрээ биш үед хасах арга техникийг авч үзэх болно.

Хасах аргыг ашиглан хялбар бодлого бодох

Даалгавар №1

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энд эсрэг коэффициент байхгүй, гэхдээ ижил коэффициентүүд байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Одоо бид $ x $ утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэг дээр орлуулж байна. Эхлээд явцгаая:

Хариулт: $\left(2;5\right)$.

Асуудал №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\ end(эгц) \баруун.\]

Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд бид $5$-ын ижил коэффициентийг $x$-д дахин харж байна. Тиймээс эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасах шаардлагатай гэж үзэх нь логик юм.

Бид нэг хувьсагчийг тооцоолсон. Одоо жишээлбэл, $y$ утгыг хоёр дахь бүтцэд орлуулах замаар хоёрдахыг олъё:

Хариулт: $\left(-3;-2 \right)$.

Шийдлийн нюансууд

Тэгэхээр бид юу харж байна вэ? Үндсэндээ уг схем нь өмнөх системийн шийдлээс ялгаатай биш юм. Ганц ялгаа нь бид тэгшитгэлийг нэмдэггүй, харин хасдаг. Бид алгебрийн хасах үйлдлийг хийж байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг хармагцаа хамгийн түрүүнд анхаарах зүйл бол коэффициентүүд юм. Хаана ч ижил байвал тэгшитгэлийг хасч, эсрэгээрээ байвал нэмэх аргыг хэрэглэнэ. Үүнийг үргэлж хийдэг бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн аль нэг нь алга болох ба хасахын дараа үлдэх эцсийн тэгшитгэлд зөвхөн нэг хувьсагч үлдэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бүгд биш юм. Одоо бид тэгшитгэлүүд нь ерөнхийдөө нийцэхгүй байгаа системийг авч үзэх болно. Тэдгээр. Тэдгээрийн дотор ижил эсвэл эсрэг талын хувьсагч байхгүй. Энэ тохиолдолд ийм системийг шийдэхийн тулд үүнийг ашигладаг нэмэлт тун, тухайлбал, тэгшитгэл бүрийг тусгай коэффициентээр үржүүлэх. Үүнийг хэрхэн олох, ийм системийг ерөнхийд нь хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид одоо ярих болно.

Коэффицентээр үржүүлэх замаар асуудлыг шийдвэрлэх

Жишээ №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид $x$ ч, $y$-ын хувьд ч коэффициентүүд нь хоорондоо эсрэгээрээ төдийгүй бусад тэгшитгэлтэй ямар ч хамааралгүй байгааг бид харж байна. Хэдий бид тэгшитгэлүүдийг бие биенээсээ нэмж хассан ч эдгээр коэффициентүүд ямар ч байдлаар алга болохгүй. Тиймээс үржүүлэх аргыг хэрэглэх шаардлагатай. $y$ хувьсагчаас салахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлийн $y$-ийн коэффициентээр, хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлийн $y$-ийн коэффициентээр тэмдгээ хөндөлгүй үржүүлнэ. Бид үржүүлж, шинэ системийг олж авдаг:

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Үүнийг харцгаая: $y$-д коэффициентүүд эсрэгээрээ байна. Ийм нөхцөлд нэмэлт аргыг ашиглах шаардлагатай. Нэмье:

Одоо бид $y$ олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхний илэрхийлэлд $x$-г орлуулна уу:

\[-9y=18\зүүн| :\left(-9 \баруун) \баруун.\]

Хариулт: $\left(4;-2 \right)$.

Жишээ №2

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Дахин хэлэхэд, аль ч хувьсагчийн коэффициентүүд тогтмол биш байна. $y$-ийн коэффициентээр үржүүлье:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \баруун. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \баруун. \\\ end(align) \баруун .\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Манай шинэ систем өмнөхтэй тэнцэх боловч $y$-ийн коэффициентүүд нь эсрэгээрээ байдаг тул энд нэмэх аргыг хэрэглэхэд хялбар байдаг.

Одоо эхний тэгшитгэлд $x$-г орлуулж $y$-г олъё:

Хариулт: $\left(-2;1 \right)$.

Шийдлийн нюансууд

Энд байгаа гол дүрэм бол бид үргэлж зөвхөн үржүүлдэг эерэг тоонууд- энэ нь таныг тэмдгийг өөрчлөхтэй холбоотой тэнэг, доромжилсон алдаанаас аврах болно. Ерөнхийдөө шийдлийн схем нь маш энгийн:

1. Бид системийг харж, тэгшитгэл бүрийг шинжилдэг.
2. Хэрэв бид $y$ ч, $x$ ч биш гэдгийг харвал коэффицентүүд нь тогтмол биш, i.e. тэдгээр нь тэнцүү ч биш, эсрэгээрээ ч биш, дараа нь бид дараахь зүйлийг хийнэ: бид арилгах шаардлагатай хувьсагчийг сонгоод дараа нь эдгээр тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг харна. Хэрэв бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь коэффициентээр үржүүлж, хоёр дахь нь эхнийхээс коэффициентээр үржүүлбэл эцэст нь өмнөхтэй бүрэн тэнцэх систем, $ коэффициентийг авах болно. y$ тогтвортой байх болно. Бидний бүх үйлдэл эсвэл хувиргалт нь зөвхөн нэг хувьсагчийг нэг тэгшитгэлд оруулахад чиглэгддэг.
3. Бид нэг хувьсагчийг олдог.
4. Бид системийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд олсон хувьсагчийг орлуулж, хоёр дахь нь олно.
5. $x$ ба $y$ хувьсагчтай бол бид хариултыг цэгийн координат хэлбэрээр бичдэг.

Гэхдээ ийм энгийн алгоритм ч гэсэн өөрийн гэсэн нарийн шинж чанартай байдаг, жишээлбэл, $x$ эсвэл $y$-ийн коэффициентүүд нь бутархай болон бусад "муухай" тоонууд байж болно. Одоо бид эдгээр тохиолдлыг тусад нь авч үзэх болно, учир нь тэдгээрт та стандарт алгоритмаас арай өөрөөр ажиллах боломжтой.

Бутархайтай бодлого бодох

Жишээ №1

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 4м-3n=32 \\& 0.8м+2.5n=-6 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Нэгдүгээрт, хоёр дахь тэгшитгэл нь бутархайг агуулж байгааг анхаарна уу. Гэхдээ та 4 долларыг 0.8 доллараар хувааж болно гэдгийг анхаарна уу. Бид 5 доллар авна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг 5 доллараар үржүүлье:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 4м-3n=32 \\& 4м+12.5м=-30 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид тэгшитгэлүүдийг бие биенээсээ хасдаг.

Бид $n$-г оллоо, одоо $m$-г тоолъё:

Хариулт: $n=-4;m=5$

Жишээ №2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 2.5p+1.5k=-13\зүүн| 4 \баруун. \\& 2p-5k=2\зүүн| 5 \баруун. \\\төгсгөл(зохицуулах)\ зөв.\]

Өмнөх системтэй адил энд байна бутархай магадлал, гэхдээ аль нь ч биш хувьсах коэффициентүүдбүхэл тоогоор бие биедээ тохирохгүй. Тиймээс бид стандарт алгоритмыг ашигладаг. $p$-аас салах:

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 5p+3k=-26 \\& 5п-12.5к=5 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид хасах аргыг ашигладаг:

Хоёрдахь бүтцэд $k$-г орлуулах замаар $p$-г олъё:

Хариулт: $p=-4;k=-2$.

Шийдлийн нюансууд

Энэ бол бүх оновчлол юм. Эхний тэгшитгэл дээр бид юугаар ч үржүүлээгүй, харин хоёр дахь тэгшитгэлийг 5 доллараар үржүүлсэн. Үүний үр дүнд бид эхний хувьсагчийн хувьд тууштай, бүр ижил тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Хоёрдахь системд бид стандарт алгоритмыг дагаж мөрдсөн.

Гэхдээ тэгшитгэлийг үржүүлэх тоог хэрхэн олох вэ? Эцсийн эцэст, хэрэв бид бутархайгаар үржүүлбэл бид шинэ бутархай болно. Тиймээс бутархайг шинэ бүхэл тоо өгөх тоогоор үржүүлж, дараа нь стандарт алгоритмын дагуу хувьсагчдыг коэффициентээр үржүүлэх ёстой.

Эцэст нь хэлэхэд, хариу бичих хэлбэрт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Би аль хэдийн хэлсэнчлэн энд $ x $ ба $ y $ биш, харин бусад утгууд байгаа тул бид маягтын стандарт бус тэмдэглэгээг ашигладаг.

Нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Өнөөдрийн видео хичээлийн эцсийн тэмдэглэл болгон хэд хэдэн үнэнийг харцгаая нарийн төвөгтэй системүүд. Тэдний нарийн төвөгтэй байдал нь зүүн ба баруун талд хувьсагчтай байх явдал юм. Тиймээс тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд бид урьдчилсан боловсруулалт хийх шаардлагатай болно.

Системийн дугаар 1

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\зүүн(2x-y \баруун)+5=-2\зүүн(x+3y ​​\баруун)+4 \\& 6\зүүн(y+1) \баруун )-1=5\зүүн(2х-1 \баруун)+8 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Тэгшитгэл бүр тодорхой нарийн төвөгтэй байдлыг агуулдаг. Тиймээс илэрхийлэл бүрийг ердийн шугаман бүтээцтэй гэж үзье.

Нийтдээ бид анхны системтэй тэнцэх эцсийн системийг авдаг.

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$y$-ийн коэффициентүүдийг харцгаая: $3$ нь $6$-д хоёр удаа таарч байгаа тул эхний тэгшитгэлийг $2$-оор үржүүлье:

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$y$-ийн коэффициентүүд одоо тэнцүү байгаа тул эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасна: $$

Одоо $y$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Системийн дугаар 2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 4\зүүн(a-3b \баруун)-2a=3\зүүн(b+4 \баруун)-11 \\& -3\зүүн(b-2a \баруун) )-12=2\зүүн(a-5 \баруун)+b \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний илэрхийлэлийг өөрчилье:

Хоёрдахьтай нь харцгаая:

\[-3\зүүн(b-2a \баруун)-12=2\зүүн(a-5 \баруун)+б\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Нийтдээ бидний анхны систем дараах хэлбэрийг авна.

\[\зүүн\( \эхлэх(зөвшүүлэх)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$a$-ийн коэффициентүүдийг харахад эхний тэгшитгэлийг $2$-оор үржүүлэх шаардлагатай байгааг бид харж байна.

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний бүтээн байгуулалтаас хоёр дахь хэсгийг хасна:

Одоо $a$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Ингээд л болоо. Энэхүү видео заавар нь энгийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх энэ хэцүү сэдвийг ойлгоход тусална гэж найдаж байна. Энэ сэдвээр өөр олон хичээл байх болно: бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй жишээнүүд, энд илүү олон хувьсагч байх ба тэгшитгэлүүд нь аль хэдийн шугаман бус байх болно. Дахин уулзацгаая!